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ANALISIS DEL CIRCUITO ELECTRICO EQUIVALENTE DE MUESTRAS OSEAS DESCALIFICADAS OBTENIDO POR ESPECTROSCOPIA Fernando Ireta M. René Martínez C. Bárbara González R. Eduardo Morales S. Miguel Hernandez F. Jesús Martínez P., J. Merced Lozano. F. Israel Ireta Muñoz.

Universidad de Guanajuato - Cicata IPN Qro. División de Ingenierías campus Irapuato-Salamanca Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km 3.5+1.8, Salamanca, Gto. Tel: (464) 6479940 ext: 2351 Fax: ext:2311 [email protected] RESUMEN. Se muestran los resultados del análisis del circuito eléctrico equivalente obtenido de las muestras óseas descalcificadas de forma controlada; a las cuales se les aplico la prueba de espectroscopia de impedancia eléctrica para obtener su circuito eléctrico equivalente y relacionar cada parte del circuito con los componentes de la muestra ósea; a fin de asociarlo con la perdida de calcio y porosidad; para así determinar algo muy importante que es la frecuencia a la cual la prueba de espectroscopia de impedancia será más sensible para medir los valores de impedancia obtenidos con un puente de impedancia, dado que este resultado es de gran utilidad si se pretende diseñar equipo para realizar pruebas de espectroscopia y tomografía de impedancia eléctrica a fin de detectar una descalcificación ósea que se relacionara posteriormente con la osteoporosis

1. INTRODUCCIÓN. En la División de Ingenierías de la Universidad de Guanajuato y el Centro de Investigación en Tecnología Avanzada CICATA-IPN unidad Querétaro, se desarrollo un proyecto para caracterizar treinta muestras óseas descalcificadas en forma controlada, esto con el fin de relacionar la variación de la perdida de calcio con la porosidad de la muestra ósea, dichas muestras después del tratamiento[1] en la figura 1 (a) se aprecia la muestra sin decalcificar y en (2) con 132 hrs de descalcificación donde se aprecia que se incremento el tamaño de los poros, indicando que la muestra aumento su porosidad . Dichas muestras son molidas y se les realiza una prueba de espectroscopia de impedancia eléctrica empleando un puente HP 4294a, [2], y a partir de estos diagramas de Cole-Cole [3]

obtenidos se puede aplicar el método inverso que consiste en alimentar estos datos al programa Z-view para obtener el circuito equivalente, que es el que se analizara en este articulo para obtener a que se relaciona cada componente del circuito equivalente con los de la muestra ósea, y la más importante determinar la frecuencia central a la cual si se realiza una tomografía de impedancia eléctrica el equipo de medición detectaría de forma más sensible la variación de impedancia que se encuentra asociada con la porosidad y por ende esto se relaciona con la perdida de calcio y el cambio en densitometría ósea.

Figura 1. (a) Hueso sin desclasificar, (b) con 132 hrs de descalcificación De las muestras molidas se coloca una porción en una celda de prueba dieléctrica diseñada para realizar las prueba a una presión de 5 kgF, la cual es conectada al puente HP 4294a y se les realizo la prueba de espectroscopia en el intervalo de 208kHz a 8 MHz obteniéndose el diagrama Cole-Cole de las 30 muestras, en la figura 2 se grafican solo 7 muestras, el diagrama muestra el valor la relación de la parte real (R) contra la parte imaginaria (X) de la impedancia, a cierto valor de frecuencia, entonces cada punto de la grafica del diagrama Cole-Cole es la

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impedancia de la muestra en el intervalo de 208kHz a 8 MHz.

mas iteraciones de los cálculos hasta reducir el valor a lo más mínimo. 1.2 Frecuencia Central La impedancia Z de una muestra descalcificada en un diagrama Cole-Cole obtenida para cierto valor de frecuencia donde Z’ es la parte real y Z’’ la parte imaginaria; la impedancia Z1 mostrada al centro del círculo tendrá la frecuencia central a la cual la respuesta del circuito en la prueba de Espectroscopia, nos daría la mayor sensibilidad en la medición de la relación Z’ y Z’’ como se indica en la figura 4, y en este punto se cumple Z’=Z’’

Figura 2. Diagrama Cole-Cole para solo 7 de las 30 muestras 1.1 Método Inverso Al obtener los diagramas Cole-Cole con estos datos se obtiene el circuito eléctrico equivalente, aplicando el método inverso que consiste en suministrar los datos obtenidos de las pruebas al programa Z-view, y en base a un circuito eléctrico que previamente se selecciona de los modelos con que cuenta el programa como se indica en la figura 3; dicho programa ajusta los datos de los componentes RC que se le dan inicialmente, y conforme realiza las iteraciones compara los datos de la curva Cole-Cole suministrada con la obtenida por el programa, y muestra el porcentaje de error; si es muy grande se realizan varias iteraciones hasta que el error es mínimo.

