5.2

LA FUNCION EXPONENCIAL

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La Función Exponencial Para toda base positiva , a  1, podemos definir una función exponencial de la forma f (x) = ax, Con dominio igual a =(-,) Las gráficas de algunas funciones Exponenciales con a > 1 Se muestran en la Figura 1.

Figura 1

2

La Función Exponencial Note la asíntota horizontal (A.H.) y = 0 , pues para a > 1, y exponente negativo a-x = 1/ax, y por lo tanto: ax  0

cuando

x

.

Además todas las gráficas pasan por (0, 1), el intercepto del eje de y. Son gráficas crecientes en todo el dominio. El rango (recorrido) de f (x) = ax es (0, ) pues ax 

as

x

.

3

La Función Exponencial Cuando la base es 1/a : 0 < 1/a < 1, la base es menor que uno. Recuerde la definición del exponente negativo como el recíproco de la función a-x = (1/a)x

y=

=

.

Se observa en la figura 2 que la gráfica violeta es la reflexión con respecto al eje de y de la azul. Ambas gráficas pasan por (0, 1) y tienen y = 0 como A.H., porque ax  0, si x  .

Figura 2

4

La Función Exponencial Note que el comportamiento el al revés: siempre decrece y mientras menor sea la base más rápidamente decrece como se observa en la figura. El rango es nuevamente (0, ). Para todo número positivo a  1, la función exponencial f (x) = ax es 1-a-1, pues siempre crece (cuando a > 1) o siempre, decrece (cuando 0 < a < 1). Figura 3

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Ejemplo 1 Determine todos los valores de x que satisface la ecuación. a. 22x – 2 = 64 b. 3x – 3 = 27x + 5

6

Ejemplo 1– Solution a. Como 64 = 26 y la función exponencial es 1-a-1: 22x – 2 = 64 = 26 implica igualdad en los exponentes: 2x – 2 = 6 resuelva para x, y obtiene x = 4. b. Como 27 = 33 tenemos (27)x + 5 = (33)x + 5 = 33  (x + 5), entonces: x – 3 = 3  (x + 5), la ecuación a resolver es: x – 3 = 3x + 15 y x = –9.

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Datos Curiosos: Función Exponencial Cualquier función exponencial de base a se puede escribir como una versión a diferente “escala” k de otra base: pues a = bk Por ejemplo: para escribir la función exponencial con base general a: f (x) = ax en términos de la función exponencial con base 2.

La gráfica general es: y = ax, es uno-a-uno, entonces pasa la prueba de la recta horizontal. Figure 6(a)

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Función Exponencial Como el rango de f (x) = ax is (0, ), existe un número real único k donde a = 2k. (Ver gráficas 6(b).) Para este valor de k tenemos, una nueva versión de la función exponencial con base 2 (ver gráfica) 6(c), f (x) = ax = (2k)x = 2kx.

(b)

(c) Figure 6

9

Función exponencial Natural e natural es

10

Función exponencial Natural e En la Tabla se observa que (1 + h)1/h parece acercarse a el valor aproximado de e.

11

Función exponencial Natural La gráfica de f (x) = ex, tiene esta propiedad:  ex  1 = ex cuando h  0.

Figure 8

12

Función exponencial Natural e Como e está entre 2 y 3, la gráfica de y = ex que se muestra en amarillo en la Figura 9 está entre las gráficas de y = 2x que se muestra en azul, y y = 3x, la roja, y más cerca de 3x . La gráfica de f y = ex también contiene los puntos (0, 1), (1, e), y (–1, 1/e).

Figure 9

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Función exponencial Natural

x –x f (x) = e y su recíproca g(x) = e . 14

Ejemplo 3 Dibuja la gráfica usando transformaciones: f (x) = 2 – ex – 1. Solución: La gráfica de y = ex – 1 (en la Figura (a)) se obtiene trasladando la gráfica de y = ex una unidad a la derecha. La gráfica de y = –ex – 1 es la reflexión al eje de x de la gráfica de y = ex – 1, (Figura (b)).

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Ejemplo 3 – Solución

cont’d

Translade la gráfica de y = –ex – 1 2 unidades hacia arriba y se obtiene la gráfica final de f (x) = 2 – ex – 1, como se muestra en la Figura 12(c). La gráfica tiene asíntota horizontal y = 2.

Figura 12

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Applicaciones

Applications The natural exponential function is regularly used to model physical situations, but calculus is needed for a full appreciation of its value. We introduce this topic using compound interest as our model. Suppose that we invest a sum A0 in a savings account. The amount in the account at the end of t years depends on the interest rate i and on the number of times per year that the interest is compounded. The best of all possible situations for the investor occurs when the interest is compounded continuously. 18

Applications If the interest is compounded yearly, with annual interest rate i and an initial amount A0, the amount in the account after 1 year is Ay(1) = A0 + iA0 = A0(1 + i ). After 2 years we have the amount Ay(2) = Ay(1)(1 + i ) = A0(1 + i )2, after 3 years we have Ay(3) = Ay(2)(1 + i ) = A0(1 + i )3,

and so on. 19

Applications In general, compounding annually gives Ay(t) = A0(1 + i )t

in the account after t years.

20

Applications If the interest is compounded semiannually, that is, twice a year, half the annual interest, i/2, is paid per period, and the number of periods doubles. The amount after 6 months is As

= A0

,

so the amount after 1 year is As(1) = A0

,

and the amount after t years is As (t) = A0

. 21

Applications In a similar manner, monthly compounding produces the amount Am(t) = A0 and daily compounding gives

Ad(t) = A0

.

22

Applications In general, the interest i compounded n times a year produces the amount An(t) = A0

.

Continuous compounding is the limiting case that occurs when the number of compounding periods per year increases without bound.

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Applications To determine a function describing this situation, introduce the variable change h = i /n into the formula for An(t). Then n = i /h, and using the arithmetic properties of exponents gives

An(t) = A0

= A0(1 + h )(i /h) t = A0((1 + h)1/h)it.

At the beginning of this section we saw that (1 + h)1/h  e as h  0.

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Applications As a result,

A n(t) → A0eit

as

h → 0.

Hence, An(t) approaches A0eit as the number n = i/h of compounding periods increases indefinitely. This limiting term gives the amount when the interest is compounded continuously, and it is denoted by

Ac(t) = A0eit. The value of Ac(t) is larger than the amount produced by any compounding method, and is quite close to that given by daily compounding. 25

Example 8 Determine the value of a CD (certificate of deposit) in the amount of $1000 that matures in 6 years and pays 5% per year compounded annually, monthly, daily, and continuously.

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Example 8 – Solution The decimal equivalent of 5% is 0.05, so the various compounding methods give Ay(6) = 1000(1 + 0.05)6  $1340.10,

Am(6) = 1000 Ad(6) = 1000

 $1349.02,  $1349.83,

and

Ac(6) = 1000e0.05(6)  $1349.86. 27