Construir figuras simétricas respecto de un eje y describir las propiedades que se conservan. Recuerda que la simetría axial o simetría con respecto a un eje es una cualidad geométrica de algunas figuras u objetos en un plano. En esta actividad se estudiará la simetría como un movimiento en el plano. La simetría entendida como una cualidad geométrica hace posible caracterizar lo que es simétrico así como saber respecto a qué es simétrico. Mientras que entenderla como un movimiento en el plano facilita visualizar las propiedades que se mantienen invariantes, es decir, las que no cambian o permanecen estables ante dicho movimiento.

Forma, espacio y medida

Actividad 37.1. Reconociendo lo invariante en figuras simétricas

Desarrollo de la actividad Instrucción. En los siguientes ejercicios geométricos realiza los trazos auxiliares que requieras para determinar la simetría de figuras respecto a un eje. Parte 1. ¿Cuándo se dice que una forma es simétrica con respecto a un eje? 1.

A continuación se muestran pares de figuras, elige las que tengan formas simétricas respecto a un eje.

Bloque 5

Explica el porqué de tu elección.

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1. La distancia entre dos puntos simétricos respecto a un eje, es la misma. 2. Los segmentos que unen puntos simétricos son perpendiculares al eje de simetría. 3.

2. Determina si los rectángulos 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑀𝑁𝑂𝑃 son simétricos respecto a la recta 𝐸, y contesta de forma argumentada lo que se pregunta a continuación. a) ¿Los rectángulos Argumenta.

𝑬

son

Forma, espacio y medida

Recuerda que… dos figuras son simétricas con respecto a un eje si:

simétricos?

b) Si la distancia del punto 𝑨 a la recta 𝑬 mide 4𝑐𝑚, ¿Cuánto mide la distancia del punto 𝑵 a dicha recta? ¿Y la distancia del punto 𝑶 a la recta 𝑬?

c) Si 𝑩𝑪 = 𝟏 𝒄𝒎, ¿Cuánto mide el segmento 𝑴𝑷?

Un logotipo es un signo gráfico que identifica a una empresa, producto o, en general, a cualquier entidad pública o privada. El diseño y elaboración de logotipos es una de las aplicaciones de la simetría, pues aquello que es simétrico es armónico y es más atractivo a la percepción visual.

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Bloque 5

Parte 2. Construyendo formas simétricas con respecto a un eje de simetría

A

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1. En la siguiente figura se presenta la mitad de un logotipo constituido por: un triángulo isósceles (𝐴𝐵𝐶) y un rombo (𝐶𝐷𝐸𝐹). Usando regla y compás, construye la otra mitad del logotipo considerando la recta 𝒍 como eje de simetría. Etiqueta los vértices con las letras 𝐵′ (se lee 𝐵 prima), 𝐷′ , 𝐸′ y 𝐹′ según corresponda.

B

D

C

E

F

𝒍

̅̅̅̅, 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ , 𝐶𝐷 ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ tienen la misma medida. A ̅̅̅̅ y 𝐹𝐶 2. Se sabe que los segmentos 𝐴𝐵 𝐷𝐸 , 𝐸𝐹 continuación se enlistan ciertas afirmaciones sobre el logotipo que construiste, marca las que sean válidas. Afirmación a)



El logotipo está constituido por un solo rombo y dos cuadriláteros.

b) Aquellos lados paralelos en la mitad dada del logotipo también son paralelos en la mitad construida. c) La orientación de la mitad dada es igual a la orientación en la mitad construida. d) Si 𝑨𝑬𝑬’ es triángulo equilátero, el logotipo sólo tendría un eje de simetría e) Si el cuadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑩’ es un rombo, ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 es diagonal y es su único eje de simetría. ̅̅̅̅̅ son diagonales y son sus f) Si el cuadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑩’ es un rombo, ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 y 𝑩𝑩′ únicos ejes de simetría. g) Si 𝑩𝑪 = 𝟐 𝒄𝒎, entonces 𝑩′ 𝑪′ = 𝟐 𝒄𝒎. h) El área de la primera mitad del logotipo es igual que la segunda mitad.

