ACTIVIDAD FINAL NOMBRE: Adela-Rosa APELLIDOS: Rodríguez Rodríguez Correo electrónico: [email protected]

INTRODUCCIÓN Voy a plantear actividades para el alumnado de de 4º ESO, opción B, relativas, fundamentalmente, a la interpretación de gráficas. Para ejemplificar el uso de la calculadora gráfica , propondré un trabajo con parábolas, podría hacerse lo mismo con cualquiera de las funciones elementales. En todas las actividades se utilizará la calculadora gráfica En el Decreto 133/2007(DOG 13 de Xullo de 2007), donde se regula el currículo de la ESO en la comunidad autónoma gallega, figuran los siguientes contenidos referidos a este tema:” Recoñecemento doutros modelos funcionais: función cadrática, de proporcionalidade inversa, exponencial e logarítmica. Aplicacións a contextos e situación reais. Representación, simulación e análise gráfica, empregando as tecnoloxías da información.”

LAFAMILIA DE PARÁBOLAS a.- El desarrollo de los contenidos seleccionados. Creo que es muy importante que los alumnos perciban que las familias de funciones se comportan siempre de la misma forma, que en la mayoría de los casos lo único que hacemos es una traslación o una homotecia de la función, que sean capaces de ver donde estarán los elementos característicos de la función con sólo verla o hacer una operación elemental. Además la interpretación de gráficas, la modelización de situaciones reales es una de las competencias básicas establecidas en la LOE , de ahí que la posibilidad de representar gráficamente las funciones utilizando la calculadora grafica, nos permita avanzar en esta cuestión. Propongo pocas actividades y pocos ejemplos pero soy consciente de la necesidad de ampliarlos, sin embargo creo que son suficientes para ver como se incorpora en el aula la calculadora. A partir de y=x2, vamos a representar funciones de la forma y=ax^2+bx+c 1.- El valor del coeficiente a Comenzaremos representando varias funciones de la forma y=ax2, donde el coeficiente principal varia, y comparándolas y=x2, tanto con una tabla de valores como con una representación gráfica

El alumnado en este momento verbaliza expresiones del tipo “Si a es negativo, la parábola está para abajo”, “Si multiplicamos por un número cualquiera, la y aparece multiplicada por ese número” Formalizamos estás intuiciones. *Si a0, y=ax2 presenta un mínimo *Cuando aumenta a en valor absoluto, la parábola se estrecha 2.- El valor del coeficiente c, suponemos b=0 La idea es la misma que en el apartado anterior, a partir de y=x2 vamos a deducir cual es el extremo relativo y los puntos de corte con los ejes Así representamos las funciones: y=x2+1, y=x2+4, y=2x2-8, y=x2-9. para ello utiliza la representación gráfica, la tabla de valores y la opción Análisis/Resolución G

Después de representar varias funciones, los alumnos pueden deducir que: -Las parábolas se desplazan sobre el eje OY tantas unidades como indica el término independiente. -El vértice de la parábola es (0,c) Probablemente la mayor dificultad aparece a la hora de calcular los vértices, ya que hay que tener en cuenta la relación entre a y c. Una vez que el alumnado haya manifestado su intuición sobre los signos de los coeficientes a y c, utilizado calcular x, sabiendo y=0 en las opciones de la ventana gráfica, creo conveniente utilizar el menú Principal para resolver la ecuación correspondiente

A partir de ahí, ¿para que valores de a y de c la parábola corta a los ejes?.

3.- Parábolas de la forma y=(x-x0)2 Introducimos esta nueva variación en la parábola de la misma forma que en los casos anteriores.

Representamos y calculamos los vértices en relación con la parábola y=(x-1)2 de las siguientes parábolas: y=(x+3)2, y=(x-1)2

Análisis del vértice Ecuación y=x2 y=(x-1)2 y=(x+3)2

Vértice (0,0) (1,0) (-3,0)

Cortes con el eje OX (0,0) (1,0) (-3,0)

4.-La ecuación general y=ax2+bx+c. Acabamos de estudiar una serie de transformaciones en la parábola que nos permiten conocer sus elementos característicos, dada una función cuadrática cualquiera es posible realizar transformaciones sobre ellas para obtener expresiones que nos permitas actuar como en los casos anteriores. Así, por ejemplo: y=x2+2x+1 simplificada es y=(x+1)2 De hecho con la gráfica de una parábola es posible reconocer cual es su expresión, determinando el vértice y la transformación adecuada. Por ejemplo, conociendo la gráfica de la parábola podemos hacer una primera aproximación.

Como tiene el extremo relativo en (1,2), la comparamos con y=x2 con vértice en (0,0) y, por tanto, podemos afirmar que es de la forma y=a(x-1)2+2, nos quedaría por determinar el coeficiente a, ya que hay infinitas parábolas con ese vértice, existen varias formas de abordarlo, una puede ser calcular el valor de a sabiendo que pasa por el punto (0,3). Otro ejemplo: Vértice en (-2,3), parábola de la forma y=a(x+2)2+3.

Debemos determinar a, sabemos que corta al OY en y=1, tendremos que resolver la ecuación 1=a(0+2)2 +3, de donde deducimos a=-1/2

b.- Las actividades propuestas al alumnado. ACTIVIDAD 1 Inventa una función de 2º grado, represéntala en la calculadora, muéstrasela a tu compañero o compañera y pídele que deduzca de la representación su ecuación general. Evidentemente, aquí aparecerán todo tipo de expresiones y obligará ambos alumnos a pensar, para buscar gráficos difíciles y como solucionar esta dificultad. No lo resuelvo pues el mecanismo de resolución ya está indicado anteriormente Añado como parte final del tema varios problemas en los que considero la calculadora gráfica indispensable para su resolución por varias razones: 1.- Los cálculos son muy tediosos. 2.- Los alumnos de 4º de ESO no disponen de las herramientas matemáticas para hacer una representación precisa. Pero si son capaces de interpretar y analizar los resultados extraídos de la información que proporciona la calculadora gráfica. ACTIVIDAD 2 En un Laboratorio se vigila la temperatura de un dispositivo eléctrico cada minuto, para determinar aproximadamente en que momento alcanzará los 100º. Estos son los datos obtenidos hasta el momento. Tiempo Cº

0 17,2

1 9,8

a) Representar gráficamente los puntos

2 5

4 1,1

5 1,9

6 5,3

7 10,1

b)

Busca una parábola que se aproxime a estos puntos e indica su ecuación

De la figura se deduce que el vértice está en el punto (4, 1,1). Es decir respecto del (0,0) se produce un desplazamiento aproximado de 4 en el eje OX y de 1,1 en el eje OY. Es decir la ecuación será y=(x-4)2+1,1. Utilizamos la calculadora para comprobar que nuestro ajuste es muy bueno.

c) ¿Qué valor se obtiene para x=3?.

d) ¿En que minuto la temperatura del circuito se aproximara a los 25º?. Debemos tomar como valor del tiempo 8,8 minutos, el valor x=-0,88 no es admisible

ACTIVIDAD 2 La temperatura en grados centígrados, durante el 21 de mayo en París se puede expresar mediante la función C(h)=(-9x2+200x+1000)/100, donde h expresa la hora entre 0 y 24 horas y C, la temperatura.

a) Calcula la temperatura al comenzar el día y al acabar el día b) ¿A qué hora hubo mayor temperatura?. c) ¿A qué hora hubo menor temperatura?.

a) b) a) b) c)

d) Deducimos del gráfico que la temperatura es mínima a las 12 de la noche c.-La evaluación del alumnado. Nos interesa evaluar la capacidad del alumnado para reconocer relaciones entre variables que se ajusten a una función cuadrática y extraer conclusiones de ellas. Así, propondría problemas similares a los ejemplificados en la parte práctica

Bibliografía: “Gráficas e función”. Antón Labraña. Edt. Toxosoutos Ensino PISA 2003. Pruebas de Matemáticas y de Solución de Problemas”(INECSE) http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Traslacion_dilatacion_funciones/