ESTADISTICA ESPAÑOLA núm. 105, 1984, págs. 123 a 128

Análisis de un caso particular de función de utilidad para dos atributos por MARIA DEL ROSARIO LOPEZ GIIVIENEZ Univers^dad Autónoma de Madrid

RESUMEN Estudiamos la función de utilidad en el sentido de Von NeumannMorgenstern para el caso de dos atributos, estableciendo relaciones entre la forma de la función de utilidad, la actitud ante el riesgo del decisor y las funciones de transacción entre los atributos. Impuestas determinadas condiciones a éstos, Ilegarnos a una forma de la función de utilidad que tiene adversión proporcional al riesgo constante y estudiamos un caso particular de ella. Pul^hrus c•lu^^e: Funciones de utilidad, adversián al riesga.

1NTRODUCCiON Cuando pretendemos realizar la maximización de la utilidad e^perada en el caso de una funcián de utilidad pluridimensional, se plantea el problema de la dificultad en determinar la forma que tiene esa función de utilidad (4). EI caso más sencillo es aquel en que la utilidad puede expresarse en forma aditiva como suma de las utilidades parciales de cada atributo, para lo cual es necesaria la independencia de los atributos desde el punto de vista de la utilidad asociada.

l

l:ti1^A!)1ST1C A F-.^F'Ati()!.A __._ _. _.__ _._ _ _ ._. __

i^

lr.^na tc^rma cie resolver el problema ^eria expresdr los diversos atributos en una unidad común, estableciendo unas funciones de transacción entre ellos y caracterizando las propiedades que deben cumplir esos aiributos para establecer una unidaed común (S).

f= UNCIONES DE TRANSACCION Caracterizaremos el problema en el caso más sencillo de sólo dos atributos {X, Y). E1 vector de atributos {X, Y) representa un estado del sistema, donde cada elemento del vector representa alguna medida de una variable particular y cada valor es un nivel fijado del atributo correspondiente. Suponemos que a cada estado le podemos asocíar un único valor, o utilidad, V= = U(X, Y}, de modo que un cambia en las variables de estado Ileva a un cambio en el espaci© de utilidad (X, Y, V}. E1 decisor deberá elegir entre un conjunto de acciones o aliernativas u^ ^ A, j= 1, ..., n, de modo que cada uno de estos vectores es un punto del espacio de consecuencias C,,. Así, si cada acción u^ Ileva a un resuttado (x. Y) con probabilidad c^fFj (x, v), el decisor actuará de forma que maximice la función Ll(x, y)^CF^(x, y}, dj --

l,

Si (XoY©) es el estado inic^al del sistema, establecemos una escala de utilidad haciendo que V= U(X*, Y*} = 1, siendo tX*, Y*) el mejor resultado posible. Establecem+as una función de transacción entre los atríbutos

a=

(x -«, v) - y(x. v) _.l^(«, x, v)

donde ^i y a pueden ser positivos o negativos. Esta función nos caracteriza el paso de un estado {X, Y) a un estado (X - a, Y+ R), movicndonos a lo iargo de la misma curva de indiferencia. La condición necesaria y suficiente para que estas funciones de transacción sean independientes de V, es q ue U(x, Y) = U(x^, y+ h(x^, x)) ^y que el verificarse que la función de transacción sea independiente de y implique que en el plano (x, y) de las curvas de indiferencia c^V/c3x =,^(x) (5).

ANAL.ISIS DF l'!ti C`ASO PARTIC'L'L_AR DE: FUNCION DE. t'TIL.II)AD

j^5

PARTlCULARIZACION Consideremos el caso particular de dos atributos donde tenga sentido establecer transacciones entre ellos (un aumento de uno tiene que ir acompañado por urta djsminución del otro), como es para el caso de enfermos crónicos los atributos tiempo de vida (medidos en años) y estado de salud (cuantificado por su rendimiento labora.i u otra caracteristica). Supongamos que la función de transacción entre estos dos atributos verifica las condiciones expresadas anteriormente, o sea, si un individuo que se supone tiene un tiempo de vida y; está dispuesto a sacrificar una parte de longevidad ^i a costa de una ganancia a en su estado de sal ud x; , estará dispuesto ^ sacrificar la misma fracción de años de vida para cualquier otro valor de y, y^ y; , con la misma ganancia en el estado de salud, dado que la función de transacción no depende de y. Por otra parte, decimos que dos atributos,x ey, son mutuamente independientes desde el puntode vistade la utilidad, si las preferencias para loterías sobrex , cony a un nivel fijadoyo, no dependen de yQ y viceversa (4}. Entonces existen unas utilidades marginales para x e y, de modo que ia función de utilidad puede expresarse en fo^-ma cuasi-aditiva; U(x. y) = a U,(x) + b U2(y) + (1 " u- b) U,(x) Uz(y) donde o< u< l, 0< b< 1

ACTITUD ANTE EL RIESGO Para la determinación de esta función de utilidad es necesario hacer alguna hipótesis respecto a la actitud ante el riesgo del decisor. La adversión proporcional al riesgo (segvn Pratt) o adversión relativa al riesgo (según Arrow) se define para una función de utilidad u(x), cuya segunda derivada suponemos que existe, como r*(x) = - X • U'^(x^ U^ (x) Manteniendo una actitud racional con las propiedades de la función de utilidad, el valor más apropiado para r*{x) es un valor constante y generalmente r*(x) = 1(S).

