182

Analicemos ahora el siguiente ejemplo: (2x – 4y) dx + (12y - 6x + 1) dy = 0

¿Será ésta una ecuación diferencial reducible a homogénea? ♦ Si

observamos la ecuación diferencial, tenemos

que

2x – 4y = 0

12y – 6x +1 = 0 representan rectas. Por lo tanto, podría considerarse una ecuación diferencial reducible a homogénea.

¿Qué debemos determinar para saber si podemos resolverla como una ecuación diferencial homogénea del Caso 1? ♦ Debemos determinar la posición relativa de las dos rectas involucradas.

Muy bien. ¿Cómo lo hacen? ♦ Buscando las pendientes de las rectas. Para la recta 2x – 4y = 0, la pendiente es m1 =

1 1 ; para la recta 12y – 6x +1 = 0, la pendiente es m2 = . Como m1 = m2, 2 2

resulta que las rectas son paralelas.

Excelente.

Observen que el procedimiento explicado anteriormente sólo

funciona si las rectas se cortan, es decir, si tienen un punto en común. Cuando las rectas son paralelas ¿Cómo son sus vectores normales? ♦ Los vectores normales de dos rectas paralelas son proporcionales.

Correcto. ¿Podrían decirme cuáles son los vectores de las rectas del ejemplo?

183

♦ Los vectores normales son

N1 = (2, -4) y N2 = (-6,12)

¿Cómo pueden expresar la relación de proporcionalidad entre los dos vectores? ♦ La relación de proporcionalidad entre N1 y N2 se expresa como N2 = -3 N1, es decir, (-6,12) = -3 (2,-4).

Si les pido escribir la ecuación de la recta 12y - 6x +1 = 0 usando el vector normal N1.= (2,4) ¿Cómo la escribirían? ♦ La escribiríamos -3(2x – 4y) +1 = 0

Si sustituyen en la ecuación diferencial ¿Cómo queda? ♦ La ecuación diferencial queda (2x – 4y) dx + [(-3) (2x – 4y) + 1] dy = 0

Observen la ecuación diferencial que se obtuvo y díganme que característica común observan entre las funciones que multiplican a los diferenciales dx y dy respectivamente. ♦ Qué se repite el término 2x – 4y.

Exacto. Por eso se sugiere aquí realizar el cambio de variable: ⎧z = 2 x − 4 y ⎪ ⎨ 1 1 ⎪⎩dz = 2dx − 4dy ⇒ dy = 2 dx − 4 dz

184

¿Cómo se transforma la ecuación diferencial con este cambio de variable? ♦ La ecuación diferencial se transforma en: 1 ⎞ ⎛1 zdx + (-3 z +1) ⎜ dx − dz ⎟ = 0 4 ⎠ ⎝2

¿Qué sugiere hacer ahora? ♦ Sacar factor común dx. Así se tiene 1 1⎞ 3 ⎛ ⎜ z − z + ⎟dx − (− 3z + 1) dz = 0 4 2⎠ 2 ⎝ 1⎞ 1 ⎛ 1 o equivalentemente ⎜ − z + ⎟dx − (− 3z + 1)dz = 0 2⎠ 4 ⎝ 2

¿A qué tipo de ecuación diferencial hemos llegado? ♦ Hemos llegado a una ecuación diferencial de variable separable.

Correcto. ¿Por qué factor deben multiplicar para separar las variables?

♦ Se debe multiplicar por el factor

1 1 1 − z+ 2 2

¿Cómo queda la ecuación al multiplicar por dicho factor? ♦ La ecuación queda.

185

1 (3z − 1) dx + 4 dz = 0 1 (− z + 1) 2 o equivalentemente dx -

1 ⎛ 3z − 1 ⎞ ⎜ ⎟dz = 0 2 ⎝ z −1 ⎠

Ya están separadas las variables ¿Cuál es el siguiente paso? ♦ El siguiente paso es integrar cada término:

∫ dx

-

1 2

∫

3z − 1 dz = C (#) z −1

¿Cómo resuelven ∫ dx ? ♦ Es inmediata ∫ dx = x

¿Cómo resuelven

∫

3z − 1 dz? z −1

♦ Cómo es un cociente de polinomios de igual grado, deberá efectuarse la división de polinomios, de donde resulta que 2 3z − 1 = 3+ z −1 z −1

integrando respecto de z

∫ ambas integrales inmediatas

3z − 1 2 dz = 3 dz + dz z −1 z −1

∫

∫

186

3z − 1

∫ z − 1 dz = 3z + 2 ln z − 1 Muy bien. Ya resueltas las integrales ¿Qué deben hacer? ♦ Debemos sustituir los resultados de las integrales en (#). Así: x-

1 [3z + 2 ln | z - 1 | ] = C 2

Correcto. ¿Qué les falta hacer? ♦ Falta devolver el cambio de variables z = 2x – 4y; al sustituir queda 2x – 3(2x – 4y) – 2 ln |2x – 4y – 1| = 2C esto es, 2x – 6x + 12y – ln |2x – 4y – 1| 2 = 2C aplicando "e" e12 y − 4 x − 2C = e

ln 2 x − 4 y −1

2

de donde: k e4(3y – x) = (2x – 4y – 1)2

Excelente. ¿Cuál es la conclusión del problema? ♦ Que la función (2x – 4y – 1)2 = ke4(3y – x) es la solución general de la ecuación diferencial (2x – 4y) dx + (12y – 6x + 1) dy = 0

Abran sus guías en la página 31 y leamos la información que allí aparece.

187

CASO 2: LA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIENE LA FORMA (a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0 CON a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0 RECTAS PARALELAS

Este tipo de ecuación diferencial es reducible a variable separable. Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variable separable, se deben realizar los siguientes pasos: 1- Obtener la constante k tal que (a2, b2) = k (a1, b1) 2- Escribir la ecuación diferencial como (a1x + b1y + c1) dx + [k(a1x + b1y) + c2 ] dy = 0 ⎧ ⎪z = a1 x + b 1 y ⎪ 3- Realizar el cambio de variables ⎨ ⎪dy = dz − a1dx ⎪⎩ b1

⇒ y=

z − a1 x b1

4- Resolver la ecuación diferencial de variable separable que resulta en el paso 3 5- Devolver los cambios de variables 6- De ser posible despejar "y"

A continuación disponer de 10 minutos para resolver el Problema 3 que aparece en sus guías en la página 31

PROBLEMA 3:

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial: (2x + 3y + 4) dx + (4x + 6y + 1) dy = 0

Revisemos como resolvieron el Problema 3.

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¿Qué es lo primero que deben hacer? ♦ Estudiar la posición relativa de las rectas involucradas en la ecuación diferencial 2x + 3y + 4 = 0 y 4x + 6y + 1 = 0

Muy bien. ¿Cómo lo hacen? ♦ Buscando sus vectores normales y chequeando si son o no proporcionales.

Correcto. ¿Qué obtenemos? ♦ El vector normal de la recta 1 es N1 = (2,3) y el vector normal de la recta 2 es N2 = (4,6). Se puede observar que N2 = (4,6) = 2 N1 = 2 (2,3) Exacto. ¿Cómo puede entonces escribir la ecuación diferencial? ♦ La ecuación diferencial puede escribirse: (2x + 3y + 4) dx + [2 (2x + 3y) + 1] dy = 0

¿Pueden identificar que expresión se repite en cada término de la ecuación diferencial? ♦ Se repite el término 2x + 3y.

¿Qué sugiere hacer en este caso? ♦ Se sugiere realizar un cambio de variable

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z − 2x ⎧ ⎪⎪z = 2z + 3y ⇒ y = 3 ⎨ ⎪dy = dz − 2dx 3 ⎩⎪

Muy bien. Sustituyan el cambio de variable en la ecuación diferencial ¿Cómo se transforma? ♦ Al sustituir el cambio de variable la ecuación diferencial se transforma en ⎡ dz − 2dx ⎤ (z + 4) dx + (2z + 1) ⎢ ⎥⎦ = 0 3 ⎣

Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso? ♦ El siguiente paso es sacar factor común dx, obteniendo 1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣( z + 4) − 3 ( 2z + 1) ⎥⎦ dx + 3 ( 2z + 1) dz = 0

o equivalentemente: (3z + 12 – 4z - 2) dx + (2z + 1) dz = 0 esto es, (10-z) dx + (2z + 1) dz = 0

¿Qué tipo de ecuación diferencial resultó? ♦ Resultó una ecuación diferencial de variables separables.

