Apunte para el trabajo del laboratorio F´ısica I C´atedra Wainmaier

1.

El proceso de medici´ on

El proceso de medici´ on es un proceso f´ısico experimental en cual intervienen e interact´ uan necesariamente tres sistemas: 1. Sistema objeto, es lo que va a medirse. 2. Sistema de medici´ on, es el instrumento o conjunto de instrumentos con los que se mide (del cual forma parte el observador). 3. Sistema de comparaci´ on, que se define como la unidad de medida, y suele estar incluida en el instrumento de medici´on. En cada proceso de medici´on interaccionan estos tres sistemas dando como resultado una cantidad que es la medida de la magnitud en cuesti´on El resultado de un proceso de medici´on es un n´ umero real, que se llama valor de la magnitud, y se lo interpreta como la cantidad de veces que la unidad est´ a contenida. Pero simult´ aneamente, estas mismas instrucciones dar´an como producto la definici´ on operacional de la magnitud misma. En efecto, ?’c´omo se puede medir, por ejemplo, una longitud? : se toma un instrumento, regla, se hace coincidir un extremo de la regla con el extremo del objeto cuya longitud se quiere determinar y se lee que divisi´on coincide con el otro extremo. Independientemente se ha realizado una operaci´on an´aloga con la regla y otro objeto que se tomo como patr´ on (calibraci´on de la unidad). Obtenemos as´ı una cantidad que nos da la medida de la longitud, pero obtenemos adem´as la definici´on misˆ ma de longitud. A¿Qu´ e es una longitud? Lo que se mide mediante un proceso como el descripto. Es lo que se llama una definici´on operacional: la magnitud es definida en t´erminos de las operaciones que se realizan para medirla. Una misma magnitud puede, as´ı, ser definida operacionalmente de muchos modos diferentes. Los procesos de medici´on dependen en general del grado de desarrollo de los m´etodos de medici´on y del avance de las teor´ıas cient´ıficas, consecuentemente las definiciones operacionales son aproximadas, perfectibles a medida que la ciencia progresa. Resumiendo, tenemos dos cuestiones claves que se derivan a partir del procedimiento de medici´ on:

1

Define operativamente una magnitud f´ısica. Da como resultado el ˆ avalorˆa de la magnitud. Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente. El valor de una magnitud dada es independiente del proceso particular de medici´on, dependiendo solo de la unidad elegida. Como esta unidad, en principio, es arbitraria y se fija por convenci´on, es necesario a˜ nadir un s´ımbolo al valor num´erico para indicar cu´ al unidad ha sido utilizada como comparaci´on. Por ejemplo, se escribe ˆ a1 mˆ a, ˆ a10 piesˆa, ˆa25 seg.ˆa, etc. Decir que una longitud es de ˆ a2,5ˆ a no tiene sentido f´ısico, si no se indica la unidad de referencia. Por otro lado si bien en matem´atica cuando escribimos, por ejemplo, 2,5 y 2,50 estamos haciendo referencia a un mismo n´ umero, no ocurre lo mismo cuando estos n´ umeros son el resultado de una medici´on. Consideremos, por ejemplo, que le damos a alguien para que mida el largo de un cuaderno y le pedimos que lo mida con una regla. Realiza la medici´on y se˜ nala que es de 29,5 cm. ?’Podemos considerar que la longitud del cuaderno es de exactamente 29,50000000 cm? Seguro que no, esta afirmaci´on est´a fuera de los l´ımites de credibilidad. No podemos contar con el valor exacto de ninguna medida y debemos conformarnos con medidas que toman forma de intervalos, dentro de los cuales tenemos confianza de que se encuentre el valor esperado. El acto de la medici´ on requiere que determinemos tanto la localizaci´on como el ancho del intervalo para el cual podemos afirmar con cierta certeza que est´ a el valor de la variable X . Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompa˜ nada del valor estimado del error de la medida y a continuaci´ on, las unidades empleadas. Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido 297 ± 2mm. Como la cifra ±2mm representa el intervalo en que la lectura de 297 es incierta. De este modo entendemos que la medida de dicha magnitud est´a en alguna parte entre 295mm y 299mm. En realidad, la expresi´ on anterior no significa que se est´a seguro de que valor verdadero est´e entre los l´ımites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que est´e ah´ı.

