´ Unidad I, NUMEROS NATURALES Y ENTEROS A continuaci´ on se enuncian las claves de cada pregunta hechas por m´ı (C´esar Ortiz). Con esto, asumo cualquier responsabilidad, enti´endase por si alguna soluci´on est´a errada. Si llegase a pasar esto pido por favor que me lo comuniquen a la brevedad al correo: [email protected]. A continuaci´on de las claves est´a cada pregunta detallada, si tiene alguna duda D´IGAMELO.

1. E 2. B 3. B 4. E 5. B 6. D 7. B 8. C 9. D 10. B 11. B 12. B 13. C 14. A 15. B 16. A 17. A 18. D 19. A 20. A 21. C 22. D 23. A 24. A 25. E

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

1

A E D B D A C B C A C B C B C A C D E A B D A E C

1.

−3 + (−307) = −3 − 307 = −310 2.

( 1 + 5 ) − 32 + 8 : 2 · 2 = 6 − 9 + 4 · 2 =6 − 9 + 8 =5 recordar que en 8 : 2 · 2, se opera de izquierda a derecha, es decir, 8 : 2 · 2 = (8 : 2) · 2 = 4 · 2 = 8 3.

−7 + (−20 : 4) = −7 + (−5) = −12 4. 6 + (−10) · 2 − (−3) + (−5) · (−1) − (−2)2 =6 + (−20) + 3 + 5 − 4

=14 − 24 = − 10 5.

(−3) − (−5) = −3 + 5 =2 6. 2 · (−2) + (5) · −4 + 3 = (2 · (−2)) + ((5) · −4) + 3

= (−4) + (−20) + 3 = −24 + 3 = −21 7. Antes de ver cuales de las expresiones son siempre positivas debemos notar que m2 es siempre positivo, por lo tanto, si m2 · n es negativo n necesariamente es negativo. Con esto en mente: I) m2 · n es negativo, lo dice la hip´otesis. Por lo tanto, no es siempre positivo II) m2 − n es siempre positivo. m2 es positivo y de la hip´otesis n es negativo, por lo tanto, −n es positivo y la suma de positivos (m2 + (−n)) es positivo. III) m2 + n no es siempre positivo. Tomemos m = 1 y n = −4 (recordad que n es siempre negativo). 8. Notemos que el sucesor de n es n + 1 y el sucesor de n + 1 es (n + 1) + 1 = n + 2, por lo tanto, el sucesor del sucesor de n es n + 2. 2

9. Si la diferencia de dos n´ umeros es 2n entonces los n´ umeros los podemos tomar como: 5n y 3n. Sea 3n el menor de estos dos n´ umeros, si le sumamos n a este se tendr´a: 3n + n = 4n. Luego a 5n se le tendr´a que restar n para que sea igual a 4n. 10. Sean 2n, 2n + 2, 2n + 4 un tr´ıo cualquiera de pares consecutivos, con 2n el menor de ellos y 2n + 4 el mayor. Luego la diferencia entre el mayor y el menor de ellos ser´a: (2n + 4) − (2n) = 4. (fij´emonos que no fue necesario usar que su suma es 72). 11. Sean 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tres n´ umeros impares consecutivos cualesquiera. Si su suma es 117 entonces:

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) =117 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 =117 6n + 9 =117 6n =117 − 9 6n =108 n =108 : 6 n =18 como n = 18 entonces el menor de los tres impares es 2n + 1 = 2 · (18) + 1 = 36 + 1 = 37 12. Ver que 18 = 2 · 3 · 3 por lo tanto, los factores primos de 18 son 2 y 3. 13. Ver que de las alternativas s´ olo 0 y 2 cumplen con la relaci´on (m · m = m + m), pero el cero no es natural. 14. (Rcdo: un n´ umero entero es primo si es distinto de 1 y es divisible s´olo por 1 y por si mismo) Notar que: I) 2 · 5 + 5 + 2 = 17 un n´ umero primo. II) 3 · 5 + 5 + 2 = 22 n´ umero divisible por 2, por lo tanto, no primo. III) 4 · 45 + 5 + 2 = 187 n´ umero divisible por 11, por lo tanto, no primo. 15. Si b es m´ ultiplo de a entonces b = an, para alg´ un n entero. Luego el m´ınimo com´ un m´ ultiplo entre a y b equivale a encontrar el mcm( a, an) = an = b. 16. Por definici´ on del algoritmo de la divisi´on (p´agina 10). p es divisible por q si y s´olo si q es divisor de p si y s´ olo si p = n · q. 17. Si 64 es divisor de n, por el ejercicio anterior se tiene n = 64 · p, para alg´ un p entero. Luego n = 16 · 4 · p = 16 · (4 · p) Y la u ´ltima igualdad quiere decir que 16 es un divisor de n (Nuevamente por el ejercicio anterior). 18. Notar que los divisores de 3 son: {1, 3}. Liego la suma de los divisores de 3 es: x = 1 + 3 = 4. Los divisores de doce son: {1, 2, 3, 4, 6, 12} y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Ahora, dado que 28 = 7 · 4 = 7 · x 3

