En esta unidad te proponemos una serie de problemas para que apliques todo lo que sabes de las propiedades métricas, el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes, etc., y teoremas importantes como el de Pitágoras, Thales, Euler... Si necesitas recordar alguno de estos conceptos, basta con que consultes los ficheros de los cursos anteriores.

Además aprenderás conceptos nuevos de geometría que no has visto hasta ahora como los que te detallamos a continuación. Recuerda que lo mejor a la hora de resolver un problema geométrico es hacer un pequeño dibujo de la situación que se te plantea en el enunciado.

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 155

PARA RECORDAR Y APRENDER 1. Sabiendo que en un triángulo la suma (resta) de dos de sus lados debe ser mayor (menor) que el tercero. ¿Es posible construir un triángulo de lados 10, 5 y 2 cm?

2. Determina los ángulos desconocidos del siguiente triángulo. c 120º

40º

a

d

b

3. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono? ¿Y un hexágono? Determina una fórmula que te permita calcular el número de diagonales de un polígono de n lados y utilízala para calcular el número de diagonales de un polígono de 28 lados.

4. En una plaza circular de 10 m de radio se quiere colocar en el centro una fuente de forma circular de 5 m de radio. ¿Qué área tiene la plaza que rodea a la fuente?

5. El área de un triángulo es 18’86 cm2. Si la altura mide 4’6 cm, ¿cuánto mide la base?

6. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Calcula el área comprendido entre ambos.

7. Calcula los lados desconocidos del siguiente triángulo aplicando el Teorema de Thales.

x

7m

z

5m 4m

3m

2m y

156 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

Thales.

COLEGIO VIZCAYA

8. Halla la altura del árbol de la figura.

2’3 m 3m 7’5 m

9. Un poste de 3’2 m de altura, está colocado verticalmente y en un cierto momento del día proyecta una sombra de 2’8 m. En ese mismo instante la altura de la torre mayor de un castillo proyecta una sombra de 18’9 m. Calcula la altura de la torre.

10. Calcula x e y. 2m 4m 3m 4’5 m

x

y

11. Calcula la medida de P. P

3m 7m

12 m

12. Calcula la longitud total de la cenefa.

8 cm

13. El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña hasta su cima, para después descender hasta la ciudad C. ¿Qué distancia tiene que recorrer el teleférico?

800 m

A

B 1500 m

COLEGIO VIZCAYA

C 3200 m

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 157

14. La ciudad A está situada en un punto sobre el plano cuyas coordenadas son (50,80), y la ciudad B en otro punto cuyas coordenadas son (100,40). Calcula la distancia entre ambas ciudades en km.

15. Calcula el área de las cenefas siguientes.

2 cm

10 cm

16. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Razona tu respuesta. a) Dos ángulos agudos de lados paralelos son perpendiculares. b) Dos triángulos con los ángulos iguales son iguales. c) Las diagonales de un rombo tienen la misma longitud. d) Las alturas de un triángulo se cortan en el baricentro. 17. ¿Cuánto mide el ángulo A? 75º

25º A 45º

18. Calcula el área del trapecio.

12 m

20 m

19. Calcula la altura sobre el lado mayor y el área de los triángulos acutángulos de lados: a) 4, 6 y 8 cm b) 11, 17 y 15 cm

158 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

20. Calcula la longitud PT y el área de la parte coloreada. T 8 cm 60º O

16 cm

P

21. El radio de una circunferencia mide 15 cm. Una recta r corta a la circunferencia en dos puntos A y B. La distancia de A a B es de 18 cm. ¿Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la recta?

22. Desde un punto P, que dista 39 cm de O, trazamos una recta tangente T, a la circunferencia de centro O y radio 15 cm. Halla la longitud de P a T.

23. El segmento tangente desde un punto P a la circunferencia de centro O mide 55 cm. La distancia de P a O es 60 cm. ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia?

24. Calcula A, B y C. A C

B

25. El área de una elipse de semiejes a y b es A = π ⋅ a ⋅ b . Calcula el área de la figura coloreada. b a

10 cm

6 cm

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 159

26. Calcula el área de las figuras coloreadas: a)

b)

c)

d)

8 cm

18 m 30 m

4c

120º

m

m

6c

5 cm

27. La diagonal de un rectángulo de lados 5 y 12 cm es igual al lado de un cuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal de ese cuadrado?

12 m

28. Este pentágono se ha formado haciendo coincidir la base mayor de un trapecio isósceles con la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles. Halla el perímetro del pentágono.

24 m

26 m

29. ¿Cuál es el diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir por un agujero triangular cuyos tres lados miden 6 cm?

30. Se va a perforar un túnel por el que circulará una vagoneta de 1’5 m de ancho por 0’8 m de alta. ¿Qué diámetro mínimo debe tener la sección del túnel? 1’5 m

0’8 m

31. El área de una corona circular es 20 ⋅ π, y la circunferencia interna mide 8 ⋅ π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa.

160 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

32. La longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero es 20 cm. ¿Cuánto mide la circunferencia circunscrita? ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

33. Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarrado al suelo a una distancia de 30 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado?

34. Calcula el área de triángulo curvilineo comprendido entre tres circunferencias tangentes de 5 cm de radio.

35. Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado.

36. Prueba que el área coloreada de verde es igual a la de la zona coloreada de gris.

37. Comprueba que si m es un número cualquiera mayor que 1, los números m, “terna pitagórica”. (a, b, c son una terna pitagórica cuando a2 + b2 = c2)

m2 - 1 m 2 +1 son una y 2 2

38. Calcula el área de la figura.

3 cm 2 cm

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

161

39. En una hoja rectangular de metal de dimensiones 12 cm de largo y 8 cm de ancho se ha cortado un sector de 8 cm de radio y ángulo 60º como se muestra en la figura. Calcula el área de metal sobrante.

