Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje:

Progresiones aritméticas y

geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad:

Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver

Curso:

3° E.M. ALGEBRA

Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento

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Aprendizajes Esperados: Operar con polinomios, factorizar polinomios aplicando teoremas y propiedades, resolver ecuaciones de grado mayor a 2, resolver situaciones condicionadas con polinomios. Recursos TICs: Presentación de la unidad a través de POWERPOINT Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases Tiempo: 4 bloques Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme

Unidad:

Progresiones aritméticas y geométricas

Nombre:_________________________________________________CURSO:______ 1

Progresiones Progresiones aritméticas. Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a 1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama término de la sucesión. El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de números reales. Al término: an = 3 + 2(n-1) 

se le llama término general.

Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la importante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hay ninguna fórmula que exprese el término general. Consideremos la sucesión de término general an = 3n + 2 an  5, 8, 11, 14, 17, 20,... Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión. Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3. En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de la progresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada. Son progresiones aritméticas:   

Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2. Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3. Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = a.

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Término general. Fijémonos en la progresión aritmética ilimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Según la definición, cada término es igual al anterior más la diferencia. a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d Generalizando este proceso se obtiene el término general: an = a1 + (n - 1) · d Ejemplos: 

El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14... es: an = 5 + (n - 1) · 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2



El término general de una progresión aritmética en la que a1 = 13 y d = 2 es: an = 13 + (n - 1) · 2 = 13 + 2n - 2 = 2n + 11



Vamos a hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que a11 = 35 y d = 4. Para ello escribimos a11 = a1 + (11 - 1) · 4, es decir, 35 = a1 + 40, de donde a1 = 35 - 40 = -5

Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 + (n - 1) · d y ak = a1 + (k - 1) · d, despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta: an = ak + (n - k) · d

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Interpolación de términos. Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres números a, b y c de manera que 2, a, b, c, 14 estén en progresión aritmética. Tenemos que a1 = 2, a5 = 14 y n = 5. Aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética, se tiene que: a5 = a1 + 4d  14 = 2 + 4d  d = 3 Por tanto, la progresión aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14. Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios aritméticos. Suma de n términos consecutivos. Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5: an  5, 10, 15, 20, 25, 30. Observemos que la suma de los extremos es: a1 + a6 = 5 + 30 = 35 y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos: a2 + a5 = 10 + 25 = 35 a3 + a4 = 15 + 20 = 35 En general, en una progresión aritmética limitada se verifica: a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.

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Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo: ¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30? Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas. S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 +

S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5

2S6 = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 2S6 = 6 · 35 = 6 · (5 + 30) S6 = [6 · (5 + 30)] : 2 = 105 Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión a1, a2, a3,..., an-1, an? Llamemos Sn a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo los sumandos en una de ellas. Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an + Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1 Sumando las dos igualdades resulta: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1) Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 + an) se tiene: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an)·n de donde: Sn 

a1  an 2

·n

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Ejercicios propuestos. 1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. Respuesta: a100= 499 2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término. Respuesta: a1= 9 3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos. Respuesta: n=13 4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66. Respuesta: a1= 12, d=6 5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20. Respuesta: a20= 11 6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. Respuesta: a1= 7 , a2= 11, a3= 15, a4= 19 7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3. Respuesta: 9,12,15 8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9. Respuesta: 5,8,11 9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. Respuesta: 25.075 10. El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y la diferencia es 3. Halla dichos términos. Respuesta: 2, 5, 8 11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064? Respuesta: n=16 12. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumado? Respuesta: n= 49 13. Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es 18 y la diferencia es 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión. Respuesta: Sn =162 14. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética. La diferencia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos. Respuesta: a1= 1, a16=17 15. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión. Respuesta: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 16. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números. Respuesta: 9,11,13 17. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos. Respuesta: a2= 26, a3= 32 18. El producto de cinco números en progresión aritmética es 12.320 y su suma 40. Halla estos números sabiendo que son enteros. Respuesta: 2,5,8,11,14 6

