Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

´ Algebra y Trigonometr´ıa Clase 4 – Inversas, exponenciales y logar´ıtmicas CNM-108 Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia c 2008. Reproducci´ Copyleft on permitida bajo los t´ erminos de la licencia de documentaci´ on libre GNU.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

1

Funciones inversas Funciones biun´ıvocas Funciones mon´ otonas Funciones inversas Gr´ afica de funciones inversas

2

Funciones exponenciales Definici´ on de funci´ on exponencial N´ umero e y gr´ afica de y = ex

3

Funciones Logar´ıtmicas Definici´ on de funci´ on logar´ıtmica Propiedades de las funciones logar´ıtmicas Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces:

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces: 4a − 3

=

4b − 3

definici´ on de f (x)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces: 4a − 3 4a

= =

4b − 3 4b

definici´ on de f (x) restando 3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces: 4a − 3 4a a

= = =

4b − 3 4b b

definici´ on de f (x) restando 3 dividiendo por 4

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces: 4a − 3 4a a

= = =

4b − 3 4b b

definici´ on de f (x) restando 3 dividiendo por 4

luego, podemos afirmar que f (x) es biun´ıvoca.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces: 4a − 3 4a a

= = =

4b − 3 4b b

definici´ on de f (x) restando 3 dividiendo por 4

luego, podemos afirmar que f (x) es biun´ıvoca.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Definici´ on 1.1 (Funci´ on biun´ıvoca) Una funci´ on f : P → Q es llamada “biun´ıvoca”si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 2

Si a 6= b para a, b ∈ P entonces f (a) 6= f (b) en Q. Si f (a) = f (b) en Q, entonces a = b en P

y

Ejemplo: Probar que f (x) = 4x − 3 es biun´ıvoca. Soluci´ on: Supongamos que f (a) = f (b) y veamos que a = b. En efecto, si f (a) = f (b) entonces: 4a − 3 4a a

= = =

4b − 3 4b b

definici´ on de f (x) restando 3 dividiendo por 4

luego, podemos afirmar que f (x) es biun´ıvoca.

f (x) = 4x −3 3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

3

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones biun´ıvocas Ejemplo: Probar que h(x) = x2 − 1 no es biun´ıvoca.

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Ejemplo: Probar que h(x) = x2 − 1 no es biun´ıvoca. y

Soluci´ on: En este caso, es suficiente buscar dos n´ umeros en el dominio de h(x) que cumplan que h(a) = h(b) pero a 6= b.

3 2 1 x −4

−3

−2

−1 −1 −2 −3

1

2

3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Ejemplo: Probar que h(x) = x2 − 1 no es biun´ıvoca. y

Soluci´ on: En este caso, es suficiente buscar dos n´ umeros en el dominio de h(x) que cumplan que h(a) = h(b) pero a 6= b.

3 f (−2)

f (2)

2

Basta tomar, por ejemplo, a x = −2 y a x = 2.

1 x −4

−3

−2

−1 −1 −2 −3

1

2

3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones biun´ıvocas Ejemplo: Probar que h(x) = x2 − 1 no es biun´ıvoca. y

Soluci´ on: En este caso, es suficiente buscar dos n´ umeros en el dominio de h(x) que cumplan que h(a) = h(b) pero a 6= b.

3 f (−2)

f (2)

2

Basta tomar, por ejemplo, a x = −2 y a x = 2.

1

Note que:

h(−2) = (−2)2 − 1 = 3, y h(2) = (2)2 − 1 = 3.

As´ı, h(x) no es biun´ıvoca.

x −4

−3

−2

−1 −1 −2 −3

1

2

3

h(x) = x2 − 1

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y

)

x

y

=

f (x

x

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Funci´ on decreciente

)

x

y

=

f (x

x

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Funci´ on creciente

Funci´ on decreciente

)

x

y

=

f (x

x

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Funci´ on creciente

Funci´ on decreciente

f (a)

f (b)

)

x

y

=

f (x

x

a

b

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones mon´ otonas) Una funci´ on estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biun´ıvoca. Note que una funci´ on f es biun´ıvoca s´ı y s´ olo s´ı toda recta horizontal corta la gr´ afica de f a lo m´ as, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Funci´ on creciente

