3 3.1

Transformada de Laplace Breve nota sobre integrales impropias

Recordemos que la integral de Riemann Z

b

f (t) dt;

a

sólo está de…nida para algunas funciones acotadas en un intervalo …nito. Las funciones para las cuales la integral de Riemann está de…nida se llaman integrables e incluyen a las funciones cuyas discontinuidades forman un conjunto numerable. Si la función no es acotada o el intervalo no es …nito no existe la posibilidad de integrabilidad Riemann directamente porque el caso no fue incluido en la de…nición. Para tratar integrales del tipo R 1 dx R1 p ó 1 dx ; (1) x2 0 x

hay que introducir un concepto nuevo: el de integrales impropias. Hay que imaginar que un conjunto no acotado, como el subgrafo de las funciones en (1), puede tener área …nita.

y

10

y 1.0

5

0.5

0.0

0.5

y=

1.0

1.5

x

p1 x

0.0 2

4

6

8

10

x

y = x2

Si la función f es integrable (en particular acotada) en todo subintervalo [a; b] y existe el límite Z b ` = lim f (t) dt; b!+1 a R1 diremos que existe o que es convergente la integral impropia a f (t) dt y escribiremos Z 1 f (t) dt = `: a

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

R1 R1 Si converge la integral impropia a jf (t)j dt R 1se puede probar que la integral a f (t) dt es convergente. convergente. La R 1 En este caso diremos que a f (t) dt es Rabsolutamente 1 integral a f (t) dt puede converger sin que lo haga a jf (t)j dt. En este caso hay convergencia condicional. Un ejemplo de esta situación se da con la integral impropia Z 1 sen t dt: t 0 Rb Para funciones f no negativas, a f (t) dt es una función no negativa y creciente de Rb b. Esto deja sólo dos posibilidades: o la integral converge o limb!1 a f (t) dt = +1: Es por eso que para este caso (f 0)R y sólo para este caso, la convergencia de la integral 1 impropia se expresa diciendo que a f (t) dt < 1: La utilidad del concepto de convergencia absoluta viene de la posibilidad de comparar integrales de funciones f g en [a; +1) y Rentre R 1 no negativas. Es claro que 0 1 R 1 Entonces, si jf (t)j g (t) en [a; +1) y Ra1 g (t) dt < 1 implica a f (t) dt < 1. f (t) dt es convergente. g (t) dt < 1 podremos a…rmar que a a Para funciones no acotadas en intervalos …nitos, por ejemplo una función f acotada en cada intervalo [a + "; b] con lim"!0+ f (a + ") = 1, se de…nirá Z b Z b f (t) dt = lim f (t) dt: a

"!0+

a+"

Ejemplos. 1. Los subgrafos de la función x = t 1 sobre los intervalos (0; 1] y [1; 1) deben ser iguales por la simetría de la hipérbola. Ambos tienen área in…nita. Y es una situación límite. Pequeñas rotaciones de la hipérbola hacia uno u otro lado convierten uno en …nito dejando, por supuesto, in…nito aquél que se agrandó.

En negro t 1 . En azul t 1+ . En rojo t 1 . Veamos los cálculos. 8 1 8 < +1 > > Z 1 < 1 lim"!0+ +1 (1 " +1 ) = t dt = : +1 > 0 > : + lim"!0 ln " = +1 2

si si

> <

1 ; si

6=

1

si

=

1

1

Cálculo III 2012

Z

1

Transformada de Laplace

t dt =

1

2. Si

> 0;

R1 0

e

8 > > < > > : t

limb!1

1 +1

(b

+1

1) =

limb!1 ln b = +1 1

dt =

t 1 j0

e

=

8 < :

1 +1

si si

+1

< >

1 ; si

6=

1

si

=

1

1

1

3. La función gamma. Sea a > 0 y consideremos la integral impropia Z 1 ta 1 e t dt:

(2)

0

Si 0 < a < 1, esta integral es doblemente impropia, porque además de ser in…nito el intervalo el integrando tiene una singularidad en 0. Se divide en dos integrales: R1 R1 I1 = 0 ta 1 e t dt y I2 = 1 ta 1 e t dt:

La primera es fácil porque, para t 0; e t 1. Entonces ta 1 e t ta 1 , una potencia de exponente mayor que 1; y la integral converge como se vió en el ejemplo 1. El análisis de I2 es más complicado. Primero se advierte que la exponencial crece más fuerte que cualquier potencia (l’Hopital lo corrobora). De modo que ta+1 e t ! 0 para t ! +1. Esto asegura que, a partir de un cierto valor K > 1, será, digamos, ta+1 e t 1: Pero entonces t

K =) ta 1 e

t

t 2:

En consecuencia, Z

1

a 1

t

t

e dt

K

Z

1

2

t dt <

K

Z

1

1

t 2 dt < 1;

como se vió en el ejemplo 1. Por otra parte, la integral entre 1 y K es una integral ordinaria y no agrega di…cultades. La integral (2) de…ne una función de la variable a con dominio en (0; 1): Z 1 (a) = ta 1 e t dt: 0

Con las integrales impropias se mantienen vigentes las tres propiedades fundamentales de las integrales: linealidad, monotonía y aditividad de dominio. Más complicada es su relación con las operaciones de límite, derivación e integración. Sin pretensiones de desarrollar la teoría correspondiente, queremos presentar el problema y enunciar algunos teoremas necesarios para el manejo de los casos que aparecen en las aplicaciones. Una función de dos variables integrada respecto de una de ellas de…ne una función de la otra variable y cabe preguntarse si esta nueva función es continua, derivable e integrable. Z 1

F (x) =

f (x; y) dy:

a

Nótese que las tres preguntas esbozadas plantean realizar las siguientes tres operaciones sobre la integral que de…ne a F : Z 1 Z 1 Z dZ 1 d f (x; y) dy; f (x; y) dydx: lim f (x; y) dy; x!x0 a dx a c a 3

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

El problema es bajo qué condiciones estas operaciones pueden intercambiarse con la integral impropia convirtiéndose en Z 1 Z 1Z d Z 1 @ lim f (x; y) dy; f (x; y) dy; f (x; y) dxdy: @x a x!x0 a a c Nos mantendremos bajo la suposición general de que f (x; y) considerada como función de la variable y es localmente integrable para cada x del conjunto que se especi…que, por ejemplo que para cada x …jo f (x; y) es acotada y el conjunto de sus discontinuidades es …nito en cada subintervalo …nito [a; b] de [a; +1) : Teorema 1. Si para todo x en un entorno de x0 se veri…caR la acotación 1 (uniforme en x) jf (x; y)j g (y) para alguna función g con a g (y) dy < 1 y si para todo y 2 [a; +1) (salvo a lo sumo un conjunto …nito de valores) es limx!x0 f (x; y) = f (x0 ; y), entonces Z 1 Z 1 lim f (x; y) dy = f (x0 ; y) dy: x!x0

a

a

R1 Teorema 2. Supongamos que para todo x 2 (c; d) la integral a f (x; y) dy @ f (x; y) : Suponges absolutamente convergente y que existe y es continua @x amos además que se veri…ca una acotación uniforme @f (x; y) @x R1

con

a

g (y) ;

c :

Demostración. Bajo la condición de la hipótesis, f (t) e

st

Me

(s

)t

:

Si s > estamos ante una exponencial negativa cuya integral converge, de acuerdo con el ejemplo 2. de la sección anterior Será conveniente prestarle alguna atención a la clase de las funciones que veri…can la condición del teorema. Llamemos M = f : f es localmente integrable y 9M : jf (t)j

Me

t

:

Con esta de…nición el teorema 4 se lee: f 2 M =) 9L [f ] (s) para s > : Es claro que 1 < 2 =) M 1 M 2 . Las clases M albergan a funciones que aceptan un ciero tipo de acotación. La acotación es más difícil de satisfacer cuando achicamos , y esto es restrictivo: La función te t 2 M +" 8" > 0; pero no pertenece a M . Invitamos al lector a demostrar ambas a…rmaciones. La primera requiere un truco como el que usamos en la de…nición de la función . Pertenecer a todas las clases M +" 8" > 0 tiene un premio. De…namos \ M += M +" : ">0

Si aceptamos la invitación de más arriba tenemos dmostrado que M $ M + . Por lo tanto, aunque trivial, la siguiente es una verdadera extensión del teorema 4. Teorema 4’. f 2M

+

=) 9L [f ] (s) para s >

Demostración: El resultado es evidente. Si s > , existe " > 0 tal que s > + ". Ahora bien, f 2 M + =) f 2 M +" =) 9F (s) 5

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Bueno, ¿Demostraste o no que te t 2 M

8" > 0? Es un poco más general:

+"

f 2 M =) tn f (t) 2 M + :

(3)

En particular, esto muestra cierta estabilidad de las clases M ; Corolario. Si f 2 M entonces existe L [P (t) f (t)] (s) para s > , para cualquier polinomio P: Demostración: Claramente basta probar (3). Partimos de jf (t)j M e t . Para cualquier " > 0; tn =e"t ! 0 para t ! 1. Luego 9K > 1 : (t > K =) tn =e"t 1). Pero para 0 t K es tn Kn K n e"t . En de…nitiva, si M 0 = M K n ; tn jf (t)j

