Actividades del final de la unidad 1. El extremo A de un imán recto, AB, repele al extremo C de otro imán recto, CD. Si suspendemos el imán CD mediante un hilo, su extremo D apunta hacia el sur geográfico. Indica qué extremo es el polo norte en cada imán. Si el extremo D del imán CD apunta hacia el polo sur geográfico (polo norte magnético), es el polo sur de ese imán, luego el C será el polo norte, y como este repele al extremo A del imán AB, este extremo será el polo norte del imán AB. 2. Indica si son ciertas las afirmaciones siguientes: a) Cuando partimos un imán por la mitad, se obtienen dos polos magnéticos separados. b) En cualquier superficie cerrada situada en un campo magnético, entran el mismo número de líneas de campo que salen. c) Una carga eléctrica siempre produce un campo magnético. d) Las líneas del campo magnético salen por el polo sur y entran por el polo norte. a) Falsa; se obtienen dos imanes más pequeños, orientados igual que el inicial. b) Cierta, pues al ser las líneas de campo cerradas, siempre, en cualquier superficie cerrada, entran las mismas líneas que salen. c) Falsa, ya que una carga eléctrica solo produce campo magnético cuando está en movimiento. d) Falsa, pues las líneas del campo magnético, al ser líneas cerradas, no nacen (ni mueren) en ningún punto, pero por convenio se considera que el punto por el que salen de un cuerpo es su polo norte y que entran por el polo sur. 3. ¿Puede separarse la carga positiva de la negativa de un dipolo eléctrico? Y en un imán, es decir, un dipolo magnético, ¿puede separarse el polo norte del polo sur? Un dipolo eléctrico (dos cargas iguales de distinto signo separadas una cierta distancia) puede separarse, suministrando la energía adecuada, en sus cargas positiva y negativa, pero un dipolo magnético, como un imán, nunca puede separarse en su polo norte y su polo sur, pues estos no existen aisladamente. Es decir, no existen polos magnéticos aislados, sino que siempre aparecen conjuntamente formando un dipolo magnético. Si existiesen polos magnéticos aislados, las líneas de campo magnético serían líneas abiertas que nacerían en el norte y morirían en el sur, pero esto nunca se ha observado. 4. De las afirmaciones siguientes, modifica adecuadamente las que no sean correctas: a) En el interior de un material ferromagnético, el campo magnético es menos intenso que el campo magnético externo. b) Los materiales ferromagnéticos son los que se usan para construir imanes. c) Si disminuimos excesivamente la temperatura de un material ferromagnético, desaparecen sus propiedades magnéticas.

Unidad 7. Campo magnético

243

a) Falsa; si colocamos un material ferromagnético en un campo magnético, las líneas del campo son mucho más abundantes dentro del material que fuera; por tanto, el campo magnético en el interior es mucho más intenso que fuera. b) Cierta, tanto para imanes permanentes como temporales. c) Falsa; es al aumentar la temperatura de un material ferromagnético, por encima de su temperatura Curie, cuando este pierde las propiedades magnéticas, debido a que la agitación térmica produce un desorden de los momentos magnéticos atómicos. 5. Calcula el campo magnético producido8 por una carga puntal q = +200 µC que se 8 mueve con una velocidad v = 4 · 106 · k m/s cuando pasa por el origen de coordenadas, en los puntos siguientes: A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 2, 0) y D (–2, 0, 0). Las coordenadas están en centímetros. Dibuja la línea de campo que pasa por cada uno de esos puntos. Cuando la carga pasa por el origen, para cada uno de los puntos indicados en el 8 enunciado los valores de r y u r son, respectivamente: 8

8

8

8

8

8

rA = 0,01 m ; u A = i rB = 0,01 m ; u B = j rC = 0,02 m ; u C = j

8

8 rD = 0,02 m ; u D = – i

Por tanto, aplicando la expresión del campo creado por una carga en movimiento, tenemos: 8 8 q · v Ò ur µ 8 B = · r2 4·π 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

q · v Ò uA µ 8 4 · π · 10–7 200 · 10–6 · 4 · 106 · k Ò i BA = · = · = 0,8 · j T 4·π rA2 0,012 4·π 8

q · v Ò uB µ 8 4 · π · 10–7 200 · 10–6 · 4 · 106 · k Ò j BB = · = · = –0,8 · i T 4·π rB2 0,012 4·π 8

q · v Ò uC µ 8 4 · π · 10–7 200 · 10–6 · 4 · 106 · k Ò j BC = · = · = –0,2 · i T 2 4·π rC 0,022 4·π 8

8

q · v Ò uD µ 8 4 · π · 10–7 200 · 10–6 · 4 · 106 · k Ò (–i ) BD = · = · = –0,2 · j T 2 4·π 0,022 rD 4·π En la siguiente figura se representan los vectores campo magnético en cada uno de los puntos: 8

Z

BB 0,02 0,01 v

BD

– 0,02 – 0,01

BC B

A 0,01

0,01

C 0,02

Y

BA

0,02 X

244

Unidad 7. Campo magnético

6. Por un conductor rectilíneo de gran longitud situado verticalmente, que elegimos como eje Z, circula una corriente eléctrica de 15 A en sentido ascendente, que tomamos como sentido positivo. Calcula el módulo, la dirección y el sentido del campo magnético creado por el conductor en los puntos siguientes: A (3, 0, 0), B (5, 0, 0), C (0, 3, 0) y D (3, 0, 4). Las coordenadas están en cm. Dibuja la línea de campo que pasa por cada uno. La distancia de la corriente al punto A vale 3 cm, luego el valor del campo magnético en A es: µ0 · I 4 · π · 10–7 · 15 BA = = = 1 · 10–4 T 2 · π · 0,03 2·π·R Aplicando la regla del tornillo, se deduce que está dirigido según el sentido positivo del eje Y, como muestra la figura. Del mismo modo, la distancia de la corriente al punto B vale 5 cm; por tanto, el valor del campo magnético en B es: BB =

