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UNIDAD 5
5.3. Interés simple En la actualidad el uso del dinero tiene diferentes vertientes, ya sea para gastar en bienes y servicios o para invertir en un negocio, en una propiedad, etc., sin embargo, cuando se utiliza el dinero para cualquiera de las dos anteriores opciones, y si el dinero no se tiene en propiedad, este causa un sobrepago que normalmente denominamos interés. El manejo del interés se da a partir de dos características, la primera cuando los intereses no forman parte de la propia deuda, es decir no se capitalizan; la segunda es cuando los intereses se van a acumulando, es decir se capitalizan. En este apartado se hablará de la primera característica. Por ejemplo una de las principales funciones de los bancos y las financieras es prestar dinero a las personas y empresas, en otras palabras otorgan créditos; facilitando la devolución del dinero en plazos de tiempo, estableciendo un plazo para cancelar la deuda que se adquiere al pedir prestado dinero para comprar o trabajar. El crédito conlleva la aplicación de una de tasa de interés (sobrepago) a las operaciones de préstamo de dinero; en éstas se calcula el costo del dinero en relación al monto solicitado y a la tasa de interés vigente.
El interés Es el precio que se paga por el uso del dinero a lo largo de un periodo de tiempo. La tasa de interés para una transacción determinada se expresa explícitamente de manera frecuente; es decir: una asociación de ahorro y préstamo que puede ofrecer 6.5% de rendimiento al año sobre sus depósitos de ahorro, o una compañía hipotecaria puede ofrecer hipotecas de 20 años de viviendas a una tasa de interés de 12%. Algunas veces la tasa de interés está implícita en la transacción que se efectúa, por ejemplo,
algunos bancos comerciales ofrecen cuentas corrientes gratis a los clientes que
mantienen un saldo mínimo de x cantidad, debido a que esta misma cantidad x podría ganar interés si fuera depositado en una cuenta de ahorro, existe un costo de interés implícito para los clientes del banco por mantener el saldo mínimo en sus cuentas. El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial.
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análisis matemático financiero
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (periodos menores de un año). El monto que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión aritmética). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial, es indiferente la frecuencia en la que estos intereses son cobrados o pagados. El interés simple no se capitaliza.
Suposiciones generales para calcular el interés •
Certeza. Es la suposición usada más restrictiva, se supone que todos los valores actuales y futuros sean conocidos, y si no, se utilizarán técnicas que permitan su cálculo.
•
Periodos discretos de tiempo. Este tiempo debe ser dividido en intervalos anuales considerando desde que inicia hasta que termina el último día del año. El presente inmediato se considera como el final del año cero.
•
Cálculo de interés anual. Este interés se calcula una vez al año y el cálculo se hace al final del mismo lo cual reafirma los periodos discretos de tiempo.
Debido a estas suposiciones puede definirse la ecuación para el interés
i = cit
simple como:
Donde: I = interés simple C = capital inicial
i = tasa de interés anual
t = tiempo de inversión
Ejemplo 13
Si se realiza una inversión que produzca una entrada de efectivo dentro de dos años a cambio de un flujo inmediato de efectivo, entonces se dice que tiene un flujo al final del año cero y una entrada al final del año dos.
Ejemplo 14
Se realiza una inversión de $5 000 el día 15 de marzo, luego de esta fecha se vuelve el tiempo cero, una entrada de efectivo de esa inversión ocurrirá dos años más tarde, es decir, para el 15 de marzo del año dos, produciendo entradas de $1 000
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Flujo de efectivo
0
1
$5 000
2 $1 000
Ejemplo 15
¿En cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés simple?
Como el interés que produce 1 peso en 1 año es de 10/100 pesos = 0.1 pesos, el interés total es:
C = $1 600 000
t = 1 año
i = 0.1
I = Cit
C = ($1 600 000) (0.1) (1) = $160 000
Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo $1 600 000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros $160 000
En los dos años el interés producido es:
$160 000 + $160 000 = $320 000
Por lo tanto, el capital se convierte a los dos años en:
1 600 000 + 320 000 = 1 920 000 pesos
Se puede obtener directamente el interés a los dos años:
I = (1 600 000) (0.1) (2) = 320 000 pesos
En general, si C es el capital, i es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es:
i = cit
Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es: t=
Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es: t=
número de meses 12
número de días 360
El interés simple tiene la propiedad de que el capital inicial permanece constante durante un plazo.
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análisis matemático financiero
Ejemplo 16
Calcular el interés simple comercial de: a) $2 500 durante 8 meses a 8% b) $60 000 durante 63 días a 9% c) $12 000 durante 3 meses a 8.5% d) $15 000 a 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año.
a) C = $2 500
t = 8 meses
i= 0.08
Sustituyendo valores:
I = (2 500) (8/12) (0.08) = $133.33
b) C = $60 000
t = 63 días
i = 0.09
I = (60 000) (63/360) (0.09) = $945
c) C = $12 000
t = 3 meses
i = 0.085
I = (12 000) (3/12) (0.085) = $255
d) C = $15 000
i = 0.10
t =165 días
I = (15 000) (0.10/360) (165) = $687.50
Ejemplo 17
¿Cuál será el interés que se obtenga de un capital de $30 000 si se ha invertido durante 4 años a una tasa de interés de 14%?
C =$30 000
i =0.14
t=4 2 63
UNIDAD 5
Sustituyendo valores:
i = ($30 000)(0.14)(4) = $16 800
Monto simple Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés, su ecuación es: m =c+ i Pero si se sustituye I= Cit Se tiene: m = c + cit = c(1 + it )
Ejemplo 18
Una persona pide un préstamo por $10 000 a una tasa de interés de 4.5% anual durante 1 año, ¿cuál será el monto que pagará al final de este tiempo?
C =$10 000
i =0.045
t=1
m = c(1 + it ) Sustituyendo valores: ⇒
m = c(1 + it ) = $10 000(1 + 0.045(1)) = $10 450
Por lo tanto el monto a pagar será de: $10 450
Ejemplo 19
¿Calcular el monto a pagar de una deuda de $75 000 al 1 de mayo, si se firmó un pagaré el 16 de marzo del año en curso con un interés de 12%?
Utilizando las conversiones de tiempo de días a años (t/360)
t = 46 días = 0.127 777 años
2 64
i = 0.12
C = $75 000
m = c(1 + it ) m = 75 000(1 + 0.12(0.127 777)) = $76 150
El monto a pagar será de:
M = $76 150
análisis matemático financiero
Gráficas del problema de interés simple Para graficar un problema de interés simple, se f = {(t , f (t ))/ m = f (t ) = cit + c}
define una función lineal cuyo dominio es el tiempo y cuyo rango o imagen es el interés obtenido en determinado periodo de tiempo.
Donde: Ci es la pendiente de la función, C es la ordenada en el origen, todos mayores a cero; esto no es otra cosa que la ecuación del monto simple.
Ejemplo 20
Elaborar la gráfica que presenta el monto de un capital de $1 a una tasa de interés simple de 2% anual, determinando su dominio e imagen.
C = 1
i = 0.02
t = variable
f (t ) = cit + c
f(t) = 1(0.02)t + 1
f(t) = 0.02 t + 1
f(t) = 1 + 0.02 t
Graficando entre 0 y 6
Dominio [0, 6] e imagen [1, 1.12]
f(t) 1,6
0,8
t 0
1
2
3
4
5
6
7
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Valor presente Para encontrar el capital inicial que se requiere invertir durante cierto tiempo a determinada tasa de interés para producir cierto monto, se requiere de un valor presente. m = cit + c = c(it + 1) Despejando C se tiene el valor presente: c=
m 1 + it
Ejemplo 21
Encontrar el valor presente de $1 400 pagaderos dentro de 5 años, si la tasa de interés es de 2% anual.
Sustituyendo los datos proporcionados directamente en la ecuación obtenemos: c=
1 400 1 400 = = $1 272.72 1 + (0.02)5 1.1
Ecuaciones de valor En ocasiones es necesario reemplazar una deuda o una serie de deudas por otra o por otro conjunto de ellas con diferentes vencimientos. Para que tanto el acreedor como el deudor estén satisfechos con el nuevo esquema de pagos, el valor de éstos debe ser equivalente al valor del esquema original. Las ecuaciones de valor son una igualdad o equivalencia entre dos colecciones de obligaciones evaluadas en un mismo periodo. Cabe mencionar la importancia de determinar para cada caso la fecha de valuación llamada fecha focal, ya que los montos de las obligaciones, en los casos de interés simple varían respecto al tiempo. Los diagramas de tiempo valor son una buena herramienta para el cálculo de las ecuaciones de valor equivalentes. Obligaciones A Consideradas en el tiempo 2
X 1 Obligaciones B Consideradas en el tiempo 2
2 66
Fecha de valuación
X 2
X n –1
X n
análisis matemático financiero
Ejemplo 21
Una empresa firma un pagaré por $180 000 a 90 días a 6%; 30 días después, firma otro pagaré por $120 000 a 90 días sin intereses, 60 días después de la primera fecha, acuerda pagar $40 000 y recoger los pagarés reemplazando éstos por uno sólo a 120 días, contados desde la última fecha, con un rendimiento de 12%. Determine el pago convenido.
0
30
60
180 000
120 000
40 000
90
120
150
180 X
Se determina la fecha focal de 180 días, se deben calcular los diferentes valores en esta fecha para plantear la ecuación de valores equivalentes.
Valores recientes: ⇒
1 x + 40 000 1 + (0.12) 3
Valores anteriores: ⇒
1 1 1 180 000 1 + (0.06) 1 + (0.12) + 120 000 1 + (0.12) 4 4 6
Se igualan valores:
1 x + 40 000 1 + (0.12) = 3 1 1 1 180 000 1 + (0.06) 1 + (0.12) + 120 000 1 + (0.12) 4 4 6
x + 40 000 1.04 = 180 000 1.015 1.03 + 120 000 1.02 = x + 41 600 = 188 181 + 122 400 x + 41 600 = 310 581 x = 310 581 − 41 600 x = $268 981
0
2 67
UNIDAD 5
Actividad 1 1.
Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los siguientes problemas:
Depósitos en el año cero $10 000
Tasa de interés
Número de años
8%
12
$12 000 11 %
Cantidad final
4
$14 000
7
$7 000
$8 000
4%
$9 000
$900
5%
$1 200
12 %
10
$35 000
$70 000
14
$80 000
$500
13
$1 000
2.
Usted le pide prestados $2 000 a un banco en estos momentos y acuerda pagar el préstamo haciendo un pago de $2 800, tres años después ¿qué tasa de interés le está cobrando el banco?
3.
Se depositan diez pagos anuales de $2 000 cada uno a una cuenta que paga 85% de interés. Los pagos comenzarán 5 años más tarde, ¿cuánto dinero estará disponible inmediatamente después del último pago?
4.
¿Cuál es el valor actual en el año cero de una anualidad de 10 pagos que paga $10 000 al año, si el primer pago se recibe 6 años después y si la tasa de descuento es 15%?
5.
Encontrar el valor actual, a 5% de interés simple, de $1 800 000 con vencimiento en 9 meses.
2 68
análisis matemático financiero
5.4 Interés compuesto Con anterioridad hablamos de progresiones geométricas, de las cuales la aplicación más clara es la que consideramos en el momento de calcular el interés compuesto sobre un capital prestado. Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Esos intereses se van acumulando e integrando a la propia deuda y a esto se le conoce como capitalización. Es importante mencionar que en la actualidad el tipo de interés que se maneja con mayor regularidad en los procesos comerciales y financieros es el interés compuesto y uno de los principales ejemplos son las tarjetas de crédito.
Interés compuesto Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en un tiempo determinado. El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de las bacterias o el de las células del cuerpo, cuyo crecimiento es continuo en el tiempo. En la capitalización a interés compuesto encontramos un crecimiento continuo en función del tiempo.
Periodo de capitalización Ejemplo 22
Si un interés se capitaliza 4 veces al año, el periodo de capitalización es de 3 meses. Es decir que en un año se tienen cuatro trimestres.
Frecuencia de capitalización Es el número de veces por año en que el interés se suma al capital.
Ejemplo 23
Si un interés se capitaliza trimestralmente, la frecuencia de capitalización es 4.
2 69
UNIDAD 5
Conversión de pagos simples a compuestos Cuando una cantidad acordada de dinero se deposita en una cuenta que soporta un interés y se le permite que obtenga intereses por varios años, el valor monetario resultante recibe el nombre de cantidad compuesta. Nos referimos al depósito de original como el capital. Al proceso de añadir interés y determinar la cantidad compuesta resultante se le llama compuesto. La frecuencia del compuesto es el número de veces anuales que el interés se le añade a la cuenta de depósito.
Ejemplo 24
Una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco pagará intereses ¿en cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés compuesto? a) El depósito se efectúa en el año cero. Al final del primer año la cantidad compuesta disponible es:
Cantidad compuesta = $1 600 000 + $1 600 000 (10%)
= $1 600 000 + $1 600 000 (0.1)
= $1 600 000 + $160 000
= $1 760 000
b) Al final del primer año los $160 000 ganados no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de $1 760 000.
Cantidad compuesta = $1 760 000 + $1 1760 000 (10%)
= $1 760 000 + $1 1760 000 (0.1)
= $1 760 000 + $1 176 000
= $1 936 000
En el primer año la ganancia del capital es de:
$1 600 000 (0.1) = $160 000
En el segundo año el interés de $1 760 000 es:
($1 760 000) (0.1) = $176 000
Al final de los dos años el interés producido es:
$160 000 + $176 000 = $336 000
Utilizando el ejemplo anterior en donde el capital de $1 600 000 aumentó a una cantidad compuesta de $1 936 000 en un periodo de dos años. El incremento del capital inicial $336 000 se debió enteramente al interés. Se ganó la cantidad de $160 000 en el año 1, y $176 000 en el año 2.
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análisis matemático financiero
De los $336 000 ganados al final del periodo, $176 000 se produjeron en el segundo año debido a 10% que se aplicó a $160 000 de los primeros intereses ganados en el primer año, ya que se mantuvo en depósito en el segundo año; los $176 000 es el interés ganado sobre el interés y recibe el nombre de interés compuesto. La ecuación básica se puede obtener con las variables involucradas junto con sus representaciones simbólicas. Se tiene entonces que: C = capital en el tiempo cero i = tasa de interés anual n = tiempo o número de periodos sobre los que el capital genera intereses compuestos. Ct = cantidad compuesta después de t años. La cantidad compuesta disponible un año después que el principal se ha depositado es: C1 = C + C (i)
⇒
C1 = C(1 + i)
Si a C1 se le permite ganar intereses por un año entonces: C2 = C1 + C1 (i) ⇒ C2 = C1 (1 + i) Sustituyendo C1 C2 = C( 1 + i)(1 + i) ⇒ C2 = C(1 + i)2 Entonces de acuerdo con los datos del ejemplo la ecuación quedará: C = ($1 600 000) (1 + 0.1)2 = $1 936 000
i ct = c 1 + 100
n
En general, el capital final o cantidad compuesta (Ct) que se obtiene a partir de un capital C en t años al tanto por ciento anuales (i), se calcula con la fórmula. Cuando el capital inicial se invierte durante varios periodos
y al final de cada periodo se suman los intereses obtenidos al capital y se reinvierten, se están calculando intereses sobre intereses devengados.
Ejemplo 25
Encontrar el capital compuesto sobre $8 000 después de 3 años, si la tasa de interés anual es de 4%. C = $8 000
i = 4%
n = 3 años
271
UNIDAD 5
i ct = c 1 + 100
n
3
4 3 c3 = 8000 1 + = 8000(1 + 0.4) 100 c3 = 8000(1.4)3 = 8000(2.744) = 21 952 C3 = $21 952
Monto compuesto o valor futuro n
m = c (1 + i)
Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en el lapso considerado; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados.
El monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicando dicho capital por el factor (1 + i), al final del segundo periodo se tiene: m = c(1 + i)(1 + i) Al final del tercer periodo: m = c(1 + i)(1 + i) (1+i) Generalizando: m = c (1 + i)n Donde: M = monto compuesto C = capital a invertir
i = interés ganado
n = tiempo
Ejemplo 26
Un banco ofrece una tasa de 10% para cuentas de ahorro. Encontrar el monto de un depósito de $5 000 después de 5 años.
