´ Algebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales: Definici´on y soluci´on. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Divisi´on de Ingenier´ıas, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: [email protected]

1

Sistemas de ecuaciones lineales.

En esta secci´on, se introducir´an las definiciones necesarias para analizar los sistemas de ecuaciones lineales. Definici´ on de una ecuaci´ on lineal. Una ecuaci´ on lineal en un campo K es una ecuaci´on de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b1 donde a1 , a2 , · · · , an ∈ K se denominan los coeficientes de la ecuaci´ on y b1 ∈ K se denomina el t´ ermino independiente, si el t´ermino independiente b1 = 0, la ecuaci´ on lineal se denomina homogenea. En caso contrario, es decir, si b1 6= 0, la ecuaci´ on lineal se denomina no homogenea. Adem´ as, se supone que x1 , x2 , · · · , xn ∈ K, estos valores se conocen como las inc´ognitas de la ecuaci´ on lineal. El conjunto soluci´ on de una ecuaci´on lineal, denominado CS , se define como CS = {(x1 , x2 , · · · , xn )|a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ≡ b1 } . Una ecuaci´ on lineal de la forma 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = 0, se denomina redundante porque cualquier (x1 , x2 , · · · , xn ) satisface la ecuaci´on. Por el contrario, una ecuaci´ on lineal de la forma 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = b1

con

b1 6= 0,

se denomina inconsistente porque ning´ un (x1 , x2 , · · · , xn ) satisface la ecuaci´on. Definici´ on de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas no homogeneo, en un campo K, es una expresi´ on dada por la ecuaci´on (1) a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn

=

b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn ··· ··· ··· ··· am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn

= = =

b2 · bm

1

(1)

donde aij ∈ K ∀i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n se denominan los coeficientes del sistema de ecuaciones, y bi ∈ K ∀i = 1, 2, . . . , m se denominan los t´erminos independientes del sistema de ecuaciones. Si bi = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , m el sistema de ecuaciones se denomina homogeneo. En caso contrario, es decir, si bi 6= 0 para alg´ un valor de i = 1, 2, . . . , m, el sistema de ecuaciones se denomina no homogeneo. Finalmente, las inc´ognitas del sistema de ecuaciones son x1 , x2 , . . . , xn ∈ K y, como se indica, pertenecen al campo K. En nuestro caso, el campo ser´a casi exclusivamente el campo de los n´ umeros reales R, con algunos excursiones al campo de los n´ umeros complejos C. El conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones lineales, denominado CS , se define como   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn ≡ b1       a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn ≡ b2 CS = (x1 , x2 , · · · , xn )  ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ≡ ·      am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn ≡ bm

Si se denomina CSi el conjunto soluci´ on de la i-´esima ecuaci´ on lineal del sistema de ecuaciones dado por la ecuaci´ on (1), se tiene que CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm =

m \

(2)

CSi .

i=1

Finalmente, el sistema de ecuaciones lineales dado por a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn

=

0

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn ··· ··· ··· am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn

= = =

0 · 0

en el cual todas los t´erminos independientes se han hecho iguales a 0, se conoce como el sistema de ecuaciones homogeneo asociado al sistema de ecuaciones lineales dado por la ecuaci´on (1). El objetivo del resto de estas notas es encontrar el conjunto soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales arbitrario. Empezar un curso de ´algebra lineal con este tema tiene varias razones: 1. Un sin n´ umero de tareas dentro del ´algebra lineal requieren precisamente de resolver un sistema de ecuaciones lineales. 2. Este tema permite introducir a un nivel elemental el concepto de matrices, uno de los objetos de estudio del ´ algebra lineal. 3. Las ecuaciones lineales tienen una interpretaci´ on geom´etrica muy sencilla en los espacios Euclideos de dimensi´on dos, el plano, y dimensi´on tres, el espacio. Estas interpretaciones permiten intuir como es el comportamiento de sistemas de ecuaciones con mas de tres variables, donde una interpretaci´ on geom´etrica ya no es posible.

2

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

En esta secci´on se introducir´an objetos conocidos como matrices que, en esta etapa del curso, nos permitir´an tratar de manera un poco m´as abstracta a los sistemas de ecuaciones lineales eliminando toda referencia a las inc´ognitas del sistema. El sistema de ecuaciones, dado por la ecuaci´on (1), puede escribirse en forma matricial como      a11 a12 a13 · · · a1n x1 b1  a21 a22 a23 · · · a2n   x2   b2    =  (3)  · · · · ·  ·   ·  am1 am2 am3 · · · amn xn bm 2

La matriz1 A, definida como 

a11  a21 A=  · am1

a12 a22 · am2

a13 a23 · am3

··· ··· · ···

 a1n a2n   ·  amn

se conoce como la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuaci´on (1), la matrix Ab , definida como   a11 a12 a13 · · · a1n b1  a21 a22 a23 · · · a2n b2   Ab =   ·  · · · · am1 am2 am3 · · · amn bm se conoce como la matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuaci´on (1). En el resto de estas notas se mostrar´a como se puede encontrar el conjunto soluci´ on del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuaci´ on (1) empleando exclusivamente las matrices de coeficientes y augmentada del sistema.

