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ALGEBRA DE BOOLE “El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número de axiomas no probados o postulados. En 1854 George Boole presentó un tratamiento sistemático de la lógica, y desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana. En 1938 C. E. Shannon introdujo un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores, en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables con interruptores, pueden representarse con esta álgebra. Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados formulados por E. V. Hungtington en 1904. Estos postulados o axiomas no son únicos para definir el álgebra booleana. Se han usado otros conjuntos de postulados.” [6] El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios + y siempre y cuando se cumpla con 6 postulados de Huntington
Postulados de Huntington
1 a) B es un conjunto cerrado respecto al operador + b) B es un conjunto cerrado respecto al operador Un conjunto B esta cerrado respecto a un operador binario si, para cada par de elementos de B, el operador binario especifica una regla para obtener un número único de B. Por lo tanto: x, y B
1(a) x + y B
1(b) x y B
Postulados de Huntington
2 a) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador + b) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador Un conjunto B tiene un elemento identidad respecto a una operación binaria * en B si existe un elemento Z B con la propiedad: Z * x = x * Z = x para cualquier x B. Por lo tanto en el álgebra boolena los elementos identidad son: 0 para la operación + y 1 para la operación x, Z B
2(a) x + Z = Z + x = x
2(b) x Z = Z x = x
Postulados de Huntington
3 a) B es un conjunto conmutativo respecto al operador + b) B es un conjunto conmutativo respecto al operador Un operador binario * en un conjunto B se dice que es conmutativo siempre que: x * y = y * x para x, y B. Por lo tanto: x, y B
3(a) x + y = y + x
3(b) x y = y x
Postulados de Huntington
4 a) es distributivo sobre + b) + es distributivo sobre a Si * y son dos operadores binarios en un conjunto B , se dice que * es distributivo sobre siempre que: x*(y z) = (x * y) (x * z). Por lo tanto: x, y, z B 4(a) x (y + z) = (x y) + (x z) 4(b) x + (y z) = (x + y) (x + z)
Postulados de Huntington
5 Para cada elemento x B, existe un elemento x’ B (llamado complemento de x) tal que: a) x + x’ = 1 b) x x’ = 0
Postulados de Huntington
6 Existen al menos 2 elementos x, y B tales que x z y. B = {0,1]
Postulados de Huntington El álgebra booleana se parece en algunos aspectos al álgebra ordinaria. Sin embargo, se debe tener cuidado de no sustituir las reglas del álgebra boleana por las reglas de el álgebra tradicional cuando no son aplicables.
Teoremas del Álgebra de Boole
1a
x+x=x
Deducción: x + x = (x + x) 1 = (x + x) (x + x’) = x + (x x’) =x+0 =x
por el postulado 2(b) de Huntington 5(a) 4(b) 5(b) 2(a)
Teoremas del Álgebra de Boole
1b
xx=x
Deducción: xx = (x x) + 0 = (x x) + (x x’) = x (x + x’) =x1 =x
por el postulado 2(a) de Huntington 5(b) 4(a) 5(a) 2(b)
Teoremas del Álgebra de Boole
2a
x+1=1
Deducción: x + 1 = 1 (x + 1) = (x + x’) (x + 1) = x + (x’ 1) = x + x’ =1
por el postulado 2(b) de Huntington 5(a) 4(b) 2(b) 5(a)
Teoremas del Álgebra de Boole
2b
x0=0
Deducción: x 0 = 0 + (x 0) = (x x’) + (x 0) = x (x’ + 0) = x x’ =0
por el postulado 2(a) de Huntington 5(b) 4(a) 2(a) 5(b)
Teoremas del Álgebra de Boole
3
(x’)’=x
Deducción: Si x = 1 x'= 0 por el postulado 5 5(a) x + x’ = 1 o 1+0=1 5(b) x x’ = 0 o 10=0 Entonces el complemento de 0 es 1 por lo tanto: x'= 0 o (x’)’ = 1 = x
Teoremas del Álgebra de Boole
4a
x + (x y) = x
Deducción: x+xy=x1+xy=x = x (1 + y) = x (y + 1) =x1 =x
por el postulado 2(b) de Huntington 4(a) 3(a) 2(a) 2(b)
Teoremas del Álgebra de Boole
4b
x ( x + y) = x
Deducción: x ( x + y) = (x + 0) ( x + y) = x + (0 y) = x + (y 0) =x+0 =x
por el postulado 2(a) de Huntington 4(b) 3(b) 2(b) 2(a)
Teoremas del Álgebra de Boole Otros teoremas válidos para la álgebra boleana: 5. Teorema asociativo. x + (y + z) = (x + y) + z x (y z)= (x y) z 6. Teorema de Morgan (x + y)’ = x’ y’ (x y)’ = x’ + y’ 7. Teorema de Adyacencia Lógica x y + x y’ = x (x + y) (x + y’) = x
Funciones Booleanas Una función booleana es una expresión formada por variables binarias, los operadores OR, AND, NOT y el signo de igual. También puede estar presente el paréntesis y el símbolo de negación.
Funciones Booleanas La Operación OR se define así: z0 + 0 = 0 z0 + 1 = 1 z1 + 0 = 1 z1 + 1 = 1
Funciones Booleanas La función AND se define de la siguiente manera: z0 0 = 0 z0 1 = 0 z1 0 = 0 z1 1 = 1
Funciones Booleanas La función NOT (negación) se define como se muestra a continuación: z 0’ = 1 z 1’ = 0
Funciones Booleanas Un ejemplo de función boleana seria: S = x y’ + z Para conocer el valor de S para diferentes valores de las variables x, y, z se genera la tabla de verdad de la función.
Funciones Booleanas x 0 0 0 0 1 1 1 1
y 0 0 1 1 0 0 1 1
z 0 1 0 1 0 1 0 1
y’ 1 1 0 0 1 1 0 0
x y’ 0 0 0 0 1 1 0 0
Tabla de verdad de la función S = x y’ + z
S 0 1 0 1 1 1 0 1