二、多選題（  每題 10 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯多於兩個選項或未作答者 0 分，

713510-32

共 30 分）

1

3 設 a、b、c、d 皆為非零實數，則下列敘述哪些正確？ A若

數與式

B若|a|＞|b|，則 a2＞b2

答案欄

C若|a＋b|＜|a|＋|b|，則 ab＜0

第壹部分：選擇題

D若|a＋b|＝|a|＋|b|，則 ab＞0

一、單選題

E若 a＋ba2 ＝c＋da2 ，則 a＝c 且 b＝d C

1

a c ＞ ，則 ad＞bc b d

解析：A ×：若 bd＞0，則 ad＞bc；若 bd＜0，則 ad＜bc

C

2

BCD ○ E ×：反例：a＝a2 ，b＝－1，c＝2a2 ，d＝－2，故選BCD

二、多選題 BCD

3

ABE

4

5

AD

4 下列哪些選項為 x6－64 的因式？

第貳部分：填充題 A.

22

D.

3 － 2

B.

（4﹐1）

E.

2 3

C.

A x＋2

4.8

C x2＋4

B x－2

D x2－2x－4

E x4＋4x2＋16

解析：x6－64＝（x2）3－43＝（x2－4） （x4＋4x2＋16）＝（x＋2） （x－2） （x4＋4x2＋16） （x2－2x＋4） 其中 x4＋4x2＋16＝（x4＋8x2＋16）－4x2＝（x2＋4）2－（2x）2＝（x2＋2x＋4）

F.

7

〈另解〉 （x3－8）＝（x＋2） （x2－2x＋4） （x－2） （x2＋2x＋4） x6－64＝（x3）2－82＝（x3＋8） 故選ABE

第壹部分：選擇題 一、單選題（每題 6 分，每題中只有一個選項是對的，答對得 6 分，答錯不倒扣，共 12 分） 1 1 1 ，b＝ ，c＝ ，請選出正確的大小關係。 a7 ＋a2 a6 ＋a3 a5 ＋2

A a＜b＜c

B a＜c＜b

C c＜b＜a

D c＜a＜b

1 5 設 0＜x＜1，x＋ ＝k，則下列敘述哪些正確？ x

E b＜c＜a

解析：（a7 ＋a2 ）2＝9＋2s14 ，（a6 ＋a3 ）2＝9＋2s18 ，（a5 ＋2）2＝9＋2s20 ∵s14 ＜s18 ＜s20

⇒ a7 ＋a2 ＜a6 ＋a3 ＜a5 ＋2 ⇒

1 a

＜

A kM2

1

1 ＜ 　 b c

D x 3＋

∴c＜b＜a 故選C

2 設 x 為實數，試問下列哪一個區間記號，可以表示聯立不等式 A（－1﹐4] 解析：

|x－1|＞2 |x－2|N2

⇒

B（2﹐4] ⇒

|x－2|N2

D[0﹐3）

1 2 2 ＝k ＋2 x

E x4＋

1 ＝k4＋4k2＋2 x4 x＋

1

解的範圍？

解析：A ○：∵x， ＞0　∴由算幾不等式知 x

E[0﹐4）

1

1

2

1 1 1 Mzxx． ＝1 ⇒ x＋ M2，即 kM2 x x

x

2

－2＝k －2 x （ x） 1 1 1 C ×： x－ （ x ）＝x －2＋ x ＝k －4 ⇒ x－ x ＝±alk －4 B ×：x2＋

x－1＜－2 或 x－1＞2

2

＝ x＋ 2

－2Nx－2N2

x＜－1 或 x＞3 0NxN4

C（3﹐4]

|x－1|＞2

1 ＝k3－3k x3

1 C x－ ＝alk2－4 x

B x2＋

2

2

2

2

2

1 1 1 ∵0＜x＜1　∴ ＞1 ⇒ x－ ＜0 ⇒ x－ ＝－alk2－4 x x x

，如右圖

∴聯立不等式解的範圍為（3﹐4]

1

1

3

1

1

－3．x． x＋ ＝k －3k x （ x） x（ x） 1 1 1 1 ⇒x＋ ＝ x＋ E ×： x ＋ ＝x ＋2＋ －2＝（k －2）－2＝k －4k ＋2 （ x） x x （ x ）

