An´ alisis de redes el´ ectricas de bater´ıas y resistencias (una aplicaci´ on de sistemas de ecuaciones lineales) Objetivos. Conocer una aplicaci´on de sistemas de ecuaciones lineales al an´alisis de redes el´ectricas simples que consisten en fuentes de tensi´on constante (pilas o bater´ıas), resistencias y cables. Requisitos. Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales (compatibles determinados), conocimientos b´asicos de electricidad, especialmente las leyes de Kirchhoff. 1. Leyes de Kirchhoff de circuitos el´ ectricos. Ley de corrientes de Kirchhoff (regla de nodos). En todo nodo, donde la densidad de la carga no var´ıe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. En otras palabras, la suma algebraica de las corrientes es igual a 0 (las corrientes entrantes se tomas con +, las salientes con −). Ley de tensiones de Kirchhoff (ley de voltaje, regla de mallas, ley de lazos, regla de bucles). En toda malla (trayectoria cerrada, circuito cerrado) la suma algebraica de las diferencias de potencial el´ectrico es igual a 0. 2. Observaci´ on. La ley de corrientes sigue de la ley de conservaci´on de cargas el´ectricas. La ley de tensiones se puede considerar como un corolario de la ley de conservaci´on de energ´ıa. 3. Ley de Ohm. En nuestros ejercicios vamos a aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff junto con la ley de Ohm: V = RI, el voltaje (la diferencia de potencial) = la corriente multiplicada por la resistencia. 4. Signos en la ley de tensiones. Al pasar por una bater´ıa (pila) de − a +, el potencial sube, por eso escribiremos un sumando con el signo positivo. Al pasar por una resistencia en el sentido del corriente, el potencial baja (la energ´ıa se pierde en la resistencia).

Referencias ´ [1] Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, Introducci´on al Algebra Lineal. M´exico: Limusa, 2009. 752 p.: il.; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-4886-6

An´alisis de redes el´ectricas de bater´ıas y resistencias, p´agina 1 de 5

5. Ejemplo simple. Determine las corrientes I1 , I2 e I3 de la siguiente red: 30V

7Ω

− +

I1

trayectoria 1 11V

1Ω nodo 1

− +

I2

nodo 2

trayectoria 2 28V

4Ω

− +

I3

Soluci´on. Apliquemos la ley de corrientes de Kirchhoff al nodo 1. Los tres corrientes entran al nodo 1, por eso los sumandos se escriben con el signo +: I1 + I2 + I3 = 0. En el nodo 2 tenemos la siguiente ecuaci´on (todos los tres corrientes salen del nodo 2): −I1 − I2 − I3 = 0. En la trayectoria 1 la ley de tensiones de Kirchhoff nos da la siguiente ecuaci´on: 30 − 7I1 + I2 − 11 = 0. Explicaci´on de los signos: pasamos la bater´ıa 30 de − a +, por eso escribimos el sumando 30 con el signo +, pasamos la resistencia 7 en el sentido del corriente I1 , por eso escribimos el sumando −7I1 , etc. A la trayectoria 2 le corresponde la ecuaci´on 11 − I2 + 4I3 − 28 = 0. Obtenemos el siguiente sistema de  I1    −I1 −7I  1  

ecuaciones lineales: + − + −

I2 + I3 I2 − I3 I2 I2 + 4I3

= 0; = 0; = −19; = 17.

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Lo escribamos en la forma matricial y resolvemos usando el m´etodo de Gauss–Jordan:     1 1 1 1 1 1 0 0 R2 += R1  −1 −1 −1 0  0 0 0 0  R3 += 7R1  R2 ↔R4  − − − −−−−→  −−−→  −7    1 0 −19 0 8 7 −19 0 −1 4 17 0 −1 4 17     1 1 1 0 1 1 1 0 R1 −= R2  0 −1 4  17  R2 ∗=(−1)  R3 −= 8R2   −−−−−−→ 0 1 −4 −17 −−−−−−→  0 8 7 −19  0 8 7 −19 0 0 0 0     1 0 5 17 17 1 0 5 R1 −= 5R3 1 R ∗= R2 += 4R3  0 1 −4 −17  −−3−−−39   → 0 1 −4 −17 −−−−−−→ 3 0 0 39 117 0 0 1   1 0 0 2  0 1 0 −5  . 0 0 1 3 Respuesta: I1 = 2A, I2 = −5A, I3 = 3A. El valor negativo de I2 y significa que en realidad la direcci´on de la corriente es opuesta a la dibujada en el dibujo original. Indicamos la respuesta en el dibujo: 7Ω

30V − +

2A

trayectoria 1 11V

1Ω 5A

− +

nodo 1

nodo 2

trayectoria 2 4Ω

28V − +

3A

Notemos que la corriente pasa a trav´es de la segunda pila (de 11V) en el sentido contrario, i.e. la pila est´a en el r´egimen de recarga.

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6. Ejemplo. Determine las corrientes I1 , . . . , I6 de la siguiente red: 4Ω

26V − +

I1

trayectoria 1

nodo 1 3Ω

I2

nodo 2 − +

2Ω

trayectoria 2 I5

8V

I6 4Ω

nodo 3

I3

nodo 4

trayectoria 3 1Ω

21V − +

I4

Soluci´on. Apliquemos la ley de corrientes de Kirchhoff a los nodos 1, 2, 3, 4: I1 + I2 − I5 −I1 − I2 − I6 I3 + I4 + I5 −I3 − I4 + I6

= 0; = 0; = 0; = 0.

Apliquemos la ley de tensiones de Kirchhoff y la ley de Ohm a las trayectorias 1, 2, 3: 26 − 4I1 + 2I2 = 0; 8 − 2I2 − 3I5 + 4I3 = 0; −21 − 4I3 + I4 = 0. Escribimos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y lo m´etodo de Gauss–Jordan (el sistema tiene una soluci´on u ´nica):   1 1 0 0 −1 0 0 I1  −1 −1 0 0 0 −1 0    I2  0 0 1 1 1 0 0    I3  0 0 −1 −1 0 1 0  =⇒   I4  4 −2 0 0 0 0 26    I5  0 2 −4 0 3 0 8  I6 0 0 −4 1 0 0 21

resolvemos usando el

= 4; = −5; = −4; = 5; = −1; = 1.

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7. Ejercicio simple. Determine las corrientes I1 , I2 e I3 de la siguiente red: 25V

5Ω

− +

I1

trayectoria 1 2Ω

I2

nodo 1

nodo 2

trayectoria 2 18V

4Ω

− +

I3

Respuesta: I1 = 3A, I2 = 5A, I3 = 2A.

8. Ejercicio. − +

21V

I5

8Ω I1

I4

2Ω − +

1Ω

3Ω

I2

3V

I3

1Ω 11V

− +

4Ω

I6 Respuesta: I1 = 5A, I2 = −4A, I3 = −1A, I4 = 2A, I5 = 7A, I6 = 3A.

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