3

Soluci´ on de un sistema lineal de ecuaciones.

Durante la educaci´on media superior se estudian sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres inc´ognitas. All´ı se muestra que existen tres posibles m´etodos de soluci´ on de estos sistemas de ecuaciones: 1. Suma o resta de ecuaciones. 2. Sustituci´on de variables. 3. Igualaci´ on. En estas notas se mostrar´a un m´etodo sistem´atico de soluci´ on basado en el m´etodo de suma o resta de ecuaciones lineales. El m´etodo consiste en paulatinamente cambiar el sistema de ecuaciones lineales original por otro m´as sencillo pero que tenga el mismo conjunto soluci´ on. A continuaci´on se prueba el resultado fundamental del m´etodo de soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales. Teorema. Considere el conjunto de m ecuaciones lineales en n inc´ognitas dado por la ecuaci´on (1), el conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones lineales CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm =

m \

CSk .

k=1

no se altera cuando se realizan las siguientes tres operaciones denominadas elementales:2 1. Se intercambian ecuaciones. 2. Se multiplica una ecuaci´ on por un elemento del campo diferente de 0. 1 Por

el momento, una matriz es simplemente un arreglo rectangular de n´ umeros pertenecientes a un campo, casi siempre el campo de los n´ umeros reales, R. 2 Debe notarse que cada una de estas operaciones elementales conduce a una operaci´ on equivalente en las filas de la matriz aumentada del sistema Ab . De manera m´ as espec´ıfica: El intercambio de ecuaciones equivale al intercambio de las filas correspondientes de la matriz aumentada, la multiplicaci´ on de una ecuaci´ on por un elemento del campo diferente de 0 corresponde a la multiplicaci´ on de la fila correspondiente de la matriz aumentada por el mismo elemento del campo diferente de 0. Finalmente, la suma del m´ ultiplo de una ecuaci´ on a otra corresponde a la suma del mismo m´ ultiplo de la fila correspondiente a la primera ecuaci´ on a la fila correspondiente a la segunda ecuaci´ on.

3

3. Se suma el m´ ultiplo de una ecuaci´ on a otra ecuaci´ on. Prueba: La prueba se har´ a evidentemente en tres partes 1. Se intercambian las ecuaciones i y j. El conjunto soluci´ on del sistema original est´ a dado por CSo = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSi ∩ · · · ∩ CSj ∩ · · · ∩ CSm , mientras que el conjunto soluci´ on del sistema final, es decir aquel que se obtiene despu´es del intercambio de ecuaciones, est´ a dado por CSf = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSj ∩ · · · ∩ CSi ∩ · · · ∩ CSm . Es, pues, suficiente probar que CSo = CSf . Este resultado se probar´ a por doble inclusion; es decir, probando que CSo ⊂ CSf y CSf ⊂ CSo . Considere (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSo ⇔ (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSk

∀k = 1, 2, · · · , m ⇔ (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSf

De esa manera se prueba el resultado.3 2. Se multiplica la ecuaci´ on i por un elemento del campo, tambi´en conocido como escalar, λ ∈ K tal que λ 6= 0. La ecuaci´ on original i est´ a dada por ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn = bi y su conjunto soluci´ on se denomina CSio , la ecuaci´ on que se obtiene despu´es de multiplicar la ecuaci´ on i por un escalar λ ∈ K, tal que λ 6= 0 est´ a dada por (λ ai1 )x1 + (λ ai2 ) x2 + (λ ai3 ) x3 + · · · + (λ ain ) xn = λ bi y su conjunto soluci´ on se denomina CSif . Como en este caso, solo se manipula la i-´esima ecuaci´on, es suficiente probar que CSio = CSif . Nuevamente, este resultado se probar´ a por doble inclusi´ on; es decir, probando que CSio ⊂ CSif y CSif ⊂ CSio Sea (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio entonces ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi entonces λ(ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ) ≡ (λbi ). Por lo tanto (λai1 )x1 + (λai2 )x2 + (λai3 )x3 + · · · + (λain )xn ≡ (λbi ) y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSif . Se ha probado pues que CSio ⊂ CSif . En la direcci´on contraria, sea (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSif entonces (λai1 )x1 + (λai2 )x2 + (λai3 )x3 + · · · + (λain )xn ≡ (λbi ) 3 Una manera alternativa de probar este resultado consiste en invocar las leyes de Morgan que indican que la intersecci´ on de conjuntos es conmutativa y asociativa.

