Apuntes de Campos Electromagn´eticos Curso 08-09 Jos´e Luis V´azquez Roy Dpto. Teor´ıa de la Se˜ nal y Comunicaciones Universidad Carlos III de Madrid 23 de marzo de 2009

2

´Indice general 0. Introducci´ on y Revisi´ on de Electricidad y Magnetismo

7

0.1. Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

0.1.1. Definiciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

0.1.2. Vectores unitarios y cosenos directores . . . . . . . . .

7

0.1.3. L´ıneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ a trav´es de una superficie S . . . . . . . . 0.1.4. Flujo de A

8

0.1.5. Radi´ an y estereorradi´ an . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

0.2. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

0.2.1. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

0.2.2. Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas . . .

9

0.2.3. Cambios de coordenadas cilindricas-esf´ericas

9

. . . . .

8

0.2.4. Cambios de coordenadas rectangulares-esf´ericas . . . . 10 0.3. C´ alculo diferencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.3.1. Gradiente de una funci´ on escalar de punto ψ . . . . . 10 0.3.2. Laplaciana de una funci´on escalar de punto ψ . . . . . 10 ~ . . . 11 0.3.3. Divergencia de una funci´on vectorial de punto A ~ . . . . 11 0.3.4. Rotacional de una funci´on vectorial de punto A ~ . . . . 11 0.3.5. Laplaciana de una funci´on vectorial de punto A 0.3.6. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . 11 0.3.7. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.3.8. Operadores en coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . 12 0.3.9. Operadores en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . 12 0.3.10. Identidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones . 13 0.5. Electrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 0.5.1. La carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 0.5.2. Ley de Coulomb y principio de superposici´on . . . 0.5.3. Definici´ on de E~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.4. Definici´ on de D ~ . . 0.5.5. Propiedades integrales y diferenciales de E~ y D

. . 16 . . 17 . . 17 . . 18

0.5.6. Potencial electrost´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4

´INDICE GENERAL

0.6. Magnetost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.6.1. Corriente y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . 19 0.6.2. Fuerzas entre conductores . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0.6.3. Definici´on del vector de intensidad de campo magn´eti~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 co H ~ . . . . 22 0.6.4. Definici´on del vector de inducci´on magn´etica B ~yH ~ . . . . 22 0.6.5. Propiedades diferenciales e integrales de B 0.6.6. El Potencial vector magn´etico . . . . . . . . . . . . . . 22 0.7. Energ´ıa en campos est´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0.7.1. Energ´ıa electrost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0.7.2. Energ´ıa magnetost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0.8. Electrodin´amica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.8.1. El problema de la variaci´on temporal . . . . . . . . . . 24 0.8.2. La Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0.8.3. La corriente de desplazamiento y las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1. El modelo electromagn´ etico

31

1.1. El campo electromagn´etico sobre el cuerpo real . . . . . . . . 31 1.1.1. Ecuaciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.1.3. Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en la frontera de otro medio . . . . . 33 1.1.4. Medio material de conductividad nula . . . . . . . . . 34 1.1.5. Evoluci´on temporal de la densidad c´ ubica de carga . . 34 1.2. El campo electromagn´etico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.1. Soluciones estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.2. Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en la frontera con otro medio . . . . . 37 1.2.3. Medio material de conductividad nula (aislante perfecto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.2.4. Medio conductor no perfecto . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3. Energ´ıa y potencia en los campos electromagn´eticos reales y complejos. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3.2. Energ´ıa y potencia en el campo electromagn´etico real. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.3. Energ´ıa y potencia en el campo electromagn´etico complejo. Vector de Poynting complejo . . . . . . . . . . . 43 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2. Propagaci´ on en medio indefinido

47

.

