Estudio de la evolución de la Curva Par / Velocidad de motores eléctricos de inducción desde el régimen dinámico al estático mediante la validación del modelo teórico con los ensayos prácticos en el laboratorio

ESTUDIO DE LA EVOLUCIÓN DE LA CURVA PAR / VELOCIDAD DE MOTORES ELÉCTRICOS DE INDUCCIÓN DESDE EL RÉGIMEN DINÁMICO AL ESTÁTICO MEDIANTE LA VALIDACIÓN DEL MODELO TEÓRICO CON LOS ENSAYOS PRÁCTICOS EN EL LABORATORIO

MARC FREYRE MACIÀ Ingeniería Industrial, Especialidad Electromecánica Director del Proyecto: XAVIER ALABERN MORERA E.T.S.E.I.T. UPC

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Este proyecto de Final de Carrera está dedicado a mi abuela Magda, por el apoyo recibido durante toda la Carrera.

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Agradezco la oportunidad de haber podido realizar este Proyecto de Final de Carrera en las instalaciones de la empresa AEG Fábrica de Motores, S.A. En especial, quiero dar las gracias al equipo técnico del Campo de Pruebas por estar siempre dispuestos a ayudar a tirar hacia delante este Proyecto.

Índice I. Memoria técnica 1. Introducción 1.1. Objeto 1.2. Objetivo 1.3. Antecedentes 1.4. Alcance 2. Las maquinas de inducción asíncronas trifásicas 2.1. Descripción del motor eléctrico asíncrono trifásico 2.2. Circuito eléctrico 2.2.1. Producción de la F.E.M 2.2.1.1. Factor de distribución 2.2.1.2. Factor de acortamiento de paso 2.2.1.3. Factor de inclinación de ranura 2.2.1.4. Factor de bobinado 2.2.2. Determinación de las superficies de las ranuras 2.2.3. Relación de transformación 2.3. Circuito magnético 2.3.1. El campo giratorio 2.3.2. Flujo principal y flujos de dispersión 2.3.3. Reactancias de dispersión 2.3.3.1. De ranura 2.3.3.2. De cabeza de bobina 2.3.3.3. Doblemente concatenada 2.3.3.4. De inclinación de ranura 2.3.4. Factores de Cárter 2.4. Circuito equivalente 2.4.1. Jaula simple 2.4.2. Jaula doble

1 1 2 3 4 4 11 11 14 14 17 18 18 20 22 22 23 24 24 29 32 37 39 41 41 43

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2.5. Balance de potencias y rendimiento 2.6. Par motor y par resistente 2.7. Arranque y aceleración 2.8. Tiempo de arranque 2.9. Corriente y par de arranque 2.10. Tipos de arranque en motores de rotor de jaula

45 49 50 51 53 53

3. Estudio del régimen estático y dinámico de los motores de inducción 56 3.1. Régimen transitorio 56 3.2. Comparación entre la curva Par/Velocidad estática y dinámica 57 3.3. Característica de la doble jaula. Factores kr y ki 63 3.4. Saturación al arranque 66 3.4.1. Curvas de saturación en el cortocircuito 66 3.4.2. Determinación de la variación de las reactancias debida a la dispersión en zig-zag. 69 3.4.3. Determinación de la variación de las reactancias debida la dispersión de la punta de los dientes 3.4.4. Alcances y limitaciones 3.4.5. Aplicación de la saturación a la Curva Par-Int./Velocidad 3.5. Evolución del Par máximo 3.6. Evolución de la tensión y la corriente en el arranque del motor 3.7. Influencia de los armónicos 3.7.1. Pares asíncronos armónicos 3.7.2. Pares sincronos armónicos 3.7.3. Fuerzas oscilantes

75 78 79 81 86 89 91 92 92

4. Aplicación con Matlab/simulink 4.1. Transformaciones de Park 4.1.1. Transformación de Scott 4.1.2. Transformación bifásica de Park 4.1.3. Transformación general de Park o de Blondel

94 94 95 104 109

4.1.4. Transformación con el sistema fijo al rotor, ωr

111

4.1.5. Transformación de sincronismo de Park, ω=ωs=ωe

112

4.2. Formulación teórica del modelo del motor de inducción 4.2.1. Velocidad de giro de la f.m.m. y del rotor. Deslizamiento

113 113

4.2.2. Ecuaciones de voltaje 114 4.2.3. Flujos generados en el motor 115 4.2.4. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de referencia qd0 arbitrario 118

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4.2.5. Ecuaciones de tensión en el sistema de referencia qd0 119 4.2.6. Relaciones de flujo magnético en el sistema de referencia qd0 121 4.2.7. Ecuación de par en el sistema de referencia qd0 125 4.2.8. Parámetros base. Valores p.u. 127 4.2.9. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de referencia qd0 estacionario 129 4.2.10. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de referencia qd0 sincrono 131 4.3. Planteamiento teórico del modelo 134 4.3.1. Adaptación de las ecuaciones al modelo. sistema de referencia estacionario 134 4.3.1.1. Hipótesis de partida 134 4.3.1.2. Alimentación del motor. Ecuaciones de tensión 134 4.3.1.3. Flujos magnéticos 138 139 4.3.1.4. Par electromagnético, Tem 4.3.1.5. Saturación magnética 140 4.3.2. Diagrama de bloques de las ecuaciones del motor 142 4.3.2.1. Bloques de cambio de variables 4.3.2.2. Bloques de las ecuaciones de flujos 4.3.2.3. Bloque de la ecuación de par 4.4. Construcción del modelo y simulaciones 4.4.1. Funciones básicas de los programas Matlab/Simulink 4.4.2. Construcción del modelo 4.4.3. Inicialización de los parámetros

143 143 144 144 144 148 151

5. Aplicación de ensayo de la curva Par-Intensidad/Velocidad Dinámica y/o Estática 152 5.1. Montaje y comunicación del ensayo 152 5.2. Proceso del ensayo 154 5.3. Tratamiento de las señales 155 5.4. Obtención y evaluación de resultados 156 6. Conclusiones

161

7. Trabajos futuros

162

8. Repercusiones sobre el Medio Ambiente

163

9. Bibliografía

165

10. Simbología

167

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II. Presupuesto Presupuesto

1

III. Anexos Anexo A: Modelo de la simulación Anexo B: Simulaciones B.1 Simulaciones con Matlab/Simulink

1 16 16

B.1.1 Con reactancias no saturadas y sin desplazamiento de la corriente 20 B.1.2 Con reactancias no saturadas y con desplazamiento de la corriente 47 B.2 Simulaciones con Mathcad 59 B.2.1 Régimen permanente, con reactancias no saturadas y sin desplazamiento de la corriente 60 B.2.2 Régimen permanente, con reactancias no saturadas y con desplazamiento de la corriente B.3 Simulaciones Visual Basic/Excel 93 B.3.1 Sin desplazamiento de la corriente y reactancias no saturadas 94 B.3.2 Con desplazamiento de la corriente y reactancias no saturadas 95 B.3.3 Con desplazamiento de la corriente y reactancias saturadas 96 Anexo C: Laboratorio de ensayos C.1 Transformadores y reguladores C.2 Pupitres de control, bancadas y sistema de medida C.3 Resistencias de carga C.4 Cámara anecoica

101 101 103 104 105

Anexo D: Ensayos en el laboratorio. 108 D.1 Arranque motor de 11kW, 380V y 4 polos con tres inercias 108 D.2 Arranque directo (con y sin inercia externa) y con inversión de un motor de 0.75kW, 400V y 2 polos 117

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D.3 Arranque directo y con inversión de un motor de 140/48 kW, 400V y 4/6 polos 124 D.4 Arranque con inversión y con inercia de un motor de 7.5 kW, 400V y 2 polos 137 D.5 Fotografías de los ensayos 141 Anexo E: Cálculos de las reactancias de dispersión con saturación en el cortocircuito 144 Anexo F: Arranque con inversión

154

Anexo G: Curvas del motor G.1Curvas de Par-Intensidad / velocidad G.2Ejemplo de ensayo completo G.3Curvas de cortocircuito

156 157 172 189

Anexo H: Bibliografía básica

194

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11. Introducción

En la empresa AEG Fábrica de motores, S.A. ubicada en la Carretera de Castellar 225 de Terrassa, el método utilizado para la obtención de la característica Par-Intensidad / velocidad de los motores asíncronos trifásicos consiste en acoplar el motor a un volante de inercia o a una 1pendel (ver apartado 5). Luego se arranca el motor y, con un osciloscopio digital, se mide velocidad, intensidad y tensión; estas señales son tratadas y finalmente se obtiene la característica Par-Intensidad / velocidad. Este método ofrece resultados muy buenos ya que se pueden obtener curvas dinámicas y la curva estática del motor, pero tiene los siguientes inconvenientes: •

Tiempo de ensayo largo.

•

Limitación de los ensayos debido a las inercias que se requieren.

11.1. Objeto El objeto del proyecto es realizar un estudio de la evolución de la curva Par / Velocidad de motores eléctricos de inducción, desde el régimen dinámico al régimen estático, mediante la validación del modelo teórico con los ensayos prácticos en el laboratorio.

11.2. Objetivo Los objetivos del proyecto son:

1

•

Determinar la variación de los parámetros del motor en el arranque (resistencias, reactancias,...), así como sus magnitudes (par, tensión, intensidad,...).

•

Obtener una herramienta capaz de llevar del régimen dinámico al estático una curva Par / Velocidad dinámica ensayada, ya sea

Pendel: motor de corriente continua con excitación independiente, cuya característica

mecánica se caracteriza por mantener la velocidad aproximadamente constante: a medida que se le aumenta el par. Habiéndose incorporado un brazo de palanca que en el extremo comunica con un transductor de fuerza para poder medir el par y una tacodinamo para medir la velocidad.

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porque el ensayo se haya realizado con una inercia demasiado pequeña, porque no se dispusiera de la exacta o porque no se dispusiera de inercias mayores. •

Validar el modelo de cálculo actual de la empresa AEG debido a que este es en régimen estático.

11.3. Antecedentes Como se ha comentado anteriormente la empresa AEG Fábrica de motores, S.A. tiene un método de ensayo de la Curva Par-Intensidad / Velocidad que ofrece resultados muy buenos, pero tiene los inconvenientes de tiempo de ensayo largo y esta limitado por no tener, y ser imposible, una gama de inercias muy elevada. El tiempo se puede estimar, dependiendo del tamaño de motor, según la tabla siguiente: Motor

Pequeño/ Mediano (P

Tmech s = Jω 1 max 4 8t e max

(3.14)

La frecuencia angular de la oscilación es

ω osc

2 1  1 4 =  ' −   2  Tr ·Tmech  Tr'    

1

2

Además, la ecuación 3.15 muestra que si Tr' <

(3.15)

Tmech , luego hay distintas raíces 4

reales, y la velocidad del rotor pasa a ser aperiódica en la velocidad de vacío durante el arranque. Cabe notar que la ecuación 3.15 es similar a la ecuación que describe el movimiento de un sistema mecánico simple que contiene un resorte suspendido

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verticalmente para fijar el soporte y al final hay una masa cogida. Esto es aplicable a máquinas que se pueda considerar la masa del resorte despreciable, este sistema puede ser descrito por la ecuación

m

dy d2y + c + ky = 0 2 dt dt

(3.16)

y de este modo la correspondiente ecuación característica es

λ2 +

c k λ+ =0 m m

(3.17)

donde m es la masa, c es la constante de amortiguación, k es el modulo del resorte, y y es el desplazamiento de la masa respecto la posición de equilibrio. En este sistema si la constante de amortiguación es más pequeña que c24mk, la masa no oscila. Por analogía, el comportamiento del motor de inducción alrededor del estado de sincronismo es similar al sistema del resorte- masa. Para el motor de inducción, el papel de la masa es cogido por la inercia, que es determinada por el diseño del motor y las masas que están acopladas a él. La amortiguación electromagnética es siempre por los devanados del rotor cortocircuitado desde, durante las oscilaciones, el rotor intercepta el flujo de sincronismo del estator y así las corrientes de las tres fases del rotor irán a la misma frecuencia que las oscilaciones. Estas corrientes del rotor causan pérdidas que son disipadas a través de las resistencias del rotor. El grado de amortiguación depende de las resistencias del rotor y también de las corrientes del rotor. Debería ser anotado que cuando el rotor alcanza la velocidad de sincronismo no hay tensión inducida en el rotor. Cabe resaltar que debido a la inductancia del rotor, las corrientes todavía circulan, y como consecuencia estas son las que producen el par electromagnético.

12.3. Característica de la doble jaula. Factores kr y ki [23] En los motores de inducción a partir de una determinada potencia, aproximadamente 5-6 kW, se les diseña el rotor con una ranura especial denominada doble jaula (ver figura 3.16). Esta ranura se caracteriza por

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proporcionar un par de arranque más elevado (Ver anexo B.1 Simulaciones en Matlab y anexo B.2 Simulaciones en Mathcad). Cuando se realiza el circuito equivalente del motor de inducción de doble jaula, si el secundario (parte del rotor, doble jaula) se reduce al primario, en el momento de simular las curvas características de este, se pierde información y los resultados no son correctos (ver anexos B.1 y B.2, simulaciones en Mathcad y Matlab). Para ello se deben introducir dos factores que simulen el efecto de la doble jaula este efecto también se le denomina efecto de desplazamiento de la corriente. Los valores de resistencias y reactancias que se obtienen del programa de cálculo son reducidas al primario y no se saben los valores por separado de la jaula interior y de la exterior. Por tanto se aplicará el factor kr para simular la variación de la resistencia del rotor y el factor ki para simular la variación de la reactancia del rotor. A continuación se muestran las formulas utilizadas con tal fin:

krx R2x

β x.

αx

0.86. s x

βx

α x . h1

sinh 2 . β x

sin 2 . β x

cosh 2 . β x

cos 2 . β x

R21 krx . R22

kix

X2x

3 . sinh 2 . β x

sin 2 . β x

2 . β x . cosh 2 . β x

cos 2 . β x

X21 X22. kix

Donde α x es un factor que depende del material y el deslizamiento. h1 es la altura de la ranura.