Figura 4. Frecuencia central del diagrama Cole-Cole dado que Z1 es un circuito RC en paralelo el valor de Z está dado por(1) mostrado a continuación: 𝑍𝑟 𝑍𝑐

𝑍 = 𝑍𝑟 +𝑍𝑐

(1)

Reduciendo 𝑍=

𝑗 𝑅 𝑋𝑐 𝑅 + 𝑗𝑋𝑐

simplificando 𝑍=

Figura 3. Método inverso aplicado para determinar el circuito equivalente. Y en caso de no ajustar un valor mínimo en el error se modifica la configuración del circuito equivalente, se realizan nuevamente

𝑗 𝑅 𝑋𝑐 (𝑅 − 𝑗𝑋𝑐 ) (𝑅 + 𝑗 𝑋𝑐 )(𝑅 − 𝑗𝑋𝑐 ) 𝑅𝑋 2

=

𝑅 𝑋𝑐 (𝑋𝑐 + 𝑗𝑅) 𝑅2 + 𝑋𝑐2

𝑗 𝑅2 𝑋

𝑍 = 𝑅 2 +𝑋𝑐 2 + 𝑅 2 +𝑋𝑐2 𝑐

𝑐

Considerando que Z’=Z’’ por tanto Z’/Z’’=1 por tanto

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1=

𝑅𝑋2 𝑐 𝑅 2 +𝑋 2 𝑐 𝑅2𝑋 𝑐 𝑅 2 +𝑋 2 𝑐

=

figura 8 que para dicha configuración se obtiene una valor mínimo en el error, al comparar la curva del diagrama Cole-Cole obtenida de prueba de espectroscopia con los datos de la simulación obtenida del programa Z-view.

𝑅𝑋𝑐2 𝑅 2 𝑋𝑐

𝑋

1 = 𝑅𝑐 = 𝐶𝑅 1 = 2𝑓𝑅𝐶 El valor de la frecuencia central en(2) sera:

mostrado

1

𝑓 = 2𝑅𝐶

(2)

2. DESARROLLO. Para la obtención del circuito eléctrico equivalente partimos de que el hueso es muy parecido a una cerámica [4], en las cuales el circuito eléctrico equivalente asociado a ellas es una configuración de varios circuitos RC en paralelo conectados en serie[5] como se muestra en la figura 5

Figura 5. Circuito equivalente asociado a cerámicas Por ejemplo obtenemos el circuito equivalente para la muestra M5, inicialmente consideramos un solo circuito RC en paralelo con resistencia en serie la cual nos simulara los valores de resistencia de contacto, suministramos los valores al programa Z-view y se observa que hay un valor muy grande en el error, como se indica en la figura 6, de los resultados de las graficas de la relación Z’ y Z’’, modulo de la impedancia versus frecuencia y ángulo Theta versus frecuencia; por tanto si probamos otra configuración diferente a la conexión RC en serie figura 7 aun el error es muy grande, por lo que simulamos con cuatro circuitos RC paralelo conectados en serie y se emplea nuevamente el programa Z-view para la simulación de la muestra M5, y observamos en la grafica obtenida por el programa de la

Figura 6. Simulación circuito equivalente con un RC en paralelo empleando Z-view

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ósea, para determinar cómo relacionarlos con el material de hueso se realizo una grafica de impedancia versus frecuencia para cada uno de los cuatro circuitos RC de la figura 9 de la muestra M0 y M18, para que al compararlos apreciar si se nota un cambio en la impedancia.

