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Cap´ıtulo 2
Espacios M´etricos 2.1 Distancias y espacios m´etricos
Definici´on 2.1.1 (Distancia). Dado un conjunto , una distancia es una aplicaci o´ n que a cada par le asocia un n´umero real y que cumple los siguientes condiciones:
. 2. si, y s´olo si (separaci´on). 3. para todo ! (simetr´ıa). 4. " $#%&' (#) para todo $#* 1.
(desigualdad triangular).
Definici´on 2.1.2 (Espacio m´etrico). Se llama espacio m´etrico a un par conjunto y es una distancia definida en .
$+ , donde
es un
Ejemplo 2.1.3.
,- . /
0 21 31
(1) El espacio m´etrico de los n´umeros reales con la m´etrica del valor absoluto de la diferencia, es decir definida como . (2) El espacio m´etrico discreto. Sea si y si
un conjunto no vac´ıo cualquiera; si . es un espacio m´etrico.
- 65 8 7 $+
4
definimos
9
Antes de continuar con el siguiente, e importante ejemplo, conviene establecer una interesante relaci´on: 11
´ ´ CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS
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Proposici´on 2.1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si reales cualesquiera, entonces:
y
n´umeros
el Demostraci´on. Dado cualquier se verifica que . Si desarrollamos tomando cuadrado y agrupamos tendremos que . y En estos t´erminos, lo que queremos probar es que . Si todos los y por tanto tambi´en todos los . Si podemos poner "! $# $%&
"
,
& & ,
"
para todo anterior
7 " & & ,
8
"
) *&
&
y si lo sustituimos en la expresi´on (') "
. El segundo miembro es m´ınimo si
Ejemplo 2.1.5. (1) Sea
*&
(')
, e * se definen las aplicaciones: *1 1 &21 1 & +*, -- 0 .0/13 $1 1 1 1 2
, y para los puntos
--
En el gr´afico anterior puede verse como es cada una de estas distancias. Las tres son generalizaciones de la m´etrica del valor absoluto de la diferencia, y las tres tienen nombre propio: se llama la m´etrica del taxi, se llama la m´etrica eucl´ıdea o usual y 3- se llama la m´etrica del ajedrez o del m´aximo.
´ 2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS METRICOS
(2) El ejemplo anterior se puede generalizar a se define:
- 0
. Sean
13
e
1 1
* 0
+*, -- $ 1 1 5
La prueba de que y - son distancias es una mera comprobaci´on. Lo mismo sucede con las propiedades (1) y (2); no as´ı con la desigualdad triangular en la que hay que utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ve´amoslo. Sean
$#*
y consideremos
( $#%&' (#)
# &
#
(# &
&
(#
# (#
aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al u´ ltimo sumando de la expresi´on anterior, podemos continuar
# &
( # &
# (#
# & (# &) # (#
# 3& (#
(
Las tres m´etricas se pueden considerar generalizaciones de la m´etrica del valor absoluto en en el Ejemplo 1.0.3(1)
# 21 # # 1
(3) El conjunto de los n´umeros complejos con la m´etrica del m´odulo de la diferencia con , es un espacio m´etrico.
# $#
vista
(#
´ ´ CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS
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(de la palabra inglesa bounded que significa acotada), el conjunto de . Dadas dos funciones (que son los puntos de este espacio), -- ) 1 1
(4) Sea funciones acotadas , sea
!
La siguiente gr´afica nos da una idea de c´omo es esta distancia.
.. .. .. .. .. .. .. .. .
$-
El par uniforme.
.. .. .. .. .. .. . .
-
es un espacio m´etrico y la m´etrica se denomina m´etrica del supremo o m´etrica
En concreto podemos destacar por su inter´es el espacio de las sucesiones acotadas sucesi´on acotada acotada . con la distancia (5) El espacio continua de las funciones reales continuas sobre un intervalo cerrado con la distancia
- )0
* 1 1
1 1
es tambi´en un espacio m´etrico.
... .. .. .. .. .. .. ..
... .. .. .. .. .. .
-
(6) Las siguientes m´etricas se pueden definir en el producto de dos espacios m´etricos. Sean , donde : y ; se define para
$
6 * ! 0 3&4
$ +
´ 2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS METRICOS
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( &' +*, -- $ $ Se ve claramente que se trata de una construcci´ on similar a la seguida en el ejemplo 1.0.5(1) para
9 la construcci´on de tres distancias en ; y juegan el papel de 1+1 .
