Última modificación: 18-05-2016

220001 - Álgebra Unidad responsable:

205 - ESEIAAT - Escuela Superior de Ingenierías Industriales, Aeroespacial y Audiovisual de Terrassa

Unidad que imparte:

749 - MAT - Departamento de Matemáticas

Curso:

2016

Titulación:

GRADO EN INGENIERÍA EN VEHÍCULOS AEROESPACIALES (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS AEROESPACIALES (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria)

Créditos ECTS:

6

Idiomas docencia:

Catalán

Profesorado Responsable:

FRANCISCO CARRERAS ESCOBAR

Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Específicas: 2. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. Transversales: 1. APRENDIZAJE AUTÓNOMO - Nivel 1: Llevar a cabo tareas encomendadas en el tiempo previsto, trabajando con las fuentes de información indicadas, de acuerdo con las pautas marcadas por el profesorado. Metodologías docentes Las sesiones teóricas se dedicarán a introducir los conceptos y resultados fundamentales de cada tema, así como ejemplos y casos prácticos que permitan a cada estudiante comprender los temas tratados. Será referencia básica un libro de texto ajustado al temario y escrito por profesores de la Sección Departamental que se podrá obtener gratuitamente en la plataforma digital ATENEA. En las sesiones prácticas se resolverán ejercicios y problemas anunciados con antelación. Serán los de un fascículo ajustado también al temario que incluye al final los resultados numéricos y estará igualmente al alcance de forma gratuita a ATENEA. Estas prácticas ayudarán a cada estudiante a familiarizarse ¿con los conceptos expuestos y adquirir la habilidad de expresarse correctamente haciendo uso de las herramientas del curso. Como complemento orientativo para el seguimiento de la teoría y la resolución de ejercicios y problemas, el estudiante tendrá su disposición en Atenea, también gratuitamente, un bloque de transparencias donde se resume el libro de texto y un libro de problemas resueltos con detalle. El profesor designará unas horas de atención individualizada en las que se podrán consultar las dudas referentes a las clases de teoría y de prácticas. Junto con los exámenes parcial y final, durante el curso se llevarán a cabo dos controles de evaluación. Todo ello permitirá obtener una evaluación continuada cuidadosa del trabajo individual. Objetivos de aprendizaje de la asignatura Comprensión y capacidad de aplicación del concepto de linealidad y su traducción operativa: el cálculo matricial. Parte operativa básica para todo el curso: estudio, resolución y discusión de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo

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matricial propiamente dicho, uso indistinto del método de Gauss y los determinantes, y resolución de ciertas ecuaciones polinómicas. Aplicación a todos los problemas surgidos en el tratamiento en la práctica de la parte conceptual. Parte conceptual: adquisición y asimilación de las nociones esenciales de los espacios vectoriales (dependencia lineal, subespacio, base, dimensión, componentes y cambios de base), las derivadas del producto escalar (norma, ángulo, ortogonalidad, proyección ortogonal, orientación, producto vectorial y método de los mínimos cuadrados), el lenguaje de las transformaciones lineales con especial hincapié en los endomorfismos (núcleo, imagen, rango, cambio de base y clasificación de isometrías en el plano y en el espacio (Giros, rotaciones, simetrías y composiciones), las técnicas de diagonalización de matrices y, en particular, la diagonalización ortogonal en el caso simétrico, su aplicación al estudio de las formas cuadráticas y los tensores y, finalmente, las ideas básicas de la geometría analítica plana y tridimensional: tanto de la geometría lineal o de primer grado (coordenadas, cambios de coordenadas, rectas, planos, posiciones relativas, paralelismo y perpendicularidad, ángulos, distancias, áreas y volúmenes) como de la cuadrática o de segundo grado (curvas del plano-cónicas-y superficies del espacio-cuádricas). Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 150h

Horas grupo grande:

32h

21.33%

Horas grupo mediano:

28h

18.67%

Horas aprendizaje autónomo:

90h

60.00%

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220001 - Álgebra Contenidos

Módulo 1: Sistemas de ecuaciones lineales, cálculo matricial y determinantes

Dedicación: 28h Grupo grande/Teoría: 3h Grupo mediano/Prácticas: 8h Aprendizaje autónomo: 17h

Descripción: Tema 1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Resolución por el método de Gauss. Regla del pivote. Método de Gauss Jordan. Teorema de Rouché Frobenius. Discusión de sistemas. Matrices. Rango: noción provisional. Operaciones lineales. Producto. Defectos. Matrices cuadradas. Matrices simétricas y ortogonales. Matrices regulares. Cálculo de la inversa por Gauss Jordan. Ecuaciones matriciales. Tema 2. Determinantes. Definición y propiedades operativas. Regla de Sarrus. Adjuntos. Regla de Laplace. Aplicaciones: Matrices regulares. Inversa de una matriz. Sistemas de Cramer. Interpolación polinómica. Determinante de Vandermonde. Menores. Definición y cálculo del rango. Sistemas arbitrarios. Discusión de sistemas. Actividades vinculadas: Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio individual.