故選C

D ○：x3＋

3

＝ x＋ 2

2

2

故選AD

1－1

4

4

4

3

2

2

4

2

2

2

4

2

723510-32

1 設 a＝

F. 設 x 為整數，則滿足不等式|x－5|＋|x－1|N6 的整數解共有　　　　個。

第貳部分：填充題（每格 8 分，共 48 分） 1 1 與 兩數之間，則 n 的值為 n＋1 n

A. 設 n 為正整數，已知循環小數 0.045 在數線上位於

解析：分成以下三個範圍進行討論： 1 xM5：x－5＋x－1N6 ⇒ 2xN12 ⇒ xN6 ⇒ x＝5，6 2 1Nx＜5：－（x－5）＋x－1N6 ⇒ 4N6

　　　　。

⇒ x＝1，2，3，4

解析：設 x＝0.045 ⇒ 1000x＝45.045＝45＋x ⇒ 999x＝45 ⇒ x＝

45 999

＝

5 111

＝

1 22.2

⇒

1 23

＜0.045＜

3 x＜1：－（x－5）－（x－1）N6 ⇒ －2xN0

1

⇒ xM0 ⇒ x＝0

22

∴不等式的整數解有 x＝0，1，2，3，4，5，6，共有 7 個

∴n＝22

第參部分：混合題（共 10 分；須列出算式，否則不計分）

B. 直角三角形 ABC 中，已知∠A＝90n，AB ＝2＋2a3 ，AC ＝a3 ，若 BC ＝a＋ba3 ，其中 a、b 皆

設 a、b 皆為正實數，滿足 a2＋2a＋b2＝5，試回答下列問題：

為正整數，則數對（a﹐b）＝　　　　。 2

2

2

2

1 將 a2＋2a＋b2＝5 化為（a＋h）2＋b2＝k，其中 h、k 皆為實數，則數對（h﹐k）＝？（單選） （2 分）

2

解析：由畢氏定理知 BC ＝AB ＋AC ＝（2＋2a3 ）＋（a3 ）

A（－1﹐4）

＝19＋8a3 ＝19＋2s48 ＝（16＋3）＋2g16×3 ＝（s16 ＋a3 ）2 故數對（a﹐b）＝（4﹐1）

3 承上題，當 ab＋b 發生最大值時，此時數對（a﹐b）＝　　　　。（4 分）

C. 甲、乙兩人某日相約到東豐綠色走廊騎自行車，設路徑為一直線，且全長共 12 公里。已知甲騎

解：1 a2＋2a＋1＋b2＝6 ⇒（a＋1）2＋b2＝6 ⇒ h＝1，k＝6

3 倍，若兩人在起點 0 公里處朝同方向同時出發，當甲騎到離起點 4.2 公里處 4

∴數對（h﹐k）＝（1﹐6） 故選D 2 ab＋b＝（a＋1）b

時，乙此時決定立即折返回去找甲，則兩人會在離起點　　　　公里處相遇。

∵a，b＞0　∴a＋1＞0

解析：騎車時間相同，騎車距離與速率成正比 4

由算幾不等式知

當甲騎了 4.2 公里時，乙騎了 4.2× ＝5.6 公里 3

∵AC ：CB ＝3：4　∴由分點公式知 x＝

4×4.2＋3×5.6 3＋4

即 a＋1＝b＝±a3（負不合） ⇒ a＝a3 －1，b＝a3 故此時數對（a﹐b）＝（a3 －1﹐a3 ）

解析：∵|x＋3|M0　∴3x＋6M0 ⇒ xM－2 又 x＋3＝3x＋6 或 x＋3＝－3x－6 ⇒ 2x＝－3 或 4x＝－9 3

9 或 x＝－ （不合　∵xM－2） 2 4 3 2

E. 設數線上有 A（a），B（b）兩點，其中 a＜b，已知 P 點在 AB 上，滿足 AP ：BP ＝3：2，若在同一 條數線上有 A'（a－1），B'（b＋h）兩點，其中 h＞0，使得 A'P ：B'P ＝3：2，則 h 的值為 　　　　。 2a＋3b 3＋2