8 cm 60º

12 cm

40. Se redondean los vértices de un cuadrado de lado 7 cm, formando arcos de circunferencia de radio 1. Calcula el área de la figura que resulta. 1 cm

5 cm

41. Halla el área de las siguientes figuras: m

b)

c) 8m

7’5

a)

2’5

m

3m

60º 6m

42. Como recordarás sólo se pueden construir cinco poliedros regulares:

a)

Completa la siguiente tabla: Número Caras Vértices Aristas

b)

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Comprueba que en los cinco se cumple la Fórmula de Euler.

43. Halla la diagonal de un ortoedro de dimensiones 3, 4 y 12 cm. Euler.

162 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

44. Una piscina mide 12 m de ancho, 50 m de largo y 2 m de profundidad. Un buceador quiere recorrer la máxima distancia en un tramo recto, y sin cambiar de dirección. ¿Cuál es la distancia y cuánto mide? ¿Cuántos litros de agua necesitan para llenar la piscina?

45. El gorro de un payaso es de forma cónica con 18 cm de diámetro. Sabiendo que la altura del gorro es de 50 cm, halla la generatriz del cono y la cantidad de material necesario para construirlo.

5’6 cm

4’2 cm

46. Calcula el área de las siguientes pilas cilíndricas.

4’4 cm

3’2 cm

47. Calcula el área total de los cristales que se necesitaron para construir la pirámide que se encuentra en el Museo del Louvre de Paris, sabiendo que tiene 21’65 m de altura y 35 m de arista básica.

48.Observa las siguientes pirámides y conos:

Al cortar una pirámide o un cono por un plano paralelo a la base, se origina otro cuerpo que recive el nombre de tronco de pirámide o tronco de cono. a) Calcula el área lateral y el volumen de la pirámide de Chichén Itzá (México) cuyas bases miden 18 m y 55 m de arista y tiene una altura de 30 m. (Observa que es un tronco de pirámide y que cada cara es un trapecio isósceles).

b) Calcula el área lateral y el volumen del siguiente tronco de cono. x 6m 9m 12 m

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 163

49. Un ascensor mide 80 cm de ancho, 80 cm de largo y 2’2 m de alto. ¿Se puede introducir una varilla muy fina y rígida de 2’5 m de largo?

10 cm 30 cm

50. La pantalla de una lámpara tiene forma de pirámide hexagonal como la del dibujo. Halla la superficie necesaria de material para construirla.

15 cm

51. Calcula la altura del farol de la figura. 10 13 7

52. El Principio de Cavalieri. Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647), nació en Italia. Fue miembro de una orden religiosa jesuita en Milán y fue discípulo de Galileo y profesor de matemáticas en Bologna. En el campo de la geometría cave destacar un famoso principio que recive su nombre. En cualquiera de los dibujos de la parte inferior puedes observar parejas de figuras que tienen la misma altura y que al cortarlas por planos paralelos, las secciones resultantes tienen el mismo área.

Cuando se cumplen las dos condiciones anteriores se puede afirmar que cada pareja de cuerpos tienen el mismo volumen. Este resultado se conoce como principio de Cavalieri: “Si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos por planos paralelos a sus bases se obtienen figuras con la misma área, entonces tienen el mismo volumen.” Este principio nos permite deducir, por ejemplo, que cualquier paralelepípedo que tenga la misma altura y la base con la misma área que la de un ortoedro, tendrá también su mismo volumen. Es decir: Vparalelepípedo = Abase · h Calcula el volumen de las Torres de Kio (Madrid) sabiendo que la altura de cada torre es de 115 m y que la base es un cuadrado de 30 m de lado.

164 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

53. Arquímedes y el volumen de la esfera. Arquímedes de Siracusa (287 a.C. - 212 a.C.) fue un matemático griego que hizo muchos descubrimientos e inventos en el campo de la geometría, mecánica, física e ingieneria. Uno de sus grandes hallazgos fue el cálculo del volumen de la esfera. Para ello, Arquímedes se imaginó una semiesfera, junto a ella un cilindro recto, y un cono recto, todos ellos con el mismo radio y la misma altura R. R

R

R

R

R

R

Posteriormente, cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y estudió las secciones determinadas por ese plano en las tres figuras, dándose cuenta de que se cumplía la siguiente relación: Sección de la semiesfera = Sección del cilindro - Sección del cono R h

r

h

R

π r2

=

h

R

πR2

−

πh

h

2

π (R2 − h 2 )

Entonces, como los tres cuerpos tienen la misma altura: Vsemiesfera = V cilindro − Vcono A base ⋅ h 3 2 R 4 π ⋅R π R3 2 = π R 2 ⋅R − = π R3− = π R 3 ⇒ Vesfera = π R 3 3 3 3 3

Vsemiesfera = Abase ⋅ h − Vsemiesfera

R

Suponiendo la Tierra esférica y sabiendo que su diámetro mide 12756 km. Halla su volumen.

54. Un aparato de halterofilia está formado por dos esferas unidas por una barra cilíndrica. El diámetro de cada esfera es 40 cm. El diámetro de la barra es 4 cm y su longitud es 1 m. Halla el peso del aparato.

55. Cuatro esferas iguales son empaquetadas en un cubo de arista 10 cm como se muestra en la figura. Halla el volumen de la caja que no está ocupada por las esferas.

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 165

56. La superficie de la esfera. La superficie de una esfera no se puede desarrollar en el plano como ocurre con la superficie de los poliedros o de otros cuerpos redondos como el cilindro y el cono.

En la fotografía de la derecha aparece la famosa esfera bioclimática que se construyó en Sevilla con motivo de la Expo’92. En realidad no es una esfera, pero es una buena aproximación a ella. La superficie de esta esfera es casi perfecta y se aproxima bastante a la de una auténtica. Si unimos cada vértice de los triángulos con el centro de la esfera se forman un montón de pirámides triangulares cuyo volumen es también aproximadamente el volumen de la esfera. Vamos a llamar A1, A2, A3,..., An al área de las bases de las pirámides, y h a su altura.

El volumen de la esfera será aproximadamente: Vesfera = Vpirámide1 + Vpirámide2 + Vpirámide3 + ... + Vpirámiden =

A1 ⋅ h A 2 ⋅ h A 3 ⋅ h A ⋅h (A + A 2 + A 3 + ... + A n )⋅ h + + +... + n = 1 3 3 3 3 3

Si queremos hacer una buena aproximación tendremos que aumentar el número de pirámides en la esfera. De esta forma, a medida que el número de triángulos aumenta, la suma de las áreas de los triángulos se aproxima a la superficie esférica y la altura h se aproxima al radio de la circunferencia. Por lo tanto: Vesfera =

(A1 + A 2 + A 3 + ... + A n )⋅ h

y como Vesfera =

3

=

Superficie esférica ⋅R 3

4 π R 3, entonces: 3

Superficie esférica ⋅R 4 π R 3 = 3 3

Despeja la superficie esférica de la igualdad anterior y calcula la superficie de una esfera de 10 cm de radio.

57. Calcula la superficie terrestre.

166 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

58. Halla el área y el volumen de las siguientes esferas.

11 m

23 m

59. Una lámpara tiene forma esférica. La medida de su diámetro es 40 cm. Calcula la superficie de material necesario para construirla.

60. Halla el volumen de la viga de hierro de doble T que se muestra en la figura: 2 cm

3m

6 cm

61. Un camión transporta dos bobinas de metal como la de la figura. Halla el peso en kilogramos de la carga sabiendo que la densidad del hierro es 7’87 g/cm3. 8 cm 2m 12 cm

62. Un caracol se encuentra situado en la parte inferior (punto A) de un bidón cilíndrico de 1’3 m de altura y 80 cm de diámetro de la base. Se dirige al punto B, donde se encuentra un trozo de lechuga. ¿Cuál es el camino de longitud mínima que debe recorrer y cuánto mide?

B

1’3 m

A

0’8 m

63. Un paquete de palomitas tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular, el lado de la base mayor mide 15 cm, el lado de la base menor mide 10 cm y la apotema del tronco es igual a 20 cm. Calcula la cantidad de cartón necesario para construirla y el volumen.

64. Un vaso tiene forma de tronco de cono, el diámetro de la base mayor es igual a 7 cm y el radio de la base menor es igual a 2’5 cm. Si la generatriz mide 10 cm, ¿cuántos vasos se pueden llenar con una botella de 2 litros de refresco?

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 167

65. Una boya que se utiliza en el mar está formada por un cono de 180 cm de altura y una semiesfera de 25 cm de radio en la parte superior. Halla el volumen de la boya.

180 cm

66. Halla el volumen de la bobina del dibujo. 100 cm 80 cm 50 cm

20 cm

67. Se quiere construir un depósito metálico de forma cilíndrica y sin tapa. La base tiene que tener un diámetro de un metro y una altura de 75 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados de chapa necesitaremos? ¿Cuál será la capacidad del depósito en litros?

68. El diámetro de una naranja pelada, supuestamente esférica, es de 6 cm y se compone de 16 gajos iguales. Calcula el volumen de cada gajo.

69. Se ha construido un monumento en forma de pirámide regular recta de base cuadrada con una altura de 30 m. Si se han necesitado 2000 m3 de piedra, ¿podrías indicar el lado de la base de la pirámide?

70. En un cubo de 10 cm de arista lleno de agua se mete una bola de acero, lo más grande posible. ¿Qué cantidad de agua queda sin desparramar?

71. ¿Cuál es el peso de un contenedor de embalaje de 0’5 m x 0’5 m x 1’2 m, sabiendo que se ha construido con planchas de aglomerado que pesan a razón de 12 kg el m2.

168 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

72. Lugares geométricos. Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica. Veamos algunos ejemplos: 1. El lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los extremos de un segmento es la misma es: Mediatriz 1 2 A

C

B Segmento

Lugar geométrico = MEDIATRIZ

3 4

2. El lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los lados de un ángulo es la misma es: r V

P1

P2 bisectriz

P3

Lugar geométrico = BISECTRIZ P4

s

3. El lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto C es r es: Y P = (x,y) r

Lugar geométrico = CIRCUNFERENCIA

C = (a,b) O

X

a) Dibuja el lugar geométrico de los puntos que cumplen las siguientes condiciones: 1) 2) 3) 4)

Equidistan de los extremos de un segmento de 6 cm de longitud. Equidistan de un ángulo de 90º. Están a 2 cm del punto P. Equidistan de una recta.

b) Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres vértices de un triángulo equilátero.

COLEGIO VIZCAYA

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 169

73. La esfera terrestre. La Tierra es casi una esfera en la que podemos distinguir los siguientes elementos: Eje terrestre: Recta imaginaria alrededor de la cual gira. Polo Norte: Punto de corte de la esfera terrestre con su eje. Polo Sur: Punto de corte de la esfera terrestre con su eje. Ecuador: Circunferencia máxima perpendicular al eje. Divide a la esfera en dos hemisferios: Norte y Sur. Paralelos: Circunferencias paralelas al Ecuador. Meridianos: Circunferencias máximas que pasan por los polos. El meridiano más importante es el meridiano 0º o meridiano de Greenwich (Inglaterra). Cuando representamos un punto en un plano utilizamos las coordenadas cartesianas que las representamos en los ejes de coordenadas (eje de abscisas, x, y eje de ordenadas, y). Sin embargo si queremos representar un punto sobre la superficie terrestre necesitamos utilizar otro sistema de coordenadas: las coordenadas geográficas, que toman como sistema de referencia el Ecuador y el Meridiano 0º. Así, las coordenadas de un punto en la superficie terrestre vienen dadas por la latitud y la longitud: La Longitud (Horizontal) de un punto es el ángulo entre el Meridiano 0º y el meridiano que pasa por ese lugar. La Longitud se mide de 0º a 180º a partir del Meridiano 0º, distinguiendo entre Este y Oeste. La Latitud (Vertical) de un punto es el ángulo entre el Ecuador y el Paralelo que pasa por ese lugar. La Latitud se mide de 0º a 90º a partir del Ecuador, distinguiendo entre Norte y Sur. a) Halla la longitud del Ecuador terrestre sabiendo que el radio medio de la Tierra es de 6371 km. ¿Cuál es la distancia que se recorre sobre el Ecuador al avanzar 1º de longitud? b) Calcula la superficie y el volumen de la Tierra. c) Observa un mapa de la península ibérica y contesta a las siguientes preguntas: 1) 2) 3) 4) 5)

¿Entre qué paralelos y meridianos se extiende la península ibérica? Indica tres capitales de provincia con longitud este y tres con longitud oeste. Indica tres capitales de provincia con latitud norte superior a 42º. Indica tres capitales de provincia con latitud norte inferior a 40º. Busca en el mapa las ciudades cuyas coordenadas geográficas son: 2º 28' O 36º 50', 5º 42' O 43º 32' N, 2º 11' E 41º 23' N, 3º 41' O 40º 24' N

d) Con ayuda de un atlas busca las ciudades cuyas coordenadas geográficas son las siguientes: 1) 2) 3) 4)

23º 40º 33º 22º

N, 82º 30' O 45' N, 74º O 32' S, 151º 49' E 54' S, 43º 10' O

e) Las coordenadas de la ciudad A son 20º E 30º N, y las de la ciudad B son 50º O 25º S. ¿Cuántos grados de longitud y latitud separan a las ciudades A y B?

170 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Aunque las primeras noticias del uso de las matemáticas, y en particular de la geometría, en la historia se remontan a la antigua Babilonia y Egipto, se considera a Thales de Mileto (624 a.C. - 546 a.C.) como el padre de las matemáticas. Cabe destacar que en la época de Thales y de su discípulo Pitágoras (580 a.C. - 520 a.C.) se conocian los elementos primarios del álgebra geométrica. A partir de segmentos de rectas, se definieron todas las operaciones del cálculo, utilizando como únicas herramientas la regla y el compás. De esta manera, dados dos segmentos de longitudes a y b: a b

Su suma a + b se calculaba de la siguiente forma: a

b a+b

Y su resta b - a: b

a

b-a Para multiplicar a · b, utilizaban el conocimo Teorema de Thales:

x a x = 1 b

⇒

x = a ⋅b

a

a

b

b

1

Y para dividir bastaba con cambiar x por b:

b a b = 1 x

⇒

x =b : a

a

1

COLEGIO VIZCAYA

x

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 171

Pero también eran capaces de calcular raíces cuadradas. Para ello utilizaban lo que se conoce como el Teorema de la Altura. Dado el triángulo: α

h α

a

b

por el Teorema de Thales:

h

h b = a h

a α

h2 = a ⋅ b

⇒

(Teorema de la altura)

α

b

h

Entonces lo que hacían para calcular por ejemplo a era trazar una circunferencia de diámetro 1 + a:

x

⇒

x= a

x 2 = 1⋅ 5

⇒

x= 5

a

1 Es decir, si queremos calcular la raíz de

5:

5

x

1

x 2 = 1⋅ a

5

Además de estos cálculos también calculaban igualdades notables y resolvían ecuaciones de primer grado utilizando únicamente regla y compás.

172 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

Calcula, utilizando únicamente como herramientas una regla y un compás, las siguientes operaciones: a) a + b b) a - b c) a · b d) a

COLEGIO VIZCAYA

a

b

FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 173

PARA APRENDER MÁS 1. La Luna tiene aproximadamente 1740 km de radio. ¿Cuánto mide su superficie? 2. Calcula el volumen del Sol sabiendo que su diámetro mide aproximadamente 1392044 km. 3. ¿Cuál es el peso del agua contenida en un vaso cilíndrico de hojalata sabiendo que el desarrollo de su superficie lateral es un cuadrado de 1 dm de lado. 4. Calcula el peso de las siguientes figuras: 6 cm