Funci´ on decreciente

f (a)

f (b)

)

x

y

=

f (x

x

a

b

Funci´ on que no es mon´ otona

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones Inversas Definici´ on 1.2 (Funci´ on inversa) Sea f : P → Q una funci´ on biun´ıvoca. Una funci´ on g : Q → P es llamada “ la funci´ on inversa” de f si se cumple que: y = f (x)

s´ı y s´ olo s´ı

para todo x en P , y para todo y en Q.

x = g(y)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones Inversas Definici´ on 1.2 (Funci´ on inversa) Sea f : P → Q una funci´ on biun´ıvoca. Una funci´ on g : Q → P es llamada “ la funci´ on inversa” de f si se cumple que: y = f (x)

s´ı y s´ olo s´ı

x = g(y)

para todo x en P , y para todo y en Q. Notaci´ on: Cuando una funci´ on f : P → Q es “invertible”, entonces la funci´ on inversa g suele denotarse como g = f −1 . As´ı, la inversa de la funci´ on

P

f −1 : Q −→ P y 7−→ x = f −1 (y)

y=f (x)

x

f : P −→ Q x 7−→ y = f (x) ser´ıa entonces la funci´ on

Q

f

f −1 Note que: dom f = ran f −1 , dom f −1 = ran f

y

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones invertibles Teorema 1.2 Sea f : P → Q una funci´ on biun´ıvoca, entonces una funci´ on g : Q → P es la funci´ on inversa de f si y s´ olo si, se cumple que: 1

2

g(f (x)) = x para todo x ∈ P x ∈ P =dom f )

f (g(y)) = y para todo y ∈ Q y ∈ Q =dom f −1 )

(o sea, f −1 (f (x)) = x para toda (o sea, f (f −1 (y)) = y para toda

Los pasos a seguir para encontrar la inversa de una funci´ on y = f (x) son: i) Comprobar si f sea biun´ıvoca ii) Despejar x en t´erminos de y en la ecuaci´ on y = f (x) y as´ı obtener una ecuaci´ on del tipo x = g(y) = f −1 (y) iii) Finalmente, comprobar que se cumplen las dos condiciones del teorema anterior, es decir: f −1 (f (x)) = x para toda x ∈ dom f f (f −1 (x)) = x para toda x ∈ dom f −1

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 5x − 2 Soluci´ on: Paso 1: f es biun´ıvoca.

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 5x − 2 Soluci´ on: Paso 1: f es biun´ıvoca. En efecto, si f (a) = f (b), entonces 5a − 2 = 5b − 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 5x − 2 Soluci´ on: Paso 1: f es biun´ıvoca. En efecto, si f (a) = f (b), entonces 5a − 2 = 5b − 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x − 2, entonces y + 2 = 5x, luego y+2 y+2 . As´ı, f −1 (y) = , finalmente, como el s´ımbolo de la variable x= 5 5 x+2 no tiene importancia entonces escribimos f −1 (x) = (cambiando a y 5 −1 por x), donde x est´ a en el dominio de f .

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 5x − 2 Soluci´ on: Paso 1: f es biun´ıvoca. En efecto, si f (a) = f (b), entonces 5a − 2 = 5b − 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x − 2, entonces y + 2 = 5x, luego y+2 y+2 . As´ı, f −1 (y) = , finalmente, como el s´ımbolo de la variable x= 5 5 x+2 no tiene importancia entonces escribimos f −1 (x) = (cambiando a y 5 −1 por x), donde x est´ a en el dominio de f . Paso 3: Comprobemos que f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ dom f −1 . En efecto, f −1 (f (x))

= = = =

f −1 (5x − 2) [5x − 2] + 2 5 5x 5 x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 5x − 2 Soluci´ on: Paso 1: f es biun´ıvoca. En efecto, si f (a) = f (b), entonces 5a − 2 = 5b − 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x − 2, entonces y + 2 = 5x, luego y+2 y+2 . As´ı, f −1 (y) = , finalmente, como el s´ımbolo de la variable x= 5 5 x+2 no tiene importancia entonces escribimos f −1 (x) = (cambiando a y 5 −1 por x), donde x est´ a en el dominio de f . Paso 3: Comprobemos que f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ dom f −1 . En efecto, f −1 (f (x))

= = = =

f −1 (5x − 2) [5x − 2] + 2 5 5x 5 x

De forma similar se prueba que f (f −1 (x)) = x para todo x ∈ dom f .