4

puesto que λ 6= 0, existe un inverso multiplicativo en K, denominado λ−1 =

1 λ

tal que

λ−1 [(λai1 )x1 + (λai2 )x2 + (λai3 )x3 + · · · + (λain )xn ]

≡

λ−1 (λbi )

(λ−1 λ)ai1 x1 + (λ−1 λ)ai2 x2 + (λ−1 λ)ai3 x3 + · · · + (λ−1 λ)ain xn

≡

(λ−1 λ)bi

pero λ−1 λ = 1, donde 1 es el id´entico multiplicativo del campo, y 1k = k = k1 para cualquier elemento k ∈ K, por lo tanto ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio . Se ha probado pues que CSif ⊂ CSio . La conjunci´ on de estos dos resultados parciales conduce a CSif = CSio . 3. Se suma un m´ ultiplo de la ecuaci´ on i a la ecuaci´ on j. Las ecuaciones originales i y j est´ an originalmente dadas por ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn = bi (4) y aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn = bj

(5)

y sus conjuntos soluci´ on se denominan CSio y CSjo . La ecuaci´ on que se obtiene despu´es de sumar λ veces la ecuaci´ on i a la ecuaci´ on j est´ a dada por (λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn = λbi + bj

(6)

y su conjunto soluci´ on se denomina CSλi+j . Como en este caso solo se manipulan las ecuaciones i y j es suficiente probar que CSio ∩ CSjo = CSio ∩ CSλi+j . Nuevamente, este resultado se probar´ a por doble inclusi´ on; es decir, probando que CSio ∩ CSjo ⊂ CSio ∩ CSλi+j

y

CSio ∩ CSλi+j ⊂ CSio ∩ CSjo

Suponga que (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSjo entonces, (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSjo , por lo tanto ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi y aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn ≡ bj Sin embargo, si se sustituye (x1 , x2 , · · · , xn ) en la ecuaci´ on (4), se tiene que (λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn

=

λbi + bj

λai1 x1 + aj1 x1 + λai2 x2 + aj2 x2 + λai3 x3 + aj3 x3 + · · · + λain xn + ajn xn λ(ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ) + (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn )

= ≡

λbi + bj λbi + bj

Por lo tanto (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSλi+j

y

(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSλi+j .

Entonces, se prob´o que CSio ∩ CSjo ⊂ CSio ∩ CSλi+j . En la direcci´on contraria, suponga que (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSλi+j entonces, (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSλi+j , por lo tanto ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi 5

y (λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn ≡ λbi + bj Expandiendo y acomodando esta u ´ltima ecuaci´ on, se tiene que (λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn λai1 x1 + aj1 x1 + λai2 x2 + aj2 x2 + λai3 x3 + aj3 x3 + · · · + λain xn + ajn xn

≡ ≡

λbi + bj λbi + bj

λ(ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ) + (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn )

≡

λbi + bj(7)

Sin embargo, sustituyendo la ecuaci´ on (5) en la ecuaci´ on (6), se tiene que λ bi + (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn ) ≡ λbi + bj o (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn ) ≡ bj Por lo tanto (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSoj y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSoj . Entonces se prob´o que CSio ∩ CSλi+j ⊂ CSio ∩ CSoj . La conjunci´ on de estos dos resultados conduce a CSio ∩ CSλi+j = CSio ∩ CSoj , y este resultado finaliza la prueba.

4

Ejemplos.

En esta secci´on se mostrar´an algunos ejemplos de soluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales:

4.1

Ejemplo 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2 x1 − 2 x2 + 2 x3 −3 x1 + 6 x2 + 0 x3

= =

1, −1,

1 x1 − 7 x2 + 10 x3

=

2.

