5.

Áreas bajo gráficas de funciones

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

190

1.

Área bajo una gráfica

2.

Primitivas de una función

3.

Relación entre áreas y primitivas

4.

Cálculo de áreas

5.

Cálculo de primitivas

6.

Aplicaciones de las integrales

Áreas bajo gráficas de funciones

1.- ÁREA BAJO UNA GRÁFICA  UN VIAJE EN TREN Un tren que sale de una estación aumenta gradualmente su velocidad de tal manera que al cabo de 10 minutos el velocímetro señala 120km/h. Después y durante media hora se mantiene a esta velocidad. Por último comienza a disminuir gradualmente la velocidad para parar al cabo de 5 minutos. La gráfica correspondiente a esta situación es la siguiente:

a) ¿Qué representa el área rayada ?. Calcúlala. b) ¿Qué representan las áreas de los dos triángulos de la gráfica ?. Calcúlalas. c) ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones ?. a) El área rayada ( base  altura = velocidad  tiempo = espacio) representa la distancia recorrida por el tren cuando viaja a velocidad constante. Dicha distancia es: 2(40 10)=2 x 30=60 km. b) El área del primer triángulo representa la distancia recorrida por el tren cuando está base  altura 10  2   10 km, mientras que el área del segundo acelerando y es igual a 2 2 triángulo representa la distancia recorrida por el tren cuando esta frenando y es igual a base  altura 5  2   5 km. 2 2 c) La distancia entre las dos estaciones es el área total bajo la gráfica, es decir: 10+60+5=75 km.

191

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

 LLUVIAS 3

El número de m de agua precipitados mensualmente durante el año 1975 en las provincias de Castellón y Valencia, están indicados en la gráfica que sigue:

a) ¿Qué representa el área de todos los rectángulos juntos ?. ¿Y la suma de las áreas de los rectángulos comprendidos entre los meses de febrero y abril, ambos inclusive ?. b) Calcula las áreas anteriores. 3

a) El área total representa el número total de m de agua precipitados durante todo el año 1975, mientras que la suma de las áreas de los rectángulos entre febrero y abril representa la precipitación total de lluvia en esos meses. b) La precipitación total de lluvia durante el año 1975 es: 0,8+2,8+5+3+4,5+3,2+0,2+1,5+2,2+1,2+1,8+5,5 =31,7 miles de millones de m La precipitación total de lluvia entre los meses de febrero y abril es: 3

2,8+5+3=10,8 miles de millones de m .  FUNCIÓN ESCALONADA Calcula el área bajo la función escalonada de la siguiente gráfica:

El área buscada es la suma de las áreas de los cuatro rectángulos, es decir: S=2  1 + 1  2 + 1  3 + 1  1= 2 + 2 + 3 + 1 = 8 unidades cuadradas.

192

3

Áreas bajo gráficas de funciones

 ÁREA BAJO UNA CURVA

Sea y = f(x) una función continúa y positiva con el intervalo [a, b]. Al área contenida entre la gráfica de dicha función, el eje X y dos segmentos verticales por a y b, le llamaremos integral definida de la función f entre a y b y la expresamos de la siguiente forma: S=

b

 a f(x)

Expresa por medio de una integral definida las siguientes áreas y calcúlalas lo más aproximadamente que puedas:

y x

y   x 2  4x

193

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

SOLUCIONES :

A=

6

0 3  6  3  18 unidades cuadradas

Se calcula como el área de un rectángulo de base 6 y altura 3.

3 6 2  6  9  15 u 2 Se calcula como el área de un trapecio o descomponiendo en un rectángulo y un triángulo. B=

6

1 

0 1+ 2 x   6 

Para hallar las dos últimas C y D, tendrás que hacer uso de algún método de aproximación. Para aproximar el área bajo una gráfica puedes sustituir ésta por escaleras de rectángulos. Obtienes así dos aproximaciones del área, una por defecto y otra por exceso.

