Ampliación de análisis 2acurso de ingeniería industrial Código: 2420 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

1

2

y(x) =

3

x

4

5

Ln2(x)+Ln(x) 1+x2 12 10 8 6 4 2

-4

-2

w(z) =

0

2

4

log 2 (z)+log(z) 1+z 2

6

2

José Luis Guijarro 27 de septiembre de 2006

Índice General 1 Programa 1.1 Primer parcial: variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Segundo parcial: ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 1.3 Tercer parcial: análisis numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Variable compleja 2.1 Números complejos . . . . . . . . 2.2 Funciones holomorfas . . . . . . . 2.3 Integración en el campo complejo 2.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 El teorema de los residuos . . . . 2.6 Problemas tipo examen . . . . . .

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3 Ecuaciones diferenciales 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

5 5 6 6 7 7 11 19 25 28 38 49

Problemas de valores iniciales: la transformada de Laplace El espacio de funciones contínuas . . . . . . . . . . . . . . Problemas de contorno: la teoría de Sturm-Liouville . . . . Resolución de una EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudio cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Análisis numérico

. . . . .

. . . . .

49 56 60 65 67 69

4.1 Resolución de una ecuación no lineal . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Metodos de interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5 Soluciones y comentarios

79

3

4

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1 Programa 1.1

Primer parcial: variable compleja

1. Números complejos Definición, representación, determinación del argumento y propiedades algebraicas. Operaciones elementales en sus diferentes formas de representación. 2. Funciones holomorfas Funciones de variable compleja: ez , log z, z n , trigonométricas, hiperbólicas y sus inversas. Límites, continuidad y derivación: condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones holomorfas y armónicas. Singularidades aisladas, puntos de ramificación y ramas. 3. Integración en el campo complejo Integral de funciones de variable compleja a lo largo de caminos. Cálculo de primitivas: teorema fundamental. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. 4. Series Series de números complejos y series de potencias. Integración y derivación de series de potencias. Series de Taylor. Funciones analíticas. Teorema de la equivalencia de funciones holomorfas y analíticas en variable compleja. Series de Laurent. 5. El teorema de los residuos Clasificación de singularidades aisladas. Polos: orden y residuo. El teorema de los residuos y su aplicación a la integración. 5

CAPÍTULO 1. PROGRAMA

6

1.2

Segundo parcial: ecuaciones diferenciales

1. Problemas de valores iniciales de EDO: la transformada de Laplace Introducción. La transformada de Laplace: definición y propiedades. La transformada inversa. Resolución del problema de valores iniciales. 2. El espacio de funciones continuas Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Convergencia en norma: complección de dicho espacio. Bases trigonométricas: series de Fourier. Algunos resultados sobre convergencia. 3. Problemas de contorno de EDO: la teoría de Sturm-Liouville Introducción. Operadores autoadjuntos: autovalores y autofunciones. Series de Fourier generalizadas. Resolución del problema de contorno 4. Resolución de una EDP lineal de segundo orden en dos variables Método de separación de variables. Cambios de coordenadas 5. Estudio cualitativo de una EDP lineal de segundo orden en dos variables Clasificación. Características. Problemas bien planteados.

1.3

Teoremas de existencia y unicidad.

Tercer parcial: análisis numérico

1. Resolución de una ecuación no lineal Método de bisección. Método de punto fijo. Método de Newton 2. Métodos de interpolación Método de Lagrange. Método de Hermite 3. Integración numérica Métodos de interpolación. Método de Simpson

Capítulo 2 Variable compleja 2.1

Números complejos

1. Calcular (a) (b) (c) (d)

1 · 1 2−3i 1+i −1+3i −1 2−i

+i

3i30 −i19

2i−1 5+5i 20 + 4+3i 3−4i

2. Comprobar que √ √ (a) 2 − i − i(1 − i 2) = −2i (b) (2, −3) (−2, 1) = (−1, 8)

1 ) = (2, 1) (c) (3, 1) (3, −1) ( 15 , 10

(d)

1+2i 3−4i

(e)

5 (1−i)(2−i)(3−i)

+

2−i 5i

= − 25 =

i 2

(f) (1 − i)4 = −4

(g) (−1 + i)7 = −8(1 + i) √ √ (h) (1 + 3i)−10 = 2−11 (−1 + i 3) 3. Resolver la ecuación z 2 + z + 1 = 0 para z = (x, y) escribiendo