2.

Ordenes de magnitud y Cifras significativas

Se acostumbra dar el nombre de orden de magnitud de un valor (o magnitud f´ısica) a la potencia de 10 m´as cercana al valor. Seguramente no sabemos cu´ anto es el di´ ametro de un l´apiz grafito (8,2mm aproximadamente). Sin embargo, no tendremos dificultad en indicar cu´al es la potencia de 10 m´as cercana al valor de ese di´ ametro. Es decir, podremos decidir con facilidad si el di´ametro del l´ apiz est´ a m´ as cerca de 100 mm o de 101 mm. El orden de magnitud del l´apiz grafito es 101 mm, puesto que ´esta es la potencia de 10 m´as cercana al valor del di´ ametro. Otra forma conveniente de obtener el orden de magnitud de un valor es operar con los valores de ellas en notaci´on cient´ıfica. 2

Ejemplo: 563,264x103 = 5,63264x102 x103 = 101 x105 = 106 el orden de magnitud es 106 2,86169x109 = 100 x109 = 109 el orden de magnitud 109 Por otro lado cabe se˜ nalar que del resultado de una medici´on se obtiene un n´ umero con una cierta cantidad de d´ıgitos que corresponden a los sucesivos ´ordenes de magnitud (orden de la potencia de 10 m´as pr´oxima al valor de la magnitud, as´ı 375m es del orden de 102 m) medidas, a las cuales llamaremos cifras significativas, es decir cifras que provienen realmente de la medici´on. Por ejemplo, si medimos la longitud de una mesa con la regla en mil´ımetros expresamos el resultado como 2, 725m ´o 272, 5cm pero no se nos ocurrir´a escribir 2, 725834m. En efecto, la regla no nos da informaci´on alguna sobre las d´ecimas o cent´esimas de mil´ımetro. La informaci´ on sobre la medida de una dada magnitud no puede modificarse por el solo hecho de cambiar la unidad en que se mide. En el ejemplo: 37, 5m 6= 3750cm El segundo t´ermino indica que al medir el orden de los cent´ımetros obtuve como resultado cero, en tanto que 37, 5m indica que no se midi´o el orden de los cent´ımetros. Otra fuente de confusiones que surge a ra´ız de las unidades se presenta con los ceros a la derecha. En efecto: 3, 5mm y 0, 0035m tienen el mismo n´ umero de cifras significativas. Para evitar estos problemas corresponde usar la notaci´ on cient´ıfica: 37, 5m = 37, 5x102 cm = 37, 5x10−3 Km Para recordar: 1. Toda cifra escritas comprendidas entre 1-9 son significativas, 2. los ceros a la izquierda nunca son significativos, independientemente de que est´en en la parte entera o en la parte decimal del numero (por ejemplo los dos primeros ceros de 0,082058m no son significativos), 3. los ceros intermedios (0,082058m) son significativos 4. los ceros finales de un dato real (14,00m) son significativos 5. los ceros finales de un dato entero (300m) no son significativos; si se desea expresar en notaci´on cient´ıfica (3,00x102 m) Cualquiera sea el medio por el que hayamos hecho la medici´on ´esta tendr´ a asociada diferentes errores y el resultado final deber´a ser el intervalo que representa los l´ımites dentro de los cuales se encuentra el valor deseado. En lo que sigue nos referiremos a los diferentes tipos de errores asociados a las mediciones. 3

3.

