ANÁLISIS DEL MODELO DE DETALLE DE UNA RED PARA CAUDALES PUNTA F. Javier Martínez Solano1; Vicente S. Fuertes Miquel1; José Luis Díaz Arévalo1 Resumen – Dependiendo del nivel de detalle utilizado, los modelos pueden clasificarse en modelos estratégicos y modelos de detalle. En el caso de estos últimos, el objetivo perseguido es en general comprobar la respuesta de la red ante situaciones excepcionales. En general, los datos utilizados para asignar consumos a los nudos se obtienen de las facturaciones de los abonados al servicio. Esto hace que la demanda sea una media temporal del consumo que suaviza los picos de caudal. En otras palabras, estaremos partiendo de datos que siendo ciertos, no representarán la realidad del consumo en estas situaciones. Aunque no de manera generalizada, la afirmación anterior sí será cierta, al menos en aquellas conducciones de menor tamaño, o mejor dicho, que abastecen a un menor número de abonados. En el presente artículo se propone una metodología para asignar cargas correspondientes a consumos punta en modelos de detalle. Esta asignación será válidatanto para el caso de que la red sea ramificada como para el caso de red mallada. Abstract – The models of a water supply network are classified in detailed models and strategic models depending on its characteristics. In the case of detailed model, the objective consist of studying the behaviour of the network when extreme situations occurs. Usually, billing data from customers are used to estimate the demands at the network nodes. This made that demand an average value of the flow. In other words, we are using true data to obtain fictitious situations. This is specially true when the network is smaller. In this article, a methodology to load allocation in detailed models is presented. This load allocation will be valid for both branched and looped networks. Palabras-Clave: Confección de modelos, simulación de redes, análisis de consumos.

1

Grupo Mecánica de Fluidos – Universidad Politécnica de Valencia – Camino de Vera s/n – 46022 Valencia – España. Teléfono: +34 96 387 76 11, Fax: +34 96 387 76 19. E-mail: [email protected].

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de una red de distribución de agua potable pasa necesariamente por la elaboración de un modelo matemática de la misma. Hasta hace unos años, la elaboración de un modelo con un alto nivel de detalle era inviable porque los programas de análisis no podían trabajar con tal cantidad de información, o lo hacían muy lentamente. Con los avances, tanto en hardware como en las técnicas de análisis de redes, el problema de incluir todas las líneas de la red en el modelo ya se ha eliminado. No obstante, la bondad del modelo depende muy directamente de la precisión de los datos de partida. El objetivo de todo modelo matemático es reproducir mediante un ordenador, con la mayor exactitud posible, el comportamiento real del sistema físico que representa. El modelo matemático de una red de transporte de agua consistirá en un conjunto de líneas y nudos que representan a las tuberías, las conexiones y demás elementos de dicha red. Si se trata de una red de distribución de agua potable, el modelo matemático consistirá en un conjunto de elementos que representan a las tuberías, las bombas y estaciones de bombeo, las válvulas reguladoras y automáticas, los depósitos y embalses, y los puntos de consumo o inyección que forman la red.

DATOS 48 x

MODELO MATEMATICO

. RESULTADOS

Figura 1. Concepto de modelo matemático (adaptada de Cabrera et al, 1996).

En el planteamiento de análisis de una red de distribución cabe hacer una distinción según sean los objetivos perseguidos por los modelos utilizados para dicho análisis. En principio, el nivel de detalle y los objetivos perseguidos con el modelo condicionarán el método de elaboración del propio modelo. Por una parte están los modelos estratégicos. En éstos, lo importante es conocer el comportamiento global de la red. Este tipo de modelos se caracterizará por un nivel de detalle bajo, es decir, se trata de modelos arteriales en los que el objetivo primordial es estudiar el comportamiento de las instalaciones más importantes de la red, como son las estaciones de bombeo, los depósitos de regulación y las plantas de producción. Se suelen

utilizar para la toma de decisiones estratégicas, como la optimización de esquemas de bombeo, la evaluación de la suficiencia de los volúmenes de reserva y regulación, etc. Por contra, si se trata de un modelo de detalle, la idea que se persigue es básicamente la de conocer el comportamiento de la red en determinadas situaciones o escenarios. Es el caso de comportamiento de la red cuando sucede una avería en conducciones principales o determinación de los niveles de servicio en los momentos de máxima demanda (lo que llamaremos caudal punta). Este artículo se centra en la determinación de dichos caudales punta y el método de asignación de los mismos a los nudos del modelo.