(x, y) (x, y) + (x, y) + 1 = 0 7

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

8

y resolviendo entonces un par de ecuaciones simultáneas en x e y. (Sugerencia: nótese que ningún número real x satisface la ecuación dada, para probar que y 6= 0 ) 4. Probar que la ecuación |z − 1 + 3i| = 2 representa el círculo centrado en z0 = (1, −3) y de radio R = 2 5. Probar que si un punto está en el círculo unidad centrado en el origen: (a) |z 2 + z + 1| ≤ 3

(b) |z 3 − 2| ≥ 1

6. Resolver: |z + 2i − 1| = 2 7. Hallar el lugar geométrico de los puntos z que verifican las siguientes condiciones: (a) |z + 3| + |z − 3| = 12

(b) |z − i| > 3

(c) |z 2 − 1| < 1

(d) |z + z| < 1

8. Demostrar que una ecuación para la circunferencia que pasa por 3 puntos z1 , z2 , z3 está dada por Á Á z − z1 z3 − z1 z − z1 z3 − z1 = z − z2 z3 − z2 z − z2 z3 − z2 Utilizar dicha fórmula para calcular la circunferencia que pasa por los puntos 1 − i, 2i, 1 + i. 9. Probar que si z1 = −1 z2 = i entonces (a) arg(z1 , z2 ) = − π2

(b) arg(z1 )+arg(z2 ) =

3π 2

10. Demostrar que una ecuación de la recta que pasa por los puntos z1 y z2 está dada por arg

z − z1 =0 z2 − z1

Utilizar dicha fórmula para calcular la recta que pasa por −2, y 1 + i

2.1. NÚMEROS COMPLEJOS

9

11. Resolver la ecuación siguiente y dar una forma gráfica a la solución: zn = 1 12. Hallar un valor de arg(z) para: (a) z =

−2 √ 1+i 3

(b) z =

i −2−2i

√ (c) z = ( 3 − i)6 13. Siendo z =

√ −1+ 3i 2

probar que z 4 = z

14. Usar la fórmula de Moivre para deducir las siguientes identidades trigonométricas: (a) cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ

(b) sen 3θ = −sen3 θ + 3 cos2 θ sen θ 15. Encuentra las raíces y localízalas gráficamente (a) (−8i)1/3 (b) (−1 + i)1/3 √ (c) −16 − 30i 16. Probar que (a) Sea α un número real fijo cualquiera. Probar que las dos raices √ √ iβ cuadradas de α+i son ± A e 2 , donde A = α2 + 1 β =arg(α+ i) (b) Usando las identidades trigonométricas

cos2

α 1 + cos α = 2 2

sen2

α 1 − cos α = 2 2

probar que las raices cuadradas obtenidas en el apartado anterior se pueden escribir como √ 1 √ ± √ ( A + α + i A − α) 2

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

10

(c) Las tres raices cúbicas de un número complejo no nulo z0 son c0 , c0 ω 3 , c0 ω23 donde c0 es la raíz cúbica principal de z0 , y √ −1 + i 3 ω3 = e = 2 √ √ √ Probar que si z0 = −4 2 + 4i 2, entonces c0 = i 2(1 + i) y las otras dos raices son en forma rectangular i 2π 3

√ √ −( 3 + 1) + i( 3 − 1) √ c0 ω 3 = 2

c0 ω 23

√ √ ( 3 − 1) − i( 3 + 1) √ = 2

17. Hallar las cuatro raices de la ecuación z 4 + 4 = 0 y usarlas para descomponer z 4 + 4 en factores cuadráticos con coeficientes reales 18. Establecer la identidad

1 + z + z2 + z3 + . . . + zn =

1 − z n+1 1−z

z 6= 1

y usarla para deducir la identidad trigonométrica de Lagrange:

1 + cos θ + cos 2θ + cos 3θ + . . . + cos nθ =

1 sen[(2n + 1) 2θ ] + 2 2sen( 2θ )

0 < θ < 2π

19. Probar que la fórmula cuadrática usual resuelve la ecuación cuadrática

az 2 + bz + c = 0 a 6= 0 cuando los coeficientes a, b, c son números complejos. Demostrar que las raices de esta ecuación son

z=

−b ±

√ b2 − 4ac 2a

donde se han considerado las dos raices cuadradas cuando b2 − 4ac 6= 0

2.2. FUNCIONES HOLOMORFAS

11

20. Usando el resultado del problema anterior, hallar las raices de la ecuación: (a) z 2 + 2z + 1 − i = 0

(b) z 2 + (2i − 3)z + 5 − i = 0 (c) z 2 (1 − z 2 ) = 16

21. Resolver los siguientes sistemas lineales: ½ iz − (1 + i)w = 3 (a) (2 + i)z + iw = 4 ½ z − (1 + i)w = 2 (b) (2 + i)z + iw = 4 + 2i