β x factor que depende de los dos anteriores. krx factor que simula la resistencia de la doble jaula. kix factor que simula la reactancia de la doble jaula. R2x Resistencia total del rotor R21 Resistencia de continua del rotor, que es constante R22x Resistencia de alterna del rotor, que es variable X2x Reactancia total del rotor X21 Reactancia de continua del rotor, que es constante X22x Reactancia de alterna del rotor, que es variable

(3.18 y 3.19)

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En la siguiente tabla se pueden observar los valores de la curva ParIntensidad / velocidad de un motor de inducción de 11 kW y 4 polos, así como la evolución de los factores kr y ki. Si se observan los valores de kr y ki cerca del punto de sincronismo se puede ver que son próximos a la unidad, por tanto, ya no tienen ningún efecto sobre la resistencia y reactancia del rotor. n [rpm] 1500 1498.5 1492.5 1485 1470 1455 1440 1425 1410 1380 1350 1275 1200 1050 750 375 0

I1 [A] M [Nm] 11.23 -0.1 11.21 3.1 11.75 15.7 13.6 31 19.37 59.5 25.95 84.8 32.55 107 38.87 126.4 44.73 142.4 55.41 167.7 64.62 184.8 82.55 204.9 95.15 207.5 111.03 195.9 126.42 170.5 135.85 155.2 142.36 150.2

kr 1 1 1 1 1 1 1 1 1.01 1.01 1.01 1.03 1.04 1.1 1.25 1.51 1.79

ki 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 0.97 0.94 0.86 0.78

Tabla 3.01. Valores de kr y ki de la curva Par-Intensidad / Velocidad de un motor de inducción de 11 kW y 4 polos.

Para ver mejor la evolución de los factores kr y ki ver la siguiente gráfica. Como muestra la gráfica el factor kr aumenta la resistencia en el arranque y la va disminuyendo hasta llegar a la resistencia en régimen permanente. Por el contrario el factor ki disminuye la reactancia y la va aumentando hasta obtener la reactancia en régimen permanente. Cabe resaltar que estos factores son prácticamente la unidad a partir del par máximo, momento en que la corriente, sobretodo en motores de gran potencia cae de golpe (ver anexo B, simulaciones).

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1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7

M[Nm], I[A]

200 150 100 50 0 0

150

300

450

600

750

900

1050

1200

1350

kr, ki

Evolución de los factores kr y ki

1500

Velocitat [rpm] I1 [A]

M [Nm]

kr

ki

Figura 3.03. Curva Par-Intensidad / velocidad de un motor de 11kW, junto con la evolución de los factores kr y ki.

12.4. Saturación en el arranque

12.4.1. Curvas de saturación en el cortocircuito [17], [9] La predeterminación de la curva de saturación en cortocircuito es muy importante para el diseño de los motores de inducción de doble jaula. La razón es porque esta curva se desvía de la linealidad y coge forma de codo (Ver anexo G.3). En el diseño de motores de doble jaula es importante un método de cálculo de la curva de saturación en cortocircuito para asegurar la determinación valores fiables de intensidad y par de arranque, así como en el resto de la curva Par- Intensidad / Velocidad, sobretodo en motores grandes donde la intensidad se mantiene prácticamente igual a la de cortocircuito hasta el punto donde se encuentra el par máximo. Esta curva de saturación, expresa el valor de intensidad de cortorcircuito para diferentes valores de tensión de alimentación, tiende a curvarse hacia arriba, y es la desviación respecto la curva lineal la que se tratará en este capítulo.

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Los motores de inducción han sido siempre populares por su simplicidad y su falta de problemas en funcionamiento, pero la alta corriente que consumen en el momento del arranque ha sido un punto de criticas. Estas criticas propiciaron la creación de dos jaulas de ardilla; estos motores se nombraron motores de “arranque-lineal”. Uno se caracterizaba de tener una corriente de arranque baja y de un par de arranque normal y el segundo de una corriente de arranque baja y un elevado par de arranque. El problema para el diseñador de estos motores es obtener el par de arranque requerido con la corriente de arranque baja y al mismo tiempo mantener la resistencia del rotor suficientemente baja para prevenir que la velocidad en carga no decaiga mucho por debajo de la velocidad de sincronismo. Si la corriente de arranque de cualquier motor fuese exactamente proporcional a la tensión aplicada, luego, asumiendo que las formulas de las reactancias usadas son fiables, darían una clasificación de diseño en la que la corriente de arranque estaría cercana al limite fijado y el par de arranque, consecuentemente testado, cercano al valor calculado. De todas maneras, rara vez pasará que, la corriente de arranque sea exactamente proporcional a la tensión aplicada y si se traza la característica se encontrará que la corriente aumenta más rápido que no lo hace la tensión. Ahora si se supone que las formulas de reactancias dan resultados fiables para la parte baja de la curva, luego el valor de la corriente de arranque calculado para la tensión nominal será más bajo que en el ensayo, con la posibilidad que en el ensayo se excedan los limites garantizados. Suponer que para encontrar esta eventualidad se asume que la corriente se incrementa un cierto porcentaje y que el par de arranque garantizado se determinará si la corriente hace este incremento; luego, la curva de saturación en cortocircuito debería ser más derecha que la estimada, el par de arranque disminuirá un poco respecto la cantidad garantizada. Para encontrar la corriente límite si la curva se dobla hacia arriba, y al mismo tiempo el par límite si la curva es recta, es en la mayoría de casos imposible, ya que la corriente normalmente sube hasta el límite cuando el motor entrega el par requerido. Como la tendencia ha sido reducir el número primario de ranuras al mínimo para disminuir los costes de producción, esta situación ha llegado a ser más pronunciada, ya que la curva de saturación en cortocircuito es más recta a mayor numero de ranuras (Ver anexo G.3, curvas de motores de 6 polos).

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Claro que, si ha habido un ensayo cargando un motor que es similar que el diseño contemplado, luego es posible interpretar la curva de saturación en cortocircuito de este viejo diseño, por lo que se esta seguro del rendimiento del nuevo diseño; pero si no hay ningún ensayo disponible, luego los anteriores argumentos muestran porque algunos métodos de cálculo para este posible incremento en la corriente pueden ser usados con ventaja. La razón de la tendencia de coger forma de codo la curva de saturación en cortocircuito es bien sabida, este tendencia hacia arriba de la curva es causada por la saturación de los caminos del flujo de dispersión con la consecuente reducción de la fuerza electromotriz. Suponer que el motor es arrancado con una tensión muy reducida y que por lo tanto no hay saturación en los caminos del flujo de dispersión y que conduce una corriente de 10 A de línea. Estos 10 A causan un flujo de dispersión que provocarán una caída de tensión que sumada a la caída de tensión en las resistencias darán al tensión aplicada. Ahora suponer que se aumenta el voltaje y que a causa de esto la corriente pasa a ser 50 A, y por tanto los caminos del flujo ahora están saturados; entonces el flujo de dispersión no será 5 veces tan grande como en el primer caso debido a la saturación. Por lo tanto la caída de tensión de la dispersión será menos de 5 veces de lo que era previamente y cuando se le añade vectorialmente la caída de tensión en las resistencias que es 5 veces más grande que antes, esto dará una tensión final menor de 5 veces a la tensión original. Mientras la corriente ha aumentado de 10 a 50 A con menos de 5 veces la tensión original, esto implica que la curva Intensidad en frente de la Tensión tendrá una forma de codo. Para poder predecir como de cerrada es la curva, es necesario, entonces, poder predecir el decrecimiento en la dispersión causada por esta saturación. Los siguientes argumentos muestran como se puede determinar. Las densidades de flujo del flujo de dispersión bajo las condiciones con el rotor enclavado son normalmente altas en el hierro que es parecido al del entrehierro, pero suficiente bajo en los otros puntos para asumir que no hay saturación en el resto del circuito (ver figura 3.04). La dispersión en zig-zag y la dispersión en la punta de los dientes que serán saturadas; y las dos emplean el hierro de la punta de los dientes para llevar sus flujos, esto implica que las dos serán saturadas si hubiese alguna saturación. Este es un punto importante para

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prestar atención en la realidad. En cualquier método de cálculo los cambios en la dispersión deberían requerir un ajuste en las dos dispersiones, zig-zag y la de la punta de los dientes, si algún ajuste es necesario.

Figura 3.04. Caminos de los flujos de dispersión en zig-zag y de las puntas de los dientes.

12.4.2. Determinación de la variación de las reactancias debida a la dispersión en zig-zag. Mientras que la dispersión en zig-zag es causada por los devanados, primario y secundario, luego la resultante (media) del efecto de cada uno debe ser tenido en cuenta. Para un paso completo los amperios vuelta máximos en una ranura primaria son iguales a la intensidad por conductor, por la raíz de dos, por los conductores por ranura. Cada ranura primaria que es representada en un mismo grupo tiene la misma fuerza electromotriz. Para un paso acortado, no obstante, algunas de las ranuras tendrán una fuerza electromotriz reducida y el valor medio es por esta razón menor. Esto se debe de tener en cuenta multiplicando por el factor Ks dado en al figura 3.05. El valor de pico de la corriente secundaria por ranura con el rotor bloqueado es igual a la intensidad por conductor primario, por la raíz de dos, por los conductores primarios por ranura, por el producto de la distribución primaria y factores de acortamiento, multiplicado por el numero de ranuras primarias y dividido por el numero de ranuras secundarias. El valor medio de la corriente por barra sobre la longitud correspondiente a un grupo primario es del valor de pico más alto multiplicado por el factor de distribución primario.

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Figura 3.05. Curva para encontrar Ks para diferentes pasos

El valor medio de la fuerza magnetomotriz por ranura es coger el valor de dos valores medios basados en el cálculo anterior. No obstante, par algunos valores nominales, donde la potencia por polo es pequeña, podría haber una apreciable diferencia al principio entre la corriente secundaria en términos de la primaria y de la corriente primaria entre ellas. Para compensar el valor medio de la fuerza magnetomotriz por ranura es multiplicar por la raíz cuadrada de la tensión en vacío dividido por la tensión nominal. Esto esta expresado en la ecuación 3.20.

 K + K ·K 2 ·S1  c d S2  E0  s ( AT ) = I _ por _ conductor · 2·conductores _ por _ ranura· · E 2   (3.20)   ( AT ) = I _ por _ conductor ·

E 2 S ·conductores _ por _ ranura· K s + K c ·K d2 · 1 · 0 S2  E  2

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Donde

( AT ) =

Fuerza magnetomotriz media por ranura de los grupos primario y

secundario por fase. Ks= Factor de tipo de paso Kc= Factor de acortamiento Kd= Factor de distribución S1= numero de ranuras del primario S2= numero de ranuras del secundario E0= Tensión en vacío E= Tensión nominal

E0 es normalmente cercano a la unidad y puede, en muchos casos, ser E despreciado. Estos amperios vuelta medios conducen el flujo en zig-zag a través del entrehierro y a través del hierro. El problema se resuelve el mismo encontrando la proporción de amperios vuelta requeridos para conducir el flujo a través del entrehierro dos veces respecto el total de amperios vuelta conducidos; para esto es la misma proporción a la reactancia en zig-zag con saturación con la de no saturación. Se han realizado las siguientes hipótesis: La curva de saturación del hierro para densidades extremas normalmente encontrada es asumida como una línea recta cuando se dibuja en papel logarítmico, la densidad del hierro se coge como en el entrehierro, y la longitud del camino es asumido igual a la suma de los pasos de ranura del primario y secundario. Estas hipótesis son perfectamente lógicas debido a que la posición de la línea recta puede ser cambiada alrededor para compensar la hipótesis de la longitud de los caminos, y también de la densidad que ha sido cogida; y esto es verdad que la curva de saturación para altas densidades en el hierro es recta en papel logarítmico. Trabajando con ensayos se encontraron las curvas de la figura 3.06. Cogiendo un caso particular donde la suma de los pasos de ranura son supuestos la unidad y el entrehierro de 0.508 mm, y suponiendo varias densidades para el flujo de dispersión, los amperios vuelta por mm del hierro se encuentran en la figura 3.06, y que por el aire con la formula del entrehierro, recordando que hay 2 entrehierro involucrados. La tabla 3.02 muestra estas figuras. La suma de la corriente conducida por el hierro y el aire esta tabulado. La proporción de los amperios vuelta para el entrehierro respecto al total de amperios vuelta por 100 da el porcentaje de la reactancia en zig-zag.

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Figura 3.06. Curva de saturación del hierro usada para flujo de dispersión en zig-zag.

Si la densidad actual es dividida por el tanto por ciento de zig-zag y multiplicada por 100, luego un valor ficticio de densidad es encontrado. Este valor ficticio, no obstante, es el valor más fácil de encontrar en el diseño del motor, por lo que puede ser encontrado con la ecuación de la corriente media dada por la ecuación 3.20 y la fórmula de pérdidas en el entrehierro para flujo en el aire. El porcentaje de zig-zag esta representado respecto la densidad ficticia en la figura 3.07 conjuntamente con cuatro curvas similares para otras proporciones de entrehierros dividido por la suma de pasos de ranuras. Las curvas mostradas en la figura 3.07 cubren todas las posibilidades de las proporciones encontradas en la práctica. Examinando esta familia de curvas se ha encontrado que la curva del centro sola puede usarse, que esta mostrada en la figura 3.08, proporcionando que una ajuste se ha realizado en el valor de la densidad ficticia. Este ajuste es el valor dado en la ecuación 3.22 y es aplicado según la ecuación 3.23. La curva en la figura 3.08 tiene los valores acorde a las dos ultimas columnas de la tabla 3.02.

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Densidad de Amperios Amperios dispersión en vuelta por vuelta por 2 zig-zag del 25.4 mm de 0.508 mm entrehierro hierro entrehierros 0 75000 10 942 90000 39 1130 95000 57 1190 100000 84 1254 110000 165 1380 120000 310 1506 130000 555 1630 140000 940 1756 150000 1560 1881 160000 2400 2008 170000 3750 2132 180000 5650 2260

Total Amperios vuelta 952 1169 1247 1338 1545 1816 2185 2696 3441 4408 5882 7910

% zig-zag 100 99 96.8 95.5 93.8 89.3 82.9 74.6 65.2 54.7 45.6 36.3 28.5

(Densidad zig-zag*100)/ (% zig-zag) 0 76000 93000 99500 106600 123000 145000 174300 215000 275000 351000 468000 630000

Tabla 3.02. Valores para un entrehierro de 0.508 mm. Pasos de ranura igual a la unidad.

