Lección 3.1

Funciones Trigonométricas de Ángulos

21/02/2014

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

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Actividades 3.1 • Referencia Texto: Seccíón 6.1 – Ángulo; Ejercicios de Práctica: Problemas impares 1-33 página 409 (375 y 376); Sección 6.2 Funciones Trigonométricas de Ángulos; problemas impares 7 – 23, 29-33 páginas 425, 426 y 427(390 y 391); Sección 6.3 Funciones Trigonométricas de Números Reales, problemas impares 1, 9 -15 Usa GRAPH para 55-53 páginas 444 y 446 (407 y 409) • Asignación 3.1: página 409 (375 y 376); problemas 12, 24, 26 y 32; De las páginas 425, 426 y 427(390 y 391); , problemas 14 y 20. De las páginas 444 y 446 (407 y 409), problemas 2, 58, 60 • Referencias del Web: • Videos de Julio Profesor.NET    

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Conversión de medidas de ángulos De grados a radianes De radianes a grados Valores exactos de ángulos notables Método para obtener el Seno y el Coseno de 0°, 30°, 45°, 60° y 90°

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Medidas de Ángulos • Grados (degrees). 1 grado es equivalente a 1/360 de una revolución completa. B 135

A O El transportador (proctractor) es un instrumento para medir ángulos.

• Radianes: 1 radian es equivalente al ángulo que se forma por un sector cuyo largo (arc length) mide igual que el radio en donde se forma. 21/02/2014

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Clasificación de ángulos • Medida:

Un ángulo recto Un ángulo agudo mide menos de 90o mide 90o

Un ángulo obtuso Un ángulo llano mide más de 90o mide 180o

• Signo

180o

90o 360o

270o

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Ejemplo 1 1.

Encuentre las medidas de dos ángulos, uno positivo y otro negativo, que son coterminales al ángulo de 117°. a. 477°; −113° b. 157° ; 23° c. 477° ; −243° 117° + 360° = 477°

2.

360° − 117° = 243°

−243°

c. 477° ; −243°

Identifique el cuadrante en donde descansa el lado terminal del ángulo 281° a. I b. II c. III d. IV d. IV

3.

Identifique el cuadrante en donde descansa el lado terminal del ángulo −281° a. I b. II c. III d. IV a. I

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Conversión entre grados y radianes 180   radianes

• Exprese en radianes.    radianes 60   180

3





Equivalencias especiales (¡Recordar!)

20  180  9 radianes • Exprese en grados.  180  6 

 30 

5 180  450   2 1 rad  57 .296  21/02/2014

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Grados Minutos Segundos DMS 1 grado (1o) = 60 minutos (60’)

1 minuto (1’) = 60 segundos (60”) • Ejemplo: Convierta 48o20’15” a grados decimales. ′

20 15 ≈ 48.3375° + = 48 + 60 3600

′

32 6 ≈ 25.535° + = 25 + 60 3600

48° 20 15" 25° 32 6"

• Convierta a DMS 34.54° = 34° + (0.54 × 60)′ = 34° +

32.4′

= 58° +

10.8′

= 34° +

32′ + (0.4 × 60)"

= 58° +

10′ + (0.8 × 60)"

= 34° +

32′ + 24"

= 58° +

10′ + 48"

= 34° 32′ 24" 21/02/2014

58.18° = 58° + (0.18 × 60)′

= 58° 10′ 48" Prof. José G. Rodríguez Ahumada

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Ejemplo 2 1)

Convierte el ángulo 36°29′ 48′′ a grados decimales redondeado a la centésima más cercana. 𝑎) 36.50°

2)

b)83°53′30" 𝑐)83°53′ 12“

𝑎. 83°53′ 24

b)

8𝜋 5

9𝜋 𝑐) 5

𝑏.

8𝜋 5

𝜋

Convierta de − 3 a grados. 𝑎) − 60𝜋°

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𝑎. 36.50°

Convierta de 288° a radianes. 16𝜋 𝑎) 5

3)

𝑐)36.46°

Convierte el ángulo 83.89° a grados minutos segundos (DMS). Redondee los segundos a la centésima más cercana. 𝑎) 83°53′ 24

3)

𝑏) 36.51°

b)

− 1.05° 𝑐) − 60°

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𝑐. − 60°

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Longitud y Área de un arco circular • Sea  el ángulo central medido en radianes asociado a un sector con arco de medida S y área A en un círculo con radio r. Entonces,

s  r 1 2 A r  2

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Ejemplo 4 • Un círculo tiene radio de 25.60 cm. Encuentre el largo del arco que subtiende por los siguientes ángulos centrales. Luego, aproxime su resultado a la centésima más cercana: • a) b) 7 54 

8

Cambie medida de grados a radianes

• c) Calcule área si 𝜃 = 2 1 2 1 𝐴 = 𝑟 𝜃 = 25.60 2 (2) = 𝟔𝟓𝟓. 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟐 2 2

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El Círculo Unitario Círculo de radio 1 con centro en el punto origen.

