Story Transcript
Alejandro de Icaza Peña
El libro Matemáticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Dirección General de Contenidos Antonio Moreno Paniagua Gerencia de Secundaria y Bachillerato Iván Vásquez Rodríguez Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago Gerencia de Asesoría Pedagógica María Guadalupe Sevilla Cárdenas
Edición Leticia Martínez Ruiz Asistencia editorial Ana Elvia Francisco Solano Corrección de estilo Guadalupe Escalante Ramírez Edición de Realización Haydée Jaramillo Barona Edición de preprensa y control de calidad Miguel Ángel Flores Medina
Coordinación de Secundaria Óscar Díaz Chávez
Diseño de portada e interiores Raymundo Ríos Vázquez
Coordinación de Matemáticas Ma. del Pilar Vergara Ríos
Diagramación Overprint S. A. de C. V.
Coordinación de Corrección de Estilo Pablo Mijares Muñoz Coordinación de Diseño Carlos A. Vela Turcott Coordinación de Iconografía Nadira Nizametdinova Malekovna Coordinación de Realización Gabriela Armillas Bojorges
Iconografía Miguel Bucio Trejo Ilustración Héctor Ovando Jarquín, Alma Julieta Núñez (Grupo Pictograma), Sheila Cabeza de Vaca Fotografía Shutterstock, Glow Images, Photostock, Procesofoto y ©Retlaw Snellac Digitalización de imágenes Gerardo Hernández Ortiz
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. © 2016 por Alejandro de Icaza Peña D. R. © 2016 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, Ciudad de México. ISBN: 978-607-01-3044-1 Primera edición: abril de 2016 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/Printed in Mexico
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E
l libro Matemáticas 1, es una propuesta de trabajo producida por un equipo de personas cuyo ámbito de desarrollo es el sector educativo y pretende ser una herramienta flexible que acompañe en todo momento al alumno, al profesor y a los padres
de familia. En esta obra se plantean situaciones en diferentes contextos de la vida diaria con la finalidad de que los alumnos reconozcan las matemáticas como un recurso fundamental para la resolución de situaciones cotidianas, para la toma de decisiones y de utilidad en contextos especializados como el diseño de objetos o maquinaria que se hace a partir de relaciones numéricas y geométricas. Es importante señalar que en las actividades propuestas se consideraron los intereses de los alumnos de secundaria, las experiencias de profesores y el nivel de tratamiento del contenido, ya que las matemáticas son un factor importante para la formación de los estudiantes de este nivel educativo. En el diseño de las lecciones también se consideraron las cuatro competencias matemáticas: • • • •
Resolver problemas de manera autónoma. Comunicar información matemática. Validar procedimientos y resultados. Manejar técnicas eficientemente.
Uno de los propósitos de este material es fomentar en los alumnos la idea de que los resultados que obtengan en el aprendizaje de la asignatura dependerán en gran medida de que reconozcan la importancia del trabajo colaborativo, en el cual la buena disposición a discutir los temas, confrontar resultados, escuchar opiniones diferentes, observar y trabajar en equipos son actitudes fundamentales tanto para validar procedimientos y desarrollarse en lo académico como en lo personal. En este contexto el papel del docente debe ser de guía, mediador y acompañante del proceso de los escolares junto con los padres de familia. Por todo lo anterior, les damos la más cordial bienvenida al estudio de las matemáticas en el nivel secundaria. Deseamos que los resultados que se obtengan a lo largo de este ciclo escolar sean exitosos. El autor
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Invitación a la lectura
El secreto de la máquina de ajedrez
¡
No es broma! ¡En cierta época existieron máquinas automáticas de ajedrez! Pero, ¿cómo concebir semejantes aparatos si el número de combinaciones de piezas en el tablero de ajedrez es prácticamente infinito? Se trata de un aparato inventado por el mecánico húngaro Wolfgang von Kempelen (1734-1804), que gozó de gran popularidad; lo presentó en las cortes austriaca y rusa y después hizo exhibiciones públicas en París y Londres. Napoleón I jugó contra esta máquina creyendo que se enfrentaba en verdad a ella. A mediados del siglo XX, el célebre aparato fue a parar a América, pero se quemó en un incendio en Filadelfia. La fama de otras máquinas fue menos ruidosa. No obstante, ni siquiera en tiempos posteriores se perdió la fe en la existencia de tales aparatos. En realidad, ni una máquina de ajedrez actuaba automáticamente. En su interior se ocultaba un adiestrado ajedrecista que movía las piezas. Este seudoautomático lo formaba un voluminoso cajón en cuyo interior había un complejo mecanismo.
A continuación te mostraremos el propósito de cada sección que integra el libro Matemáticas 1, las cuales están numeradas para que las identifiques con mayor facilidad.
Entrada de bloque Este apartado está integrado por una doble página con un texto relacionado con uno o algunos de los contenidos a trabajar en el bloque y una fotografía que hace alusión a ellos. En él se incluyen los siguientes elementos:
El cajón tenía un tablero de ajedrez con piezas que movía la mano de un gran muñeco. Antes de empezar el juego se permitía al público cerciorarse de que en el cajón no había más que las piezas del mecanismo. Sin embargo, en ese compartimento quedaba sitio suficiente para ocultar a un hombre de baja estatura. Ese papel fue desempeñado en su tiempo por los célebres ajedrecistas Johann Allgaier y William Lewis. Es probable que mientras se mostraban sucesivamente al público diferentes departamentos del cajón, la persona escondida pasara con sigilo de un lugar a otro sin ser vista. En la actualidad hay máquinas que “juegan” ajedrez. Se trata de los juegos en computadora que permiten efectuar miles de operaciones por segundo. Pero, ¿cómo pueden “jugar” ajedrez estas máquinas? Esto es posible gracias a la programación que se realiza, es decir, al diseño de complejos algoritmos con operaciones siguiendo un esquema previo y de acuerdo con un programa elaborado. El “programa” de ajedrez lo confeccionan los matemáticos con base en determinada táctica de juego.
i Lee y subraya la respuesta correcta. Después, responde. 1. Célebres ajedrecistas con los que se demostraba la máquina de jugar ajedrez: A) Johann Allgaier y William Lewis C) Napoleón I
1 Bloque
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B) Wolfgang von Kempelen D) William Lewis
2. ¿Por qué se afirma que el número de jugadas del ajedrez es “infinito”?
Hace referencia al bloque de estudio correspondiente del libro.
3. ¿Cuál es la importancia de las matemáticas en el campo de la programación, no sólo de juegos por computadora?
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Alumno
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l ingreso a la educación secundaria es una etapa en la que vivirás cambios importantes, ya que en este ciclo aplicarás los conocimientos que adquiriste en la primaria y ampliarás lo que ya sabes de aspectos específicos de otras asignaturas; lo cual implica enfrentar mayores retos académicos, que te permitirán adquirir una formación matemática. Debido a ello, el libro Matemáticas 1, contiene actividades que integran desafíos y problemas matemáticos cuya resolución implica que expliques tus ideas, argumentes tus procedimientos, encuentres la vinculación de los contenidos matemáticos con otros campos del conocimiento, y
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junto con tus compañeros elabores conclusiones para validar el trabajo realizado. Estas conclusiones son enriquecidas con la información matemática que se encuentra en las lecciones del libro y con la mediación del profesor. La finalidad de este libro es serte de utilidad para tus estudios y transmitirte el gusto y el interés por el estudio de la asignatura. Al inicio de cada bloque encontrarás una gran imagen a doble página que acompaña una lectura con la intención de que desarrolles tus competencias lectoras. Al final de cada bloque, siempre encontrarás dos secciones: una llamada Para saber más y una Evaluación del bloque.
2 Invitación a la lectura
El propósito de este apartado es propiciar el desarrollo de tu habilidad lectora mediante un texto que guarda relación con algunos de los contenidos que se trabajan en el bloque.
3 Comprensión lectora
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Las preguntas que se plantean en este apartado tienen el propósito de que los estudiantes desarrollen competencias lectoras mediante la búsqueda y recuperación de información.
4 Fotografía Máquina para jugar ajedrez. En 1974 se disputó el primer campeonato del mundo de computadoras, en Estocolmo, Suecia.
Aprendizajes esperados:
Muestra una gran imagen relacionada con el título de la sección.
5 Aprendizajes esperados
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Orientan tus procesos de aprendizaje al señalar lo que se espera que logres al final del bloque.
UÊ Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. UÊ Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.
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Docente
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l libro Matemáticas 1, contiene actividades cuidadosamente diseñadas, estructuradas, seleccionadas y validadas en el aula escolar. Muchas de estas se desarrollan en contextos cercanos a los estudiantes, como una tortillería, el uso de mapas, situaciones del entorno escolar, etcétera. Con ello, se quiere comunicar que las matemáticas son útiles en la vida diaria para resolver situaciones básicas, que van más allá de hacer las compras del mercado o de la papelería, y que sin duda, son imprescindibles para el avance científico y tecnológico de la actualidad. La propuesta didáctica del libro fomenta el trabajo en equipos y en grupo con la intención de que todos participen en la construcción del conocimiento matemático. Donde la discusión, la confrontación, el intercambio de ideas y la explicitación de dificultades
y dudas por parte de los alumnos, cobran un papel fundamental. En este contexto, la labor del profesor debe ser de mediador y guía para que los escolares alcancen el objetivo. Los contenidos de este libro están organizados en cinco bloques, cada uno compuesto por un número variable de lecciones. Al inicio de cada bloque se hace una “Invitación a la lectura”. El objetivo de las preguntas que se plantean en este apartado es que los estudiantes desarrollen competencias lectoras mediante la búsqueda y recuperación de información; que hagan inferencias e interpretaciones del contenido del texto a partir de sus conocimientos previos y que construyan su capacidad crítico-valorativa al generar opiniones propias. Al mismo tiempo que se fomenta la habilidad lectora. Los indicadores anteriores le permitirán evaluar el nivel de comprensión lectora de sus alumnos.