Entre las afirmaciones que elegiste como válidas, escribe al menos dos que consideres se pueden generalizar para cualquier forma simétrica. Bloque 5

3.

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Para hablar de simetría es necesario tener siempre presente las condiciones geométricas que la definen, es decir, no se puede pensar en simetría por simple percepción visual. Las figuras simétricas respecto a un eje satisfacen las propiedades siguientes: 1. Dos puntos simétricos guardan la misma distancia respecto a un eje. 2. El segmento que une cada par de puntos simétricos es perpendicular al eje de simetría. 3. Las figuras simétricas conservan la misma medida de sus lados y ángulos homólogos.

Forma, espacio y medida

Conclusión

Entonces, para construir figuras simétricas puede seguirse el siguiente procedimiento: Trazar perpendiculares al eje desde cada vértice de la figura original, ubicar sobre éstas puntos (simétricos) que se encuentren a igual distancia del eje que los vértices o puntos de la figura original, y unir los puntos simétricos para formar la figura simétrica. .

Figura 37.1

Figura 37.2

¿Por qué simetría como movimiento en el plano? Considera la Figura 37.1. Por sí sola, ésta no parece ser simétrica con respecto a algún eje, sin embargo, si se fijara un eje y la figura se girara en torno a éste, o bien, los elementos de la figura se trasladaran a la misma distancia del eje respecto a su posición original, se obtendría una figura como la 37.2. Es decir, como resultado se generaría una nueva forma que tiene la propiedad de simetría. A esta forma de transformar figuras se le dice simetría como movimiento en el plano. Su importancia está en poder analizar si después de un proceso de construcción, la figura simétrica mantiene las mismas propiedades que la figura original, por ejemplo, sí las medidas de sus lados y ángulos siguen siendo los mismos.

Cuando una forma geométrica posee la cualidad de simetría o se transforma mediante un movimiento en el plano para ser simétrica, se dice que mantiene las siguientes propiedades:

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Bloque 5

¿Habrá otras propiedades que se mantengan invariantes? ¿Habrá alguna propiedad que cambie? Dialoga al respecto con algún o algunos de tus compañeros.

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Conclusión 1. Los lados que son paralelos en la figura de un lado del eje, también son paralelos en la simétrica respecto al eje. Es decir, se conserva el paralelismo. 2. Los lados que son perpendiculares de un lado del eje, también lo son del otro lado. Es decir, se conserva la perpendicularidad. 3. La medida del área de la figura de un lado del eje, es la misma que el área de la simétrica. 4. La medida del perímetro de la figura de un lado del eje es la misma que su simétrica. 5. La orientación de las figuras en uno u otro lado del eje de simetría es contraria.

Por ejemplo, en el logotipo que construiste en la Parte dos de esta actividad, puede constatarse su simetría respecto al eje 𝑙, y que permanece invariante el paralelismo de los lados en el cuadrilátero 𝐶𝐷′𝐸′𝐹′ construido, su perímetro y su forma, así como la misma medida de lados que el rombo 𝐶𝐷𝐸𝐹. Por tanto, es un rombo también. Un aspecto que cambia entre dos figuras simétricas respecto a un eje, es la orientación de éstas en cada lado del eje, es decir, no tienen la misma orientación, como se ilustra en la Figura 37.3.

Figura 37.3

En general, tratándose de triángulos isósceles y equiláteros, rombos, rectángulos y cuadrados se puede afirmar que poseen las siguientes propiedades de simetría: En un triángulo equilátero, sus alturas constituyen sus tres ejes de simetría. En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado que contiene los dos ángulos iguales es el único eje de simetría. En un rombo, sus diagonales son sus únicos ejes de simetría. En un rectángulo, las mediatrices de los lados representan sus ejes de simetría.

Bloque 5

En un cuadrado, las mediatrices de sus lados y sus dos diagonales son sus únicos ejes de simetría.

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