(8)

La matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones est´ a dada por   2 −2 2 1 0 −1  Ab =  −3 6 1 −7 10 2 Si se suma a la segunda ecuaci´ on 32 de la primera ecuaci´ on y se suma a la tercera ecuaci´on − 21 de la primera ecuaci´ on, el sistema de ecuaciones se transforma en 2 x1 − 2 x2 + 2 x3

=

0 x1 + 3 x2 + 3 x3

=

0 x1 + 6 x2 + 9 x3

=

6

1 1 2 3 2

En t´erminos de la matriz aumentada, el efecto de estas reducciones se obtiene de manera semejante. Es decir, sumando 32 de la primera fila a la segunda fila y sumando − 21 de la primera fila a la tercera fila, de esta manera, la matriz aumentada se reduce a   2 −2 2 1 Ab1 =  0 3 3 21  0 6 9 32 En la etapa final, si se suma a la tercera ecuaci´ on −2 veces la segunda ecuaci´on, se tiene que el sistema de ecuaciones se reduce a 2 x1 − 2 x2 + 2 x3

=

0 x1 + 3 x2 + 3 x3

=

0 x1 + 0 x2 + 3 x3

=

1 1 2 1 2

(9)

En t´erminos de la matriz aumentada, el efecto corresponde a sumar a la tercera fila −2 veces la segunda fila, de esta manera, la matriz augmentada se reduce a   2 −2 2 | 1 (10) Ab2 =  0 3 3 | 12  0 0 3 | 12 Es importante se˜ nalar que puesto que durante este proceso se han empleado exclusivamente las operaciones elementales, el conjunto soluci´ on del sistema original, vea la ecuaci´ on (8), y el conjunto soluci´ on del sistema final, vea la ecuaci´ on (9), coinciden. Mas a´ un, el sistema final de ecuaciones, vea la ecuaci´ on (9), y la matriz aumentada, vea la ecuaci´on (10), tienen una forma muy simple conocida como escalonada o de modo mas formal como triangular superior, todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, y este sistema de ecuaciones puede resolverse de manera muy sencilla por el m´etodo conocido como sustituci´ on inversa. Este proceso consiste en resolver la tercera ecuaci´ on para la inc´ognita x3 , sustituir este valor en la segunda ecuaci´on, del sistema, para resolver esta ecuaci´ on para la inc´ognita x2 . El proceso finaliza con la sustituci´on de x3 y x2 en la primera ecuaci´ on y la soluci´ on de esta ecuaci´ on para la inc´ognita x1 . El conjunto soluci´ on del sistema lineal de ecuaciones est´a dado, en dos formas alternativas, por     1 1 1 1 = x1 = , x2 = 0, x3 = . , 0, CS = 3 6 3 6

5

Representaci´ on de l´ıneas y planos mediante vectores y ecuaciones lineales.

En esta secci´on se mostrar´a como representar l´ıneas y planos en el espacio mediante dos diferentes m´etodos: 1. Como combinaciones de vectores. 2. Como ecuaciones o sistemas de ecuaciones.

5.1

Representaci´ on de planos como combinaciones de vectores y como ecuaciones lineales.

Considere el espacio f´ısico tridimensional, formado por puntos, l´ıneas, planos, etc. Si se selecciona un origen arbitrario, los puntos est´ an en una relaci´ on biunivoca, es decir inyectiva y sobreyectiva, con las 7

Figure 1: Punto P y sus coordenadas respecto al sistema coordenado.

Figure 2: Plano determinado por un punto P y dos vectores contenidos en el plano. triadas ordenadas de n´ umeros reales (x, y, z), vea la figura 1, que muestra un punto arbitrario y la triada de n´ umeros reales correspondiente. Una manera muy sencilla de definir un plano, se muestra en la figura 2. Si se conoce un punto P y dos vectores, que por comodidad se suponen unitarios, u ˆ, vˆ, contenidos en el plano, todos los vectores de posici´on de cualquier punto, digamos Q, contenido en el plano, est´ a dado por P Q = {~rQ | ~rQ = ~rP + λ u ˆ + µ vˆ,

donde

λ, µ ∈ R} .

Sin embargo, existe otra manera de representar los vectores de posici´on de los puntos, digamos Q, contenidos en el plano. Considere el plano mostrado en la figura 3, sea P y Q puntos contenidos en el plano, y sea u ˆ, un vector, que por comodidad se supone unitario, que es perpendicular al plano. Suponga que los vectores de posici´on de los puntos P y Q y el vector unitario u ˆ est´ an dados por ~rP = (xP , yP , zP ) ~rQ = (x, y, z)

y

u ˆ = (ux , uy , uz ).

Entonces el vector ~rQ − ~rP que conecta el punto P con un punto arbitrario contenido en el plano, digamos Q, est´ a contenido en el plano, y es, por lo tanto, perpendicular al vector u ˆ, que es perpendicular al plano. Es decir, la ecuaci´ on del plano est´ a dado por (~rP − ~rQ ) · u ˆ=0

o

~rQ · u ˆ = ~rP · u ˆ.

Sustituyendo las coordenadas de los vectores, se tiene que (x, y, z) · (ux , uy , uz ) ux x + uy y + uz z

(xP , yP , zP ) · (ux , uy , uz ) u x x P + u y y P + u z zP .

