´ 6. MODELADO DEL GENERADOR ELECTRICO ACOPLADO AL CONVERTIDOR DE ENERG´IA DE LAS OLAS
Para aplicaciones que envuelven movimiento lineal o rec´ıproco es ventajoso usar m´aquinas el´ectricas lineales en vez de las cl´asicas rotacionales dado que puede reducirse o incluso prescindirse de la interfaz mec´anica. Si se usa un generador lineal acoplado directamente al convertidor como dispositivo de extracci´on de potencia, puede minimizarse tanto la estructura como los componentes mec´anicos. Por estas razones se ha decidido trabajar con generadores lineales para el sistema basado en una boya oscilante en modo 3 (heave). Para el oscilador de columna de agua se ha decido trabajar con un PTO del tipo generador s´ıncrono ya que la turbina del sistema presenta un movimiento rotacional en un s´olo sentido.
6.1 Modelado del Generador Lineal Acoplado al Convertidor de Energ´ıa de las Olas Oscilante La generaci´on lineal se est´a empleando en los convertidores de energ´ıa de las olas como una alternativa a los generadores rotativos con acoplamientos y multiplicadores de velocidad con el fin de evitar el mantenimiento y las perdidas en estos dispositivos. Los generadores lineales extraen energ´ıa en forma de movimiento oscilante de vaiv´en a velocidad reducida. Con esta velocidad se puede crear energ´ıa el´ectrica de baja frecuencia que necesitar´a ser procesada por dispositivos de electr´onica de potencia para ser conectada a la red.
Fig. 6.1: Conversi´on de una m´aquina el´ectrica rotativa a lineal
(Cruz 2008)
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Generalmente los generadores lineales se construyen con un magneto permanente consolidado a la parte m´ovil o translator de la m´aquina. Este magneto genera el campo necesario para la generaci´on de electricidad. Las m´aquinas lineales se describen frecuentemente tomando una m´aquina rotativa seccionada y desenrollada sobre un plano como se muestra en la figura 6.1. Por esta raz´on, se usan las mismas ecuaciones que gobiernan las m´aquinas rotativas para describir los fen´omenos asociados a las m´aquinas lineales. La geometr´ıa de la m´aquina el´ectrica lineal puede ser plana o tubular. Esta u´ ltima tiene una secci´on circular o poligonal a lo largo del eje de movimiento como se muestra en la figura 6.2.
Fig. 6.2: M´aquina el´ectrica lineal plana y tubular
(Cruz 2008)
6.1.1 Teor´ıa b´asica del generador lineal Las partes que conforman a un generador lineal se ilustran en la figura 1.12. El dispositivo est´a formado por una parte m´ovil llamada translator sobre el cual se montan los magnetos con polaridad alternante. El convertidor se mueve linealmente cerca de un estator estacionario que contiene bobinas formadas de espiras conductoras. Entre el translator y el estator existe un entrehierro que sirve de medio para que se induzca tensi´on en los arrollados estat´oricos debido al campo magn´etico que cambia con el movimiento del convertidor.
Fig. 6.3: Generador lineal
Cuando el magneto permanente sobre la parte m´ovil de la m´aquina se mueve respecto al
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estator se induce una fuerza electromotriz en el arrollado de la armadura. Si este arrollado esta conectado a una carga, se genera una corriente que crea un flujo magn´etico que interactua a su vez con el flujo del magneto permanente creando una fuerza sobre el translator de la m´aquina. De esta manera la energ´ıa mec´anica aplicada al convertidor puede ser transformada en energ´ıa el´ectrica para ser consumida en la carga. Los magnetos permanentes sobre el translator se montan con polaridad alternante de manera que crean una onda de flujo magn´etico con direcci´on alternante. Cuando el translator se mueve, la onda de flujo magn´etico lo sigue en su trayectoria lineal. Seg´un la Ley de Inducci´on de Faraday la fuerza electromotriz inducida en un arrollamiento (devanado) estat´orico por el movimiento del magneto puede calcularse mediante la ecuaci´on 6.1: Es = −