19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. Respuesta: 2, 6, 10

Progresiones geométricas. Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10n-1. 1, 10, 102, 103, 104, 105,... Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. Esta sucesión es una progresión geométrica. Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r. 2.2.1.- Término general. Según la definición anterior, en la progresión geométrica  a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r 2 a4 = a3 · r = (a1 · r 2 )· r = a1 · r 3 Generalizando este proceso se obtiene el término general: an = a1 · r n - 1 Ejemplos:  

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r = 6 : 3 = 2. ¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 3? Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3. También se puede obtener directamente: a5 = a1 · r 5 - 1 = a1 · r 4  a5 = 2 · 3 4 = 2 · 81 = 162 7

Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 · r n - 1 y ak = a1 · r k - 1, despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta: an = ak · r n - k Interpolación de términos. Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que 3, a, b, c, d, 96 estén en progresión geométrica. Tenemos que a1 = 3, a6 = 96 y n = 6. Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene que: Aplicando  an = a1 · r n – 1  a6= a1 · r 5  96 = 3 · r 5  32 = r 5  r = 2 Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96. Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios geométricos o proporcionales. Producto de n términos consecutivo de una progresión geométrica. Observemos que en la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48 el producto de los términos extremos es: 3 · 48 = 144 y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144. En general, en una progresión geométrica limitada se verifica: a3 · an-2 = a2 · an-1 = . . . = a1 · an En una progresión geométrica limitada, el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Llamemos Pn al 8

producto de los n términos y escribamos el producto dos veces, invirtiendo los factores en una de ellas. Pn = a1 · a2 · . . . · an-1 · an Pn = an · an-1 · ... · a2 · a1 Multiplicando las dos igualdades resulta: (Pn)2 = (a1 · an) · (a2 · an-1) · ... · (an-1 · a2) · (an · a1) Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 · an) se tiene: (Pn)2 = (a1 · an) · (a1 · an) · ... · (a1 · an) = (a1 · an) n de donde:

(Pn)2 = (a1 · an) n

Pn 

 a1·

an 

n

Suma de n términos consecutivos. Si queremos calcular la suma de los términos de la progresión geométrica limitada a1, a2, a3,..., an-1, an, escribimos la suma Sn de los n términos y después multiplicamos por la razón. Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Sn· r = a1· r + a2· r + ... + an-1· r + an· r Ahora restamos Sn· r - Sn teniendo en cuenta que a1· r = a2, a2· r = a3, etc. Sn· r - Sn = an· r - a1  Sn· (r - 1) = an· r - a1, de donde: Sn 

an· r  a1 r 1

Usando la expresión del término general de una progresión geométrica an = a1· rn, se puede obtener la fórmula de la suma en función de a1 y r así: Sn 

a1· (r n  1 ) r 1

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Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente. (0 < r < 1) La progresión an = 2 · 10 1 - n  2, 2/10, 2/100, 2/1000, ... es una progresión geométrica de razón positiva y menor que 1 (r = 1/10), es decir, es una progresión geométrica decreciente e ilimitada y sus términos se hacen cada vez menores, pudiendo llegar a ser más pequeños que cualquier número dado. Para obtener la fórmula de la suma de estas progresiones multiplicamos por -1 el numerador y el denominador de la fórmula anterior: Sn 

a1· (r n  1) a1  r n  a1 a1  a1  r n a a  rn    1  1 r 1 r 1 1 r 1 r 1 r

Si r es positivo y menor que la unidad, por ejemplo r = 1/100, ¿qué ocurre con la suma anterior al crecer n? La primera fracción permanece constante, pues no depende de n, pero rn se hace tan pequeño como queramos. Por esta razón, para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente se utiliza esta fórmula: Sn 

a1 1 r

Ejercicios Propuestos 20. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2. Respuesta: 1.024 21. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. Respuesta: r=3 22. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? Respuesta: n=13 23. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término. Respuesta: a1=64 24. Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128.Respuesta: r=2 25. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. Respuesta: r=2, a1=1/ 32 10