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Conoce tu libro 1 Lecciones
Cada lección presenta las situaciones didácticas necesarias para tratar de manera adecuada los contenidos.
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Áreas y perímetros de polígonos regulares 2 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida
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Contenido: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares
2 Título
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Las lecciones tienen un título relacionado con el contenido.
La superficie de un balón de futbol 1. Resuelve de manera individual la siguiente actividad. Armando juega futbol en el equipo de su colonia. Al sostener un balón en sus manos le llamó la atención ver que sus caras son polígonos regulares, por lo que decidió investigar cómo se hace un balón y encontró la siguiente información: En algunos balones de futbol, sus caras, están formadas por polígonos regulares. A este cuerpo geométrico se le llama icosaedro truncado. El balón, al ser inflado, toma la forma esférica. El volumen del poliedro corresponde a 86.74% del volumen de una esfera y al ser inflado aumenta hasta alcanzar un poco más de 95%, e incluso puede rebasarlo. a. Un balón se genera a partir del desarrollo plano que se muestra.
3 Contenido
Icosaedro truncado
Se menciona el Eje, Tema y Contenido a trabajar en la lección. Desarrollo plano
Balón
t ¿Qué polígonos identificas? t ¿Cuántos de estos polígonos constituyen un balón de futbol? t ¿Cómo se obtiene el perímetro y el área de un polígono regular?
4 Inicio
t ¿Cómo puedes saber cuánto material se requiere para hacer un balón? b. Considera que los pentágonos miden 5 cm de lado y 3.45 cm de apotema y los hexágonos, 5 cm de lado y 4.33 cm de apotema.
Se plantean actividades que te permiten resolver problemas al aplicar lo que conoces acerca del tema que se estudia en cada lección.
t ¿Cuál es el área total de los polígonos que conforman el balón de futbol?
i Socializa tus respuestas y, con la guía del maestro, registra tus conclusiones. 154
Polígonos regulares 7. Reúnete con un compañero para realizar las siguientes actividades. Como recordarán, en la lección 4 calcularon el perímetro de distintas figuras geométricas. a. Escriban la fórmula para calcular el perímetro de los polígonos y justifíquenla. t Pentágono P = t Octágono P =
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t Polígono de n lados P = i Al concluir, compartan sus respuestas en grupo y valídenlas con la guía del maestro. Justifiquemos ahora la fórmula para el área de polígonos regulares. b. Tracen ocho triángulos isósceles, cada uno debe medir 5 cm de base y 6 cm de altura. Superpón los triángulos, como se muestra a la izquierda, para construir un octágono. c. Calcula el área de uno de los triángulos que trazaste. A =
cm2
t Si se obtiene el área de un triángulo del octágono y se multiplica por 8, ¿se obtiene su área total? Registren sus argumentos en su cuaderno.
5 Desarrollo A lo largo de la lección se diseñaron actividades en las que tendrás oportunidad de explicitar tus ideas, probar distintos procedimientos para resolver las situaciones y desafíos matemáticos; así como validar aquellos procedimientos que, aunque igual de correctos, son más eficientes que otros.
i Discutan cómo pueden determinar el área del octágono regular. Analicen lo que han realizado antes y expliciten sus ideas. Si tienen dudas, pidan apoyo al maestro. d. Ahora calculen el área de un heptágono regular que está formado por triángulos cuya base mide 7 cm y su altura, 7.26 cm. Área del heptágono =
cm2
Un alumno realizó lo siguiente para justificar el cálculo del área de un heptágono regular.
6 Glosario Presenta definiciones de términos matemáticos, apotema. Es la distancia del centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados.
6
e. Describan lo que hizo el alumno: t En relación con el heptágono, ¿cuál es la medida de la base del rectángulo? t En relación con el rectángulo, ¿qué representa la apotema del heptágono? t ¿Cuál es el área del rectángulo? La fórmula para calcular el área del heptágono regular es igual a multiplicar 7 por la medida de uno de los lados por el apotema y dividir el resultado entre 2. f. A partir de lo visto en el trazo, justifiquen lo anterior.