2.2

Funciones holomorfas

1. Sea f (z) =

z+2 2z−1

(a) hallar f (0), f (i), f (1 + i) (b) hallar los valores de z tales que f (z) = i, f (z) = 2 − 3i (c) hallar los valores de z tales que f (z) = z

2. Encuentra las funciones componentes u(x, y), v(x, y) de: (a) f (z) = z 2 (b) f (z) = z + (c) f (z) = |z|2

1 z

con z 6= 0

(d) f (z) = z 2 + 2iz 3. Representar la transformación del dominio del plano complejo {0 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0} mediante la transformación f (z) = z 2 4. Demostrar que mediante la función f (z) = z1 + z la imagen del dominio formado por los puntos del semiplano superior (y > 0) que son exteriores al círculo |z| < 1, es el semiplano superior v > 0 √ θ 5. Obtener el recorrido de la transformación w = rei 2 al actuar sobre los puntos del plano contenidos en el primer cuadrante con 0 ≤ r ≤ 2 6. Calcular el recorrido de la función f (z) = siguientes dominios:

1 z

cuando se define en los

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

12 (a) |z| < 2 ¯ ¯ (b) ¯z − b ¯ ≤ 2

b 2

siendo b real y positivo

7. Hallar la curva del plano complejo, transformada de la circunferencia x2 + y 2 = 4 por medio de la función f (z) = z 2 + 1 8. Hallar las curvas transformadas de las curvas coordenadas mediante la función f (z) = 1/z 9. Calcular el recorrido de las siguientes funciones según sean sus dominios de definición: (a) w = z 2 definida en el sector circular |z| < 1 y 0 < θ <

3π 2

(b) w = z + (i + 3)2 definida en el rombo centrado en el origen y cuya diagonal vale 2 π

(c) w = ei 6 z +1 definida para |x| < a |y| < b con a, b reales positivos 10. Calcular (a) log(1 + i) (b) log(8 − 8i) (c) ilog

(d)

i

log 3i log i

11. Probar que: (a) e2±3πi = −e2 p 2+πi (b) e 4 = 2e (1 + i) (c) ez+πi = −ez

12. Hallar todos los valores de z tales que: (a) ez = −1

(b) ez = −2

(c) ez = 1 +

√ 3i

(d) e2z−1 = 1 13. Hallar todas las raices de la ecuación cosh z = 12 , igualando sus partes reales e imaginarias. Hacer lo mismo para sen z = cosh 4

2.2. FUNCIONES HOLOMORFAS

13

14. Calcular para las determinaciones 0 ≤ θ < 2π y −π ≤ θ < π (a) log -1 (b) log 1 (c) log i (d) log -i (e) log (1+i) (f) log (1-i) (g) log (-1+i) (h) log (-1-i) 15. Probar que: (a) log(−ei) = 1 − π2 i

(b) log(1 − i) = 12 Ln 2 − π4 i (c) log e = 1 + 2πni

(d) log i = (2n + 1/2)πi √ (e) log(−1 + 3i) = Ln 2 + 2(n + 1/3)πi (f) log(−1) = (1 + 2n)πi 16. Comprobar que no se cumple la siguiente igualdad para −π ≤ θ < π log(z1 z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ) 17. Calcular (a) ii (b) 1i (c) (1 + i)i 18. Calcular (a) cos(i) (b) senh(i) (c) tgh(i)

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

14 (d) cosh(i) (e) sen(πi)

19. Demostrar la relación entre las funciones trigonométricas complejas y reales siguientes:  sen(x + iy) = sen x cosh y + i cos x senh y    cos(x + iy) = cos x cosh y − i sen x senh y senh(x + iy) = senh x cos y + i cosh x sen y    cosh(x + iy) = cosh x cos y + i senh x sen y

20. Demostrar los teoremas de adición para las funciones trigonométricas de variable compleja:  sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w    cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w senh(z + w) = senh z cosh w + cosh z senh w    cosh(z + w) = cosh z cosh w + senh z senh w

21. Calcular con la determinación 0 ≤ θ < 2π (a) arccos(i) (b) arccos(1) 22. Demostrar las igualdades siguientes:

√ ¡ ¢   arcsen z = −i log ¡ iz +√ 1 − z 2¢ arccos z = −i log z + z 2 − 1  arctg z = − 2i log 1+iz 1−iz √ ¢  ¡  arcsenh z = log ¡z + √z 2 + 1 ¢ arccos h z = log z + z 2 − 1  arctgh z = 12 log 1+z 1−z

23. Demostrar que log (cos z sec z) es imaginario puro y tiene como valor iθ siendo sen 2a senh 2b tg θ = 1 + cos 2a cosh 2b siendo z = a + bi y tomando el valor principal del logaritmo.

2.2. FUNCIONES HOLOMORFAS

15

24. Si definimos la función f (z) = i z2 en el disco abierto |z| < 1 demostrar que lim f (z) = 2i z→1

25. Demostrar que lim (2x + iy 2 ) = 4i z→2i

26. Calcular iz+3 z→−1 z+1

(a) lim

2z+i z→∞ z+1

(b) lim

1 2 2 y (c) lim xysen x2 +y 2 + i(xe + x − y ) z→0

(d) lim (2x + iy 2 ) z→2i

(e) lim x + i(2x + y) z→1−i

(f) lim z 2 − z + 10 z→1−i

z 2 −z+1−i 2 z→1+i z −2z+2

(g) lim

z z→0 z

(h) lim

27. Estudia la continuidad en todo el plano complejo de: (a) f (z) = xy 2 + i(2x − y)

(b) f (z) = exy + i sen(x2 − 2xy 3 ) ½ 1 z 6= 0 z (c) f (z) = 0 z=0

(d) f (z) =

(e) f (z) =

z z 2 +1 1 sen z

28. Mediante la definición de derivada de una función compleja de variable compleja, obtener la derivada de f (z) = z 2 29. Demostrar que f (z) = |z|2 sólo es derivable en z = 0 30. Estudiar la derivabilidad y calcular f 0 (z) de f (z) = ex cos y + iey sen y 31. Sea la función f (z) = z1 , calcular f 0 (z) en forma polar cuando z 6= 0 32. Sean las funciones u(x, y) = x2 − y 2 v(x, y) = 2xy. Comprobar que v es armónica conjugada de u pero u no es armónica conjugada de v

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

16

33. Estudia la derivabilidad en todo el plano complejo y comprueba si se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para: (a) f (z) = z 2 (b) f (z) = |z|2 ½ 1 z 6= 0 z (c) f (z) = 0 z=0

(d) f (z) = ez

(e) f (z) = z + ez+1 34. Dada f (z) =

½

z2 z

0

z= 6 0 z=0

(a) estudia su continuidad y derivabilidad en z = 0 (b) verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el origen 35. Dada la función f (z) = z 2 + eiz (a) Comprueba que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ∀z ∈ C

(b) Calcula el valor de la derivada en el punto ecuaciones

π 2

+ i, utilizando dichas

√ 36. Demostrar que la función z con 0 ≤ θ < 2π es una función continua y holomorfa en todo el plano complejo excepto en los puntos del semieje real positivo 37. Considerando g(z) = cosh πz estudie si se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann 38. Calcular el dominio de holomorfía y su derivada de: √ z 2 − 1 con la determinación 0 ≤ θ < 2π √ (b) z 2 − 1 con la determinación −π ≤ θ < π (a)

39. Calcular los puntos de ramificación de f (z) =

√ z2 − 1

40. Calcular el dominio de holomorfía de la función (tan−1 z)π 41. Calcular los puntos de ramificación de f (z) = arctg z

2.2. FUNCIONES HOLOMORFAS

17

42. Calcula, si es posible, la derivada de: con z 6= − 12

(a) f (z) =

z−1 2z+1

(b) f (z) =

(1+z 2 )4 z2

(c) f (z) = z

con z 6= 0

(d) f (z) = Re z (e) f (z) = x2 + iy 2 (f) f (z) = z Im z 43. Dadas f (z) = z 2 g(z) = ez estudia si la función Re(f (z)g(z)) es armónica 44. Sea f (z) = sen z +

z |z|2

(a) calcule sus funciones componentes u(x, y) v(x, y) (b) estudie dónde se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann (c) calcule, utilizando dichas ecuaciones, el valor de la derivada de f (z) en el punto z = −i log i 45. Sea f (z) = ze2z+5i (a) calcule sus funciones componentes u(x, y) v(x, y) (b) estudie si verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann (c) ¿Es f holomorfa? Justifica la respuesta y en caso afirmativo calcula su derivada 46. Sea f (z) =

x x2 +y2

y − i x2 +y 2

(a) estudie dónde se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann (b) calcule su derivada en el punto 1 + i 47. Demuestra si u(x, y) es armónica y calcula, cuando se pueda, una armónica conjugada y la función holomorfa correspondiente: (a) u(x, y) = y 3 − 3x2 y

(b) u(x, y) = 2x(1 − y)