2.1. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.1. Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1.2. Impedancia intr´ınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2. Ondas planas en medios con p´erdidas . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1. Ondas planas en medio buen diel´ectrico . . . . . . . . 50 2.2.2. Ondas planas en medio buen conductor . . . . . . . . 50 2.3. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4. Ondas planas. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1. Observaciones sobre las ondas planas . . . . . . . . . . 52 2.5. Dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5.2. Diagrama de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6. Polarizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.1. Representaci´ on de estados de polarizaci´on . . . . . . . 56 2.7. Ondas planas en cambios de medio . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7.1. Incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7.2. Incidencia normal con cambio de medio . . . . . . . . 62 2.7.3. Incidencia oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. Ondas guiadas

77

3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´eneas. Planteamiento te´orico de la propagaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1. An´ alisis de la variaci´ on con z . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.2. Condiciones de contorno laterales . . . . . . . . . . . . 82 3.2.3. Condiciones de contorno de conductor perfecto . . . . 82 3.2.4. Caracter´ısticas de los modos

. . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.5. Ortogonalidad de los modos . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.6. Flujo medio de potencia a trav´es de una secci´on recta de la gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2.7. Estudio de la gu´ıa rectangular

. . . . . . . . . . . . . 86

3.2.8. Estudio de la gu´ıa circular . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.9. Soluciones para medios diel´ectricos con p´erdidas . . . 91 3.2.10. Condiciones de contorno para conductor con p´erdidas

92

3.3. Los modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.3.1. Estudio de la gu´ıa coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3.2. La l´ınea como elemento circuital . . . . . . . . . . . . 96 3.3.3. L´ınea de transmisi´ on con conductor no perfecto . . . . 99 3.3.4. Cierre de la l´ınea con una impedancia terminal. Impedancia transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3.5. Voltaje, intensidad e impedancia relativas . . . . . . . 103

5

6

´INDICE GENERAL

3.3.6. L´ınea equivalente a un modo . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.7. Discontinuidades en gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.8. Voltaje, intensidad e impedancia relativas . . . . . . . 107 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Radiaci´ on electromagn´ etica

113

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2. Campo radiado en funci´on de las corrientes . . . . . . . . . . 113 4.2.1. Campo radiado por un dipolo infinitesimal . . . . . . 117 4.3. Par´ ametros caracter´ısticos de una antena . . . . . . . . . . . 119 4.3.1. Centro de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2. Intensidad de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.3. Directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.4. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3.5. Eficiencia de radiaci´on de una antena . . . . . . . . . 121 4.3.6. Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.7. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.8. Apertura efectiva (´o Area equivalente de absorci´on) . 123 4.3.9. Relaci´on entre directividad y apertura efectiva m´axima123 4.3.10. Ecuaci´on de Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4. Aproximaci´on de campo lejano para dipolos finitos . . . . . . 125 4.4.1. Aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5. Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5.1. Arrays lineales uniforme equiespaciado . . . . . . . . . 128 4.5.2. Arrays planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 A. Deducci´ on de las condiciones de contorno del campo EM 133 B. Promedio de valores complejos

139

B.1. Valor medio de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 C. Corrientes magn´ eticas equivalentes

141

D. Principio de equivalencia

143

D.1. Campo a partir de la distribuci´on en una apertura . . . . . . 143

CAP´ITULO 0

Introducci´on y Revisi´on de Electricidad y Magnetismo ´ n de elementos matema ´ticos I. Revisio En este apartado se introducen los elementos b´asicos del c´alculo vectorial que ser´an u ´tiles en el desarrollo de los contenidos de los apuntes. Tambi´en se hace un repaso breve del problema de las magnitudes y unidades en las leyes f´ısicas. ´ 0.1 DEFINICIONES BASICAS 0.1.1 Definiciones de campo Definimos un campo escalar ψ como: ψ : D ⊂ R3 −→ R funci´on escalar y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D un escalar ψ. ~ como: Definimos un campo vectorial A ~ : D ⊂ R3 −→ R3 A funci´on vectorial y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D un ~ vector A. Las versiones complejas de los campos escalares y vectoriales se definen de manera an´ aloga. 0.1.2 Vectores unitarios y cosenos directores a ˆ= Vector unitario en la direcci´ on de ~a: a ˆ = ~a/|~a|