µ0 · I 4 · π · 10–7 · 15 = = 6 · 10–5 T 2 · π · 0,05 2·π·R

Y está dirigido según el sentido positivo del eje Y, como muestra la figura. La distancia de la corriente al punto C vale 3 cm; luego, el valor del campo magnético en C es: BC =

Z

µ0 · I 4 · π · 10–7 · 15 = = 1 · 10–4 T 2 · π · 0,03 2·π·R

I

Y está dirigido según el sentido negativo del eje X, como muestra la figura (la línea de campo que pasa por C es la misma que pasa por A). La distancia de la corriente al punto D vale 3 cm. Este punto y la línea de campo que pasa por él están situados en otro plano paralelo al que contiene a los puntos anteriores. El valor del campo magnético en D es: BD =

D BD BC C A X

B

BA BB

Y

µ0 · I 4 · π · 10–7 · 15 = = 1 · 10–4 T 2 · π · 0,03 2·π·R

Y está dirigido según la dirección positiva del eje Y, como muestra la figura. 7. Si el campo magnético creado por un conductor recto muy largo a una distancia de 4 cm vale 0,05 T, ¿cuánto vale a 5 cm de distancia? ¿A qué distancia el campo magnético valdrá 0,02 T? Para el primer punto, a 4 cm de distancia, tenemos: B1 =

µ0 · I µ0 · I 8 0,05 = 2 · π · d1 2 · π · 0,04

[1]

B2 =

µ0 · I µ0 · I 8 B2 = 2 · π · d2 2 · π · 0,05

[2]

Y para el segundo:

Unidad 7. Campo magnético

245

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones [2] y [1], el campo a 5 cm es: µ0· I B2 0,04 2 · π · 0,05 8 B2 = 0,04 T = = 0,05 0,05 µ0· I 2 · π · 0,04 Para el tercer punto, tenemos: µ0· I 2·π·d Al dividir la expresión anterior entre la ecuación [1], resulta: 0,02 =

0,02 = 0,05

µ0· I 2·π·d µ0· I

=

0,04 0,04 · 0,05 8 d= = 0,10 m d 0,02

2 · π · 0,04 8. Calcula el sentido y el valor de la intensidad de la corriente que ha de circular por un conductor rectilíneo situado a8lo largo del eje Z si el campo magnético 8 en el punto (0, 4, 0) vale B = 2 · 10–4 · i T. Las coordenadas están en cm. Despejando la intensidad en la expresión del campo magnético creado por una corriente rectilínea, tenemos: B=

µ0· I B·2·π·d 2 · 10–4 · 2 · π · 0,04 8 I= 8 I= = 40 A µ0 4 · π · 10–7 2·π·d

La dirección y el sentido del campo magnético vienen dados por el siguiente producto vectorial: 8

8

8

uB = uI Ò ur 8

8

8

El vector r está en la dirección del eje Y positivo; luego, ur = j . Para la corriente, sa8 8 bemos que está sobre el eje Z, pero no sabemos su sentido, por lo que uI = ±k . Analicemos los dos casos posibles: 8

8

• Para uI = k : 8

8

8

8 8 uI Ò ur = k Ò j = –i 8

8 • Para uI = –k : 8

8

8

Z 8

8

uI Ò ur = (–k ) Ò j = +i

8

8

Y como sabemos que uB = i en el punto indicado, entonces la corriente debe circu8 8 lar en sentido descendente: uI = – k . Resulta más sencillo deducir este resultado gráficamente: para que el campo en el punto P(0, 4, 0) esté dirigido según el semieje X positivo, la línea de campo que pasa por ese punto debe estar orientada en sentido horario vista desde arriba; para ello, la corriente ha de circular hacia abajo. 246

I

P (0, 4, 0) X

B

Y

Unidad 7. Campo magnético

9. Por una espira circular de 20 cm de diámetro, situada sobre el plano del papel, pasa una corriente continua de 12 A en sentido horario: a) Calcula el módulo del campo magnético producido en el centro de la espira. b) ¿Hacia dónde está dirigido el campo? c) ¿Cuál es la cara norte de la espira? a) El valor del campo es: µ·I 4 · π · 10–7 · 12 B= 0 = = 7,5 · 10–5 T 2 · 0,1 2·R b) Aplicando la regla del tornillo, al circular la corriente en sentido horario, el campo magnético que produce en su centro está dirigido hacia el interior del papel, es decir, penetra en el plano del papel.

