Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la enseñanza Autoras: Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa - Equipo Áreas curriculares del Ministerio de Educación

Desde hace más de tres décadas se han divulgado en nuestro país numerosos aportes referidos a la enseñanza de la Matemática, que dieron lugar a variadas experiencias en distintas escuelas y vienen orientando las políticas curriculares en el área desde hace varios años, generando un enfoque concordante a través del tiempo. Este enfoque responde a las demandas sociales emergentes en relación con las competencias deseables a desarrollar en los alumnos, y ha sido plasmado en diferentes documentos curriculares en cuyo análisis es necesario seguir trabajando entre docentes, en espacios de trabajo común. Por ello, en esta clase desarrollaremos algunos puntos de partida generales incluidos en Enseñar Matemática en el segundo ciclo de los Cuadernos para el aula NAP, que han sido elaborados a partir de diferentes trabajos de especialistas en Didáctica de la Matemática.

EL TRABAJO MATEMÁTICO EN LA ESCUELA Desde una perspectiva que entiende a la Matemática como una forma de producción, como una cultura, incluimos a continuación algunas reflexiones extraídas de los mencionados documentos, que permiten caracterizar la práctica matemática que consideramos pertinente promover en las aulas.

“Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela El conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las producciones culturales en general, ha ido generándose y transformándose en diferentes momentos 1

históricos, en diálogo permanente con problemas que tienen lugar en los distintos entornos sociales y culturales. Cuando se quiere estudiar una determinada situación o interactuar con ella desde la Matemática, se formulan preguntas que pueden referirse tanto al mundo natural y social como a la misma Matemática. Para responderlas, se utilizan modelos matemáticos conocidos o se elaboran conjeturas y se producen nuevos modelos. En todos, las conclusiones que se elaboran se interpretan para determinar si responden o no a las preguntas planteadas inicialmente. También forma parte de este proceso mejorar la eficacia de los modelos que se crean y de las formas de comunicar los descubrimientos, así como establecer relaciones entre lo nuevo y lo que ya se conoce. El proceso de construcción y las conclusiones resultantes tienen rasgos específicos: un modo particular de pensar y proceder, y conocimientos con características particulares. Estos conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin realizarlas efectivamente. Por ejemplo, para determinar de cuántas formas distintas puedo combinar 5 entradas, 12 platos centrales y 10 postres diferentes en un restaurante, es posible calcular el producto 5 x 12 x 10 sin necesidad de armar las diferentes posibilidades y contarlas. Por otra parte, los resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han respetado reglas matemáticas. Por ejemplo, para la multiplicación planteada en el problema anterior, se puede justificar que 5 x 12 x 10 = 5 x 2 x 6 x 10 = (5 x 2) x 10 x 6 = 10 x 10 x 6, aplicando propiedades de la multiplicación. En el mismo sentido, al trabajar con figuras en Geometría es posible afirmar, aun sin hacer ningún dibujo, que si se construye un cuadrilátero cuyas diagonales son distintas, este no puede ser un cuadrado pues, si lo fuera, tendría sus diagonales iguales. A la vez, la obtención de nuevos resultados conlleva la necesidad de crear un lenguaje para comunicarlos. Los números, las figuras y las relaciones tienen representaciones cuyo uso se conviene entre los matemáticos. De esta manera, la actividad matemática en la ciencia está muy fuertemente ligada a la resolución de problemas y a un modo particular de razonar y comunicar los resultados. Esta forma de trabajar en Matemática debería ser también la que caracterice la actividad en el aula desde los inicios de la escolaridad. Se trata de que los alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nuevos (para 2

ellos) frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para validarlos. Luego, con la intervención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de la Matemática. Así, en la escuela, los niños deberían ser introducidos en la cultura matemática, es decir, en las formas de trabajar “matemáticamente”. Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemática requiere dominar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la resolución de problemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos de una cultura.

Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuela La concepción que cada persona se va formando de la Matemática depende del modo en que va conociendo y usando los conocimientos matemáticos. En este proceso, la escuela tiene un rol fundamental, ya que es allí donde se enseña y se aprende de un modo sistemático a usar la Matemática. El tipo de trabajo que se realice en la escuela influirá fuertemente en la relación que cada persona construya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no capaz de aprenderla. Cuando la enseñanza de la Matemática, en lugar de plantearse como la introducción a la cultura de una disciplina científica, se presenta solo como el dominio de una técnica, la actividad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes explicaciones del maestro, qué definición usar, qué regla hay que aplicar o qué operación “hay que hacer” en cada tipo de problema. Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo ni en qué circunstancia hacer cada cosa. Esta enseñanza ha derivado en dificultades que ya conocemos: por una parte, aunque permite que algunos alumnos logren cierto nivel de “éxito”, cuando el aprendizaje se evalúa en términos de respuestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que no se sienten capaces de aprender Matemática de este modo. Por otra parte, lo así aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron. Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolución de problemas diversos, y se pasa de uno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo realizado. Trabajar solo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar “matemáticamente”, también es insuficiente. El trabajo que implica volver sobre lo realizado, por uno mismo o por los compañeros, exige siempre una explicitación, un reconocimiento y una sistematización 3

del conocimiento que se pone en juego en la resolución de los problemas, en las formas de obtenerlo y de validarlo. Sin este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en la escuela (las nociones y las formas de trabajar en Matemática) no tendrán, a futuro, las mismas posibilidades de reutilización, ya que quedarían asociados a su uso en algunos casos particulares. En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, “qué” Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos.