8

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

Si los vectores est´an definidos en el cuerpo complejo se debe emplear: √ a ˆ = ~a/ ~a · ~a∗ Cuando empleemos el sistema de coordenadas cartesiano, podemos expresar cualquier vector unitario rˆ en funci´on de los cosenos de los ´angulos (α, β, γ) que forma con los ejes x, y, z: rˆ = cos αˆ x + cos β yˆ + cos γ zˆ conocidos como cosenos directores. 0.1.3 L´ıneas de campo Las l´ıneas de campo son l´ıneas tangentes al campo vectorial en cada punto. Indican direcci´ on y sentido e intensidad, para lo cual se dibujan de forma que hay mayor densidad de l´ıneas en las zonas donde la intensidad de campo es mayor. En din´ amica de fluidos, una l´ınea de campo es precisamente una trayectoria recorrida por una part´ıcula de fluido. 0.1.4 ~ a trav´ Flujo de A es de una superficie S ~ decimos que su flujo a trav´es de una superficie Dado un campo vectorial A S viene dado por: ¨ ~ · d~s A S

~ representa un campo de velocidades, el En din´ amica de fluidos, donde A diferencial de flujo mide la cantidad de fluido que pasa por el paralelogramo tangente por unidad de tiempo. 0.1.5 Radi´ an y estereorradi´ an El radi´ an es la medida de un ´angulo plano y se define como el ´angulo plano cuyo v´ertice, en el centro de una circunferencia de radio r, subtiende un arco cuya longitud es r. La medida del ´ angulo s´olido es el estereorradi´ an, que corresponde al ´angulo s´ olido cuyo v´ertice, en el centro de una esfera de radio r, subtiende una superficie esf´erica cuyo ´area tiene como valor r2 . Dado que la superficie de una esfera es S = 4πr2 , hay 4π estereorradianes en una esfera cerrada. El elemento infinitesimal de ´area ds sobre la superficie de la esfera de radio r viene dado por: ds = r2 sin θdθdφ (m2 ) por lo que el elemento diferencial de ´angulo s´olido ser´a: dΩ =

ds = sin θdθdφ r2

(sr)

0.2. Sistemas de coordenadas

9

y vemos que se cumple, efectivamente que: ¨ dΩ = 4π Ω

0.2 SISTEMAS DE COORDENADAS 0.2.1 Definici´ on Dependiendo del problema y de las simetr´ıas que presente, es conveniente elegir el sistema de coordenadas. Coordenadas rectangulares (x, y, z). Coordenadas cil´ındricas (ρ, φ, z). Coordenadas esf´ericas (r, θ, φ). Notar que el ´angulo θ es de revoluci´on con respecto al eje z y var´ıa entre 0 y π mientras que el φ se mide siempre en el plano xy y var´ıa en un margen de 0 a 2π. 0.2.2 Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas Las coordenadas se relacionan seg´ un: x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z y los vectores unitarios (que dependen de φ):    Aρ cos φ sin φ  Aφ  =  − sin φ cos φ Az 0 0    Ax cos φ − sin φ  Ay  =  sin φ cos φ Az 0 0

 0 0  1  0 0  1

 Ax Ay  Az  Aρ Aφ  Az

0.2.3 Cambios de coordenadas cilindricas-esf´ ericas ρ = r sin θ z = r cos θ y los vectores unitarios (que dependen de θ):    Ar sin θ 0 cos θ  Aθ  =  cos θ 0 − sin θ Aφ 0 1 0    Aρ sin θ cos θ 0  Aθ  =  0 0 1 Az cos θ − sin θ 0



 Aρ   Aφ  Az   Ar   Aθ  Aφ

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´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

0.2.4 Cambios de coordenadas rectangulares-esf´ ericas Las coordenadas se relacionan seg´ un: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ y los vectores unitarios (que dependen de θ y φ):     Ar sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ  Aθ  =  cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ   Aφ − sin φ cos φ 0     Ax sin θ cos φ cos θ cos φ − sin φ  Ay  =  sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ   Az cos θ − sin θ 0