El área que deseamos calcular, S, estará comprendida entre D y E, de manera que una buena aproximación será la media aritmética de las dos : S

D+ E 2

Por otra parte, esta estimación dista del valor real ED del área S, menos que , como puedes 2 observar en el diagrama :

De manera que la imprecisión máxima al tomar como estimación del área S la media D+ E ED aritmética es: I= 2 2 Este procedimiento se conoce como método de los rectángulos.

194

Áreas bajo gráficas de funciones

También podemos aproximar el área bajo una gráfica sustituyendo la gráfica por una escalera de trapecios. Esta aproximación “parece” más buena que la dada por el método de los rectángulos. Sin embargo presenta el inconveniente de no dar cotas de las imprecisiones correspondientes. Este método de aproximación se conoce como método de los trapecios. A pesar de que el método de los trapecios parece mejor que el de los rectángulos no es así: La media aritmética que se toma como estimación en el método de los rectángulos coincide precisamente con la estimación dada por el método de los trapecios. ¿Por qué ?. Así, pues, los trapecios dan una estimación del área bajo la gráfica y los rectángulos dan las imprecisiones máximas de esta estimación. Utilizando el método combinado de rectángulos y trapecios es posible calcular aproximadamente cualquier área con la precisión deseada. Cálculo del área C=

4

0

x :

a) Con 4 subintervalos. Defecto :

D= 1  1  2  1  3  1  1  2  3

Exceso :

E= 1  1  2  1  3  1  4  1 Estimación : S 

Imprecisión : I=

D+ E  2  2  3  5,1462644 2

ED 2  1 2 2

b) Con 8 subintervalos.

D=0,5 E=0,5

 0,5 

 0,5 

1  1,5  2  2,5  3  3,5



1  1,5  2  2,5  3  3,5  4

 195

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Por lo tanto, la estimación del área es: S





D+ E  0,5 2  0,5  1,5  2  2,5  3  3,5  5,2650418 2

ED 16  0,5 . Valor exacto: C=  5,333333 2 3 Observa que al aumentar el número de subintervalos, la estimación obtenida es mejor, es decir se acerca más al valor exacto y la imprecisión disminuye cada vez más, es decir tiende a cero. Imprecisión : I=

Cálculo del área D=

0  x 4

2

 4x



a) Con 4 subintervalos D=1f(1)+1f(3)=6 E=1f(1)+1f(2)+1f(2)+1f(3)=14 S

I= 2

D+ E  f(1)+ f(2)+ f(3)= 10 2

ED  f(2)= 4 2

2

2

Hemos tenido en cuenta que f(1)=1 +4=3 ; f(2)=2 +42=4 ; f(3)=3 +43=3 b) Con 8 subintervalos.

D=0,5  f(0,5)+ f(1)+ f(1,5)+ f(1,5)+ f(3)+ f(3,5)  8,5 E=0,5  f(0,5)+ f(1)+ f(1,5)+ f(2)+ f(2)+ f(2,5)+ f(3)+ f(3,5)  12,5 S

D+ E ED  10,5 I= 2 2 2 2

Hemos tenido en cuenta que: 2

f(0,5)=0,5 +40,5=1,75 ; f(1,5)=1,5 +41,5=3,75 ; f(2,5)=f(1,5) ; f(3,5)=f(0,5) El valor exacto del área es D= 32 3  10,666666 . Observa que conforme aumenta el número de subintervalos, la estimación se acerca cada vez más al valor exacto y las imprecisiones tienden a cero.

196

Áreas bajo gráficas de funciones

2.- PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN  PRIMITIVAS Considera la función f(x)=2x+1. ¿Puedes encontrar una función cuya derivada sea f(x)=2x+1 ?. ¿Hay sólo una solución ?. 2

2

2

2

Algunas soluciones son: x +x, x +x+5, x +x23, x +x+1200, etc. Las funciones obtenidas se llaman primitivas de la función f(x)=2x+1. En general, se dice que F(x) es una primitiva de la función f(x) si se cumple que la derivada de F(x) es f(x), es decir: F’(x) = f(x) Una función f(x) admite infinitas primitivas, ya que basta sumar una constante a una primitiva para obtener otra. 2