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que durante el desarrollo de la lección pueden resultarte desconocidos.
y procedimientos 7 Conceptos En las lecciones se incluyen 6. Realiza de manera individual la siguiente actividad.
definiciones, procedimientos y explicaciones para que enriquezcas el trabajo en clase y reafirmes o elabores tus conclusiones.
a. Copia el trapecio que se muestra, recórtalo por la altura para formar un rectángulo y pégalo en el cuaderno. Como puedes notar, la base del rectángulo es igual al promedio de las bases del trapecio. b. Calcula el promedio de las bases en función de las literales. UÊ ¿Cómo es la altura del rectángulo respecto a la altura del trapecio? UÊ ¿Cómo son entre sí las áreas del trapecio y el rectángulo?
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c. Escribe cómo calcular el área del trapecio en función de las literales. d. Toma las medidas necesarias y calcula el área del trapecio. A = e. Copia nuevamente el trapecio anterior, recórtalo y pégalo junto a este para formar un romboide. t ¿Qué representa la base del romboide? t ¿Qué representa la altura? f. Escribe la medida del área del romboide en función de las literales. t ¿Qué parte del área del romboide representa el área del trapecio?
Consulta el libro Juegos matemáticos. Rompecabezas de cifras y números para agudizar el ingenio, de Derrick Niederman, de la serie Espejo de Urania de la colección Libros del Rincón. En la página 21 podrás resolver un acertijo sobre el perímetro de un diagrama muy especial.
8 Socialización Al final de cada actividad, podrás confrontar tus ideas con las de tus compañeros, escuchar puntos de vista, y gradualmente aprenderás a redactar conclusiones como producto del debate escolar. Con el trabajo diario podrás comunicar de manera clara tus argumentos matemáticos y validarlos en la clase.
g. Escribe una manera de calcular el área del trapecio en función del área del romboide. A=
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i Comenta con un compañero la relación que hay entre el área del trapecio y las figuras en que lo transformaron. Expliquen sus argumentos y valídenlos con el maestro. El área de cualquier romboide se calcula multiplicando la medida de su base por la de su altura: A = b × h. El área de un rombo se obtiene multiplicando la medida de su diagonal mayor por la de su diagonal menor y el producto se divide entre 2: A = D × d 2 Para obtener el área de un trapecio se suman las medidas de la base mayor y de la base menor, esto se multiplica por la medida de la altura, y el resultado se divide entre 2: A= (B + b) × h 2 Un alumno hizo los siguientes trazos para calcular el área de un trapecio y de un rombo.
Escolares y de Aula 9 Bibliotecas En la sección BEA encontrarás
b d b+B 2 B
D 2
recomendaciones para consultar títulos de la colección Libros del Rincón, en los que se abordan temas relacionados con los que has trabajado en clase.
h. Describan en el cuaderno los trazos y cómo se relacionan con el área de los cuadriláteros.
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i Compartan sus ideas con otros compañeros y valídenlas con el maestro. 115
de relevancia social 10 Temas En esta sección encontrarás información,
Problemas de proporcionalidad múltiple 7. Reunidos en equipos resuelvan la siguiente situación.
recomendaciones y aspectos para reflexionar sobre temas de relevancia social, como equidad de género, educación financiera y educación para la paz, entre otros.
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a. Don Pedro es albañil. Para construir un muro de 2 m de largo y 10 m de alto, necesita 150 ladrillos. t ¿Cuántos ladrillos necesita para construir un muro de 1 m de largo por 30 m de alto? t Si el muro que tiene que construir don Pedro mide 3 m de largo y 3 m de alto, ¿cuántos ladrillos necesita don Pedro? t ¿Cuántos ladrillos se requieren para construir un muro de 5 m de largo y 12 m de alto?
b. Consuelo borda tapetes. Para bordar un tapete estándar de 60 cm de largo y 25 cm de alto, invierte 10 días.
11 Apoyo tecnológico
t ¿Cuántos días necesita para bordar un tapete de 90 cm de largo por 75 cm de alto?
En esta sección se sugieren páginas electrónicas donde tendrás la oportunidad de ampliar tus conocimientos respecto a los contenidos estudiados. La sección puede trabajarse fuera del aula escolar, por lo cual es necesario que tengas acceso a una computadora con Internet.
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Reto
Cada lección cierra con un reto. En él se plantean diversas situaciones, en las que se ponen a prueba los conocimientos adquiridos.
Educación para la paz y los derechos humanos. El trabajo colaborativo, además de favorecer el aprendizaje de los contenidos matemáticos, promueve el autoconocimiento, la integración del grupo y la aceptación de las diferencias, todo lo cual fortalece los ambientes de respeto y armonía. Reflexiona sobre los aprendizajes que has adquirido al trabajar de esta manera.
t Si el tapete será para una sala, y mide 120 cm de largo y 50 cm de alto, ¿cuántos días tardará Consuelo? c. Las siguientes propiedades determinan si dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales.
