CAPÍTULO 5 Í Corriente eléctrica y circuitos de Corriente eléctrica y circuitos de  corriente continua

Índice del capítulo 5 5 1 Corriente eléctrica. 5.1 eléctrica y de Ohm. 5.2 Resistencia y la ley 5.3 La energía en los circuitos eléctricos. 5.4 Asociaciones de resistencias. 5.5 Reglas de Kirchhoff. 5 6 Circuitos 5.6 Ci it RC.

5.1 Corriente eléctrica La corriente eléctrica se define como el flujo de  cargas eléctricas que, por unidad de tiempo,  atraviesan un área transversal: 

I=

∆Q ∆t

L id d d l SI d i t id d d i t l La unidad del SI de intensidad de corriente es el  amperio (A):   1 A = 1C/s.

Figura 5.1: Segmento de un hilo conductor portador de corriente. Si ∆Q es la cantidad de carga que fluye a través del área transversal A en el tiempo ∆t, la corriente que atraviesa A es I = ∆Q/∆t.

En el movimiento de los electrones libres en un  En el movimiento de los electrones libres en un conductor en presencia un campo eléctrico, éstos  posee una pequeña velocidad media llamada velocidad de desplazamiento (vd). ) velocidad de desplazamiento (v La corriente se puede expresar como (ver figura  5.2):

∆Q I= = nqAvd ∆t

donde n es el número de portadores por unidad  de volumen.

Figura 55.2: 2: En el tiempo ∆t todas las cargas en el volumen sombreado pasan a través de A. Si existen n portadores de carga por unidad de vvolumen, u , cada uuna de carga g q, la carga g total de este volumen es ∆Q = qnAvd∆t, donde vd es la velocidad de desplazamiento.

5.1 Corriente eléctrica Ejemplo 5.1: ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento en un alambre de cobre típico de  radio 0.815 mm que transporta una corriente de 1 A, suponiendo que existe un  electrón libre por átomo? electrón libre por átomo? Solución: 3.54 x 10‐2 mm/s.

Si los electrones se mueven tan lentamente por el cable, ¿cómo puede ser que la luz  eléctrica surja instantáneamente al cerrar el interruptor? eléctrica surja instantáneamente al cerrar el interruptor?

Ejemplo 5.2: j p En un acelerador de partículas, un haz de protones de 5 MeV p , p yy radio 1.5  mm transporta una corriente de intensidad 0.5 mA. (a) Determinar la densidad de  protones del haz. (b) Al incidir el haz contra el blanco, ¿cuántos protones chocan contra  éste en un segundo? Solución: (a) 1.43 x 1013 protón/m3; (b) 3.13 x 1015 protones.

5.2 Resistencia y la ley de Ohm La figura 5.3 muestra un segmento de cable de  longitud ∆L y de sección transversal A por el cual  circula una corriente I. Como el campo eléctrico está circula una corriente I. Como el campo eléctrico está  siempre dirigido de las regiones de mayor potencial a  las regiones de menor potencial, el potencial en el  punto a es mayor que en el punto b. Si consideramos  p y q p la corriente como flujo de cargas positivas, estas  cargas se mueven en el sentido en el que el potencial  decrece. Suponiendo que el campo eléctrico E es  constante, la diferencia de potencial V entre los  puntos a y b es: V = Va – Vb = E∆L. El cociente entre la caída de potencial y  la corriente se llama resistencia (R):

Figura 5.3: Segmento de alambre portador de una corriente I. La diferencia de potencial está relacionada con el campo eléctrico por la expresión Va – Vb = E∆L.

V R= I

La unidad del SI de resistencia se llama ohmio (Ω):   1 Ω ( ) = 1 V/A. / Para muchos materiales, la resistencia no depende de la caída de voltaje o de la  i t id d ( t i l óh i ) intensidad (materiales óhmicos):

V = IR

( R constante) [La ley de Ohm]

5.2 Resistencia y la ley de Ohm En los materiales no óhmicos la resistencia  depende de la corriente I, de modo que V no  es proporcional a I. La resistencia de un alambre conductor es  proporcional a su longitud e inversamente  i l á t l proporcional a su área transversal:

R=ρ

L A

siendo ρ la resistividad que depende del  material (ver tabla 5.1 en la siguiente página).

Figura 5.4: Gráficos de la corriente en función del voltaje para (a) materiales óhmicos y (b) materiales no óhmicos.

