6

DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO

6.1

CINEMATICA

6.1.1 Configuracion de un Cuerpo Rígido: Angulos de Euler Un cuerpo rígido se puede entender como una distribución continua de materia que se subdivide en pequeños elementos arbitrarios de volumen y masa, que son las partículas del sistema. El movimiento general de un cuerpo rígido es entonces un caso particular del movimiento de un sistema de partículas unidas rígidamente entre sí.

En general, un sólido en el espacio tiene seis grados de libertad, es decir, su configuración queda determinada unívocamente por seis coordenadas independientes. La posición de un punto O en el cuerpo queda especificada por sus tres coordenadas en un sistema fijo. Para especificar la orientación del cuerpo en el espacio se requieren tres coordenadas adicionales. En este capítulo se estudia la forma de especificar la orientación. Entre muchos sistemas utilizados para este fin, uno de los más simples es el de los Angulos de Euler. Supóngase un cuerpo rígido con libertad de movimiento total en el espacio como se muestra en la Fig. 6.1. O es un 3 punto fijo al cuerpo. Se definen dos sistemas de 3 2 coordenadas con origen en O, referidos a un sistema absoluto. El primero, S, es un sistema que mantiene O siempre sus tres ejes paralelos al sistema absoluto. El 2 segundo, S , tiene el mismo origen que el anterior, pero rota 1 con sus ejes solidarios al cuerpo. La configuración del 1 cuerpo rígido queda definida por la posición absoluta del punto O y por la orientación del cuerpo, es decir, la orientación del sistema S con respecto a S. Se requiere entonces encontrar un sistema de tres coordenadas capaz de describir esta orientación. Para esto se definen los ángulos Fig. 6.1 Sistemas de coordenadas de rotación φ , θ , y ψ que se muestran en la Fig.6.2. Estos ángulos, conocidos como Angulos de Euler, se obtienen según se describe a continuación. Supóngase que inicialmente el sólido está orientado de tal manera que S y S coinciden. La primera rotación de S es el ángulo φ en torno al eje 3. Si Sˆ es el sistema definido por la posición de S después de esta rotación, la velocidad angular de Sˆ con respecto a S es φ& e3. La segunda rotación es θ en torno al eje 1ˆ , definiendo el sistema S~ que rota con velocidad θ& eˆ1 . Finalmente, la última rotación es ψ en torno al eje ~3 , definiendo la configuración final del sistema S que rota con velocidad ψ& ~e 3 .

~ 3

2ˆ

φ

3 − 3ˆ

1

2

φ

1ˆ

2

~ 3 −3

θ

1ˆ − ~ 1

3ˆ

θ

~ 2

2ˆ Fig. 6.2 Angulos de Euler

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ψ

1

~ 1

ψ

1

~ 2

Los Angulos de Euler se definen como sigue: φ: El ángulo que forma el eje 1ˆ (o ~ 1 ) con el eje 1, siendo positivo el sentido de rotación en la dirección del eje 3 (o 3ˆ ), con un rango entre 0 y 2π. θ: El ángulo que forma el eje ~ 3 (o 3 ) con el eje 3, siendo positivo el sentido de rotación en la ~ dirección del eje 1ˆ (o 1 ), con un rango entre 0 y π. 1 (o 1ˆ ), siendo positivo el sentido de rotación en la ψ: El ángulo que forma el eje 1 con el eje ~ ~ dirección del eje 3 (o 3 ), con un rango entre 0 y 2π. Las ecuaciones de transformación de coordenadas entre los sistemas son:  cos φ sin φ 0 ˆ =  − sin φ cos φ 0 V V    0 0 1

cos φ − sin φ 0  ˆ V =  sin φ cos φ 0 V  0 0 1

(6.1)

0 0  1  ˆ ~ V = 0 cos θ sin θ  V 0 − sin θ cos θ 

0 0  1  ~ ˆ = 0 cos θ − sin θ V V   0 sin θ cos θ 

(6.2)

 cos ψ sin ψ 0  ~ V =  − sin ψ cos ψ 0 V  0 0 1

cos ψ − sin ψ 0   ~ V =  sin ψ cos ψ 0 V  0 0 1

Mediante los tres ángulos φ, θ, y ψ, definidos en torno a tres ejes linealmente independientes entre sí, se puede representar cualquier rotación del sistema S respecto del sistema S. Definida esta rotación, cualquier representación vectorial en el sistema S tiene una única representación vectorial en el sistema S . Es importante recordar que, en general, las rotaciones del cuerpo rígido no son conmutativas, por lo que el uso de los ángulos de Euler requiere mantener el orden de rotación. La Fig. 6.3 muestra las tres rotaciones y sistemas de coordenadas. De acuerdo a los resultados anteriores, la ley de transformación entre los sistemas S y S está definida por:

~ 3 3

ψ&

(6.3)

3 3ˆ

φ& θ 2

ψ ~2 θ φ

φ 1

θ& 1ˆ ~ 1

2ˆ 2

ψ 1

Fig. 6.3 Angulos de Euler y Sistemas de Coordenadas

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2

sin φ ⋅ cos ψ + cos φ ⋅ cos θ ⋅ sin ψ sin θ ⋅ sin ψ   cos φ ⋅ cos ψ − sin φ ⋅ cos θ ⋅ sin ψ   V =  − cos φ ⋅ sin ψ − sin φ ⋅ cos θ ⋅ cos ψ − sin φ ⋅ sin ψ + cos φ ⋅ cos θ ⋅ cos ψ sin θ ⋅ cos ψ   − cos φ ⋅ sin θ sin φ ⋅ sin θ cos θ 

V

(6.4)  cos φ ⋅ cos ψ − sin φ ⋅ cos θ ⋅ sin ψ − cos φ ⋅ sin ψ − sin φ ⋅ cos θ ⋅ cos ψ sin φ ⋅ sin θ    V = sin φ ⋅ cos dψ + cos φ ⋅ cos θ ⋅ sin ψ − sin φ ⋅ sin ψ + cos φ ⋅ cos θ ⋅ cos ψ − cos φ ⋅ sin θ   sin θ ⋅ sin ψ sin θ ⋅ cos ψ cos θ

V

6.1.2 Velocidades y Aceleraciones Angulares De la definición de los ángulos de Euler, las velocidades de rotación entre los sistemas son: Ω Sˆ / S = φ& e 3 Ω S~ / Sˆ = θ& eˆ 1

(6.5)

Ω S / S~ = ψ& e 3

La velocidad angular del sólido, es decir del sistema S con respecto al sistema S es: Ω S / S = Ω Sˆ / S + Ω S~ / Sˆ + Ω S / S~ = φ& e 3 + θ& eˆ 1 + ψ& e 3

(6.6)

En componentes del sistema S: Ω S / S = ( θ& cos φ + ψ& sin φ sin θ ) e1 + ( θ& sin φ − ψ& cos φ sin θ)e 2 + (φ& + ψ& cos θ) e 3

(6.7)

En componentes del sistema S : Ω S / S = ( φ& sin θ sin ψ + θ& cos ψ ) e 1 + ( φ& sin θ cos ψ − θ& sin ψ ) e 2 + (φ& cos θ + ψ& ) e 3

(6.8)

Conocidas las expresiones para la velocidad angular, se puede obtener la aceleración angular. En componentes del sistema S es: & 1 = &φ& ⋅ sθ ⋅ sψ + &θ& ⋅ cψ + φ& ⋅ (θ& ⋅ cθ ⋅ sψ + ψ& ⋅ sθ ⋅ cψ ) − θ& ⋅ ψ& ⋅ sψ Ω & 2 = &φ& ⋅ sθ ⋅ cψ − &θ& ⋅ sψ + φ& ⋅ (θ& ⋅ cθ ⋅ cψ − ψ& ⋅ sθ ⋅ sψ ) − θ& ⋅ ψ& ⋅ cψ Ω

(6.9)

& 3 = &φ& ⋅ cθ + ψ Ω && − φ& ⋅ θ& ⋅ sθ

Supóngase que se conoce las componentes Ω1 , Ω 2 y Ω 3 de la velocidad angular Ω en S . De la Ec. 6.8 se puede despejar las derivadas temporales de los ángulos de Euler:

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3

φ& =

Ω 1 sin ψ + Ω 2 cos ψ

sin θ &θ = Ω 1 cos ψ − Ω 2 sin ψ ψ && =

(6.10)