Teor´ıa de errores

Suele asociarse con los t´erminos ˆ ac´ alculo de erroresˆ a, a un proceso que se efect´ ua una vez completada una medici´on, con el objetivo de acotar el n´ umero de cifras significativas que se conocen con exactitud. Nada m´as alejado es esto del verdadero papel que los errores juegan en relaci´on al trabajo experimental. Toda tarea de planificaci´on, ejecuci´on, an´alisis y evaluaci´on de cualquier tarea experimental va a estar guiada por consideraciones respecto a los errores. En efecto, a menudo hablamos de magnitudes ˆasuficientemente grandesˆ a o ˆ asuficientemente peque˜ nasˆa, ˆaque tienden a un l´ımiteˆa, que ˆase desprecianˆ a, o de ˆ amasas puntualesˆa, ˆap´endulos inextensiblesˆa, etc, pero al enfrentar las mediciones concretas (las masas, los p´endulos reales), surge la pregunta: ?’Dentro de qu´e l´ımites las expresiones matem´aticas, v´alidas para los entes ideales mencionados, pueden aplicarse correctamente en el problema real? Necesitamos respuestas cuantitativas concretas. S´olo el conocimiento de los errores de medici´ on y las formas que ellos inciden en nuestros resultados pueden proporcionar criterios objetivos para contestarlas. Pero no solo la aplicabilidad de un modelo depende de estos errores. La selecci´ on del m´etodo y de instrumentos se rige, en buena medida, por la precisi´ on que queremos o podemos alcanzar. Dejar de lado el an´alisis previo de los errores y su peso relativo, al planificar una experiencia, conduce a menudo a costosas equivocaciones (costosas en tiempo, en eficacia, en dinero, etc). Es muy com´ un en los principiantes afinar extremadamente la exactitud de la lectura que luego va a ser usada en conjunci´on con otras cuyos errores pesan mucho m´ as en el resultado o cuyas precisiones no pueden mejorarse hasta el mismo orden de magnitud de modo que todo el esfuerzo que a veces se realiza resultar´ a in´ util. Por todo ello creemos fundamental introducir en las t´ecnicas y c´alculos de errores desde las m´ as simples experiencias de laboratorio, como una metodolog´ıa que caracteriza al trabajo cient´ıfico-tecnol´ogico. y

3.1.

Conceptos b´ asicos

Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de incertezas al momento de medir. Los instrumentos tienen una precisi´ on finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre existe una variaci´ on m´ınima de la magnitud que puede detectar. Esta m´ınima cantidad se denomina la apreciaci´ on nominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla ˜ graduada en milAmetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracci´ on del mil´ımetro. A su vez, las magnitudes a medir no est´an definidas con infinita precisi´ on. Otra fuente de error que se origina en los instrumentos adem´as de la precisi´ on es la exactitud de los mismos. La precisi´on de un instrumento o un m´etodo de medici´ on est´ a asociada a la sensibilidad o menor variaci´on de la

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magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento o m´etodo. As´ı, decimos que un tornillo microm´etrico (con una apreciaci´on nominal de 10µm) es m´as preciso que una regla graduada en mil´ımetros. La exactitud de un instrumento o m´etodo de medici´on est´a asociada a la calidad de la calibraci´ on del mismo. Imaginemos que el cron´ometro que usamos es capaz de determinar la cent´esima de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera com´ un no lo hace. En este caso decimos que el cron´ ometro es todav´ıa m´as preciso que el reloj com´ un, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la calibraci´on de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente.

3.2.

Clasificaci´ on de los errores

1. Errores introducidos por el instrumento: Error de apreciaci´ on σap : si el instrumento est´a correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medici´on estar´ a asociada a la m´ınima divisi´on de su escala o a la m´ınima divisi´ on que podemos resolver con alg´ un m´etodo de medici´on. Error de exactitud σexac : representa el error absoluto con el que el instrumento en cuesti´on ha sido calibrado. 2. Errores de interacci´ on, σint : esta incerteza proviene de la interacci´on del m´etodo de medici´ on con el objeto a medir. Su determinaci´on depende de la medici´ on que se realiza y su valor se estima de un an´alisis cuidadoso del m´etodo usado. En general, en un dado experimento, todas estas fuentes de incertidumbres estar´ an presentes, de modo que resulta u ´til definir el error nominal de una medici´ on σnom , como: 2 2 2 2 2 σnom = σap + σdef + σint + σexac