Priorizar un tipo de trabajo matemático Resulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los niños se inician en el estudio de la Matemática, la construcción del sentido de los conocimientos por medio de la resolución de problemas y de la reflexión sobre estos, para promover así un modo particular de trabajo matemático que esté al alcance de todos los alumnos y que suponga para cada uno: • Involucrarse en la resolución del problema presentado, vinculando lo que se quiere resolver con lo que ya se sabe y plantearse nuevas preguntas. • Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros considerando que los procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan al resultado esperado son instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje. • Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados obtenidos. • Reflexionar para determinar qué procedimientos fueron los más adecuados o útiles para la situación resuelta. • Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los demás, confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación convencional. • Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos o justificarlas utilizando contraejemplos o propiedades conocidas. • Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos. • Interpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma de representación a otra según su adecuación a la situación que se quiere resolver.

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• Producir textos con información matemática avanzando en el uso del vocabulario adecuado”.

Para generar en el aula un trabajo matemático de las características del que acabamos de describir es necesario diseñar actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas por parte de los alumnos: algunas que prioricen la resolución, otras la comunicación en forma oral o escrita, otras la justificación, otras la formulación de preguntas. Cabe advertir que si bien el acento de dichas actividades puede estar puesto en un tipo de tarea particular, de ningún modo implica dejar de lado las otras. Por ejemplo, las justificaciones deben estar presentes en las distintas prácticas propias del quehacer matemático.

Por otra parte, y con respecto a la construcción del sentido (…), dice Guy Brousseau: “El sentido de un conocimiento matemático se define no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.” (Brousseau, 1983: 170) Así, al seleccionar un conjunto de problemas para trabajar con una noción a enseñar, es necesario advertir dos cuestiones. Por un lado, que se trata de un recorte entre muchos posibles respecto de una colección más amplia cuyo estudio demandará varios años de escolaridad. Precisar los criterios que fundamentan los distintos recortes en cada nivel de concreción curricular, da lugar a la explicitación del propósito particular que orienta un nivel, un ciclo, un año, una unidad de trabajo. Por otro lado, que ese conjunto de problemas debe incluir aquellos que permiten analizar los límites de la noción en estudio, es decir, problemas en los que la noción no funciona como instrumento de resolución. Un ejemplo es el de considerar, en el conjunto de problemas para trabajar la noción de proporcionalidad, algunos donde esta relación no se cumpla (como es el caso de los problemas de costo de viajes en taxi, con un pago fijo por la bajada de bandera y luego un costo por kilómetro) Cabe destacar aquí en el nivel del aula que muchas veces, con la intención de no confundir a los alumnos, el maestro evita incluir este tipo de problemas para enseñar un contenido, cuestión que debemos tomar en los espacios de capacitación.

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Otro didacta, Roland Charnay, avanza sobre una primera descripción de los problemas matemáticos que dan lugar a la construcción de sentido o, como él lo denomina, la “significación” de un conocimiento afirmando que “….la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles: - un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo? - un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?” (Charnay, 1994:53) En cuanto a los niveles de significación, ningún proyecto de enseñanza debiera descuidar la presencia de ambos de manera equilibrada. Un énfasis en el nivel de significación externa no contribuye a los procesos de puesta en relación y generalización de las nociones en juego y, un énfasis en el análisis del funcionamiento de las herramientas, sin haber dado previamente lugar a su uso en contextos variados, obstaculiza la identificación de las situaciones donde resultan necesarias. Por otra parte, Gerard Vergnaud despliega una caracterización de los tipos de conocimiento ligados a la construcción de un concepto, poniendo a los “saberes hacer” en un pie de igualdad con los “saberes expresados” y considerando que lo que permite y lo que define la adquisición de un concepto es la acción en situación en la que ambos se ponen en juego. Él sostiene que “El saber-hacer no puede oponerse al saber, puesto que constituye su criterio y se fundamenta en él. Saber y saber-hacer son dos vertientes indisociables del pensamiento conceptual.” “Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño”. (Vergnaud, 1990 : 133-170)

Estas ideas estuvieron presentes en la elaboración de diversas producciones curriculares como los NAP y los diseños curriculares provinciales como también en distintos materiales de desarrollo curricular. En los diferentes documentos curriculares se plantea como actividad principal de la clase de matemática la resolución de problemas y la reflexión sobre la misma, lo que involucra para el maestro tanto la elección de problemas desafiantes pero adecuados para los conocimientos de sus alumnos, así como una particular gestión de la

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clase, cuestiones que, de modo general, abordaremos en esta clase y profundizaremos en las restantes.

LA SELECCIÓN DE PROBLEMAS Para atender a la construcción de sentido que mencionamos, será necesario precisar con qué criterios se seleccionaran los problemas que configuran el proyecto de enseñanza de un tema particular. En los Cuadernos para el Aula del Segundo Ciclo se lee:

“Elegir los problemas Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemáticos se construye al resolver problemas y reflexionar sobre ellos. Esto nos plantea, en principio, algunos interrogantes centrales: ¿qué problemas presentamos?, ¿cómo conviene seleccionar el repertorio de actividades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos? En principio, la posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente nivel de generalidad como para poder utilizarla en distintas situaciones dependerá de que la variedad de problemas considerados al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de uso, de significados y de representaciones asociados a la noción. También habrá que tener en cuenta que la noción que se quiere enseñar surja como una “herramienta necesaria” para resolver el problema y no como una definición que hay que aplicar, y que la presentación de la información no fomente ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución. 7

Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y, para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones. En este sentido, la actividad que puede resultar problemática para un alumno no lo es necesariamente para otro, puesto que depende de los conocimientos de que dispone. Así, para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos respecto de sus conocimientos iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas preguntas, confiar en que todos los niños pueden responderlas de algún modo, admitir diferentes procedimientos y, luego, trabajar con los conocimientos que surjan para avanzar hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nuevas preguntas”.