Ω 3 sin θ − Ω 1 cos θ sin ψ − Ω 2 cos θ cos ψ sin θ

El uso de los ángulos de Euler presenta sin embargo algunos problemas. En general, la integración de las ecuaciones (6.10) para obtener los ángulos sólo se puede hacer en forma numérica. Más aún, los ángulos de Euler no permiten describir el movimiento cuando θ es 0 o π, ya que las ecuaciones presentan una singularidad en estos puntos. 6.1.3 Eje Instantáneo de Rotación Supóngase un cuerpo rígido que describe un movimiento de rotación entorno a un punto fijo o. Entonces, en cada instante existe una recta L en el cuerpo o en una extensión imaginaria de él, que pasa por el punto o, es paralela a la velocidad Ω de rotación del sólido y que en el instante dado está en reposo. Se puede considerar entonces que en cada instante el cuerpo describe un movimiento de rotación en torno a la recta L que es el eje instantáneo de rotación.

Supóngase ahora el caso de un cuerpo rígido que se mueve libre en el espacio. En general, en este caso, no existe una recta que en un instante dado esté en reposo. Sin embargo, en dicho instante existe una línea de puntos que se mueven a lo largo de una recta L, que es paralela a la velocidad Ω de rotación del sólido. Se puede considerar entonces que en cada instante el cuerpo describe un movimiento de rotación en torno a la recta L y una traslación paralela L, que es el eje instantáneo de rotación.

6.2

CINETICA

6.2.1 Ecuaciones del Movimiento El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio sigue las leyes generales enunciadas para sistemas de partículas. Se estudia por separado el movimiento traslacional y el movimiento rotacional. El movimiento de traslación del cuerpo corresponde al movimiento del centro de masa. El movimiento de rotación corresponde al movimiento con respecto al centro de masa.

Movimiento del Centro de Masa: El centro de masa se mueve como una partícula de masa igual a la masa total M del sólido, sometido a la fuerza externa neta F. La ecuación del movimiento traslacional del centro de masa es : F = MA

donde A es la aceleración del CM medida con respecto al origen de un sistema inercial.

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4

(6.11)

Movimiento en torno al Centro de Masa: El movimiento en torno al cantro de masa se describe mediante la ecuación general del movimiento angular para un sistema de partículas: &c τc = H

(6.12)

donde τc es el torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro de masa y Hc es el momento angular del sistema con respecto al centro de masa. 6.2.2

Momento Angular

Sea o un punto fijo en el cuerpo rígido, S un sistema de referencia fijo al cuerpo, con origen en o y orientado según las direcciones principales en o, S un sistema inercial de referencia y S' un sistema arbitrario. El momento angular del cuerpo rígido con respecto al punto o es: Ho =

∑ rj/ o × mjvj/ o j

donde rj/o es la posición del punto j con respecto a o y vj/o es la velocidad de j con respecto a o. La velocidad es: v j/ o =

dr j / o dt

La derivada de rj/o en el sistema inercial S se puede evaluar en términos de la derivada en el sistema S y la velocidad de rotación Ω de S con respecto a S:  dr j / o   dr j / o    =  + Ω × rj/ o  dt  S  dt  S

Como los puntos o y j están fijos en el cuerpo rígido, la derivada de rj/o en S es nula. Reemplazando en las ecuaciones anteriores se obtiene: Ho =

∑ r j/ o × m j Ω × r j/ o j

Utilizando la igualdad A × [B × C] = [A • C] B - [A • B] C se obtiene: Ho =

∑ m j [(r j / o • r j / o )Ω − (r j / o • Ω )r j / o ] j

Desarrollando para la primera componente de Ho, en términos de las componentes x1, x2 y x3 de rj/o y de las componentes Ω1, Ω2 y Ω3 de la velocidad angular Ω se obtiene: H1 / o = Ω1

∑ m j r 2 j / o − ∑ m j (x1Ω1 + x 2 Ω 2 + x 3 Ω 3 )x1 j

H1 / o = Ω1

⇒

j

∑ m j  x 2 2 + x 3 2  − Ω 2 ∑ m jx1 x 2 − Ω 3 ∑ m j x1 x 3 j

j

j

Los términos de las sumas corresponden a las componentes I11, I12 e I13 respectivamente del tensor de inercia del cuerpo rígido para el sistema S con origen o. H 1 / o = Ω 1 I 11 + Ω 2 I 12 + Ω 3 I 13 Mecanica Racional - UTFSM - Dinámica del Cuerpo Rígido

5

(6.13)

De igual forma se obtienen las otras componentes del momento angular: H 2 / o = Ω 1 I 21 + Ω 2 I 22 + Ω 3 I 23 H 3 / o = Ω 1 I 31 + Ω 2 I 32 + Ω 3 I 33

(6.13a)

Estas ecuaciones pueden escribirse como:

H = [I ] Ω

(6.14)

Nótese que por simplicidad, en esta expresión, no se han anotado los índices que indican el sistema de referencia y el origen. El lector debe tener claro que esta ecuación para el momento angular ha sido expresada en un sistema fijo al cuerpo que se mueve junto con él.

