Combinaciones Trabajo a realizar de este tema: En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis combinatorio, 0702 Variaciones, 0703 Permutaciones y 0704 Combinaciones que se entregará dos días después de terminar el tema 0704 Combinaciones. El nombre del archivo deberá ser: 071234 ANALISIS APELLIDO NOMBRE A mano, realizarás los problemas # y # de este tema, el cual se entregará de acuerdo al protocolo indicado al principio de este periodo. Se calificará de la siguiente manera: + Ortografía (2 puntos) Protocolo de envío: + Asunto: mal anotado el 100% del trabajo + Nombre (1 punto) + Comentario (2 punto) + Nombre del archivo (1 punto) + Versión diferente a 2003 (7 puntos) En el trabajo solución, tanto en Excel como el trabajo escrito: Comentario o conclusión del trabajo

(2 punto) Ortografía: (1 punto)

Nombre Universidad Carrera Materia Tema Fecha

(La ausencia total o de alguna parte restará 1 punto) A continuación, y sin dejar hoja en blanco, el desarrollo del trabajo (1 punto menos de no cumplirlo). Se calificará la realización de las síntesis.

COMBINACIONES

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1

Combinaciones ¿Que son las Combinaciones? Combinaciones sin repetición Combinaciones con repetición

¿Que son las Combinaciones?

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto de n elementos en subconjuntos de r elementos. En las combinaciones no importa el orden en que se colocan los elementos elegidos. Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación. Por ejemplo, hay tres diferentes formas de agrupar tres letras en subconjuntos de dos letras y son las siguientes: {a, b}

[

{a, c}

{b, c}

=COMBINAT(número, tamaño)]

Combinaciones sin repetición

Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición a los distintos subconjuntos de r elementos tomados de un conjunto n • •

Cada subconjunto tenga r elementos distintos Dos subconjuntos son distintos si difieren en algún elemento.

El número de combinaciones ordinarias de n elementos agrupados en subconjuntos de r elementos se denota por Cn,r y se calcula: Cn,r =

COMBINACIONES

n! r! ( n − r )!

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2

Donde: Pn n

es el número de combinaciones posible es el número de elementos a combinar

r es el número de elementos del subconjunto

Ejemplo: Juanita invitó a sus amigos a cenar. Juanita tiene 12 amigos, pero solo tiene 6 lugares en su mesa, por lo que necesita formar 2 grupos de 6 personas a. ¿Cuantos grupos diferentes puede formar? b. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ? c. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ? d. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 8 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ? Solución: a. ¿Cuantos grupos diferentes puede formar? Se calculan las combinaciones de de 12 en subconjuntos de 6. 12!

12!

C12,6 =

= 6! ( 12 − 6 )!

= 924 6! 6!

b. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ? Del conjunto de dos casados seleccionamos a los dos, y de un conjunto restante de 10 seleccionamos 4. Aplicamos el principio multiplicativo 2!

10! •

C2,2 • C10,4 = 2!(2 − 2)!

COMBINACIONES

2! =

4! (10 − 4)!

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10! •

2! 0!

4! 6!

= 1 • 210 = 210

3

c. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ? Del conjunto de 2 enemigos seleccionamos 1, y del conjunto de 10 restante seleccionamos 5. Aplicamos el principio multiplicativo 2!

10!

•

C2,1 • C10,5 = 1! (2 − 1)!

2! =

10! •

1! 1!

5! (10 − 5)!

5! 5!

= 2 • 252 = 504

d. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 8 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ? Del conjunto de 4 mujeres seleccionamos 2, y del conjunto de 8 hombres seleccionamos 4. Aplicamos el principio multiplicativo 4!

8!

•

C4,2 • C8,4 = 2! (4 − 2)!

4! =

4! (8 − 4 )!

8! •

2! 2!

4! 4!

= 6 • 70 = 420

Combinaciones con repetición

Combinaciones con repetición de n elementos agrupados en subconjuntos de r elementos iguales o distintos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRn,r. CRn,r =

( n + r − 1)! r! ( n − 1)!

Por ejemplo, las combinaciones con repetición del conjunto A = { a, b, c } en subconjuntos de 2 elementos se forman de manera similar a las combinaciones sin repetición aunque con la diferencia de que se permite repetir el elemento en el subconjunto sin importar el orden de colocación. De esta manera se obtienen 10 combinaciónes con repetición: {a, a} {b , b}

COMBINACIONES

{a, b} {b , c}

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{a, c} {c , c}

4

Calculando con la fórmula el número de combinaciones con repetición. ( 3 + 2 − 1)! CR3,2 =

4! =

= 6

2! ( 3 − 1)!

2! 2!

Ejemplos 1) ¿De cuántas formas podemos pedir que nos sirvan un cono de helado con "dos bolitas" diferentes o iguales si en la heladería hay 5 sabores de helado? Solución: Como las bolitas de helado pueden ser iguales o diferentes, el número de helados diferentes con dos bolitas es CR5,2 ( 5 + 2 − 1)! CR5,2 =

6! =

2! ( 5 − 1)!

= 15 2! 4!

2) En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?.

Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces. Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición. ( 6 + 4 − 1)! CR6,4 = 4! ( 6 − 1)!

COMBINACIONES

9! =

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= 126 4! 5!

5

Problemas 1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

COMBINACIONES

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4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices. No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. COMBINACIONES

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Son

, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5

rectas que no son diagonales.

7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

9. Resolver las ecuaciones combinatorias: 1.

COMBINACIONES

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8

2.

3.

27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.

COMBINACIONES

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