＝

2（a－1）＋3（b＋h） 3＋2

⇒ 2a＋3b＝2a＋3b＋（－2＋3h） ⇒－2＋3h＝0 ∴h＝

Mal（a＋1）2b2 ＝（a＋1）b

3 由2知 ab＋b＝3 發生於（a＋1）2＝b2＝3

D. 設 x 為實數，則方程式|x＋3|＝3x＋6 的解為 x＝　　　　。

解析：由分點公式知，P 點坐標為

2

∴ab＋b 的最大值為 3

＝4.8

故兩人會在離起點 4.8 公里處相遇

∴x＝－

（a＋1）2＋b2

⇒ 3M（a＋1）b

設數線上 A（4.2），B（5.6），甲、乙在 C（x）相遇，4.2＜x＜5.6

⇒ x＝－

C（1﹐4）

c：　　　　。 2 求 ab＋b 的最大值。（4 分）

⇒ BC ＝s16 ＋a3 ＝4＋a3

車的速率是乙的

B（－1﹐6）

2 3

1－2

D（1﹐6）

4 設 A＞0，已知 log A＝3.456，則下列敘述哪些正確？

2

A A＝（3.456）10

B 100＜A＜1000

D log（10A）＞4

E log

A ＞3 10

解析：A ×：A＝103.456

指數、對數

B ×：∵3＜log A＜4 ⇒ 103＜A＜104　∴1000＜A＜10000

答案欄

C ○：承B，A 的整數部分是 4 位數

第壹部分：選擇題

D ○：承B，104＜10A＜105 ⇒ 4＜log（10A）＜5

一、單選題

E ×：承B，102＜

A

1

10

＜103 ⇒ 2＜log

CD

4

AE

5

D

10

＜3

B b＞ab

1 ＋b＞3×10－9 a

C

aa ＞109 ab

1 E a＋ ＜3×109 b

解析：A ○：aa ＝al25×108 ＝5×104 ⇒ a＞aa

第貳部分：填充題 s10

D.

A

5 設 a＝2.5×109，b＝2.5×10－9，則下列敘述哪些正確？ A a＞aa

ABCE

A.

A

故選CD

D

2

二、多選題 3

C A 的整數部分是 4 位數

B.

3

15

C.

3.75×105

E.

B ×：ab ＝al25×10－10 ＝5×10－5 ⇒ b＜ab

36

F.

C ×：承AB，

3

＝109

故選AE

2433 2433 （35） 315 n 解析： ＝ ＝ ＝37 ⇒ n＝7，故選A 1 設 ＝3 ，則 n 的值為下列何者？ 2 812 （34） 38 812 3

C 11

5×10－5

1 1 1 E ○： ＝ ＝0.4×109 ⇒ a＋ ＝2.9×109＜3×109 －9 b 2.5×10 b

一、單選題（每題 6 分，每題中只有一個選項是對的，答對得 6 分，答錯不倒扣，共 12 分）

B9

ab

5×104

＝

1 1 1 D ×： ＝ ＝0.4×10－9 ⇒ ＋b＝2.9×10－9＜3×10－9 a 2.5×109 a

第壹部分：選擇題

A7

aa

D 13

第貳部分：填充題（每格 8 分，共 48 分）

（

1 1 A. 化簡 ＋ 2 3

E 15

1

）（ 1 2

1

1 1 × － 3 4 1

1

）

1 －2

－

1 2

＝　　　　。 5

1 2

1

1 －2

5

1 2

（ 2 ＋ 3 ） ×（ 3 － 4 ） ＝（ 6 ） ×（ 12 ） ＝（ 6 ×12） ＝s10

k

k 2

1 2

解析：

k 2 設（s10 ）k＝5，則 k 的值為下列何者？ 解析：（s10 ）＝10 ＝5 ⇒ 2 ＝log 5　∴k＝2 log 5，故選D 5 1 A log B log 5 C log 5 D 2 log 5 E（log 5）2 2 2

二、多選題（  每題 10 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯多於兩個選項或未作答者 0 分， 共 30 分）

3 下列哪些是「有理數」？

（）

A

9 4

0

（）

－1

B 9

－1

9 4

1 2

（）

C

4 9 ＝ ；B ○： 9 4

0

9 4

2 3

（）

D 9

1 2

9 4

B. 設 t＝（108＋10）×（108－10），若 n＜log t＜n＋1，其中 n 為正整數，則 n 的值為　　　　。

3 － 2

（）

E

9 4

2

解析：t＝（108）－102＝1016－100 ⇒ 1015＜t＜1016 ⇒ 15＜log t＜16 ∴n＝15

3

（4） （ ）＝1；C ○：（ 4 ） ＝ 2 9 3 3 3 3 ＝ ＝zx ＝ ．z D ×： （4） （2） （2） 2 2 9 4 2 8 E ○： （ 4 ） ＝（ 9 ） ＝（ 3 ）＝ 27