K n e"t M e t = K 0 e(

Valiendo la acotación para todo ", tn f (t) 2 M

+")t

:

+

Otra cuestión a ser observada es la siguiente. Cuando f 2 M , el comportamiento en el 1 de F queda determinado por esta circunstancia. En efecto: Teorema 5. Si f 2 M , entonces 1. jsF (s)j está acotada en todo intervalo [ ; 1) con 2.F (s) ! 0 para s ! 1: Demostración: De jf (t)j M e t se sigue Z 1 e (s M e (s )t dt = M jF (s)j s 0

> :

)t

= t=0

M s

:

De esta acotación siguen inmediatamente ambas conclusiones La transformada de Laplace, como está de…nida por una integral, es obviamente lineal. Esto es: L [ f + g] = L [f ] + L [g] Ejemplos. 1. f (t) = eat : F (s) =

Z

1

e(a

s)t

dt =

0

1 a

s

s)t

e(a

1

=

a

1 s

a

; para s > a:

2. Tomando a = 0 en el ejemplo anterior, f (t) = 1 y F (s) = 1=s: 3. f (t) = t F (s) =

Z

1

te

st

e s

dt =

0

st

t

1 0

1 + s

Z

0

1

e

st

dt =

1 : s2

4. Sobre la base del ejemplo anterior es fácil probar inductivamente que L [tn ] (s) = 6

n! sn+1

:

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

5. Pero no es necesario que n sea entero. Si a > 0; Z 1 a ta e L [t ] (s) =

st

dt

0

Con la sustitución st = x; que implica t = xs y dt = 1s dx, resulta Z 1 1 (a + 1) a L [t ] (s) = a+1 xa e x dx = : s sa+1 0 Nótese que esta igualdad implica que, para n natural,

(n + 1) = n!

La transformada de Laplace se puede de…nir sobre funciones complejas de la variable real t 2 [0; 1) : Si f = u + iv; L [f ] = L [u] + iL [v] : Este proceder, con la ayuda de la linealidad, y sabiendo que ei!t = cos !t + i sen !t, permite calcular con facilidad otras transformadas. La cuenta del ejemplo 1. sirve si la constante a es compleja. 6.

s + i! s ! = + i : s i! s2 + ! 2 s2 + ! 2 s2 + ! 2 Luego, como L [ei!t ] = L [cos !t + i sen !t] = L [cos !t] + iL [sen !t] ; resulta s ! L [cos !t] = 2 ; L [sen !t] = 2 : 2 s +! s + !2 L ei!t (s) =

1

=

7. Si recordamos que cosh x =

ex + e 2

x

y que

senh x =

ex

e

x

;

2

obtendremos que 1 2 1 L [senh at] (s) = 2

1

L [cosh at] (s) =

3.3

s

a

+

1 s

a

1 s+a 1 s+a

= =

s s2

a2 a

s2

a2

:

Transformada de una derivada

Si la función f es derivable con continuidad, Z 1 Z 0 0 st st 1 L [f ] (s) = f (t) e dt = f (t) e +s 0 0

1

f (t) e

st

dt = sL [f ] (s)

f (0) : (4)

0

Iterando el procedimiento se pueden tratar derivadas de orden superior. Por ejemplo, si f 2 C 2; L [f 00 ] (s) = sL [f 0 ] (s) = s2 L [f ] (s)

f 0 (0) = s fsL [f ] (s) sf (0) f 0 (0) :

f (0)g

f 0 (0) =

(5)

Esta propiedad más la linealidad hacen de la T de L un instrumento útil para tratar problemas lineales de valores iniciales con coe…cientes constantes. Ejemplos 7

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

1. Consideremos el siguiente PVI 8 00 < y + ay 0 + by = r (t) y (0) = K0 : : 0 y (0) = K1

Transformamos Laplace y, como es costumbre, llamamos con la misma letra pero en mayúsculas a las transformadas. s2 Y

sK0

K1 + asY

aK0 + bY = R (s)

O sea s2 + as + b Y = (s + a) K0 + K1 + R Esta ecuación en Y que no es diferencial, se llama la ecuación subsidiaria del problema. Si llamamos 1 ; Q (s) = 2 s + as + b la ecuación subsidiaria se transforma en Y = [(s + a) K0 + K1 ] Q + RQ:

(6)