(c) u(x, y) = 2x − x3 + 3xy 2

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

18

48. Comprueba si las siguientes funciones son enteras: (a) f (z) = 3x + y + i(3y − x)

(b) f (z) = eiz

(c) f (z) = (z 2 − 2)e−z

(d) f (z) = xy + iy (e) f (z) = eiz

49. Determina los puntos singulares de la función e indica dónde es holomorfa: (a) f (z) =

2z+1 z(z 2 +1)

(b) f (z) =

1−z 2 (z+2)(z 2 +2z+2)

(c) f (z) = (z 2 + 1)eπz √ 50. Demuestra que g(z) = reiθ/2 es holomorfa en el dominio r > 0, −π < θ < π. Calcula su derivada 51. Demuestra que las siguientes funciones no son holomorfas en ningún punto del plano. Calcula además sus funciones componentes (a) sen z (b) cos z (c) eiz + eiz 52. Demostrar que las familias de curvas (r2 + 1) cos θ = αr y (r2 − 1)sen θ = βr son ortogonales 53. hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas: (a) e−x (x sen y − y cos y) = α

(b) e−x cos y + xy = α (c) x3 y − xy 3 = α

(d) r2 cos 2θ = α

54. Demostrar que en las siguientes expresiones, las curvas obtenidas manteniendo constante una de las variables, son ortogonales a las obtenidas manteniendo constante la otra variable:

2.3. INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO (a) (b)

2.3

½

(

19

x = cosh u cos v y = sinh u sin v η x = a coshsenh η−cos ξ y = a coshsen η−cos

ξ ξ

Integración en el campo complejo

1. Calcular Z 1 (1 + it)2 dt (a) (b)

Z

0

π 4

eit dt

0

2. Representar gráficamente los siguientes arcos y determinar si son o no arcos simples ½ x + ix 0 ≤ x ≤ 1 (a) z = x+i 1≤x≤2 (b) z(θ) = z0 + e−iθ (c) z(θ) = e−iθ (d) z(θ) = e2iθ

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ 2π

3. Calcular las integrales siguientes y representar gráficamente los contornos de integración Z zdz C = {z(θ) = 2eiθ − π2 ≤ θ ≤ π2 }. A la vista del (a) C R = πi resultado demuestra que C dz z Z f (z)dz f (z) = y − x − i3x2 C1 = OA + AB donde OA = (b) C1

{z = 0 + iy, y ∈ [0, 1]} y AB = {z = x + i, x ∈ [0, 1]} Z f (z)dz f (z) = y − x − i3x2 donde C2 = {z = x + iy, y = (c) C2

x, x ∈ [0, 1]} Z f (z)dz f (z) = y − x − i3x2 donde C3 = C1 − C2 (d) C3

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

20 (e)

Z

z 2 dz siendo C1 la recta que une el origen con el punto 2 + i, Ck

y C2 = {(z = x, x ∈ [0, 1]) ∪ (z = 2 + iy, y ∈ [0, 1])} Z 1 zdz a lo largo de (f) −1

i. Semicircunferencia superior de radio unidad, recorrida en sentido negativo ii. Semicircunferencia inferior de radio unidad, recorrida en sentido positivo

4.

Z

C

√ zdz siendo C = {z = 3eiθ , θ ∈ [0, π]}

√ 5. Para el mismo contorno C y rama de la función z del problema anterior, sin calcular la integral exactamente probar que ¯Z ¯ ¯ ¯

C

√ ¯ √ ¯ z ¯ ≤ 3 3π dz z2 + 1 ¯ 8

6. Demostrar que la función f (z) = z 2 tiene una primitiva en todo el plano Z 1+i z 2 dz para cualquier complejo. Obtener su expresión. Calcular 0

contorno

7. Z Obtener la expresión de la primitiva de f (z) = z12 en C − {0}. Calcular z2 f (z)dz ∀z1 , z2 ∈ C, z1 6= 0, z2 6= 0 para cualquier contorno que z1

no pase por el origen R 8. Calcula la integral C (a) z = 2eiθ

(b) z = 2eiθ

−

π 2

dz , z

si C está dado por:

≤θ<

π 2

−π ≤θ 0, calcúlese Z∞

xn e−ax sen bx dx

0

29. Sea f (z) una función holomorfa en |z| ≤ R siendo R > 1, y sea C la circunferencia |z| = R. Sabiendo que f (−1) = i/4 y f (1) = −i/4 calcular I z+1 dz f 0 (z) log z−1 C

2.4. SERIES

25

30. Siendo C la circunferencia |z| = 2, calcúlese I cos z dz 2 C z −1 31. Siendo C el cuadrado de vértices los puntos 2, 2i, −2, −2i, calcular I 4z 2 dz C (z − 1)(z − 5) 32. Siendo n y k números naturales tales que n > k, y C una curva cerrada simple que contenga en su interior al origen de coordenadas, calcular I (1 + z)n dz z k+1 C 33. Siendo n un número natural, calcular

