Programación Industrial

Algebra de Boole/Automatismos cableados

Álgebra de Boole Automatismos cableados

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Introducción

• • • • •

Se ha modelado la realidad como 0’s y 1’s La salida es una función de las entradas ¿Cómo se forma la función? – Álgebra de Boole

¿Cómo se simplifica? – Álgebra de Boole

¿Cómo se implanta? – Depende de la tecnología elegida

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1

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Algebra de Boole

• •

Un álgebra está definida por: – Un conjunto de elementos Κ – Un conjunto de operaciones Φ que actúan sobre los miembros de Κ y que cumplen unas ciertas propiedades

El Algebra de Boole (caso más simple) se define por: – Un conjunto B con sólo dos elementos {0,1} – Un conjunto de operaciones (lógicas) {+,·,’} definidas sobre B • 2 operaciones binarias (f(x,y)): – (+) función suma, función O, función OR – (·) función multiplicación, función Y, función AND • 1 operación monaria (f(x)): – (‘ ó ¯) función negación, función NO, función NOT

– tales que para x,y,z ∈ B se cumplen las siguientes propiedades: • Postulados de Huntington

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Postulados (axiomas) de Huntington

• • • • •

•

Conjunto cerrado: – x·y ∈ B, x+y ∈ B, x’ ∈ B

Ley conmutativa: – x+y=y+x – x·y=y·x

Complemento

– x+x’=1 – x·x’=0

•

Ley asociativa: – (x+y)+z=x+(y+z) – (x·y)·z=x·(y·z)

Ley distributiva: – (x+y)·z=x·z+y·z – x+y·z=(x+y)·(x+z)

En la siguiente transparencia se definen las operaciones básicas. Todas ellas cumplen los postulados de Huntington. Puede haber otra definición que también los cumpla.

Identidad: – x+0=x – x·1=x

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Definición operaciones básicas/tablas de verdad

•

Función suma lógica, O o OR a b

•

c = a+b

b 0 1 0 1

a+b 0 1 1 1

a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

a·b 0 0 0 1

a 0 1

a’ 1 0

¡¡ 1 + 1 = 1 !!

– Para activar la salida, a o b tienen que estar activas

Función producto lógico, Y o AND a

b

•

a 0 0 1 1

c = a·b

– Para activar la salida, a y b tienen que estar activas

Función complemento, NO o NOT a

b = a’ 5

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Variables, expresiones lógicas, tablas de verdad

• •

Variable lógica (booleana) – Variable perteneciente a B – Por tanto, sólo puede tener dos valores: 0 y 1

Expresión (función) lógica (booleana) – Combinación de variables lógicas pertenecientes a B y de operaciones lógicas (+ paréntesis):

•

• f = xy+xy’z+x’yz (· implícito) • Tabla de verdad equivalente a la anterior. • Formas estándar de representación: – Producto de sumas – Suma de productos

Tabla de verdad (con todas las posibilidades) y expresión lógica son equivalentes entre sí.

x

y

z

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

A una misma tabla de la verdad le corresponden varias expresiones lógicas

6

3

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Equivalencia entre expresiones

•

Dos expresiones son equivalentes si sus tablas de verdad son iguales a b c a+b·c (a+b)(a+c) – f1 = a+bc – f2 = (a+b)(a+c)

•

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

O si se puede llegar de la una a la otra (ambas direcciones) – f2=(a+b)(a+c)=aa+ac+ba+bc=a+ac+ba+bc=a(1+c+b)+bc=a+bc 7

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Convertir tabla de verdad en expresión lógica I x

y

z

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

• •

• • •

f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz

Forma canónica con minterm: 1. Tómese cada combinación que dé 1 a la salida y fórmese un producto de variables, de forma que si una variable vale 0 en aquella fila se coloca su complemento y si vale 1 se coloca la variable sin complementar. 2. Escríbase la función que resulta de sumar todos los productos. f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz Hay muchas expresiones equivalentes f=x’y+xy’z+xy

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4

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Convertir tabla de verdad en expresión lógica II