解析：A ○：

2 3

4 3

4

3

3 －2

3 2

3

3

故選ABCE

2－1

C. 設 a、b 皆為正實數，x、y 皆不為零，已知 ax＝36，b y＝216 且 2xy＝2y－3x，則

a 的值為 b

第參部分：混合題（共 10 分；須列出算式，否則不計分） 國際自然保護聯盟（IUCN）將各國影響其物種族群生存之大小、減少情形、分布範圍等各項因子納 入考量，分成下列保育等級，試回答下列問題：

　　　　。 解析：

x

2

y

3

a ＝6 b ＝6

∴

a b

＝6

a＝6

⇒ 2 3 x－y

b＝6

2 x 3 y

且 2xy＝2y－3x

同除以 xy

2 3 2＝ － x y

2

＝6 ＝36

log P＋log Q＝－1

D. 設 P、Q 皆為正實數，已知

log P－log Q＝6

4

等級

標準之一（簡化版，詳見官網）

絕滅（EX）

最後個體已死亡

野外絕滅（EW）

只在栽培、飼養狀況下生存

極危（CR）

在過去 10 年其族群減少 80 ％以上

瀕危（EN）

在過去 10 年其族群減少 50 ％以上

易危（VU）

在過去 10 年其族群減少 30 ％以上

近危（NT）

不久的將來有瀕危或滅絕等危險

無危（LC）

沒有物種生存的立即危險

資料不足（DD）

缺乏完整的資料，無法評估

未評估（NE）

未曾依照各項標準進行評估

2

，則 log（P Q ）的值為　　　　。

解析：兩式相加可得 2 log P＝5，兩式相減可得 2 log Q＝－7 log P＝ ⇒

5 2

log Q＝－

⇒

7

P＝10

5 2

Q＝10

7 －2

⇒ P4Q2＝1010．10－7＝103

2

1 七家灣溪是臺灣櫻花鉤吻鮭的棲地，根據專家調查報告，1985 年時約有 2000 隻，1995 年只剩下

∴log（P4Q2）＝3

565 隻，根據上列表格，在此 10 年間，應將臺灣櫻花鉤吻鮭列入何種保育等級？（單選） （5 分） 8

5

A極危

E. 已知地球的甲地與太陽的中心相距約 1.5×10 公里，太陽的半徑約 6.96×10 公里，月球的半徑 地球的甲地，此時在甲地可以觀察到日全蝕，則此時甲地與月球的中心相距約　　　　公里。 解析：如右圖，設甲地為 A 點，月球中心為 B 點，太陽中心為 C 點 則日全蝕時 AB ：AC ∼ ∼月球半徑：太陽半徑（利用相似形）

每 8 年長鼻猴的數量剩下原本的

3 5 ⇒ AB：（1.5×108）∼ ∼（1.74×10 ）：（6.96×10 ）

∴AB ∼ ∼

6.96×105

＝

4×102

D近危

2 已知穿山甲、長鼻猴兩種生物的數量逐年減少，大約每 5 年穿山甲的數量剩下原本的

（以科學記號表示）

1.5×108

C易危

c：　　　　。

約 1.74×103 公里。某一天月球恰好運行到地球與太陽之間，太陽光照射到月球的影子恰好落在

1.5×108×1.74×103

B瀕危

9 1000 。若現存穿山甲數量是長鼻猴數量的 倍，則經過幾年 10 729

後，這兩種生物剩下的數量相等？（5 分） 6

5

解：1 此 10 年間已減少 2000－565 ×100 ％＝ 1435 ％＝71.75 ％，符合瀕危等級

＝0.375×10 ＝3.75×10（公里）

2000

20

故選B 2 設現存長鼻猴 x 隻，穿山甲

F. 「曝光」是指在拍攝影像時所攝入的光量，其影響拍成的影像的亮度。設 T 為曝光時間（快門打開 log T 。阿翰平時喜歡拍照，某日到金山旅遊時，發現一隻稀有鳥類，在拍第一 log 2

⇒

n 5

9

x 隻，則經過 n 年後，這兩種生物剩下的數量相等，其中 n，x＞0 n 8

n 5

－3＝

n 8

x．

n 8

⇒ 8n－120＝5n

⇒ n＝40

1 1 秒；拍第二張照片時，設定曝光時間為 秒，試問第二張照 張照片時，設定曝光時間為 10 1000

即經過 40 年後，這兩種生物的數量相等

片的曝光級數是第一張照片的曝光級數的　　　　倍。 解析：設第一、二張照片的曝光級數分別為 V1、V2 1

1 10 ....................... log 1 2 V2 －3 1000 log 2 ⇒ ＝ ＝ 得 ＝3（倍） 1 V1 1 1 －1 log log 1000 ................... 10 V2＝－ 2 log 2