MÉTODO DE ASIGNACIÓN DE CARGAS PARA CAUDALES PUNTA Naturaleza estadística del consumo

Con la llegada de los Sistemas de Información Geográfica (SIG), aparece la posibilidad de vincular cada abonado a una posición geográfica concreta. Esto facilita enormemente el proceso de asignación de cargas. El proceso es muy sencillo y consiste en relacionar cada abonado con un nudo de la red y asignar su consumo a dicho nudo.

ABONADOS Consumo

ABONADOS Acometida

ACOMETIDAS Consumo Neto

HISTORICOS Rendimiento

ACOMETIDAS Nudo

ACOMETIDAS Consumo Bruto

NUDOS Demanda

Figura 2. Esquema de asignación de cargas punto a punto. La principal ventaja del proceso de asignación de cargas descrito en la figura 2 se detecta cuando se automatiza el mismo. Si se opta por la elaboración de un modelo de detalle,

mediante este método la asignación de cargas se realiza automáticamente antes de empezar la simplificación. Sin embargo, este método tiene un inconveniente igualmente importante debido precisamente a su simplicidad. Conforme aumenta el nivel de detalle, la calidad de los datos debería corresponderse con dicho aumento. Sin embargo, desde el momento que utilizamos caudales medios derivados de las facturaciones de los abonados, perdemos una información vital en el plantemaiento de un modelo de detalle. Como se ha mencionado, el objetivo principal por el cual se utilizan los modelos de detalle es para estudiar la red en situaciones extremas. Sin enbargo, considerar un caudal medio en cada nudo lo que hace es precisamente eliminar la variación temporal del caudal, lo que elimina los picos de caudal que se pueden producir a lo largo del día. El hecho de que las demandas en los nudos del modelo se calculan a partir de consumos en los que el ser humano está implicado convierte dichos consumos en una variable aleatoria en el tiempo, al menos si se pretende representar un comportamiento exacto de la misma. No obstante, varios autores como Arizmendi (1991), Lingireddy et al. (1994) y Buchberger y Wu (1995) han comprobado mediante mediciones que existe una relación directa entre el número de viviendas servidas por una tubería y la relación que hay entre el caudal máximo medido y el caudal medio. Esta relación se conoce como coeficiente de punta, y viene dada por: QP ,k = K p ·Qk

(1)

En esta expresión, QP,k es el caudal máximo que se puede esperar por una tubería k, Qk es el caudal medio circulante por la tubería y Kp es el coeficiente de punta antes comentado. Este valor del coeficiente de punta Kp se puede obtener mediante métodos empíricos basados en mediciones, como es el caso de Arizamendi en España o Lingireddy et al. en los estados norteamericanos de Iowa o Mississippi. También es posible obtener una variación de dicho coeficiente mediante análisis estadístico del comportamiento de los abonados. En cualquier caso, todos estos estudios coinciden en que el coeficiente entre el caudal punta y el caudal medio decrece conforme aumenta el número de viviendas servidas por la tubería (figura 3).

22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Buchberger Fórmula Iowa Fórmula Mississippi Fórmula Arizmendi

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

N

Figura 3. Evolución del coeficiente de punta según varios autores.

Planteamiento general

A continuación se describe el planteamiento general del cálculo utilizado para la determinación de caudales punta en instalaciones. El primer dato necesario es el de las facturaciones de cada abonado. Con éstas se determinarán los caudales medios asignados a cada nudo. A partir de aquí, el cálculo se complicará más o menos en función de si la red es mallada o ramificada. Más adelante se describirá con más detenimiento cada uno de los casos, apoyando ambas explicaciones con un caso de estudio. De momento, se van a describir las líneas generales del método. En la figura 4 se presenta un esquema general del proceso de cálculo.

1000

Facturaciones de Red

Asignación de Cargas Tradicional

NO

¿Red Ramificada?

Análisis Hidráulico

SI

Ordenación Topológica

Ordenación Topológica

Cálculo de Caudales Punta en las Líneas

Cálculo de Caudales Punta en las Líneas

NO

Asignación de Cargas Propuesta

Asignación de Cargas Propuesta

Análisis Hidráulico

Error < Tolerancia

Análisis Hidráulico

SI

FIN

Figura 4. Flujograma para la implantación de la asignación de cargas en modelos de detalle en una red de distribución de agua.

La principal dificultad para aplicar este método en redes malladas viene de la incertidumbre que hay en las conducciones sobre la dirección que llevará el caudal en ellas. Lo que se persigue con este trabajo es extender los esfuerzos realizados en redes ramificadas a las redes malladas, que son, paradójicamente, las más abundantes. Como se ha visto, para determinar el caudal punta esperado con una determinada probabilidad de ocurrencia es necesario disponer, de una parte, del caudal medio consumido por cada vivienda y, de otra parte, de una estimación del comportamiento de los aparatos instalados en la propia vivienda.

El primer dato es fácilmente deducible a partir de las facturaciones de agua potable. Sin embargo, el segundo dato es menos inmediato de obtener. Para conseguirlo, es necesario realizar un programa de mediciones para ajustar los resultados mediante métodos estadísticos a una distribución, que en el caso propuesto sería la distribución normal. La alternativa a estas mediciones pasa por la comparación con instalaciones similares donde se hayan realizado dichas mediciones. Una vez se dispone de estos datos, será necesario determinar el nivel de probabilidad para el que queremos realizar el cálculo. En los modelos de detalle, como ya se dijo, interesará conocer el funcionamiento de la red en situaciones extremas en todos los puntos de la misma. Así pues, es necesario calcular un caudal punta para una cierta probabilidad de ocurrencia. Para poder trabajar con las redes malladas será necesario conocer la dirección del caudal en cada tubería. Puesto que el caudal en las líneas es el resultado del análisis hidráulico, en el caso de las redes malladas se ha de empezar realizando un análisis hidráulico tradicional. Este cálculo preliminar ha de respetar la ecuación de continuidad en los nudos para una hipótesis de caudales consistente en, por ejemplo, la de caudales medios facturados en cada nudo a partir de la asignación de cargas realizada. Una vez terminado dicho cálculo, se dispondrá de un estimación de la dirección del agua en cada tubería. Según se ha descrito, para determinar el caudal punta en una rama de la red será necesario, por tanto, conocer exactamente el número de viviendas abastecidas por dicha rama. Para ser más exactos, será necesario conocer el caudal medio consumido por cada una de las viviendas. En redes ramificadas esto es prácticamente inmediato, pues todas las ramas de la red tienen un único sentido de circulación del caudal. Sin embargo, en el caso de redes malladas este cálculo se complica y ha de recurrirse a la iteración para determinar el sentido correcto de circulación del caudal. El cálculo de los caudales punta en una red ramificada, al igual que sucede con el problema de diseño de este tipo de redes, es un problema sencillo. Este simplicidad se deriva del hecho de que tanto el número de viviendas abastecidas como los consumos demandados en cada nudo se obtienen directamente a partir de la propia asignación de cargas. En las redes ramificadas el sentido de circulación del caudal por las líneas es único, por lo que no hay problemas con la orientación de las mismas. Puesto que la aplicación de este tipo de métodos de cálculo está suficientemente resulta en redes ramificadas, a continuación se describen el método de cálculo del caudal punta en las líneas de una red mallada. Se parte de una situación en la que ya se ha procedido a un primer cálculo según un método de análisis tradicional, que verifica la ecuación de continuidad en los nudos.

Ordenación topológica de la red

Una vez realizado el cálculo hidráulico correspondiente a caudales medios se tiene, para cada línea, un caudal que será positivo si mantiene la orientación predefinida para la línea y negativo si el sentido de circulación es el inverso al de la orientación almacenada en el SIG.