= = 8

(11)

Figure 3: Plano determinado por un punto P y un vector perpendicular al plano. Es importante darse cuenta que la ecuaci´ on (11) es una ecuaci´ on lineal en tres inc´ognitas, x, y, x. Entonces, se ha llegado a un resultado importante, un plano en el espacio f´ısico tridimensional, se representa mediante una ecuaci´ on lineal en las coordenadas de los puntos. Note que el plano pasa por el origen O, si y s´ olo si, la ecuaci´ on lineal es homogenea.

5.2

Ejemplo 1.

Considere la ecuaci´ on de un plano dada por 2 x − 2 y + 2 z = 1,

(12)

Esta ecuaci´ on puede expresarse, despu´es de una redefinici´on de las inc´ognitas, como 2x1 − 2x2 + 2x3 = 1; sin embargo, puesto que se busca una interpretacion geom´etrica de la ecuaci´on se cambi´o el significado de las inc´ognitas. Es evidente que el origen del sistema coordenado (0, 0, 0) no forma parte del plano representado por la ecuaci´ on (12), pues 2(0) − 2(0) + 2(0) = 0 6= 1. La figura 4 muestra el plano representado por la ecuaci´ on (12). Esta figura verifica que el origen no forma parte del plano.

5.3

Ejemplo 2.

Considere la ecuaci´ on de un plano dada por x − 7y + 10z = 0,

(13)

Es evidente que el origen del sistema coordenado (0, 0, 0) forma parte del plano representado por la ecuaci´ on (13), pues (0) − 7(0) + 10(0) = 0. La figura 5 muestra el plano representado por la ecuaci´ on (13). Esta figura verifica que el origen forma parte del plano.

9

Figure 4: Plano representado por la ecuaci´ on (12).

Figure 5: Plano representado por la ecuaci´ on (13).

10

6

Determinaci´ on de los diferentes casos de soluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales.

En esta secci´on se analizar´an los diferentes casos de soluci´ on, o ausencia de soluci´ on, de sistemas de ecuaciones lineales. Mas a´ un, esos casos se interpretar´an a la luz de la representaci´ on de ecuaciones lineales como planos en un espacio f´ısico tridimensional. Para tal f´ın conviene clasificar las matrices asociadas, a los sistemas de ecuaciones lineales, de acuerdo a las filas diferentes de cero que aparecen en su forma escalonada previa a la posible soluci´ on del sistema por el m´etodo de sustituci´on inversa. 1. El n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es mayor que el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones. En este caso, el sistema de ecuaciones tiene, al menos, una ecuaci´ on lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones no tiene soluci´ on alguna y el sistema de ecuaciones se denomina inconsistente. 2. El n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al n´ umero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones.4 En este caso, el sistema de ecuaciones no tiene ninguna ecuaci´ on lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones si tiene, al menos, una soluci´ on y el sistema de ecuaciones se denomina consistente. Adem´ as, este caso admite una clasificaci´ on mas fina. (a) Si el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al n´ umero de inc´ognitas, el conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones tiene un u ´nico elemento. En otras palabras, la soluci´ on es u ´ nica. (b) Si el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es menor al n´ umero de inc´ognitas, el conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones tiene un n´ umero infinito de elementos. De manera mas espec´ıfica, el conjunto soluci´ on tiene tantas variables libres como la diferencia entre el n´ umero de inc´ognitas y el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada. Estos resultados se encuentran resumidos en la figura 6; sin embargo, se debe enfatizar que no es, en general, posible determinar el tipo de sistema y el n´ umero de soluciones sin encontrar primero la forma escalonada de la matriz aumentada. Un caso especial muy importante, que merece un an´alisis particular, es el de los sistemas de ecuaciones homogeneos, en este caso, el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es siempre igual al n´ umero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones.5 Entonces, estos sistemas siempre tienen al menos una soluci´ on, denominada la trivial, y dada por x1 = x2 = · · · = xn = 0.

(14)

Entonces, se tienen dos posibles casos 1. Si el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al n´ umero de inc´ognitas, el conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones tiene un u ´nico elemento. En otras palabras, la soluci´ on es u ´nica y es la trivial, dada por la ecuaci´on (14). 2. Si el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es menor al n´ umero de inc´ognitas, el conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones tiene un n´ umero infinito 4 Cual es la raz´ on por la cual el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, no puede ser menor que el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones? 5 Cual es la raz´ on de este resultado?

11

Figure 6: Resumen de los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y el n´ umero de soluciones.

12

de elementos. De manera mas espec´ıfica, el conjunto soluci´on tiene tantas variables libres como la diferencia entre el n´ umero de inc´ognitas y el n´ umero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada.