Figura 3.07. Curvas de % zig-zag para diferentes entrehierros

Dejando,

α=

y

g paso _ ranura _ primaria + paso _ ranura _ sec undaria

(3.21)

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β = 2.5· α + 0.64 Densidad ficticia BL =

(3.22)

( AT ) 0.628· g ·β

(3.23)

Donde, α y β= constantes definidas por las ecuaciones 3.21 y 3.22. BL= valor ficticio de la densidad del entrehierro usada para encontrar el tanto por ciento de zig-zag de la figura 3.08. (AT)= Intensidad dada pro la ecuación 3.20 g= Longitud del entrehierro.

% reactancia de dispersión en zig-zag

% Reactancia en zig-zag

110 100 90 80 70 60 50 40 30 0

100000

200000

300000

400000

500000

BL ficticia

Figura 3.08. Curva utilizada para encontrar el % de zig-zag de la reactancia de dispersión.

El tanto por ciento de dispersión en zig-zag puede ser encontrado por cualquier valor de intensidad de línea, entrehierro, paso de ranuras, devanado, o combinación de ranuras usando las ecuaciones 3.20, 3.21, 3.22 y 3.23, y las curvas mostradas en las figuras 3.06 y 3.08.

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12.4.3. Determinación de la variación de las reactancias debida la dispersión de la punta de los dientes. La dispersión en al punta de los dientes es reducida cuando la dispersión en zig-zag es suficientemente grande para provocar la saturación de las puntas de los dientes. El efecto es como si las puntas de los dientes fuesen parcialmente quitadas, o en otras palabras, como si la apertura de la ranura fuese engrandada, por esta razón reduciendo el flujo de dispersión. Trabajando con un gran numero de ensayos, pues la hipótesis puede ser comprobada, y fabricando variantes y variaciones en materiales eliminados, la cantidad de que las puntas de los dientes cambiaban fue encontrada. Esto indica que la cara del diente es aproximadamente reducida en al misma proporción que en la reducción en la dispersión en zig-zag.

Figura 3.09. Variación de la forma de la ranura.

Usando esta obertura más grande de ranura, las constantes de dispersión de ranura son entonces recalculadas, así como la nueva obertura de ranura del valor de las constantes. De otra forma, este cambio en la obertura de la ranura, puede ser calculada mediante el uso de las fórmulas de las

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ecuaciones 3.24 a la 3.28 en conjunto con la figura 3.09. En la figura 3.09, se puede observar en trazo discontinuo, el cambio de geometría en la ranura cuando se produce la saturación. Las fórmulas que se indican a continuación son aplicadas para las distintas geometrías de las ranuras y que se corresponden con las constantes de obertura de las ranuras.

 % zig − zag  C = (λ − t ) 1 −  100  

δk =

δk =

δk =

a1  C    t C + t 

(3.25)

a1 + 0.58a2  C    t  C + 1.5t 

a1  C  3.3a2  + 0.02  C + 0.02  t1

δk =

(3.24)

(3.26)

 C     C + 0.4t1 

C  2a2  C − 0.15t1   +   0.02  C + 0.02  t1  C + 0.8t1 

δ1 

donde, C cambio aparente en la obertura de la ranura debido a la saturación λ paso de ranura en el entrehierro (en el primario o el secundario)

δ k cambio en la constante de ranura (en el primario o el secundario) para a1, a2, t, t1, ver diagrama de la figura 3.09. La derivación de las ecuaciones 3.24 y 3.25 es la siguiente:

λ −t

dientes no saturados

 % zig − zag  (λ − t )   100  

dientes saturados

(3.27)

(3.28)

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 % zig − zag   % zig − zag  C = ( λ − t ) − (λ − t )   = (λ − t ) 1 −  100 100    

constante de ranura para puntas de dientes no saturadas

constante de ranura para puntas de dientes saturadas

δk =

a1 t a1 C +1

a1 a a C + a1t − a1t a1  C  − 1 = 1 =   t C +t t (C + t ) t C + t 

La derivación de las ecuaciones 3.26, 3.27 y 3.28 no es dada, pero se derivan de forma similar a las anteriores, con la excepción que se realizan simplificaciones en las expresiones. Estas aproximaciones han sido comprobadas para diferentes valores del tanto por ciento de las dispersiones en zig-zag como para diferentes geometrías de ranura, y los resultados son lo suficientemente precisos. Después de haber encontrado el valor del cambio en la constante de la ranura, donde es de la aplicación de una de las ecuaciones 3.25, 3.26, 3.27 o 3.28, dependiendo de la geometría de la ranura, el tanto por ciento de la dispersión de ranura, es dado insertando este valor en la ecuación 3.29. Esta expresión puede ser utilizada para el primario y el secundario.

% dispersión de ranura = 100·

cte normal ranura - δ k cte normal ranura

(3.29)

donde, δk = constante de cambio en la dispersión de ranura El porcentaje en zig-zag y los dos %, primario y secundario, de la dispersión de ranura podrán ser encontrados ahora, multiplicándolos por el valor normal calculado por estos porcentajes, dividido por 100, para obtener los valores ajustados. Estos añadidos a la dispersión final de primario y secundario, que no cambian, dan la reactancia total. Añadiendo este valor a la resistencia da la nueva impedancia, y esto combinado con al intensidad de arranque en al ecuación 3.20 da la tensión necesaria para producir esta corriente.

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Este voltaje tendría que ser apreciablemente diferente del voltaje de la máquina en condiciones nominales, entonces el valor del voltaje total puede ser encontrado dibujando el voltaje total aproximado junto con el voltaje reducido, donde la corriente nos diera una inducción ficticia BL de 75000. Para este último punto, se puede asumir que no hay saturación. Estos dos puntos, nos permiten dibujar una curva, y el valor de la corriente en la situación de rotor parado para el voltaje total es encontrada. Se debería recordar que la curvatura es mayor cuando el valor de al corriente da un valor de BL aproximadamente 95000. Por lo tanto la curva será más inclinada a plena tensión que a tensión reducida. Esto es evidenciado en las figuras 3.10 y 3.11. Si hubiese algún inconveniente para dibujar estos puntos se puede obtener una aproximación más acurada utilizando la ecuación 3.30. IA a plena tensión=Isupuesta + K·(plena tensión – tensión calculada) Donde,

BL ficticia −1 100000 K= BL ficticia (Z s ) − Z 100000

(3.30)

Zs= impedancia calculada con saturación Z= impedancia normal sin saturación

12.4.4. Alcances y limitaciones Para ver el alcance y limitaciones de este método se han realizado varias pruebas, que han consistido en realizar el ensayo en el laboratorio y posteriormente el cálculo teórico. A continuación se muestra un ejemplo de un motor eléctrico de inducción de 140 kW y 4 polos. Cálculo Intesidad cortocircuito motor 140kW U[V] IA[A] Calculada IA[A] Ensayo Error [%] 105.2 381.5 395.7 3.6 150.6 592.0 619.1 4.4 197.0 820.5 854.7 4.0 247.6 1074.5 1107.0 2.9 400.0 1875.0 1883.4 0.4 Tabla 3.03. Valores de I de cortocircuito calculados y ensayados, así como el error cometido.

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Calculo Intensidad de cortocircuito 2000 1800 1600

IA[A]

1400 1200

IA[A] Calculada

1000

IA[A] Ensayo

800 600 400 200 0 0

100

IAc = 0.0003U2 + 4.8981U - 123.5 R2 = 1

200

300

U[V]

400

500 IAe= 0.0013U2 + 4.3936U - 97.25 R2 = 1

Figura 3.10. Curvas de cortocircuito, calculada y ensayada.

De las curvas de cortocircuito se extraen las siguientes conclusiones: •

Las curvas son prácticamente iguales obteniendo errores inferiores al 4.5%.

•

Se comprueba que las curvas no son lineales, sino que tienen forma cuadrática.

Con este método se extraen resultados muy buenos. Un siguiente paso seria calcular exactamente los parámetros con los que se trabaja, por ejemplo las permeancias teniendo en cuenta la parte rellena de cobre, la parte de aire y la punta del diente (ver apartado 2.3.3.1) [9].

12.4.5. Aplicación de la saturación a la Curva Par-Intensidad / Velocidad Se ha visto en este capítulo un método para corregir la curva de cortocircuito debida a la saturación. Lo que se pretende, ahora, es aplicar este mismo método pero para toda la curva Par-Intensidad / velocidad del motor de inducción. Como es sabido la saturación donde tiene más efecto es en motores de potencias elevadas (PN > 50kW), debido a que estos mantienen prácticamente la intensidad de cortocircuito hasta el punto de par máximo donde baja de golpe. Para estos motores se esta hablando prácticamente de la velocidad de

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sincronismo. Para ver la viabilidad de este método se han hecho varias pruebas (ver anexo B.3). En la figura 3.11 se puede ver uno de los resultados.

Comparativa de las Curvas Par-Intensidad/Velocidad con/sin saturación 250

180 160 140 120

150

100 80

100

I[A]

M[Nm]

200

60 40

50

20 0 0

150

300

450

600

750

900

1050

1200

1350

0 1500

n[npm] Simulink. Valores sin saturación

Simulink. Valores con saturación

Figura 3.11. Curva Par-Intensidad / Velocidad con/sin saturación.

Si se comparan ahora, esta curva con la curva real del motor y con la curva del programa de cálculo de AEG (ver figura 3.12) se puede apreciar que no existe prácticamente diferencia.

Comparativa de las Curvas Par-Intensidad/Velocidad

250

180 160 140 120

150

100 80

100

I[A]

M[Nm]

200

60 40

50

20 0 0

150

300

450

600

750

900

1050

1200

1350

0 1500

n[npm] Valores programa AEG

Ensayo en el laboratorio de AEG

Simulink. Valores con saturación

Figura 3.12. Comparativa Curvas Par-Intensidad / Velocidad con saturación.

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12.5. Evolución del Par máximo [18] En el siguiente apartado se estudiará como evoluciona el par máximo de la curva Par / velocidad de los motores de inducción. Para ello, se estudiará el circuito equivalente dinámico de la máquina de inducción. Las ecuaciones 3.31, 3.32, 3.33, describen el comportamiento de una máquina asíncrona alimentada a una red simétrica estática para cualquier estado. Se desprecia la saturación del hierro y los harmónicos.

R '·i '+ L'

dim = U '· 2 ·e jωt dt

(3.31)

dϑ di di ' ' dϑ   =0  R' '− j·σ ·L' ' ·is ' '+σ ·L' ' s + M m − j·M ·im dt dt dt dt   J d 2ϑ 3 = − p (im × M ·is ' ') − W 2 p dt 2

(3.32)

(3.33)

Donde, R’= Resistencia de estator R’’= Resistencia de rotor is’’= Intensidad de rotor im= Intensidad magnetizante u’= Tensión de alimentación L’’= inductancia de rotor

ϑ = ángulo de desfase entre el estator y el rotor M= Inductancia mutua W= Carga

Mi = −

3 p(im × M ·i s ' ') = Par interno del motor 2

Cuando se habla de transitorios dinámicos cabe distinguir entre dos tipos: •

Transitorio debido al conectar el motor a la red, se están conectando bobinas.

•

Transitorio debido a la variación del deslizamiento en un campo.

Para cada deslizamiento hay un estado estacionario y hay un ángulo de desfase entre el campo del estator y del rotor.

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Debido a qué hay una inductancia, tanto, en el estator como en el rotor, no se pueden determinar ni la corriente ni el par de una forma directa, cuando se produce la variación del deslizamiento. Por ejemplo en el arranque sin carga o en un cambio de fase (inversión del sentido de giro). Como consecuencia de la variación del deslizamiento durante el arranque se producen una serie de transitorios que hace que haya una diferencia entre las curvas dinámicas y estacionarias. El transcurso de la corriente y el par debido a un transitorio, se explica que debido a esta corriente se produce un par oscilatorio. Este par muy brevemente llega a ser muy grande, por lo que se debe tener en cuenta a la hora de dimensionar ejes, acoplamientos,... El fenómeno del transitorio eléctrico no afectará al tiempo de arranque, porque al ser los valores de par oscilantes se anulan entre ellos. La sobre velocidad y la disminución del par durante el arranque no se verá afectado por el transitorio eléctrico. Esto permitirá no tener en cuenta el transitorio eléctrico par determinar la evolución del par en el arranque. Para ello se empezará como si se clavase el rotor y se dejase libre una vez extinguido el transitorio eléctrico, seria el mismo caso que si se viniese de una inversión. Para la integración se recomienda la corriente del rotor según la siguiente expresión:

i s ' ' = Ι' ' (t )· 2 ·e jωt

(3.34)

La R’ se desprecia para máquinas de potencias mayores a 10 kW, pero para máquinas de menos de 10 kW se debe tener en cuenta. La corriente magnetizante es:

im = − j

U '· 2 jωt ·e = − j·Ι m · 2 ·e jωt ω ·L'

(3.35)

El deslizamiento es:

s=

dϑ  1 ω −  dt  ω

(3.36)

Se sustituyen las ecuaciones 3.35 y 3.36 en las ecuaciones 3.32 y 3.33. La ventaja es que se empezará a trabajar con valores eficaces y deslizamientos.

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σ ·L' '

dΙ ' ' + R' '·Ι' '+ j·σ ·ω ·L' '·Ι' '·s + ω ·M ·I m ·s = 0 dt

(

)

3· p·M ·I m − j·e jωt × Ι' '·e jωt =

ω ·J ds

(3.37)

(3.38)

p dt

Con las ecuaciones 3.35 y 3.37 se puede dibujar un circuito equivalente para el transitorio dinámico de la máquina de inducción. Multiplicando por

L' y M

s-1 y realizando los siguientes cambios de variable: 2

 L'  R' ' =   R' ' , M  2

 L'  L' ' =   L' ' y M  M Ι' ' = Ι' ' L

(3.39)

queda,

ω ·L'·I m + j·σ ·ω ·L' '·Ι' ' +

σ ·L ' ' d Ι ' ' R' ' Ι' ' + =0 s s dt

(3.40)

La suma de tensiones debe ser cero, pero cuando hay un transitorio eléctrico esto no es cierto y aparece ∆e (tensión adicional inducida). Con las ecuaciones 3.35 y 3.40 se pude dibujar el circuito equivalente dinámico de una máquina asíncrona, ver figura 3.13.