A partir de aquí se procederá con la ordenación topológica de las conducciones en función de su orientación. Esta ordenación consiste en los siguientes pasos: a) Para cada una de las tuberías, se comprueba si el caudal resultado del cálculo es positivo o negativo. Así, si el caudal es positivo se deja la conducción como está, pero si es negativo se invierte la definición de los nudos extremos: el que aparecía como nudo inicial pasa a ser nudo final y viceversa. b) Una vez corregidas las anomalías que pudiere haber en la orientación de las conducciones, se procede a rellenar las listas de adyacencia. Cada nudo tendrá sendos vectores, uno con una referencia a las conducciones que aportan agua al nudo y otro con otra referencia a las conducciones que parten de dicho nudo. Una vez concluido este paso se dispondrá de toda la información sobre conectividad almacenada en los nudos. c) El siguiente paso consistirá en la ordenación topológica propiamente dicha. Para determinar el número de viviendas que abastece cada tubería ha de empezarse por los nudos extremos y recorrer la red en sentido inverso acumulando progresivamente el número de viviendas. Como se ha comentado, lo que realmente interesa es tener el dato del caudal que circulará por la conducción cuando el caudal demandado por cada vivienda sea el caudal medio. El resultado de esta ordenación topológica es establecer un orden de cálculo de los nudos y, por consiguiente, de las conducciones. d) Los depósitos son, por su propia definición, nudos extremos por los que el agua entra o sale de la red. Por lo tanto éstos se marcarán como últimos nudos en ser calculados. Aquí, hablar de un nudo calculado significa que, si se sigue el orden topológico descrito, el caudal punta de todas las conducciones situadas aguas abajo del mismo ya ha sido calculado. e) Para los nudos de consumo, se utiliza un algoritmo recursivo, denominado algoritmo de búsqueda en profundidad (Sedgewick, 1995). El objetivo de dicho algoritmo es establecer el orden de cálculo de los diferentes elementos de la red, así como definir la componente conexa de cada nudo de la red.

Determinación del caudal punta

En el lado derecho de la figura 4 se muestra el diagrama de flujo que se ha seguido para el cálculo de los caudales. Al tratarse realmente de un modelo de detalle, el proceso de asignación de cargas será similar al descrito en la figura 2. Una vez realizada esta asignación, se procede a un primer cálculo hidráulico de la red. En este primer cálculo, las asignaciones y los caudales calculados en las líneas verificarán la ecuación de continuidad. Tras el cálculo hidráulico se obtiene como resultado un caudal para cada línea. Así, una línea que una dos nudos i y j dará como resultado un caudal Qij. A continuación se entra en el bucle principal del proceso.

A partir de los resultados del análisis anterior se procede a la ordenación topológica de la red. Esta ordenación tiene un doble objetivo: •

En primer lugar, se pretende ordenar las conducciones de tal manera que los caudales sean siempre positivos. Recuérdese en el algoritmo de cálculo devuelve caudales positivos si la orientación de la línea es coincidente con la dirección del flujo y caudales negativos en caso contrario.

•

En segundo lugar, se pretende conocer cuántos abonados reciben agua de cada tubería. Este es el objetivo principal, pues como se ha comentado, la asignación depende del número de viviendas abastecidas y del caudal demandado por éstas.

Una vez ordenada la red, se han de determinar las viviendas que reciban agua de cada conducción. Una vivienda recibe agua de una conducción si existe un camino que una la conducción con el nudo de consumo al cual se le ha asignado dicha vivienda. A partir del número de viviendas de cada conducción (y, por consiguiente, del caudal acumulado por las mismas) se puede determinar el coeficiente de punta que se tiene en la misma. Este coeficiente de punta se aplicará al caudal medio de cada conducción para obtener un caudal punta en la misma. Aquí ha de tenerse presente el hecho de que, aunque una conducción suministre agua a N viviendas, en una red mallada no todo el caudal consumido por éstas circulará por dicha conducción, sino que lo hará sólo una parte del mismo. Esto es, una vivienda puede ser abastecida por dos conducciones y el comportamiento de la misma ha de afectar a ambas, pero el caudal ha de repartirse entre las mismas. Así, el caudal punta calculado para una determinada conducción dependerá no sólo del número de viviendas abastecidas por ésta, sino también de cuánto caudal proporcione la conducción.

NX, QX, qX

j = 1, … LX

QjY j = 1, … LY QXY

X

QjX

NY, QY, qY

Y

QXi

i = 1, … MX

Figura 5. Esquema del balance de caudales y notación utilizada en un nudo.