Con relación a la selección de problemas, es necesario tener presente que la inclusión de problemas desafiantes orientados a abordar nuevas nociones o nuevos procedimientos, no implica dejar de lado instancias tendientes a la consolidación de lo que se está aprendiendo. Es necesario también proponer

actividades que permitan utilizar dichas nociones o

procedimientos en situaciones diferentes, lo que permitirá la extensión de su campo de utilización, enriqueciendo su sentido. También es necesario pensar en actividades tendientes a que los alumnos alcancen un mayor dominio de lo que están aprendiendo, lo que favorecerá que dichos aprendizajes estén más anclados y disponibles.

Además de considerar la finalidad a que apunta cada problema y el tipo de tareas que se promueve, es necesario tener en cuenta los contextos en los que se plantean, los significados que se priorizan, las representaciones involucradas, las variables didácticas seleccionadas, el tipo de tarea que se le propone a los alumnos y el carácter de herramienta u objeto que pueden revestir las nociones involucradas.

A continuación nos centraremos en los contextos en que se proponen los problemas, el carácter de instrumento u objeto de los conocimientos involucrados y los tipos de tareas , reservando para las próximas clases los análisis que apunten a los significados, las representaciones y las variables didácticas. 8

Con relación a los contextos Leemos en los Cuadernos para el Aula para el segundo ciclo: “Para cada noción es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolución requiera su uso. Estos contextos podrán ser matemáticos o no, incluyendo entre estos últimos los de la vida cotidiana, los ligados a la información que aparece en los medios de comunicación y los de otras disciplinas” (Ministerio de Educación, 2003: 21). De nuestra experiencia como capacitadores, podemos afirmar que, en ocasiones, se interpreta que por ejemplo, “hacer cuentas” es equivalente a trabajar problemas en el contexto matemático. Esta asimilación nos interpela a reflexionar en la capacitación sobre la idea de que, si bien resolver cuentas es un trabajo en ese contexto, puede tanto apuntar a afianzar el dominio de una técnica como constituirse en un buen problema. Para ello es necesario que la actividad planteada sobre las cuentas permita que se establezcan “nuevas relaciones” o se descubran “nuevos conceptos” y no se trate solo de ejercitar “una sucesión fija de pasos” Podemos analizar dos ejemplos sobre problemas ligados a “las cuentas” que forman parte de una de las secuencias con operaciones con números naturales, la elaborada para sexto grado. Actividad para los alumnos: Descomponer para multiplicar a) Analizá esta forma de multiplicar y explicá qué propiedades aseguran que los resultados que se obtienen son correctos: 14 x 36 = 7x2 x 9x 4

63 x 2 x 2 x 2 = 126 x 2 x 2 = 252 x 2 = 504 b) ¿Podrías usar este tipo de descomposiciones para hacer alguna de estas operaciones? ¿Por qué? 72 x 60 =

45 x 29 =

41 x 37 =

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En esta actividad, se piden varias tareas, analizar un procedimiento para multiplicar y justificarlo, y repetirlo si es posible para otros números. Al intentar usarlo, los alumnos verán qué condición deben cumplir los factores para que el procedimiento sea posible, nuevo conocimiento que deriva de la resolución.

Actividad para los alumnos: Dividir sin calculadora Cuando Lucio no tiene la calculadora multiplica el divisor por 10, por 50, por 100 para aproximar el cociente y opera así.: 4.560 : 24 = 24 x 10 = 240 240 x 10 = 2400

240 x 5 = 1200

4560 / 24 2400 100 2160 1200

50

960 240

10

720 240

10

480 240

10

240 240

10

0

190

a) Usen el método de Lucio para resolver: 6.580 : 32 = 425 =

13.875

:

b) ¿Piensan que podrían modificar el método de Lucio para hacer la cuenta en menos pasos?

También en este problema deben analizar un procedimiento dado para poder repetir los pasos según lo que pide el ítem a. Luego, para hacerlo en menos pasos, podrán pensar en

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una transformación de esos pasos -por ejemplo usando dobles o triples del x 10- en un nuevo problema intramatemático.

En el mismo texto dice: “Los contextos tendrán que ser significativos para los alumnos, es decir que implicarán un desafío que puedan resolver en el marco de sus posibilidades cognitivas y sus experiencias sociales y culturales previas. Asimismo, los conocimientos involucrados en el problema deberán cobrar interés para ellos y ser coherentes desde el punto de vista disciplinar”. (Ministerio de Educación, 2003: 20) En relación con la significatividad habrá que poner el foco en la capacitación en dos cuestiones. La primera es que no solo es significativo un contexto que aluda al mundo cercano, a las experiencias de la vida cotidiana. También lo son aquellos contextos que los chicos conocen a través de cuentos, historias, viajes, programas de televisión, etc. Asimismo pueden ser significativas las curiosidades, los “trucos” numéricos, los acertijos, siempre que los saberes requeridos para abordar la pregunta sean aquellos que los alumnos conocen. La segunda cuestión es que, al elegir los contextos para elaborar problemas y formular las preguntas, es importante revisar que las preguntas tengan sentido en sí mismas, es decir, que aludan a problemas reales o verosímiles. Muchas veces, las preguntas no atienden al sentido que tiene averiguar lo que se pide. Cabría preguntarse frente a ellas: ¿quién puede necesitar saberlo? y ¿para qué? Por ejemplo: ¿cuántos años tienen entre la mamá y la hija?, ¿cuántas manchas tiene una jirafa? Si pretendemos que los alumnos consideren que la matemática nos provee de herramientas útiles para resolver “verdaderos problemas”, tendremos que cuidar que lo que se pregunta tenga sentido. Un contexto que podría ser utilizado en la clase de matemática es el de los juegos. Su inclusión va más allá de la idea de despertar el interés, pues permite a los alumnos resolver problemas que tienen sentido y habilita a que “hagan Matemática, es decir elaboren estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros, acepten críticas y otros puntos de vista”. (Chemello, Agrasar, Chara, 2001: 4)