 Ax Ay  Az  Ar Aθ  Aφ

´ 0.3 CALCULO DIFERENCIAL VECTORIAL 0.3.1 Gradiente de una funci´ on escalar de punto ψ Sea ψ(x, y, z) una funci´on escalar y de punto. Se define el gradiente de ψ en coordenadas rectangulares como: ∇ψ(x, y, z) =

∂ψ(x, y, z) ∂ψ(x, y, z) ∂ψ(x, y, z) x ˆ+ yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z

Interpretaci´ on geom´ etrica del gradiente Se demuestra que si ∇ψ 6= 0, entonces ∇ψ apunta en la direcci´on en la cual ψ est´ a creciendo m´as r´apidamente. Propiedad Sea S la superficie que consta de aquellos (x, y, z) tales que f (x, y, z) = k=cte. El plano tangente a S en un punto (xo , yo , zo ) de S est´a definido por la ecuaci´ on: < ∇ψ(xo , yo , zo ), (x − xo , y − yo , z − zo ) >= 0 si ∇ψ(xo , yo , zo ) 6= 0, siendo < · > el producto escalar. 0.3.2 Laplaciana de una funci´ on escalar de punto ψ Sea ψ(x, y, z) una funci´on escalar y de punto. Se define la laplaciana de ψ en coordenadas rectangulares como: 4ψ(x, y, z) = ∇2 ψ(x, y, z) =

∂ 2 ψ(x, y, z) ∂ 2 ψ(x, y, z) ∂ 2 ψ(x, y, z) + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

0.3. C´ alculo diferencial vectorial

0.3.3 ~ Divergencia de una funci´ on vectorial de punto A ~ y, z) = Ax (x, y, z)ˆ Sea A(x, x + Ay (x, y, z)ˆ y + Az (x, y, z)ˆ z una funci´on vecto~ en coordenadas rectangulares rial y de punto. Se define la divergencia de A como: ~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∇·A ∂x ∂y ∂z 0.3.4 ~ Rotacional de una funci´ on vectorial de punto A ~ = Ax x Sea A ˆ + Ay yˆ + Az zˆ una funci´ on escalar y de punto. Se define el ~ rotacional de A en coordenadas rectangulares como:       ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ~ ∇×A= − x ˆ+ − yˆ + − zˆ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y que simb´olicamente puede expresarse como: x yˆ ˆ ~ ∇ × A = ∂/∂x ∂/∂y Ax Ay

zˆ ∂/∂z Az



0.3.5 ~ Laplaciana de una funci´ on vectorial de punto A ~ y, z) = Ax (x, y, z)ˆ Sea A(x, x + Ay (x, y, z)ˆ y + Az (x, y, z)ˆ z una funci´on vecto~ en coordenadas rectangulares rial y de punto. Se define la laplaciana de A como: ~ = 4Ax x 4A ˆ + 4Ay yˆ + 4Az zˆ 0.3.6 Teorema de la divergencia de Gauss ~ un Sea V una regi´ on y S la superficie cerrada orientada que acota V . Sea A campo vectorial definido en V . Entonces: ˆ ‹ ~ = ~ · d~s ∇ · Adv A V

S

~ es la raz´on El significado f´ısico de la divergencia es que en un punto P , ∇ · A del flujo neto que sale por P por unidad de volumen. 0.3.7 Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada definida por una funci´on C 2 , z = f (x, y), ~ un campo vectorial C 1 en S. Entonces, si L denota una (x, y) ∈ D y sea A curva frontera orientada de S, tenemos: ¨ ˛ ~ ~ · d~l ∇ × A · d~s = A S

L

11

12

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

~ es la circulaci´on El significado f´ısico del rotacional en un punto P , ∇ × A ~ por unidad de ´area en una superficie perpendicular a d~s. de A