C = $5 000
i = 10%
n = 5 años
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m = c(1 + i)n m = 5 000(1 + 0.1)5 = 5 000(1.1)5 = 5 000(1.61 051)=8 052.55 m = $8 052.55
análisis matemático financiero
Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación; se le llama así porque representa el porcentaje de rendimiento aparente y se denota por (i)m. Sin embargo si el interés se capitaliza semestral, trimestral o mensualmente, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. La tasa efectiva anual es menor que la tasa nominal anual debido a que el interés de esta última se capitaliza m veces al año. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto. Tasa efectiva: m
ic i = 1 + −1 m De esta fórmula se puede despejar la tasa nominal Tasa nominal: 1 i m = m (1 + i) m − 1
Nota: en caso de que el dinero se invierta durante n años, se tiene la equivalencia:
im (1 + i)n = 1 + m
mn
Ejemplo 27
¿Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 5% anual convertible bimestralmente?
im = 0.05
m = 6
im (1 + i)n = 1 + m
Sustituyendo:
0.05 i = 1 + −1 6
mn
6
2 73
UNIDAD 5
i = (1.008 333 333)6 – 1
i = 1.0 510 531 – 1
i = 0.0 510 531
Por lo tanto, la tasa efectiva equivalente será de 0.0 510 531, que es aproximadamente 5.11%
Ejemplo 28
Encontrar la tasa nominal im convertible trimestralmente, equivalente a una tasa efectiva de 5% anual.
i = 0.05
m = 4
1 i m = m (1 + i) m − 1
Sustituyendo valores: 1 1 i m = 4 (1 + 0.05)4 − 1 = 4 (1.05)4 − 1 =
i m = 4 1.012 − 1 = 4(0.012) = 0.049 088 i m = 4.9%
La tasa nominal convertible trimestralmente será de 0.049 088 que es aproximadamente 4.91%
Cálculo de la tasa de interés efectiva En la fórmula del interés compuesto, si se conoce el valor presente C, el valor futuro M y el tiempo n, sólo queda determinar el valor de i. m = c(1 + i)n m = (1 + i)n c Despejando i se tiene: 1
m n i= −1 c
2 74
análisis matemático financiero
Ejemplo 29
¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $1 200 se incremente a $1 600 en 6 años?.
M = $1 600
C = $1 200
n=6
Sustituyendo valores:
1
1 1 600 6 i= − 1 ⇒ i = (1.3 333 333)6 − 1 ⇒ i = 0.049 115 1200
Por lo tanto, i = 4.91%
Cálculo del tiempo
Utilizando la ecuación del monto compuesto
M = C ( 1 + i ) n
Despejando n
log m = log c + n log(1 + i) log m − log P = n log(1 + i)
n=
log m − log c log(1 + i)
Ejemplo 30
Encontrar el tiempo n, en que un capital de $2 000 se convertirá en $3 500 si la tasa de interés efectiva es de 4% anual. M = $3 500 C = $200
i = 0.04
Sustituyendo valores en:
n=
log m − log c log(1 + i)
n=
log 3 500 − log 2 000 3.54 407 − 3.30 103 0.24 304 = = = 14.271 286 log(1 + 0.04) 0.01 703 0.01 703
Por lo tanto:
n = 14.27 años
2 75
UNIDAD 5
Valor actual a interés compuesto El valor actual a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida. Si el interés es efectivo: m = c(1 + i)n Si el interés es nominal: im m = c 1 + m
mn
Donde: C = Capital inicial o valor presente
i = interés efectivo
im = interés nominal
n = tiempo
m = número de veces que se capitaliza el interés
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Utilizando la ecuación: m = c(1 + i)n Se obtiene: Para una tasa efectiva: c=
m (1 + i)n
O bien para una tasa nominal: c=
m im 1 + m
mn
im = m 1 + m
− mn
Ejemplo 31
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Hallar el valor presente de $5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual de 6%.
C = $5 000
i = 0.06
n=5
análisis matemático financiero
Sustituyendo valores en: c=
m (1 + i)n
c=
5 000 5 000 = = 5 (1 + 0.06) (1.06)5
c=
5 000 = 3 736.29 1.3 382
C = $3 736.29
Ejemplo 32
Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga 15% con capitalización trimestral, para disponer de $20 000 al cabo de 10 años.
im = 0.15 efectiva trimestral
n = 10 años
m=4
M = $20 000 C =? c=
c=
c=
m im 1 + m
mn
20 000 (10)(4)
0.15 1 + 4
=
20 000 = (1 + 0.0375)40
20 000 20 000 = = 4 586.75 40 (1.035) 4.3 607
c = $4 586.75
Actividad 2 1.
Un joven empresario quiere saber cuál es el valor futuro de 14 000 que tiene disponibles en este momento para ahorrar. Si la tasa de interés compuesto que asigna el banco es de 8% capitalizable bimestralmente y desea ahorrarlos durante 8 años.
2.
Un prestamista desea ganar 15% anual sobre préstamos, cobrando intereses capitalizables semestralmente. ¿Cuál es la tasa nominal que deberá cobrar?
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UNIDAD 5
3.
Dos amigos desean saber cuál será el monto de 13 000 y 20 000 pesos respectivamente si ambos ahorran ese dinero durante 8 años a 5.5% de interés, el primero trimestralmente y el segundo semestralmente.
5.5 Evaluación de alternativas financieras de negocio En la actualidad de los negocios, los procesos de toma de decisiones se dan a partir de llevar a cabo adecuadas evaluaciones de diferentes opciones o alternativas, y el caso financiero no está exento de ello. Por ello, es que la evaluación se debe llevar de la manera más objetiva posible, donde la visión cuantitativa sea la base de una decisión efectiva. Hoy en día todas las empresas deben de llevar a cabo una evaluación de alternativas financieras, si es que desean permanecer en el mercado y desarrollarse en su entorno de negocios. Para llevar a cabo una evaluación efectiva, primeramente hay que identificar si hay o no alternativas de negocio, para enfrentarse a la toma de decisiones. Pero, ¿qué es la evaluación de alternativas? La evaluación de alternativas de negocio consiste en comparar los costos con los beneficios que estos generan, para así decidir sobre la conveniencia de llevarlos o no a cabo. Esto pretende afrontar el problema de la asignación de recursos en forma explícita, recomendando a través de distintas técnicas, la selección de una determinada iniciativa por encima de otras alternativas del proyecto. Se debe mencionar que la evaluación de alternativas de un negocio puede verse desde una perspectiva financiera, económica y social en donde las dos primeras determinan la capacidad de rentabilidad de un proyecto desde una cuestión meramente cuantitativa. Para la evaluación social, interesa el flujo de recursos reales utilizados y producidos por el negocio. Para la determinación de los costos y beneficios pertinentes, la evaluación social precisará de la situación del país con la ejecución del proyecto versus esta misma situación pero sin la realización del proyecto en cuestión.
Análisis de alternativas Una vez generadas las alternativas y sus probables consecuencias cuantitativas, se selecciona la mejor de ellas. Para ello se recomienda hacer las siguientes consideraciones. 1. Encontrar una diferenciación en tamaño de la alternativa, pues no se puede llevar a cabo el mismo análisis para una alternativa mayor que otra. No se puede invertir en un negocio más de lo que es posible de redituar.
2 78
análisis matemático financiero
2. Considerar el método de análisis a aplicar, existen dos modalidades: los cualitativos y los cuantitativos. Los métodos cuantitativos proporcionan un grado mayor de precisión que los cualitativos, lo que reduce la incertidumbre y aumenta la probabilidad de obtener éxito. Sin embargo, en la realidad la mezcla estratégica de las dos modalidades coadyuva en la toma de decisiones más efectiva. De esta forma, podemos definir a la evaluación de una alternativa de negocio como un plan al cual si se le asignan recursos de capital y se le proporcionan insumos podrá generar un bien o servicio que permita satisfacer una necesidad.
Objetivo La evaluación de alternativas de negocio de inversión tiene por objetivo conocer su rentabilidad económica y social de manera que resuelva una necesidad humana en forma eficiente, segura y rentable, asignando así de manera adecuada los recursos económicos con que se cuentan a la mejor alternativa. Conozcamos entonces cuáles pueden ser estos métodos que permiten llevar a cabo el análisis de alternativas, a través de los métodos cuantitativos.
Valor del dinero a través del tiempo Es la relación que existe entre el interés y el tiempo lo que define el valor del dinero. El dinero modifica su valor en el tiempo, por ello cualquier empresa debe considerar el tiempo en las inversiones o préstamos que realiza, así como en la esquematización de las diferentes alternativas. Ahora bien, existen tres razones de peso para considerar el valor del dinero en el tiempo: • El riesgo de ser infructuosos: riesgo de no recibir el capital en el momento futuro. • El riesgo inflacionario: es el riesgo de que con el monto recibido no se obtenga el mismo grado de satisfacción en el futuro que hoy. • Costo de oportunidad: del uso del capital en un momento y no en otro o para una situación y no para otra.
Valor futuro: Interés simple o interés compuesto Cualquier inversión razonable o dinero depositado, debe dar un aumento de valor en el tiempo. La diferencia entre ambos intereses radica en que el interés compuesto genera intereses sobre los intereses, en cambio en el interés simple, el interés es sólo función del capital.
2 79
UNIDAD 5
Ejemplo con interés simple Supongamos que un empresario hace un préstamo a un año a uno de sus trabajadores por $10 000 sin intereses. También tiene la opción de depositar la misma cantidad en un banco durante una año que da un interés anual del 10% y finalmente también debe considerar la opción de depositar la misma cantidad de capital, pero esta inversión pone como plazo mínimo 3 años. ¿Cuál sería la mejor alternativa de negocio? a) Préstamo al empleado:
$10 000
b) Depósito en el banco a un año:
$11 000
c) Depósito en el banco a tres años:
$13 000
En términos meramente matemáticos, parecería fácil decidir y seleccionar una alternativa, ya que de primera instancia la opción 3 es la que mayor ganancia reditúa, sin embargo, habría que contextualizar muy bien las opciones, y esa es una actividad inherente a la evaluación de alternativas de negocio, es decir, el contextualizar las respuestas a la situación. En nuestro caso la opción c) da mayor interés, pero que tal si el empresario a los dos años requiere por un imprevisto su dinero, la respuesta sería que no podría hacer uso de su capital hasta el término del periodo pactado, pero observemos si el empresario decide hacerle el préstamo a su empleado, en primera instancia no recibiría ningún interés por el préstamo, y parecería que es la peor opción o alternativa, sin embargo, que tal si ese empleado ha sido un excelente colaborador y además esto incide en una motivación personal que se verá reflejada en un mayor nivel de aportación del empleado a través de su trabajo en la empresa y esto genera más utilidades para el negocio. Como podemos observar el proceso de evaluación de alternativas debe ir acompañado de una adecuada contextualización y la visión estratégica del proyecto o negocio.
Ejemplo con interés compuesto Supongamos que un inversionista deposita $10 000 en un banco a una tasa anual de 10%. ¿Cuánto tendrá al cabo de un año y al cabo de tres? ¿Cuál es la mejor opción? a) Luego de un año, el inversionista tendrá:
$11 000
b) Al tercer año habrá conseguido tener:
280
$13 310
análisis matemático financiero
Y nuevamente la pregunta sería cuál es la mejor opción; la respuesta es: depende de la contextualización y situación del inversionista y la empresa. Y = Monto del capital Y = i + Xi
0
1+ni
1+3i
1+2i
1+i 1
2
3
Crecimiento del interés compuesto
n–2
n–1
n
Periodos
Equivalencia asumiendo interés compuesto En la mayoría de las estimaciones de las operaciones financieras se aplica el interés compuesto por ser el más conveniente para tratar de respetar el valor del dinero en el tiempo. La forma en que se manejan los flujos de efectivo puede ser de las siguientes formas: • Flujos de efectivo únicos. • Series uniformes de flujos de efectivo. • Flujos de efectivo con gradientes aritméticos. • Flujos de efectivo con gradientes geométricos.
Flujos de efectivo únicos Expresando gráficamente esto tenemos: P
Monto en
Dinero
el futuro
F
presente
1
2
3
Valor presente y valor futuro
n–1
n
periodos
281
UNIDAD 5
Expresado matemáticamente tenemos: F = P(1 + i)n Donde F = cantidad futura (monto) P = cantidad presente (capital) n = número de periodos (tiempo) i = tasa de interés Esto significa que para una cantidad de dinero prestada en el presente a un interés i en n periodos de tiempo encontrará su equivalencia en el futuro, encontrando el valor al cual corresponderá tener el dinero en el presente o en el futuro, una vez liquidado el préstamo, lo cual nos permite tomar una decisión financiera más efectiva.
Ejemplo 33
Un inversionista solicita un préstamo al banco por la cantidad de $100 000 para comprar máquinas despachadoras de café y refrescos para su negocio. El préstamo lo pagará al cabo de 5 años, pagando por ello una tasa de interés de 22% anual. ¿Cuánto pagará al término del periodo?
i = 22% = 0.22
P = 100 000
n=5
F = P(1 + i)n
Sustituyendo
F = 100 000 (1 + 0.22)5
F = 270 270.80
El costo de su inversión expresada en pesos es: $170 270.80 (lo que pidió prestado y lo que realmente pagó, da como resultado el costo de la inversión).
Esto es lo que hay que evaluar, si con la inversión y operación de las máquinas despachadoras se recupera lo que tiene que pagar y si aun después de la liquidación del préstamo queda un excedente.
Series uniformes de flujos de efectivo Como su nombre lo expresa, significa que al final de cada periodo, se depositará un efectivo que en todo momento será constante, para ello será necesario llevarlo a equivalencias en el presente y en el futuro.
282
análisis matemático financiero
Representado gráficamente tenemos una serie de depósitos constantes al término de cada periodo y su equivalencia en el futuro.
0
1
2
3
n–2
A
A
A
A
F
n–1 n
A
A
A
Serie uniforme de flujos de efectivo y cantidad futura
Expresado matemáticamente tenemos:
(1 + i)n − 1 F = a( ) i
Donde:
F = cantidad futura total acumulada al final de los periodos.
A = flujo neto al final de cada periodo.
n = numero de periodos en los cuales se estarán acumulando las cantidades A.
i = interés a pagar en cada periodo acumulado.
Esto significa que irá depositando cantidades iguales al final de cada periodo, en tiempos iguales, y que en cada uno de ellos se cargará un interés fijo, que además es acumulativo lo que incrementará el monto y lo llevará a equivalente en el tiempo, para su uso como si fuera en el presente.
Ejemplo 34
El inversionista que solicitó un préstamo para máquinas despachadoras, quiere rentar uno de sus kioscos y necesita saber cuánto recibirá al final del tercer año, si la renta se incrementa en 05% mensual y la renta actual es de $25 000. (1 + i)n − 1 F = a( ) i Sustituyendo: (1 + .05)36 − 1 F = 2 5000( ) .05 F = $2 395 908.06
2 83
UNIDAD 5
Flujos de efectivo con gradientes aritméticos Como los negocios generan flujos de efectivo crecientes y decrecientes en incrementos y decrementos constantes en cada periodo, se convierte en una necesidad, adquirir los conocimientos y las habilidades necesarias para poder calcular estas variaciones y determinar si la alternativa de negocio fue o será la adecuada. Expresando gráficamente esto es:
g
g
g
g A1 1
2
3
n–2
n–1
n
Flujos de efectivo de gradiente aritmético La expresión matemática de lo anterior es: A2 = g 1 n a2 = g ( − ) i (1 + i)n − 1 Donde: A 2 = flujos de gradiente del año 2 en adelante. g = cantidad gradiente constante que se incrementará en cada flujo en cada periodo. i = interés que se pagará en cada periodo. n = periodos en los que se lleva a cabo el movimiento de la inversión. Esto significa que A1, que es el flujo de efectivo del primer año, se verá incrementado en un gradiente g de magnitud constante a partir del año dos, y por lo tanto a partir del segundo año y para cada año hasta el año n2, se irán incrementando flujos de efectivo constantes de gradiente g. Si embargo, en el siguiente esquema podemos ver de manera equivalente cómo se van incrementando los flujos de efectivo en periodos iguales a tamaños de g iguales, lo que lo convierte en una forma equivalente de observar el incremento constante de gradiente g a los flujos de efectivo futuros.
