PRÁCTICA

TRANSFORMADA DE LAPLACE

CURSO 2014-2015 CÁLCULO II

Prácticas Matlab Práctica 11 (19/05/2015) Objetivos o

Calcular  transformadas  de  Laplace  y  transformadas  inversas  de  Laplace,  utilizando  cálculo simbólico. 

o

Comprobar propiedades de la transformada de Laplace. 

    Comandos de Matlab    1.‐ Obtener la transformada de Laplace de una función utilizando cálculo simbólico  laplace(f)

Obtiene la transformada de Laplace de la función  f(t), utilizando cálculo simbólico. La  función transformada, por defecto, depende de la variable s, es F(s).   Ejemplo: f=sym('t^3'); F=laplace(f)

 

o  también  syms t; F=laplace(t^3)

2.‐ Obtener la transformada inversa de Laplace de una función utilizando cálculo simbólico  ilaplace(F) Obtiene la transformada inversa de Laplace de la función F(s), utilizando cálculo simbólico. La función transformada inversa, por defecto, depende de la variable t. Ejemplo:

syms s; f=ilaplace(1/(s^2+1)/(s+1))

3.‐ Calcula el límite de una expresión utilizando cálculo simbólico  limit(f,x,a) Obtiene el límite de la expresión f cuando la variable x tiende hacia a. Ejemplo: syms x; L=limit(sqrt(x^4+1)/(x^2+1),x,inf)

     

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Ejercicios Definición (Transformada de Laplace).‐ Sea  f  t   una función definida para  t  0  y tal  que  f  t   0  para  t  0 . Se llama transformada de Laplace de la función  f  t   a la  función:    

L  f (t )   F ( s)   f (t )e st dt   0

siempre que la integral anterior sea convergente.    Definición (Función de orden exponencial).‐  Una función  f  t  , se denomina  de tipo  exponencial “  ” si existen  M  y  t0  tales que 

f (t )  Me  t

t  t0  

  Si una función  f  t   es de tipo exponencial , también será exponencial de tipo  1  para todo 

1     (ver  figura).  El  conjunto  de  todos  los  valores    que  satisfacen  dicha  condición  está  acotado inferiormente, y su ínfimo   0  se denomina abscisa de convergencia de  f  t  . 

f (t )  Me  t  Me 1 t , t  t0  0   TEOREMA (de existencia de la transformada de Laplace).- Sea f  t  una función definida para t  0 y tal que f  t   0 para t  0 . Si f  t  es continua a trozos y además

f  t  es de tipo exponencial, entonces existe la transformada de Laplace para valores de

s tales que Re( s )   0 , siendo 0 la abscisa de convergencia de f  t  .  

TEOREMA.- Si f  t  verifica las condiciones del teorema de existencia anterior, entonces la función transformada F  s  tiende a cero a medida que s tiende a infinito, es decir lím F ( s )  0 s 

   

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f (t )  L -1  F ( s ) 1.

1

2.

tn

3.

t

4.

1 t

5.

e at

6.

t n  e at

7.

sen a t

8.

cos a t

9.

t  sen a t

10.

t  cos a t

11.

e bt  sen a t

12.

e bt  cos a t

F ( s )  L  f (t ) 

1 , s0 s n! , s  0, n  0 s n 1  3 2 s , s  0 2   s 1 2 , s  0

1 , sa sa n! , s  a, n  0 ( s  a) n 1 a , s0 2 s  a2 s , s0 2 s  a2 2a s , s0 2 (s  a 2 ) 2 s2  a2 , s0 (s 2  a 2 ) 2 a , sb ( s  b) 2  a 2 s b , sb ( s  b) 2  a 2

 

 

1

Cálculo de transformadas de Laplace  Comprueba que para las funciones de la tabla se obtiene la transformada que se indica.

Indicaciones  A modo de ejemplo se muestra cómo obtener la transformada de la función de la filas 1 a 3. Código Matlab:

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syms t disp('fila 1') F=laplace(heaviside(t)) %heaviside(t) es la función escalón unidad disp('fila 2 para n=2') F=laplace(t^2) disp('fila 3') F=laplace(sqrt(t))

Propiedad  (Multiplicación  por  la  exponencial).‐  Si  a   es  un  número real cualquiera,  

 

2

L  e a t f (t )   s   L  f (t )   s  a   F  s  a  , s  a    

siendo    la abscisa de convergencia de  f  t  . 

Considerar para verificar la propiedad anterior las funciones

f1  t   tsen (5t )

f 2  t   e3t tsen (5t )

Indicaciones  Código Matlab: syms s t F=laplace(t*sin(5*t)) F1=laplace(exp(-3*t)*t*sin(5*t)) F2=subs(F,s,s+3)

Para comprobar la propiedad hay que observar que:  F1  s    

10  s  3

 s 2  6s  34

2

 F  s  3  

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Propiedad  (Trasformada  de  la  integral).‐  Si  existe  L  f (t )   para  s    0 ,  

 

t



0



1 s

L   f ( x)dx   F  s  ,

3

s  

Considerar para verificar la propiedad las funciones

f1  t   x3  sen 2 x

t

f 2  t    ( x3  sen 2 x) dx 0

Indicaciones  Código Matlab: syms s t x F=laplace(t^3+sin(2*t)) F1=laplace(int(x^3+sin(2*x),x,0,t)) F2=1/s*F

Para comprobar la propiedad hay que observar que:  F1  s  

1 F s   s

 

Propiedad (Traslación en el tiempo).‐ Si  c  es cualquier número  real positivo,  

L U  t  c  f (t  c )   e  c s L  f (t )   e  c s F  s  , s    

a) Obtener la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones,  utilizando código Matlab: 

 

4

       F1 s  

( s  3) ( s  3) e s  ( s  3) e  s 2                F 2 s  F 3 s      s ( s 2  1) s ( s 2  1) s ( s 2  1)

Observa que las transformadas  F 2  s   y  F 3  s   se obtienen a partir  de  F1 s  , multiplicando por una exponencial  e

 sc

, con  c  0 . 

 

b)  Representar  gráficamente  sobre  la  misma  figura  las  transformadas  inversas obtenidas,  f 1 , f 2 , f 3 , en el intervalo  t   0,14 . 

c) ¿Qué relación observas entre las tres gráficas? ¿En qué propiedad de  la transformada de Laplace se basa este resultado?

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Indicaciones  Código Matlab %Aplicación de la propiedad traslación en el tiempo syms s % Define la transformada inicial, F1(s) F1=(s+3)/(s*(s^2+1)); % Calcula la transformada inversa de F1, la función f1(t) f1=ilaplace(F1) figure(1) % Dibuja la función f1(t) en el intervalo [0,14] con plot f1num=subs(f1,0:0.01:14); hold on plot(0:0.01:14,f1num,'b') % Define la transformada F2(s)=F1(s)*exp(-s*pi) F2=exp(-s*pi)*(s+3)/(s*(s^2+1)); % Calcula la transformada inversa de F2 f2=ilaplace(F2) % Dibuja la función f2(t) sobre la misma figura 1 f2num=subs(f2,0:0.01:14); plot(0:0.01:14,f2num,'r') % Define la transformada F3(s)=F1(s)*exp(-s*2) F3=exp(-s*2)*(s+3)/(s*(s^2+1)); % Calcula la transformada inversa de F3 f3=ilaplace(F3) % Dibuja la función f3(t) sobre la misma figura 1 f3num=subs(f3,0:0.01:14); plot(0:0.01:14,f3num,'g') title('transformadas inversas') legend('f(t)','f(t-pi)*U(t-pi)','f(t-2)*U(t-2)')

  f(t) f(t-pi)*U(t-pi) f(t-2)*U(t-2)

transformadas inversas 7 6 5 4 3 2 1 0 -1

0

2

4

6

8

10

12

14

La solución obtenida es 

f1  t   U (t )  3  3cos  t   sen  t   ; f 2  t   U  t     3  3cos  t-  +sen  t-   ; f3  t   U  t  2   3  3cos  t-2   sen  t-2  

 

Resumen de comandos Se  recogen  aquí  los  comandos  utilizados  en  esta  práctica  que  se  darán  por  conocidos  en las  prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas 

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de  evaluación.  También  se  supondrán  conocidos  los  comandos  que  fueron  utilizados  en  prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I.    heaviside   Función escalón unidad:         

 



Obtener la transformada de Laplace de una función simbólicamente:      laplace 



Obtener la transformada inversa de Laplace de una función:                         ilaplace 



Calcular el límite de una expresión simbólica:

limit