6 cm

6 cm

3 cm

3 cm

8 cm

27 cm

8 cm

5. Calcula la superficie del triángulo coloreado de la figura.

10 cm

6. Se ha construido un tubo cilíndrico soldando, por los lados más cortos, un rectángulo de chapa de 20 cm de largo por 15 cm de ancho. ¿Cuál es el diámetro del tubo? ¿Y su volumen? 7. Al introducir una piedra en un recipiente cilíndrico, de 20 cm de diámetro, la altura del agua que contiene sube 5 cm. Calcula el volumen de la piedra. 8. Una empresa de carburantes tiene cuatro tanques esféricos de 20 m de diámetro y seis tanques cilíndricos de 20 m de altura y 10 m de radio de la base. Para evitar la corrosión, se contrata a un equipo de operarios que cobra, por pintar los depósitos, 12 euros el metro cuadrado. Calcula el coste total de la operacioón. 9. Se introduce una bola de piedra de 12 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 12 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula la cantidad de agua derramada y la altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola. 10. Deseamos pintar con oro una cúpula de 5 m de altura y 8 m de radio de la base. Calcula el coste de la obra si el m2 cuesta 360 euros. 11. Un bidón cilíndrico de 30 cm de diámetro pesa, vacío, 5 kg, y lleno de agua, 27’608 kg. Calcula la altura del bidón. 12. El ayuntamiento de una ciudad ha encargado la construcción de un obelisco formado por un cilindro y un cono de 5 m de radio, ambos de 15 m de altura. El presupuesto con el cuenta el ayuntamiento es de 6 millones de euros. Como el obelisco les parece pequeño, les han mandado que dupliquen el radio de la base del cilindro. ¿Cuánto cobrará ahora por todo el obelisco si el precio depende de la cantidad de piedra empleada y el metro cúbico de roca colocada cuesta 300 euros? ¿Tendrán suficiente con el presupuesto?

174 FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

COLEGIO VIZCAYA

Muchas de las figuras del plano o del espacio pueden considerarse como partes repetidas de una figura dada. De modo que si realizamos una, las demás se pueden obtener a partir de la figura modelo. Ejemplo de esto serían los mosaicos, cenefas y frisos que has podido ver en muchos edificios.

También en la naturaleza gran parte de los seres vivos presentan simetría, así como edificios, esculturas y pinturas.

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 175

PARA EMPEZAR 1.

Representa sobre el plano los siguientes puntos: (-4,2), (-3,0), (3,-3), (-4,2), (4,5), (0,-2), (-4,-5), (0,5), (3,-5), (2,-3)

2.

Dibuja los siguientes elementos ayudándote de una regla, un compás y un transportador de ángulos: a) Un ángulo de 25º. b) Un ángulo de 75º. c) Una recta perpendicular a un segmento por su punto medio (mediatriz).

PARA APRENDER 1. MOVIMIENTOS EN EL PLANO. Cuando transformamos una figura geométrica en otra puede que se conserven la forma y el tamaño, o por el contrario, la figura que se obtiene puede que se desfigure.

Un movimiento es una transformación del plano en la cual todas las figuras mantienen su forma y tamaño. Los movimientos más importantes son las traslaciones, los giros y las simetrías.

2. TRASLACIONES. Vectores. Un avión se desplaza desde Ávila al aeropuerto de Bilbao:

B A

B A

Para representar la trayectoria del avión resulta muy cómodo dibujar un segmento que una ambas ciudades. Si además, queremos indicar que nuestra trayectoria va desde Ávila a Bilbao y no al revés, le asignaremos una orientación al segmento. Para ello utilizaremos una flecha.

176 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

uuur Un vector fijo AB es un segmento orientado (“flecha”) que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. uuur r Los vectores se representan por AB , o por v . Los elementos de un vector son: - Módulo: longitud del segmento AB. - Dirección: la de la recta que pasa por A y B y la de todas sus paralelas. - Sentido: el recorrido de la recta cuando vamos de A a B. Para cada recta hay dos sentidos, el que va de A a B y el que va de B a A. uuur En el ejemplo anterior, el módulo del vector AB sería 315 km, que es la distancia que hay en línea recta entre Ávila y Bilbao, y el sentido, el que va desde Ávila a Bilbao. El sentido contrario sería el que va desde Bilbao a Ávila, aunque sería la misma dirección que desde Ávila a Bilbao.

Para poder trabajar con vectores vamos a tener que representarlos sobre los ejes de coordenadas. Observa el siguiente vector: Si queremos desplazarnos del punto A hasta el punto B a lo largo del plano, tenemos que desplazarnos 3 cuadrículas en horizontal y 2 cuadrículas en vertical. B A

A este par de números (3,2) se les llama componentes del vector y uuur escribimos: AB = (3, 2 ) Fíjate que B - A = (6,3) - (3,1) = (6 - 3,3 - 1) = (3,2)

Observa que las componentes de los siguientes vectores son todas ellas (3,2). ¿Cuánto mide la longitud de cualquiera de los vectores del dibujo? Explica cómo lo has calculado.

PARA PRACTICAR 3.

uuur uuur uuur Dibuja en un papel cuadriculado los vectores CD, MN, KH , siendo C(1,2), D(4,6), M(5,3), N(8,7), H(-4,2) y K(-1,6). Calcula las componentes de cada vector y su módulo.

4.

uuur uuur Dados los puntos A(3,1) y B(5,4) escribe las coordenadas de los vectores AB y BA . ¿Cuánto mide el módulo de los dos vectores?

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 177

PARA APRENDER Traslaciones en el plano. Observa el siguiente dibujo y contesta a las preguntas: r a) ¿Cuáles son las componentes del vector v ? A este vector se le llama vector guía. B’ B

r v

c) ¿Y para ir de B a B’? ¿Y de C a C’?

A’

A

b) ¿Para ir de A a A’, cuántas unidades hay que trasladarse en horizontal y en vertical?

C’ C

d) ¿Cuánto miden los lados del triángulo de la izquierda? ¿Y el de la derecha? e) ¿Y los ángulos?

r Una traslación de vector guía v = (a, b ) , es un movimiento que transforma un punto P = (x,y) del plano, en otro punto P’ = (x’,y’) del plano tal que: r uuur x ' = x + a⎫ ⎬, es decir, los vectores v y PP ' son paralelos y tienen la misma longitud y sentido. y' = y +b⎭ Las traslaciones conservan los ángulos y las distancias.

PARA PRACTICAR 5.

uuur uuur Halla las coordenadas de los vectores AB y CD determinados por los puntos A(1,-2), B(3,8), C(-3,5) y D(-1,15).