26. Descompón el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor. Respuesta: r=5, a1=4 27. El volumen de un ortoedro es de 3375 cm3. Halla la longitud de sus aristas, sabiendo que están en progresión geométrica y que la arista intermedia mide 10 cm. más que la menor. Respuesta: r=3, a1=5 28. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,... Respuesta: P=1,76·1012 29. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,... Respuesta: S=3.069 30. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón. Respuesta: r=2 31. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,... Respuesta: S=16 32. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216. Respuesta: a1= 18 a2= 6 a3= 2 33. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el término central vale 2. Respuesta: P=211 34. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcula dichos números. Respuesta: r=4, a1=25 , a2= 100, a3 = 400 35. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125. Respuesta: r=1/2, a1= 1/3, a2=1/6, a3=1/12, a4= 1/24. 36. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? Respuesta: r=2, n=7 37. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos. Respuesta: a1= 7, a7= 5.103 38. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. Respuesta: Respuesta: a1= 23, a2=69, a3=207 39. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. Respuesta: a1= 16, a2=48, a3=144 40. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. Respuesta: a1= 5, a2=20, a3=80, a4=320 41. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es 27 veces el menor. Respuesta: a1= 9, a2=27, a3=81, a4=243

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42. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estas dimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m3. Respuesta: r=4, a1= 5, a2=20, a3=80. Más, para los inquietos

43. Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166. Respuesta: a1= 1, a2=4, a3=7 a4=10 44. La diferencia de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros términos es 585. Halla los términos. Respuesta: a1= 1, a2=5, a3=9, a4=13. 45. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primeros suman - 3 y los tres últimos 24. Respuesta: a1= -4, a2=-1, a3=2, a4=5, a5=8, a6=11. 46. En una progresión aritmética el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados. Respuesta: d=2/3, a1=1/3, a8=15/3, a9=17/3, a11= 7. 47. En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos. Respuesta: a2= 8, a3=11, a5=17, a7=23. 48. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética. Respuesta: 30, 60, 90. 49. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos. Respuesta: 20, 60, 100. 50. Halla las dimensiones de un ortoedro sabiendo que están en progresión aritmética, que suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m3. Respuesta: a1= 17, a2=26, a3=35. 51. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre el mayor y el menor es 60º. Calcula el valor de cada ángulo. Respuesta: d=12, 90º, 102º, 114º,126º, 138º, 150º. 52. Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética y suman 36 metros. ¿Cuánto mide cada lado? Respuesta: a1=9, a2=12, a3=15.

53. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber? Respuesta: 100. 54. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. 12

55. 56.

57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64.

65. 66.

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¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? Respuesta: 152.000 ptas. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos. Respuesta: a1= 5, a2=7, a3=9, a4=11. Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días? Respuesta: (a) 200mín (b) 5250mín. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm? Respuesta: n=16 Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136. Respuesta: a1= 17, a2=51, a3=153. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre los extremos 192. Halla dichos números. Respuesta: a1= 8, a2=40, a3=200. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175. Respuesta: ¿? En una progresión geométrica, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54, respectivamente. Halla el término sexto. Respuesta: a6= 6 x (7√ 35) Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos. Respuesta: a1= 8, a2=32, a3=64, a4=128, a5=256. Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estén en progresión geométrica. Respuesta: x=3 A una cuerda de 700 m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos tiene una longitud de 100 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo. Respuesta: a1= 100, a2=200, a3=400. Halla la fracción generatriz del número decimal 0,737373... como suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada. Respuesta: ¿? Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 10 de octubre? Respuesta: a10= 1 Dado un cuadrado de 1 m. de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas así obtenidas. Respuesta: Sn =1 + ½ + ¼ +1/8 + … + 1/2∞ = 2

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68. ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro se han pagado 7600 ptas. y por cada uno de los restantes 1500 ptas. más que por el anterior, sabiendo que en total se han pagado 43600 ptas.? Respuesta: 25 69. Tres números cuya suma es 36 están en progresión aritmética. Halla dichos números sabiendo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresión geométrica. Respuesta: a1= 3, a2=12, a3=21.

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