(1)

Este procedimiento de sumar los cuadrados de los errores es un resultado ˜ de la estadAstica, y proviene de suponer que todas las distintas fuentes de error son independientes una de otras. Seg´ un su car´ acter los errores pueden clasificarse en sistem´aticos, estad´ısticos e ileg´ıtimos o espurios. 1. Errores sistem´ aticos: se originan por las imperfecciones de los m´etodos de medici´ on. 2. Errores estad´ısticos: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas m´ ultiples y fortuitas (σest ).

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˜ 3. Errores ilegAtimos o espurios: Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esf´erico y para ello determinamos su di´ametro. Si al introducir el valor del di´ametro en la f´ormula, nos equivocamos en el n´ umero introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usamos una expresi´ on equivocada del volumen, claramente habremos cometido un error. Cuando se desea combinar los errores sistem´aticos con los estad´ısticos, la prescripci´ on usual es sumar los cuadrados de los errores absolutos y luego tomar la ra´ız cuadrada de este resultado. Si estamos midiendo una magnitud Z, el error final o combinado o efectivo de Z, ∆Z, vendr´a dado por: ∆Z =

q

2 + σ2 σest nom

(2)

Llamamos error absoluto al valor de la incertidumbre combinada (Ec. 2). Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ´esta. Si Z es la magnitud en estudio, Z es el mejor valor obtenido y ∆Z su incertidumbre absoluta. El resultado se expresa adecuadamente como: Z = Z ± ∆Z

(3)

El significado de esta notaci´on es equivalente a decir que, seg´ un nuestra medici´ on, con una cierta probabilidad razonable, el valor de Z est´a contenido en el intervalo ( Z − ∆Z, Z + ∆Z), o sea: Z − ∆Z < Z < Z + ∆Z . Error relativo: εZ = ∆Z/Z , el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud. Error relativo porcentual: εZ, % = 100.εZ , es la incertidumbre relativa multiplicada por 100.

4.

Mediciones directas

4.1.

Tratamiento estad´ıstico de los datos

Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendr´ a, en general, el mismo resultado, no s´olo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presi´on, humedad, etc., sino tambi´en, por las variaciones en las condiciones de observaci´ on del experimentador. Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x1 , x2 , ...., xn se adopta como mejor estimaci´ on del valor verdadero el valor medio hxi1 que viene dado por la ec. 4. 1

hxi suele escribirse como x ¯

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hxi =

n x1 + x2 + ..... + xn X xi = n n 1

(4)

El valor medio se aproximar´a tanto m´as al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el n´ umero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la pr´actica, no debe pasarse de un cierto n´ umero de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podr´ıa bastar 4 ´o 5. Cuando la sensibilidad del m´etodo o de los aparatos utilizados es peque˜ na comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetici´ on de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, est´ a claro que el valor medio coincidir´a con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetici´on de la medida y del c´alculo del valor medio, por lo que solamente ser´a necesario en este caso hacer una sola medida. De acuerdo con la teor´ıa de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimaci´on del error, el llamado error cuadr´ atico definido por la ec. 5. sP

n 1 (xi

∆x =

− hxi)2 n(n − 1)

(5)

ˆ En conclusi´ ˆ A on el resultado del experimento se expresa como: A ˆ hxi ± ∆x y la unidad de medida. A ˆ A Si tenemos N medidas tendremos desviaciones i = (xi − hxi), que ser´an, en general, n´ umeros positivos y negativos. Definimos la cantidad llamada varianza: P 2 

i (6) N que es el promedio de las desviaciones cuadr´aticas, y que solo depende de la forma en que los datos individuales fluct´ uan alrededor del promedio, siendo independiente del n´ umero total de observaciones. Para poder hacer comparaciones debemos llevar a la varianza a las mismas unidades que el promedio. Por eso se define como la ra´ız cuadrada de la varianza, y se la llama dispersi´on o error estandard de cada medici´on