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Cantidades directamente proporcionales Si una cantidad aumenta al doble, al triple, etcétera... Si una cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etcétera...
... la otra aumenta al doble, al triple, etcétera. ... la otra cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etcétera.
i En parejas, discutan las propiedades descritas y escriban ejemplos de cada propiedad en situaciones similares a las estudiadas.
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Reto De manera individual, subraya las afirmaciones correctas. UÊ Si la medida de la altura de un muro permanece fija (1 m) entonces el número de ladrillos es proporcional a la medida del largo del muro. UÊ Si la medida del largo de un muro permanece fija (4 m) entonces la medida de la altura y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales. UÊ Si la medida de la altura del muro permanece fija (5 m) entonces la medida del largo y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales.
En parejas visiten los siguientes recursos. Después compartan sus experiencias en clase. arquimedes.matem. unam.mx/Vinculos/ Secundaria/2_ segundo/2_ Matematicas/2m_b01_ t08_s01_descartes/ doc/info.html rinconmatematico. com/foros/index. php?topic=27498.0 (consulta: 21 de septiembre de 2015, 17:42 horas).
i Si tienen dudas, coméntenlas con el maestro.
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Para saber más 13 La forma ideal para una caja En la industria, el uso de las matemáticas es muy importante. Saber cuál es la caja correcta para empacar un producto requiere evaluar y planificar. Una fábrica debe considerar qué tanto puede contener una caja, así como la cantidad y el costo del material necesario Para las empresas es importante almacenar de manera ordenada los productos en bodegas para optimizar el espacio disponible. para hacerla. Imagina que tu salón es una bodega en la que tienes que guardar cajas con juguetes.
Para saber más
Esta sección se diseñó pensando en un conjunto de actividades que te permitirán ir más allá de lo estudiado en las lecciones del libro, ya que buscan aplicar las herramientas matemáticas en la solución de problemas sociales y ambientales, además de profundizar en el estudio del álgebra, de las formas geométricas y la representación de la información.
t ¿Qué forma elegirías para guardar los juguetes? ¿De qué tamaño? ¿Cuántas cajas estimas que caben en el salón? Al decidir el tipo de caja no solo necesitan fijarse en su capacidad, también deben considerar la forma de optimizar el espacio disponible para almacenarlas. 1. En parejas, resuelvan en el cuaderno. a. Los siguientes prismas rectangulares están hechos con cubos de 1 in3.
Para resolver las actividades de esta sección, pondrás en juego lo aprendido en el bloque, con la intención de que integres saberes al resolver los problemas.
t ¿Qué longitud (l), ancho (w) y altura (b) tiene cada prisma? t ¿Cuánto cartón se necesitaría para construir una caja que cubra cada prisma? i Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y corrijan sus errores. b. Una compañía necesita empacar dados con aristas de 1 in y quiere hacer paquetes de 24 dados en cajas con forma de prisma rectangular. t Determinen todas las maneras posibles de colocar los 24 dados de modo que formen un prisma rectangular y dibujen en su cuaderno cada una. Después, elaboren una tabla como la que se muestra en la que registren todas las posibles opciones.
Las actividades retoman contextos interesantes como el derrame de petróleo, las campañas publicitarias, etcétera. En cada bloque se aborda un tema diferente.
t ¿Qué medidas tiene la caja hecha con menos material? Longitud
Ancho
Altura
Volumen
Área de la superficie
24 in3 266
Evaluación del bloque 5 14 i Elige la opción con la respuesta correcta. 1. Un submarino se sumerge a una profundidad de 305.25 metros bajo el nivel del mar. Después de 5 minutos, llega a una profundidad de 220.34 m. ¿A qué profundidad quedó? A) –525.59 m
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B) 525.59 m
C) 84.91m
D) –84.91 m
UÊ Argumenta la necesidad de utilizar números para identificar e interpretar diversos fenómenos como la temperatura o las alturas y profundidades.
Evaluación del bloque
2. La suma del siguiente par de operaciones (−17) + (−31) y (−34) + (99) es igual a:
Al final del bloque se encuentra una serie de actividades que debes resolver de manera individual, las cuales te permitirán poner en práctica lo que aprendiste en el bloque.