19. Sea A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5}. La suma de estos seis enteros consecutivos es 6 · n + 15 = −87 resolviendo la ecuaci´on para n obtenemos que n = −17 y ahora podemos tener los n´ umeros consecutivos, estos ser´an A = {−17, −16, −15, −14, −13, −12} de los cuales −11 no pertenece al conjunto (−11 ∈ / A). 20. Sean 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tres impares consecutivos, su suma es: 6n + 9 = 3 · (2n + 3), por lo tanto, por el ejercicio 16. 6n + 9 es divisible por 3, es decir, la suma de los tres impares consecutivos es siempre divisible por 3. 21. Sean 6n y (6n + 6) dos m´ ultiplos consecutivos de 6, su suma es: 12n + 6 = 222 resolviendo esta ecuaci´on para n se tiene n = 18 por lo tanto el m´ ultiplo mayor es 6 · (18) + 6 = 114 y luego el sucesor de 114 es 114 + 1 = 115. 22. Recordar que un n´ umero RACIONAL es un cuadrado perfecto si puede expresarse como el cuadrado de un n´ umero RACIONAL. Es decir, si x es un cuadrado perfecto, entonces x = y2 , donde x e y son n´ umeros racionales. Ejemplo de cuadrados perfectos: 4 = 22 25 =52 0, 36 =(0, 6)2  2 1 1 = 81 9 Notar que 5 no es un cuadrado perfecto pues no puede expresar como el cuadrado de ning´ un n´ umero RACIONAL. Luego en el problema se tiene que 0, 10 no es un cuadrado perfecto. 23. Dado que los tres primeros n´ umeros naturales son: 1, 2 y 3, entonces su suma es 1 + 2 + 3 = 6. 24. Sean 2 · n + 1 y 2 · p + 1, con n y p enteros, dos n´ umeros impares. Su suma es 2 · n + 2 · p + 2 = 2 · (n + p + 1) y por lo visto en el ejercicio 16 se tiene que la suma de dos impares siempre es divisible por 2. 25. Recordar que: par + par = par par + impar = impar impar + impar = par par · par = par par · impar = par impar · impar =impar Con esto en mente, si a es par y b impar entonces: I) 2a + b + 1 = ( par · par ) + impar + impar = par + impar + impar = par II) a + b + 1 = par + impar + impar = par III) a + 2b = par + ( par · impar ) = par + par = par

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26. Sean 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8 cinco pares consecutivos cualesquiera, si su suma es cero entonces: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 0 si resolvemos la ecuaci´ on para n se obtiene que n = −2. Luego el menor de ellos es 2n = 2 · (−2) = −4 y el cuadrado de este es 16. 27. El sucesor de 3 · (n − 5) es: 3 · (n − 5) + 1 = 3 · n − 3 · (−5) + 1 = 3n − 15 + 1 = 3n − 14. 28. Notar que si n − 1 es un n´ umero par, entonces su sucesor (n − 1) + 1 = n es un n´ umero impar, con esto podemos ver que: I) n + 2 = impar + par = impar II) 3n + 1 = impar · impar + impar = par III) 2n + 1 = par · impar + impar = impar 29. Notar que los m´ ultiplos de 3 son de la forma 3n y los m´ ultiplos de 6 son de la forma 6m, donde n y m son n´ umeros naturales cualquiera. Luego podemos ver que los m´ ultiplos de 3 son pares e impares, sin embargo los m´ ultiplos de 6 son siempre pares (si no lo ve PREGUNTEMELO) de esta forma: I) a + b = a + par, que no es siempre un n´ umero impar, pues a que es un m´ ultiplo de 3 puede ser par. (Tomar a = 6 y b = 6 como contraejemplo). II) a · b = a · par esta expresi´ on es siempre par, para cualquier a m´ ultiplo de 3 par o impar. III) (b : a) no es siempre m´ ultiplo de 2 (Tomar b = 6 y a = 6 como contraejemplo. Con esto b : a = 1 que no es! m´ ultiplo de 2) 30. I) Notar que 215 − 25 = 25 (210 − 1), luego como 210 = 1024 se tendr´a 210 − 1 = 1023 divisible por 3 II) un simple c´alculo demuestra que 25 = 32 y 1023 = 31 · 32, por lo tanto, 215 − 25 = 31 · 32 · 33 III) Dado que 210 divide a 215 , pero no a −25 , entonces no dividir´a a la suma (215 − 25 ) de estos n´ umeros. 31. Dado que mcm(2, 3, 4) = 12 y mcm( a2 , a3 , a4 ) = a4 entonces el mcm(2a2 , 4a3 , 3a4 ) = 12a4 32. I) El mcm(m, n) no es necesariamente m · n. Tomar n = 3 y m = 9. II) El MCD(m, n) no es necesariamente n. Tomar n = 3 y m = 2. III) S´olo ser´a primo cuando m = 1. 33. S´olo recordar que para encontrar el mcm entre cantidades expresadas en sus factores primos primero vemos si hay factores comunes (entre ambos n´ umeros), si los hay se toma el factor primo elevado a su mayor exponente y se realiza el producto de estos con los dem´as que no son comunes. Y el MCD es el producto de todos los factores primos comunes (que comparten ambos n´ umeros) elevados a su menor exponente. 34. Por el recuerdo en el ejercicio anterior vemos que mcm( A, B, C ) = 23 · 32 · 52 y MCD( A, B, C ) = 2 · 3. Luego mcm( A, B, C )·MCD( A, B, C ) = 23 · 32 · 52 · 2 · 3 = 24 · 33 · 52 35. Como PARTEN JUNTOS los ciclistas, debemos saber que en alg´ un tiempo m´as adelante SIEMPRE podr´an encontrarse nuevamente y este tiempo ser´a el m´ınimo m´ ultiplo que tengan en com´ un los tiempos que da la vuelta cada uno, es decir, mcm(120, 140, 180) = 2520 36. Lo que se pide aqu´ı es dividir cada uno de estos items en cantidades iguales, es decir, buscar un divisor com´ un entre ellos. Pero adem´as se pide repartir en la MAXIMA cantidad de nios. Es decir debemos encontrar el m´aximo com´ un divisor entre los tres n´ umeros. MCD(180, 240, 360) = 60 5