∆e =

σ ·L' ' dΙ' ' s

dt

(3.41)

La parte dinámica queda reflectada con la tensión adicional inducida,

∆e , la cual en el régimen estacionario desaparece, porque la I’’ es constante.

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I’

I’’ R’’/s

σL’’ U’

∆e

L’’ Im Figura 3.13. Circuito equivalente dinámico con

∆e

Para facilitar los cálculos se trabaja con unidades adimensionales. La utilización de valores unitarios se distinguirá por minúsculas y la corriente por llevar un *.

σ · x' '

dΙ' '* + r ' '·Ι' '* + j·σ · x' '·Ι' '* ·s + x h ·I m* ·s = 0 dt ds x h ·I m* = − j·e jωt × Ι' '* ·e jωt dt Tm

(

(3.42)

)

(3.43)

Despejando se encuentra el valor de la constante Tm:

Tm =

ω 3 ·J

(3.44)

3· p 2 ·U N ·I N

Para integrar, para simplificar, se pone la corriente en sus dos componentes, real e imaginaria:

Ι' '* = iα + j·i β

(3.45)

Quedando las siguientes ecuaciones diferenciales:

diα + s K ·iα − s·i β + A·s = 0 dt

di β dt

+ s K ·i β − s·iα = 0 iα = B

ds dt

(3.46) (3.47) (3.48)

Queda un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas. Se sabe que sK

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sK =

r' ' σ · x' '

(3.49)

Realizando los siguientes cambios de variables:

A=

x h ·I m* σ ·x' '

(3.50)

B=

Tm x h ·I m*

(3.51)

Debido a que los productos no son lineales, no se puede solucionar de una forma analítica, y solo se puede solucionar por algún programa informatico. La influencia de los parámetros sK, A y B no se puede pasar por alto, y la corriente de arranque se debe poner como sabida. A continuación se hacen unas transformaciones para poder solucionar el sistema de ecuaciones:

α= β=

iα A iβ

A s S= sK

τ = s K ·t dα + α − β ·S + S = 0 dτ dβ + β + α ·S = 0 dτ B·s K2 dS α= A dτ

(3.52) (3.53) (3.54)

Como consecuencia de haber hecho la transformación el sistema de ecuaciones solo tiene un único parámetro, P.

P=

Tm ·r ''·sK

( x ·I ) h

* 2 m

(3.55)

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Se hace el estudio a partir del parámetro P, es decir, se mira como varían las ecuaciones diferenciales en función de este parámetro. El máximo es consecuencia de la ∆e . Las condiciones de contorno, que salen de considerar el caso estático S(0).

S (0) =

s0 sK

α (0) = − β (0) =

s ·s S (0) = − 20 K 2 2 s0 + sk 1 + S (0)

s 02 S (0) 2 = − 1 + S (0) 2 s 02 + s k2

El parámetro P nos da a entender como de rápido o de a de lento se producen los amortiguamientos. En el anexo B simulaciones, se han realizado varias simulaciones de motores en función del parámetro P. Estas se han realizado a partir de varios valores de P y se ha encontrado la característica que relaciona P con la relación Mk/Mke.

12.6. Evolución de la tensión y la corriente en el arranque del motor Al arrancar un motor hay una caída de tensión en la línea, esta es debida a la resistencia del cable entre el interruptor de conexión hasta los bornes de alimentación del motor. Esta caída de tensión depende de la potencia del motor ya que como más grande sea la potencia más grande será la caída de tensión, debido a que la intensidad será más grande. Luego esta caída se irá estabilizando en la misma medida que la intensidad, ya que como ya se ha comentado anteriormente la intensidad del motor evoluciona desde la intensidad de arranque (aproximadamente 6 o 7 veces la intensidad nominal) hasta la intensidad de vacío o nominal. En las figura 3.14 se puede ver la caída de tensión y la intensidad de un motor pequeño y en la figura 3.15 las de un motor grande.

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Figura 3.14. Tensión e intensidad de un motor 0.75 kW.

Como se puede observar en la figura superior (3.14) la caída de tensión es poco importante ( de aproximadamente unos 15 V), por tanto se pude afirmar que para motores pequeños tendremos caídas de tensión pequeñas, ya que las intensidades que tenemos son pequeñas, por ejemplo en este motor tiene una intensidad de arranque de 6 A .

Figura 3.15. Tensión e intensidad de un motor 140 kW.

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Como se puede observar en este caso la caída de tensión es importante (hay una caída tensión de poco más de 120 V), ya que en este caso hay una intensidad de arranque de 1665 A. Otro factor que se ilustra en la figura es que se ve claramente como la tensión evoluciona con la intensidad, en motores grandes, debido a que son de doble jaula, la intensidad de arranque se mantiene casi hasta que el motor ha llegado a la velocidad de sincronismo y poco antes de llegar a ella (aproximadamente a las 2800/2900 rpm, en el caso de un motor de 2 polos) baja bruscamente. Este fenómeno se produce, debido a la forma de la ranura (ver figura 3.16). La resistencia, R2, en el momento del arranque es muy grande, la intensidad circula por la parte superior, y se mantiene así hasta que logra pasar el estreñimiento de la ranura y se establece en la parte inferior de esta; luego la resistencia baja de golpe, ya que la superficie aumenta (ver apartado 3.1.3). Esta variación tan brusca de intensidad provocará una variación del flujo en la misma proporción, este creará una f.e.m. muy grande y como consecuencia habrá una intensidad muy grande en el rotor, la cual provocará un par electromagnético muy elevado, que coincidirá con el máximo de la curva par-velocidad.

Figura 3.16. Forma de la ranura de un motor de doble jaula.

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12.7. Influencia de los harmónicos La onda de f.m.m. de p pares de polos, creada por un devanado polifásico estatórico, o rotórico, no es una senoide pura [24], sino una onda periódica, más o menos escalonada. Si se aplica la descomposición en serie de Fourier, resulta una onda senoidal de ν p pares de polos, siendo ν el orden del armónico de estator. Principalmente se deduce que el orden de los armónicos de estator, respondía a una ecuación tal como esta.

ν = p ⋅ (2 ⋅ m1 ⋅ k1 + 1) que considerando el número de fases (m1) fijo e igual a 3, queda

ν = p ⋅ (6 ⋅ k1 + 1) para

k1 = 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3......

La velocidad angular de la onda fundamental es:

f1 [rad/s] p

ω1 = 2π

y la velocidad síncrona donde se encontrará el armónico será:

ω1v =

ω1 v

[rad/s]

Las ondas de f.m.m. armónicas inducen en el devanado del rotor corrientes de frecuencia: f2v=sv·f1 Estas corrientes darán origen a f.m.m. en el rotor con orden de los armónicos de rotor, determinados por la siguiente expresión:

µ = k2 ⋅ N 2 +ν para

k2 = 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3......

se puede deducir entonces que la combinación de los armónicos generados por el estator, y los que a su vez, se generan en el rotor por inducción, formarán

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unos nuevos armónicos en el entrehierro fruto de la composición aritmética de ambos, de manera que el orden resultante quedará

r =ν x ± µy donde “r” es el orden de la onda de deformación resultante, que puede interpretarse como muestra la figura 3.17, y cuya combinación generará unas frecuencias de vibración

f 2 = f1 ⋅ (k µ ⋅

+2 N2 ⋅ (1 − S ) ) +0 p

(3.56)

Figura 3.17. Ondas de deformación armónicas resultantes

Como se puede deducir de la figura 3.17., mientras mas cercanas a 0 sean las ondas de deformación resultantes, la deformación será más crítica, y con ella, el ruido producido, por lo que deberemos prestar especial atención a órdenes menores de 6 para hacer una predicción suficientemente fiable. Siguiendo la evolución matemática analizada hasta el momento, podemos ver que las ondas de deformación dependen de los armónicos de rotor

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y estator, y sus frecuencias también (ecuación 3.56), y a su vez, los armónicos dependen de factores como la polaridad del motor, o el número de ranuras del rotor. La interacción entre dos ondas de f.m.m. armónicas, una de estator y una de rotor provocarán diferentes tipos de pares, dependiendo de la diferencia del orden del armónico de estator y rotor. Estos pares son: •

Pares asíncronos armónicos

•

Pares síncronos armónicos

•

Fuerzas oscilantes

12.7.1. Pares asíncronos armónicos Los pares asíncronos se originan cuando una onda armónica de rotor interacciona con una de estator de la misma polaridad. Las ondas, por tanto, son producidas por el mismo orden armónico. Estos pares solo dependen de los armónicos de estator.

µ =ν

Por tanto, este fenómeno se producirá para k2=0. Los pares asíncronos tienen una gran influencia en los motores medianos ya que son los responsables que se produzca el bache de la curva-velocidad, también denominado valle. En motores pequeños y grandes estos armónicos no tienen mucho efecto sobre la curva ya que hay efectos que se sobreponen a este, por ejemplo, en motores grandes tiene más influencia la forma de la ranura que no los pares asíncronos provocados por el número de ranuras.

Figura 3.18. Curvas, M=f(s), de la onda de campo fundamental y de los armónicos quinto y séptimo.

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12.7.2. Pares sincronos armónicos Los pares sincronos se originan cuando una onda armónica de rotor, creada por una onda armónica de estator más una de rotor, interacciona con una de estator de ± el mismo orden de armónico. Las ondas, por tanto, son producidas por diferente armónico.

µ = ±ν Para limitar los puntos muertos debidos a los pares sincronos y hacerlos en lo posible inoperantes, debe tenerse en cuenta, al proyectar el motor, que los números de ranuras de estator y del rotor no cumplan la condición anterior. Para determinar la velocidad donde se nos producirá este armónico se aplicará la siguiente fórmula:

n1v =

2·n1 v +1

12.7.3. Fuerzas oscilantes Se originan por la interacción de dos ondas de campo, en general entre dos ondas de campo de estator o entre dos ondas de campo de rotor, así también entre una onda de campo de estator y una de rotor, el orden de ambos campos presenta una diferencia de una o dos unidades.

µ ± ν = ±1 o µ ± ν = ±2 Las fuerzas oscilante provocan deformaciones del estator, provocando como consecuencia ruido. Este ruido se acentuará más cuantas más ranuras tenga el estator debido a que se tendrá menos chapa y por tanto será menos rígido. En la figura siguiente (3.19) se muestra una curva dinámica en la cual se pueden ver algunos de los armónicos que se han comentado. No se puede apreciar muy bien debido a que la señal no es ideal.

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Figura 3.19. Curva Par-Intensidad/Velocidad dinámica de un motor AM 280MV2 Q4 de 90 kW.

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13. Aplicación de ensayo de la curva Par-Intensidad / Velocidad Dinámica y/o Estática La aplicación se utiliza para el ensayo de la Curva Par-Intensidad/Velocidad en motores asíncronos trifásicos [13]. Esta curva es una característica que permite saber como se comportarán en par y la intensidad el motor en régimen dinámico y estático en función de la velocidad. El ensayo es doble: en primer lugar se realiza el arranque del motor, en el que se mide tensión de alimentación, intensidad absorbida y velocidad de aceleración del motor en función del tiempo. Luego se procede al paro del motor y se determina la velocidad de desaceleración en función del tiempo, lo que sirve para el cálculo de la inercia del conjunto. Estas cuatro señales se miden con un osciloscopio digital Tektronix TDS 420 A, que se configura mediante la aplicación. Cabe resaltar que sólo con el osciloscopio no se podría obtener dicha característica, ya que estas señales requieren de un tratamiento previo antes de poder obtenerse la Curva ParIntensidad/Velocidad. Posteriormente dichas señales son enviadas mediante un puerto GPIB NI 488.2 al PC, donde son visualizadas y almacenadas. Así, cuando se desee, las señales podrán ser tratadas, visualizadas las resultantes, verificadas (la aplicación tiene un sistema de seguridad con el que se verifican los resultados) y, finalmente, imprimidas y guardadas en la base de datos. Estos resultados finales pueden ser recuperados o ser susceptibles de nuevo tratamiento desde cualquier punto de la red.

13.1. Montaje y comunicación del ensayo El montaje del ensayo consiste en acoplar el motor a un volante de inercia y a una tacodinamo (motor de corriente continua para medir velocidad) (figura 5.1 y 5.2). Del montaje se realizan cuatro medidas en dos ensayos. En el primer ensayo o arranque, se mide la tensión de alimentación, intensidad absorbida y velocidad de aceleración del motor en función del tiempo. En el segundo o paro, se mide la velocidad de desaceleración del motor en función del tiempo. Para determinar estas medidas se utiliza un osciloscopio digital Tektronix TDS 420 A que esta conectado al PC a través de un puerto GPIB NI 488.2. Para la configuración del osciloscopio en la aplicación solo se han introducido las funciones necesarias para realizar el ensayo, con lo que se ha creado un osciloscopio virtual de fácil uso (figura 5.3 y 5.4).

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Figura 5.1. Fotografía del montaje

IV. Figura 5.2. Esquema del montaje

Figura 5.3. Osciloscopio digital Tektronix TDS 420 A.

El desarrollo de este osciloscopio virtual se ha realizado mediante unos paneles, de creación propia, y un driver, facilitado por National Instruments.

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Figura 5.4. Osciloscopio virtual de la aplicación.

13.2. Proceso del ensayo Una vez configurado el osciloscopio, para proceder al primer ensayo se arranca el motor asíncrono trifásico y cuando alcanza la velocidad de sincronismo y el osciloscopio a terminado de leer se adquieren, visualizan (figura 5.5) y guardan las señales de tensión de alimentación, intensidad absorbida y velocidad de aceleración del motor en función del tiempo, con el fin de que puedan ser recuperadas y tratadas al final del segundo ensayo. Para realizar el segundo ensayo se debe modificar previamente parte de la configuración del osciloscopio. Con el paro del motor se obtiene la curva de desaceleración, y cuando el osciloscopio ha terminado de leer, se adquiere la señal, se visualiza (figura 5.6) y se guarda. Con esta curva e introduciendo la potencia de pérdidas que el motor vence para girar [7] la aplicación calcula la inercia del

Figura 5.5. Visualización de las señales.