A) −48 y 65
B) 48 y 65
C) −48 y −65
D) 48 y −65
3. El resultado de las siguientes operaciones (−107) − (−31) y (409) − (−67) es igual a: A) −76 y + 476
B) 138 y 342
C) −76 y −476
D) −138 y 342
4. La manera correcta de escribir 0.000000000000008 es: A) 8 × 1014
B) 8 × 10–14
C) 8 × 1015
D) 8 × 10–15
5. Elige la manera de escribir con notación científica 123 000 000 000 000 000. A) 1.23 × 1017
B) 1.23 × 10–17
C) 1.23 × 1018
D) 1.23 × 10–18
6. Selecciona la igualdad que está escrita de manera correcta.
Se proponen preguntas abiertas y de opción múltiple, además de problemas, todos relacionados con los aprendizajes esperados.
A) 1.31 × 107 = 131 000 000 C) 13.1 × 107 = 13 100 000
B) 131 × 107 = 13 100 000 D) 13.1× 107 = 131 000 000
7. Alberto tiene un terreno cuadrangular que mide 8 649 km2 de área. ¿Cuál es la medida de uno de los lados del terreno? A) 93 km
B) 92 km
C) 94 km
D) 90 km
8. El terreno de Alberto colinda con otro terreno cuadrangular que tiene 10 816 km2 de área. ¿Cuál es la medida de uno de los lados del terreno? A) 104 km
B) 102 km
C) 103 km
D) 106 km
UÊ Argumenta el método usado para resolver los problemas 8 y 9. Comprueba tu selección aplicando un procedimiento de aproximación, el método babilónico o la calculadora, según lo realizado.
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Encontrarás este apartado al final de cada evaluación. Los indicadores te permitirán evaluar tus avances respecto a los aprendizajes esperados, tus habilidades y tus actitudes.
9. Un robot diseñado por estudiantes mexicanos realiza la simulación de caminar en una montaña. El robot se desplaza con movimiento uniforme de 4 de km por cada 1 h de 16 4 recorrido. Completa la siguiente tabla. 1h 2
1h 4 4 16 km
Tiempo transcurrido Distancia
3h 4
5h 6
Valoro mi avance
11 4h
a. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? b. ¿Cuánto tiempo tiene que caminar el robot para recorrer un kilómetro? 10. Al descender el robot se desplaza con movimiento uniforme de 7 de km cada 1 h. 16 4 Completa la tabla. 1h 2
1h 4 7 16 km
Tiempo transcurrido Distancia
3h 4
5h 6
11 4h
a. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? b. ¿Cuánto tiempo tiene que caminar el robot para recorrer un kilómetro? c. Si la bajada mide 3.5 km, ¿cuánto tiempo tardará en descender el robot en la simulación?
11. En la tienda de don Toño se venden diferentes marcas de azúcar. Azúcar “La morena” se vende en paquetes de 400 g y cuesta $16 cada uno. Azúcar “Caña pura” se vende en paquetes de 350 g a $20 cada uno. t ¿Cuál conviene comprar? 12. Justifica en qué casos es útil aplicar una razón interna o externa para resolver un problema.
Valoro mi avance
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Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. Utiliza los términos siempre, a veces o poco, y completa la tabla.
Resuelvo problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.
Indicadores Resuelvo problemas de cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.
Resuelvo problemas que implican la adición de números con signo.
Resuelvo problemas de manera autónoma.
Escucho a mis compañeros y mi retroalimentación es positiva.
Argumento con base en el saber matemático.
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Fuentes de información 16 Para el estudiante Impresas t Amster, P. (2005). La matemática como una de las bellas artes, México, Siglo XXI (serie Astrolabio, col. Libros del Rincón). t Andradas, C. (2005). Póngame un kilo de Matemáticas. México: SM, El barco de vapor. Saber n. m. 4. t Arce, J. (2003). El matemático del Rey. España: Planeta. t Balbuena, L. (2005). Cuentos del cero. España: Nivola. t Becoña, E. (2007). Adicción a nuevas tecnologías, Madrid: Pirámide (serie Espejo de Urania, col. Libros del Rincón). t Brenifer, O. (2006). ¿Qué es saber?, México: SEP-Editorial Destino (serie Espejo de Urania, col. Libros del Rincón). t Campos, M. (2002). Andrés y el dragón matemático. España: Laertes. t Carlavilla, J. (2003). Historia de las Matemáticas en cómics. México: Proyecto Sur de Ediciones. t Collantes, J. y A. Pérez (2004). Matecuentos. Cuentamates. España: Nivola. t Collantes, J. y A. Pérez (2003). Matecuentos. Cuentos con problemas 2. España: Nivola. t Collantes, J. y A. Pérez (2005). Matecuentos. Cuentos con problemas 3. España Nivola. t Enzensberger, M. (1998). El diablo de los números. España: Siruela. t Frabetti, C. (2000). Malditas Matemáticas: Alicia en el País de los Números. Madrid: Alfaguara. t Frabetti, C. (1998). El gran juego. Madrid: Alfaguara. t Gómez, R. (2000). La selva de los números. Madrid: Alfaguara. t Guedj, D. (2000). El teorema del loro. Barcelona: Anagrama. t Guedj, D. (2002). El metro del mundo. Barcelona: Anagrama. t Guedj, D. (2002). La medida del mundo. México: Ediciones de Bolsillo. t Guzmán, M. (2007). Cuentos con cuentas. Barcelona: Nivola. t Haddon, M. (2004). El curioso incidente del perro a medianoche. Barcelona: Salamandra. t Malba, T. (1998). El hombre que calculaba. España: Catapulta Editores. t Molina, I. (2004). El señor del cero. Barcelona: Alfaguara. t Moreno, R. y J. Vegas. (2002). Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento. España: Nivola. t Millás, J. y J. Forgés. (2006). Números pares, impares e idiotas. España: Alba. t Muñoz, J. (2008). Ernesto, el aprendiz de matemago. España: Nivola. t Norman, L. (2002). El país de las mates para novatos. España: Nivola. t Norman, L. (2002). El país de las mates para expertos. España: Nivola. t Rodríguez, R. (2003). Cuentos y cuentas de los matemáticos. Barcelona: Reverté. t Roldán, I. (2003). Teatromático: divertimentos matemáticos teatrales. España: Nuvola. t Sierra, J. (2001). El asesinato del profesor de Matemáticas. México: Grupo Anaya.