0.3.8 Operadores en coordenadas cil´ındricas

∇ψ =

~= ∇·A

∂ψ 1 ∂ψ ˆ ∂ψ ρˆ + φ+ zˆ ∂ρ ρ ∂φ ∂z

1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aφ ∂Az + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z

      1 ∂Az ∂Aφ ∂Aρ ∂Az ˆ 1 ∂(ρAφ ) 1 ∂Aρ ~ ∇×A= − ρˆ + − φ+ − zˆ ρ ∂φ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂φ   1 ∂ ∂ψ 1 ∂2ψ ∂2ψ 4ψ = ∇ ψ = ρ + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ2 ∂z 2 2

    2 ∂Aφ Aρ Aφ ˆ 2 ∂Aρ ~ 4A = 4Aρ − 2 − 2 ρˆ + 4Aφ + 2 − 2 φ + 4Az zˆ ρ ∂φ ρ ρ ∂φ ρ

0.3.9 Operadores en coordenadas esf´ ericas

∇ψ =

~= ∇·A

~= ∇×A

∂ψ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ ˆ rˆ + θ+ φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

1 ∂(r2 Ar ) 1 1 ∂Aφ ∂ + (sin θAθ ) + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

      1 ∂ ∂Aθ 1 1 ∂Ar ∂(rAφ ) ˆ 1 ∂(rAθ ) ∂Ar ˆ (Aφ sin θ) − rˆ+ − θ+ − φ r sin θ ∂θ ∂φ r sin θ ∂φ ∂r r ∂r ∂θ

4ψ = ∇2 ψ =

    1 ∂ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂2ψ 2 ∂ψ r + sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2

   ∂Aθ 2 ∂Aφ ~ + rˆ+ 4A = 4Ar − 2 Ar + cotθAθ + cscθ r ∂φ ∂θ    1 ∂Ar ∂Aφ ˆ 4Aθ − 2 csc2 θAθ − 2 + 2cotθcscθ θ+ r ∂θ ∂φ    1 ∂Ar ∂Aθ 4Aφ − 2 csc2 θAφ − 2cscθ − 2cotθcscθ φˆ r ∂φ ∂φ

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones

13

0.3.10 Identidades vectoriales Suma y multiplicaci´ on ~·A ~ = |A|2 A ~·A ~ ∗ = |A|2 A ~+B ~ =B ~ +A ~ A ~ ~ ~ ~ A·B =B·A ~×B ~ = −B ~ ×A ~ A ~ ~ ~ ~ ~ +B ~ ·C ~ (A + B) · C = A · C ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (A + B) × C = A × C + B × C ~·B ~ ×C ~ =B ~ ·C ~ ×A ~=C ~ ·A ~×B ~ A ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A × B × C = (A · C)B − (A · B) × B ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B ~ ·D ~C ~ −B ~ ·C ~ D) ~ (A × B) · (C × D) = A · B × (C × D) = A( ~ × B) ~ × (C ~ × D) ~ = (A ~×B ~ · D) ~ C ~ − (A ~×B ~ · C) ~ D ~ (A Diferenciaci´ on

~ =0 ∇ · (∇ × A) ∇ × ∇Ψ = 0 ∇(Φ + Ψ) = ∇Φ + ∇Ψ ∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ ~ + B) ~ =∇·A ~+∇·B ~ ∇ · (A ~ + B) ~ =∇×A ~+∇×B ~ ∇ × (A ~ ~ ~ ∇ · (ΨA) = A · ∇Ψ + Ψ∇ · A ~ = ∇Ψ × A ~ + Ψ∇ × A ~ ∇ × (ΨA) ~ · B) ~ = (A ~ · ∇)B ~ + (B ~ · ∇)A ~+A ~ × (∇ × B) ~ +B ~ × (∇ × A) ~ ∇(A ~ × B) ~ =B ~ ·∇×A ~−A ~·∇×B ~ ∇ · (A ~ × B) ~ = A∇ ~ ·B ~ − B∇ ~ ·A ~ + (B ~ · ∇)A ~ − (A ~ · ∇)B ~ ∇ × (A ~ ~ ~ ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − 4A

Para expresar una magnitud en un cierto espacio de referencia, se toma como patr´ on la unidad U de forma que una magnitud X puede expresarse de la forma: X = U x = U 0 x0 siendo x la medida de esta magnitud, que variar´a seg´ un la unidad elegida. Para comparar cantidades de la misma magnitud es necesario efectuar sus medidas con la misma unidad. Las leyes f´ısicas relacionan entre s´ı medidas de magnitudes de distinta naturaleza. Las leyes f´ısicas, en general, se expresan mediante relaciones de la forma: x = Kxa1 1 · xa2 2 ... · xa1 n (1) donde K es una constante y a1 , a2 , ..., an son n´ umeros racionales positivos o negativos, de manera que: Las magnitudes relacionadas mediante una ley se dice que son coherentes entre s´ı cuando la constante K es la unidad.

0.4 UNIDADES, SISTEMAS DE UNIDADES Y ECUACIONES DE DIMENSIONES

14

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

Las magnitudes f´ısicas se dicen fundamentales cuando son independientes entre s´ı, es decir, no hay ninguna ley f´ısica que las relacione. Las unidades que tomemos para la medida de ´estas, las denominaremos unidades fundamentales. Toda magnitud f´ısica relacionada con las fundamentales mediante una ley f´ısica se denomina magnitud derivada. Sus unidades se denominar´ an unidades derivadas y se obtendr´an mediante una relaci´on del tipo (1) entre las unidades de las magnitudes fundamentales. Como magnitudes fundamentales comunes a todos los campos de la f´ısica, se han tomado la longitud y el tiempo; ellas son suficientes para desarrollar la cinem´ atica; en los dem´as campos de la mec´anica se hace necesario utilizar una tercera magnitud fundamental, que puede ser la masa o la fuerza. En los restantes campos de la f´ısica es necesaria una cuarta magnitud fundamental, tom´ andose en termodin´amica la temperatura; en ´optica la intensidad luminosa y en electricidad el amperio. Un sistema de unidades queda definido cuando se han elegido sus magnitudes fundamentales con sus respectivas unidades de medida. A partir de ´estas y mediante las correspondientes leyes f´ısicas se deducir´an sus magnitudes y unidades derivadas. M.K.S.A.= metro, kilogramo, segundo, amperio El sistema C.G.S. es una variante del anterior que utiliza el cent´ımetro, el gramo y el segundo.

En lo que sigue utilizaremos el sistema M.K.S.A que ha pasado a formar parte del Sistema Internacional (S.I.), adoptado oficialmente en Espa˜ na desde 1967. Cada magnitud fundamental se representa por un s´ımbolo que en el Sistema Internacional y para las magnitudes mec´anicas es: L para la longitud T para el tiempo M para la masa Si en la expresi´ on de una ley f´ısica sustituimos cada magnitud fundamental por su s´ımbolo, obtendremos la llamada ecuaci´ on de dimensiones de la magnitud derivada de que se trate. La ecuaci´ on de dimensiones nos permite establecer la homogeneidad de las f´ ormulas f´ısicas, dici´endose que una expresi´on es homog´enea cuando ambos miembros tienen la misma ecuaci´on de dimensiones. Adem´as facilita el establecimiento de la coherencia entre unidades f´ısicas, dici´endose que una serie de unidades son coherentes entre s´ı, cuando la ecuaci´on de dimensiones de la ley f´ısica que las relaciona no contiene factor num´erico multiplicativo salvo la unidad. un sistema de unidades U , U1 , U2 , ..., Un para el cual es X = U x, X1 = U1 x1 , X2 = U2 x2 , ..., Xn = Un xn se dice que es acorde con una ley f´ısica como la (1) cuando verifica: x = Kxa1 1 · xa2 2 ... · xann

(2)

Un nuevo sistema de unidades U 0 , U10 , U20 , ..., Un0 para el cual es X = U 0 x0 , X1 = U10 x01 , X2 = U20 x02 , ..., Xn = Un0 x0n se dice que es no acorde con una ley f´ısica cuando cambia la cosntante de la misma, es decir, verifica: a

a

a

x0 = K 0 x0 1 1 · x0 2 2 ... · x0 nn

(3)

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones

El cociente entre (2) y (3): K x = 0 x0 K



x1 x01

a1 

x2 x02

a2

 ...

xn x0n

an

en funci´on de las unidades de los respectivos sistemas se expresa:  an  a  a Un K U1 1 U2 2 U ... = U0 K 0 U10 U20 Un0 expresi´on que nos permite cambiar de sistema de unidades en la expresi´on de una ley f´ısica, al darnos el coeficiente k 0 de la expresi´on correspondiente al nuevo sistema de unidades:  an  a  a Un U U1 1 U2 2 0 K =K 0 ... (4) U U10 U20 Un0 Una misma ley f´ısica, tal como la (1), en un cierto sistema de unidades, se expresa mediante una relaci´ on como la (2), mientras que en otro sistema de unidades se expresa mediante la (3), estando dado el coeficiente K 0 por la ecuaci´on (4).

15

16

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

´ n de Electricidad y Magnetismo II. Revisio En este apartado se revisan los conceptos m´as importantes de la electricidad y magnetismo cl´asicos hasta llegar al planteamiento de las ecuaciones de Maxwell. ´ 0.5 ELECTROSTATICA 0.5.1 La carga Electricidad deriva de ηλεκτ ρoν que significa ´ ambar en griego

Introducimos la funci´on ρ(~r) conocida como densidad de carga ρ(~r) =

La unidad de carga en el sistema MKSA (SI) es el Coulombio (C). La carga de un electr´ on es de −1.602 × 10−19 C

dq dv

La carga est´ a cuantizada, de forma que la carga total de un cuerpo es un m´ ultiplo entero de la carga de un electr´on. Las distribuciones de carga que emplearemos son continuas. Por ello, consideraremos elementos de volumen suficientemente grandes como para englobar un n´ umero elevado de part´ıculas cargadas, de forma que deje de manifestarse su caracter discreto y veamos efectos de promedio. Se entiende por carga puntual situada en ~r1 la definida como: ρ(~r) = qδ(~r − ~r1 ) donde δ(·) es una funci´on delta de Dirac. Una carga puntual tiene sentido al considerar distribuciones de carga a distancias muy grandes respecto a su tama˜ no. 0.5.2 Ley de Coulomb y principio de superposici´ on Hay dos leyes fundamentales en la electrost´atica: la Ley de Coulomb y el principio de superposici´on. Supongamos dos cargas puntuales de valor q y q 0 separadas una distancia r. La Ley de Coulomb establece que la fuerza entre ellas responde a la expresi´on: 0

~ = C qq rˆ F r2 donde C es una constante que depende del medio. En un sistema racionalizado la ecuaci´ on anterior resulta: 0 ~ = qq rˆ F 4πr2

siendo  una constante conocida como permitividad o constante diel´ectrica del medio. Cuando las cargas se encuentran en el vac´ıo, decimos que  = o . El valor de esta constante en MKSA es (notar que tiene dimensiones): 0 =

1 10−9 (F aradios/m) = 8.854 × 10−12 (F/m) 36π

0.5. Electrost´ atica

17

Para medios lineales, homog´eneos e is´ otropos distintos al vac´ıo, la permitividad se expresa como:  = r o siendo r la permitividad relativa del medio, que cumple siempre r > 1. M´as adelante comentaremos brevemente c´ omo se introducen los medios materiales en la descripci´ on del fen´ omeno electromagn´etico. En cuanto al principio de superposici´ on, establece que la fuerza que experimenta una carga dada debida a una distribuci´ on de cargas es la suma vectorial de las fuerzas que producir´ıan cada una de las cargas de la distribuci´on si estuvieran aisladas del resto. 0.5.3 Definici´ on de E~ Aunque las dos leyes anteriores son suficientes para resolver cualquier problema de la electrost´ atica, es convieniente por razones pr´acticas y conceptuales introducir dos ideas secundarias que ser´an de gran utilidad: el campo el´ectrico y el potencial electrost´ atico. ~ Se define el campo el´ectrico E creado por q 0 en la posici´on de la carga q como la fuerza que experimenta la unidad de carga: ~ F E~ = q de donde se sigue que: E~ =

q0 rˆ 4πr2

(5)

