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Segundo parcial. Es una prueba con materiales a la vista ADVERTENCIA: una respuesta sin fundamentación o explicación podrá ser calificada como insuficiente. Ejercicio 1 Un gobierno fija la tasa de imposición al capital antes que un inversor decida su inversión. El gobierno tiene una mala estrategia de comunicación y el inversor no se entera antes de resolver la inversión de cuál de entre dos posibles es la tasa de impuestos elegida. El juego puede representarse con la siguiente forma extensiva: 500 10%

I 1.000

G 500 20%

(60,9)

(80,10) (70,8)

I (100,7) 1.000

1.1. Identifique las estrategias de ambos jugadores. Explique. 1.2. Escriba la forma normal del juego. 1.3. Identifique el o los equilibrios de Nash (en estrategias puras). Explique. 1.4. ¿Existe alguna “amenaza vacía” en el o los equilibrios de Nash que identificó? En otros términos, ¿se puede decir que algún equilibrio de Nash de este juego no es perfecto por subjuegos? Fundamente su respuesta. 1.5. ¿Cómo afecta el problema de comunicación a los jugadores? Específicamente, diga si la información imperfecta (i) reduce el bienestar del gobierno, pero aumenta el del inversor; (ii) reduce el bienestar del gobierno y del inversor; (iii) aumenta el bienestar del gobierno y del inversor; (iv) aumenta el bienestar del gobierno y reduce el del inversor. Ayuda: para responder a esta pregunta, identifique el resultado por retroinducción del juego con información perfecta (ver el segundo juego de ejercicios). Fundamente su respuesta. Ejercicio 2 Dos pescadores deciden separadamente si llevar uno o dos botes a un área de pesca común. La forma normal del juego es: Pescador 2 Pescador 1

1 bote 5,5 6,3

1 bote 2 botes

1

2 botes 3,6 4,4

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Ambos pescadores piensan estar indefinidamente pescando en la misma área. Por lo tanto, representamos la situación como un juego repetido infinitas veces donde la forma normal anterior representa al juego de etapa. 2.1. Describa un par de estrategias “gatillo” para este juego. 2.2. ¿Pueden las estrategias “gatillo” que identificó evitar la tragedia de los comunes? En otros términos, ¿pueden las estrategias gatillo evitar que los pescadores sobreexploten el recurso pesquero común? Si su respuesta es afirmativa, identifique los valores del factor de descuento temporal para los que las estrategias gatillo conforman un equilibrio perfecto por subjuegos sin sobre-explotación del recurso natural. Si su respuesta es negativa, explique por qué no puede evitarse la sobre-explotación del recurso. Ejercicio 3 Considere un juego con la siguiente forma extensiva:

(

(

) u

(

)

)

u L

R

J2

0,5

d

d

(

)

N (

)

0,5

u

(

)

(

)

J2 d

d

)

u

R

L

(

3.1. ¿Qué significa que exista un equilibrio agrupador y qué implica para el jugador 2? ¿Existen equilibrios agrupadores en este juego? Si su respuesta es afirmativa identifíquelos y explique en caso de descartar algún equilibrio. 3.2. ¿Qué significa que exista un equilibrio separador y qué implica para el jugador 2? ¿Existen equilibrios separadores en este juego? Si su respuesta es afirmativa identifíquelos y explique en caso de descartar algún equilibrio.

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Pauta de respuesta 1.1. Identifique las estrategias de ambos jugadores. Explique. En este ejemplo, las estrategias coinciden con las acciones. El gobierno sólo puede elegir las tasas impositivas 10 y 20% y el inversor los niveles de inversión 400 y 1.000. Debido a la ignorancia sobre en qué nodo se encuentra, el inversor no puede elegir una acción condicional a la jugada previa del gobierno. Este juego difiere en este sentido del juego del inversor que se plantea en el segundo juego de ejercicios del curso. 1.2. Escriba la forma normal del juego. La forma normal es una representación del juego que contiene tres elementos: (i) la lista de jugadores, (ii) la lista de estrategias y (iii) los pagos. Los tres elementos están representaos en la siguiente matriz: Inversor Gobierno

10% 20%

500 60,9 70,8

1.000 80,10 100,7

1.3. Identifique el o los equilibrios de Nash (en estrategias puras). Explique. Identifico las mejores respuestas subrayando los pagos del jugador correspondiente. Inversor Gobierno

10% 20%

500 60,9 70,8

1.000 80,10 100,7

Cuando el gobierno elige 10%, el inversor obtiene 10 si elige 1.000 y 9 si obtiene 500. Por lo tanto, su mejor respuesta ante una jugada 10% del gobierno es elegir una inversión igual a 1.000. Cuando el gobierno elige 20%, la mejor respuesta del inversor es 500, ya que con esa jugada obtiene 8 mientras que invirtiendo 1.000 obtendría sólo 7. La mejor respuesta del gobierno es 20%, con independencia de si el inversor elige 500 o 1.000. Uniendo estos resultados, llegamos a que hay un único par de mejores respuestas en este juego, es decir un único equilibrio de Nash: el gobierno juega 20% y el inversor 500. Nota: Algunos estudiantes dieron respuestas como la siguiente: “hay un solo equilibrio de Nash (G 20%, I 500)”, sin explicar por qué eso es un equilibrio de Nash. Tal como se advirtió expresamente en la letra del examen, una respuesta como esta fue calificada como insuficiente ya que carece de fundamentación. 1.4. ¿Existe alguna “amenaza vacía” en el o los equilibrios de Nash que identificó? En otros términos, ¿se puede decir que algún equilibrio de Nash de este juego no es perfecto por subjuegos? Fundamente su respuesta.

