1.

CONJUNTOS Y PRODUCTO CARTESIANO. OBJETIVOS: 1) Establecer los conceptos básicos y las distintas notaciones para conjuntos. 2) Descripción de conjuntos en distintas formas: Lista, expresión verbal, expresión algebraica y gráfica. 3) Identificar conjuntos especiales de problemas prácticos: Conjunto universal, conjunto vacío, conjuntos iguales, equivalentes y ajenos. 4) Efectuar operaciones con conjuntos, interpretando los resultados en forma algebraica y gráfica: unión, intersección, diferencia y complemento. 5) Efectuar productos cartesianos entre conjuntos, interpretando sus resultados en forma gráfica y algebraica.

1.1. CONCEPTOS Y NOTACIONES DE CONJUNTOS. Conjunto: Es una colección o agrupación de 0 o más objetos, cosas, personas, actividades, o de integrantes que no necesariamente pertenezcan a una misma clase. Se representan con letras mayúsculas A, B, C, etc. Algunos ejemplos de conjuntos pueden ser los siguientes: 1. 2. 3.

El conjunto de todos los anticuerpos que intervienen en los procesos contra las bacterias y el virus. El conjunto de todos los animales que son invertebrados., El conjunto de todas las calificaciones que obtuvieron los integrantes de un grupo durante la primera evaluación parcial.

A los integrantes de un conjunto se les llama elementos. Pueden ser objetos, cosas, personas, lugares, actividades, etc. Cuando son simbolizados con variables, se acostumbra emplear letras minúsculas a, b, c, etc. para denotarlos. Para determinar si un objeto pertenece o no a un conjunto, se emplean los siguientes símbolos: ∈ ∉

significa “pertenece a ...” o “es elemento de ...” significa “no pertenece a ...” o “no es elemento de ...”

Ejemplo 1 Si el conjunto A formado por la delantera de la selección mexicana de fútbol es A = { Campos, García, Santos}, entonces podemos decir que: Campos ∈ A, pero Hernández ∉ A.

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1.2. CLASES DE CONJUNTOS. Algunos conjuntos especiales que intervienen con frecuencia en la solución de problemas prácticos se muestran en la siguiente tabla: Tipo de Conjunto Conjunto Vacío

Notación

Significado y Ejemplos

∅

Conjunto que carece de elementos. Ejemplo 2: El conjunto A de personas nacidas en el D.F. y que no tienen nacionalidad. El enunciado es falso: ∴ A = ∅. Ejemplo 3: El conjunto B de números reales cuyos cuadrados sean negativos. El enunciado es falso: ∴ B = ∅. El conjunto formado por todos los elementos posibles que intervienen en un determinado problema. Ejemplo 4: Si un problema se refiere a las estrellas contenidas en una galaxia, entonces el universo es: U = {Todas las estrellas de todas las galaxias existentes}. Ejemplo 5: Si un problema se refiere a las calificaciones obtenidas por los estudiantes durante la primera evaluación parcial, entonces el universo es: Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. El conjunto en la cual todos sus elementos pertenecen a otro conjunto. Ejemplo 6: El conjunto A de estudiantes del grupo es subconjunto del conjunto B formado por todos los estudiantes de la escuela. Esto se escribe como: A ⊂ B, significa A es subconjunto de B, o A está contenido en B. Este hecho se puede representar con un diagrama de Venn - Euler de la siguiente manera:

Conjunto Universal

U, Ω

Subconjunto

⊂

B Estudiantes de

A

Estudiantes del grupo

la

escuela

A⊂B NOTA: Cuando no se cumpla la contención se emplea el símbolo ⊄ que significa no está contenido en ... o no es subconjunto de ... Esto sucede cuando exista por lo menos un elemento de uno de los conjuntos que no pertenezca al otro.

3 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Tipo de Notación Significado y Ejemplos Conjunto Subconjunto Ejemplo 7: Si Consideramos los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = ⊂ {3, 4, 5, 6}, entonces A ⊄ B ya que 1 y 2 ∉ B:

Conjuntos Iguales

=

Conjuntos Equivalentes

⇔

También podemos apreciar que B ⊄ A, ya que 6 ∉ A. Son aquellos conjuntos que tienen los mismos elementos. La única diferencia es que están expresados en formas distintas. En este caso, todos los elementos de uno pertenecen al otro, y viceversa. Ejemplo 8: Si A = {números enteros pares comprendidos del 0 al 6} y B = {0, 2, 4, 6}, entonces: ∴ A = B, ya que todos los elementos de A pertenecen a B, y viceversa (los números 0, 2, 4 y 6 son todos los números pares comprendidos del 0 al 6). Aquellos conjuntos cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia biunívoca o uno a uno, es decir, cuando tengan la misma cantidad de elementos, aunque los conjuntos sean diferentes. Ejemplo 7: Si A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 4, 6, 8}, entonces A y B se pueden poner en correspondencia biunívoca como sigue: A B 1

2

3

4

5 7

6 8

A cada elemento de A le corresponde exactamente uno de B, esto es, A y B tienen la misma cantidad de elementos: ∴A⇔B (A es equivalente a B).

4 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

1.3. OPERACIONES CON CONJUNTOS. Las operaciones básicas con conjuntos que estudiaremos en esta sección son importantes porque se aplican con mucha frecuencia en la solución de algunos problemas prácticos, y serán empleadas posteriormente en algunos conceptos importantes como el de función. Dentro de las aplicaciones que se les pueden dar están las siguientes: Lógica Simbólica

Informática

Electrónica

Construcción de proposiciones lógicas y tablas de verdad El Álgebra de Bool asociada al Álgebra de la Conmutación El Álgebra de Bool asociada a la distribución de las redes eléctricas, etc.