Sea un nudo X cualquiera de la red mallada, con LX líneas que aportan agua al mismo y otras MX líneas que parten de él, tal y como se muestra en la Erro! Argumento de opção desconhecido.. Según esta figura, cualquier nudo que reciba agua de las tuberías que parten del nudo X, también recibirá agua de las tuberías que llegan a X. Sin embargo, la determinación de estos nudos no es tan sencilla como ir sumando los abonados de los nudos aguas abajo y los abonados propios. Si se hiciese así, si existen varios caminos que conectan un determinado nudo con otro, los abonados del primero se acumularían en el segundo tantas veces como caminos distintos se puedan definir. Por ello hay que recurrir al concepto de componente conexa. Dada una red, se define como componente conexa de un nudo al subconjunto de la misma que recoge todos los elementos a los que se puede llegar partiendo de ese nudo, siguiendo las líneas de la red y respetando sus respectivas orientaciones. Se trabajará para cada nudo de la red con un vector que recogerá todos los nudos que forman parte de la componente conexa del nudo inicial. Así para un determinado nudo X, el número acumulado de viviendas será la suma de las viviendas de todos los nudos que se encuentren en su componente conexa. De la misma forma, el coeficiente de punta de todas las líneas que llegan a dicho nudo X se calculará a partir de este número de viviendas acumulado. Para cualquier línea, el caudal punta calculado vendrá dado por la expresión:

Q P,ij = K P,ij

Qij ∑ Q kj

Q Pj

(2)

En esta expresión y siguiendo la notación presentada en la figura 5, se tiene que: QP,ij

caudal punta estimado para la línea que une los nudos i y j.

KP,ij

coeficiente de punta correspondiente a esa misma línea.

Qij

caudal calculado en la línea que une los nudos i y j.

QP,j

caudal medio acumulado en el nudo j.

Lj conjunto de nudos con conexión directa con el nudo j mediante una línea y topológicamente situados aguas arriba del mismo.

Supóngase que se quiere calcular el caudal punta en la línea XY de la figura 5. Sea QXi el caudal calculado en cada una de las líneas salientes y QjX el caudal calculado en cada línea entrante. Si QX es el caudal asignado como demanda en el nudo X, según la notación mostrada en la figura 5 se ha de cumplir:

LX

MX

j =1

i =1

∑ Q jX = ∑ QXi + QX

(3)

El balance anterior es simplemente la ecuación de continuidad. En ella, MX y LX son sendos conjuntos de nudos con conexión directa con el nudo X mediante una línea y topológicamente situados respectivamente aguas abajo y aguas arriba del mismo. Por otra parte, como ya se comentó en el apartado anterior, KP,jX es un coeficiente de punta idéntico para las LX líneas que llegan al nudo X. Puesto que todos los abonados situados aguas abajo del nudo X y los propios abonados cargados en el nudo X son abastecidos en mayor o menor medida por todas las líneas que llegan a dicho punto, las LX líneas que llegan al nudo X tendrán exactamente el mismo valor del coeficiente de punta. En cualquier caso, posteriormente se deberá calcular un caudal punta distinto en cada una en función de la contribución que ésta tenga en la alimentación de los nudos. En el cálculo de KP,jX el caudal utilizado para determinar el factor de utilización será la suma de los caudales demandados por los m nudos que forman parte de la componente conexa de X. Esto tiene una importante implicación en el cálculo: mientras no haya un nuevo cambio en la orientación que implique a su vez una alteración de la componente conexa de X, de las conducciones los valores de los coeficientes de punta se mantendrán constantes.

Una vez determinado el coeficiente de punta de cada línea, será necesario determinar el caudal medio acumulado hasta esa línea para poder determinar el caudal punta estimado en la misma. Por caudal acumulado en un nudo se entiende la demanda media acumulada en ese nudo teniendo en cuenta un reparto proporcional a los caudales previamente calculados. El caudal acumulado constará básicamente de dos términos. Por una parte el consumo medio demandado en el nudo X, qX. Resulta obvio que este caudal es satisfecho exclusivamente por las líneas que aportan agua al propio nudo X. Por otra parte, de los MX nudos situados aguas abajo de X, parte de su demanda será cubierta por líneas procedentes del propio nudo X y parte será satisfecha por el resto de las líneas que llegan a cada uno de esos nudos. Así, si se considera un nudo i situado aguas abajo de X, la aportación de dicho nudo i al caudal acumulado en X será:

Q Xi

·QP ,i

Lj

∑Q j =1

∀ i = 1,... M X

(4)

ji

Así, para el nudo X el caudal acumulado vendrá dado por:

QP , X

    MX  Q Xi  = qX + ∑  Lj ·QP ,i  i =1  ∑ Q ji    = j 1  

(5)

Ha de hacerse constar la diferencia entre qX, obtenido a partir de las facturaciones de los abonados y QX, obtenido tras el proceso de asignación de cargas. Por ello, si tras el cálculo resulta para una determinada línea de llegada al nudo un coeficiente de punta KP,jX, el caudal punta en dicha línea QP,jX se calculará teniendo en cuenta cuál es el reparto de caudales en el nudo X que se está considerando, según la expresión (2). Una vez calculado éste, el siguiente paso será ajustar las demandas en los nudos para forzar que en la nueva iteración que se vaya a realizar, el caudal en las líneas sea lo más cercano posible al calculado en la ecuación (5) teniendo en cuenta que el cálculo hidráulico obliga a cumplir la ecuación de continuidad.

El último paso en cada iteración será determinar las demandas que hay que utilizar en cada nudo para que se verifique dicho caudal punta. Esto es necesario porque el programa de análisis hidráulico sí precisa que se cumpla la condición de continuidad en los nudos, por lo que las demandas en éstos serán ficticias, y no las reales que se asignaron mediante el método punto a punto. Esta asignación de cargas se hará a partir de los cálculos anteriores según un balance de caudales que debe corregir las diferencias que se produzcan al aplicar la ecuación de continuidad con los caudales punta que se han calculado. Este nuevo caudal demandado en el nudo X, QX, tiene, obviamente, un carácter artificial y vendrá dado por:

LX

MX

j =1

i =1

Q X = ∑ QP , jX − ∑ QP , Xi

(6)

Con esta nueva asignación de cargas ya se estará en condiciones de afrontar un nuevo cálculo hidráulico. Tras él, se calculará el error cometido entre los resultados obtenidos y los resultados previstos. Si éste excede un cierto margen de error o tolerancia, se deberá repetir la operación corrigiendo el reparto de los caudales en las conducciones.

CASO DE ESTUDIO

A continuación se describe mediante un segundo ejemplo el proceso iterativo para cálculo de caudales punta en redes malladas. Para ello se ha escogido una sencilla red que contiene una única malla. A pesar de su sencillez, servirá par ilustrar el método antes comentado. Para este ejemplo se supondrá que el depósito de alimentación está situado a 50 metros de altitud y los nudos de consumo a cota 0. Además, se admite una rugosidad de 0,1 mm en todas las tuberías.

50 m

30 viviendas 30 l/min

E

6

5

1

20 viviendas 20 l/min

A 2

D

20 viviendas 20 l/min

4 10 viviendas 10 l/min

B

Línea 1 2 3 4 5 6

D(mm)

L(m)

50 40 25 32 40 32

120 35 10 15 30 15

3 C

30 viviendas 30 l/min

Figura 6. Red ejemplo de aplicación a una red mallada.

En el cálculo se ha programado el proceso iterativo utilizando la herramienta EPANET 2 Programmer’s Toolkit (Rossman, 2000). Esta herramienta permite obtener en cada iteración el reparto de caudales en cada línea y modificar los caudales asignados a los nudos como paso previo a la siguiente iteración. Estos caudales son los que han de servir para calcular el caudal punta esperado por dicha tubería. En la tabla siguiente se presentan los resultados obtenidos para el cálculo hidráulico previo. El caudal calculado Q es, en este caso, el correspondiente al caso en el cual los nudos demandaran el caudal medio obtenido a partir de las facturaciones. Simultáneamente, se corrigen las orientaciones de las tuberías que pudieren conducir a caudales negativos (en sentido inverso al utilizado en la introducción de los datos). Los resultados de la primera iteración se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 1. Resultados del análisis hidráulico inicial. Datos Nudos A B C D E

Resultados Hidráulicos Qd (l/min) Tubería Q (l/min) 20 1 110,000 10 2 45,085 30 3 30,00 20 4 5,085 30 5 44,915 6 - 14,915

En este ejemplo, la tubería 6 se ha definido para ir desde el nudo D al nudo E, pero el resultado del cálculo contradice esa definición (pues da un caudal negativo para esta línea) y el caudal va desde E hasta D. Durante la ordenación este hecho ha de ser corregido. Una vez realizada la ordenación topológica, se procede a calcular el coeficiente de punta para cada conducción. Para la determinación del coeficiente de punta se ha obtenido mediante análisis estad´sitico de consumos, la siguiente expresión en función del número de viviendas N: KP =

17,12 + 2,185 N

(7)

A modo de ejemplo se realiza a continuación el cálculo detallado para la primera iteración. Se comenzará calculando los caudales acumulados en cada uno de los nudos tal y como se ha descrito anteriormente según la ecuación (5). Los resultados de estos caudales acumulados se muestran en la tabla 2. Obsérvese en dicha tabla que el orden del cálculo ha de ser necesariamente el que marca la ordenación topológica.

Tabla 2. Caudales acumulados en los nudos tras el primer cálculo.

C

Componente Conexa C

D

Nudos

Di (l/min) QP,i (l/min) 30

QP ,C = 30

D

20

QP , D = 20

E

E, D

30

QP , E = 30 +

B

B, C, D

10

QP , B

A

A, B, C, D, E

20

QP , B

14,915 ·20 = 44,915 5,085 + 14,915 30 5,085 ·20 = 45,085 = 10 + ·30 + 30 5,085 + 14,915 44,915 45,085 ·35,085 + ·54,915 = 110 = 20 + 44,915 45,085

Una vez calculados los caudales acumulados en los nudos, el siguiente paso será calcular los coeficientes de punta y el caudal punta esperado. Este último se calculará con el coeficiente punta calculado y los caudales acumulados anteriores según las ecuaciones (7) y (2) respectivamente. A continuación se detalla el cálculo del caudal punta correspondiente a la tubería 2 a partir de los resultados obtenidos. Dicha tubería aporta agua a los nudos B, C y D, es decir, a los nudos que forman parte de la componente conexa de B tras realizar la ordenación topológica. Esto supone un caudal medio demandado de 60 l/min y un total de 60 viviendas

abastecidas. Por tanto, el coeficiente de punta para esta tubería será, según (7), KP,2 = 4,3952. Con este coeficiente de punta, y según la ecuación (2) se obtendrá el caudal punta esperado en la línea 2:

QP , 2 = K P , 2 ·

Q2 45,085 ·QP , B = 4,3952· ·45,085 = 198,157 Q2 45,085

(8)

El resto de caudales punta esperados se muestran en la tabla 3.

Tabla 3. Caudales punta esperados en cada una de las líneas. Tubería 1 2 3 4 5 6

N (viviendas) 110 60 30 20 50 20

KP 3,817 4,395 5,310 6,013 4,606 6,013

QP (l/min) 419,87 198,16 158,12 30,58 230,30 89,68

Con estos caudales punta se calculan las nuevas demandas en los nudos según la ecuación (6) vista anteriormente. Una vez calculados, se procederá a un nuevo cálculo hidráulico, hasta que los caudales de las líneas procedentes del análisis hidráulico coincidan con los caudales punta calculados o bien el error medio cometido en el conjunto de todas las tuberías no supere una cierta tolerancia. En esta primera iteración, el error cometido asciende a 169134,7, claramente inadmisible tratándose de un error en tanto por uno. Si los caudales procedentes del cálculo hidráulico son todos positivos, los coeficientes de punta no variarán. Procederemos de igual manera mientras el error esté por encima de nuestras hasta que se alcanza el resultado final. En este ejemplo, son necesarias un total de seis iteraciones para alcanzar dicho resultado. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 5.

Tabla 4. Resultados definitivos tras la 6ª iteración. Demanda en los nudos Nudos Qd (l/min) A 16,22 B 7,59 C 158,12 D 120,80 E 118,31 Error

Caudales en las líneas Tubería Q (l/min) 1 421,04 2 204,44 3 158,12 4 38,74 5 200,37 6 82,06