6.1

Ejemplo 3.

Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuaci´ on 2x − 2y + 2z −3 x + 6 y + z

= =

1 −1

−6 x + 6 y − 6 z

=

4

Donde la matriz augmentada del sistema est´ a dada por  2 −2 2 | 1 | Ab =  −3 6 −6 6 −6 |

(15)

 1 −1  4

nadiendo a la A˜ nadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, Ab , 32 veces la primera fila y a˜ tercera fila de la matriz augmentada, Ab , 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz est´ a dada por   2 −2 2 | 1 Ab1 =  0 3 4 | 21  0 0 0 | 7 Como puede observarse, la matriz de coeficientes A en su forma escalonada unicamente tiene 2 filas diferente de cero, mientras que la matriz augmentada Ab1 en su forma escalonada tiene 3 filas diferente de cero. El sistema de ecuaciones es inconsistente, y su conjunto solucion est´ a dado por CS = ∅. Este resultado, puede verificarse rapidamente notando, que la tercera ecuaci´on del sistema de ecuaciones, en su forma escalonada, est´ a dada por 0x + 0y + 0z = 7. Esta es una ecuaci´ on lineal inconsistente, cuyo conjunto soluci´ on, CS3 est´ a dado por CS3 = ∅. Una explicacion geom´etica de este resultado se muestra en la figura 7. Esta figura muestra los planos asociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (15). En particular, los planos asociados a las ecuaciones 1 y 3 son paralelos, y estos se interesectan s´olo en el infinito, recuerde que infinito no es un n´ umero real. Es pues evidente que el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y su conjunto soluci´ on es CS = ∅.

6.2

Ejemplo 4.

Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuaci´ on 2x − 2y + 2z

=

1

−3 x + 6 y + z −6 x + 6 y − 6 z

= =

−1 −3

13

(16)

Figure 7: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuaci´on 15. Donde la matriz augmentada del sistema est´ a dada por  2 −2 2 | 1 | Ab =  −3 6 −6 6 −6 |

 1 −1  −3

A˜ nadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, Ab , 32 veces la primera fila y a˜ nadiendo a la tercera fila de la matriz augmentada, Ab , 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz est´ a dada por   2 −2 2 | 1 Ab1 =  0 3 4 | 21  0 0 0 | 0 Como puede observarse, tanto la matriz de coeficientes A como la matriz augmentada Ab en su forma escalonada tiene 2 filas diferente de cero. Este resultado indica que el sistema de ecuaciones es consistente y tiene soluci´ on. Mas a´ un, el n´ umero de filas diferente de cero, 2, es menor que el n´ umero de inc´ognitas, 3, de manera que el sistema tiene soluciones m´ ultiples, de manera mas espec´ıfica, el conjunto soluci´ on tiene una variable libre. El proceso de soluci´ on inversa, conduce al siguiente conjunto soluci´ on    2 7 1 4 CS = − z, − z, z | z ∈ R 3 3 6 3 Una explicacion geom´etrica de este resultado se muestra en la figura 8. Esta figura muestra los planos asociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (16). Note que la figura unicamente muestra 2 planos, la raz´ on es que los planos asociados a las ecuaciones 1 y 3 son, adem´ as de paralelos, coincidentes. El conjunto soluci´ on est´ a representado geom´etricamente por la l´ınea que constituye la intersecci´on de ambos planos.

14

Figure 8: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuaci´on 16.

Figure 9: Flujos en una red.

6.3

Ejemplo 4.

a. Encuentre los patrones generales de los flujos de la red mostrada en la figura 9. b. Suponiendo que los flujos ocurren en las direcciones indicadas, encuentre los flujos m´ınimos en las ramas denotadas por x2 , x3 , x4 y x5 .6 . Soluci´ on: Las ecuaciones asociadas a cada uno de los nodos de la red est´an dadas por 1. Nodo A 30 + x2 = 80 + x1

x1 − x2 = −50

Ecuaci´ on 1

x3 + x5 = x2 + x4

x2 − x3 + x4 − x5 = 0

Ecuaci´ on 3

2. Nodo B 3. Nodo C 100 + x6 = 40 + x5

x5 − x6 = 60

Ecuaci´ on 5

6 Este es el problema 13, de la secci´ on 1.6 del libro Lay, D. [2012], Linear Algebra and its Applications, Fourth Edition, Boston: Addison-Wesley