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No. El único equilibrio de Nash que encontramos es también perfecto por subjuegos. Es un ejemplo trivial, porque el juego tiene un único subjuego, que es el mismo juego completo (en otros términos, no hay un subjuego “propio”). 1.5. ¿Cómo afecta el problema de comunicación a los jugadores? Específicamente, diga si la información imperfecta (i) reduce el bienestar del gobierno, pero aumenta el del inversor; (ii) reduce el bienestar del gobierno y del inversor; (iii) aumenta el bienestar del gobierno y del inversor; (iv) aumenta el bienestar del gobierno y reduce el del inversor. Ayuda: para responder a esta pregunta, identifique el resultado por retroinducción del juego con información perfecta (ver el segundo juego de ejercicios). Primero recordamos el resultado que obtuvimos en el ejercicio mencionado del segundo juego de ejercicios: el inversor elige 1.000 y el gobierno 10%. Llegamos a ese resultado aplicando retroinducción. En la segunda etapa, el inversor elige 1.000 si el gobierno eligió antes 10% y elige 500 si el gobierno eligió antes 20%. Sabiendo eso, el gobierno en la primera etapa elige 10%, ya que de esa manera obtiene 80 (dado que sabe que el inversor elegirá después 1.000) y si eligiera 20% obtendría sólo 70 (dado que sabe que el inversor elegiría después 500). En resumen, en el resultado por retroinducción del juego con información perfecta el gobierno obtiene un pago de 80 y el inversor de 10. En el juego con información imperfecta, identificamos un equilibrio de Nash en que el gobierno obtiene 70 y el inversor 8. Es inmediato entonces que la mala comunicación daña a las dos partes en este ejemplo: el gobierno obtiene 70 en lugar de 80 y el inversor obtiene 8 en lugar de 10. 2.1. Describa un par de estrategias “gatillo” para este juego. a) En la primera etapa: usar un solo bote. b) En las siguientes etapas:  Usar un solo bote, si nadie usó dos botes antes.  Usar dos botes en el caso contrario. 2.2. ¿Pueden las estrategias “gatillo” que identificó evitar la tragedia de los comunes? En otros términos, ¿pueden las estrategias gatillo evitar que los pescadores sobreexploten el recurso pesquero común? Si su respuesta es afirmativa, identifique los valores del factor de descuento temporal para los que las estrategias gatillo conforman un equilibrio perfecto por subjuegos sin sobre-explotación del recurso natural. Si su respuesta es negativa, explique por qué no puede evitarse la sobre-explotación del recurso. Sí. Las estrategias “gatillo” pueden evitar la tragedia de los comunes, si el factor de descuento es suficientemente alto. Si ambos pescadores juegan estas estrategias, siempre llevarán 1 bote, con lo cual se evita la sobre-explotación del recurso pesquero. Pero hay que mostrar que para los pescadores es óptimo jugar esta estrategia, si piensan que los demás jugarán esta estrategia. Veremos que esto se verifica cuando el factor de descuento es suficientemente alto.

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Muestro primero que el par de estrategias gatillo es un equilibrio de Nash del juego completo, si el factor de descuento es superior a un cierto umbral. Se trata de ver que cada pescador prefiere seguir la estrategia gatillo si el otro sigue esa estrategia. Supongo entonces que el pescador 2 sigue la estrategia gatillo y muestro que es óptimo para el pescador 1 adoptar una estrategia gatillo. Como el juego es simétrico, el argumento vale en el otro sentido también. Si en alguna etapa del juego alguien lleva dos botes, el pescador 1 debe esperar que en lo sucesivo el pescador 2 lleve dos botes. Pero si espera que 2 lleve dos botes, es óptimo para él también llevar 2 botes. Es entonces óptimo para el pescador 1 implementar las acciones de “castigo” que están implícitas en la estrategia gatillo. La “amenaza” de llevar 2 botes si el otro se aparta es entonces una amenaza creíble. Al inicio del juego y en cualquier otro punto en que antes ambos pescadores eligieron siempre 1 bote, el pescador 1 debe esperar que el pescador 2 elija llevar sólo 1 bote, ya que eso es lo que indica la estrategia gatillo que suponemos que adoptó el pescador 2. A su vez, el pescador 1 puede hacer dos cosas: llevar 1 o 2 botes. Si “se porta bien” y lleva 1 bote, espera obtener: (

)

Si decide llevar 2 botes, obtiene un mejor resultado inmediato y un peor resultado posteriormente: (