ν=

σ=

√

sP

ν=

2i N

(7)

Para los casos de errores casuales de medici´on esta dispersi´on o error standard vale: σ ξ=√ (8) N

7

Esta relaci´ on es en realidad aproximada, pero se convierte en igualdad para N suficientemente grande. A partir de este an´alisis, el resultado num´erico de una serie de mediciones se indica en la forma hxi ± ξ. La identificaci´ on del error de un valor experimental con el error cuadr´ atico obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es v´ alido en el caso de que el error cuadr´ atico sea mayor que el error instrumental, es decir, que aqu´ el que viene definido por la resoluci´ on del aparato de medida. Es importante saber ordenar los datos en forma gr´afica, en particular en distribuciones de frecuencias, porque tales ordenaciones nos permiten sacar una impresi´ on global de su aspecto general y presentarlos para procedimientos de c´ alculos posteriores. Consideremos de nuevo la serie de resultados de medici´on: x1 , x2 , ....xn . Estos n´ umeros est´ an distribuidos alrededor del promedio. Observaremos que hay valores que est´ an cerca del promedio y otros que est´an m´as lejos. Cuando nos proponemos hacer una medici´on no podemos saber de antemano el resultado que va a salir, pero es evidente que podremos decir que la probabilidad de estar cerca del promedio es alta, y que la probabilidad de estar lejos es baja. Analicemos detenidamente esto. Tomemos un eje, en el cual marcamos los valores de que van apareciendo en nuestra serie de mediciones, figura 1.

Figura 1: Sobre el eje X se representan las mediciones mediante puntos. Se se˜nala el valor promedio.

El aspecto suele ser el de la figura 1. Los valores se ˆaaglomeranˆa cerca del promedio, y se vuelven m´as dispersos fuera de este. Si dividimos el eje en peque˜ nos intervalos iguales podemos contar el n´ umero de observaciones que caen en cada intervalo y representarlo gr´aficamente. Esto es lo que se llama histograma (cuando a todo un intervalo le corresponde un valor, y no a un solo punto, como sucede en una funci´on). Cuanto m´as grande sea la estad´ıstica, o sea , m´ as peque˜ nos podemos hacer los intervalos sin por ello perder la chance de tener un n´ umero suficientemente grande de datos en cada intervalo, el histograma tomar´ a la forma de una funci´on gausseana.

5.

Mediciones indirectas

En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresi´on matem´atica, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente. 8

Figura 2: Esquema de un Histograma correspondiente a los datos de la Fig.1

5.1.

Funciones de una sola variable

Supongamos que la magnitud y cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra magnitud x, mediante la relaci´on funcional y = f (x). El error de y cuando se conoce el error de x viene dado por la expresi´on. ∆y = |f 0 (hxi)|∆x

(9)

de nuevo hxi es el valor medio

5.2.

Funciones de varias variables

Supongamos que la magnitud z cuyo valor queremos hallar depende de m´as de una magnitud, por ejemplo x e y, por lo que la relaci´on funcional z = g(x, y). El error de z cuando se conocen los errores de x e y viene dado por la expresi´ on. ∆z = |

dg(hxi, hxi) dg(hxi, hxi) |∆x + | |∆y dx dy

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donde hxi, hyi son los valores medios x e y de respectivamente. Un ejemplo para clarificar esta idea: Supongamos que queremos medir el volumen de un cilindro de aluminio y disponemos de una cinta m´etrica cuya menor divisi´ on es de 0,1cm. Medimos el di´ametro de la base y la altura del mismo. Si consideramos que el volumen de un cilindro est´a dado por la siguiente expresi´ on: V = πr2 h

(11)

donde r es el radio y h la altura del cilindro, el error del volumen saldr´a a partir de la siguiente expresi´ on: ∆V = |2πhhihri|∆r + |πhri2 |∆h 9

(12)

Figura 3: Esquema del a estudiar Finalmente, el valor del volumen ser´a V = 59 ± 4cm

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