16 Fuentes de información
En este apartado encontrarás sugerencias escritas y electrónicas, para ti y para el profesor, con el fin de enriquecer el trabajo realizado a lo largo del ciclo escolar. 270
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Presentación
3
Bienvenidos a Todos Juntos
4
Conoce tu libro
6
80
Bloque 2 Lección 10
Dosificación
12
Criterios de divisibilidad
82
Lección 11 Divisores y múltiplos
88
Lección 12 Problemas con fracciones y decimales
Bloque 1
16
94
Lección 13 Multiplicación y división con fracciones
100
Lección 1 Conversión de números fraccionarios y decimales
18
Lección 14 La mediatriz y la bisectriz
106
Lección 2 Fracciones y decimales en la recta numérica
24
Lección 15 Trazo de polígonos regulares
112
Lección 3 Operaciones con fracciones
30
Lección 16 Proporcionalidad directa
118
Para saber más Evaluación del bloque 2
124 126
Lección 4 Sucesiones con números y figuras
36
Lección 5 Fórmulas y literales
42
Bloque 3
Lección 6 Triángulos y cuadriláteros
128
48
Lección 17 Lección 7 Rectas notables de un triángulo
Multiplicación con números decimales
130
56
Lección 18 Lección 8 Problemas de reparto proporcional
División con números decimales
136
64
Lección 19 Lección 9
Ecuaciones de primer grado
Situaciones donde interviene el azar
70
Para saber más Evaluación del bloque 1
76 78
142
Lección 20
10
Trazo de polígonos regulares y circunferencia
148
Lección 21 Áreas y perímetros de polígonos regulares
154
Lección 22
Bloque 5
230
Lección 32
Factor constante de proporcionalidad
160
Lección 23
Adición y sustracción de números enteros
232
Lección 33
Experiencia aleatoria y tablas de frecuencias
166
Lección 24
Notación científica
238
Lección 34
Tablas de frecuencias
172
Potenciación y radicación
Para saber más Evaluación del bloque 3
178 180
Lección 35 Regla de una sucesión
244
250
Lección 36
Bloque 4
182
Problemas de círculos y circunferencias
256
Lección 37 Lección 25 Números con signo
Lección 26 Trazo de circunferencias
260
Para saber más Evaluación del bloque 5
266 268
Fuentes de información Para el estudiante Para el docente Consultadas
270 271 272
190
Lección 27 La circunferencia y el círculo
Proporcionalidad múltiple 184
198
Lección 28 La regla de tres
204
Lección 29 El factor inverso de proporcionalidad
208
Lección 30 Resolución de problemas de conteo
214
Lección 31 Gráficas de barras y gráficas circulares
220
Para saber más Evaluación del bloque 4
226 228
11
Dosificación Semana sugerida
Calendarización Aprendizajes esperados
Eje
Tema
Bloque 1 1
Evaluación diagnóstica
2 Números y sistemas de numeración
3 4
5
k
Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.