La resistividad de cualquier material  depende de la temperatura (ver figura 5.5). Esta dependencia es prácticamente lineal. Esta dependencia es prácticamente lineal. g 5.5: G f de la resistividad en función f Figura Gráfico de la temperatura para el cobre. Nótese la relación prácticamente lineal.

5.2 Resistencia y la ley de Ohm Tabla 5.1: Resistividades de diversos materiales a temperatura ambiente.

Tabla 5.2: Diámetros y secciones transversales de alambres típicos de cobre.

Material

Resistividad ρ Resistividad ρ a  a 20 oC (Ω m)

Calibre

Diámetro a  Diámetro a 20 oC (mm)

Área  Área (mm2)

Plata

1.6 x 10‐8

4

5.189

21.15

C b Cobre

1.7 x 10 1 7 10‐88

6

4 115 4.115

13 30 13.30

Aluminio

2.8 x 10‐8

8

3.264

8.366

Tungsteno

5.5 x 10‐8

10

2.588

5.261

Hierro

10 x 10‐8

12

2.053

3.309

Plomo

22 x 10‐8

14

1.628

2.081

Mercurio

96 x 10‐8

16

1.291

1.309

Carbono

3500 x 10‐8

18

1.024

0.8235

Germanio 

0.45

20

0.8118

0.5176

Silicio

640

22

0.6438

0.3255

Madera 

108‐1014

Vidrio

1010‐1014

Á b Ámbar

5 x 10 5 1014

Azufre

1 x 1015

5.2 Resistencia y la ley de Ohm Ejemplo 5.3: Un cable de nicrom (ρ = 10−6 Ω m) tiene un radio de 0.65 mm. ¿Qué  longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de 2 0 Ω? longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de 2.0 Ω? Solución: 2.65 m.

Ejemplo 5.4: Calcular la resistencia por unidad de longitud de un cable de cobre de  calibre 14. Solución: 8.17 x 10‐3 Ω/m.

Ejemplo 5.5: Determinar el valor del campo eléctrico en un cable de cobre de calibre  14 cuando éste transporta una corriente de 1.3 A. Solución: 1.06 x 10‐2 V/m.

5.3 La energía en los circuitos eléctricos Cuando una corriente circula a lo largo de un  conductor, se produce una disipación constante de  energía en forma de calor que se conoce con el energía en forma de calor que se conoce con el  nombre de efecto Joule. La energía perdida por unidad de tiempo es la  La energía perdida por unidad de tiempo es la potencia P disipada en un segmento del conductor:

Figura 5.6

P = IV donde V es la caída de potencial en ese segmento. Esta potencia se puede expresar de diversas  p p p formas:   2

V P = IV = I R = R 2

Ejemplo 5.6: Una resistencia de 12 Ω transporta una corriente de 3 A. Determinar la  potencia disipada en esta resistencia. Solución: 108 W.

5.3 La energía en los circuitos eléctricos FEM y baterías:  FEM y baterías: Un aparato o dispositivo que  suministra energía eléctrica recibe el nombre de fuente  de fem Una fuente de fem realiza trabajo sobre la carga  de fem. Una fuente de fem realiza trabajo sobre la carga que pasa a su través. Este trabajo por unidad de carga  recibe el nombre de fem de la fuente. La unidad de fem es el voltio Una batería ideal una fuente de fem que  es el voltio. Una batería ideal una fuente de fem que mantiene una diferencia de potencial constante entre  Figura 5.7: Circuito eléctrico simple sus terminales.  formado por una batería, una resistencia y cables de conexión. conexión El ritmo con el que una fuente de fem suministra  energía es la potencia de salida: 

∆Qξ = ξI P= ∆t Figura 5.8: Fotografía de un circuito simple formado por una batería real real, una resistencia y los cables de conexión.

5.3 La energía en los circuitos eléctricos En una batería real la diferencia de potencial entre los bornes de la batería,  denominada tensión en los bornes, no es simplemente igual al valor de la fem de la  batería Una batería real puede considerarse como una batería ideal más una pequeña batería. Una batería real puede considerarse como una batería ideal más una pequeña  resistencia r, denominada resistencia interna de la batería. Considerando el circuito de  la figura 5.10:

Va − Vb = ξ − Ir ⇒ I =

Figura g 5.9: Tensión en los bornes V en ffunción de I para una batería real. La línea de puntos muestra la tensión en el caso de una batería ideal.

ξ

R+r

Figura g 5.10: Una batería real ppuede representarse por una batería ideal y una pequeña resistencia r.

5.3 La energía en los circuitos eléctricos Ejemplo 5.7: Tenemos una batería de una determinada fem y una resistencia  interna r. ¿Qué valor de la resistencia externa R debemos conectar entre los  bornes para obtener la máxima potencia en la resistencia? Solución: R = r (ver figura 5.11).

Figura 5.11: La potencia suministrada entre los extremos de la resistencia es máxima si R = r.

5.4 Asociaciones de resistencias Resistencias en serie: La caída de potencial a través de las dos resistencias de la figura  Resistencias en serie:  5.12(a) es la suma de las caídas de potencial a través de las resistencias individuales:

V = IR1 + IR2 = I ( R1 + R2 ) La resistencia equivalente es: La resistencia equivalente es:

Req = R1 + R2

Cuando hay más de dos resistencias en serie:

Req = R1 + R2 + R3 + ...

Figura g 5.12: ((a)) Dos resistencias en serie transportan p la misma corriente.(b) ( ) Las resistencias de la ffigura g (a) ( ) pueden substituirse por una sola resistencia equivalente Req = R1 + R2 que proporciona la misma caída de potencial total cuando circula la misma corriente que en (a).

5.4 Asociaciones de resistencias Resistencias en paralelo: La caída de potencial a través de las dos resistencias de la  Resistencias en paralelo:  figura 5.13(a) es la misma y la corriente total es la suma de las corrientes que circulan  por cada una de las resistencias: por cada una de las resistencias:

V = IR1 = IR2 y I = I1 + I 2

La resistencia equivalente es: La resistencia equivalente es:

1 1 1 = + Req R1 R2

Cuando hay más de dos resistencias en serie: Cuando hay más de dos resistencias en serie:

1 1 1 1 = + + + ... Req R1 R2 R3

Figura g 5.13: ((a)) Dos resistencias están conectadas en pparalelo cuando se conectan juntas j en ambos extremos, de modo que la caída de potencial es la misma a través de cada una de ellas. (b) Las resistencias de la figura (a) pueden substituirse por una sola resistencia equivalente 1/Req = 1/R1 + 1/R2.

5.4 Asociaciones de resistencias Ejemplo 5.8: Considere el circuito de la figura 5.14.  Determinar (a) la resistencia equivalente, (b) la  intensidad total de la corriente (c) la corriente que intensidad total de la corriente, (c) la corriente que  circula por cada resistencia, (d) la potencia disipada en  cada resistencia y (e) la potencia suministrada por la  batería. batería Ejemplo 5.9: Considere el circuito de la figura 5.15.  Determinar (a) la resistencia equivalente, (b) la corriente  Determinar (a) la resistencia equivalente (b) la corriente que circula por el circuito, (c) la caída de potencial a  través de cada resistencia, (d) la potencia disipada en  cada resistencia y (e) la potencia total disipada. y( ) p p

Figura 5.14

Figura 5.15

Ejemplo 5.10: Considere el circuito de la figura 5.16.  Determinar (a) la resistencia equivalente del circuito y (b) la corriente que circula por cada una de las  resistencias y su correspondiente caída de potencial. Figura 5.16

5.5 Las reglas de Kirchhoff Existen muchos circuitos simples, tales como el de la  figura 5.17,que no pueden analizarse meramente  reemplazando combinaciones de resistencias por reemplazando combinaciones de resistencias por  una resistencia equivalente. Existen dos reglas,  llamadas reglas de Kirchhoff, que se aplican a éste y  a cualquier otro circuito: a cualquier otro circuito: Figura 5.17 1. La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o  malla del circuito debe ser igual a cero. 2. En un punto o nudo de ramificación de un circuito en donde puede dividirse la  corriente, la suma de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma de  las corrientes que salen del mismo. ‰ La primera regla, llamada regla de las mallas, es una  consecuencia de que el campo eléctrico es conservativo.

[Reglas de Kirchhoff]

‰ La segunda regla, llamada regla de los nudos, se  d d deduce de la conservación de la carga (ver figura 5.18): d l ió d l ( fi 5 18)

I1 = I 2 + I 3

Figura 5.18

5.5 Las reglas de Kirchhoff Circuitos de una sola malla: Como ejemplo de la aplicación de la primera regla de  Kirchhoff consideramos el circuito de la figura 5.19. Deseamos determinar la corriente en  función de las fems y resistencias:

− IR1 − IR2 − ξ 2 − IR3 + ξ1 − Ir1 = 0

I=

ξ1 − ξ 2 R1 + R2 + R3 + r1 + r2

Figura 5.19: Circuito formado por dos baterías y tres resistencias.

5.5 Las reglas de Kirchhoff Ejemplo 5.11: Considere el circuito de la figura 5.20.  (a) Hallar los potenciales en los puntos a hasta e (a) Hallar los potenciales en los puntos a hasta e indicados en la figura suponiendo que el potencial en  el punto e es cero. (b) Determinar la potencia de  entrada y de salida del circuito. Figura 5.20 Ejemplo 5.12: Una batería de automóvil totalmente  cargada se conecta mediante cables a otra batería  descargada para proceder a su carga. (a) ¿A qué  b borne de la batería débil debemos conectar el borne  d l b í déb l d b lb positivo de la batería cargada? (b) Suponer que ésta  tiene una fem de 12 V mientras que la débil tiene  una fem f d 11 V de 11 V, que las resistencias internas de las  l it i i t d l baterías son r1= r2= 0.02 Ω y que la resistencia de los  cables es R = 0.01 Ω. ¿Cuál será la corriente de  carga? (c) ¿Y si las baterías se conectan carga? (c) ¿Y si las baterías se conectan  incorrectamente, cuál sería la corriente? Figura 5.21

5.5 Las reglas de Kirchhoff Circuitos de múltiples mallas: Para cada rama del circuito dibujamos una flecha indicando el sentido positivo de la  corriente. La diferencia de potencial entre los extremos final e inicial de una  determinada resistencia es igual a –IR, y entre el inicial y final es IR. Ejemplo 5.13: (a) Determinar la corriente en cada parte del circuito mostrado en la figura  5.22. (b) Calcular la energía disipada en 3 s en la resistencia de 4 Ω.

Figura 5.22: Circuito del ejemplo 5.13.

Figura 5.23: Solución del ejemplo 5.13.

5.5 Las reglas de Kirchhoff Ejemplo 5.14: (a) Determinar la intensidad de la  corriente en cada parte del circuito mostrado en  la figura 5.24. Dibujar el diagrama del circuito la figura 5.24. Dibujar el diagrama del circuito  con los valores absolutos y los sentidos de la  corriente en cada una de las partes. (b) Asignar V  = 0 en el punto c p yy después especificar el  p p potencial en cada uno de los puntos de a a f respecto de aquel.

Figura 5.24

Planteamiento y solución: ver figuras 5.25 y 5.26. 

Figura 5.25

Figura 5.26

5.5 Las reglas de Kirchhoff A Amperímetros, voltímetros y ohmímetros: í t ltí t h í t

Figura 55.27: 27: Para medir la corriente que circula por una resistencia R se coloca un amperímetro en serie con ella,, de tal modo qque ppor él circula la misma corriente que por la resistencia.

Figura 5.28: Para medir la caída de tensión entre los extremos de una resistencia se coloca un voltímetro en paralelo con ella, de modo qque las caídas de potencial p a través del voltímetro y la resistencia sean las mismas.

Figura 5.29: Fi 5 29 Un U amperímetro í t se compone de un galvanómetro cuya resistencia es Rg y una resistencia pequeña en paralelo Rp. (b) Un voltímetro se compone de un galvanómetro y una resistencia grande en serie Rs.

Figura 5.30: (a) Ohmímetro formado por una batería en serie con un ggalvanómetro y una resistencia Rs. ((b)) Cuando una resistencia R se sitúa entre a y b, la aguja del galvanómetro se desvía en una cantidad que depende del valor de R.

5.6 Circuitos RC Descarga de un condensador:

Q dQ +R =0 C dt Figura 5.31: Circuito RC.

Q(t ) = Q0 e

− t / RC

= Q0 e

−t /τ

Figura 5.32: Carga como función del tiempo en el proceso de descarga de un condensador en un circuito RC.

Q0 −t / RC y I (t ) = e = I 0 e −t /τ RC

Figura 5.32: Corriente como función del tiempo en el proceso de descarga de un condensador en un circuito RC.

5.6 Circuitos RC Carga de un condensador:

Q dQ ξ − −R =0 C dt

Q(t ) = Cξ (1 − e

− t / RC

) = Q f (1 − e

Figura 5.35: Carga como función del tiempo en el proceso de carga de un condensador en un circuito RC con una batería.

Figura g 5.34: Circuito RC con batería. −t /τ

) y I (t ) =

ξ

R

e −t / RC = I 0 e −t /τ

Figura 5.36: Corriente como función del tiempo en el proceso de carga de un condensador en un circuito RC con una batería.