¿Cuál es el factor por el cual se debe multiplicar para que las variables queden separadas?

190

♦ Se debe multiplicar por el factor dx +

1 obteniéndose así 10 − z

2z + 1 dz = 0 10 − z

Ya están separadas las variables. ¿Cuál es el siguiente paso? ♦ El siguiente paso es integrar cada término de la última ecuación

∫ dx + ∫ ¿Cómo resuelven

♦ Es inmediata

2z + 1 dz = C (#) 10 − z

∫ dx ?

∫ dx = x

¿Cómo resuelven

∫

2z + 1 dz? 10 − z

♦ Cómo es un cociente de polinomios de igual grado, deben dividirse los polinomios.

Exacto. Una vez efectuada la división de polinomios ¿Cómo puede escribirse el cociente

2z + 1 ? 10 − z

♦ Se puede escribir

2z + 1 21 = -2 + 10 − z 10 − z

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¿Qué hacen ahora? ♦ Lo que hacemos es integrar cada término respecto de x. 2z + 1

∫ 10 − z dz = - 2 ∫ dz + 21 ∫ 10 − z dz

= - 2z - 21 ln|10 – z|

Resueltas ya las integrales. ¿Cuál es el siguiente paso? ♦ Sustituir los resultados de las integrales en (#), obteniendo x – 2z - 21 ln |10 – z| = C

¿Qué falta por realizar? ♦ Falta devolver el cambio de variable z = 2x + 3y, así x – 4x – 6y – 21 ln |10 – 2x – 3y| = C o equivalentemente: -3x – 6y – 21 ln |10 – 2x – 3y| = C

¿Se podrá simplificar más? ♦ Si, se puede dividir todo entre 3 y sumar 3x + 6y, resultando así: 7 ln |10 – 2x – 3y| =

1 C + x + 2y 3

o equivalentemente, aplicando "e": 1C

|10 – 2x – 3y| 7 = e 3

e x+2y

esto es, |10 – 2x – 3y| 7 = k e x+2y

192

¿Qué concluyen? ♦ Concluimos que la función |10 – 2x – 3y|7 = k e x+2y es la solución general de la ecuación diferencial (2x + 3y +4) dx + (4x + 6y + 1) dy = 0

El Problema 4 les queda como ejercicio.

PROBLEMA 4:

Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. 1- (x + y) dx + (3x + 3y – 4) dy = 0 2- (2x + 2y + 1) dx + (x + y + 1) dy = 0 3- (x + y + 1) y1 = (x + y – 1) 4- (2x + y) dx - (4x + 2y – 1) dy = 0 5-

dy 2x − 4 y = dx 6 x − 12 y − 1

CIERRE:

¿Qué estudiamos en esta lección? ♦ Estudiamos un tipo de ecuación diferencial la cual puede reducirse a homogénea.

¿Qué forma tiene este tipo de ecuación diferencial?

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♦ Tiene la forma (a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0 donde a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 son dos rectas que se cortan. ¿Podrían decirme que pasos se siguen para resolver dicha ecuación diferencial? ♦

Lo primero que hacemos es buscar las coordenadas (h,k) del punto de

intersección entre las dos rectas. Luego se realiza el cambio de variables: ⎧x = u + h ⇒ dx = du ⎨ ⎩ y = v + k ⇒ dy = dv

Al sustituir el cambio de variables ¿Qué tipo de ecuación diferencial se obtiene? ♦ Se obtiene una ecuación diferencial homogénea.

Correcto. ¿Qué otro aspecto estudiamos? ♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales de la forma (a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0 donde a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 son rectas paralelas. ¿Qué debe hacerse en este caso? ♦ En este caso se debe escribir: a2x + b2y + c2 = k (a1x + b1y) + c2

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donde k representa la constante de proporcionalidad entre los vectores normales de las dos rectas.

Muy bien. ¿Cuál es el siguiente paso? ♦ El siguiente paso es realizar el cambio de variable z − a1 ⎧ z a x b y y = + ⇒ = 1 1 ⎪ b1 ⎪ : ⎨ ⎪dy = dz − a 1x ⎪⎩ b1

Al realizar este cambio ¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta? ♦ Resulta una ecuación diferencial de variables separables.