d Ψ dt
(6.1)
donde Ψ es el flujo a trav´es del arrollamiento estat´orico. Para un generador lineal de un par de polos, la distribuci´on de espiras a lo largo de una fase del estator Ns (x) suele realizarse senoidalmente asumiendo un n´umero m´aximo de espiras N Ns (x) = N.sen(2πx/L) si
0 < x < L/2
Ns (x) = −N.sen(2πx/L) si
− L/2 < x < 0
(6.2)
Si el flujo constante del magneto permanente sobre una fase del estator en la posici´on inicial es −φf d φf d
si
si
0 < x < L/2 − L/2 < x < 0
(6.3)
el flujo en una fase del arrollado del estator debido al magneto permanente puede representarse mediante la ecuaci´on: Ψ(x) = −Φf d .sen(2πx/L)
(6.4)
donde Φf d =N.φf d es el flujo m´aximo y x es el eje de referencia fijo sobre el estator (ver figura 6.3). Si sustituimos la ecuaci´on 6.4 en 6.1 tomando en cuenta que la posici´on x del translator var´ıa con el tiempo, se obtiene la fuerza electromotriz inducida por el movimiento del magneto permanente sobre una fase. 2π.Φf d .v(t) Es (t) = .cos L
µ
¶ 2π x(t) L
(6.5)
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La cantidad v(t)=dx(t)/dt en la ecuaci´on 6.5 es la velocidad lineal del translator. Si el generador lineal tiene p pares de polos se suele definir el paso polar (distancia entre un polo positivo y otro polo positivo) como λ=L/p. En funci´on de λ la ecuaci´on 6.5 puede escribirse µ ¶ 2π.Φf d .v(t) 2π (6.6) Es (t) = .cos x(t) λ λ El a´ ngulo y la velocidad angular de la fuerza magnetomotriz inducida pueden representarse en funci´on de la velocidad lineal y de la posici´on del convertidor mediante las ecuaciones siguientes: 2π.x(t) λ 2π.v(t) ωe (t) = λ θe (t) =
(6.7) (6.8)
Entonces, la fuerza electromotriz puede escribirse de la siguiente manera: Es (t) = ωe (t).Φf d .cos (θe (t))
(6.9)
6.1.2 Transformaci´on de Park aplicada al generador lineal Para describir el comportamiento electromec´anico de las m´aquinas se suele usar las transformaciones a nuevos sistemas de referencia. Esto es particularmente ventajoso para desacoplar variables, para simplificar ecuaciones que var´ıan con el tiempo y para referir todas las variables a un sistema de referencia com´un. Algunas de las transformaciones mas ampliamente conocidas son la transformaci´on de Clarke y de Park. En la transformaci´on de Park el sistema trif´asico estacionario se refiere al rotor transform´andose en un sistema de referencia de dos ejes para sistemas balanceados. Este nuevo sistema dq0 simplifica el an´alisis para sistemas trif´asicos balanceados (Krause 2002). En el modelo del generador lineal se usaron las ecuaciones de la transformaci´on de Park con a´ ngulo de referencia o transformaci´on θe (posici´on angular el´ectrica de la tensi´on inducida en el estator) (Krause 2002). fsq (t) cos(θe ) cos(θe − 2π ) cos(θe + 2π ) fa (t) 3 3 fsd (t) = 2 sen(θe ) sen(θe − 2π ) sen(θe + 2π ) fb (t) 3 3 3 fs0 (t) 1/2 1/2 1/2 fc (t)
(6.10)
donde la velocidad angular el´ectrica del sistema trif´asico es ωe =
d θe dt
(6.11)
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Con estas ecuaciones podemos desarrollar el modelo de la m´aquina. Los enlaces de flujo dq0 en el arrollado estat´orico son: φsq = Ls isq
(6.12)
φsd = Ls isd + Φf d
(6.13)
φs0 = Lls is0
(6.14)
donde Ls =Lls + Lm es la inductancia estat´orica por fase, Lls es la inductancia de dispersi´on estat´orica por fase, Lm es la inductancia de magnetizaci´on estat´orica por fase, Φf d es el enlace de flujo en la direcci´on d del arrollado estat´orico debido al flujo producido por los magnetos del rotor y Rs es la resistencia estat´orica por fase. Las ecuaciones de los voltajes a la salida del generador son: d φsq + ωe φsd dt d = Rs isd + φsd − ωe φsq dt d = Rs is0 + φs0 dt