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Este recurso de enseñanza da lugar a plantear una considerable cantidad de problemas con una dinámica que permite a los alumnos acordar resultados, y discutir procedimientos entre ellos. En relación con este recurso, el foco de la intervención se suele poner no sólo en jugar efectivamente, sino también en analizar posibles estrategias de juego basadas en diferentes conocimientos, considerando variantes al cambiar “algo” en la situación: los materiales, la organización del grupo, las reglas. Será también interesante elaborar con los docentes actividades para plantear a los niños luego de jugar -algunas de juego simulado y otras intramatemáticas- y discutir a qué conclusiones, reglas, formulaciones podrían arribar los alumnos. Cuando se da lugar a este tipo de elaboración en el acompañamiento, las propuestas de actividades que plantean como tarea para los alumnos decidir cómo jugar, o decidir quién gana, son más frecuentes que las que apuntan a analizar jugadas de otros, o a elaborar una explicación sobre por qué se jugó de cierta forma. A propósito de puntualizar el sentido de incluir juegos en la clase de Matemática, B. Charlot plantea: “Si por juego se designa una actividad donde el alumno realiza con placer -que no excluye el esfuerzo, sino que lo sostiene-, una actividad que permite un funcionamiento del pensamiento no condicionado por reglas exteriores vividas por el alumno como artificiales y arbitrarias, no tengo ninguna objeción. Además el alumno tiene derecho a que su actividad sea socialmente reconocida como un trabajo serio y no como un juego y se engañe a ciertos alumnos con la idea de que ellos juegan en la escuela en vez de trabajar! Pero si por juego matemático, se designa una actividad puntual no articulada alrededor de un campo de problemas, no anclado en el programa, sin proyecto intelectual ni institucional, ya no estoy de acuerdo. Estos momentos de aventura matemática no son para excluir, pero no pueden constituir la base de un aprendizaje de las matemáticas. Este supone la articulación entre situaciones, que para el maestro al menos, sean ricas de progresión futura. El alumno debe sentir que él progresa y el docente, por su lado, no puede librarse de toda dependencia con los programas”

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Con relación al carácter de instrumento o de objeto Como dijimos anteriormente, otro aspecto a considerar en la selección de los problemas es si la noción que queremos trabajar al presentar el problema permite resolverlo, o si es un objeto de estudio. Veamos como caracteriza estas dos nociones su autora, Regine Douady. “Para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter “instrumento” y su carácter “objeto”. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos problemas que permite resolver. Un concepto toma sentido por su carácter instrumento. No obstante, ese carácter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptos implicados en el mismo problema. Es decir, desde una óptica instrumental, no se puede hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente alrededor de un concepto principal. También el aprendizaje deberá considerar tal conjunto. Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema, justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento puede ser adaptado a varios tipos de problema. Recíprocamente, varios instrumentos pueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante, cada uno tiene un cierto ámbito de validez (…) Por objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural que tiene su lugar en una construcción más amplia, que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente. (…) La actividad principal en matemáticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigación profesional, consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puede declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de validación propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad científica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir nuevamente. Se convierte así, en objeto de saber.” (Douady, 1983)

En nuestro caso, al resolver un problema que requiera de la puesta en juego de una multiplicación o una división, los cálculos funcionan como una “herramienta”, como un instrumento matemático que permite dar respuesta a la pregunta. En cambio, si proponemos un problema que implica analizar dos cálculos con los mismos números 13

realizados con diferentes procedimientos, esos cálculos son “objeto de estudio”. Del mismo modo, “producir una manera de realizar un cálculo” también es un problema y las dos actividades de las páginas 7 y 8, “Descomponer para multiplicar” y “Dividir sin calculadora” son ejemplos de problemas donde los cálculos son objeto de estudio. Ambos tipos de problemas deberían formar parte del proyecto de enseñanza.

Con relación a los tipos de tareas En los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo leemos: “Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarán usando los conocimientos matemáticos de manera implícita, sin nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo, al medir, construir, decidir cómo jugar o calcular. En otras, utilizarán los conocimientos matemáticos de manera explícita: tendrán que describir cómo midieron o calcularon, qué instrumentos usaron para construir y qué hicieron en cada paso, o producirán un instructivo para que otro construya una figura o realice un cálculo, explicarán por qué decidieron utilizar un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado. También darán razones para convencer a otro compañero de que los números encontrados o las figuras dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrán que argumentar sobre si un procedimiento es o no correcto. En otras oportunidades, será el maestro el que presente una afirmación para que los alumnos discutan sobre su validez”.

Análisis de problemas A continuación presentamos algunos problemas extraídos de las secuencias elaboradas para este curso, y realizamos un primer análisis atendiendo a lo que venimos desarrollando.

Actividad para los alumnos: Deudas pendientes a) En una empresa lograron ahorrar en el año $78.000. Quieren saldar las 12 cuotas pendientes de $2.500 de una maquinaria. Pagarán un bono a sus 32 empleados de $ 1.200 a cada uno. Realizarán una fiesta de fin de año cuyo costo será de $2.735. También tienen ahorrados del año anterior $ 24.400 y depositado en una cuenta $11.000. Deciden ponerse al día con la deuda impositiva de $4500 y para ello deberán pagar intereses de cuatro cuotas de $ 421. ¿Les alcanza para todos sus planes? b) Reunite con otros compañeros y compartan sus producciones - ¿Llegaron a los mismos resultados? 14

- ¿Hicieron las mismas cuentas? - ¿Es posible ordenar los cálculos en grupos para hacerlos con una calculadora sin anotar resultados parciales? - ¿Hay una sola forma de hacerlo?

El problema está planteado en un contexto extramatemático, dado que se trata de cálculos que usualmente se realizan en las empresas, y que son accesibles para los alumnos del Segundo Ciclo. En el inciso a) la tarea está centrada en resolver cálculos, para lo que es posible utilizar diversos procedimientos, pues las operaciones pueden ser realizadas inicialmente en forma separada, para luego trabajar con los resultados, y también se puede armar una o dos expresiones combinadas. Notemos que en este inciso, las operaciones y su orden surgen como herramientas necesarias de resolución y que su uso no está explicitado en el enunciado del problema (por ejemplo, expresando “tengan en cuenta el orden de las operaciones”), lo que favorece la construcción de sentido por parte de los alumnos. En el inciso b) se propone discutir acerca del orden en que se deben realizar una serie de cálculos y sobre el uso del paréntesis, lo que permite explicitar relaciones que posiblemente se hayan usado anteriormente de manera implícita. Este análisis implica la consideración de los cálculos y la forma de escribirlos como objeto de estudio.

Otro aspecto a tener en cuenta es que los datos no se presentan en el orden en el que deben ser usados, lo que llevará seguramente a la necesidad de leer varias veces el enunciado.

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Actividad para los alumnos: Descomponer para dividir

a) Para resolver el cálculo 936 : 9, a dos amigos se les ocurrieron distintas descomposiciones. Juan:

900 : 9 + 36 : 9

Pedro:

936 : 3 + 936 : 3 + 936 : 3

¿Con quién estás de acuerdo? ¿O ambos son correctos? ¿Por qué?

b) ¿Usarías alguna de esas descomposiciones para dividir 1890 : 9 o 468 : 9?

c) ¿Cómo podrías descomponer 504 para que fuera fácil de dividir por 9? ¿Y 675?

d) Pedro dice que se puede descomponer el dividendo en una suma si cada sumando es múltiplo de 9. Juan dice que no hace falta y le muestra esta cuenta, ¿Quién tiene razón? 1760 : 9

1700 + 60

/9

.

900

54

100 + 80 + 8 + 6 + 1 = 195

800

6

720 80 72 8

14 5

e) Para resolver 480 : 12, también se presentan dos maneras de descomponer el número que divide (el divisor) 480 : 12 = 480 : 10 : 2

480 : 12 = 480 : 4 : 3

¿Es lo mismo? ¿Por qué?

En este caso se trata de un problema planteado en contexto intramatemático, y la tarea consiste en discutir resoluciones realizadas por otros: si es posible, o no, descomponer en 16

sumandos el dividendo o el divisor. Luego se avanza en un análisis acerca de cómo elegir los sumandos para descomponer el dividendo y el divisor de modo que se facilite el cálculo. Es importante tener en cuenta que, si bien lo que dice Pedro es cierto (sólo hay que tener cuidado y no olvidarse de los restos parciales) conviene elegir al menos un sumando que sea múltiplo para facilitar el cálculo y hacer menos aproximaciones. Notemos que en este caso se prioriza un trabajo acerca de las propiedades de la división en cuanto objetos de estudio.

Actividad para los alumnos: Haciendo etiquetas

Dos amigas recortan papel autoadhesivo para hacer etiquetas. Las dos han recortado etiquetas iguales a ésta (dibujo).

Sol usó la tercera parte del papel que tenía y recortó una etiqueta como esta. Mili dice que usó la mitad de su papel que tenía. a) ¿Es posible que ambas tengan razón? b) Dibujá cómo podrían haber sido los papeles que tenían Sol y Mili. c) El papel que tenía Sol, o el que tenía Mili, ¿podrían haber sido como este? ¿Por qué?

d) Marcá en el rectángulo anterior cómo se podrían cortar 4 etiquetas iguales. ¿Hay más de una posibilidad?

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En esta actividad se promueve un trabajo en el que se considera un único entero dividido en partes iguales. La misma está planteada en un contexto extramatemático, ya que se trata de etiquetas que se recortan de un rectángulo inicial. Aquí, dos etiquetas de igual forma y tamaño resultan ser partes distintas (1/2 y 1/3 respectivamente) de enteros diferentes, lo que puede obtenerse como conclusión al reconstruir cada uno de ellos. Esta reconstrucción podrá dar rectángulos distintos según como ubiquen las partes. Luego, habrá que comparar un rectángulo dibujado con los obtenidos por los niños al hacer la reconstrucción, lo que podrá o no dar el mismo dibujo y habrá que ver si se puede tratar del mismo papel o no. Finalmente, se pide obtener cuartos en un rectángulo, lo que permitirá obtener como conclusión que partes iguales pueden tener diferentes formas. Notemos que las tareas que se promueven apuntan a justificar procedimientos realizados por otros y a representar, específicamente a dibujar. En todas ellas la noción de fracción como parte de un entero funciona como instrumento implícito.