2 84
análisis matemático financiero
A2 A1 1
2
3
n–2
n–1
n
Flujos de efectivo equivalente
Ejemplo 35
El inversionista que cuenta con kioscos para servicio de cafetería y centros para sap piensa abrir una cuenta de ahorros que paga una tasa de 16% anual. Su primer depósito será de $50 000 y debido a que las ganancias por sus negocios se incrementan gradualmente, también desea ahorrar incrementando sus depósitos en 10% anual constante. ¿Qué cantidad deberá ahorrar, para que la cantidad acumulada al final de 5 años sea la misma? 1 n a2 = g ( − ) i (1 + i)n − 1
Sustituyendo:
a2 =50 000+5 000 (
1 5 − ) 0.16 (1 + 0.16)5 − 1
a2 =50 000 + 5 000 (
1 5 − ) 0.16 1.1 003 416
A A 22 = 50 000 + 5 000(6.25 − 4.54) A2 = 50 000 + 5 000 (1.71) A2 = 55 000 + 8 550 A2 = 58 550
Flujos de efectivo con gradientes geométricos Pensando en qué momentos podemos tener flujos de efectivo de gradiente geométrico, concluimos que esta situación se presenta en situaciones inflacionarias o en épocas de recesión, donde los flujos de efectivo se incrementan o decrementan de manera constante en un factor K th.
2 85
UNIDAD 5
Expresado de manera gráfica tenemos:
AI A I–1
A I–2 A1
1
A2
2
A3
3
n–2
n–1
n
Flujos de efectivo con gradiente geométrico Expresado de manera matemática tenemos: 1 − (1 + j )n /(1 + i)n P = a1 (i − j) Para: i≠ j n a1 P= ( ) 1+ j Para: i = j Donde:
P = valor presente de los flujos de efectivo.
n = periodos de cambio.
A1= flujo neto de efectivo en cada periodo.
j = porcentaje fijo de cambio de cada flujo de efectivo.
Ejemplo 36
Un inversionista desea destinar un fondo de ahorro para construir un nuevo sap. Este nuevo negocio contará con más servicios y nuevas tecnologías de tratamientos, la construcción del centro se llevará a cabo en un año, mismo en el que se presentan situaciones inflacionarias debido a los cambios políticos en el país. Los costos de construcción se incrementarán en 3.5% trimestral. Si el inversionista inicia su ahorro depositándolo en una cuenta bancaria que paga 2.5% trimestral. ¿Cuánto tendría que depositar el inversionista si el primer pago de construcción es de $100 000 y suponiendo que deberá pagarlo en el primer trimestre de la obra?
2 86
análisis matemático financiero
1 − (1 + j )n /(1 + i)n P = a1 (i − j)
Para:
i≠ j
Sustituyendo: 1 − (1 + 0.035)4 /(1 + 0.25)4 P=100 000 (0.025 − 0.035)
Para i≠ j
P = 360 000
5.6. Ecuaciones de valor Existen diferentes problemas en los cálculos financieros, pero uno de ellos que es básico y muy importante es el de las inversiones equivalentes, es decir, que en valor del dinero y el tiempo produzcan el mismo resultado económico, lo cual puede ser supuesto y resuelto a través de las ecuaciones de valor equivalente. Lo anterior también puede utilizarse, para resolver entre diversas alternativas de negocio existentes y desde el punto de vista financiero, es fundamental plantear ecuaciones de valor equivalentes, para que por medio de ellas se logre identificar la opción que más satisfaga las expectativas del inversionista.
Ecuación de valor Es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada fecha focal.
Fecha focal o fecha de valuación Es la fecha que se elige para efectuar la equivalencia para cada caso y determina con exactitud los montos de las obligaciones. Recordando que para los casos de interés simple los montos varían de acuerdo con el tiempo. La fecha focal es elegida arbitrariamente en la línea de tiempo a la cual harán referencia las obligaciones y pagos para definir la ecuación de valor correspondiente. Lo importante de un buen análisis para la determinación de esta fecha, se fundamenta en el hecho de que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés.
2 87
UNIDAD 5
Si una persona decide en determinado tiempo cambiar la forma de liquidar alguna de las obligaciones que haya acordado, mediante pagos de cantidades diferentes a las previstas inicialmente y en tiempos distintos a los previamente establecidos, esto es posible siempre y cuando sea equivalente el monto a pagar del monto inicial. Derivado de lo anterior es importante recordar que: 1. Un mismo monto situado en dos fechas desiguales es diferente. 2. Cuando las fechas focales cambian producen variaciones en la determinación de lo montos. 3. Únicamente si las fechas coinciden, es posible sumar, restar o igualar distintos montos. Si una persona adquiere una deuda que pagará entregando $100 el día de hoy y $50 dentro de un año, y decide liquidar su deuda con un pago único en este momento, sería un error hacer el pago por la cantidad de $150 ya que debe solicitar una bonificación por el pago anticipado de $50 que vence en un lapso de un año. En el supuesto que tanto el acreedor como el deudor se sujeten a las reglas del interés simple, deben pactar una tasa de interés para la operación, con lo cual se determinará el valor actual de los $50. Por lo tanto, si la tasa anual es de 5% el valor actual de los $50 es: Utilizando la fórmula: s P =( ) 1 + rt Donde:
P = Capital inicial.
S = Monto.
r = Tasa de interés.
t = Tiempo medido en años.
Sustituyendo: 50 P =( ) 1 + (0.05)(1) P = 47.62 De lo cual podemos afirmar que si la persona desea hacer un pago único el día de hoy el monto será de $147.62 Continuando con el ejemplo, supongamos que el deudor no cuenta con los $100 para pagarlos en este momento y solicita al acreedor una prorroga de un año para liquidar su deuda, si el interés es el mismo el pago que deberá de hacer es:
2 88
análisis matemático financiero
Utilizando la fórmula: s P = ( ) 1 + rt Donde: S = monto
P = capital inicial
r = tasa de interés
t = tiempo medido en años s P = ( ) 1 + rt
Despejamos el monto: s = P (1 + rt ) Sustituyendo en la fórmula tenemos: S = (100) (1 + (0.05)(1)) S = (100) (1.05) S = 105 Por lo tanto el pago total a un año es de $155, de lo cual se puede resumir: $100 ahora y $50 en un año
son equivalentes
$147.62 ahora
si la tasa de interés
En la resolución de problemas en los cuales se deban combinar diferentes capitales, estos deben ser trasladados a la misma fecha, la cual se conoce como fecha focal o fecha de comparación. Un método recomendado para la definición de una ecuación de valor es: a) Elaborar un diagrama de tiempo donde se coloquen las obligaciones de un lado de la línea y los pagos del otro. b) Definir la fecha focal. c) Plantear la ecuación de valor donde se igualen las obligaciones originales y los correspondientes pagos, trasladando los montos a la fecha focal. Resulta evidente que el traslado de los pagos puede darse de dos formas tomando como referencia la fecha focal: la primera el traslado en el tiempo en sentido positivo (derecha) y la segunda es en sentido negativo (izquierda), si se hace un traslado positivo se capitaliza el pago, por lo tanto se aplican las fórmulas del monto, en cambio, si se hace un traslado negativo se descuenta aplicando la fórmula de valor presente.
2 89
UNIDAD 5
Ejemplo 37
Una persona adquiere una deuda donde debe pagar $300 en 6 meses y $400 en un año. Si decide que hace un pago único el día de hoy por el equivalente de su deuda teniendo una tasa de interés simple de 20% ¿Cuál es el monto a pagar? a) Elaboración del diagrama de tiempo. Fecha focal 0
Deudas originales
$300 6
$400 12
$x pago al contado Obligaciones b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de hoy.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
Para el primer monto tendríamos:
s P1 = ( ) 1 + rt
Para el segundo monto tenemos:
s P2 =( ) 1 + rt
El monto total a pagar a la fecha de hoy es:
Pt = P1 + P2
s s2 Pt = ( 1 ) + ( ) 1+ r t1 1 + r t2 Como el primer monto a pagar estaba definido a seis meses, eso equivale a medio año o 0.5 de año, por lo tanto el t1 es 0.5
Sustituyendo tenemos:
300 400 Pt = ( )+( ) 1 + (0.20)(0.5) 1 + (0.20)(1)
O también:
290
300 400 Pt = ( )+( ) 1 1 + (0.20)(1) 1 + (0.20)( 2)
análisis matemático financiero
300 400 )+( ) 1.1 1.2
Pt = (
Pt =272.72+ 333.33
Pt = 606.05
Nota: Es recomendable para plantear una ecuación de valor asignar x a la
variable que se va a calcular.
x=
300
1 1 + (0.20. ) 2
+
400 = $606.05 1 + (0.20.1)
Ejemplo 38
Una persona debe $1 000 a pagar en un año a un interés de 14%. Si realiza un trato en el que liquidará su deuda en dos pagos de la misma cantidad a los 3 y 9 meses, ¿de cuánto serán los pagos si se respeta el interés inicial?
Es necesario calcular cuál será el monto de la deuda de $1 000 a un año con un interés de 14%.
s = P(1 + rt ) = 1 000(1 + (0.14 ⋅ 1)) = 1 140 a) Elaboración del diagrama de tiempo. Pagos
0
3
6
Fecha focal
$1 140 Pagos al año
9
12
$x 3 meses
$x 9 meses
Obligaciones
b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de pago en 12 meses.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
Para el primer pago tenemos:
s = P (1 + rt )
291
UNIDAD 5
Para el segundo pago tenemos:
s = P (1 + rt )
Total a pagar:
s = P1 (1 + rt ) + P2 (1 + rt )
Sustituyendo:
s = P(1 + (0.14)(3 4) + (1 + (0.14)(1 4)
O también:
s = P(1 + (0.14)(0.75) + P (1 + (0.14)(0.25)
Como:
S = 1 140 obtenido anteriormente
Tenemos ahora que:
1 140 = 1.10P + 1.035P
Sumando:
1 140 = 2.135P
Despejando P P =
1 140 = 532.71 2.135
Cada pago será de $532.71
Nota: es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la variable a calcular.
3 1 x(1 + (0.14. )) + x(1 + (0.14. )) = 1 140 4 4 1.105 x + 1.035 x = 1 140
Ejemplo 39
Una persona contrae una deuda de $6 000, acordando un primer pago de $2 000, después de 4 meses, un segundo pago 8 meses después de la fecha inicial de $2 000. Si la tasa de interés es de 9% ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda? a) Elaboración del diagrama de tiempo. b) Definición de la fecha focal. La fecha será el último día de pago. c) Planteamiento de la ecuación de valor.
292
análisis matemático financiero
Pagos
Fecha focal
$6 000
0
4
8
12
$x 4 meses
$x 8 meses
Obligaciones
Nota: Es recomendable asignar la variable x para el valor a calcular.
x = P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t)
Sustituyendo tenemos: x = 6 000(1 + (0.09)(1)) − 2 000(1 + (0.09)(2 3) − 2 000(1 + (0.09)(1 3)
x = (6 000) (1.09) – 1.06 – 1.03
x = 6 540 – 2 120 – 2 060
x = 2 360
Nota: Es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la variable a calcular.
2 1 x =6 000 (1 + (0.09 ⋅ 1))– 2 000 (1 + (0.09 ⋅ )– 2 000(1 + (0.09 ⋅ ) 3 3 Las ecuaciones de valor pueden presentarse también en los casos del interés compuesto,
para esta situación se tiene que si se desea conocer el valor de una cantidad en el futuro sólo basta con aplicar el factor (1+i)n, y si se desea conocer el valor presente se aplicará el factor (1+i)-n.
Ejemplo 40
Una persona adquiere dos deudas, por una de ellas debe pagar $3 000 pasados 2 años y por la otra debe pagar $2 000 al final del primer año. Se fija una tasa de interés anual de 12% convertible cuatrimestralmente. ¿Cuánto es el monto que debe pagar el deudor si quiere saldar su deuda hoy?
2 93
UNIDAD 5
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
Fecha focal x
1
$2 000
2
$3 000
2 000 (1.04)–3
b) Definición de la fecha focal. La fecha focal es hoy.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
x = 2 000(1.04)–3 + 3 000(1.04)–6 = 1 778 + 2 370.94 = $4 148.94
Ejemplo 41
Se compra un vehículo a un particular por la cantidad de $50 000 el comprador da un adelanto de $10 000 y firma 2 pagarés de $5 000 cada uno que serán efectivos en los siguientes dos años. Si se carga un interés de 7% convertible semestralmente, ¿de cuánto debe ser el tercer pago que se efectuará al tercer año? a) Elaboración del diagrama de tiempo. Fecha focal
1
2
3
$5 000
$5 000
x
Total: $50 000 Adelanto: $10 000 Saldo: $40 000
b) Definición de la fecha focal. Se toma como fecha focal el día del tercer pago.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
2 94
x = 40 000(1 + 0.035)3 − 5 000(1 + 0.035)2 − 5 000(1 + 0.035)
análisis matemático financiero
x = 40 000(1.1 087) − 5 000(1.0712) − 5 000(1.035)
x = 44 348 − 5 356 − 5 175
x = $3 3817
Este resultado se puede comprobar con la siguiente tabla:
Tasa de interés Cantidad original
0.035
40 000
+ Interés al primer año
1 400
Total al primer año
41 400
– Primer abono
5 000
Saldo
36 400
+ Interés del segundo año
0.035
1 274
Total al segundo año
37 674
– Segundo abono
5 000
Saldo
32 674
+ Interés del tercer año
0.035
Total
1 143.59 33 817.59
Actividad 3 1.
¿Cuántos años se necesitan para que un depósito de $100 000 aumente a $120 000 cuando el interés anual es compuesto a 6%?
2.
Un préstamo de $12 000 se pagará como el capital y el interés al final del año 3 haciendo un pago de $15 000, ¿cuál es la tasa de interés sobre el préstamo?
3.
Un inversionista contrae una deuda de $80 000, acordando un primer pago de $12 000 después de 3 meses, un segundo pago 6 meses después de la fecha inicial de $12 000. Si la tasa de interés es de 6%, ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?
2 95
UNIDAD 5
5.7. Anualidades En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos de pago anuales. Algunos ejemplos de anualidades son: • Pagos mensuales por renta. • Cobro quincenal o semanal por sueldo. • Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito. • Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Concepto Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. 3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. 4. El número de pagos debe ser igual al número de periodos. Un ejemplo común de esta clase de pagos es la compra de una casa o un vehículo a través de un crédito, el pago de una pensión, etcétera. Al intervalo de tiempo entre cada uno de los pagos de la anualidad se le conoce como intervalo de pago o periodo de renta. Al tiempo transcurrido desde el comienzo del primer periodo hasta el final del último se le llama plazo de la anualidad. La renta periódica es el monto de cada uno de los pagos expresada en unidades monetarias.
2 96
análisis matemático financiero
Clasificación Las anualidades pueden clasificarse a partir de diferentes criterios como se muestra en la siguiente tabla:
Criterio
Tipo Ciertas
Definición Son aquellas en las que sus fechas de pago son fijas. Ejemplo, la compra de un bien en la que se fija la fecha del primer pago y la del último. Son aquellas en las que la fecha del primer pago, la fecha del último, o
Tiempo Contingentes
ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho en particular que deberá ocurrir, pero que no se sabe cuando. Ejemplos, las pensiones privadas, las del seguro social y las pólizas de seguros.
Son aquellos en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización Interés
Simples
de los intereses. Por ejemplo, el pago de una renta mensual x con intereses al y% anual capitalizable mensualmente.
Generales
Vencidos
Son aquellos cuyo periodo de interés e intervalo de pago no coinciden. También se conocen como anualidades ordinarias y se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Pagos Son aquellos en los que los pagos se efectúan al inicio del intervalo del Anticipados
pago, debiendo efectuarse el primer pago de inmediato. Por ejemplo, las primas de seguros y rentas sobre la propiedad.
Inmediatas • Anticipada • Vencida Iniciación Diferidas
Son aquellas que se cobran inmediatamente después de la formalización del contrato. Por ejemplo, la compra de bienes con pagos a mensualidades y la primera se paga en el momento de la compra o un mes después. Son aquellas en las que los cobros o pagos serán un tiempo después de adquirido el bien.
2 97
UNIDAD 5
Monto de una anualidad Para calcular el monto de una anualidad es necesario sumar cada una de las rentas periódicas con su respectivo interés compuesto, por ejemplo: Una persona deposita anualmente $500 en una cuenta que le paga 6% de interés capitalizable anualmente, ¿cuál será el monto acumulado de la cuenta, después de realizar el cuarto depósito?
a) Diagrama de tiempo. Hoy
0
1
$500
2 $500
$1 140 Pagos al año
3 $500
Fecha focal
4 $500
500(1.06)
500(1.06)
2
500(1.06)
3
b) Descripción de los pagos realizados.