I = 12 A R = 0,10 m

c) Las líneas del campo magnético penetran en la espira por la cara que mira hacia nosotros, luego esta es su cara sur, y la que mira hacia el dorso del papel, por la que salen las líneas de fuerza, es la cara norte. 10. La figura muestra dos conductores rectilíneos, 1 y 2, muy largos, paralelos entre sí y dirigidos perpendicularmente al plano del papel. Por cada uno circula una corriente de 20 A dirigida hacia el lector. El 1 está sobre el eje Z, y el 2 pasa por el punto (4, 0, 0). Las coordenadas están en cm. Y A 2

1 I1

B

I2

X

C

Calcula las componentes cartesianas del campo magnético en los puntos A (2, 2, 0), B (2, 0, 0) y C (2, –2, 0) de la figura. El dibujo de las líneas del campo magnético producido por cada uno de los conductores en cada uno de los puntos pedidos es el siguiente: B1A Y A B1B

B2A 1 I1

2 I2

B

B2B

X

B1C C B2C

Unidad 7. Campo magnético

247

Las distancias de cada conductor a los puntos A, B y C son: d1A = d2A = 0,02 ·

√2

m ; d1B = d2B = 0,02 m ; d1C = d2C = 0,02 ·

√2 m

Como las corrientes son iguales y los puntos están a la misma distancia de cada conductor, tenemos: – Punto A: los módulos de los campos magnéticos producidos por cada corriente son: µ0· I1 µ0· I2 4 · π · 10–7 · 20 B1A = B2A = = = = √2 · 10–4 T 2 · π · d1A 2 · π · d2A 2 · π · 2 · 0,02

√

Siendo el vector campo magnético en cada caso: 8

8

8

B 1A = –B1A · cos 45° · i + B1A · sen 45° · j =

√2 · i8 + 2 · 10–4 · √2 · j8 = –10–4 · i8 + 10–4 · j8 T √ 2 2

= – √2 · 10–4 · 8

8

8

B 2A = –B2A · cos 45° · i – B2A · sen 45° · j =

√2 · i8 + 2 · 10–4 · √2 · j8 = –10–4 · i8 – 10–4 · j8 T √ 2 2

= – √2 · 10–4 ·

8

8

8

8

B A = B 1A + B 2A = –2 · 10–4 · i T – Punto B: los módulos de los campos magnéticos son ahora: µ0· I1 4 · π · 10–7 · 20 B1B = = = 2 · 10–4 T 2 · π · d1B 2 · π · 0,02 B2B =

µ0· I2 4 · π · 10–7 · 20 = = 2 · 10–4 T 2 · π · d2B 2 · π · 0,02

Y teniendo en cuenta la figura de la página anterior: 8

8

8

8

B 1B = 2 · 10–4 · j T ; B 2B = –2 · 10–4 · j T 8

8

8

B B = B 1B + B 2B = 0 – Punto C: en este último punto tenemos: µ0· I1 4 · π · 10–7 · 20 B1C = = = 2 · π · d1C 2 · π · √2 · 0,02 B2C =

µ0· I2 4 · π · 10–7 · 20 = = 2 · π · d2C 2 · π · √2 · 0,02

√2 · 10–4 T √2 · 10–4 T

Y teniendo en cuenta la figura, resulta: 8

8

8

B 1C = B1C · cos 45° · i + B1C · sen 45° · j = =

8 8 √2 8 √2 8 √2 · 10–4 · 2 · i + √2 · 10–4 · 2 · j = 10–4 · i + 10–4 · j T 8

8

8

B 2C = B2C · cos 45° · i – B2C · sen 45° · j = =

8 8 √2 8 √2 8 √2 · 10–4 · 2 · i – √2 · 10–4 · 2 · j = 10–4 · i – 10–4 · j T 8

8

8

8

B C = B 1C + B 2C = 2 · 10–4 · i T 248

Unidad 7. Campo magnético

11. Por dos conductores rectilíneos paralelos y separados 60 cm, circulan las corrientes I1 = 20 A y I2 = 10 A, respectivamente, en el mismo sentido. Calcula: a) El campo magnético en el punto medio entre ellos. b) El punto donde se anula el campo. a) El módulo del campo magnético producido por cada conductor en el punto medio entre ellos es: µ0· I1 4 · π · 10–7 · 20 B1C = = = 1,33 · 10–5 T 2 · π · d1C 2 · π · 0,3 B2C =

µ0· I2 4 · π · 10–7 · 10 = = 0,67 · 10–5 T 2 · π · d2C 2 · π · 0,3

En la figura se representan los campos creados por cada conductor en el punto medio de la línea que los une:

d = 60 cm B1C

I1

I2

De acuerdo con ella, ambos campos tienen sentidos opuestos; por tanto, el campo resultante en el punto medio es: B2C

BC = B1C – B2C = 1,33 · 10–5 – 0,67 · 10–5 BC = 0,66 · 10–5 T

b) Como las corrientes tienen el mismo sentido, los campos magnéticos producidos por cada una tienen sentidos opuestos en cualquier punto entre ellas; por tanto, el campo se anula en uno de esos puntos, que debe ser aquel en el que los módulos de ambos campos sean iguales. Para un punto situado a una distancia x de la corriente I1 y 0,6 – x de I2, los valores de los campos en ese punto son: B1 =

µ0· I1 µ0· I2 4 · π · 10–7 · 20 4 · π · 10–7 · 10 = ; B2 = = 2 · π · d1 2 · π · d2 2·π·x 2 · π · (0,6 – x)

Imponiendo la condición de que los campos se igualen: B1 = B2 8

4 · π · 10–7 · 20 4 · π · 10–7 · 10 2 1 8 = x = 0,6 – x 2·π·x 2 · π · (0,6 – x)

2 · (0, 6 – x) = x 8 1,2 – 2 · x = x 8 3 · x = 1,2 8 x = 0,4 m El campo se anula a 40 cm de la corriente I1 y a 20 cm de I2. 12. Por cada uno de los vértices de los cuadrados de la figura pasan conductores rectilíneos, perpendiculares al cuadrado; la intensidad de corriente, I, es igual en todos ellos y circula en el sentido que se indica. Dibuja el campo magnético producido por cada conductor en el centro del cuadrado en cada caso y el campo resultante. Calcula su valor si I = 4 A y el lado del cuadrado mide 2 cm.

A

Unidad 7. Campo magnético

B

C

D

249

La distancia desde cada vértice al centro del cuadrado es la mitad de su diagonal: 22 + 22 8 D d= 2 = √ = √ = √2 cm 2 2 El módulo del campo producido por cada uno de los conductores en el centro del cuadrado es el mismo, pues la intensidad de la corriente y la distancia al centro es la misma en todos los casos: µ0· I 4 · π · 10–7 · 4 B1 = B2 = B3 = B4 = B = = = 4 · √2 · 10–5 T 2·π·x 2 · π · √2 · 10–2 La dirección y el sentido de cada campo, en cada caso, se muestra en las siguientes figuras: 4

3 B1

B4

B2

B3

1

4

1

2

A

4

B2

B1

2

3

B4

B3

3 B3

B4

B2

B1

1

4

B4 B3 2

B

3

B2

B1

1

2

C

D

El campo resultante, por tanto, en cada caso, es: – En A, el campo es nulo, pues se contrarrestan los cuatro campos. – En B, el campo está dirigido verticalmente hacia arriba, y su módulo es: 2 BB = 4 · B · sen 45° = 4 · 4 · √2 · 10–5 · √ = 1,6 · 10–4 T 2 – En C, el campo es nulo, pues la suma vectorial de los cuatro campos es nula. – En D, el campo está dirigido hacia el hilo 3, y su valor es: BD = B2 + B4 = 8 ·

√2 · 10–5 T = 1,13 · 10–4 T

13. Las corrientes rectilíneas I1 e I2 de la figura son perpendiculares al plano del papel: Y P

I1 = 4 A

M

I2

X 3 cm

3 cm

Calcula el valor y el sentido de la corriente I2 para que el campo magnético en el punto P sea nulo. ¿Cuál es el valor del campo en el punto M? El campo producido por I1 en P está dirigido hacia arriba, y su valor es: µ0· I 4 · π · 10–7 · 4 B1P = = = 4 · 10–5 T 2 · π · d1P 2 · π · 2 · 10–2 Para que el campo se anule en el punto P, se debe cumplir que: 8

8

8

8

8

BP = B1P + B2P = 0 8 B2P = –B1P

[1]

B1P

Y I1 = 4 A

P

M

I2

X 3 cm

3 cm B2P

250

Unidad 7. Campo magnético

Por tanto, ambos vectores deben tener el mismo módulo: B2P = B1P = 4 · 10–5 T Teniendo en cuenta la distancia de I2 a P, de 1 cm, el valor de la corriente lo despejamos de la expresión del módulo del campo magnético producido por I2: B2P · 2 · π · d2P 4 · 10–5 · 2 · π · 0,01 = =2A µ0 4 · π · 10–7 De la ecuación [1] deducimos que el vector B2 tiene que estar dirigido hacia abajo, y, por tanto, para producir un campo magnético con esa dirección en P, la corriente I2 debe salir del plano del papel; por tanto, tiene el mismo sentido que I1. B2P =

µ0· I2 2 · π · d2P

8 I2 =

La siguiente figura representa la situación correspondiente al punto M: B2M

Y P

I1 = 4 A

I2

B1M

M X

3 cm

3 cm

El campo magnético producido por I1 en M está dirigido hacia arriba y vale: µ0· I1 4 · π · 10–7 · 4 4 = = · 10–5 T 3 2 · π · 6 · 10–2 2 · π · d1M El campo magnético producido por I2 en M también está dirigido hacia arriba y vale: B1M =

µ0· I2 4 · π · 10–7 · 2 4 = = 3 · 10–5 T 2 · π · 3 · 10–2 2 · π · d2M Entonces, el campo total en M está dirigido hacia arriba y su valor es: B2M =

BM = B1M + B2M =

4 4 8 · 10–5 + · 10–5 = · 10–5 T 3 3 3

14. Por un solenoide de longitud 19 cm, formado por 2 500 espiras circulares de 7 cm de radio, pasa una corriente de 3 A. Calcula: a) El campo magnético en su interior si está vacío y si contiene un material ferromagnético de µr = 1 200. b) La longitud de alambre necesaria para construirlo. a) El valor del campo magnético en el interior del solenoide cuando está vacío es: µ0· I · N 4 · π · 10–7 · 3 · 2 500 = = 0,05 T 0,19 L Y cuando en su interior hay un material ferromagnético de µr = 1 200: µ·I·N µ ·µ ·I·N 1 200 · 4 · π · 10–7 · 3 · 2 500 B4 = = r 0 = = 60 T L L 0,19 b) El alambre necesario para construir 2 500 espiras de radio 7 cm es: B=

L = N · 2 · π · R = 2 500 · 2 · π · 0,07 = 1 100 m 15. Describe la acción de un campo magnético uniforme sobre las partículas siguientes: a) Un neutrón que se mueve perpendicularmente al campo. b) Un protón que se mueve paralelamente al campo. c) Un ion positivo en reposo. d) Un electrón que se mueve perpendicularmente al campo. Unidad 7. Campo magnético

251

a) Como el neutrón no tiene carga eléctrica, sobre él no actúa el campo magnético y, por tanto, la fuerza magnética es nula y el neutrón mantiene su velocidad constante, realizando un movimiento rectilíneo uniforme. 8

8

b) Si el protón 8 se mueve paralelamente al campo, v y B son paralelos y entonces 8 8 F = q · v Ò B = 0, por lo que el protón realiza un movimiento rectilíneo uniforme. c) Cualquier carga positiva o negativa, si está en reposo en un campo magnético, continúa en reposo, pues sobre ella no se ejerce ninguna fuerza. d) Si el electrón se mueve perpendicularmente al campo8 magnético,8 actúa sobre él 8 una fuerza magnética, perpendicular a su velocidad, F = q · v Ò B , que le obliga a describir una trayectoria circular. 16. Dibuja la fuerza que actúa sobre cada una de las partículas de la figura al en8 trar en el campo magnético, B , que penetra en el plano del papel, y la trayectoria que describen en él, teniendo en cuenta que las esferas rojas representan cargas positivas; las azules, negativas, y las grises, partículas neutras.

v

B

v

v

v

v

v

v

v

v

Sobre las partículas grises, al ser neutras, no actúa ninguna fuerza magnética; luego, continúan con la misma velocidad, realizando un m.r.u. Aplicando la regla del tornillo asociada al producto vectorial,8 la fuerza que ejerce el 8 8 campo magnético sobre cada una de las cargas, F = q · v Ò B , es la representada en la figura; también se ha indicado hacia dónde se desvía cada una de esas cargas. F

B

F

F v

v

v

v F

v

F v

v

v

v F

F

En el caso de las esferas rojas, al ser cargas positivas, el sentido de la fuerza coinci8 8 de con el del producto vectorial v Ò B . Con las esferas azules sucede al contrario, pues, al ser cargas negativas el sentido de la fuerza es el opuesto al del producto 8 8 vectorial v Ò B . 252

Unidad 7. Campo magnético

17. Un protón penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de valor 0,02 T con una velocidad de 3 · 104 m/s. Calcula: a) El módulo de la fuerza que actúa sobre el protón. b) El módulo de su aceleración. c) El radio de su trayectoria circular. d) Su velocidad angular. e) El tiempo que tarda en dar una vuelta. f) El trabajo realizado por el campo magnético cuando ha recorrido media circunferencia. Dato: mprotón = 1,67 · 10–27 kg. a) Como el protón penetra perpendicularmente al campo, el módulo de la fuerza que actúa sobre él es: 8

8

8

F = q · v Ò B 8 F = q · v · B · sen 90° = 1,6 · 10–19 · 3 · 104 · 0,02 · 1 = 9,6 · 10–17 N b) De la segunda ley de la dinámica se deduce que el módulo de la aceleración del protón es: F 9,6 · 10–17 8 8 F =m·a 8 a= = = 5,7 · 1010 m/s2 m 1,67 · 10–27 c) Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, el protón describe un movimiento circular uniforme cuya aceleración solo tiene componente normal: v2 (3 · 104)2 a = an = 8 5,7 · 1010 = R R Despejando, el radio de la trayectoria es: R=

(3 · 104)2 = 0,016 m = 1,6 cm 5,7 · 1010

d) En todo movimiento circular se cumple que v = u · R; por tanto, la velocidad angular es: v 3 · 104 u= = = 1,9 · 106 rad/s R 0,016 e) El tiempo que tarda en dar una vuelta, o período, vale: T=

2·π·R 2·π 2·π = = = 3,31 · 10–6 s v u 1,9 · 106

f) El trabajo realizado por el campo magnético es nulo, pues la fuerza magnética es perpendicular al desplazamiento. 18. Un electrón, al penetrar perpendicularmente en un campo magnético, describe una trayectoria circular de radio 2 cm. Si tarda 2,36 · 10–7 s en dar una vuelta, calcula el valor del campo magnético y la velocidad del electrón. Dato: melectrón = 9,1 · 10–31 kg. Si el electrón tarda 2,36 · 10–7 s en dar una vuelta a una circunferencia de 2 cm de radio, su velocidad es: v=

2·π·R 2 · π · 0,02 = = 5,3 · 105 m/s T 2,36 · 10–7

Y como penetra perpendicularmente en el campo, este y la velocidad son perpendiculares; por tanto, la fuerza magnética produce sobre el electrón una aceleración normal: v2 F=q·v·B=m· R Despejando, el valor del campo es: m·v 9,1 · 10–31 · 5,3 · 105 B= = = 1,5 · 10–4 T q·R 1,6 · 10–19 · 0,02 Unidad 7. Campo magnético

253

19. La energía cinética y el momento lineal de una partícula cargada, ¿se modifican cuando atraviesa una zona donde existe un campo magnético? La fuerza que ejerce un campo magnético sobre una partícula cargada es perpendicular a su velocidad y, por tanto, solo produce aceleración normal, es decir, solo se modifica la dirección de la velocidad, pero no su módulo. De acuerdo con ello, la energía cinética permanece constante al atravesar un campo magnético. 1 Ec = · m · v 2 = cte 2 Sin embargo, aunque también el módulo del momento lineal permanece constante, p = m · v = cte, no ocurre lo mismo con su dirección, que cambia continuamente al variar la de la velocidad. Por tanto, el momento lineal de la partícula cargada, que es una magnitud vectorial, varía al atravesar un campo magnético (salvo en el caso de que la velocidad de la partícula cargada sea paralela a la dirección del campo magnético, pues entonces la fuerza magnética es nula, y no existe ningún tipo de variación de la velocidad y tampoco del momento lineal). 20. Calcula la masa del catión Na+ si cuando penetra en un campo magnético uniforme de 0,03 T, con una velocidad de 5 · 103 m/s, perpendicular a la dirección del campo, describe una trayectoria circular de 8 cm de diámetro. El catión Na+ es un ion formado al perder un electrón el átomo neutro de sodio. Por tanto, al haber perdido un solo electrón, su carga es la misma que la del electrón pero de signo positivo: q = +1,6 · 10–19 C. Como el catión penetra en el campo en dirección perpendicular a este, la fuerza que ejerce el campo sobre él es perpendicular a su velocidad, y produce una aceleración normal: v2 F=q·v·B=m· R Para que el diámetro de la trayectoria sea de 8 cm, la masa del catión ha de ser: m=

q·B·R 1,6 · 10–19 · 0,03 · 0,04 = = 3,8 · 10–26 kg v 5 · 103

21. Un protón (11H+) y una partícula alfa ( 42He2+) penetran con la misma energía cinética en un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad de las partículas. Calcula la relación: a) Entre las velocidades lineales de ambas partículas. b) Entre los radios de sus trayectorias. c) Entre sus frecuencias de rotación. Datos: malfa = 4 · mprotón ; qalfa = 2 · qprotón. a) Como la energía cinética es la misma para ambas partículas, tenemos: 1 1 1 1 Ecp = Eca 8 · mp · vp2 = · ma · va2 8 · mp · vp2 = · 4 · mp · va2 8 vp = 2 · va 2 2 2 2 La velocidad del protón es el doble que la de la partícula alfa. b) Los radios de las circunferencias que describen ambas partículas en un campo uniforme perpendicular a sus velocidades son, respectivamente: mp · vp ma · va Rp = ; Ra = qp · B qa · B 254

Unidad 7. Campo magnético

Sustituyendo los datos en la segunda expresión: vp 4 · m · — p mp · vp ma · va 2 Ra = = = = Rp qp · B qa · B 2 · qp · B Por tanto, el radio de la trayectoria del protón es igual que el de la partícula alfa. c) La frecuencia de rotación del movimiento circular que describen el protón y la partícula alfa en el campo magnético es la inversa del período; por tanto: 1 v f= = T 2·π·R Para cada una de las partículas, su valor es: vp — vp vp va 1 1 2 fp = ; fa = = = · = · fp 2 · π · Rp 2 · π · R 2 2 2 · π · Ra 2 · π · Rp p La frecuencia del protón es el doble de la frecuencia de la partícula alfa; es decir, en el mismo tiempo, el protón da el doble de vueltas que la partícula alfa. 22. Determina la expresión de la fuerza sobre una partícula cargada (valor abso8 luto de su carga: q) al entrar con velocidad v en una zona donde hay un cam8 po magnético uniforme, B , si: 8

8

8

8

a) La carga es negativa, v = v0 · i y B = –B0 · k. 8

8

8

8

8

b) La carga es positiva, v = v0 · (i + j ) y B = B0 · j . 8

8

8

8

c) La carga es positiva, v = v0 · j y B = –B0 · j . Describe el tipo de movimiento de la partícula dentro del campo magnético en cada caso. a) En este caso, la velocidad es perpendicular al campo, por lo que la fuerza es: 8

8

8

8

8

8 F = q · v Ò B = –q · v0 · i Ò (–B0 · k ) = –q · v0 · B0 · j

La partícula describe un movimiento circular uniforme en el plano XY, pues la fuerza es perpendicular a la velocidad. Z

F = –q · v0 · B0 · j Y

q0

Y

B = B0 · j v = v0 · (i + j )

X

c) La velocidad, en este caso, es paralela al campo magnético. Por tanto: 8

8

8

8

8

F = q · v Ò B = q · v0 · j Ò (–B0 · j ) = 0 Al ser nula la fuerza, la partícula describe un m.r.u. manteniendo la velocidad que lleva, en la dirección del eje Y, y en sentido positivo. 23. Un haz de iones Cl –, al salir de un selector de velocidades, entra perpendicularmente con una velocidad de 5 · 104 m/s en un campo magnético de 0,5 T. Se producen dos trayectorias distintas de diámetros d1 = 7,6 cm y d2 = 7,2 cm. Calcula: a) La masa de cada uno de los isótopos del cloro. b) El campo eléctrico en el selector de velocidad, si el campo magnético en su interior es el mismo que existe a la salida. a) El radio de la trayectoria descrita por una carga que penetra perpendicularmente en un campo magnético vale: m·v R= q·B Entonces, si dos partículas penetran con la misma velocidad en un campo magnético y describen trayectorias de distinto radio, sus masas deben ser distintas. Las masas de las partículas son: 1,6 · 10–19 · 0,5 · q · B · R1 m1 = = v 5 · 104 1,6 · 10–19 · 0,5 · q · B · R2 m2 = = v 5 · 104

0,076 ———

2

= 6,08 · 10–26 kg

0,072 ———

2

= 5,76 · 10–26 kg

b) En el selector de velocidades, todas las partículas son desviadas y no salen de él, salvo aquellas que tengan la velocidad seleccionada, pues para ellas la fuerza eléctrica es contrarrestada por la fuerza magnética y lo atraviesan sin sufrir ninguna desviación. De acuerdo con ello, la intensidad del campo eléctrico del selector de velocidad se calcula como sigue: Fe = Fm 8 q · E = q · v · B 8 E = v · B = 5 · 104 · 0,5 = 2,5 · 104 N/C 256

Unidad 7. Campo magnético

8

8

24. En una región del espacio hay un campo eléctrico E = 5 · 103 · i N/C y otro 8 8 magnético B = –0,2 · j T. ¿Cuál debe ser el vector velocidad de un electrón que penetre en esa región para que su trayectoria sea rectilínea? ¿Y si es un protón? La partícula cargada está sometida a dos fuerzas: la eléctrica, que actúa a lo largo del eje X sea cual sea la velocidad de la partícula, y la magnética, cuya dirección depende de la velocidad de la partícula y que, en este caso, siempre es perpendicular al eje Y: 8

8

8

8

8

8

8

8

Fe = q · E = q · 5 · 103 · i ; Fm = q · v Ò B = q · v Ò (–0,2 · j ) Para que la partícula cargada describa una trayectoria rectilínea, la fuerza resultante ha de ser nula, pues si predomina la fuerza eléctrica, se desviará en un sentido, y se predomina la fuerza magnética, se desviará en otro distinto; por tanto, la fuerza magnética tiene que ser igual a la eléctrica, pero de sentido contrario: 8

8

8

8

8 Fm = –Fe 8 q · v Ò (– 0,2 · j ) = –q · 5 · 103 · i 8 8 8 8 5 · 103 8 8 8 · i 8 v Ò j = 2,5 · 104 · i 8 v Òj = 0,2 Como vemos, la partícula se mueve a 25 000 m/s en una dirección cuyo producto 8 vectorial por j está en la dirección del semieje X positivo (en la dirección del vector 8 unitario i ).

Esa condición se cumple cuando la dirección de la partícula es la del semieje Z ne8 8 8 8 gativo, –k , pues –k Ò j = i ; por tanto, la velocidad de la partícula, independiente8 8 mente de la carga de esta, es v = –2,5 · 104 · k . La diferencia en el caso de que se trate de un electrón o de un protón está en el sentido de las fuerzas magnética y eléctrica ejercidas sobre ellas, como se muestra en la siguiente figura, pero la velocidad es la misma: Z

Z

Fe

B

Fm

B

q0 Y

Y E Fm

E v

X

Fe

v

X

25. Por un conductor rectilíneo indefinido situado sobre el eje Z, circula una corriente de 25 A en el sentido positivo de dicho eje. Determina las componentes cartesianas de la fuerza y de la aceleración instantáneas que experimenta un electrón situado en el eje Y a 2 cm del conductor si: a) Se encuentra en reposo. b) Su velocidad es de 500 m/s según la dirección positiva del eje Y. c) Su velocidad es de 500 m/s según la dirección positiva del eje Z. d) Su velocidad es de 500 m/s según la dirección positiva del eje X. Unidad 7. Campo magnético

257

Teniendo en cuenta la regla del tornillo para calcular la dirección y el sentido del campo producido por una corriente rectilínea y el valor de dicho campo, tenemos que el vector campo magnético producido por la corriente rectilínea en dicho punto es: µ0· I · 8 4 · π · 10–7 · 25 8 B= = = 2,5 · 10–4 T 8 B = –2,5 · 10–4 · i T 2 · π · 2 · 10–2 2·π·d Por otra parte,8la fuerza magnética ejercida sobre una carga colocada en un campo 8 8 magnético es Fm = q · v Ò B . Por tanto: a) Si el electrón está en reposo, no actúa ninguna fuerza sobre él y sigue en reposo: la fuerza y la aceleración son nulas. 8

8

b) Si su velocidad es v = 500 · j m/s, entonces la fuerza que actúa sobre él en ese punto y la aceleración que produce esta fuerza son: 8

8

8

8

8

8 · 10–19 · 500 · j Ò (–2,5 · 10–4 · i ) = –2 · 10–20 · k N F = q · v Ò B = –1,6 8 F 2 · 10–20 8 8 8 a = = · k = –2,2 · 1010 · k m/s2 9,1 · 10–31 m 8

8

c) Si su velocidad es v = 500 · k m/s, entonces la fuerza y la aceleración valen: 8

8

8

8

8

8 F = q · v Ò B = –1,6 · 10–19 · 500 · k Ò (–2,5 · 10–4 · i ) = 2 · 10–20 · j N 8 F 2 · 10–20 8 8 8 a = = · j = 2,2 · 1010 · j m/s2 9,1 · 10–31 m 8

8

8

d) Si 8 su velocidad es v = 500 · i m/s, entonces la fuerza es nula, pues los vectores v y B son paralelos: 8

8

8

8

8 F = q · v Ò B = –1,6 · 10–19 · 500 · i Ò (–2,5 · 10–4 · i ) = 0

Por tanto, la aceleración es nula y el electrón seguirá con su velocidad constante. En la siguiente figura se representan los cuatro casos analizados: Z

a)

Z

b)

I

I

B

–

B

X

X

Z

c)

Y

F Z

d)

I

v

–

Y

I

B

B

v

–

F

–

Y

Y F=0

v X

258

X

Unidad 7. Campo magnético

26. Calcula la fuerza sobre un conductor rectilíneo de 40 cm de longitud por el que circula una corriente de 3 A colocado en un campo magnético de 0,05 T si la dirección del campo y la de la corriente: a) Son paralelas. b) Forman un ángulo de 45°. c) Son perpendiculares. La fuerza que experimenta un conductor rectilíneo colocado en un campo magnético es: 8

8

8

F = I · LÒ B

a) Si la corriente y el campo magnético son paralelos, la fuerza es nula, pues el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo: F = I · L · B · sen 0° = 0 N b) Si forman un ángulo de 45°, la fuerza es perpendicular al plano que forman la corriente y la dirección del campo, y su módulo es: F = I · L · B · sen 45° = 3 · 0,4 · 0,05 · 0,71 = 0,043 N c) Si ambos son perpendiculares, la fuerza es máxima, y su valor es: F = I · L · B · sen 90° = I · L · B = 3 · 0,4 · 0,05 = 0,06 N En las siguientes figuras se representan cada uno de los casos analizados: Z B I Y

F=0

X

Z

F = I · L · B · sen α

B α I Y

X

Z F=I·L·B

B I Y

X

Unidad 7. Campo magnético

259

27. Por dos conductores rectilíneos paralelos separados 50 cm circulan corrientes en el mismo sentido de intensidades I1 = 20 A e I2 = 10 A, respectivamente. a) Calcula la fuerza por unidad de longitud que ejerce el uno sobre el otro. b) ¿Se atraen o se repelen? a) La fuerza por unidad de longitud es: F µ0· I1 · I2 4 · π · 10–7 · 20 · 10 = = = 8 · 10–5 N/m L 2 · π · 0,5 2·π·d b) Se atraen, pues las corrientes circulan en el mismo sentido: d = 50 cm I1 = 20 A

I2 = 10 A B1

F2,1 F1,2 B2

28. Calcula la distancia entre dos I2 = 12 A para que se repelan eléctrica, ¿circula por ambos Las corrientes han de circular en

corrientes paralelas de intensidades I1 = 8 A e con una fuerza de 4,8 · 10–5 N/m. La corriente en el mismo sentido o en sentidos opuestos? sentidos opuestos para que se repelan.

Conociendo el valor de la fuerza por unidad de longitud, podemos sustituir valores en la expresión de la fuerza entre dos corrientes paralelas y despejar para hallar la distancia que las separa: F µ0· I1 · I2 1,92 · 10–5 4 · π · 10–7 · 8 · 12 –5 = 8 4,8 · 10 = = 8 d = 0,4 m L d 2·π·d 2·π·d 29. Por una espira circular de radio R = 20 cm circula una corriente continua de 4 A. Calcula: a) El módulo de su momento magnético. b) El máximo momento de torsión que experimenta la espira al colocarla en un campo magnético de 0,5 T. a) El módulo del momento magnético de la espira es: mµ = I · S = I · π · R 2 = 4 · π · 0,22 = 0,5 A · m2 b) El máximo momento que actúa sobre la espira al colocarla en un campo magnético es: M = I · S · B = mµ · B = 0,5 · 0,5 = 0,25 N · m 30. Un conductor rectilíneo por el que circula una corriente I1 está colocado a lo largo del eje de un solenoide muy largo, de n espiras circulares por unidad de longitud, recorrido por una corriente I2. Calcula la fuerza sobre el conductor rectilíneo. El campo magnético en el interior de un solenoide es paralelo al eje del solenoide; por tanto, el campo magnético creado por el solenoide y la corriente rectilínea son paralelos; por consecuencia, la fuerza sobre el conductor rectilíneo es nula: 8

8

8

F = I · LÒ B= 0 260

Unidad 7. Campo magnético

Las líneas del campo magnético producido por el conductor rectilíneo son circunferencias concéntricas con él; por tanto, las espiras circulares del solenoide coinciden 8 con líneas del campo. Entonces, el vector d l de la espira circular es paralelo al campo del conductor rectilíneo, y la fuerza sobre las espiras también es nula: 8

8

8

dF = I · d l Ò B = 0 31. Calcula la intensidad y el sentido de la corriente I2 que debe circular por el conductor inferior de la figura para que el alambre recto AB, de 0,25 g de masa, se mantenga en equilibrio suspendido en el aire cuando por él circula una corriente de 40 A. L = 25 cm I1

A

B d = 5 cm

I2

Para que el alambre AB se mantenga en equilibrio, la fuerza magnética debe contrarrestar al peso; es decir, debe estar dirigida hacia arriba y su valor debe ser: Fm = P = m · g 8 Fm = m · g = 0,25 · 10–3 · 9,8 = 2,45 · 10–3 N Como la corriente en el alambre AB está dirigida hacia la derecha, el campo magnético sobre ella debe de estar dirigido hacia dentro del papel para que la fuerza magnética sobre ella esté dirigida hacia arriba, de acuerdo con la expresión de la ley de Laplace aplicada a una corriente rectilínea: 8

8

8

Fm = I · L Ò B

Y como Fm = I · L · B, entonces el valor del campo magnético debe ser: Fm 2,45 · 10–3 B= I·L = = 2,45 · 10–4 T 40 · 0,25 Para que el conductor rectilíneo inferior produzca un campo magnético de 2,45 · 10–4 T a una distancia de 5 cm, por él ha de circular una corriente de intensidad I2, cuyo valor es: B=

µ0· I B·2·π·d 2,45 · 10–4 · 2 · π · 0,05 8 I= = = 61,25 A µ0 4 · π · 10–7 2·π·d

Y para que el campo magnético que produce esté dirigido hacia dentro en la región donde está el alambre AB, la corriente tiene que estar dirigida hacia la izquierda. Se puede llegar a la misma conclusión argumentando que, para que los dos conductores se repelan, las corrientes en ellos tienen que circular en sentido contrario.

Unidad 7. Campo magnético

261