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Figura 5.6. Curva de desaceleración.

conjunto despejando de la ecuación de la 2ª Ley de Newton denominada del movimiento de rotación (ecuación 5.01). La aplicación, guarda el valor resultante en un fichero auxiliar conjuntamente, con todas las constantes utilizadas en el ensayo.

M =J

dω (5.01) dt

donde: M = par motor [Nm] J = inercia del conjunto [kg·m2]

ω = velocidad del motor [rad·s-1] t = tiempo [s]

13.3. Tratamiento de las señales Una vez realizado el ensayo se pasa a tratar la señal de velocidad para obtener el valor del par. Para ello se debe aplicar la ecuación anteriormente citada (5.01). Para obtener la derivada de la velocidad se ha utilizado una función que ofrece el software LabWindows\CVI. Esta función obtiene, automáticamente, la derivada con tan solo la introducción del vector de puntos. El par se obtiene mediante la derivada de la velocidad y la inercia, se puede visualizar por pantalla y guardar.

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La señal de velocidad que ofrece la tacodinamo no es lineal sino que tiene un rizado, debido a la conmutación entre delgas del colector. Además, en el caso de tener un acoplamiento elástico se produce un rizado adicional que es función de la frecuencia crítica de oscilación del conjunto [11]. La eliminación de este rizado se logra mediante un filtro desarrollado, gracias a que el software LabWindows\CVI es versátil y permite crear las funciones propias (figura 5.7).

Figura 7. Filtrado de la señal de velocidad y obtención del par.

Una vez tratada la señal de velocidad se tratan, a su vez, las señales de intensidad absorbida y tensión de alimentación, mediante una función que actúa de forma automática, para obtener el valor eficaz requerido de ambas señales. El tratamiento de las señales se obtiene en el plazo de unos dos minutos, lo que unido al tiempo de ensayo que, justamente, alcanza otros dos minutos, faculta que el proceso sea notablemente rápido.

13.4. Obtención y evaluación de resultados Para obtener la Curva Par-Intensidad/Velocidad se recuperan las señales guardadas en los ficheros, se les aplican una serie de constantes (relaciones de transformación de transformadores, de la pinza de intensidad, de las sondas de tensión, etc.) y mediante una función del software LabWindows\CVI se trazan, inicialmente dos curvas que se visualizan por pantalla y pueden ser imprimidas (figura 10): la primera es la Curva Par-Intensidad/Velocidad de ensayo y la segunda la Curva Par-Intensidad/Velocidad corregida en función de la divergencia de la tensión de alimentación y la nominal [11 y 23]. Esta última curva es la real de prototipo. Ambas curvas se pueden aumentar disminuir y

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desplazar, y se puede ver el valor de sus puntos característicos mediante cursores que marcan los valores en displays (figura 5.8).

Figura 5.8. Curva Par-Intensidad/Velocidad.

Una característica muy interesante de la aplicación son las funciones de seguridad que se han introducido y que permite conocer, en todo momento, la bondad de los resultados. Existen dos funciones de seguridad: La primera se halla en el filtrado de la señal de velocidad y permite apreciar que la señal no se distorsiona al ser filtrada (figura 5.7). La segunda esta en el tratamiento de las señales de tensión de alimentación e intensidad absorbida y permite ver los puntos adquiridos y los respectivos valores eficaces sobre los reales. Al estar adquiriendo señales senoidales (señal de tensión e intensidad) y ensayando motores, en muchos casos, de gran tamaño y por tanto que tardan varios segundos en arrancar, se requiere de una precisión elevada, por lo que la aplicación trabaja con 5000 puntos para el ensayo de motores que tardan en arrancar menos de 10 segundos y con 15000 con los que arrancan en 10 segundos o más (figura 5.9).

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Figura 5.9 a. Señal de tensión de alimentación (CH3) y señal de intensidad absorbida (CH1), pantalla del osciloscopio.

Figura 5.9 b. Señal de tensión de alimentación y señal de intensidad absorbida, pantalla de la aplicación.

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Figura 5.9 c. Señal de tensión de alimentación y señal de intensidad absorbida.

Figura 5.9 d. Señal de tensión de alimentación y señal de intensidad absorbida. Ya que se realizan muchos ensayos, diariamente, es necesario el ahorro de espacio en el disco duro del PC, ya que la aplicación trabaja con ficheros que guardan muchos puntos. Para ello se ha creado una función que disminuye el número de puntos, hasta un total de 30, sin perder información, ya que se cogen los puntos más característicos pudiéndose, además, extrapolar cualquier otro punto. Así, se disminuye el espacio de memoria que ocupa cada ensayo y, además, los ficheros se hacen compatibles con otra aplicación creada de forma independiente (esta aplicación también fue creada con el software LabWindows\CVI) [5]. Esta aplicación compatible puede ser ejecutada desde la primera con la que se facilita y agiliza su uso. Finalmente cabe subrayar que los

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resultados pueden ser imprimidos (figura 5.10), guardados y utilizados para realizar diferentes tipos de cálculos, como por ejemplo, el tiempo de arranque. Igualmente los datos medidos son susceptibles de nuevo tratamiento cuando se desee. En conclusión, gracias al software LabWindows\CVI se ha podido crear una herramienta informática para el ensayo de la Curva Par-Intensidad/Velocidad dinámica en motores asíncronos trifásicos de cualquier tamaño, que resulta potente, rápida, precisa y de fácil manejo.

Figura 5.10. Ejemplo de protocolo.

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14. Conclusiones Las conclusiones a las que se ha llegado son las que siguen: 1. Se ha determinado la variación de los parámetros del motor en el arranque (resistencias, reactancias,...), así como sus magnitudes (par, tensión, intensidad,...). 2. Se ha diseñado una herramienta capaz de llevar del régimen dinámico al estático una curva Par-Intensidad / Velocidad dinámica ensayada, ya sea porque el ensayo se haya realizado con una inercia demasiado pequeña, porque no se dispusiera de la exacta o porque no se dispusiera de inercias mayores. 3. Se ha validado y mejorado el modelo de cálculo actual de la empresa AEG debido a que este solo puede calcular en régimen estático y el actual puede obtener curvas Par-Intensidad / Velocidad dinámicas y estáticas.

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15. Trabajos futuros Los futuros trabajos que se proponen son los siguientes: 1. Implantar en una misma herramienta el cálculo de la curva Par-Intensidad / Velocidad, unir la parte de la variación de los parámetros debida a la saturación a la aplicación Matlab/Simulink. 2. Tener en consideración el calentamiento del motor durante el arranque. Esto permitiría poder determinar como varían los parámetros del motor y si arrancaría con una determinada carga. 3. Tener en cuenta los armónicos.

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16. Implicaciones Ambientales V. La construcción de máquinas eléctricas en los países industrializados constituye una importante partida económica, siendo en el sector de la electricidad quizá la mayor. Solamente el mercado Europeo de máquinas eléctricas rotativas asciende a 9.6 millones de euros [24]. En el caso de los motores eléctricos el número de unidades que existen es muy elevado. Basta contemplar el ejemplo de los Estados Unidos, donde en el año 1991 el número de motores eléctricos en el rango de potencias de 1 a 120 HP superaban los 125 millones (U.S. Department of Energy). El consumo de energía de los motores es muy importante, y la consecuencia son emisiones a la atmósfera de CO2 para producir la energía consumida, con el consiguiente aumento del efecto invernadero. Es por esto que en los últimos años se está poniendo un especial énfasis en la mejora de la eficiencia energética de los accionamientos eléctricos. He aquí la importancia del programa realizado, pues permite modificar los parámetros constructivos de los motores de inducción, evitando la fabricación de muchos prototipos y la realización de muchas pruebas en el laboratorio, hasta conseguir las características de funcionamiento y arranque óptimas. Hace unos años el entonces presidente de los Estados Unidos George Bush firmó una ley de política energética, cuyo objetivo era tener un gran efecto en fabricantes, compradores y usuarios del motor eléctrico. EPACT’92 tiene como finalidad la conservación de la energía, reduciendo la necesidad de crear nuevas centrales eléctricas, disminuyendo el efecto invernadero al necesitar quemar menos combustibles fósiles. Dicha política energética promulga que en un plazo no superior a 10 años todos los fabricantes deberán tener motores con un rendimiento mayor que el estándar de 0.75 kW - 150 kW. Desde la entrada en vigor de dicha ley, la comisión Europea (Directorate General XVII - Energy) ha acelerado la aplicación de una política que proporcionará el uso de motores de alto rendimiento. En EUA, el Departamento de Energía con EPACT obliga a partir del 24 de Octubre de 1997, que los motores que se comercializan en USA según norma NEMA o IEC, cumplan con un rendimiento mínimo. La tabla 3 muestra los

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valores para motores abiertos y cerrados (con IP mínimo 54) de 0.75 a 150 kW, para 2,4 y 6 polos.( Federal Register Publication, Public Law 102-486-OCT,1992) En Europa un nuevo programa, designando las clases de eficiencia energética para motores de corriente alterna, ha sido establecido gracias a la cooperación entre los fabricantes agrupados en la CEMEP ( European Comitee of Manufacturers of Electrical Machines and Power Electronics) y la Comisión Europea (European Comission, Directorate XVII - Energy). Este programa es un elemento importante en el compromiso europeo para incrementar la eficiencia en los accionamientos eléctricos. Los resultados esperados por el programa son: Una reducción del consumo de energía en Europa. Una reducción en los costes de la industria europea. Una reducción en las emisiones de CO2 europeas. Por tanto con este proyecto se pretende disminuir los gastos de consumo de energía disminuyendo el numero de fabricación de nuevos prototipos, ya que no serian necesarias tantas pruebas a la hora de diseñar un motor. Y en segundo lugar una disminución del consumo de energía de los nuevos motores ya que se obtiene una herramienta con la que se pueden obtener motores con mejores rendimientos.

17. Bibliografía

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18. Simbología

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Símbolo Asm B Bm

Descripción

Amplitud de la onda capa de corriente Campo magnético Campo magnético máximo

cosϕ

Factor de potencia

E

Tensión inducida

I

Intensidad eficaz

Iµ

Intensidad magnetizante

Intensidad en el hierro IFe Intensidad de vacío I0 Factor de Carter para estator KC1 Factor de Carter para rotor KC2 Factor de reducción ranura(parte cuña) KK Factor de reducción ranura(parte cobre) Kcu M Par motor Par nominal MN N Número de espiras de una bobina Q Potencia reactiva P Potencia activa Pn Potencia nominal Prot Pérdidas en el rotor Pérdidas en el cobre PCu Pérdidas por rozamiento en los cojinetes PRC Pérdidas por rozamiento escobilla-colector PRE PV R1 R2 Re Ri RFe Rie Rk Rw S U

Pérdidas por el ventilador Resistencia del estator Resistencia del rotor Resistencia de la jaula exterior del rotor Resistencia de la jaula interior del rotor Resistencia del hierro Resistencia de los anillos del rotor Resistencia en frío Resistencia en caliente Potencia aparente Tensión

Símbolo

Descripción

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Vµ

Caída de tensión magnética total

VL

Caída de tensión magnética en el entrehierro

VZ VR X1

Caída de tensión magnética en los dientes Caída de tensión magnética en la corona Reactancia del rotor

Xµ

Reactancia de magnetización

Reactancia de la ranura exterior del rotor Xe Reactancia de la ranura interior del rotor Xi Reactancia doblemente concatenada Xd Reactancia de dispersión de ranura Xnut Reactancia de dispersión cabeza de bobina Xs Reactancia de dispersión inclinación ranura Xschr Z Impedancia total del circuito Impedancia del estator Z1 Impedancia del rotor Z2 Impedancia jaula interior del rotor Zi Impedancia jaula exterior del rotor Ze a(x) Anchura conjunto conductores alojados en la ranura b(x) Anchura de la ranura Altura de la ranura hn i Intensidad s Deslizamiento p Pares de polos f Frecuencia Frecuencia de la intensidad del estator f1 Frecuencia de la intensidad del rotor f2 l Longitud paquete de chapas Masa total del hierro mfe Fases del estator m1 Fases del rotor m2 n Velocidad en rpm ns Velocidad síncrona en rpm Número de ranuras estator n1 Número de ranuras rotor n2 pµ

Pérdidas específicas por magnetización

ph pFo s

Pérdidas específicas por histéresis Pérdidas específicas por Foucault Deslizamiento

Símbolo

Descripción

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s(n) Deslizamiento en función de la velocidad t Tiempo tk Temperatura ambiente con el motor en frío tw Temperatura en caliente z Conductores activos por fase w Velocidad en rad/s ws Velocidad síncrona en rad/s α

Coeficiente de aplanamiento

δ

Altura radial del entrehierro

ξd

Factor de distribución

ξp

Factor de acortamiento de paso

ξb

Factor de bobinado

ξi

Factor de inclinación de ranura

φ

Flujo magnético

φL

Flujo en el entrehierro

φR

Flujo en la corona

φnut φZ ϕ λn

Flujo en la ranura Flujo en los dientes Ángulo del factor de potencia Dispersión de ranura

η

Rendimiento

µ

Permeabilidad

ρ

Resistividad

σd σschr

Dispersión doblemente concatenada Dispersión inclinación ranura

σFo

Pérdidas de Foucault para f=50Hz y B=1 Tesla

σh

Pérdidas de histéresis para f=50Hz y B=1 Tesla

Λ Θ

Permeancia para cabeza de bobina Fuerza magnetomotriz

τδ

Paso de ranura

τp

Paso polar

∆T

Incremento de temperaturas

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19. Las maquinas de inducción asíncronas trifásicas

19.1. Descripción del motor eléctrico asíncrono trifásico [16] Un motor de inducción es simplemente un transformador eléctrico cuyo circuito magnético está separado, por medio de un entrehierro, en dos partes: una parte fija llamada estator y otra parte móvil llamada rotor. El estator está formado por un devanado (primario) situado en un núcleo de chapas magnéticas de acero ranuradas. El rotor al igual que el estator, también posee un núcleo de chapas magnéticas ranuradas en el cual se sitúa un devanado (secundario), pero éste, puede que no sea bobinado sino que contenga unas barras de cobre, bronce, o aluminio unidas en los extremos a unos anillos (rotor de jaula de ardilla) que las cortocircuiten. Entre el estator y el rotor existe una separación de aire que debe ser lo más reducida posible, sin que haya roce alguno, y que se denomina entrehierro. Cuando se suministra una corriente alterna, procedente de una red, al devanado primario, se induce una corriente de sentido opuesto en el devanado secundario, produciéndose flujo magnético en el entrehierro, siempre que éste último esté cerrado en cortocircuito o a través de una impedancia exterior. Dicho flujo magnético determina un par de giro sobre el rotor transformando la energía eléctrica en energía mecánica. En los motores asíncronos trifásicos, se hacen circular corrientes alternas que generan un campo magnético sinusoidal que gira sincrónicamente (velocidad de sincronismo) con la frecuencia de la fuente de alimentación del motor. El motor de inducción en vacío puede llegar a alcanzar velocidades casi iguales a la de sincronismo, pero en el momento en que se aplique carga, la velocidad se reduce a un valor inferior al de sincronismo, de ahí el nombre de motores asíncronos. La característica esencial que distingue a la máquina de inducción de los otros tipos de motores eléctricos, es que las corrientes secundarias se engendran solamente por inducción, como en un transformador, en vez de ser suministradas por una excitatriz de corriente continua u otra fuente exterior de energía, como en las máquinas sincrónicas y en las de corriente continua.

