´ Angulos y segmentos proporcionales en la circunferencia Circunferencia Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina di´ ametro, el cual equivale a dos veces el radio. NOTA: No se debe confundir con el c´ırculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos. r = AO (radio) r = BO (radio) d = AB (di´ametro) De lo anterior se deduce que: AO + BO = 2r AB = 2r = d

´ Angulos en la circunferencia ´ Angulo central Su v´ertice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios. El ´angulo central tiene por medida, la medida, la misma medida que el arco que subtiende. d α = BA Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario. ´ Angulo inscrito Su v´ertice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas. α=

d BA 2

El ´angulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.

´ Angulo interior Es el ´angulo formado por la intercepci´on de dos cuerdas cualesquiera, su v´ertice se ubica en el interior de la circunferencia. La medida del ´angulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia α=

d + DC d BA 2

´ Angulo exterior Es el ´angulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo v´ertice se ubica fuera de la circunferencia. La medida del ´angulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia α=

d − DC d BA 2

´ Angulo seminscrito Su v´ertice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda. La medida del ´angulo semiinscrito, es congruente, a la medida del ´angulo inscrito que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende. α=

d BA 2

α=β

Corolarios

´ 1. Todos los Angulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes. d α = β = γ = ED

2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto. α = β = γ = 90◦

´ 3. Los Angulos Opuestos en un cuadril´atero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son suplementarios (suman 180◦ ). α + β = γ + δ = 180◦

4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. T ⊥r 5. El ´angulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia. x + α = 180◦ 6. Dos l´ıneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes.

C´ırculo Sector circular

π · r2 · α ´ Area del sector = 360◦

Segmento circular

π · r2 · α ´ ´ − Area △ AOB Area segmento circular = 360◦

Corona o anillo circular

´ Area del anillo = π · (R2 − r2 ) R = radio c´ırculo mayor. r = radio c´ırculo menor.

Proporcionalidad en la circunferencia Teorema de las cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra, es decir: AP · P B = CP · P D Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior, es decir: PA · PC = PB · PD Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geom´etrica entre la secante y su segmento exterior 2 PT = PA · PB

Ejercicios 1. En la figura AB ∼ = BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE , entonces el ´angulo α mide: a) 10◦ b) 40◦ c) 20◦ d ) 70◦ e) 80◦ 2. En la figura, se tiene un semic´ırculo de centro O y ∠BAC = 20◦ . El valor del ∠x es: a) 20◦ b) 35◦ c) 40◦ d ) 55◦ e) 70◦ 3. En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el tri´angulo ABC, el ´angulo CAB mide 22◦ , entonces el valor del ´angulo α es: a) 68◦ b) 66◦ c) 57◦ d ) 44◦ e) Ninguno de los valores anteriores 4. En la circunferencia de centro O y di´ametro AB de la figura, la medida del ´angulo x es: a) 32◦ b) 26◦ c) 38◦ d ) 52◦ e) 64◦

5. En la figura, CD es un di´ametro de la circunferencia de centro O. Si el ∠BOD = 20◦ y el arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? I) ∠CBO = 20◦ II) ∠CAO = ∠AOD III) ∠AOD = ∠BOD a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo I y II d ) S´olo II y III e) I, II y III 6. En la semicircunferencia de centro O de la figura, el ∠BOC mide 100o . ¿Cu´anto mide el ∠AED en el tri´angulo is´osceles AED? a) 70◦ b) 50◦ c) 40◦ d ) 20◦ e) Ninguno de los valores anteriores 7. En la figura, el ´angulo del centro correspondiente al arco P Q mide 110◦ . Si R es un punto cualquiera del arco P Q, el ∠x mide: a) 55◦ b) 70◦ c) 110◦ d ) 125◦ e) 220◦

8. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es di´ametro, ∠DOC = 60◦ y DB es bisectriz del ∠OBC . ¿Cu´al(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) △OBC ∼ = △AOD II) △ACB ∼ = △BDA

III) △AED ∼ = △BEC a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo III d ) S´olo I y II e) I, II y III

9. En la figura, AB es el di´ametro de la circunferencia de centro O, ¿cu´al es la medida del ´angulo x? a) 20◦ b) 40◦ c) 70◦ d ) 110◦ e) 160◦ √

2 10. En la figura, ¿cu´al es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda AC = y el 2 o ´angulo ABC es inscrito de 45 ? √ 2 a) 4 b)

1 3

c)

1 4

d)

1 2

e) 1 11. Si dos circunferencias son congruentes, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? a) S´olo III b) S´olo I y II c) S´olo I y III d ) S´olo II y III e) I, II y III

I) Sus per´ımetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes.

12. Se tiene el tri´angulo ABC is´osceles rect´angulo en A. Sus catetos miden 1. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC . ¿Cu´anto vale el radio de la semicircunferencia inscrita? √ a) 2 + 1 √ 2 b) 2 √ c) 2 − 1 √ d) 3 − 1 √ e) 2 − 2 13. En la circunferencia de centro O de la figura, el ´angulo OCB mide 24◦ . ¿Cu´al es la medida del ´angulo AOC? a) 12◦ b) 24◦ c) 48◦ d ) 132◦ e) 156◦ 14. En la figura, P T es tangente en P a la circunferencia circunscrita al tri´angulo P QR. La medida del ´angulo α es:

a) 80◦ b) 100◦ c) 120◦ d ) 125◦ e) 130◦

15. En la figura, los puntos A, B y C est´an sobre la circunferencia de radio r y la medida del ´angulo ACB es 30o . La longitud del arco AB es: a)

1 πr 3

b)

1 πr 6

c)

2 πr 3

d)

1 πr 12

e) Ninguna de las anteriores

16. En la circunferencia de centro O de la figura, si α + β = 32◦ , entonces el valor del ´angulo γ es: a) 16◦ b) 32◦ c) 48◦ d ) 64◦ e) Indeterminable 17. En la figura, la medida del ´angulo inscrito α en la circunferencia de centro O es: a) 60◦ b) 70◦ c) 80◦ d ) 110◦ e) 120◦ 18. En la circunferencia de la figura. AB // DC , ¿Cu´al(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) α = β II) γ = α + β III) α + β + γ = 180◦ a) S´olo III b) S´olo I y II c) S´olo I y III d ) S´olo II y III e) I, II y III 19. En la circunferencia de centro O, AD es di´ametro y ∠ABC = 2∠DAB. La medida del ∠ABC es: a) 100◦ b) 30◦ c) 35◦ d ) 60◦ e) 70◦

20. Seg´ un la siguiente figura, en el tri´angulo ABC se traza una semicircunferencia con di´ametro AB. Entonces es verdadero que: a) AR es perpendicular a BC b) △ABC es is´osceles c) △ARC es is´osceles d ) AR es simetral de BC e) △ABR es equil´atero 21. ABC es un tri´angulo is´osceles de base AB , si el ´angulo ACB = 52o entonces el ´angulo x mide: a) 64◦ b) 104◦ c) 128◦ d ) 138◦ e) Ninguna de las anteriores 22. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al di´ametro AB , ¿cu´al de las siguientes relaciones es siempre verdadera? a) α + β = δ b) α = β c) (α + β) > 90◦ d) α = β = δ e) δ =

α+β 2

23. En la figura EB y F C son di´ametros de la circunferencia de centro O y CF es bisectriz del ´angulo ECA. La medida del ∠x es: a) 60◦ b) 40◦ c) 80◦ d ) 90◦ e) 120◦

24. Si en la circunferencia de di´ametro 30 cm de la figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide: a) 6 cm b) 12 cm c) 18 cm d ) 20 cm e) 24 cm 25. En la figura, P Q es un di´ametro de la circunferencia de centro O y radio r. P R es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de P M , en t´erminos de r, es: a) r √ r 5 b) 2 √ r 3 c) 2 √ r 2 d) 2 e)

4r 3

26. En la figura, los puntos P , Q, R y S est´an sobre la circunferencia de centro O. Si QT : T P = 3 : 4, QT = 6 y ST = 12, entonces RT mide: a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 27. En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y di´ametro AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la cuerda CD perpendicular al di´ametro, entonces la longitud de la cuerda CD es: √ a) r 3 √ b) r 2 3 √ r 3 2 2 √ d) r 3 3 c)

e)

3 r 2

28. En una circunferencia de di´ametro 20 cm la distancia desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide: a) 8 cm b) 10 cm c) 12 cm d ) 16 cm e) Ninguno de los valores anteriores 29. En la circunferencia de centro O, AB es di´ametro, CD⊥BD, CD = 4, BD = 3. El radio es: a) 5 b)

25 3

c)

5 3

d)

25 9

e)

25 6

30. En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, M P = OP ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) M Q = 6 √ II) P Q = 3 3 √ III) QN = 6 3 a) S´olo I b) S´olo III c) S´olo I y II d ) S´olo II y III e) I, II y III 31. En la figura, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O est´a en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cu´antos cent´ımetros mide el di´ametro? a) 8 b) 16 c) 9 d ) 16, 6 e) 24, 6