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 5x − 2 Soluci´ on: Paso 1: f es biun´ıvoca. En efecto, si f (a) = f (b), entonces 5a − 2 = 5b − 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x − 2, entonces y + 2 = 5x, luego y+2 y+2 . As´ı, f −1 (y) = , finalmente, como el s´ımbolo de la variable x= 5 5 x+2 no tiene importancia entonces escribimos f −1 (x) = (cambiando a y 5 −1 por x), donde x est´ a en el dominio de f . Paso 3: Comprobemos que f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ dom f −1 . En efecto, f −1 (f (x))

= = = =

f −1 (5x − 2) [5x − 2] + 2 5 5x 5 x

De forma similar se prueba que f (f −1 (x)) = x para todo x ∈ dom f .

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de una funci´on y su inversa Existe una relaci´ on muy interesante entre las gr´ aficas de f y f −1 , y es que dichas gr´ aficas son sim´etricas respecto a la recta y = x. y

= y ta

(a, b)

re c

b Observaci´ on: En algunas acasiones, nos encontraremos con funciones que no son invertibles; sin embargo, si se les restringe el dominio entonces se les podr´ a encontrar la inversa.

x

f

La siguiente figura muestra la simetr´ıa entre las funciones f y f −1 a partir de la recta y = x.

· a

f −1 (b, a)

a

b

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y

= 3x2 + 2

con

x≥0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y y−2

= 3x2 + 2

con

= 3x2

restando 2

x≥0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y y−2 y−2 3

= 3x2 + 2

con

= 3x2

restando 2

= x2

dividiendo por 3

x≥0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3

= 3x2 + 2

con

= 3x2

restando 2

= x2

dividiendo por 3

=x

siempre que

x≥0

y≥2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3 x

= 3x2 + 2

con

= 3x2

restando 2

= x2

dividiendo por 3

=x r

siempre que

=

y−2 3

x≥0

pues x ≥ 0

y≥2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3 x

luego, f

−1

= 3x2 + 2

con

= 3x2

restando 2

= x2

dividiendo por 3

=x r

siempre que

=

(x) =

y−2 3

r

x−2 3

x≥0

pues x ≥ 0

para x ≥ 2.

y≥2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3 x

luego, f

−1

= 3x2 + 2

con

= 3x2

restando 2

= x2

dividiendo por 3

=x r

siempre que

=

(x) =

y−2 3

r

x−2 3

x≥0

pues x ≥ 0

para x ≥ 2.

y≥2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . y

Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3 x

= 3x2 + 2

con

x≥0

6

= 3x2

restando 2

5

=x

dividiendo por 3

4

=x r

siempre que

2

=

y−2 3

pues x ≥ 0

y≥2

3 2 1 x

luego, f

−1

(x) =

r

x−2 3

−2 −1 −1 para x ≥ 2.

−2

1

2

3

4

5

6

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . y

Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3 x

= 3x2 + 2

con

6

= 3x2

x≥0

restando 2

5

=x

dividiendo por 3

4

=x r

siempre que

2

=

y−2 3

pues x ≥ 0

y≥2

f

3 2 1 x

luego, f

−1

(x) =

r

x−2 3

−2 −1 −1 para x ≥ 2.

−2

1

2

3

4

5

6

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on f (x) = 3x2 + 2, para x ≥ 0. −1 Grafica f y f . y

Soluci´ on: y y−2 y−2 3 r y−2 ± 3 x

= 3x2 + 2

con

6

= 3x2

x≥0

restando 2

5

=x

dividiendo por 3

4

=x r

siempre que

2

=

y−2 3

pues x ≥ 0

y≥2

f

3 2

f −1

1 x

luego, f

−1

(x) =

r

x−2 3

−2 −1 −1 para x ≥ 2.