(0, 1)

y

 t

P = (a, b) Tiene interceptos en (0,1), (-1,0), (0,-1) y (1,0).

 (-1, 0)

Asociado al número real t y el ángulo  medido en radianes hay un punto P(a, b) que satisface ….

(1, 0)

x

(0, -1)

a 2  b2  1 21/02/2014

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Funciones Circulares de Ángulos • Sea t un número real y P = (a, b) un punto en el círculo unitario asociado a t. Entonces: (coseno) cos t  a sin t  b b (tangente) tan t  a (seno )

(0, 1)

y

t

P = (a, b)

• Funciones recíprocas 1 (secante) sec t  a 1 (cosecante) csc t  b a (cotangente) cot t  b 21/02/2014

(-1, 0)

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(1, 0)

x

(0, -1)

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Ejemplo 5

• Sea

 ,  un punto en el círculo unitario asociado 1 4

 15 4

a un número real t. Determine los valores trigonométricos de t si:

• Solución: 1 cos t  4

sec t 

1 1  4 a 1 4

15 sin t   4

csc t 

1 1  b  15

 4

4 15

1 15 a 1 b  4 4  tan t     15 cot t   1 b  15 15 a 4 4 21/02/2014

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Relaciones especiales para recordar 90° =

 2

 (0,1)

180° =   (1,0)

270° =

3  (0,1) 2

360° =2  (1,0)

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Relaciones especiales para recordar 

3 1 30° = ( , ) 6 2 2  2 2  , 45° =    4  2 2 





1 3 ( , ) 60° = 3 2 2

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Ejemplo 6 Encuentre los valores exactos de:

6 

2

60° =   ( 1 , 3 )

6 3  4 2  3 7 3 2 2  2      1   1  b) sin  tan  4 3 4  2  4

c) cos

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 3

2 2

 2 2    , 45° =   4  2 2 

a) sin 60  cos 45   3  1 2

30° =   ( 3 , 1 )

2 2

  1  1   1  cot 4

2

2

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Ejemplo 7 a) Encuentre los signos de sin 𝑡, cos 𝑡, tan 𝑡 si el lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante IV. cos 𝑡 > 0 • Solución: sin 𝑡 < 0 t𝑎𝑛 𝑡 < 0 b) Encuentre el signo de 𝑠𝑖𝑛 285°. sin 285° < 0 c) Encuentre el signo de tan

7𝜋 6

.

7𝜋 tan >0 6 d) Encuentre el signo de cos 2. cos 2 < 0 21/02/2014

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Ejemplo 8 • Use su calculadora para aproximar los siguientes valores trigonométricos a cinco lugares decimales (Nota: – Asegúrese que su calculadora está en modalidad de radianes o grades según aplique).

1) sin 5.3 𝜋

≈ −0.83227

2) tan 5

≈ 0.72654

3) sec 5

𝜋

≈ 1.23607

4) cot 85°

≈ 0.08749

5) 𝑠𝑖𝑛2 38°

= sin 38°

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2

≈ 0.3790

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Propiedades de Triángulos Rectos Teorema de Pitágoras - En un triángulo recto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

c  a b 2

2

Hipotenusa Cateto

2 Cateto

Funciones Trigonométricas

Adyacente de  cos   Hipotenusa Opuesto de  sin   Hipotenusa

tan   21/02/2014

Opuesto de  Adyacente de  Prof. José G. Rodríguez Ahumada

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Ejemplo 9 • Encuentre los valores trigonométricos del ángulo 𝜃.

h2  a 2  b2 6 1 b 2

2

1

2

𝑏

b  35 cos  

Adyacente de  35  Hipotenusa 6

Opuesto de  sin   Hipotenusa



1 6

1 Opuesto de   tan   Adyacente de  35 21/02/2014

𝜃

6

sec  

1 6  cos  35

1 csc   6 sin  1 cot    35 tan 

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Ejemplo 10 8 , 3

• Si 𝛽 es un ángulo agudo y sec 𝛽 = determine valores trigonométricos de sin 𝛽 y 𝑡𝑎𝑛 𝛽 8 3 3 , 8

sec 𝛽 = , cos 𝛽 = Por Pitágoras

𝑥 2 + 32 = 82

sin 𝛽 =

55 , 8

tan 𝛽 =

55 3

𝑥 2 + 9 = 64 𝑥 2 = 55 𝑥 = 55

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