V1＝－ 則

729

n 5 －3

讓光線進入相機內的影像感應器的時間，單位：秒），V 為曝光級數，兩者關係式為：

log

9

729

（ 10 ） ＝x（ 10 ） 9 9 ⇒ （ 10 ） ＝（ 10 ）

由題意得

V＝－log2 T＝－

1000

1000

2－2

9 ；大約 10

二、多選題（  每題 10 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯多於兩個選項或未作答者 0 分， 共 30 分）

3

3 坐標平面上，若四點 A（－2﹐1），B（－1﹐2），C（0﹐3），D（1﹐7）皆在多項式函數 y＝f（x）的圖 形上，則 f（x）可能為幾次函數？

多項式函數

A一次

D四次

E五次

設直線 AB 的方程式為 y＝ax＋b

第壹部分：選擇題

則將 A（－2﹐1），B（－1﹐2）代入 y＝ax＋b

一、單選題

得

C

C三次

解析：先將 A、B、C、D 畫在坐標平面上，觀察發現 A、B、C 三點可能共線

答案欄

1

B二次

2

1＝－2a＋b 2＝－a＋b

⇒

a＝1 b＝3

⇒ y＝x＋3

分別將 C（0﹐3），D（1﹐7）代入 y＝x＋3

E

⇒ C（0﹐3）在直線 AB 上，D（1﹐7）不在直線 AB 上 ∴f（x）不可能為一次函數，又 A，B，C 三點共線

二、多選題 3

∴f（x）也不可能為二次函數

CDE

4

BD

因此，f（x）可能為三次或三次以上的函數，故選三、四、五次函數

ABE

5

（因為若設 f（x）為三次函數可求得且唯一，若設 f（x）為四或四次以上函數亦可求得，但不唯一） 故選CDE

第貳部分：填充題 A.

4 下列哪些選項為 6x3－17x2－4x＋3 的因式？ B.

－2

D. x＜－2 或 1＜x＜3 E.

0.96

－7

C.

1 3 x＋ 2 2

F.

（8﹐－1﹐9）

A x＋3

D 2x＋1

A ×：f（－3）為 f（x）除以（x＋3）之餘式，利用綜合除法可知

6 －17 － 4 ＋ 3 －3 －18 ＋105 －303 6 －35 ＋101 －300

f（－3）＝－300≠0 ⇒ x＋3 不是 f（x）的因式 〈另解〉

f（－3）＝6（－3）3－17（－3）2－4（－3）＋3＝6×（－27）－17×9＋12＋3＝－300≠0 B ○：承A，以綜合除法計算得 f（3）＝0 ⇒ x－3 為 f（x）的因式