k
Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
6 k 7 8
Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
Patrones y ecuaciones
Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
9
Nociones de probabilidad
Bloque 2 10
Números y sistemas de numeración
11 k 12
13
k
14
Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
15
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
Forma, espacio y medida Manejo de la información
16
Problemas aditivos
Figuras y cuerpos Medida Proporcionalidad y funciones
Bloque 3 17 Problemas multiplicativos k 18
19
12
Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones
Contenido
Lección
Páginas
k
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa
1. Conversión de números fraccionarios y decimales
18-23
k
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación
2. Fracciones y decimales en la recta numérica
24-29
k
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones
3. Operaciones con fracciones
30-35
k
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras
4. Sucesiones con números y figuras
36-41
k
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar
5. Fórmulas y literales
42-47
k
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría
6. Triángulos y cuadriláteros
48-55
k
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo
7. Rectas notables de un triángulo
56-63
k
Resolución de problemas de reparto proporcional
8. Problemas de reparto proporcional
64-69
k
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles
9. Situaciones donde interviene el azar
70-75
k
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos
10. Criterios de divisibilidad
82-87
k
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
11. Divisores y múltiplos
88-93
k
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales
12. Problemas con fracciones y decimales
94-99
k
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales
13. Multiplicación y división con fracciones
100-105
k
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo
14. La mediatriz y la bisectriz
106-111
k
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras
15. Trazo de polígonos regulares
112-117
k
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios
16. Proporcionalidad directa
118-123
k
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional
17. Multiplicación con números decimales
130-135
k
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional
18. División con números decimales
136-141
k
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios
19. Ecuaciones de primer grado
142-147
13
Dosificación Semana sugerida 20
Calendarización Aprendizajes esperados k
Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.
k
Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.
21 22 23 24
Eje Forma, espacio y medida
Tema Figuras y cuerpos
Medida Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Bloque 4 Sentido numérico y pensamiento algebraico
25
26 k 27 k 28 29
Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas.
Forma, espacio y medida
Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.
Figuras y cuerpos
Medida
Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
30
Números y sistemas de numeración
31
Nociones de probabilidad
Análisis y representación de datos
Bloque 5 32
Problemas aditivos k
33 34 k 35 k 36
Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.
37
38
14
Evaluación final
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
Patrones y ecuaciones Forma, espacio y medida
Medida
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
Contenido k
Lección
Páginas
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella
20. Trazo de polígonos regulares y circunferencia
148-153
k
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares
21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
154-159
k
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas
22. Factor constante de proporcionalidad
160-165
k
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias
23. Experiencia aleatoria y tablas de frecuencias
166-171
k
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa
24. Tablas de frecuencias
172-177
k
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos
25. Números con signo
184-189
k
Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas
26. Trazo de circunferencias
190-197
k
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro
27. La circunferencia y el círculo
198-203
k
Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios
28. La regla de tres
204-207
k
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala
29. El factor inverso de proporcionalidad
208-213
k
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados
30. Resolución de problemas de conteo
214-219
k
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada
31. Gráficas de barras y gráficas circulares
220-225
k
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros
32. Adición y sustracción de números enteros
232-237
k
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas
33. Notación científica
238-243
k
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales
34. Potenciación y radicación
244-249
k
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética
35. Regla de una sucesión
250-255
k
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas
36. Problemas de círculos y circunferencias
256-259
k
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple
37. Proporcionalidad múltiple
260-265
15
1 Invitación a la lectura
La progresión más antigua
E
l problema de progresiones más antiguo que se tiene se conoce como el problema de “La repartición del pan”. Está registrado en el célebre papiro egipcio de Rind. Este papiro, hallado por Rind a fines del siglo pasado, fue escrito unos dos mil años antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra matemática aún más remota que data seguramente del tercer milenio antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos, algebraicos y geométricos que figuran en dicho documento aparece el siguiente: Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibió más que la primera tanto como le correspondió a la tercera más que a la segunda, a la cuarta más que a la tercera y a la quinta más que a la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una? Las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el reparto constituyen una progresión aritmética.
Este problema de progresiones tiene 50 siglos de antigüedad, aunque en la escuela secundaria tiene poco tiempo trabajándose. Otro antecedente es el manual de Magnitski, publicado hace doscientos años y empleado en Rusia durante medio siglo como texto en las escuelas secundarias. La fórmula de la suma de los miembros de la progresión aritmética puede deducirse por un medio sencillo y gráfico, empleando para ello el papel cuadriculado. En este, cualquier progresión aritmética puede expresarse con una figura escalonada: B
C
D 5
1
4
2
3
3 4
2
A
i Lee y subraya la respuesta correcta. Después, responde. 1. El problema de progresiones “La repartición del pan” es de origen: A) Egipcio
B) Hebreo
C) Ruso
D) No se sabe
2. Clase de problemas que aparecen en el Papiro de Rind: A) Aritméticos, algebraicos y geométricos C) Progresiones geométricas
B) Progresiones aritméticas D) Método gráfico
3. ¿Cuál es la importancia del estudio de las progresiones en matemáticas?
i Cuando el maestro lo considere adecuado, retomen el problema en alguna lección.
16
1
5 C
E