$+ un espacio m´etrico, entonces se verifica 1 $#% (#) 1+" para todo $# Demostraci´on. Aplicando la desigualdad triangular tenemos $#%." & $#% 3&' (#) , por tanto $#% (#) " De forma an´aloga podemos poner (#) " (#) & $#% & y tendremos que " $#% (#) . Proposici´on 2.1.6. Sea
Si unimos las dos desigualdades obtenidas en los p´arrafos anteriores
" $#% (#) "
$+
2
un subcon 6 . El par $ recibe el nombre
Definici´on 2.1.7 (Subespacio m´etrico). Sea un espacio m´etrico y sea junto de . Sea tambi´en , definida por es un espacio m´etrico y se llama un subespacio m´etrico de , y la m´etrica de m´etrica inducida por .
Si , cuando se hable de como de un espacio m´etrico, siempre se estar´a suponiendo que , salvo que se diga otra cosa en su m´etrica es la m´etrica inducida por la m´etrica eucl´ıdea de contra. En particular esto se aplica a los diferentes tipos de intervalos de n´umeros reales. Ejemplo 2.1.8.
+ 5 con la m´etrica inducida por el valor absoluto es subespacio m´etrico de .
(2) con la m´etrica inducida por - es subespacio m´etrico de .
(1)
9 de las sucesiones reales con l´ımite 0, es subespacio m´etrico de - . Definici´on 2.1.9 (Distancia de un punto a un conjunto). Sea $+ un espacio m e´ trico, sea un . Definimos la distancia de un punto al subconjunto como subconjunto (3) El espacio
que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ´ınfimo, est´a acotado inferiormente por 0.
´ ´ CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS
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y dos subconjuntos de . Se define la
Definici´on 2.1.10 (Distancia entre conjuntos). Sean distancia del subconjunto al subconjunto como
*
Ejemplo 2.1.11. (1) Si
es la m´etrica discreta sobre
,
y
, entonces
0 5 sisi * 5 sisi 2 7
31 y sea 5 , entonces: (2) Consideremos con la distancia usual 21 1 1% 4 5 ; 5 1 5 1 4 5 ; (+ 1 1% 4 5 65 . Evidentemente, si , entonces . El rec´ıproco no es cierto, como muestra este ejemplo.
$ y & ",5 y 2 & * . (3) Consideremos 5 . Una gr´afica ayuda a realizar este sencillo c´alculo: la distancia que Entonces * queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es y di´ametro del c´ırculo que es 1.
5
...................... .. .. .. .
5
9
2.2. BOLAS
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2.2 Bolas Los subconjuntos, quiz´as m´as importantes, de un espacio m´etrico, que vamos a estudiar a continuaci´on, son las bolas abiertas; que dar´an origen a un concepto fundamental: el de conjunto abierto. Se trata de una generalizaci´on del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto en .
$+
Definici´on 2.2.1 (Bola abierta). Sea un espacio m´etrico y sean ,y real. Definimos la bola abierta en , centrada en y de radio como el conjunto
-
un n´umero
Si se necesita especificar con qu´e m´etrica se est´a trabajando, se representara´ la bola abierta por .
11 la bola abierta de centro y radio es el intervalo abierto de extremos &
1 1 & -
$ , tenemos que (2) La palabra bola debe su origen al caso eucl´ıdeo. En
&4 - Ejemplo 2.2.2. (1) En
es el interior del c´ırculo de radio
centrado en .
$ - $#% &8 &'#
, En el espacio esfera s´olida de radio centrada en .
$ *
y
es el interior de la bola o
Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de una bola esf´erica. En - , la bola es el interior del cuadrado de centro y de lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud .
$
- (+
- (+ ( + (+ $ $
(+$
con la m´etrica , la bola En es el interior del cuadrado centrado en el punto y con v´ertices en los puntos . Con la gr´afica siguiente nos podemos hacer una idea de c´omo son estas tres bolas, con centro 0 y radio en el plano . 1
5
1
1
5 -- (+ 5
5
1
5 (+ 5
65
5
1 ... ..... ........ . . . . ..... . ..... ..... . . . ... ........ .....1 ..... . . . .... ... ..... ........ ..........
5 (+ 5
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´ ´ CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS
+ 5 -
(3) En - , es el conjunto de todas las funciones continuas gr´afica se encuentra entre las gr´aficas de las funciones y . (4) En el espacio m´etrico discreto
+ 5 2
$ se tiene que si ",5 - si 5
5 5 0 ( + 5
(5) Sea con la m´etrica del valor absoluto , mientras que para la m´etrica inducida en ,
(+
&
en
en . Entonces, en , .