Entonces podemos demostrar lo siguiente:

t ti I:^i^l^+ l lc ^^ ^.^+l^^tic it ,^

l?

`1^F.^Ot^EMA 5i la^ t^^^ncrc^n^:^ de tr^^n^acción entre .^ e,^^ ^^erltic^^n

^^^^,

c.c^ndicic^ne^ expuest^iti,

entunc:e^ l^.^ ti utili^t^i^..te^+ m^rr^in^ile^ l^' ^( r^ y l`,( ^) pre^entan ^^na p y que existe iím (^-^^. U„(^.1^U'(^'?) , .., o

Con estas hipóiesis, si suponemos que x* y x* son el peor y el mejor estado de salucl, respectivamente, y establecemos una escala de utilidad de forma que U,[.r* )= 0 y U,(.x*) - l, esta funCión de transacción establece que tfi^ > 0, y años en un estado .x* son eyuivalentes a^v añc^^s en un estado x*, donde 1-^ es la proporción de años que el decisor estaria dispuesto a dar a carnbio de obtener una ganancia en el estado de salid, o sea, U^v, x*) = U(pv,

*

Consideramos 1a forma cuasi-aditiva de la función de utiiidad i_.?(_x, v) = uU,(_x) + hU2^v ^ + (I - u- h1U,(x)U2^v) Teniendo en cuenta [ I[, y las condiciones U,(x*) = 0 y lJ,(x*) = 1 tenemos

^ u^ry^ = ^v2^pV, + t^ + ( i - ^ - h^ u^t^y^, ^ti> si

U Z^v ) = log ti^ ,

[21

AtiAL.ISIS I)E t_'ti C'ASO PARTICL"1_AR DE FL!tit_'IOti E)f^, l"I Il.I[)AD

127

entonces los valores para las consianies u= - log p/ 1 - log p,

y,

h= 1 ^ 1- log ^^

son consistentes con [2] teniendo en cuenta que 0 ^ u ^

1,

y,

0^ h^ 1.

La forma funcional u(ti^^ = log y es la forma correspondiente a la postura de adversión proporcional al riesgo constante [cancretamente, al caso en que r*(yJ = l] y hemos visto que es consistente con las hipótesis establecidas para las funciones de transacción. Veamos ahora que, además, es la única consistente con la hipótesis de transacción establecida. D^e la expresión [ Z] se sigue que bU2(y) _ (l - a)U2(py^ + a,

t/v

La adversión absoluta al riesgo era r(y) = U2 (y)^ U^ (y) y en nuestro caso U2(y)^U^(y) = pU^(pv)/U2(Py)^

dy => r(w) = P' r{py ), dy

Por simple inducción, volviendo a sustituir py por y, tendremos

^y) =p^^tp~y) ^Y^oyn^ o Puesto que suponemos existe el lím y r(y) cuando y-^ 0. Vamos a demostrar que r*(y) = yr(y) = cte. Así, para todo y, e y2 lím yr(y) = lím p^ y, r(p "y,) = y^ r(y ^) Y--^ 0

"^ x

l ím yr(Y) = lím,p "y 2 r(p "y ii = y z rl'y ^1 y-^0

n--+ x

Podemos así concluir que Y, rÍy ^) =` y2r(y21 ^ yr(y) = cte.

Luego U2(y) tiene una postura de adversión proporcional al riesgo constante.

E::STADISTICA FSPAN(^LA

Tenemos entonces que una posible expresión de

U f .x , r^• 1 = (

log p) _.' 1og ^^ -{1oB P> (1 r 108 ^) - ^ U,(.x 1

Vemos que esta expresi©n corresponde al caso u + h= 1, de modo que la utilidad tiene forma cor^npletamente aditiva. En este caso, los atributos X e Y tienen valores independientes desde el punto de vista de la distribucián definida sobre eilos, con lo cua! las preferencias para lotenías en las que intervienen los dos atributos dependen sólo de 1as funciones de densidad de probabilidad marginales sobre e11os y no de su funcián de densidad conjunta.

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SUMMARY ANALYSIS OF A PARTICULAR TYPE OF UTILITY FUNCION FOR TWO ATTRIBUTES Multiatribute utility theory (Von Neumann-Morgenstern) is considered in the case of two attributes. We intend to connect funcional forms of utility: the proportional risk posture and the trade-off function. We assume specified properties in the trade-off function in order to achieve a utility function for a decisor which exhibits constant proportional risk adversion posture an+d we analyze a particular case. Key wvrds.• Utility functions, aversion to risk. AMS, 1970. Subject classification.

Pri^nary b2COS, Secandary 90A 10.