−2

1

2

3

4

5

6

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 . Soluci´ on:

y=

√

3−x

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

√

3 − x, para x ≤ 3.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 . Soluci´ on:

y= 2

√

3−x

y =3−x

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado

√

3 − x, para x ≤ 3.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 . Soluci´ on:

y= 2

√

3−x

y =3−x x = 3 − y2

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado despejando x

√

3 − x, para x ≤ 3.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 . Soluci´ on:

y= 2

√

3−x

y =3−x x = 3 − y2

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado despejando x

luego, h−1 (x) = 3 − x2 para x ≥ 0.

√

3 − x, para x ≤ 3.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 . Soluci´ on:

y= 2

√

3−x

y =3−x x = 3 − y2

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado despejando x

luego, h−1 (x) = 3 − x2 para x ≥ 0.

√

3 − x, para x ≤ 3.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 .

√

3 − x, para x ≤ 3. y

Soluci´ on:

y=

√

3 3−x

y2 = 3 − x x = 3 − y2

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado despejando x

2 1 x

luego, h−1 (x) = 3 − x2 para x ≥ 0.

−3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 .

√

3 − x, para x ≤ 3. y

Soluci´ on:

y=

√

3−x

y2 = 3 − x x = 3 − y2

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado despejando x

h

3 2 1 x

luego, h−1 (x) = 3 − x2 para x ≥ 0.

−3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Gr´ afica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la funci´ on h(x) = Grafica h y h−1 .

√

3 − x, para x ≤ 3. y

Soluci´ on:

y=

√

3−x

y2 = 3 − x x = 3 − y2

con

x ≤ 3 (y ≥ 0)

elevando al cuadrado despejando x

h

3 2 1 x

luego, h−1 (x) = 3 − x2 para x ≥ 0.

−3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

3

h−1

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones exponenciales Definici´ on 2.1 (Funci´ on exponencial) Una funci´ on exponencial es quella que tiene la forma f (x) = ax donde a es un n´ umero real positivo (a > 0), y a 6= 1. El dominio de f es el conjunto de todos los reales. Sea f (x) = ax una funci´ on exponencial, entonces: El dominio de f es el conjunto de todos los reales. El rango de f es el conjunto de reales positivos. El eje x (y = 0) es una as´ıntota horizontal. Si a > 1 entonces la funci´ on es mon´ otona creciente. Si 0 < a < 1, la funci´ on es mon´ otona decreciente.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones exponenciales Definici´ on 2.1 (Funci´ on exponencial) Una funci´ on exponencial es quella que tiene la forma f (x) = ax donde a es un n´ umero real positivo (a > 0), y a 6= 1. El dominio de f es el conjunto de todos los reales. Sea f (x) = ax una funci´ on exponencial, entonces: El dominio de f es el conjunto de todos los reales. El rango de f es el conjunto de reales positivos. El eje x (y = 0) es una as´ıntota horizontal. Si a > 1 entonces la funci´ on es mon´ otona creciente. Si 0 < a < 1, la funci´ on es mon´ otona decreciente.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la funci´ on exponencial f (x) = 2x . Soluci´ on: x

f (x)

=

-10

2−10

=

-3

2−3

=

-2

2−2

=

-1

2−1

=

0 1 2 3 10

20 21 22 23 210

= = = = =

2x 1 ≈ 0,0009 1024 1 = 0,125 8 1 = 0,25 4 1 = 0,5 2 1 2 4 8 1024

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la funci´ on exponencial f (x) = 2x . Soluci´ on: x

f (x)

=

-10

2−10

=

-3

2−3

=

-2

2−2

=

-1

2−1

=

0 1 2 3 10

20 21 22 23 210

= = = = =

2x 1 ≈ 0,0009 1024 1 = 0,125 8 1 = 0,25 4 1 = 0,5 2 1 2 4 8 1024

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la funci´ on exponencial f (x) = 2x . y

Soluci´ on: x

f (x)

=

-10

−10

=

2

-3

2−3

=

-2

2−2

=

-1

−1

2

=

0 1 2 3 10

20 21 22 23 210

= = = = =

x

2

(3,8)

7

1 ≈ 0,0009 1024 1 = 0,125 8 1 = 0,25 4 1 = 0,5 2 1 2 4 8 1024

b

6 5 4 b

(2,4)