Figura 7. Simulación circuito equivalente con dos RC en paralelo empleando Z-view

2.1 Determinación de compuestos orgánicos y minerales asociados con el circuito equivalente Al contar con los datos del circuito equivalente de las 30 muestras ahora el problema es encontrar, por ejemplo para el circuito de la muestra M18 de los cuatro RC en paralelo a que asocio cada circuito con respecto a los componentes de esta constituido el hueso. El hueso en nuestro caso estaría formado por compuesto minerales y orgánicos, y como el proceso químico que se le aplico para simular una porosidad ,en el circuito debería un circuito RC representar la porosidad de la muestra

Figura 8. Simulación circuito equivalente con 4 RC en paralelo conectados serie

Figura 9. Simulación circuito equivalente con 4 impedancias Z1 a Z4

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El resultado de la simulación de los cuatro circuitos se aprecia en las figuras 10,11,12 y 13.

2.1 Determinación de la frecuencia central de las muestras óseas. Como se menciono anteriormente la frecuencia central se calcula empleando la ecuación (2) con los valores de RC de solo Z1 ya que es la impedancia que cambio más al comparar M0 y M18, en la tabla I son mostrados solo los valores de las muestras 0,5,18,20 y 30 para simplificar la tabla. Tabla I. Valores de los circuitos equivalentes de las muestras óseas

Figura 10. Comparación de Z1 del circuito equivalente de M0 y M18

Sustituyendo los valores para M30 R=1470 y C= 6.12E-11 en ecuación (2) la frecuencia central es: 𝑓=

Figura 11. Comparación de Z2 del circuito equivalente de M0 y M18

1 = 1769148 Hz 2 1470 (6.12E − 11)

Si graficamos las frecuencias centrales de las muestras M1 a M30 como se aprecia en la figura 14, se determina que la frecuencia central promedio es de 1.7 MHz.

Figura 12. Comparación de Z3 del circuito equivalente de M0 y M18

Figura 14. Valores de la frecuencia central y valor promedio de 1.7 MHz

Figura 13. Comparación de Z4 del circuito equivalente de M0 y M18

3. Resultados. De las graficas anteriores se puede observar que solamente la impedancia Z1 fue la que sufrió más variaciones al comparar las muestras descalcificadas M0 y M18, por tanto se puede

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asumir que la impedancia Z1 nos refleja el cambio de porosidad, al analizar las otras graficas se aprecia que varían muy poco los valores de impedancia, y por lo que sabemos que los compuestos minerales estos tienen un alto valor de impedancia[5], de las graficas anteriores si comparamos los valores de Z1 a Z4 de la muestra M18 se observa que Z3 es la de mayor impedancia, por tanto la asociamos con los compuestos minerales como muestra la figura 15. Los valores de Z2 y Z4 son muy parecidos por tanto los podemos asociar a los componentes restantes del hueso como lo son la materia orgánica y la no-homogeneidad de la muestra ósea descalcificada.

5. Bibliografía. [1] Ireta Moreno F., “Determinación de porosidad en muestras óseas descalcificadas empleando análisis de imagen” , Congreso Electro/ 2012, Chihuahua, Chihuahua. [2] Ireta Moreno F., “Espectroscopia Eléctrica aplicada para determinar Osteoporosis en muestras Oseas” , Congreso Electro/ 2010, Chihuahua, Chihuahua. [3] M. Cheney, D. Isaacson, Jonathan C. Newell,(1999). “Electrical Impedance Tomography”, SIAM Review Vol. 41, No 1. pp, 85-101 [4] Gartner, Leslie P. et James L. Hiatt. Texto Atlas de Histología. 3 ed. Editorial Mc Graw Hill. USA, 2007 [5] R A. Moure, R. Jimenez, C. Alemany, L. Pardo., Estudio dieléctrico de cerámicas de textura y microestructura controladas con composiciones (SrBi2Nb2O9)1-x(Bi3TiNbO9) Boletín de la Sociedad Española de Cerámica y Vidrio. Vol. 41 Num. 1 Enero-Febrero

Figura 15. Comparación de las impedancias Z1 a Z4 en la muestra M18 4. Conclusiones. De acuerdo a los resultados obtenidos se concluye si es posible determinar los componentes del hueso que están asociados al circuito equivalente de muestras óseas descalcificadas, por lo que se puede contar con un circuito eléctrico equivalente que nos represente el comportamiento una muestra ósea con cierto porciento de descalcificación. Y en base a su frecuencia central promedio de 1.7 MHz se cuenta con el valor de referencia para continuar realizando investigación para pruebas de tomografía de impedancia eléctrica, ya que para realizar tomografía se requiere conocer la frecuencia de aplicación del voltaje, por tanto se considera que se cumplió el objetivo del proyecto de caracterización del circuito equivalente de muestras óseas descalcificadas.

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