Sucesiones

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2 2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Analice Monotonía de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma.

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2.1. SUCESIONES 2.1.1 DEFINICIÓN.

Sucesión es una función, denotada como {a n }, cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir: IN a X ⊆ IR

n a f ( n) = a n

.

Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se

presenta como una secuencia de términos {a1 , a 2 , a3, ,L}. Si la sucesión tiene

SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA. una cantidad determinada de términos se la llamará

Ejemplo n ⎫ ⎧1 2 3 n ⎫ ,L⎬ ⎬ = ⎨ , , ,L, 2n + 1 ⎭ ⎩ 2n + 1 ⎭ ⎩ 3 5 7

{an } = ⎧⎨

La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión. Ejemplo a1 = 1; a n = a n −1 + 3; n ≥ 2 Es decir:

a 2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4 a3 = a 2 + 3 = 4 + 3 = 7 Y así sucesivamente.

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2.1.2 Convergencia y Límite

Una sucesión {a n } , es convergente si y sólo si lim an n →∞

existe. Caso contrario; es decir, si lim an no existe, se n →∞

dice que la sucesión es divergente. a = L , significa que: Si lim an existe, es decir si lim n →∞ n n →∞

∀ξ > 0, ∃N > 0 talque n > N ⇒ an − L < ξ

Ejemplo. ⎧ n ⎫ Determinar si {an } = ⎨ ⎬ es convergente o divergente. ⎩ 2n + 1 ⎭ SOLUCIÖN: Para determinar si es convergente o divergente se halla

lim a n .

n →∞

n n 1 n lim = lim = 2 1 n 2 n→∞ 2n + 1 n→∞ + n n Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a

1

2

TEOREMA

Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión sea convergente es que sea acotada. Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 12 y la máxima cota inferior es 13 . PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR?

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Ejemplo

{

Determinar si {a n } = n sen

(πn )} es convergente o divergente.

SOLUCION:

⎡ sen (π )⎤ n(πn )sen (πn ) n ⎥ π ( ) lim n sen n = lim = lim π⎢ π π ⎥ n →∞ n →∞ n →∞ ⎢ ⎣

n

Haciendo

n

⎦

u = πn entonces, si n → ∞ tenemos que u → 0

( )⎤⎥

⎡ sen π n lim π ⎢ π n →∞ ⎢ ⎣ n converge.

⎡ sen u ⎤ ⎡ sen u ⎤ = lim π⎢ = π lim ⎢ ⎥ ⎥ = π(1) = π . u ⎥ u →0 ⎣ u →0 ⎣ u ⎦ ⎦ ⎦

Por

TEOREMA

Si an y bn son sucesiones convergentes, entonces: 1. lím kan = k lím an ; k ∈ IR n →∞ n →∞

(an ± bn ) = lím 2. lím an ± lím bn n →∞ n →∞ n →∞ (an bn ) = lím 3. lím an lím bn n →∞ n →∞ n →∞ an ⎛ an ⎞ lím ⎟⎟ = n→∞ si lím b b ⎝ n⎠ n

⎜ 4. lím n →∞ ⎜

lím bn ≠ 0

n →∞

n →∞

2.1.3 SUCESIONES MONOTONAS

Una sucesión {a n } es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir: a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤ L ≤ a n ≤ a n +1 ≤ L ;

ó si sus términos son no crecientes; es decir: a1 ≥ a 2 ≥ a3 ≥ L ≥ a n ≥ a n +1 ≥ L .

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tanto

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a n +1 ≥ 1 será an una sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que a n ≥ a n +1 o a n +1 ≤ 1 será una sucesión DECRECIENTE. an Lo anterior quiere decir que si se cumple que a n ≤ a n +1 o

Ejemplo 1 Determinar si la sucesión a n =

n es creciente o decreciente. 2n + 1

SOLUCIÖN:

En este caso

a n +1 =

n +1 n +1 = 2(n + 1) + 1 2n + 3

Al dividir ambas expresiones, resulta:

n +1 a n +1 2n + 3 (n + 1)(2n + 1) 2n 2 + 3n + 1 = = = n an n(2n + 3) 2n 2 + 3n 2n + 1 note que en la última expresión se observa que

a n +1 ≥ 1 ¿Por qué?. an

Por tanto, la sucesión será CRECIENTE.