Cuarto pago
$500
Tercer pago
500 (1.06)
$530
Segundo pago
500 (1.06)2
$561
Primer pago
500 (1.06)3
$595.51
Monto de la anualidad
$2 186.31
Determinación del monto Para el ejemplo anterior no es de gran dificultad realizar los cálculos de cada uno de los pagos para determinar el monto total de la anualidad, pero en caso de tener gran número de pagos, el proceso se vuelve complejo y tedioso. Considérese una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al final de cada uno de los n periodos e i es la tasa de interés por periodo. El diagrama de tiempo es el siguiente:
2 98
análisis matemático financiero
Valor presente
R
R
...
0
1
2
...
Monto
R n–1
R n Periodos
Ya que el primer pago se realiza al final del primer periodo, ganará intereses por (n-1) periodos. El segundo pago ganará intereses por (n-2) periodos, etc. El pago final no genera intereses. Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la anualidad viene dado por: m = r + r(1 + i)1 + r(1 + i)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + r(1 + i)n – 2 + r(1 + i)n –1 Por lo tanto, podemos ver el diagrama de tiempo de la siguiente forma:
Valor presente
R
R
...
0
1
2
...
R n–1
Monto R n Periodos 1(1+i) 1 ( 1 + i )r–2
sn
1 ( 1 + i ) r–1 El símbolo sn se utiliza para representar el monto de un número de n pagos de una unidad monetaria cada uno, a una tasa de interés por periodo igual a i. Factorizando la ecuación se tiene que: m = r 1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + i)n – 2 + (1 + i)n –1 Los sumandos dentro de los corchetes de la ecuación anterior constituyen una progresión geométrica, donde el primer término es 1, la razón común es (1+ i) y el total de términos es n. El álgebra demuestra que la suma de términos de una progresión geométrica es igual a: s=
a(r 1 – 1) r –1
Donde a es el primer término y r es la razón común, sustituyendo los valores del problema sobre anualidades sobre la fórmula general, tenemos: 1 (1 + i)n – 1 (1 + i)n – 1 sn = r =r (1 + i) – 1 i
2 99
UNIDAD 5
Donde: sn = el monto de una anualidad ordinaria de n pagos. R = valor de cada pago periódico.
i = tasa de interés.
n = número de periodos.
Ejemplo 42
Una persona deposita $500 anuales en una cuenta que paga 6% anual ¿qué cantidad habrá en la cuenta después de que se realice el cuarto depósito?
sn = r
(1 + i)n – 1 i
Tenemos:
R = 500
i = 0.06
n=4
Sustituyendo: s4 = 500
(1 + 0.06)4 – 1 = 2 187.31 0.06
Valor presente de una anualidad ordinaria Para calcular el valor presente de una anualidad, se realiza la suma de los valores presentes de cada uno de los pagos. Suponga que tiene una anualidad con pagos de una unidad de moneda R (pesos, dólares, centavos, etc.), durante n periodos, a una tasa de interés i por periodo. A partir de esto se realizan descuentos de cada pago hasta el principio de la anualidad, esta suma se representa como an . Valor presente
R
R
...
0
1
2
...
1 ( 1 + i ) –1 1 ( 1 + i ) –2 .
an
. .
1 ( 1 + i )r–1 1 ( 1 + i ) –r
300
R n–1
Monto R n Pagos
análisis matemático financiero
Si se escribe la suma de todos los pagos descontados teniendo como fecha focal el inicio de la anualidad tenemos: an = (14 + i)–1 + (1 + i)–2 + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + i)–( n –1) + (1 + i)– n Ésta es una expresión que corresponde a una progresión aritmética, donde el primer término es (1+ i)-1, la razón común es (1+ i)-1 y el número de términos es igual a n. Sustituyendo estos valores en la fórmula general de progresiones geométricas tenemos:
{
}
(1 + i)–1 (1 + i)–1 − 1 an = (1 + i)–1 − 1
Si se multiplica el numerador y el denominador por (1+ i) obtenemos: an =
(1 + i)– n (1 + i) − 1 (1 + i)– n − 1 −1(1 + i)– n = = = 1 − (1 + i) 1 − 1 − i −i i
Para obtener el valor de An, todo lo que debemos hacer es multiplicar por R, quedando la siguiente fórmula: an = r Donde:
1 − (1 + i)– n i
An = Valor presente de una anualidad ordinaria con n número de pagos. R = Valor de cada pago.
i = Tasa de interés por periodo.
n = Número de pagos.
Ejemplo 43
El señor Rodríguez adquiere un compromiso de pago de $1 000 al final de cada año durante los siguientes 5 años. Si se maneja con una tasa de interés 7% anual, ¿cuál es el equivalente en efectivo al día de hoy de la deuda?
Se tiene: an = r
1 − (1 + i)– n i
Sustituyendo: an = 1 000
1 − (1 + 0.07)–5 = 4 100.20 0.07
301
UNIDAD 5
Actividad 4 1.
Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de anualidad de interés compuesto.
Número de pagos
Cantidad de pago
3
$1 000
8%
7
$8 000
6%
3
$2 000
10 $500 $6 400 20 8 $9 000
$80 000 $4 000
2%
$4 000 $4 750
Cantidad compuesta
$7 820 13 %
5
2.
Tasa de interés
$104 470 $204 000
11 %
$79 429
10 %
$100 000
16 %
$31 554
Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de valor actual de una anualidad. Número de pagos
$
$116 000
Cantidad de un pago
Tasa de interés
$2 000
9%
$1 000
7%
$5 000
14 %
$8 000
%
$95 000
8%
$100 000
$17 699
12 %
$8 000
$1 498
16 %
$88 000
$11 000
%
$200 000
$40 000
%
$300 000
3.
17 %
Un contrato que cuesta $7 000 produce una anualidad de cuatro años de $2 000 anuales. El primer pago se recibirá un año después ¿cuál es la tasa de rendimiento implícita en este contrato?
302
análisis matemático financiero
5.8. Amortización y depreciación Una de las aplicaciones de las progresiones aritméticas y de las geométricas la encontramos en el cálculo de las depreciaciones a activos físicos. La depreciación es la pérdida del valor de un activo físico como consecuencia de ser usado. Para resolver las situaciones de depreciaciones es conveniente definir los siguientes conceptos. 1. Costo. Es el valor que un activo físico tiene en el momento de su adquisición. 2. Valor de salvamento. Es el valor del activo físico que se registra al final de su vida útil. 3. Depreciación total. Es la cantidad que resulta de restar al costo del activo físico el valor de salvamento. 4. Fondo para depreciación. Es el fondo donde se acumula una parte de las utilidades de la empresa para reemplazar determinado activo físico al final de su vida útil. 5. Valor en libros de un activo físico. Es la cantidad que resulta de restar al costo original del activo físico el fondo para la depreciación acumulada.
Causas de la depreciación 1.
La duración física del activo; se incluyen las causas por: • Agotamiento. • Desgaste. • Envejecimiento.
2.
La duración económica del activo; se incluyen las causas por: • Explotación por tiempo limitado. • Envejecimiento técnico. • Envejecimiento económico.
3.
La duración del activo según la contabilidad; se incluyen las causas por: • Consolidación. • Política de dividendos. • Políticas tributarias.
303
UNIDAD 5
Cálculo de la depreciación Para poder calcular la depreciación hay que tener en cuenta: 1. El valor a depreciar. 2. El valor de recupero. 3. La vida útil. 4. El método a aplicar.
1.
Valor a depreciar. Se refiere al costo de adquisición, sin olvidar, el valor que el bien pueda tener para la empresa al dejar de ser útil en su actividad (se refiere al posible valor de recupero).
2.
Valor a depreciar = Costo de adquisición del bien - Valor de recupero estimado al finalizar el uso
Valor de recupero (recuperación). Es la estimación del valor que el bien tendrá para la empresa una vez finalizada su utilización. Surge de la diferencia entre el precio de venta estimado y todas las erogaciones necesarias para retirar el bien de servicio.
Valor de recupero = Precio de venta estimado - Erogaciones para retirar el bien del servicio
3.
Vida útil. Es la duración que se le asigna a un bien como elemento de provecho para la empresa.
Las bases utilizadas para la determinación de la vida útil son: • Tiempo en años. • Capacidad de producción (producción total). •
La elección de la base dependerá de la característica del bien y del uso que se le dará.
Métodos de depreciación Son los métodos que permiten estimar el gasto por depreciación de los activos fijos: 1. Método de depreciación lineal. 2. Método de depreciación acelerado.
El valor estimado de la depreciación de un activo físico varía de acuerdo con el método seleccionado para su determinación, sin embargo, la depreciación total a lo largo de la vida útil del activo no puede ir más allá del valor de recuperación.
304
análisis matemático financiero
Método de depreciación lineal o en línea recta La aplicación de este método de línea recta, supone que el activo se desgasta por igual en cada periodo contable, este método se emplea con frecuencia debido a que es sencillo de calcular. d=
c−s n
Donde: D = monto de depreciación anual C = costo del activo S = valor de desecho
n = años de vida útil
Ejemplo 44
Utilizando el método de línea recta, depreciar una máquina con un valor de $585 000, cuyo valor de desecho es de $40 000 y se estima una vida útil de 6 años. C = $585 000 S = $40 000
n=6 d=
c−s n
Sustituyendo: d=
c − s 585 000 − 40 000 545 000 = = = 90 833.333 n 6 6
D= $90 833
Por tanto la depreciación anual es de:
$90 833.33
Método de depreciación acelerada En este método se recupera la inversión inicial original de los activos fijos y diferidos a través de la vía fiscal. Producen un gasto por depreciación más grande en los primeros años del uso del activo fijo, que en los últimos años de su vida útil. Algunos de los métodos de depreciación acelerada son:
305
UNIDAD 5
a)
Método de depreciación creciente: Este método supone que el desgaste que se produce es inferior en los primeros años y que aumenta progresivamente con el tiempo. • Creciente por suma de dígitos.
b)
Método de depreciación decreciente: Este método determina cuotas de depreciación con disminución progresiva hacia los últimos años de la vida útil. • Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo.
Método de depreciación creciente •
Creciente por suma de dígitos de años. El método establece la identificación del factor o fracción de depreciación La depreciación para cada año quedará expresada por la fracción cuyo denominador es la suma de los números (desde 1 hasta n) de los años de vida esperada del activo; y como numerador, el entero que corresponda al ordenar de mayor a menor los años de vida útil del activo.
Identificación del denominador:
año 1 + año 2 + año 3 + ....
O puede también utilizarse la fórmula:
n(n + 1) = s = denominador 2
Donde n corresponde al tiempo de vida útil.
Identificación del numerador:
año n
año n-1
+ año n = denominador
año n-2
....
año 2
año 1
Ejemplo 45
Si la vida útil de un activo se estima en seis años, identificar las fracciones de depreciación.
El denominador corresponde a la suma de los números de 1 a n:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Y el numerador corresponde a los años en orden invertido:
año: 1º
306
6
2º
3º
4º
5º
6º
5
4
3
2
1
Y la fracción que se depreciará cada año es: ( año/21 ) Depreciación:
6 21
5 21
4 21
3 21
2 21
Generalizando la fracción puede expresarse como: n − (k − 1) fk = n ∑i i =1
1 21
análisis matemático financiero
Para obtener la depreciación al final de cada año se multiplica la fracción por la base de depreciación.
di = (c − s) f k y la depreciación acumulada se obtiene multiplicando la base de depreciación por la suma de las fracciones acumuladas hasta el año en cuestión.
j d j = (c − s) ∑ f k k =1
Donde : j es el año en el que interesa calcular la depreciación acumulada.
Ejemplo 46
Utilizando los resultados de los ejercicios uno y dos, obtener la depreciación total acumulada para el cuarto año.
Del ejercicio uno se tiene:
(C – S) = $545 000
Del ejercicio dos se tienen las fracciones:
6 21
5 21
4 21
3 21
2 21
1 21
Entonces la depreciación acumulada para j = 4 será: 5 4 3 6 d4 = (545 000) + + + = (545 000)(0.8 571) = 467 142.86 21 21 21 21
D4 = $467 142.86
En la siguiente tabla se muestra un concentrado del cálculo del gasto anual por depreciación, de acuerdo con el método de la suma de dígitos de años.
Método: suma de dígitos de años Año
Fracción
Depreciación anual
Depreciación total
1
6/21
155 714.29
155 714.29
2
5/21
129 761.90
285 476.19
3
4/21
103 809.52
389 285.71
4
3/21
77 857.14
467 142.85
5
2/21
51 904.76
519 047.61
6
1/21
25 952.38
544 999.99
El método da como resultado una importe de depreciación mayor en el primer año y una cantidad cada vez menor en los años subsecuentes de vida útil. 307
UNIDAD 5
Método de depreciación decreciente •
Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo. En este método se aplicará un porcentaje constante sobre el valor en libros o valor por depreciar del activo. Puesto que el valor en libros disminuye cada año, los cargos por depreciación son elevados al principio y luego se hacen cada vez menores al aplicar el porcentaje fijo.
Sean:
C = El costo inicial que se supone igual al reemplazo. V 1, V2, V3, ......., V k = los valores en libros al final de los años 1, 2, ..., k;
n = El número de años de vida útil.
r = El porcentaje fijo.
el valor en libros al final del primer año:
v1 = v0 − v0 r = c − cr(1 − r ) Al final del segundo año: v2 = v1 − v1 r = v1 (1 − r ) = c(1 − r )(1 − r ) Sucesivamente para el año n: n
vn = c(1 − r ) Utilizando esta fórmula es posible conocer el valor en libros al final de cualquier año que será igual al valor de salvamento (S). vn = s = c(1 − r )n Bajo este método la depreciación anual será dada por la siguiente fórmula: dn = vn − 1r Ejemplo 47
Una compañía tiene un equipo cuyo valor es de $55 000. Se calcula que su vida útil será de 4 años y que al final de ella su valor de desecho será de $10 000. Determínese la tasa de depreciación que debe aplicarse. C = $55 000 S = Vn = $10 000
n = 4 años vn = s = c(1 − r )n Haciendo el despeje de r se tiene: r =1− n
308
s c
análisis matemático financiero
r =1− 4
10 000 = 1 − 0.3 672 = 0.6 328 55 000
Por tanto el porcentaje a aplicar será de:
r = 63.28%
Amortización Una amortización es la disminución o extinción gradual de cualquier deuda durante un tiempo determinado. La amortización de un préstamo se da cuando el prestatario paga al prestamista un reembolso de dinero prestado en un cierto plazo con tasas de interés estipuladas. Conceptos relacionados.
Definiciones fundamentales Amortización. Cualquier pago periódico o no destinado a reponer el principal de una deuda. Liquidación. Cualquier pago que incluye la amortización y el pago de intereses de una deuda. Fondo de amortización. Cantidad de recursos monetarios que se acumulan con el objetivo de amortizar una inversión o deudas a través de una imposición cierta con tasa y plazos preestablecidos. Término o cuota del fondo de amortización. Los abonos colocados a la tasa del fondo de amortización y cuyo monto corresponde con l al de u del que se desea amortizar. En la actualidad es común contraer créditos o deudas para la adquisición de bienes. Una forma de pago de estas deudas consiste en definir un número de pagos cada cierto tiempo de una cantidad establecida, como ya estudiamos en capítulos anteriores a esto se le conoce como anualidad. Se puede considerar que cada pago realizado se compone tanto del interés como del pago del préstamo, por lo tanto, conforme se van realizando los pagos el saldo deudor disminuye y en consecuencia el interés asociado al saldo decrece. Por lo tanto conforme la deuda va disminuyendo, mayor parte del pago estará destinada a liquidar el saldo deudor, a este proceso se le conoce como amortización.
309
UNIDAD 5
Formulario Donde: ci r= 1 − (1 + i)− n
Pago periódico
R es la renta periódica C es el monto de la anualidad i es la tasa de interés n es en número de pagos Donde:
Capital insoluto
ran = r
1 − (1 + i)− n i
R es la renta periódica i es la tasa de interés n es en número de pagos Donde:
Total de intereses pagados
n R–C
R es la renta periódica C es el monto de la anualidad n es en número de pagos
Determinación del pago de amortización Ejemplo 48
Una persona adquiere una deuda de $2 000 con una tasa de interés de 10% anual, si debe saldar la deuda en tres pagos anuales, ¿de qué monto son los pagos?