2.4

Rπ 0

sen2n θ dθ

Series

1. Hallar la región de convergencia de las siguientes series (a)

∞ P

n=3

(b)

∞ P

zn n−2 2n+1

z (−1)n (2n+1)!

n=1

(c) (d)

∞ P

(−1)n z 2n

n=1 ∞ P

z n!

n=1

2. Indicar en qué región del plano complejo convergen ∞ X (1 + i)(z − i)n (a)

(b)

n=0 ∞ X n=1

1 (z 2 +1)n

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

26 (c)

∞ X

1 (z 4 +1)n

n=1

3. Calcular para qué puntos del plano complejo convergen las siguientes series de potencias (a) (b) (c)

∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0

zn n!

n! z n n! (z − 1)n

4. Indicar para qué puntos del plano complejo es válido el siguiente desarrollo ∞ ∞ X X 1 1 1 ( )n + ( )n (z − 1)n n 3 (z − 1) 2 n=1 n=1

5. Sean a1 , a2 , ..., an y b1 , b2 , ..., bn números complejos. Demostrar la desigualdad de Schwartz ¯ n ¯2 Ã n !Ã n ! ¯X ¯ X X ¯ ¯ ak bk ¯ ≤ |ak |2 |bk |2 ¯ ¯ ¯ k=1

k=1

6. Hallar la suma de las siguientes series (a) (b) (c) (d) (e)

∞ P

n=1 ∞ P

z n (1 + z) zn 3n

para |z| < 3

n=1 ∞ P

nz n para |z| < 1

n=1 ∞ P

z 2n+1 2n+1

n=1 ∞ P n=0

zn n

para |z| < 1 para |z| < 1

k=1

2.4. SERIES

27

7. Obtener razonadamente el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = ez 8. Utilizar el resultado anterior para expresar el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = z 2 e3z 9. Obtener los desarrollos en serie de McLaurin y de Laurent de (a) f (z) = sen z (b) f (z) = senh z (c) f (z) = cosh z (d) f (z) = cos z 10. Desarrollos en serie de McLaurin y de Laurent de (a) f (z) =

1 1−z

(b) f (z) =

1 1+z

(c) f (z) =

1 z

(d) f (z) =

1+2z 2 z 3 +z 5

11. Por medio de las series de McLaurin calcular para C cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente y centrado en el origen, las series de Laurent de Z 1 e z dz (a) C Z dz (b) (z−i)n+3 C Z −1 dz (c) (z−2)(z−1) C

12. Calcular las series de McLaurin y el desarrollo de Laurent para (a) f (z) =

ez 1+z

(b) f (z) =

1 z 2 senh z

13. Obtener cuando sea posible, un desarrollo en serie de potencias de z, para las siguientes funciones de variable compleja (a) f (z) = ez

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

28 (b) f (z) = log(1 + z)π (c) f (z) = log(1 + z)2π √ (d) f (z) = z 2 − i2π

14. Obtener el desarrollo en serie de potencias de z, para las siguientes funciones, indicando para qué puntos del plano complejo es válido el mismo (a)

∞ X

zn 1−z n

n=0

(b) log cos z

π

(c) arctang(z) =

1 log 1+iz 2i 1−iz π

15. Desarrollar en potencias de z − 1 : f (z) = 16. Desarrollar

∞ P

k=1

zk k

z−1 z2

en serie de potencias alrededor del punto z0 = i/2

17. Hallar la suma de la serie

∞ P

n=1

sen nz n

para |z| > 0

18. Determínese las diferentes series de Laurent de la función f (z) = en potencias de z

2.5

1 z 2 +z−2

El teorema de los residuos

1. En cada caso, escribir la parte principal de la función en su punto aislado y determinar si se trata de un polo, un punto singular esencial o un punto singular evitable 1

(a) ze z (b) (c) (d) (e)

z2 1+z sen z z cos z z 1 (2−z)3

2. Probar que el punto singular de cada una de estas funciones es un polo. Determinar el orden del polo y calcular el correspondiente residuo B

2.5. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS (a)

1−cosh z z3

(b)

1−e2z z4 ez (z−1)2

(c)

