Ռեգրեսիոն վերլուծություն

Թեմայի նպատակը ➢

Նախորդ թեմաներում որպես վերլուծության առարկա` հանդես էին գալիս առանձին թվային փոփոխականները։

➢

Տվյալ թեմայի շրջանակներում ուսումնասիրվելու են թվային փոփոխականի արժեքների կանխատեսման մեթոդները` կախված մեկ այլ թվային փոփոխականի արժեքներից։

Կապերի վիճակագրական ուսումնասիրության փուլերը ◼

◼

◼

Որակական վերլուծություն, որը կապված է ուսումնասիրվող երևույթի բնույթի վերլուծության հետ Մոդելի կառուցում, որը հիմնված է վիճակագրության մեթոդների կիրառության վրա Արդյունքների մեկնաբանում, որը նորից կապված է ուսումնասիրվող երևույթի որակական առանձնահատկությունների հետ

Երևույթների և հատկանիշների միջև կապերի դասակարգումը Հատկանիշները, ըստ փոխկապվածության ուսումնասիրության, բաժանվում են երկու խմբի, ➢

➢

✓ ✓ ✓ ✓

գործոնային (անկախ) հատկանիշներ, որոնք պայմանավորում են իրենց հետ կապված հատկանիշների փոփոխությունը, արդյունքային (կախյալ), որոնք փոփոխվում են գործոնային հատկանիշների ազդեցությամբ:

Երևույթների և դրանց հատկանիշների միջև կապը դասակարգվում է․ ըստ բնույթի, ըստ սերտության աստիճանի, ըստ ուղղության վերլուծական արտահայտության:

Երևույթների և հատկանիշների միջև կապերի դասակարգումն ըստ բնույթի Վիճակագրությունում

տարբերում

են

ֆունկցիոնալ

կապ

և

ստոխաստիկ

կախվածություն հասկացությունները: Ֆունկցիոնալ են անվանում այն կապը, որի դեպքում գործոնային հատկանիշի որոշակի արժեքին համապատասխանում է արդյունքային հատկանիշի մեկ և միայն մեկ արժեք: Եթե պատճառային կախվածությունը դրսևորվում է ոչ թե յուրաքանչյուր առանձին դեպքում, այլ ընդհանուր, միջին ձևով մեծ թվով դիտարկումների ժամանակ, ապա այդպիսի կախվածությունը կոչվում է ստոխաստիկ:

Ստոխաստիկ կապի մասնավոր դեպքն է կոռելյացիոն կապը, որի ժամանակ արդյունքային հատկանիշի միջին արժեքի փոփոխությունը պայմանավորված է գործոնային հատկանիշների փոփոխությամբ:

Երևույթների և հատկանիշների միջև կապերի դասակարգումն ըստ ուղղության Ըստ ուղղության՝ ընդգծում են ուղիղ և հակադարձ կապ: Ուղիղ կապի դեպքում գործոնային հատկանիշի արժեքների ավելացմանը կամ նվազմանը զուգընթաց ավելանում կամ նվազում են արդյունքային հատկանիշի

արժեքները: Հակադարձ կապի դեպքում արդյունքային հատկանիշի արժեքները փոխվում են հակառակ ուղղությամբ՝ գործոնային հատկանիշի փոփոխության համեմատությամբ:

Երևույթների և հատկանիշների միջև կապերի դասակարգումն ըստ վերլուծական արտահայտության Ըստ վերլուծական արտահայտության՝ տարբերում են ուղղագիծ (գծային) և ոչ գծային կապ: Գծային կապի դեպքում երևույթների միջև կապը մոտավորապես արտահայտվում է ուղիղ գծի հավասարման միջոցով:

Ոչ գծային կամ կորագծային կապի դեպքում երևույթների միջև կապն արտահայտվում է որևէ

կոր

գծի

հավասարմամբ

(պարաբոլ,

հիպերբոլ,

աստիճանային,

ցուցչային,

էքսպոնենցիալ):

Հավասարման տեսակի որոշումը կարելի է իրականացնել՝ ուսումնասիրելով փոփոխականների ցրվածության դիագրամը, որտեղ X փոփոխականի արժեքները տեղադրված են հորիզոնական առանցքի վրա, իսկ Y փոփոխականի արժեքները` ուղղահայաց։

Տարբեր տեսակի կախվածություններ արտացոլող ցրվածության դիագրամներ

Երևույթների և հատկանիշների միջև կապերի դասակարգումն ըստ սերտության աստիճանի Կապի սերտությունը գծային կախվածության դեպքում չափվում է կոռելյացիայի գծային գործակցի միջոցով: Վիճակագրության տեսության մեջ մշակվել և գործնականում կիրառվում են տվյալ գործակցի հաշվարկման բանաձևի տարբեր ձևափոխություններ, որոնցից առավել կիրառելի է հետևյալը.