• x

y

z

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

• • •

1. Tómese cada combinación que dé 0 a la salida y fórmese un producto de variables, de forma que si una variable vale 0 en aquella fila se coloca su complemento y si vale 1 se coloca la variable sin complementar. 2. Escríbase la función que resulta de sumar todos los productos, negando el valor de la función. f’=x’y’z’+x’y’z+xy’z’ Simplificada: f=(x’y’+xy’z’)’

f=(x’y’z’+x’y’z+xy’z’)’

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Más puertas

•

AND de tres o más entradas f=abc

c

a

•

f=a+b+c+d

c = (a·b)’

OR exclusiva - XOR (diferentes) a b

NOR

•

a b

b

c=a’+b’

OR de tres o más entradas

b c d

•

NAND a

a b

•

•

c = (a+b)’

c=a⊕b c = a’b + ab’

XNOR (coincidentes) a b

c = (a ⊕ b)’ c = ab + a’b’

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Convertir expresión a puertas lógicas f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz x

y

f=x’y+xy’z+xy x

z

f

y z

f

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Variables y funciones lógicas en el mundo real • Función O • Interruptor modelado como con interruptores

una variable lógica (a)

– Interruptor cerrado -> a = 1 – Interruptor abierto -> a = 0 – a es la variable asociada al interruptor a

•

Bombilla modelada como una variable lógica (b)

•

Función Y con interruptores

•

Comprobar las tablas de la verdad

– Bombilla encendida -> b = 1 – Bombilla apagada -> b = 0 b

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Función complemento

•

•

Físicamen es el mismo pulsador: 2 contactos NA y NC

Se puede realizar la función complemento de forma mecánica: se dispone de la variable complementada y sin complementar mecánicamente( contacto abierto, contacto cerrado). En muchos casos resulta difícil con interruptores y sin provocar cortocircuitos realizar la función complemento: manejar f1 y f1’ en el mismo circuito, donde f1’ se ha construido a partir de f1. En estos casos se necesitan relés (caso de circuito eléctrico).

b

b

f2=b

a

f1=ab’

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Lógica positiva/Lógica negativa

•

•

Si una variable lógica está a 1 significa que la acción o estado asociado a dicha variable se está cumpliendo. Si es 0 indica que no se cumple. – En electrónica 1 significa tensión positiva ( típico 5V) y 0 significa tensión cero o tensión negativa. – Interruptor abierto igual a 0. – Interruptor cerrado igual a 1.

Lo anterior es una convención. Se puede cambiar 0 por 1. – Lógica negativa: 1 - 0 voltios, 0 - 5 voltios. – 1 - Interruptor abierto 0 - Interruptor cerrado. Típico para detectar fallos de alimentación.

Alimentación Planta

Unidad de control

Bombilla alarma

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Simplificación

•

• •

Problema: Juan quiere instalar 2 interruptores en su habitación (a y b) para encender una bombilla (f) de tal forma que sólo se encienda cuando:

a

a

a

b

– a y b están simultáneamente cerrados. – a está cerrado

Juan que es un lanzado hace la instalación Juan está muy contento porque la instalación funciona perfectamente hasta que llega su amigo Antonio y le pregunta para qué sirve el interruptor b

a b f 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 f = ab + a = a(b+1) = a·1 = a 15

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Propiedades útiles del Algebra de Boole

• •

Idempotencia

•

– a+a=a – a·a=a

Maximalidad del 1 – a+1=1

•

Minimalidad del 0

•

Involución

•

Leyes de Morgan

– a+ab=a – a(a+b)=a

•

– a+0=a – a’’=a – – – –

(a+b)’=a’b’ (ab)’=a’+b’ (a+b+c+...)’=a’b’c’... (abc...)’=a’+b’+c’+...

Absorción

•

Todas estas propiedades se comprueban mediante la aplicación de las propiedades del Algebra de Boole (postulados de Hungtinton) o recurriendo a las tablas de la verdad (en todos los casos posibles se cumple la igualdad). Permiten simplificar fácilmente.