Actividad para los alumnos: Otros procedimientos

I. a) Dibujá un cuadrilátero cuyas diagonales miden 4 y 7 cm., de modo que cada una corte a la otra en el punto medio. b) ¿Podés asegurar que la figura que dibujaste es igual a la que hicieron tus compañeros sin verlas? ¿Por qué? II. a) Para que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escribieron estos mensajes. ¿Creés que alguno permite construir la figura? ¿Por qué?

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b) ¿Qué información habría que agregar a cada mensaje para que la figura sea un romboide que se pueda superponer con el del dibujo?

Se trata de una actividad planteada en contexto intramatemático, en la que las propiedades de los cuadriláteros constituyen una herramienta implícita de resolución. En la primera parte, la tarea consiste en realizar una construcción, y luego en discutir acerca de la unicidad o no de la misma. Los alumnos deberán concluir que es posible construir tantos cuadriláteros como quieran, ya que hay “muchas” soluciones. En la segunda parte, se promueven tareas que apuntan a la comunicación escrita y a la justificación, y permite relacionar datos con cantidad de soluciones. En este caso las propiedades de las diagonales del romboide permitirán establecer las condiciones para que la construcción sea única.

Los problemas y su gestión en clase Para que los alumnos puedan involucrarse en una práctica matemática como la que describimos, además de seleccionar problemas utilizando los criterios explicitados, es necesario tener en cuenta otras condiciones: qué materiales pueden utilizarse, cómo organizaremos la clase, que interacciones entre alumnos prevemos en función de la organización propuesta, y cuáles serían las intervenciones que deberíamos realizar durante el desarrollo de la clase. Para analizar estas cuestiones nos remitimos nuevamente a la lectura de los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo.

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“Las situaciones de enseñanza En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse solo mediante el enunciado de un problema o con una pregunta para un conjunto bien elegido de cálculos o con un interrogante que deba ser respondido a partir de una información publicada en el diario o en un texto de Ciencias Naturales o de Ciencias Sociales. En otras ocasiones, habrá que proporcionar los instrumentos de Geometría para realizar una construcción o los materiales para un juego –por ejemplo dados y tablas para anotar puntajes, el croquis de un recorrido, un mapa, etc. En todos los casos, una primera condición es asegurarnos de tener disponibles los materiales a utilizar. También habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos que se den para organizar distintos momentos de la clase: las de cada alumno y el problema, las de los alumnos entre sí y las de los alumnos con el maestro. Para ello, habrá que proponer, según convenga y de manera no excluyente, momentos de trabajo en forma individual, en pequeños grupos o con toda la clase. …………………………………………………………………………………………………………………. En Segundo Ciclo, es importante también que los alumnos comiencen a analizar el nivel de generalidad que tienen las respuestas a los problemas que resuelven. Así, comprobar que se pueden obtener dos triángulos iguales plegando un cuadrado de papel glasé no es suficiente para afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes. Asimismo, habrá que descubrir y explicitar que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numérico, o para un conjunto de figuras, y no lo son para otros. Por ejemplo, el producto de una multiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con números naturales, pero esto no es cierto si, por ejemplo, los factores son números racionales menores que 1. Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para que ocurran las interacciones que nos interesan, diseñamos una situación problemática a propósito del conocimiento que queremos enseñar. Esta situación incluye un conjunto de elementos y relaciones que estarán presentes en la clase: el problema, los materiales, una cierta organización del grupo, un desarrollo con momentos para distintos intercambios. Al planificar, también anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones que podrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones matemáticas posibles.

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La gestión de la clase Hemos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo matemático que buscamos promover, serán fundamentales las intervenciones del docente durante la clase. El trabajo de resolución de problemas que se propone en este enfoque genera muchas veces inseguridad. Pensamos: ¿cómo voy a presentar este problema si no muestro antes cómo hacerlo?, ¿cómo voy a organizar la clase si cada uno responde de una manera distinta? o ¿cómo voy a corregir si hay distintos procedimientos en los cuadernos? Respecto de la primera pregunta, para iniciar el aprendizaje de un nuevo conocimiento en el proyecto de cada año escolar tendremos que presentar un problema asegurándonos de que todos hayan comprendido cuál es el desafío que se les propone. Para que cada alumno acepte ocuparse de él, es esencial generar el deseo de resolverlo. Este tipo de intervención, que busca que el alumno se haga cargo de la resolución, es siempre parte del inicio de la clase, pero puede reiterarse en distintos momentos, toda vez que sea necesario y oportuno. Es una invitación para que el chico resuelva por sí solo y no una orientación sobre cómo debe hacerlo o qué debe hacer. Para comenzar, los niños lo resuelven de manera individual o en pequeños grupos, con diferentes procedimientos, según los conocimientos de los que dispone cada uno”

Antes de seguir avanzando, consideremos como ejemplos dos problemas y la diversidad de procedimientos que los alumnos podrían utilizar para resolverlos identificando los conocimientos puestos en juego.

Chocolates en el cine Ana festejó su cumple yendo al cine con sus amigas Vero y Luz. Llevaron 4 chocolates para repartir en partes iguales entre las 3, sin que sobre nada. Dibuja cómo pueden repartir los chocolates y escribí cuánto le toca a cada una.