37. Dado que el m´aximo alcanzado es 9 y el m´ınimo es −3 (cifras bajo cero se denotan con un signo negativo). La variacion fue V = 9 − (−3) = 9 + 3 = 12 38. Recordar que cualquier m´ ultiplo de un entero k est´a representado como kn, luego un m´ ultiplo consecutivo est´a dado por k(n + 1), etc. Por lo tanto, enteros consecutivos de k ser´an: kn, k (n + 1), k(n + 2), k (n + 3), etc. 39. Si m = −7 m − |m| + | − m| = −7 − | − 7| + | − (−7)| = −7 − 7 + 7 = −7 40. Si m < n entonces m − n < 0 luego |m − n| = −(m − n) = −m + n = n − m, por la definici´ on del valor absoluto (p´agina 12 libro). 41. a = | − 5| = 5, b = (−3)2 = 9, c = −| − 5| = −5 y d = −32 = −9, entonces

| a + b| − |c + d| = |5 + 9| − |(−5) + (−9)| = |14| − | − 14| = 14 − 14 = 0 42. Notar que si x < 0 entonces − x > 0, luego I) Falso, | x | = − x II) Verdadero − x > 0, cierto por hip´otesis. III) Falso, | − x | = x, − x ES POSITIVO. IV) Falso. Tomar x = 2 para ver que no se cumple. 43. Notar que si a < b entonces a − b < 0 y 0 < b − a, luego 2| a − b| − 3|b − a| = 2(−( a − b)) − 3(b − a) 2| a − b | − 3| b − a | = 2( b − a ) − 3( b − a ) 2| a − b | − 3| b − a | = −1( b − a ) 2| a − b | − 3| b − a | = a − b 44. Notar que | − x | = | x |, para todo x. Luego

| a − b| − |b − a| = | a − b| − | − ( a − b)| | a − b| − |b − a| = | a − b| − | a − b| | a − b| − |b − a| = 0 45. Dado que a y b son dos enteros consecutivos con a < b se tiene que b = a + 1. Luego: I) es verdadero : b − a = ( a + 1) − a = 1 II) no es cierto. Tomar a = 1 y b = 2. III) no es cierto. Tomar a = 2 y b = 1. 46. Dado que d > c esto es equivalente a c < d, luego se tiene a < b < 0 < c < d y este orden puede verse en la figura. 47. Ver que a < 0 y a > −b, es decir, −b < a < 0, de lo u ´ltimo se puede concluir que −b < 0 por lo tanto 0 < b. Ahora: I) Verdadero. Como a < 0 y b > 0 entonces a < b y luego − a > −b. II) Falso. 0 < b. III) Verdadero. a > −b es equivalente a: − a < b 6

48. I) Falso. 23 = − 32 < − 43 = II) Verdadero. III) Verdadero.

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49. Queremos ver si b es un divisor de 2a, es decir, si 2a = bp, para alg´ un p. (1) si b es un m´ ultiplo de a no tenemos necesariamente la proposici´on. Tome como contraejemplo b = 9 y a = 3. (2) Si 2a + 2 es un m´ ultiplo de b no se tiene la proposici´on. Tome como contraejemplo b = 4 y a = 3. (1) y (2) Esto es a, b enteros positivos, b m´ ultiplo de a y 2a + 2 m´ ultiplo de b. Tampoco podemos afirmar que b divide (o es un divisor) a 2a. Tomar a = 2 y b = 6. (1) ´o (2) Esta opci´ on s´ olo es v´alida cuando (1) y (2) satisfacen por si solas la afirmaci´on. 50. (1) m y n son naturales consecutivos. Esta informaci´on es escasa, pues no sabemos nada de m. (2) m es impar. Nuevamente tenemos esta informaci´on incompleta, no se relaciona con n. (1) y (2) Ac´a si podemos afirmar que n es par, pues si m es impar y n y m son consecutivos, n es el sucesor o antecesor de m, es decir, es necesariamente par.

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