15

4. Nodo D 40 + x4 = 90 + x6

x4 − x6 = 50

Ecuaci´ on 4

5. Nodo E 60 + x1 = x3 + 20

x1 − x3 = −40

Ecuaci´ on 2

Adem´ as, se requiere que los flujos ocurran en la direcci´on indicada en la figura 9, se tiene como condici´ on x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 x6 ≥ 0 El sistema de ecuaciones est´ a dado en forma matricial por   x1  1 −1 0 0 0 0    x2  1 0 −1 0 0 0   x3   0 1 −1 1 −1 0     x4   0 0 0 1 0 −1    x5 0 0 0 0 1 −1 x6 La matriz aumentada est´ a dada por      

1 1 0 0 0

−1 0 0 −1 1 −1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1



  −50    −40     = 0       50   60

 0 −50 0 −40   0 0   −1 50  −1 60

La primera etapa de diagonalizaci´ on de la matriz aumentada requiere de multiplicar la primera fila por −1 y sumarla a la segunda fila, el resultado es   1 −1 0 0 0 0 −50  0 1 −1 0 0 0 10     0 1 −1 1 −1 0 0     0 0 0 1 0 −1 50  0 0 0 0 1 −1 60 La segunda etapa de diagonalizaci´ on de la matriz aumentada requiere de multiplicar la segunda fila por −1 y sumarla a la tercera fila, el resultado es   1 −1 0 0 0 0 −50  0 1 −1 0 0 0 10     0 0  0 1 −1 0 −10    0 0 0 1 0 −1 50  0 0 0 0 1 −1 60 La segunda etapa de diagonalizaci´ on de la matriz aumentada requiere de multiplicar la tercera fila por −1 y sumarla a la cuarta fila, el resultado es   1 −1 0 0 0 0 −50  0 1 −1 0 0 0 10     0 0 0 1 −1 0 −10     0 0 0 0 1 −1 60  0 0 0 0 1 −1 60

16

Es evidente que las dos u ´ltimas filas de la matriz aumentada son iguales; es decir, las dos u ´ltimas ecuaciones son redundantes y una de ellas puede eliminarse. La matriz aumentada en su forma reducida es   1 −1 0 0 0 0 −50  0 1 −1 0 0 0 10     0 0 0 1 −1 0 −10  0 0 0 0 1 −1 60

Puesto que el n´ umero de filas diferentes de cero de la matriz aumentada es igual al n´ umero de filas diferentes de cero de la matriz de coeficientes, el sistema tiene soluci´ on. Mas a´ un, puesto que hay cuatro filas diferentes de cero de la matriz de coeficientes y seis inc´ognitas, el sistema tiene soluciones m´ ultiples y dos variables libres. Las ecuaciones resultantes son x1 − x2

=

−50

x2 − x3 x4 − x5

= =

10 −10

x5 − x6

=

60

Como variables libres se seleccionar´an x6 y x3 , note que no es posible seleccionar x6 y x5 . Las soluciones est´ an dadas por x5

=

x6 + 60

x4 x2 x1

= = =

x5 − 10 = x6 + 60 − 10 = x6 + 50 x3 + 10 x2 − 50 = x3 + 10 − 50 = x3 − 40

El conjunto soluci´ on del sistema de ecuaciones est´ a dada por CS = {(x1 = x3 − 40, x2 = x3 + 10, x3 , x4 = x6 + 50, x5 = x6 + 60, x6 )|x3 , x6 ∈ R} Por la condici´ on de que todos los flujos deben ser mayores o iguales a cero, los flujos m´ınimos son x6 = 0

6.4

x5 = 60

x4 = 50

x3 = 40

x2 = 50

x1 = 0.

Ejemplo 5.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de los n´ umeros complejos, C. (3 + 5 i) z1 + (2 − 3 i) z2

=

4 − 3i

(−1 + 2 i) z1 + (5 + 4 i) z2

=

5 + 2i

Soluci´ on: Se mostrar´an dos diferentes m´etodos de soluci´ on para estos sistemas de ecuaciones. 1. Primer m´ etodo. En este primer m´etodo, el objetivo es escalonar el sistema sin descomponer los n´ umeros complejos, en sus componentes reales e imaginarios. El primer paso consiste en multiplicar la primera ecuaci´ on por (−1 + 2 i) y multiplicar la segunda ecuaci´ on −(3 + 5 i) y sumar t´ermino a t´ermino. (−1 + 2 i)(3 + 5 i) z1 + (−1 + 2 i)(2 − 3 i) z2 −(3 + 5 i)(−1 + 2 i) z1 − (3 + 5 i)(5 + 4 i) z2

= =

(−1 + 2 i)(4 − 3 i) −(3 + 5 i)(5 + 2 i)

Se obtiene la ecuaci´ on [(−1 + 2 i)(2 − 3 i) − (3 + 5 i)(5 + 4 i)] z2

=

(−1 + 2 i)(4 − 3 i) − (3 + 5 i)(5 + 2 i)