6.

uuur El vector AB tiene por componentes (4,0) y las coordenadas del punto B son (1,2). Halla las coordenadas de A.

7.

uuur Las coordenadas de un punto A son (5,3) y las del vector AB son (4,1). Halla las coordenadas del punto B.

178 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

8.

uuur uuur Comprueba si los vectores AB y CD tienen la misma dirección y sentido, siendo A(1,7), B(3,1), C(-2,5) y D(0,7).

9.

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son C(7,4). uuurA(1,5), uuur uuuB(3,1), r uuur uuur uuur Halla las coordenadas de los siguientes vectores: AB, AC, BC, BA, CA, CB.

10.

¿Cuál es el vector guía para la siguiente traslación? Dibuja la figura trasladada.

11.

ur Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía v . ur v ur v

PARA APRENDER 3. GIROS EN EL PLANO. Observa el siguiente dibujo y contesta a las preguntas:

A’ C’ B’ C’

C B’ C A

B

A’ A

B

a) ¿Cómo son los segmentos AB y A'B' en ambas figuras? b) ¿Ocurre lo mismo con el resto de segmentos? c) ¿Y que ocurre con los ángulos de los triángulos? d) ¿Dónde está el centro de giro en el triángulo de la izquierda? ¿Y en el de la derecha? e) ¿Cuántos grados hemos girado cada figura? COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 179

En todo giro tenemos que indicar el punto alrededor del cual se gira la figura (centro de giro) y la amplitud del ángulo con que se gira (ángulo de giro).

Un giro de centro O y ángulo de giro α , es un movimiento que transforma un punto P del plano en otro punto P’ del plano tal que: P’ uuur uuuur OP = OP ' ⎪⎫ ⎬ POP ' = α ⎪⎭ O P Los giros conservan los ángulos y las distancias. El centro de un giro es un punto que puede pertenecer a la figura o ser exterior a ella.

¿Cómo dibujar un punto mediante un giro? P’

α

P

O

P

O

Traza un arco con centro en O de radio OP.

Tomando como lado OP construye el ángulo α con el transportador.

P

α O

El punto de intersección es el punto P’.

PARA PRACTICAR 12.

Dibuja el punto P(3,1) en una hoja cuadriculada y gíralo primero respecto del origen de coordenadas con un ángulo de 90º y sucesivamente con un ángulo de 180º.

13.

Gira las siguientes figuras según se indica. O

O

O 90º

-90º

180º

14.

Dibuja un cuadrado y, con centro en el centro del cuadrado, aplícale un giro de 90º.

15.

Dibuja un cuadrado y aplica sobre él un giro de centro O(0,0) y ángulo 90º. Después aplícale otro giro de centro O(0,0) y ángulo 180º.

16.

Aplica un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo 90º al triángulo de vértices A(3,2), B(5,2) y C(3,4).

17.

Dibuja el transformado de la figura según un giro de 90º alrededor del punto A.

A

180 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

PARA APRENDER 4. SIMETRÍAS. Simetría axial. Observa el siguiente dibujo y contesta a las preguntas: a) ¿Cómo son los segmentos AA', BB', CC' respecto del eje de ordenadas?

r B’

B

b) ¿Cuál es la distancia de los puntos A y A’ al eje de ordenadas? C’

C

c) ¿Y de los puntos B y B’? ¿Y de C y C’? A’

A

d) ¿Los triángulos, tienen las mismas dimensiones?

Dada una recta r, se llama simetría axial, al movimiento que transforma un punto P del plano en otro punto P’ del plano tal que r es la mediatriz del segmento PP'. Las simetrías axiales conservan las distancias y los ángulos.

Simetría central. Observa el siguiente dibujo y contesta a las preguntas: a) ¿Cuál es la distancia del centro O a los puntos A y A’? A’

C

c) ¿Y a los puntos B y B’? B’

O

d) ¿Y a los puntos C y C’?

B

A

C’

e) ¿Los triángulos, tienen las mismas dimensiones?

Se dice que dos puntos del plano P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando O es el punto medio del segmento PP'. La simetría respecto de un punto se llama simetría central y es un movimiento porque conserva las distancias y los ángulos.

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 181

PARA PRACTICAR 18.

Obtén la figura simétrica de la figura F de eje e y después transfórmala por simetría respecto del eje e’. e

e’

F

19.

Calcula el triángulo simétrico del triángulo A(5,1), B(-2,-2) y C(4,0). a) Respecto de la simetría cuyo eje es el de abscisas OX. b) Respecto de la simetría cuyo eje es el de ordenadas OY.

20.

Dado el triángulo de vértices A(-3,2), B(6,-1) y C(8,5), halla los triángulos simétricos respecto del eje OX y respecto del eje OY.

21.

Halla el triángulo simétrico respecto del origen de coordenadas del triángulo de la actividad anterior.

22.

Halla las coordenadas de los puntos simétricos de A(1,-2), B(3,8), C(-3,5) y D(-1,15) respecto de: a) El eje de abscisas. b) El eje de ordenadas. c) El origen de coordenadas.

23.

Dibuja las figuras simétricas de las siguientes respecto del eje de simetría e.

e

e

182 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

PARA APRENDER 5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. La composición de movimientos adecuadamente, puede crear configuraciones geométricas que resultan muy interesantes. Observa los siguientes frisos o cenefas:

En todos ellos hay una figura que se repite mediante traslaciones sucesivas formando unas cenefas. Fíjate en estos rosetones. El motivo que se repite lo hace mediante giros.

También en los mosaicos puedes encontrar figuras que se repiten mediante diferentes movimientos.

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 183

PARA PRACTICAR 24.

ur Obtén la figura que resulta de aplicar a la figura de la imagen una traslación de vector v , después una simetría de eje e y finalmente un giro de centro O y ángulo 90º.

e

ur v O

25.