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Simplificando

•

•

f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz – – – –

Asociativa y distributiva: f=x’y(z’+z)+xy’z+xy(z’+z) Complemento: f=x’y+xy’z+xy Complemento: f=y(x’+x)+xy’z f=y+xy’z

f=(x’y’z’+x’y’z+xy’z’)’ – – – –

Asociativa y distributiva: f=(x’y’(z’+z)+xy’z’)’ Complemento: f=(x’y’+xy’z’)’ Leyes de Morgan: f=(x’y’)’(xy’z’)’ Leyes de Morgan: f=(x+y)(x’+y+z)

– – – –

f=xx’+xy+xz+yx’+yy+yz f=xz+y+xy+yx’+yz f=xz+y(1+x+x’+z) f=xz+y Es equivalente a la de arriba (ver tabla de la verdad) 17

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Implantaciones alternativas de f A

F = A' B C + A B' C' + A B' C + A B C' + A B C B

F1

C

Suma de productos canónica

F2

Suma de productos minimizada

F3

Producto de sumas canónica

F4

Producto de sumas minimizado 18

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Simplificación mediante el método de Karnaugh

•

Hay muchos métodos para simplificar (aplicando directamente los postulados del Algebra) Programas de simplificación automática El método de Karnaugh es un método gráfico muy útil para funciones de 2 a 4 variables lógicas.

• •

– Se basa en buscar términos adyacentes en la tabla de la verdad. – Los términos adyacentes son aquellos que tienen las mismas variables con el mismo estado de complemento, excepto una. • xyz’ y xyz son adyacentes

– Los términos adyacentes se pueden simplificar fácilmente • xyz’+xyz = xy(z’+z) = xy

– Para buscar fácilmente los términos adyacentes se dispone la tabla de la verdad de tal forma que los valores de las variables de entrada vecinos resulten adyacentes. Esta tabla recibe el nombre de tabla o mapa de Karnaugh. 19

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Ejemplos de simplificación por Karnaugh I

• • •

• •

Construir el mapa de Karnaugh. Colocar los ceros y unos de la tabla de verdad sobre el mapa de Karnaugh. Formar grupos (paralelogramos) con las casillas que tienen 1, de tal forma que contengan el máximo número de elementos y éste sea potencia de 2. Casillas de un grupo pueden formar parte de otro. Cada grupo representa un producto. Éste está formado por las variables que no cambian de valor en dicho grupo. Si está a 1 la variable se escribe tal cual, y si está a 0, se complementa.

b 0

1

0

0

1

1

0

1

a

f=b adyacente

yz 00

01

11

10

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

x

f = y + xz

20

10

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Ejemplos de simplificación por Karnaugh II AB 00 CD

01

11

10

00

1

0

0

1

01

0

1

0

0

11

1

1

1

1

10

1

1

1

1

f = c + d’b’ + a’bd Adyacentes AB 00 CD

f = a’b’cd + a’bcd+ab’cd+

01

11

10

00

0

0

1

0

01

0

0

1

0

11

1

1

0

1

10

0

0

1

0

+abc’d’+abc’d+abcd’ f =abc’+abd’+cda’+cdb’

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Ejemplos de simplificación por Karnaugh III

• •

Don’t care: combinación de entradas que nunca se dan. Pueden ser utilizadas para simplificar las funciones lógicas: se toma su valor como 1 o como 0, en función de lo que más interese.

AB 00 CD

01

11

10

00

1

0

1

1

01

0

1

1

1

11

X

X

X

X

10

1

1

X

X

f = a + c + b’d’ + bd

22

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Funciones lógicas y tiempo

• • •

Si las entradas de la función lógica varían en el tiempo, la función lógica también varía. Al variar la entrada, la salida tardará un cierto tiempo en cambiar, dependiendo de la tecnología. Retardo de la función lógica: tiempo que media entre el cambio en la entrada de la función y el cambio en el valor de dicha función. Dependerá del tipo de cambio. a b

a

f=a+b

b

f = a+b

t retardo1

retardo2 23

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Relés y contactos • Relé: todo dispositivo que utilizando,