2

Por ejemplo, F(x)=x +x es una primitiva de f(x)=2x+1 ; pero la función G(x)=x +x+3 también 2 lo es, ya que su derivada es G’(x)=(x +x+3)’=2x+1. En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces la función f(x)+C es también una primitiva de f(x), siendo C una constante, ya que: (F(x)+C)’ = F’(x) = f(x) a) Calcula las funciones primitivas de las siguientes funciones: ¿Obtienes alguna ley general ?. b) Calcula las primitivas de las siguientes funciones:

y=3 ;

2

3

y=3+x+x +x ;

y=x ;

2

y=x ;

3

y=x .

y= 5 3 x

a) Podemos construir la siguiente tabla: Función Primitiva

y=3 y=3x+C

y=x 1 2 y= x  C 2

2

y=x 1 3 y= x  C 3

n

La primitiva de la función f(x)=x es la función F(x)=

3

y=x 1 4 y= x  C 4

1 x n  C , siendo C una constante n+1

arbitraria. 2

3

b) La primitiva de y=3+x+x +x es la función F(x)= 3 x +

5

La primitiva de la función y= 3 x F(x)= 5 3 



1 1 1 5

1

 x5

1

1 5  (3 x)

1 5 3

1 5 x



5

1 2 1 3 1 4 x  x  x C . 2 3 4

1 5 3x

es la función:

6

C =

5 5 5 5 5 5  3  x 5  C =  5 3  x6  C =  3 x6  C 6 6 6

FUNCIÓN MISTERIOSA

¿Cuál es la expresión matemática de una función f(x) de la que se sabe que al derivarla dos veces se obtiene una constante distinta de cero?.

197

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II



DERIVADAS

a) Di si puede haber dos funciones con la misma derivada. En caso afirmativo, pon un ejemplo. b) Determina la función f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2, 4) y que su derivada es: 1 f ' (x)   2x x4  UN CAMIÓN La velocidad de un camión viene dada por la gráfica siguiente:

Dibuja la gráfica del espacio recorrido por dicho camión en función del tiempo.

 FUNCIÓN ESCALONADA Representa en unos ejes coordenados la gráfica de la siguiente función escalonada:

 2,  1,  f(x)   3,  2,   1,

si0  x  1 si1  x  2 si 2  x  3 si 3  x  4 si 4  x  5

a) Calcula el área bajo la gráfica de esta función escalonada. b) Calcula las siguientes integrales definidas:

1

0

2

0

f

f

3

0

f

4

0

f

5

0

f

 CALCULA PRIMITIVAS Calcula una primitiva de cada una de las siguientes funciones: 1) f(x)  4x 3  7x 2  5x  1 ;

198





x 3  7x 2  4 2) f(x)  x  1 x 2  x  1 ; 3) f(x)  ; x

4) f(x)  6x

Áreas bajo gráficas de funciones

3.- RELACIÓN ENTRE ÁREAS Y PRIMITIVAS  LA FUNCIÓN ÁREA a) Interpreta gráficamente el significado de las siguientes integrales definidas: p

0

p

0

1

p

0

x

p

0

2x

x2

y comprueba, una vez hecho el dibujo correspondiente que: p

0

p

0

1 p

x 

p2 2

p

0 2x  p

2

SOLUCIÓN :

p

0

p p p2  0 2 2 área de un triángulo



1 =p1=p

área de un rectángulo

p

x 

p  2p  p2 2 área de un triángulo p

0 2x 

b) Interpreta gráficamente el significado de las siguientes integrales definidas: 6

6

1

1 1

6

1 2 x

x

y calcúlalas utilizando los resultados obtenidos en el apartado (a). SOLUCIÓN : 6

6

1

1 1  0 1  0 1= 6  1 = 5 u. c.

6

1

6

x 

6

0

6

x 

1

0

1

x 

6 2 12 35    17,5 u. c. 2 2 2

1 2x  0 2x  0 2x  6

2

 12  35 u. c.

199

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

c) Justifica gráficamente la siguiente igualdad :

b

a

f(x) 

b

0

f(x) 

a

0

f(x)

SOLUCIÓN :

Como puedes ver en la figura, el área bajo la gráfica de la función y=f(x) en el intervalo [a, b] es igual al área bajo la gráfica en el intervalo [0, b] menos el área bajo la gráfica en el intervalo [0, a]. En los apartados anteriores has utilizado integrales definidas del tipo

p

0

f(x) .