6.2.3 Ecuaciones de Euler del Movimiento Las tres ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento rotacional del cuerpo rígido en el espacio se obtienen de las Ec. (6.12) y (6.14), considerando como origen del sistema S el centro de masa c del cuerpo rígido.

En la Ec. (6.12) aparece la derivada del momento angular H evaluada en un sistema inercial S. Sin embargo, el momento angular dado por la Ec. (6.14) ha sido calculado en un sistema S fijo al cuerpo. Es conveniente entonces calcular la derivada de H en términos de su derivada en el sistema móvil y de la velocidad de rotación Ω de S con respecto a S:  dH c   dH c   dt  =  dt  + Ω × H c  S  S

El primer término del lado derecho de la ecuación corresponde a la derivada del momento angular en el sistema fijo al cuerpo. Según la Ec. (6.14) esto es: d  dH c   dΩ   dt  = dt ([I(c)] Ω )S = [I(c)]  dt   S  S

ya que el tensor de inercia no cambia con el tiempo en el sistema S . Por otra parte, las derivadas de la velocidad angular en los sistemas fijo y móvil son iguales, quedando:  dH c  &  dt  = [I(c)] Ω  S

La ecuación del movimiento angular en torno al centro de masas es entonces:

& + Ω × [I(c )] Ω τ c = [I(c )] Ω

(6.15)

Es usual escribir esta ecuación para el caso del sistema S orientado según las direcciones principales del cuerpo rígido, lo cual simplifica las ecuaciones ya que desaparecen los productos de inercia. Desarrollando por componentes se obtiene: Mecanica Racional - UTFSM - Dinámica del Cuerpo Rígido

6

& 1 - ( I2 - I3 )Ω2 Ω3 τ 1 = I 1 (c) Ω & 2 - ( I 3 - I1 ) Ω 3 Ω1 τ 2 = I 2 (c) Ω

& 3 - ( I1 - I 2 )Ω1 Ω 2 τ 3 = I 3 (c) Ω

(6.16)

Estas son las Ecuaciones de Euler que rigen el movimiento rotacional de un cuerpo rígido en torno a su centro de masa. Estas ecuaciones, con las modificaciones correspondientes, son válidas también para el caso de un cuerpo que rota en torno a un punto fijo o en el espacio. Nótese que las ecuaciones son no lineales en las componentes de la velocidad angular, lo que dificulta la solución. Además, para determinar la posición del cuerpo en el espacio, es necesario integrar un conjunto de ecuaciones cinemáticas, tales como los ángulos de Euler.

6.2.4

Energía Cinética

Bajo las mismas suposiciones con que se calculó el momento angular, la energía cinética del cuerpo rígido con respecto al punto o fijo al cuerpo es: To = 1

2

∑ m j r& j / o • r& j / o j

Utilizando la expresión anterior para evaluar la derivada de rj/o en el sistema inercial S en términos de la derivada en el sistema S y de la velocidad de rotación Ω de S con respecto a S, y procediendo de manera similar al caso del momento angular, se obtiene: T = 1 Ω T [I ] Ω 2

(6.17)

Nótese que por simplicidad, en esta expresión, no se han anotado los índices que indican el sistema de referencia y el origen. El lector debe tener claro que esta ecuación para la energía cinética ha sido expresada en un sistema fijo al cuerpo que se mueve junto con él. La energía cinética total del cuerpo rígido se puede evaluar como la energía cinética del centro de masas más la energía cinética con respecto al centro de masas: T = 1 M V • V + 1 Ω T [I(c)] Ω 2

2

(6.18)

donde V es la velocidad absoluta del centro de masas, Ω es la velocidad de rotación del sistema S fijo al cuerpo con respecto a al sistema inercial S e [I(c)] es el tensor de inercia del cuerpo rígido evaluado para el sistema S con origen en el centro de masas c.

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