•

•

I

R

S

T

ya sea un impulso eléctrico que le es Esquema de enviado a distancia, o la acción de conexión otros fenómenos ajenos (como presión, temperatura, etc) actúa de modo automático como interruptor, accionando o desconectando un Ecuación M=I M circuito. lógica De modo manual o automático retorna a su posición inicial, una vez terminada la acción del impulso del Esquema Variable accionador; a esta operación se le eléctrico / I de entrada llama rearme o desbloqueo. Esquema de relés Clasificación: Variable M – Relés:gobiernan circuitos de baja de salida potencia. Esquema M – Contactores: circuitos de alta I de contactos potencia. (PLC) Contacto Bobina 24

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Ejemplo combinacional con contactos y bobinas II Esquema de eléctrico

f = ab + a’c+b’d

Esquema de Conexiones

a

Esquema de contactos a

b

a

c

b

d

a

a

b

b

c

d

f

d

f c

b

f

f

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Variables negadas con interruptores

•

Una variable asociada a un interruptor no puede ser 0 y 1 simultáneamente, si no es un doble interruptor con un contacto normalmente abierto y otro normalmente cerrado a

Conmutador Esquema eléctrico

a’ a

y

y’

x

z

f=yx+y’z f

a a’ a

Esquema de contactos

y

x

y

z

f

a’ 26

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Funciones lógicas y la práctica

•

Una función lógica de más de 4 variables es común en la práctica – Ir por la tabla de la verdad y obtener la función lógica es inviable.

•

• Imposible de aplicar Karnaugh. • Hay programas para simplificar (orientados al diseño digital).

Solución práctica – Obtener directamente desde la especificación del problema una función lógica representativa que, por supuesto, no será la óptima – Refleja directamente el funcionamiento del sistema

•

• A veces, aplicando Karnaugh aparecen expresiones que son difíciles de interpretar desde el punto vista del sistema a controlar

Problema de escribir la función lógica directamente – ¿Habré contemplado todos los casos? • Ejemplo: Poner en marcha un motor cuando no se debe – Muy grave si hay un obrero manipulándolo

•

– Con la tabla no había problemas porque se contemplaban todos los posibles valores de las entradas

Solución: – Intentar prevenir que la función tome valor 1 en casos indeseados. – ¿Cómo? Analizando y separando las condiciones de parada 27

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Escribir funciones lógicas de control en la práctica

•

Primero: Analizar las condiciones bajo las cuales no debe funcionar el sistema (variable a controlar) – Si ninguna de estas condiciones se cumple entonces es posible arrancar el sistema – Ejemplo:

•

• No arrancar el motor si está activado su relé térmico de temperatura • No poner en marcha una bomba si no hay agua en su depósito

Segundo: Analizar las condiciones que hacen que el sistema funcione (1 lógico) cuando no hay ninguna condición de parada activa. – Ejemplo:

•

• Interruptor de arranque • Pieza en la posición correcta

Formato de la función lógica final: f = CondiciónParada1’*CondiciónParada2’*...*(Condición Arranque1 + + CondiciónArranque2 + ...) – Si no se cumple ninguna de las condiciones de parada y se cumple alguna de las condiciones de arranque se pone en marcha el sistema

28

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Ejemplo

•

•

Una cinta trasportadora que se pone en marcha al cerrar el interruptor de arranque o cuando recibe una orden de arranque remota – IA: Interruptor de arranque – RA: señal remota de arranque – M: señal arranque motor

M

La cinta no debe funcionar si el motor tiene sobrecalentamiento – TM: contacto relé térmico motor. Se abre el contacto cuando hay sobrecalentamiento

M = TM(IA+RA)

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Resumen automatismos combinacionales

• • •

•

Primero: Identificar las entradas de la planta: – Variables a controlar: bomba, motor, piloto, etc. – Salidas del control

Segundo: Identificar las salidas de la planta: – Variables a partir de las cuales se construyen las funciones lógicas que rigen las salidas – Entradas del control

Tercero: Construir las funciones lógicas que rigen las salidas del control a partir de las entradas del control – Primero: las condiciones que hacen que la salida no se active. (PRIMERO ASEGURAR LA PARADA) – Segundo: las condiciones que hacen que la salida se active. – Simplificarlas si es posible y no se pierde la legibilidad del control.

Cuarto: Implementar – Lógica de relés, sistema digital, PLC 30

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