+ 5 , cuya
5 5 9
Las bolas abiertas en un subespacio m´etrico son la intersecci´on con el subespacio de la bola del espacio total con el mismo centro y radio:
$+
$
Proposici´on 2.2.3 (Bolas en subespacios m´etricos). Sea un espacio m´etrico, y sea un subconjunto de ; entonces las bolas abiertas del subespacio m e´ trico son la intersecci´on de las correspondientes bolas en el espacio total con el subconjunto. Es decir,
2.3 Abiertos. Propiedades Uno de los objetivos de este curso es llegar al concepto de espacio topol´ogico por medio del estudio de los espacios m´etricos, que son m´as naturales, y de sus propiedades. Empezaremos con una propiedad caracter´ıstica de las bolas abiertas, que nos va a dar lugar a introducir una primera definici´on de conjunto abierto; en este caso, abierto en un espacio m´etrico.
- una bola abierta en un espacio m´etrico $+ , y sea , tal que - - .
Lema 2.3.1. Sea entonces existe un
.......... ... ..
- - - #* - $#% " &' $#% " 3& 3&
Demostraci´on. Basta tomar de modo que . El n´umero se puede escoger as´ı ya que, como , entonces . Entonces , puesto que si $ entonces, por la desigualdad triangular,
2.3. ABIERTOS. PROPIEDADES Por tanto,
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# - .
$+ es un espacio me´trico y - - .
Teorema 2.3.2 (Propiedad de Hausdorff). Si puntos distintos, existen tales que
son dos
Demostraci´on. (Ejercicio) Este resultado permite plantearse la definici´on de un tipo de subconjuntos que verifican esta condici´on, es decir, de aquellos subconjuntos tales que, para cualquier punto del subconjunto, existe una bola abierta centrada en e´ l y totalmente contenida en el subconjunto. Ser´an los conjuntos abiertos.
$+ 4
-
Definici´on 2.3.3 (Conjunto abierto). Sea un espacio m´etrico. Diremos que un subconjunto es abierto en si para cada existe un tal que . Observemos que el n´umero real depende del punto , es decir, para diferentes ser a´ n necesarios diferentes radios .
$+
Corolario 2.3.4. Cualquier bola abierta en un espacio m e´ trico
$+ es un abierto
Ejemplo 2.3.5. (1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, incluso los intervalos abiertos no acotados, es en subconjunto abierto de la recta real con la m´etrica del valor absoluto de la diferencia. Tambi´en lo son las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo los intervalos , y no lo son. (2) Un conjunto abierto no tiene por qu´e ser una bola abierta. As´ı el subconjunto de :
. 1 1,5 1 31
no es una bola abierta de para la m´etrica eucl´ıdea, y sin embargo s´ı que es un subconjunto abierto. Sin embargo el conjunto siguiente no es abierto
2
1 1,5 1 31%"
(3) En la m´etrica discreta, cualquier subconjunto es abierto. (4) La condici´on de ser abierto depende de la m´etrica. El subconjunto m´etrica discreta, pero no lo es para la m´etrica eucl´ıdea.
es abierto para la
(5) La condici´on de ser abierto tambi´en depende del conjunto sobre el que se define la m´etrica. As´ı, el intervalo es abierto en , pero no lo es en el espacio total con la m´etrica del valor absoluto.
+ 5
Teorema 2.3.6. Sea 1.
y
+ $
$+ un espacio m´etrico, entonces se verifican:
son abiertos.
9
20
2. Si 3. Si
´ ´ CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS
0 es una familia de abiertos en , entonces es un abierto. 65 % es una familia finita de abiertos, entonces es un abierto.
Demostraci´o n. (1) Es claro
- (3) Si (2) Si
, existir´a un tal que ; como es abierto, para alg´un , lo que quiere decir que la uni´on es un conjunto abierto.
ser´a
5 % y como cada es abierto, cada de centro , es decir, para cada 5 % - tomamos . 5 % tendremos que 65 % y por tanto - .
, entonces para todo uno de estos conjuntos debe contener una bola existir´a un tal que . Si para todo
- -
Ejemplo 2.3.7.
131
9
La intersecci´ on arbitraria de abiertos no es, en general un abierto. la familia de Si consideramos abiertos en , su intersecci´on es , que no es abierto.