3 2 (-1,1/2) (-3,1/8) (-2,1/4) b

b

1 b

b

(1,2)

(0,1)

b

−3

−2

x −1 −1 −2

1

2

3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales  x 1 Ejemplo: Grafique la funci´ on exponencial h(x) = . 2 Soluci´ on: x

h(x)

=

 x 1 2

-10


1 −10 2
1 −3 2
1 −2 2
1 −1 2
1 0 2
1 1 2
1 2 2
1 3 2
1 10 2

=

1024

=

8

=

4

=

2

= = = = =

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 10

1 2 1 4 1 8

1 1024

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales  x 1 Ejemplo: Grafique la funci´ on exponencial h(x) = . 2 Soluci´ on: x

h(x)

=

 x 1 2

-10


1 −10 2
1 −3 2
1 −2 2
1 −1 2
1 0 2
1 1 2
1 2 2
1 3 2
1 10 2

=

1024

=

8

=

4

=

2

= = = = =

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 10

1 2 1 4 1 8

1 1024

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones exponenciales  x 1 Ejemplo: Grafique la funci´ on exponencial h(x) = . 2 y Soluci´ on: (-3,8)  x 1 7 x h(x) = 2
6 1 −10 -10 = 1024 2
5 1 −3 -3 = 8 2
1 −2 4 (-2,4) -2 = 4 2
1 −1 3 -1 = 2 2
1 0 2 (-1,2) 0 = 1 2
1 1 1 1 = 2
2 1 (0,1)(1,1/2) 1 2 1 (2,1/4) (3,1/8) = 2 2
4 x 1 3 1 3 = 2
8 −3 −2 −1 1 2 3 10 1 1 −1 10 = 1024 2 b

b

b

b

b

−2

b

b

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  1 n

n 1

1

1+

2

1 n

1+

2

1 n

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  1 n

n 1 2

1 0.5

1+

2 1.5

1 n

1+

2 2.25

1 n

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  1 n

n 1 2 5

1 0.5 0.2

1+

2 1.5 1.2

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  1 n

n

1 2 5 10

1 0.5 0.2 0.1

1+

2 1.5 1.2 1.1

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 2 5 10 100

1 n

1 0.5 0.2 0.1 0.01

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 n

1 2 5 10 100 1000

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 2 5 10 100 1000 10000

1 n

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 2 5 10 100 1000 10000 100000

1 n

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 2.718268237

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 2 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 1000000000

1 n

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10−9

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 + 10−9

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 2.718268237 2.718280369 2.718281828

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 2 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 1000000000

1 n

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10−9

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 + 10−9

As´ı, se tiene que e ≈ 2,71828

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 2.718268237 2.718280369 2.718281828

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

N´ umero e Definici´ on 2.2 (N´ umero e) El n´ umero e se define como el valor al que se acerca la expresi´ on  n 1 1+ n cuando n tiende a infinito (n → ∞). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del n´ umero e. n  n

1 2 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 1000000000

1 n

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10−9

1+

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 + 10−9

As´ı, se tiene que e ≈ 2,71828

1 n

1+

1 n

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 2.718268237 2.718280369 2.718281828

y f (x) = ex

7 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2

1

2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el n´ umero (si existe)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

log2 8 =?

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3

pues

23 = 8

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

2

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3 log6 1 =?

pues

23 = 8

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

2

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3

pues

23 = 8

log6 1 =? Sln: log6 1 = 0

pues

60 = 1

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

2

3

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3

pues

23 = 8

log6 1 =? Sln: log6 1 = 0

pues

60 = 1

log9 3 =?