En particular, si las condiciones iniciales son homogéneas (K0 = K1 = 0), la T de L de la solución del problema viene dada por Y = RQ: Pensando al problema como una "caja negra" que da una respuesta y ante una entrada r, en transformadas de Laplace Q = Y =R es la razón entre la salida y la entrada. Se la llama función de transferencia y depende sólo de los coe…cientes a y b de la ecuación. El último paso para resolver el problema es hallar y conocida Y: Para eso se necesitaría una inversión de la T de L, lo cual requiere inyectividad de L. Puesto que la T de L se de…ne a través de una integral, dos funciones que di…eran en un conjunto …nito de puntos tendrán la misma transformada. Pero ese es el único caso. Dos funciones con la misma transformada coinciden esencialmente. No tenemos una fórmula de inversión, pero en la práctica la mayoría de las funciones a las que habrá que calcular L 1 serán funciones racionales (mirar el miembro derecho de la ecuación (6)). Como la inversa de una transformación lineal, L 1 es lineal. De modo que por descomposición en fracciones simples el problema de cálculo se reduce a unos pocos casos. 2. Consideremos el siguiente problema: 8 00 y=t < y y (0) = 1 : 0 y (0) = 1

Se corresponde con el problema del ejemplo anterior con a = 0; b = 1: Usando los resultados ya calculados, Y =

1 s+1 + s2 1 s2 (s2

1; K0 = K1 =

1)

que es una función racional. La antitransformada se puede buscar en tablas o con un programa en el ordenador, pero la búsqueda será más e…ciente si primero se 8

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

descompone Y (s) en fracciones simples (partial fractions). Yo estoy usando el Maple que viene acoplado al editor de texto con que escribo (Scienti…c Work Place). s+1 1 1 + s2 (s12 1) = 2(s3 1) 2(s+1) , Is Laplace transform of 23 et t 12 e t s2 1 s2 En conclusión, y = et t + senh t: Una iteración de las fórmulas (4)(5) mostrará que, si Y = L [y] ; n X

L y (n) (s) = sn Y

y (n

j)

(0) sj

1

(7)

j=1

Obsérvese que el segundo término en el miembro de la derecha es un polinomio en s de grado n 1 cuyos coe…cientes están formados con las derivadas de orden n 1 de y en el origen. Un operador lineal de orden n con coe…cientes constantes se fabrica a expensas de un polinomio de grado n; reemplazando las potencias X n por las derivadas de orden n Dn . Si P (X) = X n + an 1 X n 1 + a1 X + a0 es el polinomio, P (D) = n n 1 D + an 1 D + a1 D + a0 es el operador diferencial P (D) (y) = Dn y + an 1 Dn 1 y + = y (n) + an 1 y (n 1) +

+ a1 Dy + a0 y = + a1 y 0 + a0 y:

Si aplicamos (7), la T de L se calcula fácilmente obteniéndose L [P (D) (y)] (s) = P (s)

T (s) ;

donde T (s) es un polinomio de grado n 1 cuyos coe…cientes son función de los datos iniciales y (0) ; :::; y (n) (0) : Un problema lineal de valores iniciales de orden n 8 < P (D) (y) = r (t) :

y (0) = k0 ;

; y (n

1)

(0) = kn

1

se convertirá por transformación de Laplace en Y =

T (s) R (s) + : P (s) P (s)

Resolver el problema se convierte en hallar antitransformadas de funciones, muchas de ellas racionales. Por la linealidad de L 1 ; la antitransformación de funciones racionales se reduce a la de fracciones simples. En las próximas secciones desarrollaremos técnicas útiles en este contexto.

3.4

Traslaciones en t y en s

Traslaciones en s. Nos referimos a funciones calculadas en s a: Dos fórmulas muy sencillas establecen qué cambio en la función f produce una a traslación de su transformada F L [eat f (t)] (s) = F (s L

1

[F (s

a)

a)] (t) = eat f (t) 9

(8)

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

La segunda fórmula es consecuencia de la primera y ésta es un cálculo sencillo: Z 1 Z 1 at st e f (t) e dt = e (s a)t f (t) dt = F (s a) : 0

0

Ejemplos. 1. A partir de las transformadas ya calculadas podemos establecer las siguientes transformadas: f (t) F (s) eat tn

n! (s a)n+1

eat cos !t

s a (s a)2 +! 2

eat sen !t

! (s a)2 +! 2

2. Solución de un problema de valores iniciales asociado a una oscilación armónica amortiguada 8 00 < y + 2y 0 + 5y = 0 y (0) = 2 : 0 y (0) = 4 Transformando Laplace se obtiene s2 Y

2s + 4 + 2 (sY

2) + 5Y = 0 o bien

Y (s2 + 2s + 5) = 2s; de donde Y =

2s (s+1)2 +4

s+1 = 2 (s+1) 2 +4

cos 2t

e

2 (s+1)2 +4

En consecuencia, y = 2e

t

t

sen 2t = e

t

(2 cos 2t

sen 2t) ;

una oscilación armónica amortiguada. Traslaciones en t: A pesar de que la de…nición de L [f ] sólo toma en cuenta los valores f (t) para t 0, la fórmula que de…ne a f puede, y de hecho así es la más de las veces, tener sentido para t < 0. Casi seguramente la transformada de la a-traslación de f no tendrá relación R1 con la transformada de f si la calculamos haciendo 0 f (t a) e st dt, porque estamos involucrando los valores de f en el intervalo ( a; 0) que son ajenos al problema. Por este motivo se impone truncar primero la fórmula que de…ne f multiplicando por una función nula para t < 0 y que valga 1 para t 0. Esta función se llama de salto o escalón unitario, o función de Heaviside: 8 si t 0 < 1 u (t) = 1[0;1) (t) = : : 0 si t < 0 10

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Con este arti…cio, la transformada de una trasladada se realiza sobre la función u (t a) f (t a). Las fórmulas que se obtienen son sencillas: L [u (t L

1

[e

a) f (t

as

a)] (s) = e

F (s) (9)

as

F (s)] = u (t

a) f (t

a)

Como en (8), la segunda es consecuencia de la primera y ésta fruto de un cálculo simple. Con el cambio de variable t a = ; Z 1 Z 1 Z 1 st st f ( ) e s( +a) d = e as F (s) : f (t a) e dt = u (t a) f (t a) e dt = a

0

0

Ejemplos. h 3s i 1. Calcular L 1 e s3 : La idea es calcular la antitransformada de s13 y después usar la segunda de las igualdades (9). Para el primer objetivo se usa el ejemplo 4. en la sección 3.2. 1 2 1 1 L 1 3 (t) = L 1 3 (t) = t2 : s 2 s 2 Luego, e 3s 1 L 1 u (t 3) (t 3)2 : (t) = s3 2 2. Hallar L [f ] para f dada por el siguiente grá…co: y 2

1

t π

2π

3π

4π

−1

Lo primero es escribir una formulación de f usando la función de Heviside. f (t) = 2u (t)

2u (t

) + u (t

Entonces, F (s) =

2e s

2 s

2 ) sen (t

s

+e

2 s

s2

2 )

1 : +1

3. Calcular f (t) si F (s) =

2 s2

2e 2s s2

4e 2s se s + 2 : s s +1

Solución: f (t) = 2t O bien,

2u (t

2) (t

8 < 2t 0 f (t) = :

2)

cos t 11

4u (t

2) + u (t

si 0 < t < 2 si 2 < t < si t >

) cos (t

)

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Un par de ejemplos más con ecuaciones diferenciales obtenidas de circuitos eléctricos. Deberemos recordar las fórmulas: 1 q C

ER = Ri

EC =

EL = Li0

i (t) = q 0 (t)

4. (RL) Encontrar i suponiendo que i (t) = 0 para t < 0 y que se cierra el interruptor para t = 0: El PVI resulta 8 0 < Li + Ri = V0 : : i (0) = 0

R

L

V0 Interruptor

Transformando Laplace obtenemos LsI + RI =

V0 : s

Luego, I=

1 V0 : L s (s + R=L)

Descomposición en fracciones simples da: I=

V0 L

L=R s

L=R s + R=L

=

V0 R

1 s

1 s + R=L

:

Con las técnicas de antitransformación vistas, i=

V0 1 R

5. (LC) Encontrar i (t) con corriente y carga iniciales nulas si 8 si 0 < t < 1 < t v (t) = : 1 si t > 1

e

R t L

C

Suponer L = C = 1

Para plantear el PVI, tenemos en cuenta que L = C = 1, 8 0 < i + q = v (t) = t u (t 1) (t 1) :

i (0) = q (0) = 0

12

L v (t )

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Para transformar Laplace se tendrá en cuenta que i = q 0 =) I = sQ

q (0) =) Q =

Entonces,

s

1 1 e sI + I = s s2 Luego I=

1 s2

e s+

s

=

1 s

1 [I + q (0)] s

:

1 e s 1 = 2 2 s (s + 1) s (s + 1)

e s : s (s2 + 1)

Ahora bien, por descomposición en fracciones simples, 1 1 = + 1) s

s (s2

s2

s : +1

En consecuencia, L

1 (t) = 1 + 1)

1

cos t:

s (s2

Pero L

1

1 (t) = 1 cos t =) L 2 s (s + 1)

e s (t) = u (t s (s2 + 1)

1

1) [1

cos (t

1)] :

En de…nitiva, i (t) = 1 Esto es, i (t) =

3.5

cos t + u (t

8 < 1 :

1) [1

cos (t

1)] :

si 0 < t < 1

cos t

:

cos (t

Impulso unitario. La

1)

si t > 1

cos t

de Dirac

El impulso es la integral de la fuerza con respecto al tiempo. Una fuerza constante aplicada durante un tiempo brevísimo que produzca un impulso unitario deberá ser de magnitud grandísima. La función escalón nos ayudará a escribirla: Z 1 1 f" (t) = fu (t) u (t ")g =) f" (t) dt = 1: " 0 Consideraremos como una función al límite para " ! 0 de esta situación, aunque claramente no hay una función que valga 1 en el 0 y 0 en cualquier otro punto. El modelo matemático correcto requiere entrar en la teoría de las distribuciones. Pero esta función o distribución tendrá un comportamiento bien de…nido dentro de la integral: Z 1 Z 1 f (t) (t) dt = f (0) ; f (t) (t a) dt = f (a) : 0

0

Consideremos la transformada: L [f" ] (s) =

1 "

1 s

e

"s

s 13

=

1

e "s

"s

:

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

De manera que, calculando con la regla de L’Hospital, se "s = 1: "!0 s

lim L [f" ] (s) = lim

"!0

Aceptado que L [ ] (s) = 1 para s > 0, si el impulso unitario se aplica en el instante a, de acuerdo con la fórmula (9) de traslaciones en t, tendremos que L [ (t a)] (s) = e as : Ejemplo Consideremos un sistema masa - resorte amortiguado, con un impulso unitario en el instante t = a (un martillazo). 8 00 < y + 3y 0 + 2y = (t a) y (0) = 0 : 0 y (0) = 0 La ecuación subsidiaria resulta ser

as

s2 + 3s + 2 Y = e

;

Y =

e as : (s + 1) (s + 2)

Descomponiendo en fracciones simples, 1 1 = (s + 1) (s + 2) s+1

1 =L e s+2

t

e

2t

(s) :

Entonces, de acuerdo con la segunda fórmula (9), y=L

1

e as (t) = u (t (s + 1) (s + 2)

a) e

(t a)

e

2(t a)

:

y

t

3.6

Derivación e integración de la transformada

Si la función f cumple la condición de existencia de transformada (Teorema 4), es decir si f 2 M , la derivada de la función F (s) se puede calcular derivando dentro del signo integral. Z Z 1 d 1 0 st F (s) = f (t) e dt = tf (t) e st dt: (10) ds 0 0 Para justi…car esta a…rmación se deberá probar las hipótesis del teorema 2. Dada la acotación jf (t)j M e t ; 14

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

deberemos veri…car las acotaciones del teorema 2 en cada intervalo (c; d) ( ; +1). La R1 convergencia absoluta de 0 f (t) e st dt para cada s 2 (c; d) ; además de ser muy fácil, ya fue vista en el teorema 4. El otro punto es obtener una mayoración uniforme en valor absoluto del integrando en el tercer miembro de (10). s > c implica

y

Z

1

tf (t) e

st

tf (t) e

ct

0

tf (t) e

ct

:

dt = L [t jf (t)j] (c) ;

cuya existencia está garantizada por el corolario del teorema 4. Nótese que derivadas de todos los órdenes son posibles. entonces F 2 C 1 ( ; 1) y

Teorema 6. Si f 2 M

F (n) (s) = ( 1)n L [tn f (t)] (s) : Pero vamos a resaltar el resultado para derivada primera L [tf (t)] (s) = L 1 [F 0 (s)] =

F 0 (s) tf (t)

(11)

Aplicaciones. La aplicación de la primera de las igualdades (11) a las funciones f (t) = cos !t y f (t) = sen !t. ! 2s! d = (12) L [t sen !t] (s) = 2 2 ds s + ! (s2 + ! 2 )2 L [tcos!t] (s) =

d s s2 ! 2 = ds s2 + ! 2 (s2 + ! 2 )2

(13)

Como hemos visto en las aplicaciones a problemas lineales, es deseable saber calcular antitransformadas de las fracciones que aparecen en descomposición enfracciones simples. Los resultados obtenidos (12)(13)sugieren su utilidad para el cálculo de antitransformadas de 1 s s2 ; ; : (s2 + ! 2 )2 (s2 + ! 2 )2 (s2 + ! 2 )2 En este punto hay que recordar que ya sabemos que L

1 1 s2 + ! 2 sen !t (s) = 2 = : ! s + !2 (s2 + ! 2 )2

De (12) sale directamente que L

1

s t = sen !t: 2 2! (s2 + ! 2 )

15

(14)

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Por otra parte, sumando o restando (14) con (13) se resuelven las otras dos s2 ! 2 2s2 s2 + ! 2 + = ) (s2 + ! 2 )2 (s2 + ! 2 )2 (s2 + ! 2 )2 s2 1 1 L 1 = sen !t + tcos!t ; 2 2 ! (s2 + ! 2 ) s2 + ! 2 (s2 + ! 2 )2 L

1

s2 ! 2 2! 2 = ) (s2 + ! 2 )2 (s2 + ! 2 )2 1 1 1 = sen !t 2 2! 2 ! (s2 + ! 2 )

(15)

(16) tcos!t :

Una manera de mirar estos resultados es la siguiente: La segunda fórmula en (11) permite calcular la antitransformada de F 0 cuando se conoce la antitransformada de F . abe la pregunta: ¿Se puede calcular la antitransformada de F cuando Rse conoce la de F 0 ? Hablando rudamente, si F 0 = G, se busca una fórmula para L 1 G : Antes de pensar en las condiciones, la cuenta es así: Si F 0 = L [g] y existe f = L 1 [F ], debería ser F 0 = L [tf (t)]. en consecuencia, el candidato es f (t) = g (t) =t: Para aplicar el resultado anterior se necesita que g (t) =t 2 M : Si g 2 M ; el problema con g (t) =t puede surgir en el origen, no para t grande. Teorema 7. Si g (t) 2 M y limt!0+ jg (t) =tj = ` < 1, si F 0 (s) = G (s) para s > y limx!1 F (x) = 0, entonces L

1

[F ] =

g (t) t

o bien

L

g (t) (s) = t

(17)

F (s)

Demostración: Las dos condiciones sobre g aseguran que g (t) =t 2 M . h i g(t) Entonces, de acuerdo con (11), llamando F1 = L t , tenemos que F10 (s) = h i g(t) L t t (s) = G (s) ; s > :

Consecuentemente, (F + F1 )0 = G G = 0 de donde F + F1 es constante. Por último, ambas funciones tienen límite nulo en el in…nito, F por hipótesis y F1 por ser transformada de una función de clase M (teorema 5 parte 2). Entonces F + F1 = 0, lo que asegura que F (s) = F1 (s) = L

g (t) (s) t

Ejemplo. Encontrar L

1

!2 ln 1 + 2 s

:

Se observa que d !2 ln 1 + 2 ds s

=

s3

2! 2 2! 2 2s = = 2 2 2 2 ! s (s + ! ) s + !2 1 + s2 16

2 : s

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Esta expresión tiene antitransformada conocida. Se sabe que L

1

s2

s = cos !t + !2

y

L

1

1 = 1; s

de donde

2s 2 = 2 (cos !t 2 +! s Es entonces de aplicación el teorema 7 con L

1

s2

F (s) = ln 1 +

!2 s2

1) :

; y g (t) = 2 (cos !t

1) :

Se concluye que L

3.7

1

!2 ln 1 + 2 s

=

2 (1 t

cos !t) :

Convoluciones

Suele ocurrir que debamos antitransformar una función H que es producto de otras dos funciones que sí sabemos antitransformar. Es decir, se busca L 1 [F G] cuando se conocen f = L 1 [F ] y g = L 1 [G] :Indudablemente Z 1 F (s) G (s) = f ( ) e s G (s) d : 0

Si recordamos ahora las fórmulas (9) relativas a traslaciones en t, e s G (s) = L [u (t Entonces Z 1 Z 1 u (t ) g (t ) e ts dtd : f( ) F (s) G (s) = 0

0

Si se puede invertir el orden de integración, cuestión que dejamos pendiente, Z 1 Z 1 ts F (s) G (s) = e f ( ) u (t ) g (t ) d dt = 0 0 Z 1 Z t ts e f ( ) g (t ) d dt = 0

) g (t

(18)

0

Como f y g son localmente integrables, la expresión entre llaves tiene sentido y de…ne una función de t: Se la llama producto de convolución de f con g: Z t (f g) (t) = f ( ) g (t )d (19) 0

Además, si f; g 2 M , jf ( ) g (t )j M e e (t ) = M e t . Luego j(f g) (t)j t M te . Esta acotación permite a…rmar, de acuerdo con la relación (3), que f g 2 M + : Nótese ahora que (18) se puede leer de la siguiente manera: F (s) G (s) = L [(f

g) (t)] (s)

Esto es L (f g) = L (f ) L (g) L 1 (F G) = L 1 (F ) L 17

1

(G)

(20) (21)

)]

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

Por último, las acotaciones realizadas mostraron que las integrales iteradas, aún tomando valor absoluto del integrando, llevan a un valor …nito si se las calcula en el segundo de los órdenes en que fueron consideradas. Esto basta para a…rmar que el cambio de orden es legítimo, de acuerdo con el teorema 3. La operación de convolución recién de…nida tiene las propiedades algebraicas de un producto. La prueba queda como ejercicio. 1. f

g=g f

2. f

(g h) = (f

g) h

3. f

(g + h) = f

g+f

h

Ejemplos. 1. Si f (t) = t y g (t) = cos t; Z t f g (t) = (t

Z

) cos

t

d =t cos d 0 Z t t sen d sen j0

0

= t sen t

Z

t

cos

d =

0

=1

cos t:

0

Esta es una ocasión para veri…car la igualdad (20). s 1 1 = 2 2 s s +1 s (s + 1) 1 s 1 L [t] L [cot s] = 2 2 = : s s +1 s (s2 + 1)

L [1

2. La "función"

cos t] (s) =

también admite convoluciones. Z t f ( ) (t (f ) (t) =

) d = f (t) :

0

Esto es, actúa como unidad para el producto de convolución. Y eso es bien natural ya que la transformada de Laplace convierte convoluciones en productos ordinarios y la unidad del producto de convolución debe ser la antitransformada de la unidad del producto ordinario. 3. Ecuación lineal de segundo orden con coefcientes constantes y condiciones iniciales homogéneas. Sabemos resolver para una entrada r (t) de tipo particular (método de coe…cientes indeterminados). 8 00 < y + ay 0 + by = r (t) :

y (0) = y 0 (0) = 0

Transformando Laplace se obtiene s2 + as + b Y = R (s) Llamando Q (s) = (s2 + as + b) llamando q = L 1 (Q), da

1

: Luego la ecuación subsidiaria es Y = QR, que,

y (t) = (q r) (t) =

Z

0

18

t

r ( ) q (t

)d :

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

4. Un caso particular del ejemplo anterior. Respuesta de un sistema no amortiguado a una onda cuadrada. 8 00 < y + 2y = r (t) = u (t) u (t 1) :

Aquí

y (0) = y 0 (0) = 0

Q (s) =

p 1 1 p ) q (t) = sen 2t s2 + 2 2

Luego, Z t p 1 sen 2 (t y (t) = p )r( )d = 82 0 p p t > ) 0 = 12 1 cos 2t < 12 cos 2 (t = p > 1 : 1 cos p2 (t 1 ) cos 2 (t 1) = 2 2 0

si t < 1 cos

p

si t > 1

2t

y

y

1

t

t 1

2

3

−1

Entrada

3.8

Salida

Funciones Periódicas

Una función p periódica se caracteriza por f (t + p) = f (t) : Para calcular su transformada se parte el intervalo de integración (0; 1) en subintervalos de la longitud del período Z 1 1 Z (k+1)p X st L [f ] (s) = f (t) e dt = f (t) e st dt: 0

kp

k=0

Si en el intervalo [kp; (k + 1) p] hacemos la sustitución t = kp + , usando que por la periodicidad f (kp + ) = f ( ), L [f ] (s) =

1 X k=0

e

kps

Z

p

f ( )e

s

d =

0

Z

0

19

p

f ( )e

s

d

1 X k=0

e

ps k

:

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

La suma in…nita es una serie geométrica, fácil de evaluar. Poniendo sn =

n X

rk ; es claro

k=0

que (r

1) sn = rn+1

1. Si jrj < 1; 1 rn+1 1 = : n!1 r 1 1 r

lim sn = lim

n!1

Por lo tanto, para s > 0; 1 L [f ] (s) = 1 e

ps

Z

p

f ( )e

s

d :

0

Ejemplo. Transformada de Laplace de una onda cuadrada periódica. Supongamos que f está dada por el siguiente grá…co:

y

k

a

t

Se trata de una función de período 2a: Z a Z Z 2a st st e dt f (t) e dt = k =

k 1 s

e

st

dt

=

1

e

a

0

0

2a

e

as 2

k e s

:

Entonces, como 1

e

2as

= 1+e

resulta L [f ] (s) =

k1 e s1+e

20

as

as as

=

as

;

k as tanh : s 2

2as

2e

as

+1 =

Cálculo III 2012

Transformada de Laplace

El grá…co de L [f ] (s) con k = 5 y a = 2 se ve así: y

5

0 0

2.5

5

7.5 s

y = 5s tanh s

3.9

Tabla

1. L fta g = 2. L feat g =

(a+1) sa+1

7.

1 s a

3. L fsen !tg =

! s2 +! 2

4. L fcos !tg =

s s2 +! 2

5. L fsenh atg =

a s2 a2

6. L fcosh atg =

s s2 a2

8.

9.

8 < L feat f (t)g = F (s :

1

:

L

1

a)g = eat f (t)

fF (s

8 < L fu (t fe

a) f (t as

:

L

1

1

a)g = e

F (s)g = u (t

8 < L ftf (t)g =

10. L

21

L

a)

tf (t)

1 L 1 t

F (s)

a) f (t

F 0 (s)

fF 0 (s)g =

fF (s)g =

as

fF 0 (s)g (t)

a)