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Figura 2.01 Despiece de un motor asíncrono trifásico con rotor de jaula de ardilla [2].

El tipo de motores que contemplan las figuras 2.01 y 2.02 son motores asíncronos trifásicos con rotor de jaula de ardilla, como se ha mencionado anteriormente, está formado por un eje y un núcleo de chapas magnéticas prensadas, en cuyo interior, se sitúa el devanado secundario compuesto por barras de aluminio inyectadas (jaula del rotor) (figura 2.03). El estator, por otro

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lado, está formado por un bobinado alojado en las ranuras de un núcleo de chapas magnéticas prensadas, protegido de posibles contactos a masa mediante material aislante (figura 2.04) que puede ser de diferentes tipos dependiendo de las condiciones de trabajo que se exigirán al motor. Se utilizan tres tipos de aislamiento que son: aislamiento clase B, F y H. Por ejemplo, el tipo H se utiliza en condiciones de funcionamiento duras como temperatura ambiente y sobrecargas elevadas. Este tipo de motores tienen unas características que hacen que sea el más utilizado, como por ejemplo, su poco mantenimiento y solidez, su capacidad de mantener una velocidad constante y sobrecarga, o su bajo coste de fabricación.

Figura 2.02 Despiece de un motor asíncrono trifásico con rotor de jaula de ardilla [2].

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Figura 2.03 Rotor de jaula de ardilla

Figura 2.04 Estator

El devanado estatórico de p, pares de polos, es alimentado por el sistema de corrientes trifásicas de la red, de pulsación ω [rad/s], creando un campo giratorio de velocidad angular Ω = ω/p [rad/s], que expresada en vueltas por minuto, viene dada por:

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ns =

60Ω 60 f = 2π p

[1/min]

donde f es la frecuencia de la red en Hz. A esta velocidad se la denomina velocidad sincrónica. Observando la figura 2.05 se puede recordar el concepto de polo. En el dibujo, las zonas de entrada de las líneas del campo magnético corresponden al polo norte de éste, y las zonas de salida, que corresponderían al polo sur, se situarían a 180 grados. El número de polos viene normalizado y se pueden construir motores de 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24... y de hasta 80 polos.

Figura 2.05 Distribución de los polos en una máquina asíncrona

A partir de la velocidad sincrónica puede obtenerse el deslizamiento, que se define como la relación que existe entre la diferencia de velocidad del campo magnético giratorio creado por el devanado estatórico y del campo inducido en el rotor, y la velocidad del campo inductor creado por el estator, y que puede expresarse de la siguiente forma:

s=

ns − n ns

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donde ns es la velocidad sincrónica y n la velocidad del rotor. El deslizamiento viene expresado en %. La potencia absorbida por el motor es la suma de la potencia útil que proporciona (potencia mecánica) y de las pérdidas totales que se producen en todas las partes que lo componen (pérdidas mecánicas, pérdidas en el hierro, pérdidas en el bobinado del estator, pérdidas en la jaula del rotor y pérdidas adicionales). La potencia nominal se refiere a la potencia mecánica desarrollada en el eje del motor a su velocidad nominal y puede calcularse mediante la siguiente expresión:

PN = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ ⋅ η

[W].

donde U es la tensión de red, I la corriente de red, cosϕ es el factor de potencia y η es el rendimiento que se define como la relación entre la potencia útil desarrollada por el motor y la potencia total absorbida por éste. La potencia absorvida se refiere a la potencia activa, que la definimos como la proporción de potencia que el motor absorbe de la red para transformarla en energía mecánica o calorífica. La potencia activa se calcula de la siguiente forma:

P1 = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ

[W]

Para crear un campo magnético cada una de las tres fases del motor debe absorber cierta potencia que no contribuye a la potencia de salida del motor y que por tanto debe ser lo más baja posible. A esta potencia se la denomina potencia reactiva, y se obtiene de la siguiente expresión:

Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sinϕ

var (voltio-amperio reactivo)

La potencia activa y reactiva pueden representarse gráficamente como dos vectores desfasados entre si 90 grados cuyo vector resultante se denomina potencia aparente. La potencia aparente se expresa en VA (voltio-amperio) y se calcula de la siguiente forma:

S = 3 ⋅U ⋅ I

[VA]

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De la relación entre la potencia activa (absorbida) y la potencia aparente se obtiene el factor de potencia:

cos ϕ =

P1 S

El momento de giro del motor se expresa en Nm (M=Fuerza x longitud del brazo de palanca) y se obtiene a partir de la potencia y la velocidad nominales del motor mediante la siguiente expresión:

MN =

PN ⋅ 9550 [Nm] nN

Mediante la expresión anterior, el momento se obtiene en función de la velocidad asíncrona, pero puede también calcularse referido a la velocidad sincrónica, con lo que nos quedaría la siguiente fórmula:

MN =

PN ⋅ 10000 ns

[Nm]

Como en el sistema trifásico la suma de los vectores instantáneos de los vectores instantáneos de las tres corrientes es, en cada momento, igual a cero, pueden reducirse por agrupación las seis bornas o conductores, que sería, para un devanado trifásico, a tres. Esta agrupación es factible realizarla de dos formas distintas, denominadas conexión estrella y conexión triángulo. a) Conexión estrella: Resulta de unir los extremos finales de las tres ranuras en un punto común, llamado neutro o centro de la estrella. La tensión entre bornes es, en este caso, raíz de tres veces la de la fase, mientras que la corriente de línea es la misma que la de la fase. La conexión en estrella se simboliza con el signo Y. Un motor trifásico conectado en estrella a una tensión de alimentación de 380V, quedará sometido a 220V por fase. b) Conexión triángulo: Resulta de conectar sucesivamente los extremos de las tres ranuras, y los puntos de unión resultantes, con la red. Las tensiones en cada fase del devanado don las mismas que la de la red, mientras que la corriente de línea e raíz de tres veces superior a la de fase. El símbolo ∆ caracteriza la conexión triángulo.

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VI. VII. Esquemas de conexión para las máquinas trifásicas con rótor de jaula de ardilla:

Figura 2.06. Conexionado externo de los motores de inducción.

19.2. Circuito eléctrico

19.2.1. Producción de la f.e.m. Se va a determinar el valor de la f.e.m inducida en un motor de corriente alterna. Supóngase que el sistema inductor produce un flujo giratorio de p pares de polos e inducción B senoidalmente distribuida en el entrehierro, que avance con velocidad constante v. Según la ecuación e = Blv (l=longitud del paquete de chapas), la f.e.m inducida, en cada lado de bobina seguirá una ley de variación senoidal en el tiempo, a razón de p períodos por cada revolución del inductor, y con ello la frecuencia f (en Hz) si la velocidad de giro es de n rev/min, valdrá f =

pn . 60

Suponiendo concentrado y bobinado de trabajo en una sola bobina de N espiras y anchura o paso diametral (igual al paso polar) las f.e.m inducidas en

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los 2N conductores de las ranuras se suman en fase para dar la f.e.m total E de la bobina:

E = 2N

Bm lv 2

donde, como suele hacerse para las máquinas de corriente alterna, E viene calculada en su valor eficaz y Bm expresada por su máximo.

Figura 2.07. F.e.m de los devanados concéntricos y distribuídos.

Cada segundo recorre el campo el trayecto 2τp de un doble paso polar f veces, de modo que la velocidad v=2fτp. Con Bm = π/2Bmed, siendo Bmed el valor medio de la inducción correspondiente a una semionda senoidal,

E=

2π fN ( Bmedτ pl ) = 4,44 fNφ 2

siendo φ el flujo en el entrehierro por polo. La fórmula que resulta para la f.e.m rotatoria es, en definitiva la misma que para los transformadores. La distribución senoidal de la onda móvil de inducción provoca en la bobina un flujo alterno de variación senoidal en el tiempo y valor máximo φm=φ.

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De hecho, el devanado de trabajo se encuentra distribuido entre varias bobinas simples a lo largo de cada paso polar; en el caso de un motor monofásico, cubriendo por lo general, 2/3 del paso en cuestión (120º eléctricos), mientras que en las máquinas trifásicas el bobinado de cada fase se extiende sobre 1/3 del paso de cada polo (60º eléctricos) (figura 2.07 c). De acuerdo con esta distribución espacial de las bobinas individuales, las f.e.m inducidas en ellas, aunque pertenezcan a la misma fase, se hallan desfasadas entre sí en el tiempo, y la suma que resulta de la composición vectorial de las mismas da un valor inferior al que se obtendría con un devanado concentrado, según puede verse en la figura 2.07. El coeficiente de reducción ξd es lo que se llama factor de distribución, y la expresión de la f.e.m total por fase toma entonces la forma E = 4,44 fξ d Nφ . Antes de proceder al cálculo de este coeficiente destacar que su valor es independiente de la forma en que se conectan los conductores de las ranuras de un polo con los del polo próximo. Lo mismo vale, pues, para devanados imbricados, como el de la figura 2.08 a, que concéntricos (figura 2.08 b), es decir, que resulta independiente de la forma de las cabezas de bobina. La razón reside en que el orden de sumando no altera la suma, aunque sea vectorial.

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Figura 2.08. Devanado de bobinas iguales a) y desiguales b).

19.2.1.1. Factor de distribución. El cálculo del factor de distribución se basa en la adición geométrica de las tensiones por conductor o por espira de los que constituyen una fase. Para ello empezaremos por determinarlo como factor de zona, que viene a ser el factor de distribución del devanado supuesto repartido de una manera continua como capa conductora. Imaginando así que los hilos de una fase cubren uniformemente la zona del entrehierro donde se hallan distribuidos, determinada por el ángulo eléctrico 2π/2m o π/m en los arrollamientos polifásicos con m=número de fases (3 en los trifásicos con ángulo eléctrico de 60º), el factor de zona ξd viene dado por la relación de la cuerda al arco del ángulo γ. La cuerda representa, efectivamente la suma geométrica de las f.e.m de todos los conductores comprendidos en el ángulo γ en cuestión, mientras que el arco nos daría la suma aritmética, o sea la f.e.m con el arrollamiento concentrado. Según la figura 208 es, pues,

γ

Cuerda = ξd = Arco

2 sen( ) 2

γ

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Si el devanado es trifásico con γ=60º,

ξd =

2 ⋅ 0,5 3 = = 0,955 π /3 π

Se puede concluir que al aumentar de extensión la zona en que se distribuyen las espiras de un devanado, disminuye consecuentemente el factor de zona ξd y, por tanto, la tensión resultante Et que puede obtenerse.

19.2.1.2. Factor de acortamiento de paso. Hasta aquí hemos supuesto que los lados de bobina abrazaban justamente un ángulo de 180º eléctricos, o sea, un paso polar completo y, por tanto, el flujo íntegro de un polo. Si la separación entre ambos lados es menor que la indicada, como aparece en la figura 2.09, la bobina abrazará sólo un parte del flujo polar.

Figura 2.09. Bobina de paso acortado Tales bobinas se denominan entonces de paso acortado o de cuerdas, en oposición a las otras (figura 2.07.), de paso diametral. Para determinar el valor máximo del flujo abrazado es preciso integrar la función de éste a lo largo del arco b subtendido por la bobina de paso acortado, y admitiendo una repartición senoidal de dicho flujo resulta para la integral propuesta la expresión

φ sen(

π b ) , siendo φ el flujo por polo. 2 τp

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En consecuencia, la f.e.m Ep con paso acortado viene dada, en relación con la de paso diametral Ed, por

E p = E d sen(

π b ) 2 τp

de donde el factor de paso ξp, correspondiente a una bobina de arco b en un inducido de paso polar τp, vale

ξ p = sen(

π b ) 2 τp

El acortamiento de paso se practica casi siempre en devanados de dos capas y como el representado simplificadamente en la figura 2.10 a relativa a una máquina bipolar. En ésta, por corrimiento de una capa de conductores respecto de la otra, se ha producido un acortamiento de paso igual a un ángulo eléctrico π −

b

τp

π = π (1 −

b

τp

)

Figura 2.10. a)Distribución de los devanados en el arco b dentro de un paso polar τp; b)diagrama de tensiones

lo que produce un desfase igual entre las f.e.m EI y EII de los conductores de ida y de vuelta de cada bobina, conforme a la figura 2.10 b. Por lo tanto, la f.e.m

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resultante E es sólo igual a la suma vectorial de las componentes, en lugar de serlo a su suma aritmética. De la figura 2.10 b se deduce fácilmente,

ξp =

π E E/2 b  π b = = cos  (1 − ) = sen( ) 2 τp τ p  EI + EII EI  2

resultado que concuerda con el obtenido anteriormente. Si designamos por αp el ángulo eléctrico de acortamiento, se tiene más sencillamente:

ξ p = cos

αp 2

El acortamiento de paso origina, junto con la disminución de la tensión, una reducción en la longitud de las cabezas de bobina.