r xy = Սերտ բացասական կոռելյացիա -1,00

xy − x  y

x y

Կոռելյացիոն կապի բացակայություն 0,00

Սերտ դրական կոռելյացիա 1,00

Կապի սերտության գնահատման քանակական չափանիշները

Տարբեր կոռելյացիոն կախվածություններ արտացոլող ցրվածության դիագրամներ r = 0,90

r = 0,50

r = 0,00

r = -0,90

r = -0,50

r = 0,00

Ռեգրեսիոն վերլուծություն Ռեգրեսիոն վերլուծության գլխավոր խնդիրը փոփոխականների փոխկապվածությունը բնութագրող մոդելի կառուցումն է, որը թույլ կտա կանխատեսել կախյալ փոփոխականի կամ արդյունքի արժեքներն ըստ անկախ կամ բացատրող փոփոխականների արժեքների։ Ռեգրեսիայի ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել տեսքով,

Y = f ( X1, X 2 ,    , X k ) Դրանում ներառված գործոնների թվից կախված՝ տարբերում են, ◼

միագործոն կամ զույգային ռեգրեսիայի մոդել

բազմագործոն կամ բազմաչափ ռեգրեսիայի մոդել Ռեգրեսիոն ֆունկցիայի տեսքից կախված՝ տարբերում են, ◼

◼

գծային ռեգրեսիոն մոդել

◼

ոչ գծային ռեգրեսիոն մոդել

Գծային ռեգրեսիոն մոդելը Զույգային գծային ռեգրեսիան բնութագրում է երկու հատկանիշների (գործոնային և արդյունքային) միջև գծային կապը, որը նկարագրվում է հետևյալ հավասարման միջոցով․

y i = a 0 + a1x +  i

Բազմակի գծային ռեգրեսիան բնութագրում է արդյունքային և մի քանի գործոնային հատկանիշների միջև գծային կապը, որը նկարագրվում է հետևյալ հավասարման միջոցով,

y i = a 0 + a1x 1 + a 2 x 2 +    + a k x k +  i որտեղ՝ a j - երը ռեգրեսիայի գործակիցներն են ( j = 1, k),  i - ն՝ Y փոփոխականի պատահական սխալը i-րդ հետազոտության ժամանակ:

Ռեգրեսիայի գործակիցների մեկնաբանությունը Ռեգրեսիայի հավասարումներում a 0

գործակիցը, որը կոչվում է նաև ազատ անդամ

ցույց է տալիս արդյունքային հատկանիշի վրա հաշվի չառած (հետազոտման մեջ չընդգրկված) գործոնների միջինացված ազդեցությունը,

a j գործակիցը ցույց է տալիս, թե որքանով միջինում կփոխվի արդյունքային հատկանիշի արժեքը, եթե x j գործոնը

փոխվի իր չափման մեկ միավորով` մոդելում ներառված մյուս

փոփոխականների ֆիքսված արժեքների դեպքում: Ռեգրեսիայի գործակիցների և կոռելյացիայի գծային գործակցի միջև գոյություն ունի

հետևյալ կախվածությունը․

r xy = a j

x y

j

Ռեգրեսիայի գործակիցների գնահատումը Ռեգրեսիոն մոդելի անհայտ պարամետրերը գնահատվում են ընտրանքային դիտարկումների հիման վրա, ըստ այդմ էլ ստացված հաշվարկային ցուցանիշները հանդիսանում են ռեգրեսիայի գործակիցների վիճակագրական գնահատականները: Ռեգրեսիայի

հավասարման

պարամետրերի

գնահատումը

կատարվում

է

փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով, որի դեպքում նվազեցվում է արդյունքային հատկանիշի

էմպիրիկ

(փաստացի)

և

տեսական

տարբերությունների քառակուսիների գումարը,

S =  (y i − yˆ i ) 2 → min

(հաշվարկային)

արժեքների

Դետերմինացիայի գործակիցը Դետերմինացիայի գործակիցը ցույց է տալիս արդյունքային փոփոխականի վարիացիայում

հետազոտվող

գործոնների

ազդեցությամբ

պայմանավորված

վարիացիայի

մասնաբաժինը, այսինքն բնութագրում է, թե Y-ի վարիացիայի որ մասն է հաշվի առնված մոդելում և պայմանավորված մոդելում ներառված գործոնների ազդեցությամբ: n

(

ˆ −Y Y i

R2 =

i =1 n

)