1 設 f（x）＝3x2＋6x－4 的圖形與 y＝g（x）的圖形對稱於 y 軸，當 x＝a 時，g（x）有最小值 b，則數對

（3x－1） CDE：承B，f（x）＝（x－3） （6x2＋x－1）且 6x2＋x－1＝（2x＋1）

（a﹐b）為下列哪一個選項？ B（－1﹐－7）

C（1﹐－7）

D（0﹐－4）

⇒ f（x）＝（x－3） （2x＋1） （3x－1）

E（0﹐4） 故選BD

＝3（x2－2x＋12－12）－4＝3（x－1）2－7

5 下列哪些不等式的解與不等式（x＋3） （x－2）M0 的解完全相同？

∴當 x＝1 時，g（x）有最小值－7 ⇒數對（a﹐b）＝（1﹐－7），故選C

2 設 k 為非零實數，若 y＝f（x）＝kx3＋（k－2）x 的圖形與 x 軸恰有三個交點，則 k 值的範圍為下列 D k＜0 或 k＞2

A（x＋3） （2－x）N0

3 B（x＋3）（x－2） M0

2 D x（x＋3） （x－2）M0

E（x3＋27） （x3－8）M0

2 2 C（x＋3）（x－2） M0

解析：（x＋3） （x－2）M0 的解為 xN－3 或 xM2

哪一個選項？ C k＜－2

6 －17 －4 ＋3 3 ＋18 ＋3 －3 6 ＋ 1 －1 ＋0

∴C×；D○；E×

解析：g（x）＝3（－x）2＋6（－x）－4＝3x2－6x－4

B k＞2

E 3x＋1

設 f（x）＝6x3－17x2－4x＋3，則各選項可直接求函數值

一、單選題（每題 6 分，每題中只有一個選項是對的，答對得 6 分，答錯不倒扣，共 12 分）

A k＜0

C 2x－1

解析：此式不容易因式分解，改用因式定理判斷（或用長除法除之）

第壹部分：選擇題

A（－1﹐7）

B x－3

A ○：（x＋3） （2－x）＝－（x＋3） （x－2）N0 ⇒（x＋3） （x－2）M0

E 0＜k＜2

3 M0 的解與（x＋3） （x－2）M0 的解相同 B ○：∵（x＋3）3 和（x＋3）同號　∴（x＋3）（x－2）

3

解析：∵y＝kx ＋（k－2）x 可能的圖形為圖1或圖2

2 2 M0 的解為任意實數 C ×：（x＋3）（x－2）

∴k（k－2）＜0

2 （x－2）M0 的解為 xN－3 或 x＝0 或 xM2 D ×：x（x＋3）

⇒ 0＜k＜2（符合圖1）

（x3－8）＝（x＋3） （x2－3x＋9） （x－2） （x2＋2x＋4）M0 E ○：（x3＋27）

故選E

∵x2－3x＋9 與 x2＋2x＋4 的二次項係數皆大於 0 且判別式分別為（－3）2－4×1×9＝－27 與 22－4×1×4＝－12 皆小於 0 圖!

∴x2－3x＋9 與 x2＋2x＋4 恆正

圖@

⇒（x3＋27） （x3－8）M0 的解與（x＋3） （x－2）M0 的解相同 故選ABE

3－1

F. 坐標平面上，已知點 A（a﹐b）為 y＝f（x）＝3x3＋9x2＋5x＋d 圖形的對稱中心，其中 d 為實數。若

第貳部分：填充題（每格 8 分，共 48 分） A. 將多項式（x－1） （x－2） （x＋3） （x＋4）展開，再經過同類項合併後，則 x2 項係數為　　　　。 2

f（x）在 x＝－1 附近的一次近似為 y＝－4x＋5，則序組（d﹐a﹐b）＝　　　　。

2

解析：設 f（x）＝3（x＋1）3＋b（x＋1）2－4x＋5

解析：（x－1） （x－2） （x＋3） （x＋4）＝（x －3x＋2） （x ＋7x＋12） 展開式中 x2 項有 12x2，－21x2，2x2

＝3（x3＋3x2＋3x＋1）＋b（x2＋2x＋1）－4x＋5

合併後為 12x2－21x2＋2x2＝－7x2

＝3x3＋（9＋b）x2＋（5＋2b）x＋（8＋b）

∴x2 項係數為－7

9＋b＝9

B. 設 y＝f（x）為三次多項式函數，已知 f（x）＞0 的解為「x＞1 且 x≠2」，若 f（3）＝1，則 f（0）的值為

⇒

8＋b＝d

　　　　。

∴f（x）＝3（x＋1）3－4（x＋1）＋9，對稱中心為 A（－1﹐9）

解析：根據題意，y＝f（x）的圖形如右圖

由 f（3）＝a．2．1 ＝1 ⇒ a＝

〈另解〉利用綜合除法可知 f（x）＝3（x＋1）3－4（x＋1）＋（d＋1）

1

⇒ f（x）的一次近似為 y＝－4（x＋1）＋（d＋1）＝－4x＋（d－3）

2

⇒ d－3＝5 ⇒ d＝8

1 （x－2）2 ∴f（x）＝ （x－1） 2

∴f（x）＝3（x＋1）3－4（x＋1）＋9 ⇒ 對稱中心 A（－1﹐9） 故序組（d﹐a﹐b）＝（8﹐－1﹐9）

1 故 f（0）＝ （－1） （－2）2＝－2 2

在坐標平面上，已知 G、L 依序為 y＝k（x2＋1）、y＝4x－3 的圖形，其中 k 為非零實數。試回答下列 問題： 1 若 G 與 L 恰有兩個交點，則 k 的值可為下列何者？（單選） （5 分）

f（x）除以 x2＋2x－3 的餘式為　　　　。

解析：設 f（x）＝（x －3x＋2）Q（x） ＋（x＋1）＝（x－1） （x－2）Q（x） ＋（x＋1）...................1 1 1 ...................................................................................................2 f（x）＝（x＋3）Q（x） 2 2