19.2.1.3. Factor de inclinación de ranura. A menudo con el objeto de mejorar la onda de campo se realiza una inclinación de las ranuras con respecto a la generatriz cilíndrica, o los bordes longitudinales de las expansiones polares con respecto al eje de giro.

Figura 2.11. Onda de campo de una bobina de paso diametral con ranuras inclinadas.

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En estas condiciones la tensión magnética a lo largo del entrehierro ya no será un rectángulo sino un trapecio de altura igual a la del rectángulo y cuyas bases serán respectivamente si el paso de la inclinación es c (figura 2.11), Base mayor: τp Base menor: τp – c El efecto magnético es, pues, equivalente al de un devanado distribuido uniformemente que cubriera toda la zona de inclinación c. El ángulo correspondiente a esta zona c vale:

αi =

2 p·· c D

rad. Eléctricos

Si la inclinación de las ranuras o de los bordes de los polos corresponden exactamente a un paso de ranura, como suele ser bastante corriente

c=

πD k

αi =

2 pπ k

rad. Eléctricos

siendo k el número de ranuras del devanado. En consecuencia, una máquina con ranura inclinada, su fuerza magnetomotriz se verá afectada por un nuevo factor de reducción, el factor de inclinación cuyo valor es equivalente al del factor de distribución de una capa de corriente uniforme que cubriera la zona c.

ξ1 =

cuerda = arco

sen

αi

αi

2

2 El factor de inclinación en comparación con los otros dos es prácticamente despreciable ya que su valor es muy próximo a 1.

19.2.1.4. Factor de bobinado.

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Si el devanado es, a la vez distribuido, de paso acortado y con ranuras inclinadas, la tensión inducida se reduce simultáneamente por los factores de distribución, de paso y de inclinación, combinados en un coeficiente único que llamaremos factor de bobinado: ξb = ξdξpξi La f.e.m resultante por fase viene dad, así, por la fórmula general:

E f = 4,44ξ b Nfφ m10 −8

19.2.2. Determinación de las superficies de las ranuras. El cálculo de la superficie de la ranura es muy importante ya que se ha de realizar con la máxima exactitud sea cual sea la forma de la ranura. Del cálculo de la superficie de la ranura dependen parámetros tan importantes como el factor de relleno, resistencia de los devanados, etc. Cuando la anchura de la ranura, así como el conjunto de conductores alojados en la misma, varían con la altura de la ranura, la reactancia específica de dispersión λn se determinará por integración:

λn =

∫

hn

0

2 1  x ⋅ ∫ a( x)dx  ⋅ dx  b( x)  0

 hn a ( x)dx    ∫0

2

=

E i2

a(x)

b

hn

b(x):anchura de la ranura. a(x):anchura del conductor o conjunto de conductores alojados en la ranura. hn: altura de la ranura.

x

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Como condición se toma que la densidad de corriente sea constante a lo largo de toda la x. La integral

x

∫ a( x)dx 0

es una unidad de la corriente que circula

entre la base de la ranura y una altura x. Elevando al cuadrado esta expresión y dividiéndola por el cuadrado de b(x) se obtiene una densidad de energía relativa, la cual multiplicada por b(x) y por dx nos da el diferencial de energía para la altura x. Al integrarlo de 0 a hn nos da la energía relativa de la ranura. En el denominador se representa la corriente relativa de la ranura al cuadrado: 2

 xa( x)dx   ∫0  b( x)dx 2 b( x ) E

De esta forma nos queda la expresión general de  2  . i  La

reactancia

Χ nut = 2πf 2

de

dispersión

de

ranura

se

puede

obtener

mediante:

E i2

Por tanto, en el cálculo exacto de la reactancia de dispersión de ranura juega un papel muy importante el conocimiento de su geometría.

19.2.3. Relación de transformación. La relación de transformación de una máquina asíncrona se basa en el mismo principio que para un transformador, pero evidentemente, hay que tener en cuenta que tenemos diferentes fases y bobinados en el rotor y estator. Supóngase que el bobinado del rotor de una máquina está constituido por z2 conductores distribuidos uniformemente entre n2 ranuras y m2 fases con un factor de bobinado ξ2. Imaginar que este bobinado del rotor es sustituido por otro idéntico al del estator en lo que a número de conductores y fases se refiere, es decir, con z1 conductores, m1 fases y factor de bobinado ξ1. Las f.e.m por fases, en reposo, serían entonces iguales para el primario (E1) y para el nuevo secundario (E2’),

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puesto que estarán inducidas por el mismo flujo común del entrehierro y a la misma frecuencia f1. Como estas f.e.m son proporcionales a los números correspondientes de conductores activos, también por fase, tendremos con relación a los valores primitivos del rotor:

 z1   ξ 1 E1 E 2 '  m1  m zξ = = = 2 1 1 = rE E2 E2  z2  m 2 z 2ξ 2  ξ 2  m2  Se va a establecer para el nuevo rotor reducido al estator la condición fundamental de que se conserve la potencia electromagnética aparente: Pem = m2E2I2 = m1E2’I2’ de donde,

I 2' m 2 E 2 m 2 m1 z 2ξ 2 z 2ξ 2 = = = = rI I 2 m1 E 2 ' m1 m 2 z1ξ 1 z1ξ 1 como se observa, la corriente del rotor referida al estator es independiente tanto del número de fases primarias como del número de fases secundarias. Añadiendo otra condición, que las pérdidas por efecto Joule en el rotor se mantengan invariables: PJ2 = m2I22R2 = m2I’22R2’ =P’J2 De aquí, finalmente, se obtendrá también la relación de transformación tanto para la resistencia como para la reactancia del rotor:

R 2' m 2  I 2'  = R 2 m1  I 2

2

 m zξ  = 2 1 1  m1  z 2ξ 2 

X 2' m 2  z1ξ 1  = X 2 m1  z 2ξ 2

2

2

  = rΩ 

  = rΩ 

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Sabiendo que en un rotor de jaula de ardilla hay tantas fases como ranuras de rotor y que el factor de bobinado es 1, queda que para el caso trifásico: m1 = 3 m2 = n2 ξ2 = 1

rΩ =

n2 ( z1ξ 1 )2 3

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19.3. Circuito magnético [16]

19.3.1. El campo magnético Al conectar el devanado estatórico de un motor de inducción a una fuente trifásica, se produce la circulación de un sistema equilibrado de corrientes. La circulación de estas corrientes por las bobinas estatóricas, simétricamente distribuídas, da lugar a la aparición de una onda de campo giratoria. Si el motor está en reposo, este campo giratorio irá barriendo las barras del rotor, induciendo en ellas una FEM. La ley de inducción electromagnética de Faraday asegura sobre cualquier conductor rotórico se induce una FEM e = l· v x B, mientras esté cortando líneas de campo. El sentido de esta FEM se puede determinar directamente a partir del producto vectorial. Hay que tener presente que v es la velocidad relativa del conductor respecto al campo. Como las barras del rotor presentan poca impedancia y están cortocircuitadas, la FEM inducida produce una elevada corriente por cada barra. La circulación de esta corriente por un conductor rotórico que está en presencia del campo magnético creado por el devanado estatórico, hace que se ejerza sobre él una fuerza F=l·S·σxB. La fuerza electromagnética ejercida sobre el conductor tiende a hacerle seguir al campo. Si el rotor puede moverse libremente, la fuerza que se ejerce sobre el mismo lo acelera haciéndole seguir al campo, pero sin llegar nunca a alcanzarlo. Esto es debido a que al ir aumentando la velocidad, va disminuyendo la velocidad relativa (que es la que induce la FEM), con lo que disminuyen la FEM, la corriente inducida y la fuerza ejercida. Si la velocidad del rotor llegara a alcanzar a la del campo, se anularía la FEM, anulándose también la corriente inducida y la fuerza ejercida, con lo que la fricción empezaría a frenar al rotor, bajando su velocidad. Cuando funciona como motor, la velocidad de rotor siempre es ligeramente menor que la del campo, de forma que se produzca en las barras una corriente suficientemente grande como para vencer el par resistente. En vacío, como el par de fricción es muy pequeño, la diferencia en velocidad es muy pequeña.

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Si se aplica una carga mecánica en el eje, la velocidad empieza a disminuir, con lo que los conductores van siendo cortados por el campo cada vez a mayor velocidad. La FEM inducida y la corriente en las barras van aumentando, produciendo un par motor cada vez mayor. Cuando el par motor iguala al par de carga, termina este proceso transitorio y la velocidad se estabiliza en un valor ligeramente al de vacío. Como las barras presentan muy poca impedancia, una ligera variación en la velocidad relativa produce una variación importante de la corriente rotórica. Por ello, la máquina de inducción funciona siempre con velocidades muy próximas a la de sincronismo. Si por un medio externo se consigue que la velocidad del rotor supere a la del campo, se invierte el sentido de la velocidad relativa. Esto hace que se invierta el sentido de la FEM y, en consecuencia, el de la corriente inducida y el de la fuerza ejercida. Ahora por el contrario, la fuerza que ejerce el campo sobre el conductor tiende a frenarlo. Cuanto mayor es la velocidad relativa mayores son la FEM, la corriente inducida y la fuerza de frenado ejercida. En cualquier caso, la fuerza que se ejerce sobre los conductores se debe a la circulación de corrientes inducidas en los propios conductores por su movimiento relativo respecto al campo. De ahí el nombre de máquina de inducción. Cuando la velocidad del rotor es superior a la del campo, éste frena a los conductores rotóricos, la máquina de inducción funciona como generador, absorbiendo potencia mecánica por el rotor. En este último caso, como el devanado estatórico está siempre conectado a la red, los valores de frecuencia y tensión de la potencia eléctrica producida serán los de la propia red a la que está conectado. Por tanto son constantes con independencia de la velocidad de giro. Esto hace que el generador de inducción no precise regulador de velocidad para su motor primario.

19.3.2. Flujo principal y flujos de dispersión. Como en el transformador el flujo principal es el flujo que está entrelazado con ambos arrollamientos, es decir, el arrollamiento del estator y del rotor. Su trayectoria consiste de los núcleos del estator y del rotor, los dientes del estator y del rotor, y dos veces el entrehierro. El flujo de dispersión, por su parte, abarcaría todas aquellas líneas de campo no incluidas en el flujo común a los dos arrollamientos: estator y rotor.

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Físicamente existe únicamente un solo flujo en la máquina, es decir, el flujo total. La división en el flujo principal y el flujo de dispersión es necesaria ya que sólo el flujo entrelazado con ambos arrollamientos es el que induce una f.e.m en el arrollamiento secundario (rotor). La segunda razón es que las dos clases de flujo tienen trayectorias con reluctancias enteramente diferentes. Mientras que la reluctancia de los flujos de dispersión está determinada principalmente por el aire (µ = 1), resultando una trayectoria de alta reluctancia, la trayectoria del flujo principal está contenida en el hierro, con un valor elevado de µ, y en el entrehierro que es relativamente pequeño con respecto a las trayectorias en el aire de los flujos de dispersión. El hecho de que la reluctancia de las trayectorias de los flujos de dispersión esté determinada principalmente por el aire y sea además casi constante hace directamente proporcional la magnitud de los flujos de dispersión a la corriente (f.m.m) producida por éstos. Esto no se aplica al flujo principal, cuya trayectoria está situada en el entrehierro y el hierro. La magnitud del flujo principal está determinada por la f.m.m de acuerdo con la curva de saturación de hierro usada, el flujo principal no es proporcional a la f.m.m que lo produce. Se considerarán los siguientes flujos de dispersión: •

Dispersión de ranura.

•

Dispersión de cabeza de bobina.

•

Dispersión doblemente concatenada.

•

Dispersión de inclinación de ranura.

19.3.3. Reactancias de dispersión

19.3.3.1. Reactancia de dispersión de ranura El cálculo de esta dispersión es el más accesible. La abertura de la ranura tiene una influencia decisiva e cuanto a la distribución del campo. Con el tipo de ranura abierta el camino que sigue el flujo inverso es enteramente transversal a través del espacio de la misma. En el fondo de la ranura se presenta una inducción nula, en cambio, en la abertura de la ranura se encuentra

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la inducción más grande. Esto indica que en el caso de una ranura cerrada tendremos otra distribución de flujo. Para el cálculo prescindiremos del desplazamiento de la corriente y se considerará que la corriente se reparte uniformemente a través de todos los conductores. La figura 2.12 muestra una ranura semicerrada con bobinado de una capa. La figura 2.13 muestra una ranura abierta con bobinado de doble capa. A la izquierda de la figura se muestra la capa de corriente A, constante en toda la zona donde van alojados los conductores. A la derecha se muestra la integral de la capa de corriente, o lo que es lo mismo, los amperios vuelta o la curva de excitación del campo. Como se observa en la figura esta excitación aumenta linealmente en la zona de los conductores y se mantiene constante en el resto. Esta curva se tomará para determinar la inducción magnética B.

Figura 2.12 y 2.13 Dispersión en una ranura semicerrada con bobinado de una capa y una ranura abierta con bobinado de doble capa.

La inducción tiene valor nulo en la parte inferior del conductor pero crece linealmente a lo largo de todo el devanado. Al llegar a la zona del estrechamiento de la ranura, la inducción crece como una hipérbola y alcanza un valor máximo al llegar a la espinilla. El establecimiento del campo fuera de la ranura se considerará en la dispersión doblemente concatenada.