Como ya se sabe: r=
ci 1 − (1 + i)− n
Donde:
R = Monto a pagar. C = Monto de la anualidad.
i = Tasa de interés.
n = Número de pagos.
Por lo tanto si se tiene que:
C = 2 000
310
i = 0.10
n=3
análisis matemático financiero
Sustituyendo en la fórmula: r=
2 000(0.10) 1 − (1 + 0.10)−3
r=
200 1 − (1.10)−3
r=
200 1 − (0.7 513)
r=
200 0.2 486
r = 804.23
Por lo tanto se requieren tres pagos de $804.23 para saldar la deuda.
Ejemplo 49
Una persona compra un automóvil mediante un crédito de $200 000 y que será pagado en un plazo de 2 años con una tasa de interés 3% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el monto de los pagos mensuales? y ¿cuánto es el cargo total debido a los intereses?
Si se tiene que:
C = 200 000 i=
.03 = 0.0025 12
n = (12)(2) = 24
Sustituyendo en la fórmula inicial se tiene que:
r=
ci 1 − (1 + i)− n
r=
200 000(0.0 025) 500 500 500 = = = = 8 596.24 −24 −24 1 − (1 + 0.0 025) 1 − (1.0 025) 1 − 0.9 418 0.0 582
Por lo tanto se deben realizar 24 pagos de:
$8 596.24
De lo anterior se tiene que:
(8 596.24)(24) = 206 309.81
Si a esto le restamos la anualidad de 200 000 quedan 6 309.81 producto de los intereses.
311
UNIDAD 5
Actividad 5 1.
Una persona hace una compra de $5 000 mediante un crédito, acordando que la liquidación la realizará por medio de 10 pagos iguales, si la tasa de interés es de 12% compuesto bimestralmente, ¿de cuánto serán los pagos fijos?
2.
$150 000 se liquidan mediante 18 pagos trimestrales durante 5 años a una tasa de interés de 29% anual, ¿a cuánto ascienden los pagos?
3.
Para la compra de un departamento una persona recurre a un préstamo a crédito de $1 200 000, si debe saldar el crédito por medio de pagos trimestrales durante los siguientes 15 años a una tasa de 14% convertible trimestralmente, ¿de qué cantidad serán los pagos a realizar? ¿Cuánto pagará esta persona de interés?
Tablas de amortización El proceso de liquidación de una deuda puede expresarse mediante una tabla, la cual se conoce como tabla de amortización, en ésta pueden enunciarse diversos conceptos. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 50
Se adquiere un crédito de $1 000 a pagar durante cuatro anualidades con una tasa de interés de 10% al año.
Si sabemos que
C = 1 000
i = 0.1
n=4
sustituyendo en la fórmula general se tiene:
r=
ci 1 − (1 + i)− n
r=
1 000(0.1) 100 100 100 = = = = 315.46 −4 −4 1 − (1 + 0.1) 1 − (1.1) 1 − 0.6 830 0.3 170
Por lo tanto para liquidar la deuda deberán realizarse cuatro pagos de $315.46, cada uno de estos pagos se compone tanto del interés al saldo, como del abono al capital, tal como lo muestra la siguiente tabla:
312
análisis matemático financiero
Periodo
Capital al inicio del periodo
Interés del periodo(i = 0.1)
0
1 000
1
784.54
100
315.46
215.46
2
547.53
78.45
315.46
237.01
3
285.92
53.85
315.46
261.61
4
–0.95
28.59
315.46
286.87
260.89
1 261.84
Total
Pago fijo
Abono al capital
1 000.95
Actividad 6 1.
Un préstamo de $20 000 se amortizará con 12 pagos iguales realizados semestralmente. Si la tasa de interés es de 14% convertible cuatrimestralmente. Determinar el pago semestral y realizar la tabla de amortización.
2.
Realice la tabla de amortización para un crédito de $50 000 con un interés de 4% convertible bimestralmente. Con pagos semestrales durante 3 años.
3.
Se compra un departamento de $1 450 000 con un enganche de $800 000 y pagos semestrales a 5 años. Si la tasa de interés es de 7% capitalizable mensualmente. Calcule el pago periódico y realice la tabla de amortización.
Determinación de la deuda pendiente de amortización. Capital insoluto El capital insoluto es el saldo de la deuda pendiente de pagar, este dato es importante ya que con frecuencia la parte deudora quiere liquidar la parte restante de su deuda por medio de un pago único. O el acreedor desea traspasar la deuda por lo que se vuelve indispensable conocer el saldo pendiente de amortizar. Para el caso de que la deuda sea saldada en pocos pagos, si se necesita conocer el saldo insoluto basta con construir una tabla de amortización y verificarlo. Pero en el caso de que se haya preestablecido un gran número de pagos, este proceso puede ser tedioso. Por lo que es mejor adoptar el siguiente método:
313
UNIDAD 5
1. Determinar el monto del pago periódico. 2. Calcular con el dato anterior el monto de la anualidad que queda pendiente de pagar, tomando en cuenta que se desea saber únicamente los pagos que faltan por realizar, por lo que al total de pagos habrá que restarle los ya realizados. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 51
Un señor adquiere un crédito de $10 000 a 10 años con interés de 7.5% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el capital insoluto después de haber realizado 7 pagos?
Tenemos:
C = 10 000
i = 0.075/12 = 0.006
n = 10
Sustituimos para conocer el monto del pago periódico:
r=
ci 1 − (1 + i)− n
r=
10 000(0.006) 60 60 = = = 1 033.33 −10 1 − (1 + 0.006) 1 − 0.9 419 0.0580
Una vez conocido el pago se calculará el monto de las anualidades que no han sido saldadas. Para esto es necesario tomar en cuenta que el total de periodos de pago son 10 y que hasta el momento se han hecho 7, por lo que falta por realizar 3 pagos.
Por lo tanto:
R = 1 033.33
i = 0.006
n=3 c=r
1 − (1 + i)− n i
Sustituyendo: c = 1 033.3
1 − (1 + 0.006)−3 1 − (0.9822) = 1 033.3 = 0.006 0.006
0.0 178 = 1 033.3(2.9643) = 3 063.07 0.006
1 033.3
Por lo tanto el saldo insoluto en el séptimo periodo es de $3 063.07, lo cual se puede comprobar si se realiza la respectiva tabla de amortización.
314
análisis matemático financiero
Periodo
Capital al inicio del periodo
Interés del periodo (i=0.006)
0
10 000
1
9 026.67
60
1 033.33
973.33
2
8 047.50
54.16
1 033.33
979.19
3
7 062.46
48.29
1 033.33
985.04
4
6 071.50
42.37
1 033.33
990.96
5
5 074.60
36.43
1 033.33
996.90
6
4 071.72
30.45
1 033.33
1 002.88
7
3 062.82
24.43
1 033.33
1 008.90
8
2 047.86
18.38
1 033.33
1 014.95
9
1 026.82
12.29
1 033.33
1 021.04
10
–0.35
6.16
1 033.33
1 027.17
332.95
10 333.30
10 000.35
Total
Pago fijo
Abono al capital
Actividad 7 1.
Se solicita un préstamo para la compra de una camioneta por $360 000, si se hacen pagos mensuales durante 4 años y la tasa de interés es de 5.3% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el saldo insoluto después de 2.5 años?
2.
Una persona compra un estéreo por $20 000 y acuerda realizar pagos semanales. Si la tasa de interés es de 7% convertible semestralmente. ¿Cuánto adeuda en la semana 30?
3.
Una deuda de $450 000, con interés de 2.3% convertible trimestralmente, se amortiza mediante pagos mensuales durante 15 años. Determine el saldo insoluto después de 7.5 años.
315
UNIDAD 5
Cálculo del interés en un periodo determinado Otro de los conceptos importantes en las amortizaciones es el interés correspondiente a un cierto periodo, esto es posible a partir del concepto anterior. Si calculamos el capital insoluto del periodo anterior éste se multiplica por la tasa de interés, con lo que se obtiene el interés del periodo.
Ejemplo 52
Un préstamo de 2 000 se paga trimestralmente durante 2 años, si el interés es de 3% convertible mensualmente. Determine el monto del pago y el interés que se genera en el pago 20.
Si se sabe que: r=
ci 1 − (1 + i)− n
C = 2 000
i = .03/12 = 0.0025
n = 12(4) = 48 Sustituyendo: r=
2 000(0.0 025) 5 5 = = = 44.27 −48 1 − (1 + 0.0 025) 1 − (0.8 871) 0.1 129
Por lo tanto deben realizarse 48 pagos de $44.27
Para calcular el interés en el pago 20 es necesario conocer el capital insoluto en el periodo anterior, a saber, el 19 y después multiplicar el resultado por la tasa de interés.
Por lo tanto: c=r
1 − (1 + i)− n i
R = 44.27
i = 0.0025
n = 48 – 19 = 29
Sustituyendo:
c = 44.27
44.27 316
1 − (1 + 0.0 025)−29 1 − 0.9 301 = 44.27 = 0.0 025 0.0 025
0.0 699 = 44.27(27.94) = 1 236.91 0.0 025
análisis matemático financiero
Finalmente:
i = 1 236.91(0.0 025)= 3.09
Queda como ejercicio al lector comprobar que esta cantidad coincide con la tabla de amortización correspondiente al ejercicio.
Actividad 8 1.
Se adquiere un televisor de plasma por $45 000 mediante un crédito de 12% anual a pagos mensuales durante 2 años. ¿Cuánto se paga por concepto de intereses en la mensualidad 18?
2.
Se compra un servidor de $1 560 000 mediante un crédito, acordando pagos bimestrales durante 3 años a una tasa de interés de 4.6% convertible trimestralmente. ¿Cuál es la cantidad por intereses en el pago 7, 11 y 17?
3.
Una persona consigue un préstamo de $4 150 000 a pagar en 40 años, si la tasa de interés es de 4% convertible semestralmente y realiza sus abonos cada mes. ¿Cuánto paga en total de interés? ¿Cuál es el pago por intereses en el periodo 35, 145 y 406?
5.9. VPN y TIR: Elementos fundamentales para evaluar la efectividad de un proyecto La evaluación de la efectividad de un proyecto de inversión tiene por objetivo conocer su rentabilidad económica y social, de manera que solvente una necesidad humana en forma eficiente, segura y rentable, determinando los recursos económicos con que cuente la mejor alternativa. Un proyecto de inversión se define como un método organizado y evaluado, al cual si se le asigna capital y se le proporcionan insumos podrá formar un bien o servicio que permita satisfacer una necesidad. Se pueden extraer algunos puntos importantes en relación con la evaluación de la efectividad de un proyecto de inversión:
317
UNIDAD 5
• Correcta asignación de los recursos. • Igualar el valor adquisitivo de la moneda presente con la moneda futura y estar seguros de que la inversión será realmente rentable. • Decidir el ordenamiento de varios proyectos en función de su rentabilidad. • Tomar una decisión de aceptación o rechazo. Un proyecto de inversión contiene siempre un grado de riesgo, ya que se basa en estimaciones futuras, por lo cual es conveniente realizar un estudio minucioso para disminuir esa probabilidad de riesgo. Por ello el desarrollo y formación de indicadores financieros, que muestren de manera adecuada las características importantes del proyecto de inversión, nos permiten tomar decisiones en tiempo y forma, las cuales repercutirán de manera importante en la consolidación o truncamiento del proyecto.
Tipos de proyectos 1.
Desde el punto de vista financiero: a) No rentables. Tienen salidas de fondos definidos y cuantificables, pero que no están orientados hacia la obtención de lucro o utilidad monetaria. Por ejemplo, los proyectos de investigación. b) Rentables. Se obtiene una utilidad directa y palpable. c) No medibles. Son proyectos que tienen cuantificadas las salidas de efectivo, pero no pueden determinar una utilidad con cierto grado de seguridad. Por ejemplo, el desarrollo de un nuevo producto. d) Reemplazo. Son proyectos que representan el análisis de la temporalidad de la vida útil de un bien, prorrogada por nuevos gastos de mantenimiento y reparación de los bienes existentes. Ejemplo de ello es la sustitución de maquinaria obsoleta por nueva. e) Expansión: Son los proyectos que aumentan la actual capacidad instalada de producción o de venta. Un ejemplo de lo anterior es el hecho de incrementar la inversión de activos fijos.
2.
Desde el punto de vista de la finalidad del proyecto: • Proyectos de reducción de costos. • Proyectos de nuevos productos. • Proyectos de diversificación de servicios.
318
análisis matemático financiero
• Proyectos de nuevos mercados. • Proyectos de reemplazo de equipo. • Proyectos de investigación y desarrollo.
3.
Por el tamaño y actividades de la empresa: • Proyectos para toda la empresa. • Proyectos por divisiones. • Proyectos por departamentos. • Proyectos por productos o servicios.
Indicadores financieros Los indicadores financieros son obtenidos directamente de los estados financieros proforma. Se seccionan para el análisis y la evaluación de sus componentes o cuentas más representativas. Para ello se utiliza lo que se conoce como razones financieras. Los principales indicadores, recomendados para evaluar un proyecto de inversión son los siguientes: • Tasa interna de rendimiento o de retorno (TIR). • Valor presente neto (VPN). • Índice del valor presente neto (IVPN). • Periodo de recuperación de la inversión (PRI). • Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPR). • Tasa de rendimiento estimada mínima aceptada (TREMA). • Costo anual equivalente uniforme (CAUE). • Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPR). Nos ocuparemos de aquellas que aportan los criterios de evaluación más importantes.
Valor presente neto (VPN) Es la diferencia entre la suma de los valores presentes de los flujos futuros y la inversión inicial. Esto significa que: • Indica la generación neta de recursos a valor presente. • Obtiene flujos netos de efectivo (FNE). • Realiza evaluaciones económicas. • Permite evaluar inversiones individuales. • Elegir entre varias propuestas de inversión competitivas.
319
UNIDAD 5
• Mide el impacto en la riqueza del accionista producida por el conjunto de inversiones que constituyen la cartera de posibilidades de un inversionista. • Es el criterio de evaluación de capital elegido. La forma matemática de calcular el VPN es a través de esta ecuación: vPn =
x=n
∑ F (1 + i) x =1
x
−x
−1
Donde: VPN = valor presente neto.
Fx = flujo de efectivo.
t = tasa de descuento.
i = inversión inicial.
El valor presente neto es un indicador que comprende la actualización de los flujos del proyecto a lo largo del horizonte de evaluación y considera que todos los beneficios en relación a los costos deben ser comparados en el presente. • Si el VPN es positivo se considera que el proyecto es favorable, ya que cubre el nivel mínimo de rechazo representado por la tasa de descuento, y representa el excedente que queda para el inversionista después de haberse recuperado la inversión, los gastos financieros y la rentabilidad exigida por éste. •
Si el VPN es igual o cercano a cero, el proyecto apenas cubre el costo mínimo.
• Si el VPN es negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de aceptación y por lo tanto es un proyecto que debe descartarse. Existen cuatro formas de calcular los indicadores VPN y TIR, para ello los datos se toman del estado de resultados. Las modalidades son: 1. Producción constante, sin inflación, sin financiamiento. 2. Producción constante, con inflación y sin financiamiento. 3. Producción constante, con inflación y con financiamiento. 4. Producción variable, sin inflación y con financiamiento.
En el caso de la comparación de proyectos se deberá considerar que un proyecto es mejor que otro cuando el VPN sea mayor. Por lo tanto, si al flujo del proyecto se le descuentan los intereses y amortizaciones, el saldo equivaldría a la recuperación del aporte del inversionista más la ganancia por el exigible
320
análisis matemático financiero
y un excedente igual al VPN del proyecto, que representaría la ganancia adicional a la mejor alternativa de la inversión. El tamaño óptimo corresponde al mayor valor actual neto de las alternativas analizadas, es decir, cuando la diferencia entre ingresos y egresos actualizados se maximiza. Si se determina la función curva, este punto se obtiene cuando la primera derivada es igual a cero y la segunda es menor que cero, para asegurar que el punto sea máximo. El mismo resultado se obtiene si se analiza el incremento de VPN que se logra con aumentos de tamaño; en este caso.
Ejemplo 53
Una empresa de dulces desea hacer una inversión en equipo relacionado con el manejo de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un valor en el mercado de $100 000 y representará para la compañía un ahorro en mano de obra y desperdicios de materiales del orden de $40 000 anuales.