26.

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(2,2), B(5,2) y C(3,4). r a) Aplica una traslación de vector guía v = (-4,2) . b) A la figura que has obtenido, aplícale un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo 90º. c) Calcula la figura simétrica a la figura que has obtenido en b) con respecto al eje OY. ur T es una traslación de vector guía v = (-2, 4) , G es un giro de centro (0,0) y ángulo -90º. Los puntos A(3,0), B(7,0) y C(5,-2) son los vértices de un triángulo.

a) Transforma el triángulo mediante T y después mediante G. b) Transforma el triángulo mediante G y después mediante T.

184 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS LOS MOSAICOS DE LA ALHAMBRA. El uso de las figuras geométricas en el arte es algo común en todas las civilizaciones. Pero una que entre todas destaca es la civilización árabe. Los árabes perfeccionaron el arte geométrico hasta niveles nunca alcanzados. Su apogeo coincide con el esplendor de la dinastía Nazarí en el Reino de Granada, y ejemplo de ello es la Alhambra y la decoración de sus techos y paredes. Los mosaicos de la Alhambra no reproducen ninguna escena o figura humana, como se han representado en los mosaicos de otras civilizaciones, sino que repiten un patrón geométrico. Muchos de los mosaicos de la Alhambra se construyen a partir de un cuadrado del que se obtiene otro polígono con el mismo área recortando regiones y recolocándolas como puedes observar en los siguientes ejemplos:

Otros mosaicos se han creado mediante traslaciones, giros y simetrías de un módulo básico como en las figuras siguientes:

El matemático ruso Fedorov demostró en el siglo XIX que sólo hay 17 tipos de mosaicos que se pueden formar mediante traslaciones, giros y simetrías. Pero sorprendentemente los árabes en los siglos XIII y XIV ya conocían este resultado sin quizás saberlo, ya que en la Alhambra están representados estos 17 tipos de mosaicos.

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 185

Escher y la Alhambra. M. C. Escher (1898-1972) fué un artista holandés reconocido por sus dibujos acerca de ilusiones espaciales, edificios imposibles y patrones geométricos sobre la partición o división del plano (teselaciones). Aún sin ser matemático, sus obras muestran un gran interés y una profunda comprensión de la geometría. Uno de los temas que más le apasionó fue la idea de rellenar el plano con un mismo motivo y esto le llevó a visitar la Alhambra en varias ocasiones, consiguiendo descubrir los 17 grupos de mosaicos que figuran en ella. A diferencia de los mosaicos de la Alhambra, Escher usa imágenes de seres vivos y trabaja con otros conceptos como el del infinito. a) Busca en Internet información sobre la obra de Escher y sus métodos para construir mosaicos. b) A partir de un cuadrado construye teselas como la de la figura y rellena el plano con ellas. (Observa que su área coincide con la del cuadrado)

186 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

PARA ENTRENAR 1. Aplica sucesivamente las traslaciones de vectores guía A(0,0), B(4,0) y C(4,4).

r ur v = (5, −2 ) y w = (1, 3 ) al triángulo de vértices

r 2. En una traslación de vector guía v = (2,1) se sabe que el transformado del punto C es el punto C’(7,4). Halla las coordenadas del punto C.

3. ¿Cuáles son las coordenadas del vector guía de la traslación que hace corresponder al punto A(1,2) el punto A’(12,8)?

4. Dada la siguiente figura, determina los triángulos que se obtienen al aplicarle sucesivamente un giro de centro O y de amplitud 60º, y un giro de centro O’ y amplitud 120º.

O’

O

5. Dibuja el segmento de extremos A(5,2) y B(8,1). Aplica un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo 90º. 6. Dibuja un hexágono regular y transfórmalo mediante un giro de centro el origen de coordenadas con un ángulo de amplitud 60º. 7. En los siguientes mosaicos aísla un módulo básico, es decir, el motivo unidad que genera todo el mosaico al copiarse. Una vez aislado señala sus simetrías.

8. Dibuja el triángulo simétrico del triángulo de vértices A(-8,-1), B(-5,2) y O(0,0) respecto del origen de coordenadas. 9. Halla las coordenadas de los puntos simétricos de A(1,2), B(3,8) y C(3,5) respecto del eje de simetría paralelo al eje de abscisas y que pasa por el punto P(1,1).

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 187

10. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3,5), B(5,7) y C(5,2). r Halla los rvértices del triángulo obtenido aplicando sucesivamente las traslaciones de vectores guía u = (6, 2 ) y v = (7, −2 ). 11. Aplica un giro de ángulo -90º y centro el origen de coordenadas a los puntos M(5,4), N(2,3) y R(0,4). 12. Halla las coordenadas de los puntos simétricos de P(1,-2), Q(3,8) y R(-3,5) respecto del centro de simetría C(1,1). 13. Eider y Aitor están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebote en la banda MQ y golpee a la bola B. M Q B

A

r 14. Dada la traslación de vector guía v = (5, 4 ), ¿cuáles son las coordenadas del punto P sabiendo que P’ tiene por coordenadas (6,-7)?