vsq = Rs isq +
(6.15)
vsd
(6.16)
vs0
(6.17)
Sustituyendo las ecuaciones del flujo 6.13, 6.12 y 6.14 en 6.16, 6.15 y 6.17 se obtienen las siguientes ecuaciones con inc´ognitas las corrientes isd , isq e is0 . Las ecuaciones de las corrientes en el arrollado estat´orico son: d Rs ωe 1 isq = − isq − ωe isd − Φf d + vsq dt Ls Ls Ls d Rs 1 isd = − isd + ωe isq + vsd dt Ls Ls d Rs 1 is0 = − is0 + vs0 dt Lls Lls Para un sistema trif´asico balanceado de la forma √ fa = 2fs cosθe √ 2π fb = 2fs cos(θe − ) 3 √ 2π ) fc = 2fs cos(θe + 3
(6.18) (6.19) (6.20)
(6.21) (6.22) (6.23)
donde fs =fs (t) puede ser funci´on del tiempo, la transformaci´on de Park queda de la siguiente manera: fqs =
√
2fs (t)
(6.24)
fds = 0
(6.25)
f0s = 0
(6.26)
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Para el generador lineal la fuerza electromotriz o tensi´on inducida en el arrollado estat´orico Eabc es: Eas = ωe (t).Φf d .cos(θe (t)) 2π ) 3 2π = ωe (t).Φf d .cos(θe (t) + ) 3
(6.27)
Ebs = ωe (t).Φf d .cos(θe (t) −
(6.28)
Ecs
(6.29)
En los nuevos ejes de referencia dq0 estas tensiones son: Eqs = ωe (t).Φf d
(6.30)
Eds = 0
(6.31)
E0s = 0
(6.32)
La potencia instant´anea de una maquina el´ectrica trif´asica en los ejes de referencia dq0 es (Krause 2002): Pabcs = vas ias + vbs ics + vcs ics
Para el caso de la m´aquina lineal y tomando en consideraci´on las ecuaciones 6.30, 6.31 y 6.32, la potencia instant´anea entregada al PTO es: 3 PP T O (t) = ωe (t).Φf d .iqs (t) 2
(6.35)
La potencia de la ecuaci´on 6.35 es la potencia el´ectrica que entrega el generador el´ectrico a la carga mas la que se consume en perdidas estat´oricas. La fuerza del dispositivo extractor de potencia sobre el translator es el cociente entre la potencia del PTO y la velocidad lineal del convertidor (ecuaci´on 6.36). fP T O (t) = fg (t) =
3π.Φf d .iqs (t) P (t) = . v(t) λ
(6.36)
6.2 Modelado del Generador S´ıncrono Acoplado al Oscilador de Columna de Agua OWC Para el sistema OWC u oscilador de columna de agua se us´o un generador s´ıncrono acoplado a la turbina de bidireccional de aire. El modelo del generador es el dq0 de la transformaci´on de Park con velocidad de referencia la del rotor.
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Las ecuaciones de Park de voltaje de la m´aquina sincr´onica se escriben frecuentemente de la siguiente forma (Krause 2002): vqs = −Rs iqs + ωr λds + dλqs /dt vds = −Rs ids − ωr λqs + dλds /dt v0s = −Rs i0s + dλ0s /dt 0 0 vkq1 = Rkq1 i0kq1 + dλ0kq1 /dt 0 0 vkq2 = Rkq2 i0kq2 + dλ0kq2 /dt
vf0 d = Rf0 d i0f d + dλ0f d /dt 0 0 0 vkd = Rkd ikd + dλ0kd /dt
(6.37)
Adicionalmente, las ecuaciones de Park de los enlaces de flujo de la m´aquina sincr´onica se presentan a continuaci´on (Krause 2002): λqs = −Lls iqs + Lmq (−iqs + i0kq1 + i0kq2 ) λds = −Lls ids + Lmd (−ids + i0f d + i0kd ) λ0s = −Lls i0s λ0kq1 = L0lkq1 i0kq1 + Lmq (−iqs + i0kq1 + i0kq2 ) λ0kq2 = L0lkq2 i0kq2 + Lmq (−iqs + i0kq1 + i0kq2 ) λ0f d = L0lf d i0f d + Lmd (−ids + i0f d + i0kd ) λ0kd = L0lkd i0kd + Lmd (−ids + i0f d + i0kd )
(6.38)
En las ecuaciones 6.37 y 6.38 los sub´ındices qs, ds y 0s refieren a los ejes q, d y 0 de las variables del estator, los sub´ındices kq1 y kq2 refieren a los arrollados amortiguadores 1 y 2 en la direcci´on del eje q, el sub´ındice kd refiere al arrollado amortiguador en la direcci´on d y el sub´ındice f d refiere al devanado de campo. As´ı mismo los sub´ındices md y mq en las inductancias indican que son inductancias de magnetizaci´on en las direcciones d y q y el sub´ındice l indica que es una inductancia de dispersi´on. El ap´ostrofe
0
indica que el valor rot´orico esta
referido al estator mediante la relaci´on de transformaci´on de los arrollados involucrados.