Se toma en consideración que la vida útil estimada para el nuevo equipo es de cinco años, al final de los cuales se espera una recuperación monetaria de $20 000. Se recomienda considerar que la empresa ha fijado una TREMA (tasa de rendimiento mínima aceptable) de 25%. a) Utilizando la ecuación de VPN tenemos:
a1 a2 a3 an vPn = a0 + + + + 2 3 n (1 + K ) (1 + K ) (1 + K ) (1 + K )
b) Sustituyendo los valores en la ecuación. 40 000 40 000 40 000 40 000 60 000 vPn = −100 000 + + + + + 2 3 4 5 (1 + 0.25) (1 + 0.25) (1 + 0.25) (1 + 0.25) (1 + 0.25) VPN = $14 125 Como el VPN es positivo, se recomienda la compra del nuevo equipo.
Ejemplo 54
Se trata de la misma empresa con el mismo proyecto de inversión, pero ahora los inversionistas fijan una TREMA de 40%, ¿qué ocurre con el VPN?
a1 a2 a3 an vPn = a0 + + + + 2 3 (1 + K ) (1 + K ) (1 + K ) (1 + K )n
321
UNIDAD 5
a) Sustituyendo los valores en la ecuación
40 000 40 000 40 000 40 000 60 000 vPn = −100 000 + + + + + 2 3 4 5 (1 + .40) (1 + .40) (1 + .40) (1 + .40) (1 + .40)
VPN = –$14 875
Como el VPN resultó negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de aceptación, por lo tanto el proyecto debe descartarse.
En la gráfica observamos la representación del VPN respecto a la tasa que esperan los inversionistas. Notamos como la TREMA queda por arriba de lo que ofrece el proyecto. vPn
14.1
25
40
Trema
14.8
Selección de proyectos mutuamente excluyentes Esta metodología consiste en la selección de una alternativa entre varias mutuamente excluyentes, para ello existen varios procedimientos equivalentes y son: 1. Valor presente de la inversión total. 2. Valor presente del incremento en la inversión.
322
análisis matemático financiero
Valor presente de la inversión total El valor de la alternativa que se prefiera con este procedimiento deberá ser mayor a cero, ya que con esto se asegura que el rendimiento que se alcanza es mayor que el interés mínimo atractivo.
Ejemplo 55
Nuevamente la empresa anterior debe seleccionar una de las alternativas, utilizando una TREMA de 25% a) Primeramente se calcula el VPN para cada alternativa:
a1 a2 a3 an vPn = a0 + + + + 2 3 (1 + K ) (1 + K ) (1 + K ) (1 + K )n
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000 vPn = −100 000 + + + + = 7 571 + 2 3 4 5 (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25)
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000 vPn = −100 000 + + + + = 35 142 + 2 3 4 5 (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25)
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000 vPn = −100 000 + + + + = 35 142 + 2 3 4 5 (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25) (1 + .25)
b) Se comparan los VPN obtenidos y se encuentra que el mayor corresponde a la alternativa B. A = 7 571
B = 35 142
C = 18 600
Ejemplo 56
Un empresario desea saber en qué proyecto debe invertir, de tal manera que elija la alternativa que sea inmejorable. a) Primeramente se calculan los FNE para los cuatro proyectos.
323
UNIDAD 5
FNE
n Tamaño individual
Familiar
Económico
Gigante
1
$1 200 000
$1 650 000
$1 160 000
$1 800 000
2
$1 200 000
$1 650 000
$1 160 000
$1 800 000
3
$1 200 000
$1 650 000
$1 160 000
$1 800 000
4
$1 200 000
$1 650 000
$1 160 000
$1 800 000
5
$1 200 000
$1 650 000
$1 160 000
$1 800 000
6
$2 400 000
$3 150 000
$3 160 000
$3 900 000
FNE
$8 400 000
$11 400 000
$8 960 000
$6 000 000
Para esto se suman los ingresos de cada periodo para cada alternativa. FNE=1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+2 400 000=8 400 000 b) Se calcula el VPN para cada alternativa.
Proyecto individual
324
1
1 200 000 (1 + .20)
$1 000 000
2
1 200 000 2 (1 + .20)
$833 333
3
1 200 000 3 (1 + .20)
$694 444
4
1 200 000 4 (1 + .20)
$578 704
5
1 200 000 5 (1 + .20)
$482 253
6
1 200 000 6 (1 + .20)
$803 755
FNE
$4 392 490
Inversión inicial
$3 000 000
VPN
$1 392 490
análisis matemático financiero
Proyecto familiar 1
1 650 000 (1 + .20)
$1 375 000
2
1 650 000 2 (1 + .20)
$1 145 833
3
1 650 000 3 (1 + .20)
$954 861
4
1 650 000 4 (1 + .20)
$795 718
5
1 650 000 5 (1 + .20)
$663 098
6
1 650 000 6 (1 + .20)
$1 054 929
FNE
$5 989 439
Inversión inicial
$4 500 000
VPN
$1 489 439
Proyecto económico 1
1 160 000 (1 + .20)
$966 667
2
1 650 000 2 (1 + .20)
$805 556
3
1 160 000 3 (1 + .20)
$671 296
4
1 160 000 4 (1 + .20)
$559 414
5
1 160 000 5 (1 + .20)
$466 178
6
3 160 000 6 (1 + .20)
$1 058 278
FNE
$4 527 388
Inversión inicial
$5 250 000
VPN
–722 612
325
UNIDAD 5
Proyecto gigante 1
1 800 000 (1 + .20)
$1 500 000
2
1 800 000 2 (1 + .20)
$1 250 000
3
1 800 000 3 (1 + .20)
$1 041 667
4
1 800 000 4 (1 + .20)
$868 056
5
1 800 000 5 (1 + .20)
$723 380
6
3800 000 6 (1 + .20)
$1 306 102
FNE
$6 689 204
Inversión inicial
$6 000 000
VPN
689 204
El proyecto económico se descarta por ser negativo, la alternativa que ofrece el VPN más alto corresponde al proyecto familiar.
Valor presente del incremento de la inversión Para este procedimiento se siguen los siguientes pasos: 1. Colocar las alternativas en un orden ascendente de acuerdo con la inversión inicial. 2. Seleccionar la alternativa de menor costo. 3. Comparar la mejor alternativa con la consecutiva dada del punto uno. 4. Repetir el procedimiento cuantas veces sea necesario hasta haber analizado todas las alternativas.
326
análisis matemático financiero
Ejemplo 57
Nuevamente partiendo de nuestro ejemplo de la empresa anterior, aplicar los pasos dados para determinar la mejor alternativa, considerando la TREMA de 25%. a) Ordenar las alternativas
5 40 000 vPn a = −100 000 + ∑ = 7 571 i i =1 (1 + .25) 5 40 000 vPn B − a = −80 000 + ∑ i i =1 (1 + .25)
= 27 571
5 40 000 vPn c − B = −30 000 + ∑ = –16 553 i i =1 (1 + .25)
b) Comparar las alternativas de acuerdo con el monto.
La alternativa más viable es la B, debido a que es la más alta y el VPN no es menor a cero como en el tercer caso.
Tasa interna de retorno (TIR) Es la tasa a la que se transportan o descuentan los diferentes flujos futuros de efectivo a su valor presente para igualar la inversión, es decir, la tasa de descuento que implica un valor presente neto igual a cero. (VPN = 0) vPn =
x=n
∑ Fx(1+i)
–n
–1=0.00
x =1
Donde: i= Inversión. La TIR refleja el rendimiento de los fondos invertidos, siendo un elemento de juicio muy usado y necesario cuando la selección de proyectos se hace bajo una óptica de racionalidad y eficiencia financiera. La TIR o rentabilidad financiera de un proyecto se define de dos formas: 1. Es aquella tasa de actualización que hace nulo el valor actual neto del proyecto, es decir, cuando el VPN es cero, situación que se observa en la siguiente gráfica:
327
UNIDAD 5
vPn 2.+38
1.09 +
15 +
Tir
0
2 + 6 8 10 12 1+ 16 18 20 22 2+
–1 ++
A diferencia del VPN la TIR supone que el cálculo de ésta va al encuentro de una tasa de interés, generalmente mediante tanteos. 3. La TIR es la máxima tasa de interés que puede pagarse o que gana el capital no amortizado en un periodo de tiempo y que conlleva la recuperación o consumo del capital. Para despejar confusiones, la TIR no es un rendimiento constante sobre la inversión inicial, sino sobre la parte de la inversión no amortizada. Esta característica mal entendida ha sido la base de críticas sobre la TIR, argumentando que ésta implica la reinversión de los beneficios, sin embargo, reconociendo que el rendimiento no es siempre sobre el capital inicial, se debe aceptar entonces que la tasa de rendimiento calculada no implica la reinversión, pues no se considera la utilización que el inversionista haga de los beneficios generados, ésa es una cuestión independiente al concepto TIR.
TIR con flujos constantes sin inflación • Bajo ésta se consideran los FNE a lo largo del tiempo. • La producción será constante. • Los ingresos y los costos permanecen constantes. Como la TIR espera la suma de los flujos descontados sea igual a la inversión inicial, entonces la i actúa como tasa de descuento y por consecuencia los flujos a los que se les aplica, se convierten en flujos descontados. Fne 1 Fne 2 Fne n P = + + + vs (1 + t )1 (1 + t )2 (1 + t )n
328
análisis matemático financiero
Ejemplo 58
La inversión inicial es:
P = $5 935 000
FNE del primer año:
A = $1 967 000
Se considera una anualidad ya que permanecen constantes durante los cinco años.
TMAR sin inflación es de 15%
VS = $3 129 000
Periodo = 5 años a)
Fne1 = Fne2 = Fne3 = Fne4 = Fne5 = a
(1 + i)5+ 3 129 b) 5 935 000 =1 967 5 5 i (1 + i) (1 + i) c) La i que satisface a la TIR del proyecto es i = 27.6 734 469% �������������� Este valor de TIR se obtuvo de una manera de ensayo, es decir, que proponiendo valores de interés (i) satisfagan el valor de la inversión. ������������������������������������������������������������������������������� La decisión de inversión con base en la tasa interna de retorno es también muy sencilla, se debe seleccionar el proyecto cuya TIR sea mayor a la TREMA, en caso contrario se rechaza. Un proyecto es mejor que otro cuando se posee una TIR más alta. F n e 1 F n e 2 F n e n Tir = + + – i =0 1 (1 + t )2 (1 + t )n (1 + t ) Nomenclatura: TIR = tasa Interna de Retorno. FNE = flujo neto de efectivo. t = tasa de descuento. I = inversión inicial. Cuando utilizamos el Valor Presente Neto (VPN) para calcular la TIR debemos tomar en cuenta el mínimo común múltiplo de los años de vida útil de cada alternativa, sin embargo, cuando se hace uso del CAUE, sólo es necesario tomar en cuenta un ciclo de vida de cada alternativa, pues lo que importa en este caso es el costo de un año; esto la puede hacer de más fácil aplicación.
329
UNIDAD 5
Se puede llevar a cabo la evaluación de proyectos de manera individual o de alternativas de inversión.
Evaluación de proyectos de inversión individuales.
Ejemplo 59
Un terreno con una serie de recursos fértiles por su explotación produce $100 000 al final de cada mes durante un año; al final de este tiempo, el terreno podrá ser vendido en $800 000. Si el precio de compra es de $1 500 000, hallar la Tasa Interna de Retorno (TIR). a) Primero se dibuja la línea de tiempo. $800 000 $100 000
1
$100 000
2
$100 000
3
$100 000
12
$1 500 000
b) Luego se plantea una ecuación de valor en el punto cero.
–1 500 000 + 100 000 a12 i + 800 000 (1 + i)–1 = 0 100 000 a 12i quiere decir que los doce flujos de efectivo de esta cantidad deberán ser elevados a una tasa de retorno i, que es la que se desconoce y que será la que se calcule para que satisfaga el valor de la venta del terreno.
La forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es elegir dos valores para i no muy lejanos, de forma tal que al realizar los cálculos con uno de ellos, el valor de la función sea positivo y con el otro sea negativo. Este método es conocido como interpolación.
33 0
análisis matemático financiero
c) Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero. 1. Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la ecuación de valor.
–1 500 000 + 100 000 a 12 3% + 800 000 (1 +0.03)-1 = 56.504
2. Ahora se toma una tasa de interés más alta para buscar un valor negativo y aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se reemplaza en la ecuación de valor.
–1 500 000 + 100 000 a 12 4% + 800 000 (1 +0.04)-1 = –61 815
d) Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los rangos de 3% y 4%, se realiza entonces la interpolación matemática para hallar el valor que se busca. 1. Si 3% produce un valor de $56 504 y 4% uno de –61 815, la tasa de interés para cero se hallaría así: 3 – – – – – 56 504 i –––––0 4 – – – – – –61 815
2. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan:
3 − 4 56 504 − (−61 815) = 3 − i (56 504 − 0)
3. Se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este caso sería:
i = 3 464%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno.
33 1
UNIDAD 5
Actividad 9 1.
Suponga que un proyecto requiere una inversión neta de 10 000 y promete una anualidad de 4 años, cuyos flujos de caja son de 40 000 al año. Se supone que la tasa requerida de rendimiento sea de 16%. ¿Cuál será el VPN?
2.
Un inversionista desea saber qué proyecto le conviene llevar a cabo, para ello cuenta con la siguiente información:
n
A
B
C
1
$2 500
$4 600
$600
2
$2 650
$1 500
$1 100
3
$2 000
$1 900
$1 600
4
$2 900
$2 600
$1 850
FNE
$10 050
$10 600
$5 150
Inversión inicial
$5 700
$3 800
$2 200
Utilizando el criterio de VPN encuentre la alternativa de negocio que conviene al inversionista.
3.
Se piensa en un proyecto cuya inversión neta es de $60 000 con los siguientes flujos de caja. Para los años 1, 2 y 3 $30 000, para los años 4, 5 y 6 de $19 000 y se requiere obtener un rendimiento de 16%. Determinar si el proyecto se acepta o no con base en el criterio de VPN.
4.
Un ejecutivo financiero desea saber cuál es el valor de la TIR para una inversión de $24 000 para cinco años con los siguientes flujos $5 000, $7 000, $9 000, $9 000 y $12 000 respectivamente y una tasa de 18%.
5.
Considerando el problema anterior (ejercicio 2) del inversionista que desea saber qué proyecto le conviene llevar a cabo, entre el A, B, C y considerando el criterio del VPN y la TIR, indique cuál es la alternativa recomendada si la tasa de rendimiento que el inversionista espera obtener es de 19%.
33 2
análisis matemático financiero
5.10. Aplicación del análisis matemático-financiero a la rentabilidad de la empresa Las personas que están envueltas en un entorno socio-económico en constante cambio, en el cual la incertidumbre de lo que pueda suceder con sus empresas es una constante, necesitan disponer de métodos o instrumentos para evaluar su funcionamiento en cualquiera de los periodos de su existencia; en el pasado, para apreciar la verdadera situación que corresponde a sus actividades; en el presente, para realizar cambios en bien de la administración, y en el futuro para realizar proyecciones que contribuyan al crecimiento de la misma. La columna vertebral del análisis financiero se encuentra en la información que proporcionan los estados financieros de la empresa. Esta información será relevante en diferente medida y uso, ya sea por parte de quien la elabora y de quien la utilice, puesto que cada interesado tiene objetivos específicos diferentes. Entre los análisis más conocidos y usados están el balance general y el estado de resultados (también llamado de pérdidas y ganancias) que son preparados, casi siempre, al final del periodo de operaciones por los administradores, en los cuales se evalúa la capacidad de la organización para generar flujos favorables según la recopilación de los datos contables derivados de los hechos económicos. También existen otros estados financieros que en ocasiones no son tomados en cuenta y que proporcionan información útil e importante sobre el funcionamiento de la empresa, entre éstos están el estado de cambios en el patrimonio, el de cambios en la situación financiera y el de flujos de efectivo. Los fundamentos del análisis matemático financiero son: • Análisis de información que apoye la toma de decisiones. • Determinar los costos de oportunidad. • Información técnica. • Interpretación de resultados. • Retroalimentación. En las finanzas existen muchos instrumentos de análisis útiles para investigar, medir y evaluar el estado financiero de una empresa, el más recurrente es el llamado razones financieras, ya que éstas pueden medir en un alto grado la eficacia y comportamiento de la empresa, muestran una perspectiva amplia del escenario financiero y son capaces de precisar el grado de liquidez, rentabilidad, apalancamiento financiero, cobertura y todo lo que tenga que ver con su actividad.