15. Aplica un giro de centro O(0,0) y ángulo 37º al segmento determinado por A(3,2) y B(6,4). r 16. Traslada el triángulo ABC según el vector guía v . r v B C A

17. Aplica al pentágono de la figura sucesivas simetrías de ejes r y s. Escribe también la traslación equivalente a la composición de dichas simetrías.

r

s

188 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

r 18. Construye la figura trasladada de la siguiente mediante el vector guía v .

r v

19. Aplica un giro de centro (0,0) y ángulo 130º al cuadrado determinado por A(2,2), B(7,2), C(2,7) y D(7,7). Después aplícale otro giro de centro (0,0) y ángulo - 40º. 20. Construye la figura simétrica de las siguientes respecto del eje e.

e

e

21. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en las bandas QP y PN, golpee después a la bola B. M

Q

A

B N

P

22. Una traslación transforma el punto P(2,-3) en otro punto P’(-5,1). Halla el vector guía de la traslación.

23. Realiza el giro que se indica en las siguientes figuras. O

O’ 180º

90º

24. Considera la simetría de eje la recta y = x. Dibuja los transformados mediante esta simetría de: a) Los puntos A(3,1), B(4,0), C(0,4) y D(5,5). b) El eje X. c) El eje Y. d) La circunferencia de centro (1,4) y radio 2. e) La circunferencia de centro (3,3) y radio 5.

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 189

25. A y B son dos bolas de billar. Busca el camino que debe llevar la bola A para que golpee la banda inferior y después la bola B. B

A

r 26. En una traslación de vector guía u = (2,1) se transforma elr punto P(3,6) en el punto P’ y a continuación se transforma P’ mediante una traslación de vector guía v = (−2,1) obteniendo el punto P’’. Halla el punto P’’ y el vector guía que transforma P en P’’.

27. Aplica un giro de centro O(4,3) y ángulo -25º al segmento determinado por A(3,3) y B(6,3). 28. Dibuja unos ejes de coordenadas. Traza con compás una circunferencia de centro C(3,4) y radio 5. a) Comprueba que la circunferencia pasa por O(0,0), A(6,8) r y B(3,-1). b) Traslada los puntos C, O, A y B según el vector guía u = (6, −2 ). c) Comprueba trazando una circunferencia de centro C’ y radio 5 que pasa por A’, B’ y O’. 29. Aplica a la figura sucesivas traslaciones de ejes r y s. Escribe también el giro equivalente a la composición de dichas simetrías. r s

r 30. Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía v .

r v

r v r v

31. Dibuja un hexágono regular de vértices ABCDEF y aplícale un giro de centro el del hexágono y amplitud 60º. 32. Halla las coordenadas de los puntos simétricos de los puntos A(2,-3), B(5,4) y C(6,3) respecto de (0,0). r 33. En una traslación de vector guía v = (11, 0 ), halla los vértices del triángulo trasladado del triángulo de vértices A(-8,-1), B(-5,2) y O(0,0).

190 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA

PARA APRENDER MÁS 1. Una traslación hace corresponder al punto A(3,7) el punto A’(9,-10). ¿Cuáles son las coordenadas del vector guía de esta traslación? 2. Haciendo centro en O, y con ángulo señalado en cada caso, gira las siguientes figuras. O (-90º) O (135º)

3. Los puntos A(-10,7), B(-3,8), C(2,3) y (-5,2) son los vértices de un rombo. Calcula las coordenadas de los vértices del rombo transformado mediante: a) La simetría de eje OX. b) La simetría de eje OY. c) La simetría que tiene por eje la recta que pasa por los puntos M(0,-3) y N(3,6). 4. Dibuja las figuras transformadas del triángulo ABC en las siguientes transformaciones: a) Una simetría de eje e. r b) Una traslación de vector v. c) Un giro de centro O y ángulo -45º.

C

e

B

rA v

O

5. En las siguientes figuras aparecen varias cenefas. Todas ellas se pueden construir mediante traslaciones. ¿Cuál es la figura mínima que da lugar a cada una de ellas?

6. Aplica un giro de centro O(0,0) y ángulo 45º al triángulo determinado por A(5,0), B(0,3) y O. 7. Dada la figura F: ur a) Sométela a una traslación de vector t1 . ur b) Traslada la figura obtenida, F’, mediante t 2 . c) Determina el vector de una traslación que transforme F en F’’.

ur t2

F

ur t1

8. Construye la figura simétrica de la siguiente respecto del eje e. e

r 9. En una traslación de vector guía v = (−5, 3 ) halla los transformados de los vértices de un triángulo de coordenadas A(5,6), B(7,-2) y C(-1,3). r 10. En una traslación de vector guía v = (−4, 9 ) se sabe que el transformado del punto A es el punto A’(3,0). Halla las coordenadas del punto A.

11. Aplica un giro de centro O(0,0) y ángulo 60º al triángulo de vértices A(2,0), B(0,6) y O.

COLEGIO VIZCAYA

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 191

12. Haciendo centro en O, y con el ángulo indicado en cada caso, gira las siguientes figuras. O (-90º)

O (180º) O (270º)

13. Construye la figura simétrica de las siguientes respecto del punto O.

O

O

14. Construye la figura simétrica de cada una de las siguientes respecto del punto O.

O

O O

15. Halla la figura trasladada de la siguiente en una traslación de vector guía (3,-2). C

A

B

16. Construye la figura simétrica de cada una de las siguientes respecto del eje e. e

e

17. Dada la circunferencia de centro C(-4,4) y radio 3, aplícale la traslación de vector (5,-2). ¿Qué circunferencia se obtiene? 18. Dibuja un triángulo equilátero de vértices ABC, aplícale un giro de centro A y ángulo 120º. Aplica a la figura resultante un nuevo giro de 60º con centro en B’. ¿Qué figura se obtiene uniendo las tres? 19. Las coordenadas de los vértices de un cuadrado son A(1,1), B(5,1), C(5,5) y D(1,5). Halla las coordenadas de los vértices del cuadrado simétrico respecto del eje OX. 20. En una traslación de vector guía (3,7), el punto A se transforma en el punto A’(-2,-9). ¿Cuáles son las coordenadas de A?

192 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

COLEGIO VIZCAYA