Algunas de las propiedades e ideas m´as importantes que abordaremos y, que de hecho, ya se est´an abordando en an´alisis, necesitan del estudio de lo que ocurre en un punto y, m´as en concreto, en las cercan´ıas, en los alrededores de un punto; as´ı sucede con la continuidad, con la convergencia,... Necesitamos realizar un estudio local. Vamos a ver algunos conceptos que facilitar´an dicho estudio.
$+
-
Definici´on 2.3.8 (Entorno). Sea un espacio m´etrico, tal que Diremos que es un entorno de si existe un
un subconjunto y .
Ejemplo 2.3.9. (1) Una bola abierta en un espacio m´etrico, es entorno de todos sus puntos. En concreto, en la m´etrica usual, un intervalo abierto, es entorno de todos sus puntos.
.
con
9 + es un entorno del punto 5 , pero no lo es del punto . Proposici´on 2.3.10. Un subconjunto de un espacio m´etrico $+ es abierto si y s´olo si es
(2) El intervalo
entorno de todos sus puntos. Demostraci´on. (Ejercicio)
2.4 Cerrados Tan importantes como los abiertos, son sus complementarios, los llamaremos cerrados.
2.4. CERRADOS
$+
Definici´on 2.4.1 (Cerrado). Sea un espacio m´etrico. Diremos que un subconjunto es cerrado en si su complementario es un subconjunto abierto en
$+
21
$+ .
Ejemplo 2.4.2.
&
En , con la m´etrica usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados; tambi´en lo son las semirrectas cerradas o . No lo son los intervalos de la forma , o .
Proposici´on 2.4.3. Un subconjunto de un espacio m´etrico todo existe un tal que $ .
Si Demostraci´on. ' ( , existe
- . -
es cerrado quiere decir que tal que , es decir,
Si para todo ( ), existe entonces es abierto, luego es cerrado.
9
$+ es un cerrado si y s´olo si para
es abierto, por tanto, para todo
- $, tal que - . , entonces -
,
Ejemplo 2.4.4.
$ , el conjunto . 1 1 5 1 31)" no es cerrado y
1 1%",5 1 31+" , s´ı lo es.
$ , cualquier recta es un conjunto cerrado. 9 (2) En Definici´on 2.4.5. Sea $+ un espacio m´etrico, sea , y n´umero real. Llamaremos (1) En
bola cerrada de centro
y radio al conjunto
"
Las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas. Proposici´on 2.4.6. En un espacio m´etrico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados Demostraci´on. (Ejercicio) Teorema 2.4.7. Sea 1.
y
2. Si
3. Si
$+ un espacio m´etrico, entonces se verifican:
son cerrados.
es una familia de cerrados en , entonces es un cerrado. 65 % es una familia finita de cerrados, entonces es un cerrado.
Demostraci´on. Se trata de aplicar las leyes de Morgan. (Ejercicio)
´ ´ CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS
22 Ejemplo 2.4.8.
+ 5 3
(1) La uni´ on arbitrario de cerrados no es, necesariamente un cerrado. Consideremos la familia de intervalos cerrados en ; su intersecci´ on
+ 5 5 + 5
no es cerrado. (2) En la m´etrica discreta cualquier subconjunto es cerrado. (3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo eucl´ıdea.
+ 5
con la m´etrica
9
(4) Tambi´en es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo, con la m´etrica discreta, cualquier subconjunto es a la vez abierto y cerrado.
2 $+ un espacio m´etrico y y tal que - .
Definici´on 2.4.9. Sea acotado si eixten
. Diremos que
es un subconjunto
Ejemplo 2.4.10. (1) (2)
con la m´etrica eucl´ıdea es un espacio m´etrico no acotado.
con la m´etrica discreta es un espacio m´etrico acotado. (3) Los subespacios , y de con la m´etrica eucl´ıdea son subespacios m´etricos acotados. El subespacio no es acotado. (4) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado.
5
5 5 5&
$+
Definici´on 2.4.11 (Di´ametro de un conjunto). Sea un espacio m´etrico y subconjunto acotado. Definimos el di a´ metro de , y se representa por como
Ejemplo 2.4.12.
0
5
un
5 y 5 de
(1) Los di´ametros de los subconjuntos , respectivamente , y .
9
con la m´etrica usual son
5 5 + 5 de es un subconjunto acotado para cada una de las tres m´etricas (2) El subespacio + 5 , y - . Sus di´ ametros para cada una de estas tres m´etricas son, respectivamente, , y 5 9 .