29

3. Probar que la función

f (z) =

½

sen z z

1

z= 6 0 z=0

es entera 4. Desarróllese en serie de Laurent la función f (z) = z 2 cos z1 en un entorno de z = 0. ¿Qué clase de singularidad tiene f en z = 0 ? 5. Hallar la serie de Laurent alrededor de las singularidades indicadas para cada una de las siguientes funciones. Clasificar la singularidad en cada caso y dar la región de convergencia de cada serie. (a)

e2z (z−1)3

en z = 1

1 en z = −2 (b) (z − 3) sen z+2

(d)

z−sen z en z3 z (z+1)(z+2)

(e)

1 z 2 (z−3)2

(c)

z=0 en z = −2

en z = 3

6. Hallar el residuo en z = 0 de la función (a)

1 z+z 2

(b) z cos 1z (c) (d) (e)

z−sen z z cotg z z4 senh z z 4 (1−z 2 )

7. Calcular, usando residuos, las integrales de las funciones siguientes sobre el círculo |z| = 3, positivamente orientado (a)

e−z z2 1

(b) z 2 e z

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

30 (c)

z+1 z 2 −2z

(d)

e−z z−iπ/2

(e)

tg(z/2) (z−x0 )2

(f)

cosh z z4

−3 < x0 < 3

8. Demostrar en cada caso que los puntos singulares son polos. Determinar el orden de cada polo y el residuo correspondiente B (a) (b)

z 2 +2 z−1 z )3 ( 2z+1

(c) tgh z (e)

ez z 2 +π2 z cos z

(f)

z 1/4 z+1

(d)

|z| > 0, 0 < arg z < 2π

9. Hallar el valor de la integral Z

3z 3 + 2 dz (z − 1)(z 2 + 9)

C

en sentido positivo a lo largo del círculo (a) |z − 2| = 2

(b) |z| = 4

10. Hallar el valor de la integral Z

C

dz + 4)

z 3 (z

en sentido positivo a lo largo del círculo (a) |z| = 2

(b) |z + 2| = 3 11. Sea C el círculo |z| = 2, positivamente orientado. Calcular las integrales

2.5. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS (a) (b) (c)

Z

Z

Z

31

tg z dz C

C

C

dz senh z cosh πz z(z 2 +1)

dz

12. Probar que si C es el círculo |z| = 8 positivamente orientado entonces 1 2πi

Z

C

ezt dz = 1 − 2 cos πt + 2 cos 2πt senh z

13. Probar que Z

C

(z 2

dz π = √ 2 − 1) + 3 2 2

donde C es el contorno, positivamente orientado, del rectángulo cuyos lados están sobre las rectas x = ±2, y = 0, y = 1.

q(z) = Sugerencia: Observando que los cuatro ceros del polinomio √ 2 2 (z −1) +3 son las raices cuadradas de los números 1± 3i, probar que 1 es una función holomorfa dentro y sobre C excepto en los puntos q(z) √

√

z0 = √3+i . Identificar entonces los polos simples y y −z0 = − √3+i 2 2 hallar el residuo correspondiente. 14. Si la función f en el enunciado del teorema de los residuos es, además analítica en todo punto del plano finito exterior a C, resulta Z

f (z) dz = 2πi Res C

z=0

1 1 f( ) z2 z

Calcular la integral de f (z) a lo largo del círculo |z| = 3 positivamente orientado, cuando f (z) es (a)

(3z+2)2 z(z−1)(2z+5)

(b)

z 3 (1−3z) (1+z)(1+2z 4 )

(c)

z3 e z 1+z 3

1

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

32

15. Calcular la integral de f a lo largo del círculo |z| = 2 positivamente orientado, cuando f es (a)

z5 1−z 3

(b)

1 1+z 2

(c)

1 z

16. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que (a) (b)

Z

Z

∞ 0 ∞ 0

dx x2 +1

=

dx (x2 +1)2

π 2

=

π 4

17. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que (a) (b)

Z

Z

∞ 0 ∞ 0

x2 dx (x2 +1)(x2 +4)

=

x2 dx (x2 +9)(x2 +4)2

π 6

=

π 200

18. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que (a) (b)

Z

Z

∞ 0 ∞ 0

dx x4 +1

=

π √ 2 2

x2 dx x6 +1

=

π 6

19. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que Z

∞ −∞

cos x dx π e−b e−a = 2 − ) a>b>0 ( a − b2 b a (x2 + a2 )(x2 + b2 )

20. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que Z

∞ 0

cos ax π dx = e−a 2 x +1 2

a≥0

2.5. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

33

21. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que Z

∞ 0

π cos ax dx = 3 (1 + ab)e−ab 2 2 2 (x + b ) 4b

a > 0, b > 0

22. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que Z

∞ 0

x sen 2x π −2√3 dx e = x2 + 3 2

23. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que Z

∞

x sen ax π −a dx e sen a a > 0 = 4 2 −∞ x + 4

24. Comprobar, usando el teorema de los residuos, que Z 25. 26. 27. 28. 29.

Z

Z Z Z

Z

∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞

∞

x3 sen ax dx = πe−a cos a a > 0 4+4 x −∞

dx x2 +2x+2

x dx (x2 +1)(x2 +2x+2)

sen x dx x2 +4x+5

(x+1) cos x x2 +4x+5

cos x (x+a)2 +b2

dx

dx b > 0

30. Usando el teorema de los Z residuos y el contorno de la figura, comprobar el valor de la integral

∞ 0

dx x3 +1

=

2π √ 3 3

CAPÍTULO 2. VARIABLE COMPLEJA

34

31. El siguiente ejercicio es aplicación del teorema de los residuos, pero desarrollado en tres apartados, como se suele hacer en un examen iθ (a) Si |F (z)| ≤ RMk para R z = Re donde k > 1 y M son constantes, probar que lim Γ F (z)dz = 0 donde Γ es el semicírculo de radio R→∞ R que se indica en la figura

(b) Mostrar que f (z) = apartado anterior Z ∞ dx (c) Calcular x6 +1 0

32. Mostrar que

1 z 6 +1

verifica las condiciones exigidas en el

2.5. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Z

∞ −∞

35

x2 dx 7π = 2 2 2 (x + 1) (x + 2x + 2) 50

33. Calcular Z

2π 0

dθ 3 − 2cos θ + sen θ

34. Mostrar que Z

2π 0

dθ 2π =√ a + b sen θ a2 − b2

a > |b|

35. Mostrar que Z

2π 0

cos 3θ π dθ = 5 − 4 cos θ 12

36. Mostrar que Z

2π 0

1 5π dθ = 2 (5 − 3 sen θ) 32

37. Z

π 0

cos 2θ a2 π dθ = 1 − 2a cos θ + a2 1 − a2

−1 0 y M son constantes, probar que lim Γ eimz F (z)dz = 0 donde Γ es el semicírculo de radio R que R→∞ se indica en la figura, y m es una constante positiva

41. Mostrar que Z

∞ 0

π cos mx dx = e−m 2 x +1 2

m>0

42. Calcular Z

∞

x sen πx dx 2 −∞ x + 2x + 5

43. Mostrar, usando el contorno de la figura Ξ, que

R ∞ sen 0

x

x

dx =

π 2

2.5. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS 44. Calcular la integral

Z

∞ 0

37

Ln2 x+Ln x dx 1+x2

(Usar el contorno Ξ y la rama principal del logaritmo con la determi2z ) con f (z) = log ) nación del argumento (− π2 , 3π 2 1+z 2

45. Mostrar, usando el contorno Ψ, que 46. Mostrar, usando el contorno Ψ, que

Z

Z

∞ 0 ∞ 0

xp−1 dx 1+x

=

√ dx2 x(x +1)

π sen pπ

=

0 0, a 6= b

48. Mostrar, usando el contorno Ψ, que Z donde xa = ea

∞ 0

xa (1 − a)π dx = (x2 + 1)2 4 cos aπ 2

−10 1 p 1 p>0 x p2 n! n x p>0 pn+1 Γ(a+1) a x a>0 p>0 pa+1 1 ax p>a e p−a ω p>0 sen(ωx) p2 +ω2 p p>0 cos(ωx) p2 +ω2 δ(x) 1 δ(x − a) a > 0 e−ap e−ap H(x − a) a > 0 p 49

CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES

50

L[f (x)] = F (p) aF (p) + bG(p) pF (p) − f (0) pn F (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f 0 (0) − . . . − pf F (p − a) 1 F ( ap ) a > 0 a e−pa F (p) a > 0 e−pa L[f (x + a)] −F 0 (p) n (n F (p) (−1) Z

f (x) af (x) + bg(x) f 0 (x) f (n (x) eax f (x) f (ax) f (x − a)H(x − a) f (x)H(x − a) xf (x) xn f (x)

f ∗g ≡

Z

Z

∞

f (x) x x

F (p) p

f (s) ds 0 x 0

F (s) ds

0

f (s)g(x − s) ds

F (p)G(p)

1. Calcular las transformadas de Laplace de las funciones siguientes siendo ω ∈ R, n ∈ N (a) e−at cos(ωt) (b) e−at sen(ωt) (c) tn eat (d) t sen2 t 2. Dada la función f (t) = e2t sen(3t) calcular L[f 0 (t)] 3. Sabiendo que L[f (t)] = p2 − p calcular L[f (5t)] 4. Hallar la transformada de Laplace de la función

g(t) =

½

t