2

 (Yi − Y )

i

2

i =1

0  R2  1 2 R Որքան -ն մոտ է 1-ին, այնքան մոդելի որակը բարձր է:

Մնացորդների վերլուծություն ◼

◼

◼

◼

Փաստացի տվյալներին ռեգրեսիայի մոդելի համապատասխանության ստուգումն իրականացվում է մնացորդների վերլուծության հիման վրա,  ei = y i − y i Մնացորդների վերլուծությունը գրաֆիկական մեթոդ է, որի դեպքում աբսցիսների առանցքի վրա տեղադրվում են անկախ փոփոխականի արժեքները, իսկ օրդինատների առանցքի վրա` մնացորդները: Մնացորդների վերլուծությունը թույլ է տալիս պատկերացում կազմել այն մասին, թե որքանով է ճշգրիտ ընտրված մոդելը կամ ռեգրեսիայի գործակիցների գնահատման մեթոդը: Ռեգրեսիոն վերլուծության ընդհանուր կանխադրույթների համաձայն` մնացորդները պետք է դրսևորեն անկախ (իրականում` գրեթե անկախ), միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների վարքագիծ:

Տատանման գնահատումը ռեգրեսիոն վերլուծությունում Y Yi

 (Yi - Yi )2

 Y

_

 Y

(Yi - Y)2

 _ (Yi - Y)2

_ Y

Xi

_ Y

X

Գնահատականի ստանդարտ սխալը ◼

◼

Գնահատականի ստանդարտ սխալը բնութագրում է փաստացի տվյալների տատանումը ռեգրեսիայի գծի շուրջ։ Այն չափվում է նույն միավորներով, ինչ որ Y փոփոխականը։ n

e =

 ei

n

2

i =1

n − k −1

=

2 ˆ ( Y − Y )  i i

i =1

n − k −1

Ռեգրեսիայի հավասարման նշանակալիության ստուգումը ◼

◼

Ռեգրեսիայի հավասարման նշանակալիության գնահատումն իրականացվում է պարզելու համար, թե արդյոք ռեգրեսիայի հավասարումը պիտանի է գործնական կիրառության (օրինակ` կանխատեսումների) համար: Ռեգրեսիայի մոդելի նշանակալիության ստուգման համար օգտագործվում է Ֆիշերի F-հայտանիշը, R2 / k F= (1 − R 2 ) /(n − k − 1)

◼

Եթե հայտանիշի p-արժեքը փոքր է ընտրած α նշանակալիության մակարդակից, ապա մոդելը համարվում է նշանակալի:

Ռեգրեսիայի հավասարման պարամետրերի նշանակալիության ստուգումը ◼

◼

Ռեգրեսիայի առանձին գործակիցների գնահատականների նշանակալիությունը ստուգվում է ըստ t-չափանիշի՝ ռեգրեսիայի հավասարման j-րդ պարամետրի (ազատ անդամից բացի) զրոյական լինելու մասին վարկածի ստուգման միջոցով: Եթե հայտանիշի p-արժեքը փոքր է ընտրած α նշանակալիության մակարդակից, ապա ռեգրեսիայի գործակցի գնահատականը համարվում է նշանակալի: Հակառակ դեպքում ոչ նշանակալի գործակցին համապատասխանող գործոնը դուրս է բերվում մոդելից:

Պարզ գծային ռեգրեսիոն վերլուծության օրինակ Դիցուք, խանութների տարածքների և դրանց տարեկան վաճառքի ծավալի միջև կախվածությունը գնահատելու նպատակով կատարվել է ընտրանք և 14 խանութների վերաբերյալ ստացվել են հետևյալ արդյունքները, Տարեկան վաՏարեկան վաԽանութ- Տարածքը Խանութ- Տարածքը ճառքի ծավալը ճառքի ծավալը ները (հազ, ք,մ,) ները (հազ, ք,մ,) (մլն դրամ) (մլն դրամ) 1 2 3 4 5 6 7

1,7 1,6 2,8 5,6 1,3 2,2 1,3

3,7 3,9 6,7 9,5 3,4 5,6 3,7

8 9 10 11 12 13 14

1,1 3,2 1,5 5,2 4,6 5,8 3,0

2,7 5,5 2,9 10,7 7,6 11,8 4,1

Խանութների վերաբերյալ տվյալների ցրվածության դիագրամը՝ կառուցված MS Excel ծրագրի օգնությամբ

Ռեգրեսիոն վերլուծության արդյունքները՝ ստացված MS Excel ծրագրի օգնությամբ

ˆ = 0.964 + 1.670 X Y i i