)

El pescador 1 prefiere entonces llevar un solo bote –esto es, hacer lo que dice la estrategia gatillo–, si se cumple que:

O lo que es lo mismo, si: Por lo tanto, si el factor de descuento es mayor a un medio, la estrategia gatillo es la mejor respuesta de cada pescador frente a la estrategia gatillo del otro. En consecuencia, un par de estrategias gatillo constituye un equilibrio de Nash del juego completo. Sólo falta mostrar que el par de estrategias gatillo es también un equilibrio de Nash en todos los subjuegos. Esto es obvio en el caso de los subjuegos que se inician en el sendero en que ambos pescadores han llevado un bote siempre, porque estos subjuegos son idénticos al juego completo y ya vimos que las estrategias gatillo son un equilibrio de Nash de ese juego. ¿Qué ocurre en los subjuegos que siguen a un desvío? Es decir, ¿qué pasa si algún jugador llevó 2 botes en algún momento? Sigamos mirando primero qué es lo mejor que el pescador 1 puede hacer, bajo el supuesto de que el pescador 2 adopta la estrategia gatillo. El pescador 1 sabe que el 2 va a llevar 2 botes en el futuro, ya que eso es lo que prescribe la estrategia gatillo después de un desvío. Ante esto, lo mejor que puede hacer el pescador 1 es llevar él también 2 botes siempre. Las estrategias gatillo son entonces un equilibrio de Nash también en los subjuegos que tienen lugar después de un desvío. Es óptimo para el pescador cumplir con la amenaza implícita en la estrategia gatillo. Estas estrategias conforman entonces un equilibrio perfecto por subjuegos. 5

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3.1. Que exista un equilibrio agrupador significa que ambos tipos de jugador 1 realizan la misma acción. Esto implica que el jugador 2 no pueda inferir nada sobre el tipo de jugador 1 que enfrenta cuando observa la acción, ésta no es informativa y por lo tanto el jugador 2 no actualiza sus creencias (son las mismas que las que derivaba de la naturaleza). Analicemos primero si existen estrategias dominantes para el jugador 2 (J2). Se observa que J2 siempre responde a L con u, puesto que gana más jugando u sin importar a qué tipo de jugador 1 (J1) se esté enfrentando: si se enfrenta a un jugador 1 tipo 1 (J1t1) gana 2 si juega u y gana 1 si juega d, por lo que elige u; si se enfrenta a un jugador 1 tipo 2 (J1t2) gana 1 si juega u y gana 0 si juega d, por lo que elige u. No ocurre lo mismo si J1 juega R: si J2 se enfrenta a un J1t1 gana más si juega u pero si se enfrenta a un J1t2 gana más si juega d. Analicemos ahora si existe un equilibrio agrupador en L, es decir, un equilibrio en el que ambos tipos de J1 jueguen L. Observamos que tanto J1t1 como J1t2 jugarán L si y sólo si J2 responde a R con d, puesto que en ese caso ganarían 5 y 4 respectivamente en vez de 2 y 2 (recordar que J2 responde siempre a L con u). ¿Cuándo J2 responde a R con d? Cuando la utilidad esperada de responder a R con d es mayor a la utilidad esperada de responder a R con u. ( ⁄ )

( ⁄ )

(

)

(

)

Existe un equilibrio agrupador en L, donde ambos tipos de J1 juegan L ( , J2 responde a L con u y responde a R con d.

),

¿Existe un equilibrio agrupador en R? Ya vimos que J1t1 y J1t2 sólo jugarán R si J2 responde a R con u, ya que en ese caso ganarían 6 y 5, respectivamente, en vez de 5 y 4. ¿Cuándo J2 responde a R con u? Cuando la utilidad esperada de responder a R con u es mayor a la utilidad esperada de responder a R con d. ( ⁄ )

( ⁄ )

(

)

(

)

Pero esto no puede ser parte de un equilibrio agrupador en R, porque si ambos tipos de jugador 1 hacen lo mismo, como ocurre en un equilibrio agrupador, la probabilidad que asigna el jugador 2 a que el 1 sea de tipo 1 después de haber visto que jugó R sigue siendo 0,5. Y si , el jugador 2 elegirá d y entonces el jugador 1 no elegirá R.

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3.2. En un equilibrio separador, cada tipo de jugador 1 juega una acción diferente. Esto implica que el jugador 2 puede inferir a qué tipo de jugador 1 se está enfrentando al observar la acción. Con lo visto en el punto anterior podemos ya descartar la existencia de equilibrios separadores, puesto que vimos que ambos tipos de J1 se comportan igual. Si analizamos un equilibrio separador en el que J1t1 juega L y J1t2 juega R, esto implica J2 responderá a R con d J1t2 no va a jugar R, puesto que ganaría 4 si juega L y 2 si juega R. Si analizamos un equilibrio separador en el que J1t1 juega R y J1t2 juega L, esto implica J2 responderá a R con u J1t2 no va a jugar L, puesto que ganaría 4 si juega L y 5 si juega R.

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