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Vease el siguiente ejemplo con datos numéricos para hacernos una idea de los niveles de inducción: Una ranura rectangular de dimensiones 12,5x60 mm y con un factor de relleno del 35% tiene en total 263 mm2 de cobre. Para una densidad de corriente 4,5 A/mm2 presenta una corriente efectiva de 1180 A y un valor de pico igual a

1180 ⋅ 2 = 1670 A . Éste es también el valor de pico de los amperios vuelta que se tiene en la zona de la espinilla, es decir donde ya no hay devanado. Para una espinilla con anchura de 2,5 mm, la inducción en ese punto tiene un valor mayor que para el resto de la ranura:

Besp =

1670 V = = 8400G 10 0,8 ⋅ 0,25 ⋅ lesp 4π

En cortocircuito la corriente puede llegar a ser cinco veces más grande que este valor, por lo tanto la inducción en la espinilla crecería de una forma numérica hasta 42000 G. Este valor produciría la aparición de elevadas saturaciones en la cabeza de los dientes de las ranuras. En la ranura abierta no aumenta tanto la inducción en su parte superior ya que el ancho de la ranura se mantiene constante. El flujo de dispersión de la ranura induce una tensión en cada uno de los conductores, la cual dividida por la corriente que circula por estos conductores da la reactancia de dispersión. Hay que tener en cuenta que la totalidad del flujo de dispersión tan sólo se encuentra concatenado en la parte inferior del devanado y en la parte superior sólo se induce una parte del flujo. En consecuencia se ha de determinar el flujo medio de dispersión. A continuación, se va a determinar la reactancia de dispersión de ranura y para ello partiremos de la energía del campo magnético almacenada en dicha ranura. Suponiendo un único por el cual circula una corriente i, la energía E del circuito magnético de dispersión vendrá dada por la expresión:

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E=

1 2 Li 2

de la cual se puede obtener la inductividad:

L=

2E i2

lo cual indica que la reactancia de dispersión para un conductor sea:

X nut = 2πfL = 2πf

2E i2

En el caso general de tener z conductores en la ranura:

X nut = Z 2 2πf

2E i2

Se considerará el caso más sencillo, es decir un único conductor por el que circula una intensidad i, situado en el fondo de una ranura de ancho b, altura h y longitud axial l. Al haber un solo conductor, la fuerza magnetomotriz resulta:

F .m.m = N ⋅ I = 1 ⋅ i = i La intensidad del campo magnético H, el cual es totalmente horizontal a la ranura y por tanto su camino recorrido es b, tiene un valor:

H =

F .m.m V = b b

la inducción magnética:

B=

H H = 10 0,8 4π

donde H=[A/cm] y B[G], con una densidad de energía:

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e=

1 B H 8 2 10

donde B/108=[Vs/cm2] y e=[Ws/cm3]. Para obtener la energía total multiplicamos esta densidad e por el volumen de la ranura:

E = bhle en Ws es decir,

E=

π h 1 1 H2 i2 π bhlB10− 8 = bhl 4π 10 − 8 = bhl 2 10 − 8 = l 10 − 8 2 2 10 b 5 5 b

finalmente queda que la reactancia de dispersión es:

X nut

h 2 E 4π 2 f l10 − 6 = 2πf 2 = en ohmios. b 10 50 i

La relación h/b es un valor adimensional que únicamente depende de la geometria de la ranura. A este valor se le denomina permeancia de dispersión. Para los diferentes tipos de ranuras se puede calcular su valor de permeancia de dispersión de igual forma que el anterior ejemplo. Siempre dependerá exclusivamente de la geometria de la propia ranura y será un valor adimensional. En la figura 2.14 se detallan las aproximaciones que se realizan habitualmente para calcular la permeancia de dispersión de cada una de las ranuras.

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Figura 2.14. Permeancias de dispersión para cada tipo de ranura.

19.3.3.2. Reactancia de dispersión de las cabezas de bobina. Se calcula mediante la expresión:

N2 X S = 15,8 f Λ S 10 − 8 p donde XS viene en Ω/fase con f en Hz. La permeancia que aquí interviene ΛS no es la específica por centímetro de longitud, sino que incluye el producto de este número (sin dimensión) para las cabezas de bobina por la longitud media lsp de estas conexiones (figura 2.15).

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Figura 2.15. Cálculo de la longitud media de las cabezas de bobina. La permeancia ΛS tiene los siguientes valores para devanados de una capa: ΛS = 0,67lsp-0,43τ’p con arrollamiento en dos planos ΛS = 0,47lsp-0,3τ’p con arrollamiento en dos planos τ’p es el paso polar medido a media altura de los dientes, y lS el desarrollo medio de una cabeza de bobina. Para este desarrollo puede tomarse en primera aproximación las siguientes expresiones: lSp ≈ 1,8 τp + 2U + (5...20) cm, en arrollamiento de dos y tres planos. lSp ≈ 1,2 τp para los de una sola capa, rotóricos. En la primera expresión U es la tensión de línea en kilovoltios y 2U tiene en cuenta la mayor separación necesaria entre cabezas de bobina al aumentar el voltaje. Para devanados de doble capa (figura 2.16.), la permeancia viene dada por:

Λ S = 1,13ξ12 (hh + 0,5m) en cuanto a m, puede tomarse:

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m=

K 'τ rmed c 2 2 τ rmed − c2

siendo K’ el número de dientes comprendidos entre los dos lados de una bobina, c=bi+ai (figura 2.16) la suma del grueso de una cabeza de bobina aislada más al espacio de separación entre dos de ellas consecutivas, y τrmed el paso de ranuras a la mitad del diente.

Figura 2.16. Dimensiones de las cabezas de bobina para el cálculo de la reactancia de dispersión. En cuanto a los rotores de jaula de ardilla, por fase de la misma es:

X 2 S = 15,8

f Λ 2 S 10 − 8 2p

La permeancia Λ2S viene dada por:

Λ 2S =

K2 2m 1 p

τ pgS

El factor gS depende de las dimensiones geométricas. Depende de la relación τp/x, siendo x la distancia indicada en la figura 2.17.

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Figura 2.17. Significado de la distancia x.

19.3.3.3. Reactancia de dispersión doblemente concatenada. La dispersión doblemente concatenada, llamada también en zigzag o de entrehierro, reside en el fenómeno de que para la máquina asíncrónica en carga, el flujo en el entrehierro es considerablemente el que correspondería a la sola onda fundamental. La figura 2.18, que muestra el aspecto total del campo en carga de un motor asíncrónico dentro de un paso polar, nos proporciona una visión más clara del fenómeno. Para calcular esta dispersión recurriremos al método de la energía magnética. Aplicando tensiones senoidales a un devanado trifásico simétrico sólo podrán circular corrientes senoidales en el tiempo, esto es, libres de armónicos, porque las tres fases son equivalentes y sus permeancias medias son iguales en cualquier posición de la armadura. Las capas de corriente de las tres fases contienen, sin embargo, armónicos espaciales estacionarios de orden impar ν=3,5,7… y de amplitudes temporales y espaciales.

Asνm = As1mξν / ξ1

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Figura 2.18 Espectro del flujo en servicio de una máquina asíncrona. Los números indican la f.m.m de las ranuras en amperios. Los armónicos ν=3,9,15… de estas capas pueden quedar anulados al superponerse las tres fases, como se desprende de la figura 2.19, donde aparece la distribución de los terceros armónicos de un sistema trifásico en el instante

i1 = ( 3 / 2 )im i2 = −( 3 / 2 )im i3 = 0

Figura 2.19. Ondas de los terceros armónicos de f.m.m para las fases U, V y W.

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Las excitaciones de las dos fases recorridas por la misma corriente se hallan desfasadas en el espacio de 60º eléctricos, es decir, en el paso polar de los terceros armónicos, presentándose, pues, los de una y otra fase consideradas en oposición, con lo cual se compensan mutuamente. Pero quedan los armónicos espaciales ν=5,7,11,13… de las capas de corriente en las tres fases, los cuales no se anulan y combinándose los del mismo orden dan lugar a otros tantos campos, exactamente igual que sucede con las fundamentales, teniendo la resultante giratoria de cada sistema trifásico de orden ν amplitudes, tanto de la capa de corriente como de la f.m.m o excitación provocada por ésta, que vienen dadas por las fórmulas siguientes:

Asgν =

3 3 ξ Asνm = As1m ν 2 2 ξ1

Θ gν =

3 3 ξν Θ1m Θνm = 2 2 ξ1ν

Donde Θ1m es el valor máximo de la excitación fundamental, igual a 4/πξ1Θm, y Θm, la excitación temporal máxima por fase. En resumen: además de las fundamentales de campo rotatorio existen en el entrehierro otros armónicos, giratorios también, de orden 5,7,11,13… y en general ν=2·m·k ± 1

con k=1,2,3…

¿Cuál será la velocidad y sentido de giro de estos armónicos? Respecto al primer punto, observemos que aplicando a los devanados un sistema de tensiones senoidales a frecuencia única (la de la red), los armónicos de campo estatórico no pueden inducir f.e.m de otras frecuencias. Ello sólo se consigue si la velocidad de giro nv de los armónicos con un número de pares de polos ν veces superior, es igual a 1/ν la del campo rotatorio principal: nν=n1/ν A consecuencia de las distintas velocidades de giro de las diversas componentes del campo, la inducción en el entrehierro no es estable como en una máquina síncrona, sino pulsatoria. En cuanto al segundo punto, el sentido de giro, la figura nos permite deducir cuál debe ser, para los armónicos de campo 5º y 7º, por ejemplo. Sea U,

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V, W a 120º, y en orden contrario al de las agujas de un reloj, la secuencia de fases para la fundamental (figura 2.20a). Los quintos armónicos, a los que corresponde un número de polos 5 veces mayor, se presentarán con un ángulo propio entre cada dos fases de 5·120º=600º eléctricos, y los séptimos armónicos con un ángulo entre fases de 7·120º=840º eléctricos. Restando un número de circunferencias completas de 360º, los ángulos pasan a ser, respectivamente, de 240º y 120º, y la secuencia de fases U, V, W para ν=5 inversa, y para ν=7, la misma que siguen las fundamentales, o dicho de otro modo: el quinto armónico gira en sentido contrario y el séptimo en el mismo sentido que el campo principal. Análogo resultado se obtiene para cada par de armónicos sucesivos de la serie presente. Todo esto nos muestra que el entrehierro aparece juntamente con la onda fundamental de flujo resultante de las corrientes del estator y en el rotor toda una serie de campos armónicos ligados a los devanados de una y otra parte de la máquina. Los producidos por el arrollamiento estatórico giran en el espacio con velocidad tal que la tensión inducida por ellos en el devanado en cuestión se conserve siempre de la misma frecuencia que la que induce la fundamental.

Figura 2.20. Sucesiones de las fases U, V, W en el entrehierro, referentes a las fundamentales a), a los quintos armónicos b) y a los séptimos armónicos c) para un arrollamiento trifásico.

Los que tienen su origen en el bobinado rotórico inducirán de modo análogo en este último tensiones a la frecuencia única de deslizamiento. Ahora bien: los armónicos estatóricos y rotóricos del mismo orden siguen velocidades de rotación distintas, con lo cual no pueden combinarse en un efecto inductivo común a los dos devanados, perdiendo por ello el carácter de flujo principal, con el mismo efecto, en cambio, que el que produce otro flujo cualquiera de dispersión.

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La energía total de estos armónicos, tanto del estator como del rotor, referida, en cada caso, a la de la fundamental del campo rotatorio, constituye una medida relativa del efecto de la dispersión en zigzag o doblemente concatenada. Todo armónico de excitación Θν de un arrollamiento trifásico se halla en la relación con su fundamental Θ1 dada por la fórmula:

Θν ξ = ν Θ1 νξ1 Los órdenes de estos armónicos son: ν=2·m·k ± 1

con k=1,2,3…

La inductancia ocasionada por la dispersión en zigzag se calcula ahora fácilmente a partir de la energía magnética de los armónicos de campo en el entrehierro, relacionándola con la de la onda ficticia fundamental del estator y del rotor. Aquella energía es independiente del número de polos y proporcional a B21m, es decir, a Θν2. A la onda fundamental de flujo le corresponde la reactancia Xh del circuito equivalente, es decir la reactancia de magnetización. Se considera que el primer armónico se concatena con el rotor y produce potencia útil, siendo los demás armónicos los que se consideran para el flujo de dispersión, estos flujos inducen unas tensiones en los bobinados del estator que se suman algebraicamente. La suma de estas tensiones se pone en relación con la tensión inducida por el flujo φ1, es decir U1. Al valor resultante se le denomina σd, de dispersión doblemente concatenada. La multiplicación de σd con la reactancia de magnetización Xh nos da la reactancia de dispersión Xd.

Xd

∑ Uν = U1

Xh

∑ Θν = Θ1

2

ξ  X = ∑  ν  X h = σ d X h  νξ1 

Se obtendrán distintas dispersiones para el rotor y para el estator, y en consecuencia distintas reactancias doblemente concatenadas.

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Para el estator, la reactancia de dispersión doblemente concatenada vale:

X 1d = σ 1d X h y como valor de dispersión para el estator se toma:

σ 1d

ξ  = ∑  ν   νξ1 

2

En cuanto al rotor mismo de jaula, sus armónicos de campo se establecen a lo largo del entrehierro en plena correspondencia con los de f.m.m de donde proceden, ya que el arrollamiento trifásico del estator no ejerce apenas acción amortiguadora alguna. La jaula del rotor no se halla contruída para un número de polos determinado, reduciéndose cada fase a una simple barra y siendo K2 el número de éstas, el de fases es m=K2. Los factores de bobinado, yanto para la fundamental como para los armónicos, con un conductor por fase, valen ξν = 1, y la relación entre las excitaciones armónicas y fundamental Θν/Θ1 = 1/ν. La reactacia doblemente concatenada del rotor reducida al estator resulta:

∑ Θν

2

X 2' d =

Θ

2 1

Xh =

1

∑ν

2

Xh

Donde los órdenes de los armónicos para un rotor de jaula de ardilla vienen dados por:

ν =k

K2 +1 p

con k = ±(1,2,3..)

19.3.3.4. Reactancia de dispersión por inclinación de ranura.

En una máquina con las ranuras del rotor inclinadas en la dirección axial se obtiene una corriente de cortocircuito inferior. La disminución de corriente de cortocircuito en una máquina con inclinación de ranura se puede traducir como una reactancia de dispersión que

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se determinará de forma similar a la reactancia de dispersión doblemente concatenada. En el apartado 2.3.3.3 se concluyó que los armónicos de campo no originaban corrientes en los bobinados, tan sólo originaban tensiones inducidas de dispersión. En la dispersión originada por la inclinación de ranura, efectivamente se pierde una parte de la inducción. En una máquina sin inclinación de ranura se inducirá una tensión proveniente del otro bobinado U, cuando se presenta una inclinación de ranura se tendrá Ufschr con un factor de bobinado fschr