Módulo 2: Espacios vectoriales y Euclidianos

Dedicación: 37h Grupo grande/Teoría: 9h Grupo mediano/Prácticas: 5h Aprendizaje autónomo: 23h

Descripción: Tema 3. Espacios vectoriales. Definición. El espacio vectorial numérico. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal. Subespacios vectoriales. Ecuaciones implícitas de un subespacio. Sistemas de generadores. Bases. Teorema de las bases. Dimensión. Componentes de un vector. Cambios de base. Tema 4. La estructura euclidiana del espacio vectorial numérico. Producto escalar. Ortogonalidad. Suplementario ortogonal. Método de Gram Schmidt. Norma. Bases ortonormales. Ángulo no orientado. Proyección ortogonal y simetría. Sistemas sobredeterminados: método de los mínimos cuadrados. Orientación. Ángulo orientado. Productos vectorial y mixto Actividades vinculadas: Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio individual.

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Módulo 3: Transformaciones lineales, diagonalización y tensores

Dedicación: 49h Grupo grande/Teoría: 11h Grupo mediano/Prácticas: 8h Aprendizaje autónomo: 30h

Descripción: Tema 5. Transformaciones lineales. Definición. Caracterización matricial. Endomorfismos. Cambios de base. Núcleo, imagen y rango. Carácter (inyectiva, exhaustiva, biyectiva). Operaciones y matrices asociadas. La identidad. Isometrías. Caracterización matricial. Catálogo en el plano y en el espacio. Tema 6. Diagonalización de matrices. Endomorfia / matriz diagonalizable. Vectores y valores propios. Polinomio característico. Fórmula de las trazas. Condiciones de diagonalización. Aplicación: potencias de una matriz diagonalizable. Diagonalización ortogonal de matrices simétricas: teorema espectral. Clasificación de isometrías en el plano y en el espacio. Matriz reducida y elementos geométricos. Tema 7. Tensores y formas cuadráticas. Definición de tensor. Caracterización matricial. Cambios de base. Forma cuadrática asociada. Diagonalización de tensores y formas. Expresiones canónicas afín y euclídea. Índices de inercia. Ley de inercia de Sylvester. Teorema de Descartes. Clasificación de formas cuadráticas. Criterio de Sylvester. Actividades vinculadas: Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio individual.

Módulo 4: Geometría lineal y cuadrática

Dedicación: 36h Grupo grande/Teoría: 9h Grupo mediano/Prácticas: 7h Aprendizaje autónomo: 20h

Descripción: Tema 8. Geometría lineal. El espacio puntual. Referencias cartesianas. Coordenadas. Cambio de coordenadas. Variedades lineales: rectas y planos. Posición relativa. Intersección. Paralelismo. Perpendicularidad. Proyección ortogonal y simetría. Ángulos. Distancias. Formulario del producto vectorial: distancias, áreas y volúmenes. Tema 9. Curvas y superficies de segundo grado. El elipse, hipérbola y parábola. Circunferencia. Ecuaciones reducidas. Cónicas. Clasificación, ecuación reducida y elementos geométricos. Cuádricas. Clasificación, ecuación reducida y elementos geométricos. Actividades vinculadas: Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio individual.

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220001 - Álgebra Planificación de actividades

ACTIVIDAD 1: SESIONES DE TEORÍA

Dedicación: 76h Grupo grande/Teoría: 26h Grupo mediano/Prácticas: 10h Aprendizaje autónomo: 40h

ACTIVIDAD 2: SESIONES DE PRÁCTICAS

Dedicación: 38h Grupo mediano/Prácticas: 18h Aprendizaje autónomo: 20h

ACTIVIDAD 3: 1R CONTROL DE EVALUACIÓN Dedicación: 3h

Grupo grande/Teoría: 1h Aprendizaje autónomo: 2h

ACTIVIDAD 4: 2N CONTROL DE EVALUACIÓN

Dedicación: 5h Grupo grande/Teoría: 1h Aprendizaje autónomo: 4h

ACTIVIDAD 5: EXAMEN PARCIAL

Dedicación: 12h Grupo grande/Teoría: 2h Aprendizaje autónomo: 10h

ACTIVIDAD 6: EXAMEN FINAL

Dedicación: 16h Grupo grande/Teoría: 2h Aprendizaje autónomo: 14h

Sistema de calificación NF = 0.3 NP + 0.5 NEF + 0.1 NC1 + 0.1 NC2 NF: Nota final NP: Nota del examen parcial NEF: Nota del examen final NC1 y NC2: Notas de los controles de evaluación

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220001 - Álgebra Normas de realización de las actividades Durante cada una de las cuatro pruebas de evaluación (exámenes y controles) cada estudiante deberá disponer de algún documento de identificación (DNI, pasaporte, carnet UPC ...), que presentará a requerimiento del profesorado. La inasistencia injustificada a cualquiera de estas pruebas se traducirá en un 0 como nota correspondiente. En el caso de el examen final, implicará un "no presentado" como nota final. Un documento de justificación de la ausencia dará derecho a la prueba en días posteriores. Bibliografía Básica: Amer Ramon, R. Curs d'àlgebra lineal [en línea]. 2a ed. Terrassa: Universitat Politècnica de Catalunya, 1998 [Consulta: 22/02/2011]. Disponible a: . ISBN 8484987841. Amer Ramon, R. [et al.]. Enginyeria aeronàutica: àlgebra lineal: exercicis i problemes. [Terrassa]: UPC, 2010.

Complementaria: Amer Ramon, R. Àlgebra lineal: problemes resolts [en línea]. Terrassa: UPC. Escola Tècnica Superior d'Enginyers Industrials de Terrassa, 2000 [Consulta: 04/05/2011]. Disponible a: . Amer Ramon, R. [et al.]. Transparències d'àlgebra lineal. [Terrassa]: UPC, 2004.

Otros recursos:

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