Si a cada valor de p le asociamos el valor de la correspondiente integral, obtenemos una función:

F(p)=

p

0

f(x)

Se le llama función integral o función área de f. La función integral de f no es más que el área bajo la gráfica de la función f en el intervalo [0, x]:

F(x)=

x

0

f

¿Qué relación existe entre F y f ?. O lo que es lo mismo, ¿qué relación existe entre la gráfica de una función y el área bajo esa gráfica ?. Para averiguarlo, puedes construir una tabla utilizando los resultados de los apartados anteriores: f(x) F(x)

1 x

x

1 2 x 2

2x 2 x

2

x 1 3 x 3

¿Qué conclusión obtienes de esta tabla ?. Habrás observado que: F’(x) = f(x) Es decir: La derivada de la función área es la función gráfica; o lo que es lo mismo, la función área es una primitiva de la función gráfica. Este resultado se conoce como Teorema fundamental del cálculo integral.

200

Áreas bajo gráficas de funciones

 ÁREA BAJO UNA RECTA Dibuja aproximadamente la gráfica de la función área bajo la curva en el siguiente caso:

 REGLA DE BARROW

Teniendo en cuenta el apartado (c) del problema anterior, se cumple: S=

b

a

f(x) 

b

0

f(x) 

a

0

f(x)  F(b)  F(a)

Sabemos, además, que la función integral F es una primitiva de f. Si G es otra primitiva cualquiera de f, entonces: F(x) = G(x) + C, siendo C una constante, ya que dos primitivas de una misma función únicamente difieren en una constante. Tenemos, pues: S=

b

a

f(x)  F(b)  F(a) = (G(b)+ C)  (G(a)+ C) = G(b)  G(a)

o sea:

S=

b

a

f(x)  G(b)  G(a)

Luego, para calcular el área S hemos de seguir los siguientes pasos: 1.- Calculamos una primitiva G de f. 2.- Calculamos G(b) G(a), con lo que ya tenemos el área. Este procedimiento se conoce como regla de Barrow. Ejemplo.- Calculemos, por este método, el área del rectángulo de la figura. Es decir:

6

2 2

201

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

1.- Obtenemos una función cuya derivada sea 2. Por ejemplo: G(x)=2x. G(2)=22=4

2.- Calculamos G(2) y G(6): 3.- El área buscada es:

S=

G(6)=26=12

y

6

2 2  G(6)  G(2)= 12  4 = 8

que, efectivamente, coincide con el área del rectángulo de base 4 y altura 2.

Utiliza la regla de Barrow para calcular la siguiente área:

2

1

0 (x - 1)(x - 3)

f(x)=(x1)(x3)=x 4x+3. Una función primitiva es G(x)=

Entonces : G(0)=0, G(1)= 1

0

1 3 x  2x 2  3x . 3

1 4  2  3  . Por lo tanto: 3 3

( x  1)( x  3)  G(1)  G(0) 

4 4  0  unidades cuadradas. 3 3

4.- CÁLCULO DE ÁREAS  CALCULA ÁREAS

3 5 x + . Calcula el área S del recinto plano limitado por 2 2 dicha función, el eje de abcisas y las rectas x=3 y x=7.

a) Representa gráficamente la función y = 

x y

1 1

3 7 2 8

3 5 x + , una función primitiva es 2 2 3 2 5 G(x)=  x  x . 4 2 Si f(x)= 

3 77 ; G(7)=  . Por lo tanto, 4 4 aplicando la regla de Barrow: Entonces: G(3)=

5 77 3 80  3    20 Como el área debe ser positiva, tomaremos valores  x+    2 4 4 4  2 absolutos, es decir, el área buscada es S=-20=20 u.c. 7

3

202

Áreas bajo gráficas de funciones

Si el recinto plano S cuya área queremos hallar está por debajo del eje de abcisas, se cumple que: b

a

f(x)