0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

1

Aplicaciones de la derivada En esta sección vamos a dedicarnos a calcular los máximos y mínimos de funciones con diferentes propósitos. En muchas situaciones de la vida real se requiere de la optimización de una cantidad. Otras veces, la naturaleza opera de manera que minimiza algo, por ejemplo, la electricidad siempre pasa a través del medio que ofrece mínima resistencia, la luz, al pasar de un medio a otro, siempre sigue una trayectoria que hace mínimo el tiempo de trayecto de un punto a otro, etc. En este tipo de problemas siempre es recomendable primero identificar la variable que se desea minimizar (o maximizar), luego hacer un modelo matemático del problema relacionando las variables que están involucradas en el problema. Después optimizar (minimizar o maximizar) la cantidad que deseamos.

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

Encuentra dos números que su suma sea 10 y su producto sea máximo.

Ejemplo 1

• Sean x e y los dos números buscados. • Dado que su suma es 10, se cumple: x + y = 10. • De esta ecuación podemos despejar y y obtener: y = 10 − x. • En palabras esto nos dice que si un número es x el otro debe ser 10 − x. • Eso es obvio, pues los dos números suman 10. • Queremos que el producto p = x · y sea máximo. Entonces, p = x · y = x · (10 − x ) = 10 x − x2 • Para maximizar la función derivamos, igualamos a cero y resolvemos para x: dp = 10 − 2 x dx

⇒

x=5

• Si la suma de dos números es diez y uno de ellos es 5, pues el otro también debe ser cinco. • Verifica este resultado calculando los productos de los números enteros positivos que sumados dan diez.

Un granjero tiene 250 metros de malla para cercar un corral para caballos. Él desea que el corral sea rectangular y que tenga la mayor superficie posible. ¿Cuáles son las dimensiones de ese corral? • Empezamos haciendo un dibujo para ilustrar la situación:

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

Ejemplo 2

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

y

2

A = x·y

x • Ya sabemos que tiene 250 metros de malla. • Entonces, el perímetro del corral será esa distancia. • Matemáticamente y de acuerdo a la figura tenemos:

⇒

2 x + 2 y = 250

x + y = 125

• De esta ecuación podemos despejar y y obtener: y = 125 − x • Esto nos permite reescribir el área del corral como: A = x · y = x · (125 − x ) = 125 x − x2 • Nosotros queremos maximizar el área del corral, así que: dA = 125 − 2 x = 0 dx

⇒

x=

125 = 62.5 metros. 2

• La base del rectángulo, es decir, el largo del corral será de 62.5 metros. • La altura del rectángulo, es decir, el ancho del corral será de: y = 125 − x = 125 − 62.5 = 62.5 metros. • En otras palabras, el corral que tiene la mayor superficie es un cuadrado donde cada lado mide 62.5 metros. • El perímetro del corral es: (4)(62.5) = 250 metros. • El área del corral es: (62.5)(62.5) = 3906.25 metros cuadrados.

Ejemplo 3

Considerando el problema del ejemplo anterior, ahora el granjero decide colocar el corral de manera que una pared que tiene de un granero sirva como una de las paredes para aumentar el área para los caballos en el corral. ¿Qué dimensiones tendrá ahora el corral?

• Ahora tenemos la siguiente situación geométrica:

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

3

Pared

y

y

A = x·y

x • Ahora los 250 metros de malla que tiene para cercar tendrán que cubrir los 3 lados indicados en la figura. • Entonces, la ecuación del perímetro será ahora: x + 2 y = 250

⇒

y = 125 −

x 2

• Y la fórmula para el área del corral será: A = x · y = x · (125 −

x x2 ) = 125 x − 2 2

• Para calcular el máximo de esta función, derivamos e igualamos a cero: dA = 125 − x = 0 dx

⇒

x = 125 metros.

• Ahora podemos calcular el valor de y: y = 125 −

125 x = 125 − = 62.5 metros. 2 2

• Y el área del nuevo corral será: A = x · y = (125)(62.5) = 7 812.5 metros cuadrados. • Con lo que terminamos. • Verifica que el punto crítico que hemos encontrado se trata de un máximo.

El diseño de la página de un libro contempla un margen alrededor del texto de una pulgada de ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que el área de texto sea la mayor posible si el área total de la página será de 120 pulgadas cuadradas?

• Este problema involucra ahora dos áreas. • El área que deseamos maximizar es el área donde estará el texto del libro. • La siguiente figura muestra gráficamente la situación: Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

Ejemplo 4

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

4

Margen

Texto de la página

y

1 1 x • El área de toda la página es: Ah = x · y = 120. • De aquí podemos despejar y para obtener: y = 120/x. • Por otra parte, el área de texto que contendrá el libro es: At = ( x − 2)(y − 2). • Ahora sustituimos y = 120/x en la fórmula para el área de texto:   −2 x2 + 124 x − 240 240 120 −2 = = −2 x − 124 − At = ( x − 2)(y − 2) = ( x − 2) x x x • Para calcular las dimensiones de la hoja, debemos derivar la función, igualar a cero y resolver para x: √ dAt 240 = −2 + 2 = 0 ⇒ x = ± 120 ≈ 10.95445 dt x • La otra variable la calculamos con la fórmula: y = 120/x: √ √ y = 120/ 120 = 120 ≈ 10.95445 • Entonces, la hoja debe ser cuadrada.

Ejemplo 5

Se requiere del envío de unos paquetes de esponja para la fabricación de mochilas especiales. Para su envío se deben diseñar y construir cajas con 20 metros cuadrados de material en su construcción y debe tener al menos una cara cuadrada. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que tenga el máximo volumen?

• Tenemos la siguiente situación geométrica:

y

V = x · y2 y x

• Necesitamos maximizar el volumen de la caja usando 20 m2 de superficie de material en su construcción. Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

5

• Primero encontramos la superficie que se utiliza en su construcción: A = 2 y2 + 4 xy = 20

y2 + 2 xy = 10

⇒

• Ahora que conocemos cómo están relacionadas las variables x e y podemos despejar x y obtenemos: 10 − y2 x= 2y • Este resultado nos será útil, porque si sustituimos este valor en lugar de x en la fórmula del volumen de la caja obtenemos una función de una sola variable:   10 − y2 y3 V = x · y2 = · y2 = 5 y − 2y 2 • Ahora podemos calcular la derivada de esta función y calcular su máximo: r 3 2 10 dV = 5− y = 0 ⇒ y=± dy 2 3 • Como no podemos asignar un valor negativo a una de las dimensiones, tenemos que y ≈ 1.8257 metros. • La otra dimensión es:     r 2 2 10 10 r 10 · 5 · 10 − 10 3 3 3 3 r r r r x= = = · = ≈ 1.8257 3 10 10 10 10 2 2 3 3 3 3 • Es decir, x = y =

√

10/3 ≈ 1.8257.

• En otras palabras, la caja debe ser un cubo perfecto para que tenga el máximo volumen. • Para verificar que en realidad se trata de un máximo, calculamos la segunda derivada y evaluamos en x = 1.8257: d2 V = −3 y dy2 Como y > 0, tenemos que −3 y < 0: se trata de un máximo.

Un profesor de física lanza una moneda al aire de forma que su altura h medida en metros desde el suelo t segundos después de haber sido lanzada, está dada por: h(t) = 1.85 + 12 t − 4.905 t

Ejemplo 6

2

¿En qué momento la moneda alcanza la máxima altura? • El problema pide que calculemos el instante en que la moneda alcanza la máxima altura. • Para eso tenemos que derivar la función e igualar a cero: dh = 12 − 9.81 t = 0 dt Efraín Soto A.

⇒

t=

12 ≈ 1.223 segundos. 9.81

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

6

• Observa que la máxima altura que alcanza la piedra es: h(t) = 1.85 + 12 (1.223) − 4.905 (1.223)2 = 23.947 metros. • Eso debe ocurrir cuando la piedra deje de subir y empiece a bajar. • Es decir, cuando la velocidad de la piedra sea cero. • Y ya sabemos que la velocidad de la piedra se calcula con la derivada de la posición. • Entonces, el problema físico se apega al problema geométrico. • La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función se hace cero cuando tiene un máximo. • Que corresponde a la velocidad de la piedra igual a cero. • Para verificar que se trata de un máximo podemos utilizar el criterio de la segunda derivada: d2 h = −9.81 < 0 dt2

⇒

es un máximo.

• Y hemos terminado. • Se te queda como ejercicio graficar h(t) = 1.85 + 12 t − 4.905 t2 .

Ejemplo 7

Una recta pasa por el punto P(6, 2) y forma un triángulo en el primer cuadrante con sus vértices en las intersecciones de la recta con los ejes coordinados en los puntos: M ( a, 0) y N (0, b). Calcula la ecuación de la recta que hace que el área del triángulo sea mínima.

• Empezamos dibujando la situación en un plano cartesiano: y b

2

P(4, 2)

4

a

x

• Sabemos que las intersecciones de la recta con los ejes son los puntos: M ( a, 0) y N (0, b).

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

7

• Con ellos podemos calcular la pendiente de la recta: m=

y2 − y1 b =− x2 − x1 a

• Ahora podemos calcular la ecuación de la recta, dado que ya conocemos su pendiente y su ordenada al origen:

= m·x+b b y = − ·x+b a    a−x x = b· y = b· 1− a a y

• Como pasa por el punto P(4, 2), se cumple:  2 2a a−4

= b·

a−4 a



= b

• El área del triángulo es A = a · b, porque la base es a y su altura b. Entonces,  A = a·b = a·

2a a−4



=

2 a2 a−4

• Para encontrar la mínima área derivamos y resolvemos para a. • Definimos: u = 2 a2 , y v = a − 4. Entonces, du = 4 a y dv = 1. • Sustituyendo estos resultados en la regla para derivar un cociente, obtenemos: dA db

= = =

2 a2

( a − 4) · (4a) − (2 a2 ) · (1) ( a − 4)2 4 a2 − 16 a − 2 a2 ( a − 4)2 2 a2 − 16 a =0 ⇒ ( a − 4)2

= 16 a

⇒

a=8

• Ahora que conocemos el valor de a podemos calcular el de b: b=

2a 2 (8) = =4 a−4 8−4

• Entonces, la ecuación de la recta es que pasa por el punto P(4, 2) y que forma un triángulo en el primer cuadrante con mínima área es: 4 1 y = − ·x+4 = − ·x+4 8 2 • La gráfica de esta recta es la siguiente: Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

8

y 5 4 3 P(4, 2)

2

y=

1

− 1 2 ·x+

4 x

2

1

Ejemplo 8

3

5

4

6

7

8

¿Qué número excede a su cuadrado en la mayor cantidad?

• Si observas, para x > 1, x2 > x, por lo que no esperamos que el resultado de este problema sea un número mayo a 1. • Por otra parte, si x está entre cero y uno, entonces, x2 < x. • La función que calcula el excedente de un número con su cuadrado es: y = x − x2 • Necesitamos calcular su máximo: dy = 1−2x dx

⇒

x=

1 2

• Entonces, x = 0.5 es el número que excede a su cuadrado en la mayor cantidad. • Verifica este resultado realizando los cálculos con unos cuantos valores diferentes entre cero y uno.

Ejemplo 9

Encuentra los dos números x, y tales que x + y = 10, y además la suma de sus cuadrados: M = x2 + y2 es mínima.

• Como los dos números suman 10, si uno de ellos es x, el otro es: 10 − x. • Queremos minimizar la suma: M

= x 2 + y2 = x2 + (10 − x )2 = x2 + 100 − 20 x + x2 = 2 x2 − 20 x + 100

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

9

• Para calcular el mínimo de esta suma, derivamos respecto a x, igualamos a cero y resolvemos: dM = 4 x − 20 = 0 dx

⇒

x=5

• Entonces, y = 5, y el mínimo valor que toma M es: M = 52 + 52 = 50.

Se desea dibujar un rectángulo con perímetro P con mayor área posible. Demuestra que dicho rectángulo es un cuadrado.

Ejemplo 10

• Sean x el largo y y el ancho del rectángulo:

P = 2x+2y A = x·y

y

x • Su perímetro P = 2 x + 2 y. De donde: y=

P −x 2

• El área del rectángulo es:  A = x·y = x·

P −x 2



=

Px − x2 2

• Para calcular el largo del rectángulo con máxima área, derivamos A( x ) respecto de x, igualamos a cero y resolvemos: dA P = −2x = 0 dx 2

⇒

x=

P 4

• Es decir, el largo es igual a la cuarta parte del perímetro. • El ancho del rectángulo es: y=

P P P P −x = − = 2 2 4 4

• Entonces, el largo y el ancho miden exactamente igual. • En otras palabras, el rectángulo tiene sus cuatro lados iguales y es un cuadrado.

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

Ejercicios 0.1

10

Resuelve cada uno de los siguientes problemas.

1) Encuentra dos números cuya suma sea 30 y cuyo producto sea máximo 2) ¿Qué número excede a su cubo en la mayor cantidad? 3) Encuentra dos números positivos cuyo producto sea 20 y la suma de sus cuadrados sea mínima. 4) Sea x un número positivo. Demuestra que x + 1/x nunca será menor a 2. 5) Un granjero dispone de 1 200 metros de cerca para limitar un terreno rectangular contiguo a un río de curso rectilíneo. No se requiere cercar en la orilla del río. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno con área máxima? 6) Un pedazo de estambre de 50 centímetros de largo se corta en dos partes; una parte se dobla para formar un cuadrado, y la otra para formar una circunferencia. ¿A qué distancia de una de las orillas se debe hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y de la circunferencia sea el máximo? 7) ¿Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de área A = 2 400 m2 que requiere la menor cantidad de cercado? 8) Demuestra que de todos los rectángulos con un área fija A, el de menor perímetro es el cuadrado. 9) Una página impresa debe contener 432 cm2 de material impreso. Debe tener margenes de 3 cm a los lados y de 2 cm arriba y abajo. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de la página para que la cantidad del papel usado sea mínima? 10) Una hoja de volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material escrito, con un margen superior e inferior de 2 cm y otro a cada lado de 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja que requiere la menor cantidad de papel. 11) Calcula las dimensiones de la caja con mayor volumen que se puede construir de una pieza cuadrada de cartón de 100 centímetros de lado cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba para obtener las otras caras de la caja. 12) Calcula las dimensiones de la caja con mayor volumen que se puede construir de una pieza rectangular de cartón de 120 cm × 150 cm cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba para obtener las otras caras de la caja. 13) Se requiere fabricar una lata cilíndrica para almacenar 20 L de aceite. Encontrar las dimensiones que minimizan el costo del metal requerido para hacer el envase. Nota: 1 L = 1 000 cm3 = 1 dm3 . 14) Encuentra el volumen máximo que puede tener un cilindro circular recto para que ocupe 10 m2 de lámina en su construcción. 15) Se hace una caja abierta de una hoja metálica rectangular de 32 × 60 centímetros cuadrados, cortando de cada esquina cuadrados iguales y pegando hacia arriba para obtener las otras caras de la caja. Calcula las dimensiones de la caja con mayor volumen que se puede construir. 16) Se va a construir una ventana en forma de rectángulo coronado por un semicírculo cuyo diámetro es igual al ancho del rectángulo. Si el perímetro de la ventana es 6 metros, ¿qué dimensiones admitirán la mayor iluminación?

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

11

17) Se necesita una caja sin tapa con una capacidad de 2 500 cm3 . El largo de la caja debe ser el triple del ancho. Calcula las dimensiones de la caja que requieren la menor cantidad de material. 18) Encuentra el punto de la parábola 4 y = x2 que está más próximo al punto P(0, 4). 19) Encuentra los puntos de la elipse 5 x2 + 9 y2 = 45 que están más cerca del punto P(3, 0). 20) Encuentra el área máxima de un rectángulo inscrito en un semicírculo de radio r = 10 cm. 21) Se va a construir un embalaje con tapa para naranjas para contener 12 m3 . Se va a dividir en dos partes mediante una separación paralela a sus extremos cuadrados. Encuentra las dimensiones del embalaje que requiere la menor cantidad de material. 22) Se va a construir un calentador para agua en forma de un cilindro circular recto con eje vertical, usando para ello una base de cobre y lados de hojalata. Si el cobre cuesta 5 veces lo que vale la hojalata, calcule la razón de la altura h al radio r que hará que el costo sea mínimo cuando el volumen V es constante. 23) Un triángulo tiene dos de sus lados de longitudes a y b y un ángulo γ comprendido entre ellos. Determine el valor de γ para que el área del triángulo sea máxima. √ 24) Demuestra que el mayor posible valor de sin θ − cos θ es 2. Sugerencia: Los valores de | sin θ | y | cos θ | se hacen iguales cuando θ = 45, 135, 225 y 315 grados.

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas V escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 01 de agosto de 2010. Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx

0.1

Problemas prácticos de máximos y mínimos

12

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

Efraín Soto A.

www.aprendematematicas.org.mx