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El reparto de chocolates, se puede pensar de varias formas, dando lugar a procedimientos diferentes:

Seguramente los chicos trabajarán sobre una representación rectangular o cuadrada, dado el contexto del problema. En el primer procedimiento se piensa que cada chica come 1 chocolate y la tercera parte de otro, en el segundo, recibe dos mitades y la tercera parte de otro y en el último, recibe una tercera parte de cada uno de los 4 chocolates. En los tres procedimientos los conocimientos que los alumnos ponen en juego son la idea de división como reparto, la de dividir un entero en partes iguales y las de ½ y 1/3, fracciones que son la expresión de una cantidad que es una parte de un todo. También las escrituras de la parte podrán ser distintas, aditivas, con palabras, sólo con fracciones unitarias, con fracciones mayores que 1, entre otras, poniendo de manifiesto conocimientos diferentes “1 y 1/3”

1 + 1/3

½ + ½ + 1/3

1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3

4/3

“cuatro terceras partes”

Algunos alumnos podrían realizar procedimientos con errores marcando los tercios de la forma siguiente:

Vemos que si bien se ha considerado que son tres partes, se ha obviado que el reparto debe ser equitativo y por lo tanto las partes iguales.

Envolver un regalo Las amigas de Ana le llevaron como regalito una tarjeta. La idea fue hacer una mitad cada una en su casa, y luego pegarlas sobre un rectángulo de cartulina que compró Vero. Cuando se encontraron ambas se sorprendieron porque no podían pegarlas en el rectángulo. ¿Qué pudo haber ocurrido? 22

La no coincidencia de las partes para formar un único entero, pudo provenir de dos cuestiones diferentes. Una de ellas es que no hicieran mitades del mismo rectángulo con lo que las partes no resultaban de igual área.

Otra cuestión es que cada amiga pensara en una mitad de forma distinta a la otra. A

B

C

En términos de conocimientos, se ponen en juego dos ideas relativas a la noción de fracción cuando se consideran partes de cantidades: “para que las partes sean comparables entre sí deben referirse a una misma unidad” y “si bien la parte de una cantidad es independiente de la forma, dada una parte, siempre se pueden reconstruir enteros de la misma cantidad de magnitud, que no necesariamente tienen la misma forma”. En este caso (A, B, y C) se trata de tres enteros iguales, todas las partes “mitades” tienen la misma área y distinta forma y si se combinan, por ejemplo, un triángulo de A y un cuadrado de B se obtiene un entero de la misma área que el rectángulo original.

Volviendo a la caracterización de la gestión de la clase, esta variedad de procedimientos deberá ser objeto de debate y reflexión, tal como se explicita a continuación retomando el texto incluido en los Cuadernos para el aula. Cabe señalar que este análisis de lo producido no necesariamente se realiza inmediatamente después de terminar de resolver. Por ejemplo, algunos procedimientos podrían conservarse para ser retomados en otra clase.

“…, habrá que dar lugar a un intercambio donde participen todos los alumnos y en el que se vayan explicando las diferentes aproximaciones al conocimiento que se quiere enseñar, y debatir sobre ellas. Al analizar las diferentes soluciones, tendremos que valorizar de igual

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modo todas las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema planteado. Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utilizados por los chicos, es necesario animarlos a dar razones de lo realizado, a explicar por qué lo hicieron de cierta forma, a argumentar sobre la validez de sus producciones. Esto les permitirá volver sobre lo que han pensado, para analizar sus aciertos y errores, y controlar, de este modo, el trabajo. Alentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen espontáneamente significa trabajar suponiendo que los chicos pueden progresar y no que van a fracasar. En algún caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presentarlas en conjunto para compararlas y discutir cómo mejorar cada una, puede contribuir a “despersonalizar” las mismas, focalizando el análisis en su validez o nivel de generalidad y no en los conocimientos de quienes las elaboraron. Así el “error” de unos se capitaliza en la reflexión de todos. Este trabajo incorpora a los alumnos en el proceso de evaluación en un lugar diferente del habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que les ratifica de inmediato si lo que hicieron está bien o no. Si han asumido como propia la tarea de resolución, querrán saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organizó el quehacer matemático en el aula. El debate del conjunto de la clase dará por válida o no una respuesta, y llevará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores. En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarán en ejemplos, comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos, para luego avanzar hacia el uso de propiedades. A la vez, estas últimas se enunciarán con distintos niveles de generalidad; por ejemplo, pasaremos de: Podés hacer 4 + 3 y te da lo mismo que 3 + 4, en el Primer Ciclo, a: Al sumar es posible cambiar el orden de los números, en el Segundo Ciclo. Con la intervención del maestro, se reconocerán y sistematizarán los saberes que se van descubriendo. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y el conocimiento matemático al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lenguaje específicos, y entre los conocimientos ya incorporados y los nuevos, es una tarea que está siempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen qué han aprendido.

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Para esto, no tenemos que basarnos en ningún esquema rígido. Esas intervenciones pueden darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas; es decir que lleguen después de que los alumnos hayan desplegado sus propios razonamientos. El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro. Cuando los chicos están resolviendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá pasar cerca de cada uno, atendiendo lo que van haciendo, los términos que usan, lo que escriben, quiénes no participan y quiénes siguen atentamente –aun sin hablar– lo que hacen sus compañeros. De tal modo, el maestro tendrá un registro del conjunto de conocimientos que se despliegan en la clase. Esta información será fundamental para tomar decisiones en el momento del debate: ¿qué grupo conviene que hable primero?, ¿cuáles tienen una respuesta similar?, ¿qué procedimiento es el más potente para hacer avanzar el debate hacia el conocimiento que se espera enseñar? Esto permitirá optimizar el tiempo dedicado a la puesta en común, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando los procedimientos son muy similares, bastará con tomar como objeto de análisis la producción de uno solo de los grupos. El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es él quien lo conduce. A veces, las conclusiones a las que los chicos llegan en conjunto son parcialmente válidas. Allí, el maestro podrá decir, por ejemplo: Por ahora acordamos que resolvemos así; en la próxima clase lo seguiremos viendo. De esta manera, interviene en el proceso sin anticiparse, pero dejando marcas, planteando la provisoriedad de lo acordado o alguna contradicción que queda pendiente por resolver. Así, no invalidaremos el trabajo de la “comunidad clase”, pero dejaremos instalado que hay alguna cuestión que hay que seguir discutiendo. En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respuestas y tiempos de trabajo de los niños, los docentes muchas veces planteamos situaciones para que sean resueltas por todo el grupo, lo que nos permite valorar, corregir, hacer señalamientos a las intervenciones de los alumnos. Es cierto que es más fácil llevar adelante el trabajo colectivo sobre un único procedimiento, pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de alumnos participe activamente siguiendo al maestro, mientras otros se quedan al margen de la propuesta; y aunque todos lo siguieran, lo aprendido se limita a una única manera de pensar.