Ejemplo 2 Analice la sucesión a n = 3 + (− 1)n SOLUCIÖN: Desarrollando la sucesión tenemos

{a n } = {3 + (− 1)n }= {2,4,2,4, L} Se observa que la sucesión no es monótona, no es convergente, si es acotada.

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Ejemplo 3 Analice la sucesión a n =

2n n!

SOLUCIÖN: 1.

2n = 0 . El factorial es más creciente que la exponencial por tanto la sucesión converge a n →∞ n! lim

0. 2.

3.

La sucesión es acotada debido a que es convergente. n +1

2 a n +1 (n + 1)! 2 n 21 n! 2 2 n +1 . Ahora a n +1 = = = = n n (n + 1)! an n! (n + 1) 2 n +1 2 n!

Se observa que para n ≥ 1 ,

2 ≤ 1 por tanto la sucesión es decreciente. n +1

Ejercicios propuestos 2.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes. ⎧⎪ 3n 2 + 1 ⎫⎪ e. a. ⎨ 2 ⎬ ⎪ ⎪ b.

c.

d.

⎩ 2n − n ⎭ ⎧⎪ 2n 2 + 1 ⎫⎪ ⎬ ⎨ ⎪⎩ 3n − 1 ⎪⎭ nπ ⎫ ⎧ n sen ⎬ ⎨ 2⎭ ⎩n +1

f.

⎧ ln n ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩n ⎭

g.

n ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ 1 + ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎪⎩⎝ 2n ⎠ ⎪⎭

⎧⎪⎛ 3 ⎞ n ⎫⎪ ⎨⎜1 + ⎟ ⎬ ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎪⎭

2. Determine si las sucesiones son crecientes, decrecientes o no monótonas. a.

⎧ 3n − 1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ 4n + 5 ⎭

⎧⎪ 5 ⎪⎫ ⎬ ⎨ 2 n ⎪⎩1 + 5 ⎪⎭ ⎧ ⎫ n! ⎨ ⎬ ⎩1 • 3 • 5 • L • (2n − 1) ⎭ n

b.

c.

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⎧ 2n + 1 ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩ 3n − n ⎭

d.

sen(nπ)

e.

⎧ n! ⎫ ⎨ n⎬ ⎩3 ⎭

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2.2. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sea la secuencia a1 , a 2 , a3 ,L a n . La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma:

∑a n

a1 + a2 + a3 + L an =

i

i =1

Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.

Ejemplo 1

∑ 4

i =1

i 1 2 3 4 = + + + 2 { 5 10 17 i2 + 1 { { { i =1

i=2

i =3

i =4

Ejemplo 1 ∞

1+ 2 + 3 + 4 +L + n +L =

∑

n

n =1

2.2.1 Propiedades

Sean {ai } y {bi } dos sucesiones y sea C una constante, entonces n

n

i =1

i =1

1. ∑ Cai = C ∑ ai 2. ∑ (ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi n

n

n

i =1

i =1

i =1

Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:

41

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n

∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + L + n =

1.

i =1

n

2.

∑i

2

i =1

= 12 + 2 2 + 32 + L + n 2 =

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6

⎡ n(n + 1)⎤ 3. ∑ i = 1 + 2 + 3 + L + n = ⎢ i =1 ⎣ 2 ⎥⎦ n

3

3

3

3

2

3

n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) 4. ∑ i = 1 + 2 + 3 + L + n = 30 i =1 n

4

4

4

¡No olvide demostrarlas!

42

4

4