A4

＋（ax＋b）＝（x－1） （x＋3）Q（x） ＋（ax＋b）...............3 f（x）＝（x2＋2x－3）Q（x） 3 3

由1、3知，f（1）＝1＋1＝a＋b ⇒ a＋b＝2...............................................................4 由2、3知，f（－3）＝0＝－3a＋b ⇒ －3a＋b＝0.....................................................5

2

2 求出 k 值的範圍。（3 分） 解：1 k（x2＋1）＝4x－3 有兩個相異實根，其中 k≠0

3

⇒ kx2－4x＋（k＋3）＝0

2

其判別式 D＝（－4）2－4k（k＋3）＞0

D. 坐標平面上，設 A（1﹐0）、B（0﹐－6）兩點在三次多項式函數 y＝f（x）的圖形上，

⇒ 4－k（k＋3）＞0 ⇒ k2＋3k－4＜0 ⇒（k＋4） （k－1）＜0

如右圖。若 f（x）除以 x2－4 的餘式為 x＋2，則不等式 f（x）＞0 的解為　　　　。

⇒－4＜k＜1，其中 k≠0，選項中 k＝－2 符合，故選C

f（1）＝0 f（0）＝－6

⇒

－3（a＋b）＋3＝0 －4b＋2＝－6

⇒

3

（ 4 ﹐0），G 的頂點為（0﹐k）

解析：∵f（x）為三次多項式　∴設 f（x）＝（x2－4） （ax＋b）＋（x＋2），其中 a，b 為實數 又

C－2

1 在同一個坐標平面上，試畫出一組 G 與 L 的圖形。（2 分）

1 3 ∴由4、5知 a＝ ，b＝ 2 2 x＋

B2

c：　　　　。 2 若 G 恆在 L 的下方，則：

其中 a，b 為實數

1

2 1 L 通過點（0﹐－3），

a＝－1

假設 k＝－5，如右上圖

b＝2

2 G 恆在 L 的下方⇒ k（x2＋1）＜4x－3，其中 x 為任意實數，k≠0

⇒ f（x）＝－（x＋2） （x－2） （x－2）＋（x＋2） ＝－（x＋2） 〔 （x－2）2－1〕

⇒ kx2－4x＋（k＋3）＜0

＝－（x＋2） （x－1） （x－3）

可視為 y＝kx2－4x＋（k＋3）的圖形在 x 軸的下方，如右圖

f（x）＞0 ⇒（x＋2） （x－1） （x－3）＜0

y＝kx2－4x＋（k＋3）開口向下且與 x 軸沒有交點

故 f（x）＞0 的解為 x＜－2 或 1＜x＜3

⇒

3

2

E. 坐標平面上，將 y＝f（x）＝2x －x ＋4x＋3 的圖形，向右平移一個單位，再向下平移兩個單位 後，得到 y＝g（x）的圖形，則 g（0.99）∼　　　　。（四捨五入至小數點後第二位） 3

2

＋5 ＋d －1 －6 ＋1 －1 d＋1 －3 －4

第參部分：混合題（共 10 分；須列出算式，否則不計分）

C. 設 f（x）為多項式函數，若 f（x）除以 x2－3x＋2 的餘式為 x＋1，f（x）除以 x＋3 的餘式為 0，則

故所求餘式為

3 ＋9 －3 3 ＋6 －3 3 ＋3 －3 3 ＋0

故序組（d﹐a﹐b）＝（8﹐－1﹐9）

可設 f（x）＝a（x－1） （x－2）2，其中 a＞0 2

5＋2b＝5 ⇒ b＝0，d＝8

2

⇒

3

解析：g（x）＝2（x－1）－（x－1）＋4（x－1）＋3－2＝1＋4（x－1）－（x－1）＋2（x－1） g（0.99）＝1＋4（－0.01）－（－0.01）2＋2（－0.01）3＝1－0.04－0.0001－0.000002＝0.959898∼ ∼0.96

3－2

k＜0 2

D＝（－4）－4k（k＋3）＜0 k＜0 k＜－4 或 k＞1

⇒ k＜－4

⇒

k＜0 （k－1）＞0 k2＋3k－4＝（k＋4）

D－4