333
UNIDAD 5
Las razones financieras son comparables con las de la competencia y llevan al análisis y reflexión del funcionamiento de las empresas frente a sus competidores. A continuación se explican los fundamentos de aplicación y cálculo de cada una de ellas. Existen varias formas de clasificar las razones financieras, ya sea por el plazo en el que nos proporcionan información y por el tipo de información que éstas arrojan, en ambos casos, facilitarán el análisis oportuno de la misma. A continuación se presentan estas razones financieras y cómo se encuentran contenidas en sus respectivas formas de presentar la información (cabe mencionar que las razones pueden pertenecer a una o a ambas formas). Es importante recordar que el estudio de las razones financieras es la forma más utilizada del análisis contable. Las razones financieras pueden dividirse en cuatro grupos básicos: • Liquidez • Actividad • Endeudamiento • Rentabilidad
Índices o razones de liquidez Muestran la capacidad que tiene la empresa para generar fondos suficientes para el pago de sus obligaciones a corto plazo a medida que éstas se vencen. Invariablemente los indicadores de liquidez están encaminados a determinar la capacidad del negocio para cancelar sus obligaciones de corto plazo. Estas razones se adquieren utilizando cifras del balance general, específicamente datos de las cuentas operacionales del balance.
Índices o razones de actividad Califican la liquidez de algunas cuentas operativas específicas, como las de cuentas por cobrar, la de los inventarios y la de las cuentas por pagar. Evalúan la gestión o manejo que se hace de las cuentas antes sugeridas, por eso se les llama razones de actividad. Los indicadores de actividad miden la eficiencia del manejo de las cuentas operacionales de la empresa, en especial las de los activos corrientes. Tienen un objetivo básico y es el de determinar la rapidez o velocidad de rotación durante el periodo analizado, a mayor rotación más liquidez, es decir, más rápido se convierten en efectivo. Para simplificar el cálculo normalmente se toma el periodo anual de 360 días y el mensual de 30 días.
334
análisis matemático financiero
Índices o razones de endeudamiento Son las diferentes relaciones de los rendimientos de la empresa.
Índices de rentabilidad Esta razón es denominada también rentabilidad de la inversión, rendimiento de la inversión o rendimiento del activo. Indica cuánto genera en utilidades para los socios cada peso invertido en la empresa. Muestra el porcentaje de utilidad logrado con la inversión total del negocio (total de activos), es decir, la utilidad que genera la entidad por cada cien pesos invertidos en activos.
Las razones financieras a corto plazo Se definen más por lo dinámico de los conceptos que se comparan que por los periodos que reflejan, ya que para obtenerlas se toman los saldos finales de cada periodo, generalmente un año. A continuación presentamos las relaciones más representativas y conocidas.
Capital de trabajo Representa el monto de recursos que la empresa tiene destinados para cubrir las erogaciones necesarias para su operación. Puede expresarse en índice y, conocida como razón circulante, significa que son las unidades monetarias que la empresa tiene para cubrir sus obligaciones a corto plazo. Usualmente se le ha llamado capital de trabajo, aunque el nombre correcto debe ser capital neto de trabajo. Muestra de cuánto dispondría una empresa, después de pagar sus obligaciones corrientes, para llevar a cabo sus operaciones en los meses siguientes de una manera normal; también puede decirse que muestra la capacidad que tiene la empresa para enfrentar los pasivos corrientes y operar normalmente.
Por lo tanto, el capital de trabajo capital de trabajo = ( activo circulante − Pasivo circulante)
significa cuánto le quedaría a la empresa, representado en
activos corrientes, después de pagar en forma total los pasivos corrientes para desarrollar sus operaciones normales.
335
UNIDAD 5
Ejemplo 60
Una empresa industrial de plásticos proporciona la siguiente información:
Concepto
31 Diciembre
31 Marzo
31 Mayo
30 Septiembre
Activo circulante Efectivo Cuentas por cobrar
19 488
1 877
904
8 266
8 344
8 189
10.017
62 968
20 118
6 863
783
619
0
6 211
4 233
0
3 451
29 456
50 931
5 520
51 445
52 596
66 868
77 373
173
472
740
295
0
0
11 250
6 800
173
472
11 990
7 095
51 272
52 124
54 878
70 278
Inventarios Materias primas Artículos en proceso Artículos terminados Sumas
Pasivo a corto plazo Cuentas por pagar Documentos por pagar Sumas
Capital de trabajo
Utilizando la fórmula tenemos: capital de trabajo = ( activo circulante − Pasivo circulante) Sustituyendo para cada periodo tenemos:
Capital de trabajo= (51 445 –173)
capital de trabajo = 51 272
Prueba del ácido Representa las unidades monetarias disponibles para cubrir los adeudos a los acreedores a corto plazo. Esta razón es frecuentemente utilizada para evaluar la capacidad inmediata de pago que tienen las empresas.
336
análisis matemático financiero
La prueba ácida se puede considerar como un buen indicador Ácido =
activo disponible Pasivo circulante
de liquidez inmediata. Esta razón ofrece un cálculo de la liquidez solamente cuando los inventarios de la empresa no puedan convertirse fácilmente a efectivo. Si el inventario es
bastante líquido (de fácil venta) el índice de corriente es preferible para analizar la liquidez.
Rotación de clientes por cobrar Refleja el número de veces que han rotado ingresos de operación r de c = Im porte de cuentas por cobrar a clientes Im
las cuentas por cobrar en el periodo. El total de días del periodo generalmente es un año, es decir, 360 días.
número de días promedio =
Total de días del periodo Índice de rotación de clientes por cobrar
Número de días promedio en los que se recuperan las cuentas por cobrar
5.10.1. Las razones financieras a largo plazo Son las que se obtienen de utilizar las cuentas o conceptos que se modifican en plazos generalmente mayores a un año. El ejemplo clásico son las modificaciones al capital contable. Otra característica es que utilizan el pasivo a largo plazo para obtener indicadores que proveen de elementos para interpretar a la entidad económica en el largo plazo.
Razón de propiedad Este índice refleja la proporción en que los dueños razón de propiedad =
capital contable activo total
o accionistas de la empresa han aportado para la compra del total de los activos.
Razones de endeudamiento Esta proporción es complementaria al punto Total del pasivo razón de endeudamiento = Total del activo
anterior ya que significa el porcentaje que se adeuda del total del activo.
337
UNIDAD 5
Razón de extrema liquidez Esta razón es de vital importancia para los acreedores de una empresa y refleja la capacidad de pago que se tiene al finalizar un periodo. Representa activo circulante razón de extrema liquidez = Total del pasivo
las
unidades
monetarias
disponibles para cubrir el pasivo total. Esta situación sólo se presentaría al liquidar o disolver una empresa por
cualquier causa; ya sea legal, extinción por plazo, económica o que la empresa no pueda continuar con el objetivo social.
Resultados en función del valor de las acciones Se pueden evaluar los resultados mediante las siguientes razones:
Valor contable de las acciones Representa el monto que se valor contable de acción =
Total del capital contable número de acciones suscritas o pagadas
paga a cada accionista al terminar un periodo de operaciones. Éste indica el valor de cada título.
La utilidad por acción Representa Utilidad por acción =
Utilidad neta número de acciones suscritas o pagadas
el
total
de
ganancias que se obtienen por cada acción vigente adquirida.
Acciones por rendimiento logrado en un ejercicio.
Tasa de rendimiento Significa la rentabilidad de la inversión total de los Utilidad neta Rendimiento Ren re n dim iento = capital contable
accionistas. Incluye la aportación de éstos y las utilidades acumuladas.
La relevancia que posee una inversión futura, así como el determinar el momento en que se podrán obtener utilidades, son evaluadas con el siguiente indicador:
338
análisis matemático financiero
Punto de equilibrio Éste representa el volumen de la operación o nivel de utilización de la capacidad instalada, en el cual los ingresos son iguales a los costos. Por abajo del punto de equilibrio la empresa obtiene pérdidas y por arriba obtiene utilidades. El punto de equilibrio cuando resulta muy alto, es decir, cercano a 100% indica que el proyecto tiene alto margen de riesgo, ya que representa la posibilidad de no alcanzar el punto de equilibrio e incurrir en pérdidas. El punto de nivelación puede ser determinado de diferentes maneras, pero en todos los casos los costos fijos son el punto en el cual debe centrarse su cálculo, ya que de no existir costos fijos, el punto de equilibrio sería cero. Punto de equilibrio =
costos fijos variables valor Bruto de Pr iables totales del activo Pr oducción – costos var
Rentabilidad Toda empresa requiere medir la productividad de los fondos comprometidos en un negocio. Recuerde que a largo plazo lo importante es garantizar la permanencia y crecimiento de la empresa en el mercado y por ende su valor. Estas razones permiten analizar y evaluar las utilidades de la empresa con respecto a un nivel dado de ventas, de activos o la inversión de los socios.
Rendimiento sobre inversión propia Rendimiento sobre inversión propia =
Utilidad neta capital contable − Utilidad neta
Se refiere a la rentabilidad del capital efectivo de la empresa o índice de rendimiento sobre la inversión propia de los accionistas. Expresado en otra forma es el índice de rendimiento que se obtiene sobre el valor en libros.
Rendimiento sobre inversión total Utilidad neta Rendimiento sobre inversión total = activo total
Rentabilidad de la inversión o índice de rendimiento sobre la inversión propia de los accionistas. Expresa la
eficiencia de la administración para generar utilidades.
339
UNIDAD 5
Razones de utilidad Estas razones representan las utilidades que gana la empresa en el valor de cada venta. Éstas se deben tener en cuenta deduciéndoles los cargos financieros o gubernamentales y determinan solamente la utilidad de la operación de la empresa.
Margen de utilidad bruta Indica el porcentaje que queda sobre las Utilidad bruta Margen de utilidad bruta = ventas netas
ventas después de que la empresa ha pagado sus deudas. Eficiencia operativa de la organización.
Margen de utilidad Eficiencia integrada de la empresa o índice de Margen de utilidad=
Utilidad neta ventas netas
resultado fino de la actividad empresarial.
Margen de utilidades operacionales Representa las utilidades netas que gana la empresa en el valor de cada venta. Éstas se deben tener en cuenta deduciéndoles los cargos financieros o gubernamentales y determina solamente la utilidad de la operación de la empresa.
Margen neto de utilidades Determina el porcentaje que queda en cada venta después de deducir todos los gastos, incluyendo los impuestos.
Razones de movilidad Estas razones permiten analizar la rapidez con la que se recuperan las cuentas, es decir, la rapidez con la que se mueven los inventarios y de manera indirecta muestra cuánto produce una empresa.
Recuperación de cuentas por cobrar Días promedio de recuperación de la cartera o eficiencia de cobranza. También denominado plazo promedio de cobros, es una cifra más significativa debido a que nos muestra el tiempo promedio en que están pagando los clientes. Indica cada cuándo, en promedio, le están pagando las cuentas por cobrar a la empresa.
34 0
análisis matemático financiero
Recuperación de cuentas por cobrar (cartera) =
cuentas por cobrar * días ventas netas a crédito
Rotación del activo total o productividad del activo total Número de veces que la empresa vende el equivalente al valor de sus diferentes activos o de su activo total. Rotación del activo total o productividad del activo total =
ventas netas activo total
Rotación de inventario Éste mide la liquidez del inventario por medio de su costo de lo vendido ri = inventario promedio
movimiento durante el periodo.
Plazo promedio de inventario Representa el promedio de días que un artículo permanece PPi =
360 rotación de inventario
en el inventario de la empresa.
Rotación de cuentas por cobrar Mide la liquidez de las cuentas por cobrar por medio rcc =
ventas anuales Pr Promedio de cuentas por cobrar
de su rotación.
Plazo promedio de cuentas por cobrar PPcc =
Es una razón que indica la evaluación de la política
360 rotación de cuentas por cobrar
de créditos y cobros de la empresa.
Rotación de cuentas por pagar Sirve para calcular el número de veces que las rcP =
compras anuales Promedio de cuentas por cobrar
cuentas por pagar se convierten en efectivo en el curso del año.
34 1
UNIDAD 5
Plazo promedio de cuentas por pagar 360 PPcP = rotación de cuentas por cobrar
Permite vislumbrar las normas de pago de la empresa.
Razones de liquidez La liquidez de una organización es juzgada por la capacidad para saldar las obligaciones a corto plazo que se han adquirido a medida que éstas se vencen. Se refieren no solamente a las finanzas totales de la empresa, sino a su habilidad para convertir en efectivo determinados activos y pasivos corrientes.
Liquidez mediata activo circulante Liquidez mediata = Pasivo a corto plazo
Razón corriente o del circulante: la capacidad de pago de la empresa a corto plazo.
Liquidez inmediata Prueba de ácido. Suficiencia de la empresa inmediata =
activo circulante − inventario capital contable
para cubrir, con recursos de rápida conversión a efectivo, sus compromisos a corto plazo.
Capital de trabajo Excedente o déficit de recursos de rápida conversión a efectivo con los cuales se lleva a cabo la operación de la empresa. capital de trabajo = activo circulante − Pasivo a corto plazo
Índice de solvencia activo corriente is = Pasivo corriente
34 2
Éste considera la verdadera magnitud de la empresa en cualquier instancia del tiempo y es comparable con diferentes entidades de la misma actividad.
análisis matemático financiero
Razones de productividad Los accionistas generalmente desean y obtienen un rendimiento superior al que reciben los acreedores; esto se explica por el mayor riesgo que corren los accionistas según el nivel de solvencia de la entidad. Por otra parte, mientras mayores sean los fondos de los acreedores, mayores serán los rendimientos de los accionistas; esto conlleva el uso de fondos a una tasa relativamente baja (después del impuesto sobre la renta), ayudando a obtener mayores rendimientos para los fondos invertidos por los accionistas, que se miden a partir de razones simples como son:
Eficiencia de la planta Eficiencia en el uso de las inversiones de la empresa eficiencia de la planta =
ventas netas activo fijo
en activos fijos; exceso o falta (insuficiencia) de activos o ventas.
Razones de endeudamiento Estas razones indican el monto del dinero de terceros que se utiliza para generar utilidades, éstas son de gran importancia, ya que estas deudas comprometen a la empresa en el transcurso del tiempo. Apalancamiento
financiero Participación de los acreedores en
apalancamiento financiero =
Pasivo total capital contable
la empresa.
Estructura o independencia financiera estructura o independencia financiera =
capital contable Pasivo total
Protección
que
accionistas
a
ofrecen
los
los
acreedores;
participación de los accionistas en relación con terceros.
Dependencia bancaria Pr Pr éstamos bancarios dependencia bancaria = activo total
Grado en el cual los acreedores bancarios y otras entidades financieras de cualquier naturaleza participan en el financiamiento
de los activos de la empresa.
343
UNIDAD 5
Endeudamiento Porcentaje de los recursos totales de la empresa que son endeudamiento =
Pasivo total activo total
financiados con dinero ajeno; participación de terceros en la empresa.
Razón pasivo-capital Indica la relación entre los fondos a largo plazo que Pasivoal arg oplazo Pasivo a largo plazo rPc = capitalcontable
suministran los acreedores y los que aportan los dueños de las empresas.
Razón pasivo a capitalización total Tiene el mismo objetivo de la razón anterior, pero también rPcT =
Deuda deuda a llargo arg oplazo plazo capitalización total
sirve para calcular el porcentaje de los fondos a largo plazo que suministran los acreedores, incluyendo las deudas de largo plazo como el capital contable.
Razones de cobertura Estas razones evalúan la capacidad de la empresa para cubrir determinados cargos fijos. Éstas se relacionan más frecuentemente con los cargos fijos que resultan por las deudas de la empresa.
Veces que se ha ganado el interés Calcula la capacidad de la empresa vgi =
antes de deint intereses impuestos Utilidades antes ereses ee impuestos Erogaciónanual anualpor porint intereses erogación ereses
para efectuar los pagos contractuales de intereses.
Cobertura total del pasivo Esta razón considera la capacidad de la Ganancias gananciasantes antesde deintereses int ereseseeimpuestos impuestos cTP = intereses más abonos al pasivo principal
empresa para cumplir sus obligaciones por intereses para rembolsar el principal
de los préstamos o hacer abonos a los fondos de amortización.
344
análisis matemático financiero
Razón de cobertura total Esta razón incluye todos los tipos de obligaciones, tanto los fijos como los temporales, determina la capacidad de la empresa para cubrir todos sus cargos financieros.
cT =
Utilidadesantes antesde depago intereses Utilidades pagosde dearrendamientos, arrendamientos ,int eresese eimpuestos impuestos intereses + abonos al pasivo principal + pago de arrendamientos Al terminar el análisis de las anteriores razones financieras se deben tener los criterios
y las bases suficientes para la toma de decisiones que mejor le convengan a la empresa, aquellas que ayuden a mantener los recursos obtenidos anteriormente y adquirir nuevos que garanticen el beneficio económico futuro, también verificar y cumplir con las obligaciones con terceros para así llegar al objetivo primordial de la gestión administrativa, posicionarse en el mercado obteniendo amplios márgenes de utilidad con una vigencia permanente y sólida frente a los competidores, otorgando un grado de satisfacción para todos los órganos gestores de esta colectividad.
345
UNIDAD 5
Actividad 10 La empresa comercializadora Po-Pol-Chu presenta la siguiente información del comportamiento que ha presentado en los últimos años, con la finalidad de crear una fusión con otra comercializadora, que les brinde a ambas la oportunidad de crecer en el mercado y aumentar su capacidad financiera. Para ello se requiere generar un análisis financiero detallado, utilizando las anteriores razones financieras.
Concepto/periodo Ventas Clientes Inventario Circulante Equipos Edificio Gastos diferidos Fijos Suma del activo Pasivo Proveedores Impuestos por pagar Acreedores bancarios Acreedores diversos Préstamo bancario Suma pasivo Capital contable Capital social Aumento de capital Utilidades anteriores Utilidad del ejercicio Suma de capital Suma pasivo y capital Verificación Utilidad bruta Pasivo a corto plazo
346
Comercializadora Po-Pol-Chu Balance general (Millones pesos) 2006 2005 2004 2003 80 137 100 135 140 190 110 200 100 150 100 150 320 477 310 485
2002 180 210 180 570
2001 220 300 340 860
300 320 200 820
280 320 180 780
250 300 240 790
200 280 280 760
180 240 290 710
280 200 385 865
1 140
1 257
1 100
1 245
1 280
1 725
100 30 20 22 200 375 59 200 350 85 71 765 1 140 0
110 50 23 26 260 439 52 200 230 180 156 818 1 257 0
100 45 28 21 190 384 50 200 234 123 109 716 1 100 0
114 80 30 28 220 472 60 200 220 153 140 773 1 245 0
60 100 32 30 160 382 46 200 222 230 200 898 1 280 0
120 110 38 35 200 503 100 200 314 320 288 1 222 1 725 0
655 175
1 401 179
2 037 194
1 261 252
868 222
1 638 303
análisis matemático financiero
Rendimiento sobre inversión propia =
Utilidad neta capital contable − Utilidad neta
Ejemplo 61
Años
2006
2005
71 = −5.9 59 − 71
156 = −1.5 52 − 156
2004
2003
2002
2001
109 140 200 288 = −1.84 = −1.75 = −1.29 = −1.53 20 − 109 60 − 140 46 − 200 100 − 288
Análisis de rendimiento sobre inversión propia. Esta razón indica que la empresa está perdiendo dinero por cada peso invertido de manera proporcional al resultado de cada año.
Rendimiento sobre inversión total=
Utilidad neta activo total
Ejemplo 62
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
71 = 0.0 622 1 140
156 = 0.1 242 1 256
109 = 0.099 1 100
140 = 0.1 124 1 245
200 = 0.1 565 1 280
288 = 0.1 669 1 725
Análisis de rendimiento sobre inversión total. Esta razón indica que la empresa tiene ganancias por cada peso invertido incrementando proporcionalmente al resultado de cada año. Se puede observar que el rendimiento es muy pequeño y que a su vez éste se va reduciendo.
Margen de utilidad bruta=
Utilidad bruta ventas netas
Ejemplo 63
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
655 = 8.18 80
1 401 = 10.22 137
2 037 = 20.37 100
1 261 = 9.34 135
868 = 4.82 180
1 638 = 7.44 220
Recuperación de cuentas por cobrar (cartera) =
cuentas por cobrar * días ventas netas a crédito
347
UNIDAD 5
Ejemplo 64 2006
Años 2005
2004
2003
2002
2001
140 * 360 190 * 360 110 * 360 200 * 360 210 * 360 = 630 = 499.2 = 396 = 533.3 = 420 80 137 100 135 180
Rotación del activo total o productividad del activo total =
300 * 360 = 490 220
ventas netas activo total
Ejemplo 65
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
80 = 0.070 1 140
137 = 0.108 1 257
100 = 0.090 1 100
135 = 0.1084 1245
180 = 0.140 1 280
220 = 0.1 275 1 725
Análisis de rotación del activo total o productividad del activo total. Indica que la empresa ha estado diminuyendo la venta de la diferencia de su activo o activos, está consumiendo más de lo que produce.
Liquidez mediata =
activo circulante Pasivo a corto plazo
Ejemplo 66
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
320 = 1.82 175
477 = 2.66 179
310 = 1.59 194
485 = 1.92 252
570 = 2.56 222
860 = 2.83 303
Análisis de liquidez mediata. Los resultados aquí mostrados indican que la empresa puede cumplir con sus compromisos; pero también muestra que sus inventarios son muy altos o que tienen poca rotación.
Liquidez inmediata =
348
activo circulante − inventario capital contable
análisis matemático financiero
Ejemplo 67
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
320 − 100 = 3.72 59
477 − 150 = 6.28 52
310 − 100 = 4.2 50
485 − 150 = 5.58 60
570 − 180 = 8.47 46
860 − 340 = 5.2 100
Análisis de liquidez inmediata. La empresa puede cumplir con gran facilidad sus compromisos a corto plazo. capital de trabajo = activo circulante − Pasivo a corto plazo
Ejemplo 68
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
320 − 175 = 145
477 − 179 = 298
310 − 194 = 116
485 − 252 = 233
570 − 222 = 348
860 − 303 = 557
Análisis de margen de utilidad bruta. Muestra la ganancia invertida en la empresa antes de impuestos, es la ganancia por cada peso invertido. Para este caso se muestra como del año 1997 al 2000 hubo crecimiento y del 2001 al 2002 hubo decrecimiento en el margen de utilidad bruta.
eficiencia de la planta =
ventas netas activo fijo
Ejemplo 69
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
80 = 0.97 820
137 = 0.1 756 780
100 = 0.126 790
135 = 0 177 760
180 = 0.253 710
220 = 0.254 865
Análisis de eficiencia de la planta. Se observa que el rendimiento operativo de ésta disminuye con los años. apalancamiento financiero =
Pasivo total capital contable
349
UNIDAD 5
Ejemplo 70
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
375 = 6.35 59
439 = 8.44 52
384 = 7.68 50
472 = 7.86 60
382 = 8.30 46
503 = 5.03 100
Análisis de apalancamiento financiero. Indica que el grado de participación de acreedores es muy grande y pueden llegar a quedarse con el negocio.
estructura o independencia financiera=
capital contable Pasivo total
Ejemplo 71
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
59 = 0.157 375
52 = 0.118 439
50 = 0.130 384
60 = 0.127 472
46 = 0.120 382
100 = 0.198 503
Análisis de estructura o independencia financiera. Como se observa, la empresa no tiene compromisos fuertes con terceros, es bastante independiente y no tiene deudas significativas. dependencia bancaria =
Préstamos Pr estamos bancarios bancarios activo total
Ejemplo 72
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
200 = 0.175 1 140
260 = 0.2 068 1 257
190 = 0.1 727 1 100
220 = 0.1 767 1245
160 = 0.125 1 280
200 = 0.1 159 1 725
35 0
análisis matemático financiero
Análisis de dependencia bancaria. La empresa es bastante independiente. Como se observó en los otros análisis no tiene deudas ni préstamos fuertes, es bastante sana. endeudamiento =
Pasivo total activo total
Ejemplo 73
Años
2006
2005
2004
2003
2002
2001
375 = 0.3 289 1 140
439 = 0.3 492 1 257
384 = 0.379 1 100
472 = 0.379 1 245
382 = 0.2 203 1 280
503 = 0.1 756 1 725
Análisis del endeudamiento. Los recursos financiados con dinero ajeno son muy pocos, esto es bueno, indica que la empresa es autosuficiente.
Análisis del activo circulante Éste nos indica que de 320 (millones de pesos/corrientes) 25% está invertido en las ventas, 43.75% en clientes y 31.25% en los inventarios.
Análisis de activos fijos Nos está indicando que de 810 (millones de pesos/corrientes) 36.58% está invertido en equipos, 39.02% en edificios y 24.39% en gastos diferidos.
Análisis de la deuda Podemos observar que por cada unidad monetaria que están invirtiendo en el negocio (ya sea de los socios o prestado) 32.89% no es de los socios y por lo tanto habrá que pagarlos algún día. De estos 375 (millones de pesos/corrientes) 15.08% habrá que pagarlos en menos de 12 meses y 17.54% a un plazo mayor de 12 meses. También podemos observar que por cada peso invertido en el negocio 17.54% corresponde a la aportación inicial de los socios, 7.45% a las utilidades y 6.22% proviene de utilidades generadas en el presente ejercicio.
35 1
UNIDAD 5
Análisis del pasivo a corto plazo Pasivo a corto plazo Proveedores
100
58.13 %
Impuestos por pagar
30
17.44 %
Acreedores bancarios
20
11.62 %
Acreedores diversos
22
12.79 %
Que del total del pasivo a corto plazo y por cada peso que se debe de pagar en el corto plazo 58.13% lo pagarán a los proveedores, 11.62% a acreedores bancarios, 17.44% son de impuestos por pagar, mientras que 12.79% a acreedores diversos.
Actividad 11
Un inversionista que desea vender la clínica Cement Company, S.A., presenta los siguientes
datos correspondientes al periodo terminado el 31 de diciembre del año 1. Cement Company, S.A. Balance general Diciembre 31 del año 1 (Cifras en miles de pesos) Activos Corrientes
Pasivos
Corrientes
Efectivo
10 000
Documentos por pagar
10 000
Cuentas por cobrar
50 000
Cuentas por pagar proveedores
65 260
Inventarios
70 000
Total corrientes
75 260
Total corrientes
130 000
Largo plazo
124 740
Total pasivo
200 000
Fijos
Patrimonio
Terrenos
50 000
Depreciables Depreciación acumulada Total fijos netos
150 000 ( 30 000) 170 000
Capital
60 000
Utilidades retenidas
14 000
Utilidad del ejercicio
26 000
Total patrimonio
Total activos
300 000
Total pasivo y patrimonio
Nota: El inventario a enero 1/Año 1 era de 30 000 35 2
100 000 300 000
análisis matemático financiero
Cement Company, S.A. Estado de resultados Periodo: año 1 (Cifras en millones de pesos) Ingresos netos
435 000
100.00%
Menos costo de lo vendido
261 000
60.00%
Utilidad bruta
174 000
40.00%
Gastos de administración
28 000
6.43%
Gastos de ventas
16 000
3.68%
130 000
29.89%
Gastos financieros (intereses)
90 000
20.69%
Utilidad antes de impuestos
40 000
9.20%
14 000
3.22%
26 000
5.98%
Utilidad operacional
Impuestos (35%) Utilidad neta
Nota: Los ingresos netos de contado fueron del orden de 160 000 Cuadro de razones Razón
Año -2
Año -1
Año 1
Estándar
Razón corriente
2.50
2.00
1.73
2.25
Prueba ácida
1.00
0.50
0.80
1.10
Rotación de cartera
5.00
4.50
5.50
6.00
12.00
9.00
5.22
12.00
Rotación de cuentas por pagar
8.00
6.00
4.61
8.00
Rotación de activos
2.00
1.75
1.45
2.00
Pasivo total a activo total
0.35
0.40
0.67
0.50
Cobertura de intereses
2.50
2.00
1.44
2.00
Margen bruto
39.00%
40.00%
40.00%
40.00%
Margen neto
12.00%
11.00%
5.98%
10.00%
Rentabilidad del patrimonio
30.00%
28.10%
26.00%
29.00%
Rentabilidad del activo
24.00%
19.25%
8.67%
20.00%
Rotación de inventarios.
Al ir explicando las diferentes razones o índices se tomará el caso anterior y se
aplicará lo enunciado en la teoría, para sacar las conclusiones generales del caso al finalizar.
353
UNIDAD 5
Para la venta, y utilizando la información anterior, se lleva a cabo un análisis de los índices o razones de liquidez Capital de trabajo = (Activo circulante –Pasivo circulante) capital neto de trabajo = 130 000 – 75 260 = 54 740 Se puede decir que tiene un capital de trabajo de $54 740 con los cuales espera llevar a cabo las operaciones del negocio en los meses siguientes. Razón corriente o índice de solvencia = Activo corriente / Pasivo corriente Esta razón debe ser mayor o igual a uno (1.00), si es menor significa que la empresa no tiene la suficiente liquidez para cancelar sus obligaciones corrientes. Solvencia Cement Company, S.A. (Año 1) = 130 000/75 260 = 1.73 Por cada peso que la empresa tiene que cancelar en el corto plazo, cuenta con $1.73 para respaldar el pago. La empresa no tiene problemas de liquidez, sin embargo, comparando con los índices de periodos anteriores la empresa presenta una disminución en el índice, pasó de 2.50 en 1997 a 2.00 en 1998 y continuó disminuyendo a 1.73 en 1999. Lo anterior significa que la empresa no está muy bien en cuanto a la solvencia o liquidez que debe tener para cancelar las obligaciones de corto plazo. Prueba ácida o índice de acidez = (Activo corriente – Inventarios) / Pasivo corriente La prueba ácida de cement company , s.a. ( año 1 ) = ( 130 000 – 70 000 ) / 75 260 = 0.80 Por cada peso que la empresa tiene que cancelar en el corto plazo, cuenta con un respaldo de fondos líquidos (no incluidos los fondos que pueden generar los inventarios) de $0.80 para respaldar el pago. Para la venta y utilizando la información anterior se lleva a cabo un análisis de los índices o razones de actividad. rotación de cuentas por cobrar=ventas a crédito del periodo / cuentas por cobrar promedio Indique cuántas veces promedio giraron las cuentas por cobrar en el periodo. Es de anotar que muchas veces no se tiene el dato de ventas a crédito, por lo cual se puede tomar el total de ventas netas, teniendo en cuenta que los datos de comparación también se calculen de la misma forma. rotación de cuentas por cobrar = ( 435 000 – 160 000 ) / 50 000 = 5.5 Significa que las cuentas por cobrar rotan 5.5 veces en el año. Según lo anterior la empresa ha mejorado en 1999 en relación con los años anteriores. Plazo promedio de cuentas por cobrar=Días del periodo / Rotación de cuentas por cobrar
= cuentas por cobrar promedio por días del periodo / ventas a crédito del periodo El plazo promedio de cobros = 360 días / 5.5 = 65.45 días.
354
análisis matemático financiero
Lo anterior significa que a la empresa le toma 65.45 días hacer efectiva una cuenta por cobrar. Al sector en promedio le toma sólo 60 días. rotación de inventarios = costo de lo vendido / inventario promedio rotación de inventarios = 261 000 / {(70 000 + 30 000)/2 } = 5.22 Los inventarios rotan 5.22 veces en el año. Según lo anterior la empresa ha desmejorado en 1999 con relación a los años anteriores.
Actividad 12 Para la misma empresa que se encuentra en análisis obtenga las siguientes razones y concluya cómo se encuentra ésta. Rotación de cuentas x pagar = Compras a crédito del periodo / Cuentas por pagar promedio Plazo promedio de cuentas por pagar = Días del periodo / Rotación de cuentas por pagar Rotación de activos (inversión) = Ventas netas / Total activos Rotación de activos corrientes = Ventas netas / Total de activos corrientes Rotación de activos fijos = Ventas netas / Total de activos fijos Margen bruto = Utilidad bruta / Venta neta Margen operacional = Utilidad operacional / Venta neta = UAII / Venta neta Margen de contribución = Ventas netas – Costos variables totales Índice de contribución={(Venta neta – Costos variables) / Venta neta } x 100% = (Margen de contribución / Precio de venta ) x 100% Margen neto = Utilidad neta / Venta neta Potencial de utilidad = Utilidad neta / Activo total Rentabilidad del patrimonio = Utilidad neta / Patrimonio
355