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La alternativa que proponemos a la organización habitual de la clase, según nuestros objetivos, será armar la actividad de distintas maneras: individual, por pares o grupos de más alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada grupo o dentro del mismo grupo, alentando la movilidad de los roles y estando atentos a la posible configuración de estereotipos que, lamentablemente, algunas veces hacen que la discriminación se exprese en la clase de Matemática. Tanto los momentos de trabajo individual como los compartidos en grupo aportan al alumno un tipo de interacción diferente con el conocimiento, por lo que ambos deberán estar presentes en la clase. Muchas veces, cuando estamos a cargo de un plurigrado, separamos a los niños según el año/grado que cursan, y vamos atendiendo a un grupo por vez. Sin embargo, a la hora de realizar adaptaciones a las actividades presentadas, es importante tener en cuenta el enfoque de enseñanza, de manera de no perder la riqueza de las propuestas que ofrecemos. Por ejemplo, para alcanzar determinados aprendizajes, es indispensable generar espacios de debate en los que deberían participar alumnos que compartan repertorios de conocimientos y niveles de análisis similares. Sin embargo, ocurre muy frecuentemente que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos los alumnos en alguno de los años/grados, lo que hace imposible organizar un verdadero debate entre ellos. En estos casos, proponemos agrupar niños de varios años/grados y organizar actividades con un contexto común, proponiendo una tarea distinta a cada grupo, de modo que los desafíos sean adecuados a los distintos conocimientos de los alumnos. Esto permite que en el momento de la confrontación todos los alumnos puedan entender las discusiones que se generen e incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por la actividad que le correspondió a su grupo. Por ejemplo, se podría proponer para grupos armados con niños de 4º, 5º y 6º años/grados un juego como “La escoba del uno” 1 de cartas con fracciones, diferenciando la complejidad a la hora de analizar las partidas simuladas. En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones: en él, cada chico ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su resolución y, eventualmente, registra sus progresos, por ejemplo, en tablas en las que da cuenta del repertorio de cálculos que ya conoce. De este modo, el cuaderno o la carpeta resultan un registro de la historia del aprendizaje y los docentes podemos recuperar las conclusiones que los alumnos hayan anotado cuando sea necesario para nuevos aprendizajes. 26

En este sentido, conviene además conversar con los padres que, acostumbrados a otros usos del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en él huellas de errores que para nosotros juegan un papel constructivo en el aprendizaje. De todos modos, es recomendable discutir con el equipo de colegas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presencia de una producción que se revisará más adelante. También el pizarrón tiene diferentes funciones. Allí aparecerá todo lo que sea de interés para el grupo completo de la clase, por ejemplo: los procedimientos que queremos que los alumnos comparen, escritos por un representante del grupo que los elaboró o por el maestro, según lo que parezca más oportuno. Convendrá usar también papeles afiche o de otro tipo para llevar el registro de las conclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir una figura, etc., para que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario. Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en el aprendizaje, de generar confianza en las propias posibilidades de aprender y de poner en evidencia la multiplicidad de formas de pensar frente a una misma cuestión, así como la necesidad de acordar cuáles se consideran adecuadas en función de las reglas propias de la Matemática. Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los niños sientan que los errores y los aciertos surgen en función de los conocimientos que circulan en la clase, es decir que pueden ser discutidos y validados con argumentos y explicaciones. Es así como pretendemos que los chicos vayan internalizando progresivamente que la Matemática es una ciencia cuyos resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la aplicación de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una práctica de la adivinación o del azar o un saber que no sufre transformaciones. De todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de actividades que puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas herramientas, e intervenir convenientemente para que todos puedan avanzar, supone para nosotros una dificultad mucho mayor que la de presentar un problema que la mayoría resuelve de la misma manera. Quizá nos dé un poco de tranquilidad saber que a trabajar en grupo se aprende y que, en el inicio de este aprendizaje, hay que tolerar una cuota de desorganización, hasta que los alumnos incorporen la nueva dinámica. Una cuestión ligada a la organización de la enseñanza que conviene tener en cuenta es la de articular, en cada unidad de trabajo, algún conjunto de actividades

que formen una 27

secuencia para desarrollar cierto contenido. El criterio que utilizamos al presentar algunos ejemplos en el apartado “Propuestas para la enseñanza” es que en cada nueva actividad de una misma secuencia se tome como conocimiento de partida aquel que haya sido sistematizado como conclusión en la anterior. Otra cuestión también ligada a la elaboración de una unidad de trabajo, y que permite mejorar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos. Algunos contenidos relacionados con distintos NAP pueden abordarse en una misma unidad y aún en una misma secuencia. Por ello, es conveniente tener en cuenta que la presentación de los NAP no indica un orden de enseñanza y que, antes de armar las unidades, es indispensable tener un panorama de la totalidad de la propuesta”.

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