La siguiente tabla nos muestra las operaciones básicas para conjuntos, en especial relativas a la unión, intersección, complemento y diferencia. Tipo de Operación Unión de Conjuntos

Notación

Significado y Ejemplos

A∪B

Representa el conjunto formado por todos los elementos de los dos conjuntos que intervienen en la unión. La unión de A y B se denota como A ∪ B, y se define como el conjunto constituido por los elementos que pertenecen a A, B o ambos. Simbólicamente: A ∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}. Se interpreta gráficamente con un diagrama de Venn - Euler de la siguiente manera:

La región sombreada corresponde a los elementos que forman parte de la unión.

5 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Tipo de Operación Unión de Conjuntos

Notación

Significado y Ejemplos

A∪B

Ejemplo 8: Supongamos que Ω = {0, 1, 2, ..., 9}, A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 4, 7, 9}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, y su representación gráfica es:

A∪B

Intersección de Conjuntos

A∩B

Se interpreta como el conjunto formado con los elementos que son comunes a los dos conjuntos, esto es, con los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. De modo que si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces la intersección de A y B, denotada por A ∩ B, se define algebraicamente de la siguiente manera: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}. Se interpreta gráficamente con un diagrama de Venn - Euler de la siguiente manera:

6 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Tipo de Notación Significado y Ejemplos Operación Intersección A ∩ B Ejemplo 9: Si tomamos como referencia los conjuntos del ejemplo de Conjuntos 8, entonces A ∩ B = {3, 4}, y el diagrama sería el siguiente:

A ∩B

Diferencia entre Conjuntos

A−B

Es el conjunto formado por los elementos de uno de los conjuntos que no pertenecen al otro conjunto. Así, la diferencia entre A y B, denotada por A − B, es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B: A − B = {x / x ∈ A y x ∉ B}. En el diagrama se elige la región que representa a los elementos que se encuentran dentro de A, pero fuera de B:

7 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Tipo de Operación Diferencia entre Conjuntos

Notación

Significado y Ejemplos

B−A

Si la diferencia es invertida, B – A, entonces se obtiene otro conjunto diferente, ya que se trata de los elementos de B que no pertenecen a A: B – A = {x / x ∈ B y x ∉ A}. El diagrama está representado por la región que corresponde a los elementos que se encuentan dentro de B, pero fuera de A:

Ejemplo 10: Si consideramos nuevamente los conjuntos del ejemplo 8, entonces A − B = {1, 2, 5} representa los elementos de A que no pertenecen a B, mientras que B − A = {7, 9} son los elementos de B que no pertenecen a A, y los diagramas serían los siguientes:

8 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Tipo de Operación

Complemento de un Conjunto

Notación

Significado y Ejemplos

Ac = A’

El complemento de un conjunto A, denotado como Ac o también A’, representa la negación o lo contrario del conjunto A, es decir, está constituido por los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A: Ac = {x / x ∈ Ω y x ∉ A}. El diagrama queda formado por la región sombreada que corresponde a los elementos dentro del universo que están fuera de A: Ω

A

C

A

Ejemplo 11: Si Ω = {estudiantes del grupo} y A = {estudiantes del grupo que acreditaron matemáticas}, entonces Ac es la negación de A, es decir: ∴ Ac = {estudiantes del grupo que no acreditaron matemáticas}:

9 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Tipo de Notación Operación Complemento Ac = A’ de un Conjunto

Significado y Ejemplos Ω

Estudiantes del grupo

A Estudiantes del grupo

que no acreditaron matemáticas

Estudiantes del grupo que acreditaron matemáticas

C

A

Ejemplo 12: Si tomamos en cuenta nuevamente los conjuntos del ejemplo 8, entonces Ac = {0, 6, 7, 8, 9}, mientras que Bc = {0, 1, 2, 5, 6, 8}, y los diagramas son los siguientes: Ω A

B

8 7

1 3 0

6

2 4 9

5

c

A Ω A

B

8 7

1 3 0

6

2 4 9

5

B

c

10 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

Ejemplo 13: Si Ω = {e, f, g, h, i, j, k, l, m, n}, A = {e, g, i, j, m}, B = {e, h, j, m, n} y C = {e, g, j, k, l, n}, determina las listas y los diagramas de Venn de las operaciones indicadas, escribiendo, dentro de los recuadros, la información que se pide. Sombrea, sobre el diagrama, la región que corresponda a cada operación. Utiliza colores diferentes. Solución: Distribuimos los elementos del universo en todo el espacio: e

Pertenece a los tres conjuntos, No pertenece a ninguno de los tres, Pertenece a A y C, pero no a B, Pertenece sólo a B, Pertenece sólo a A, Pertenece a los tres conjuntos, Pertenece sólo a C, Pertenece sólo a C, Pertenece a A y B, pero no a C, Pertenece a B y C, pero no a A,

f g h i j k l m n

Entonces, los elementos quedarían dispersos de acuerdo a como se muestra en el siguiente diagrama: Ω A i

m

e

f

g

j h

k

n l

B

C

11 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

a)

(A ∪ C) ∩ B. LISTA DE A ∪ C:

b)

(A ∩ B) ∪ C. LISTA DE A ∩ B:

{e, g, i, j, k, l, m, n}

{e, j, m}

LISTA DE (A ∪ C) ∩ B:

LISTA DE(A ∩ B) ∪ C:

{e, j, m, n}

{e, g, j, k, l, m, n}

DIAGRAMA:

DIAGRAMA:

12 Álgebra Didáctica: Conjuntos y Producto Cartesiano

c)

C − A.

d) LISTA DE C − A: {k, l, n} DIAGRAMA:

(B ∪ C)c. LISTA DE B ∪ C: {e, g, h, j, k, l, m, n} LISTA DE (B ∪ C)c: {i, f} DIAGRAMA: