APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES: • Regla de tres simple directa e inversa. • Regla de tres compuesta. • Tanto por ciento, atendiendo los casos: - Calculo del porcentaje de un número. - Hallar un número conociendo un porcentaje de él. - Ver que porcentaje es un número de otro. - Tanto por ciento más. - Tanto por ciento menos.

Regla de tres: Es

un

procedimiento

que

a

partir

de

datos

conocidos, permite obtener datos desconocidos en base a proporciones a formar.

Sabemos que cantidades directamente proporcionales son las que varían de igual forma; es decir más de una implica más de la otra o menos de una implica menos de la otra, cumpliéndose que los cuocientes entre estas son constantes; así si x1 , x2 son directamente proporcionales con y1 , y2 ; se cumple que: x1 x 2 x1 y1 = = alternando medios y1 y 2 x2 y 2

deduciéndose que si las cantidades son directamente proporcionales, la razón de los valores de una de ellas es igual a la razón directa de los valores correspondientes de la otra.

Sabemos que cantidades inversamente proporcionales son las que varían en forma contraria; es decir más de una implica menos de la otra o menos de una implica más de la otra, cumpliéndose que los productos entre estas son constantes; así si x1 , x 2 son inversamente proporcionales con y1 , y2 ; se cumple que: x1 ⋅ y1 = x 2 ⋅ y 2 dando forma de proporción

x1 y 2 = x 2 y1

deduciéndose que si las cantidades son inversamente proporcionales, la razón de los valores de una de ellas es igual a la razón invertida de los valores correspondientes de la otra.

Ejercicios: (a) Si una llave entrega 32 litros en 5 minutos. ¿En cuánto tiempo tal llave llena un estanque de 288 litros? 32 litros...............5 minutos 288 litros...............x minutos Más litros ⇒ más minutos; C.D.P.; igualando directamente las razones: 32 5 = 288 x 9 288 ⋅ 5 x= 32 1

x = 45 Se completará los 288 litros en 45 minutos.

(b) Un grupo de personas hace una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días hubieran hecho la obra trabajando 8 horas diarias? 20 días...............6 horas x días...............8 horas Más horas ⇒ menos días; C.I.P.; igualando la primera razón con la segunda invertida: 20 8 = x 6 5 3 20 ⋅ 6 x= 8 2 1

x = 15 Trabajando 8 horas se terminaría en 15 días.

(c) Una guarnición tiene víveres para 20 días a 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias le corresponderá a cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más? 20 días ...............3 raciones 25 días ...............x raciones Más días ⇒ menos raciones; C.I.P.; igualando la primera razón con la segunda invertida: 20 x = 25 3 4

x=

20 ⋅ 3 12 = 25 5 5

x = 2,4 A cada hombre le corresponden 2,4 raciones diarias.

(d) Si los 2/5 de la capacidad de un estanque son 480 litros. ¿Cuál será la los 3/8 de la capacidad del mismo estanque? 2 ..................... 480 litros 5 3 ..................... x litros 8 2 3 Como > ; menos capacidad ⇒ menos litros; C.D.P.; 5 8 se igualan directamente las razones. 2 2x 1440 = 5 = 480 5 8 3 x 16x =7.200 8 7.200 2 3 x= ⇒ x = 450 litros ⋅ x = ⋅ 480 16 5 8

Método práctico: Colocar siempre + sobre la razón con la incógnita; donde para las razones con que se está comparando si estas son: i) Directamente proporcionales; colocar sobre esta - ; bajo esta +. ii) Inversamente proporcionales; colocar sobre esta +; bajo esta -. El valor de la incógnita queda determinado por el producto de los + dividido por el producto de los - .

(a) Si en 12 metros se ocupan 5 postes para hacer un cerco. ¿Cuántos postes se ocupan para cercar 180 metros? _ + 12 metros ...............5 postes 180 metros ...............x postes + C.D.P. 15

180 ⋅ 5 x= 12 1

x = 15·5 x = 75 postes.

(b) Si 4 personas hacen una obra en 14 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra 7 personas? + + 4 personas ............... 14 días 7 _ personas ............... x días C.I.P. 2

4 ⋅14 x= 7 1

x = 4·2 x = 8 días

(c) Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitan 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? _ + + + 3 hombres ....... 8 horas ....... 80 metros ....... 10 días 5 metros ..........x días _ hombres ....... 6_ horas ....... 60 + C.I.P.

C.D.P.

C.I.P. 1 1 10 2

3 ⋅ 8 ⋅ 60 ⋅ 10 x= 5 ⋅ 6 ⋅ 80 1 1 10 1

⇒ x = 3 ·1 ·1 ·2 x = 6 días

(d) Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. Si se refuerza con 400 hombres. ¿Cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma sólo 2 raciones diarias? + + + 1600 hombres ....... 10 días ....... 3 raciones 2000 _ raciones _ hombres ....... x días ....... 2 C.I.P.

C.I.P.

4 8

1600 ⋅ 10 ⋅ 3 x= 2000 ⋅ 2 1

1

⇒ x=4·1·3 x = 12 días

(e) Si 18 obreros, trabajando 12 días durante 8 horas diarias construyen 180 metros de un muro. ¿En cuántos días 36 obreros trabajando 12 horas diarias construirán 450 metros de tal muro? _ + + + 18 obreros ...... 12 días ...... 8 horas ...... 180 metros 36 _ obreros ...... x días ......12 _ horas ..... 450 metros + C.I.P.

C.I.P.

1

1

2

5

18 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ 450 x= 36 ⋅ 12 ⋅ 180 4 1

1

C.D.P.

1

⇒ x = 1·1·2·5 x = 10 días

(f) Una calle de 50 metros de largo y 8 metros de ancho se halla pavimentada con 20.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines se ocuparán para pavimentar otra calle de doble largo y cuyo ancho es los 3/4 del ancho anterior? + 50 m. largo ..... 8 m. ancho .... 20.000 adoquines 100 m. largo ..... 6 m. ancho .... x adoquines + + C.D.P. 2

2.500

C.D.P.

100 ⋅ 6 ⋅ 20.000 ⇒ x = 2 · 6 · 2.500 x= 50 ⋅ 8 1 1 x = 30.000 adoquines

Tanto por ciento: Se llama tanto por ciento de un número a una o más de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. Ejemplos: 150 = 4⋅1,5 = 6 i) El 4% de 150 es 4 ⋅ 100 500 ii) El 15% de 500 es 15 ⋅ = 15⋅5 = 75 100 Se deduce que el 100% de un número es el mismo número. El tanto por ciento se sistematiza con las proporciones, dándose solución a cinco casos de problemas distintos:

1) Hallar un tanto por ciento de un número: Ejemplo: Hallar el 15% de 32: Se tiene que 32 es el 100%; luego x será el 15% de 32 , formándose la proporción: 32 100% = x 15%

⇒ x=

32 ⋅ 15 ⇒ x = 4,8 100

Ejercicio: Hallar el: (a) 18% de 300: 300 100% = x 18%

(b) 35% de 180: 180 100% = x 35%

300 ⋅ 18 x= 100

180 ⋅ 35 x= 100

3

1

x = 54

9

20 1

x = 63

7

(c) 42% de 1250: 1250 100% = x 42% 25

21

1250 ⋅ 42 x= 100 50 1

x = 25 · 21 x = 525

(d)

5 % de 144. 12

144 100% = 5 x % 12 12

5 144 ⋅ 12 1 x= 100 3

12 ⋅ 5 60 3 x= = = 100 100 5 5

x = 0,6

2) Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él: Ejemplo: ¿De que número 46 es el 23%? Si 46 es el 23% del número que se busca, x será el 100% formándose la proporción: 46 23% 46 ⋅ 100 = ⇒x = ⇒ x = 200 x 100% 23 Ejercicio: De que número es: (a) 12 el 60%: 12 60% = x 100% 1

20

(b) 35 el 5%: 35 5% = x 100% 7

12 ⋅ 100 x= 60

35 ⋅ 100 x= 5

x = 20

x = 700

5 1

1

(c) 18 el 75%: 18 75% = x 100% 6

4

18 ⋅ 100 x= 75 3 1

x = 24

1 12 . % 2

(d) 9 el

25 % 9 = 2 x 100% 4

x=

9 ⋅ 100 9 ⋅ 100 ⋅ 2 = 25 25 1 2

x = 72

1 25 12 % = % 2 2

3) Dados dos números, averiguar que tanto por ciento es uno del otro: Ejercicio: ¿Qué porcentaje de 120 es 36? Designaremos a 120 por el 100%; luego 36 será el x% formándose la proporción: 3

120 100% 36 ⋅ 100 = ⇒x = ⇒ x = 30% 36 x% 120 1

Ejercicio: Qué tanto por ciento de: (b) 32 es 24: (a) 20 es 12: 20 100% 32 100% = = 12 x% 24 x% 5

x=

12 ⋅ 100 20 1

x = 60%

3

x=

25

24 ⋅ 100 32 4 1

x = 75%

(c) 860 es 129: 860 100% = 129 x% 3

5

129 ⋅ 100 x= 860 20 1

(d)

1 1 es : 5 25 1 5 = 100% 1 x% 25 25 100% = 5 x%

x = 15%

4

x=

5 ⋅ 100 25 1

x = 20%

4) Tanto por ciento más: Ejemplo: ¿De que número 265 es el 6% más? El número que buscamos será el 100%. Si 265 es el 6% más que ese número, 265 será el 100%+6% = 106% del número buscado, formándose la proporción: x 100% 265 ⋅ 100 = ⇒ x= ⇒ x = 250 265 106% 106 luego 265 es el 6% más de 250. Ejercicio: De qué número: (b) 345 es el 15% más: (a) 208 es el 4% más: x 100% x 100% = = 345 115% 208 104% 3 2 345 ⋅ 100 208 ⋅ 100 x= x= 115 104 1

x = 200

1

x = 300

(c) 258 es el 20% más: x 100% = 258 120% 43

3 (d) 264 es el 5 % más: 5

x 100% = 264 105,6%

5

258 ⋅ 100 x= 120 6 1

x = 215

x=

264 ⋅ 100 105,6 1

250

264 ⋅ 1000 x= 1056 4 1

x = 250 3 28 5 %= % = 5,6% 5 5

5) Tanto por ciento menos: Ejemplo: ¿De qué número 168 es el 4% menos? El número que buscamos "x" será el 100%. Si 168 es el 4% menos que ese número buscado, 168 es el 100%-4% = 96% del número buscado, formándose la proporción: x 100% 168 ⋅ 100 = ⇒ x= ⇒ x = 175 168 96% 96 luego 168 es el 4% menos de 175. Ejercicio: De qué número: (b) 91 es el 35% menos: (a) 276 es el 8% menos: x 100% = x 100% = 91 65% 276 92% 20 7 3 91 ⋅ 100 276 ⋅ 100 x = x= 65 92 5 1

x = 300

1

x = 140

(c) 246 es el 60% menos: x 100% = 246 40% 123

(d) 248 es el

x 100% = 248 99,2%

5

246 ⋅ 100 x= 40 20 1

x = 615

4 % menos: 5

x=

248 ⋅ 100 99,2 1

250

248 ⋅ 1000 x= 992 4 1

x = 250 4 % = 0,8% 5

Ejercicios Complementarios: 1) Un comerciante invierte $18.000, obteniendo una utilidad de $5.000. ¿Cuánto debió haber invertido para tener $6.000 de utilidad? _ + $18.000 (invierte)..........$5.000 (utilidad) A) $15.000 $x (invierte).........$6.000 (utilidad) + B)$21.000 C) $21.600

C.D.P.

D) $24.000

3.600

E) $24.600

18.000 ⋅ 6.000 x= 5.000 1

x = 3.600 ·6 x = $ 21.600

2) Un grupo de trabajadores emplea 24 días trabajando 8 horas diarias en realizar cierta obra. Si hubieran trabajado dos horas menos al día. ¿En cuántos días habrían terminado la obra? + + 24 días ...................... 8 horas A) 18 días x días ...................... 6_ horas B) 28 días C) 32 días

C.I.P.

D) 64 días E) 96 días

4

x=

24 ⋅ 8 6 1

x = 4 ·8 x = 32 días.

3) Si 10 hombres trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 9 días. Si se retiran 9 hombres. ¿Cuánto tiempo emplearán los restantes en terminar la obra? _ + + A) 30 días 10 hombres ...... 3 Obra ...... 9 días 5 B) 36 días 1 hombres ...... 2 Obra ...... x días 5 _ C) 45 días + C.D.P. C.I.P. D) 60 días E) Otra cantidad.

2 180 60 1 10 ⋅ ⋅ 9 180 5 60 5 5 x= = = ⋅ = = 60 3 3 5 3 1 1⋅ 1 1 5 5

4) Un poste tiene enterrado el 20% de su longitud total. Si la parte no enterrada mide 12m. ¿Cuál es la longitud total del poste? A) 2,4 m. B) 9,6 m. C) 27 m. D) 18 m. E) 15 m.

La parte enterrada del poste es el 20% ⇒ La parte no enterrada es el 80% La parte no enterrada mide 12 m.

12m. 80% ⇒ = x 100% 3

5

12 ⋅ 100 x= = 15 m. 80 4 1

5) En un lote de 1000 artículos 100 son blancos y de estos 30 son redondos. ¿Qué porcentaje del lote de artículos son blancos y redondos?

A) 3% B) 10%

1000 artículos 100 blancos 30 redondos

C) 13% D) 30% E) 130%

1000 100% = 30 x%

hay 30 blancos y redondos 3

1

30 ⋅ 100 = 3% ⇒ x= 1.000 10 1

6) Se puede determinar el número de alumnos de un curso si: (1) Hay 36 alumnos presentes que corresponden al 36 80% 80% del curso. = ⇒ x = 45 x 100% (2) Hay 9 alumnos ausentes que corresponden al 20% del curso. 9 20% = ⇒ x = 45 x 100% A) (1) por sí sola

ü

ü

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-16 1) C

2) B

9) B

10) D

3) C

4) B

11) C

12) E

5) B

6) C

13) B

14) D

7) A

8) A

15) E

16) C

17) B

18) C