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

2

3

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3

pues

23 = 8

log6 1 =? Sln: log6 1 = 0

pues

60 = 1

log9 3 =? Sln: log9 3 = 91/2 = 3

1 2

pues

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

s´ı y solo s´ı

x = ay

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

2

3

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3

pues

23 = 8

log6 1 =? Sln: log6 1 = 0

pues

60 = 1

log9 3 =? Sln: log9 3 = 91/2 = 3

1 2

pues

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Definici´on de funci´on logar´ıtmica Definici´ on 3.1 (Funci´ on logar´ıtmica) La funci´ on logar´ıtimica de base a, con a > 0, y a 6= 1; denotada por y = loga x se define como y = loga x

x = ay

s´ı y solo s´ı

Note que el dominio de la funci´ on logar´ıtmica y = loga x es x > 0. y umero Ejemplo: Encuentre el n´ (si existe) 1

2

3

log2 8 =? Sln: log2 8 = 3

pues

23 = 8

log6 1 =? Sln: log6 1 = 0

pues

60 = 1

log9 3 =? Sln: log9 3 = 91/2 = 3

1 2

y = ax

y = loga x

pues

x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = loga x1 − loga x2 loga x2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = loga x1 − loga x2 loga x2 b loga x = b loga x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = loga x1 − loga x2 loga x2 b loga x = b loga x logc x loga x = , con c > 0, logc a c 6= 1

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = loga x1 − loga x2 loga x2 b loga x = b loga x logc x loga x = , con c > 0, logc a c 6= 1

Importante: Dos casos particulares de uso frecuente para la funci´ on logar´ıtmica, es cuando la base en 10, y cuando la base es e. y = log10 x y = loge x

equivale a equivale a

y = log x y = ln x

se lee: logaritmo en base 10 de x se lee: logaritmo natural de x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Propiedades de la funci´on logar´ıtmica Note que la funci´ on y = loga x es la inversa de la funci´ on y = ax . Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la funci´ on logar´ıtmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces: loga 1 = 0

(pues a0 = 1)

loga a = 1

(pues a1 = a)

loga ax = x (pues f (f −1 (x) = x))

aloga x = x (pues f −1 (f (x)) = x)

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 x1 = loga x1 − loga x2 loga x2 b loga x = b loga x logc x loga x = , con c > 0, logc a c 6= 1

Importante: Dos casos particulares de uso frecuente para la funci´ on logar´ıtmica, es cuando la base en 10, y cuando la base es e. y = log10 x y = loge x

equivale a equivale a

y = log x y = ln x

se lee: logaritmo en base 10 de x se lee: logaritmo natural de x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Funciones Logar´ ıtmicas

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

Soluci´ on: 3x+1

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

=

81

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 3x+1

=

81

3x+1

=

34

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 3x+1

=

81

3x+1

=

34

x+1

=

4

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 3x+1

=

81

3x+1

=

34

x+1

=

4

x

=

3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

Soluci´ on: 2x

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

=

6

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 2x

=

6

ln 2x

=

ln 6

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 2x

=

6

ln 2x

=

ln 6

x ln 2

=

ln 6

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 2x

=

6

ln 2x

=

ln 6

x ln 2

=

x

=

ln 6 ln 6 ≈ 2,5850 ln 2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

Soluci´ on: 3x+4 1−3x

=2

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

=

21−3x

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

Soluci´ on:

1−3x

=2

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

3x+4

=

21−3x

x+4

=

ln(21−3x )

ln(3

)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

Soluci´ on:

1−3x

=2

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

3x+4

=

21−3x

x+4

)

=

ln(21−3x )

(x + 4) ln 3

=

(1 − 3x) ln 2

ln(3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

Soluci´ on:

1−3x

=2

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

3x+4

=

21−3x

x+4

=

ln(21−3x )

ln(3

)

(x + 4) ln 3

=

x ln 3 + 3x ln 2

=

(1 − 3x) ln 2

ln 2 − 4 ln 3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

Soluci´ on:

1−3x

=2

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

3x+4

=

21−3x

x+4

=

ln(21−3x )

ln(3

)

(x + 4) ln 3

=

x ln 3 + 3x ln 2

=

x[ln 3 + 3 ln 2]

=

(1 − 3x) ln 2

ln 2 − 4 ln 3

ln 2 − 4 ln 3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

Soluci´ on:

1−3x

=2

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

3x+4

=

21−3x

x+4

)

=

ln(21−3x ) (1 − 3x) ln 2

ln(3

(x + 4) ln 3

=

x ln 3 + 3x ln 2

=

x[ln 3 + 3 ln 2]

=

x

=

ln 2 − 4 ln 3

ln 2 − 4 ln 3 ln 2 − 4 ln 3 ≈ −1,1646 3 ln 2 + ln 3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6 x+4