[−2 + 6 + 4 i + 3 i − 15 + 20 − 25 i − 12 i] z2 (9 − 30 i)z2

= =

−4 + 6 + 8 i + 3 i − 15 + 10 − 6 i − 25 i −3 − 20 i

17

Puede pensarse que el sistema se ha diagonalizado a (3 + 5 i) z1 + (2 − 3 i) z2 (9 − 30 i)z2

4 − 3i −3 − 20 i

= =

El inverso multiplicativo de (9 − 30 i) est´ a dado por 9 + 30 i 9 + 30 i = 92 + (−30)2 981 Por lo tanto z2 =

−27 + 600 − 180 i − 90 i 573 − 270 i 191 30 9 + 30 i (−3 − 20 i) = = = − i 981 981 981 327 109

Sustituyendo este resultado en la primera ecuaci´ on, se tiene que     30 191 30 30 191 191 i − i =4−2 +3 + −3 + 2 +3 (3 + 5 i) z1 = 4 − 3 i − (2 − 3 i) 327 109 327 109 109 327     1196 1308 − 382 + 270 −327 + 60 + 191 76 = + i= − i 327 109 327 109 El inverso multiplicativo de (3 + 5 i) est´ a dado por 3 − 5i 3 − 5i = 32 + (−5)2 34 Por lo tanto z1

= =

     3 76 3 1196 76 5 76 3 − 5 i 1196 i= + − − − − 34 327 109 34 327 34 109 34 109     816 −684 − 5980 1196 − 380 6664 + i= − i= (34)(109) (34)(327) (34)(109) (34)(327)

 5 1196 i 34 327 24 196 − i 109 327

2. Segundo m´ etodo. En este segundo m´etodo, el objetivo es descomponer los n´ umeros complejos, en sus componentes reales e imaginarios. Es decir z 1 = a 1 + b1 i

z 2 = a 2 + b2 i

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones resulta (3 + 5 i) (a1 + b1 i) + (2 − 3 i) (a2 + b2 i)

=

4 − 3i

(−1 + 2 i) (a1 + b1 i) + (5 + 4 i) (a2 + b2 i)

=

5 + 2i

Desarrollando el sistema, se tiene que (3 a1 − 5 b1 + 2 a2 + 3 b2 ) + (3 b1 + 5 a1 + 2 b2 − 3 a2 ) i (−a1 − 2 b1 + 5 a2 − 4 b2 ) + (2 a1 − b1 + 5 b2 + 4 a2 ) i

= =

4 − 3i 5 + 2i

Igualando las partes reales e imaginarias, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de los n´ umeros reales R. 3 a 1 − 5 b 1 + 2 a 2 + 3 b2 3 b1 + 5 a 1 + 2 b2 − 3 a 2

= =

4 −3

−a1 − 2 b1 + 5 a2 − 4 b2 2 a 1 − b1 + 5 b2 + 4 a 2

= =

5 2

18

Reordenando el sistema se tiene que a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b 2

=

−5

3 a 1 − 5 b1 + 2 a 2 + 3 b 2 5 a 1 + 3 b1 − 3 a 2 + 2 b 2 2 a 1 − b1 + 4 a 2 + 5 b2

= = =

4 −3 2

En la primera etapa de escalonamiento, se tiene que a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b2 11 b1 − 17 a2 + 9 b2

= =

−5 −19

7 b1 − 22 a2 + 18 b2 5 b1 − 14 a2 + 3 b2

= =

−22 −12

a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b2 11 b1 − 17 a2 + 9 b2 123 a2 − 135 b2

= = =

−5 −19 109

69 a2 + 12 b2

=

37

En la segunda etapa de escalonamiento, se tiene que

En la etapa final de escalonamiento, se tiene que a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b2

=

−5

11 b1 − 17 a2 + 9 b2 123 a2 − 135 b2

= =

−19 109

−3597 b2

=

990

Por lo tanto b2

=

a2

=

b1

=

a1

=

990 30 =− 3597 109 30 109 − 135 109 7831 191 = = 123 (109)(123) 327 30 −19 + 17 191 − 9(− ) −19(327) + 17(191) + 27(30) −2156 196 327 109 = = =− 11 (11)(327) (11)(327) 327 191 30 −1635 + 392 + 955 + 360 72 24 196 )+5 − 4(− )= = = −5 − 2 (− 327 327 109 327 327 109

−

De manera que la soluci´ on est´ a dada por z 1 = a 1 + b1 i =

24 196 − i 109 327

19

z 2 = a 2 + b2 i =

191 30 − i 327 109