=2

1−3x

3

3

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

=

0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6 x+4

=2

1−3x

3

3

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

2 x

(2 ) − 2x − 12

=

0

=

0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

x+4

3

=2

1−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

2 x

(2 ) − 2x − 12 x 2

x

(2 ) − (2 ) − 12

=

0

=

0

=

0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

1−3x

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

2 x

(2 ) − 2x − 12 x 2

x

(2 ) − (2 ) − 12 (2x − 4)(2x + 3)

=

0

=

0

=

0

=

0

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

1−3x

2 x

(2 ) − 2x − 12 x 2

(2 ) − (2 ) − 12

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

x

(2x − 4)(2x + 3)

luego,

2x − 4 = 0

o

=

0

=

0

=

0

=

0

2x + 3 = 0,

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

1−3x

2 x

(2 ) − 2x − 12 x 2

(2 ) − (2 ) − 12

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

x

(2x − 4)(2x + 3)

luego, es decir:

=

0

=

0

=

0

=

0

2x − 4 = 0

o

2x + 3 = 0,

2x = 4

o

2x = −3

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

4

x+4

3

=2

Soluci´ on: 4x − 2x − 12

1−3x

2 x

(2 ) − 2x − 12 x 2

(2 ) − (2 ) − 12

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

x

(2x − 4)(2x + 3)

luego, es decir:

=

0

=

0

=

0

=

0

2x − 4 = 0

o

2x + 3 = 0,

2x = 4

o

2x = −3

pero como 2x > 0, entonces la u ´nica soluci´ on posible es 2x = 4, o sea: x = 2.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

10log[x(x+15)]

=

102

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

10log[x(x+15)]

=

102

x(x + 15)

=

100

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

10log[x(x+15)]

=

102

x(x + 15)

=

100

x + 15x − 100

=

0

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

2

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

10log[x(x+15)]

=

102

x(x + 15)

=

100

x + 15x − 100

=

0

=

0

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

2

(x + 20)(x − 5)

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

10log[x(x+15)]

=

102

x(x + 15)

=

100

x + 15x − 100

=

0

=

0

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

2

(x + 20)(x − 5) As´ı, las soluciones son x = −20

o

x=5

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

Soluci´ on: log x + log(x + 15)

=

2

log[x(x + 15)]

=

2

10log[x(x+15)]

=

102

x(x + 15)

=

100

x + 15x − 100

=

0

=

0

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

2

(x + 20)(x − 5) As´ı, las soluciones son x = −20

o

x=5

pero como en la ecuaci´ on inicial se tiene la expresi´ on log x, entonces x > 0; luego, la u ´nica soluci´ on posible es x = 5.

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x

4

4x − 2x − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log3 x + log4 x

=

4

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x x

x

4

4 − 2 − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log3 x + log4 x ln x ln x + ln 3 ln 4

=

4

=

4

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x x

x

4

4 − 2 − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log3 x + log4 x ln x ln x + ln 3 ln 4  1 1 ln x + ln 3 ln 4

=

4

=

4

=

4

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x x

x

4

4 − 2 − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log3 x + log4 x ln x ln x + ln 3 ln 4  1 1 ln x + ln 3 ln 4

=

4

=

4

=

4

ln x

=

4 h

1

ln 3

+

1

ln 4

i ≈ 2,4516

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x x

x

4

4 − 2 − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log3 x + log4 x ln x ln x + ln 3 ln 4  1 1 ln x + ln 3 ln 4

=

4

=

4

=

4

ln x

=

x

=

4 h

1

+

1

ln 3 ln 4 e2,4516

i ≈ 2,4516

Funciones inversas

Funciones exponenciales

Funciones Logar´ ıtmicas

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1

3x+1 = 81

2

2x = 6

3

3x+4 = 21−3x x

x

4

4 − 2 − 12 = 0

5

log x + log(x + 15) = 2

6

log3 x + log4 x = 4

Soluci´ on: log3 x + log4 x ln x ln x + ln 3 ln 4  1 1 ln x + ln 3 ln 4

=

4

=

4

=

4

ln x

=

x

=

x

≈

4 h

1

+

1

ln 3 ln 4 e2,4516 11,6069

i ≈ 2,4516