Observamos que se trata de un campo de fuerzas centrales. Sus unidades m´as habituales en MKSA son N/C ´ o V oltio/m = V /m. El principio de superposici´ on se expresa como: E~ =

N X i=1

qi0 rˆi 4πri2

0.5.4 ~ Definici´ on de D Resulta de inter´es introducir un nuevo vector m´as relacionado con las cargas ~ Definimos: que E. ~ = E~ D (6) ~ Este nuevo campo se denomina asumiendo una relaci´ on lineal entre E~ y D. vector desplazamiento el´ectrico o vector de densidad el´ectrica de flujo. Para cargas puntuales, este vector tiene la propiedad de que es radial e independiente del material en cuyo seno se encuentran las cargas. Adem´as su flujo a trav´es de una superficie cerrada que englobe a la carga es igual a la carga total: ‹ ~ · d~s = Σqi D S

y esto es independiente de la superficie en cuesti´on. Cuando se trabaja con medios materiales reales (no en el vac´ıo), la presencia de un campo el´ectrico en dichos medios puede provocar que las cargas

Un medio es homog´ eneo cuando sus caracter´ısticas no dependen de las coordenadas, e is´ otropo, cuando las propiedades del mismo var´ıan igual en todas las direcciones en torno a un punto dado.

18

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

de las mol´eculas (neutra en un principio) se desplacen de forma que dichas mol´eculas se polarizan. Tambi´en puede ocurrir que la mol´ecula inicialmente se encuentre polarizada (o lo que es lo mismo, que tenga un momento dipolar permanente), por lo que el campo har´a que se oriente de determinada forma. Grosso modo, el campo final ser´a la suma del campo inicial m´ as las contribuciones de los distintos dipolos y la distribuci´on de campo en el interior del material ser´a dif´ıcil de determinar y presentar´a grandes variaciones a nivel microsc´opico. De acuerdo con la evidencia experimental se verifica: ~ = o E~ + P ~e D (7) Recordamos que una distribuci´ on con un ~ e crea un campo exmomento dipolar P terno equivalente al que producir´ıa una distribuci´ on volum´ etrica de carga ρp = ~ e y una distribuci´ −∇ · P on superficial ρs = Pen

~ e es el vector adicional de polarizaci´on el´ectrica. El vector P En medios lineales, homog´eneos e is´otropos (7) se convierte en: ~ = o E~ + P ~ e = o E~ + o χe E~ = o (1 + χe )E~ = E~ D donde χe es una constante positiva que depende del material y se denomina susceptibilidad el´ectrica 0.5.5 ~ Propiedades integrales y diferenciales de E~ y D

Seg´ un el teorema de Helmholtz, un campo vectorial queda un´ıvocamente determinado si se conocen su divergencia y su rotacional en todos los puntos del espacio

Estudiamos las propiedades integrales y diferenciales de E~ a partir de la expresi´ on (5) utilizando resultados conocidos del c´alculo vectorial. Se demuestra que se verifica la ecuaci´on: ‹ ˆ ~ · d~s = D ρdv S

V

donde S es la superficie cerrada que encierra el volumen V . Esta expresi´ on se conoce como Teorema de Gauss. Esto significa que el flujo neto a trav´es de una superficie cerrada que no encierra ninguna carga es cero. La versi´ on diferencial de este teorema es: ~ =ρ ∇·D Por otra parte, es f´acil demostrar que ∇ × E~ = 0 y aplicando el teorema de Stokes a esta integral, resulta: ˛ E~ · d~l = 0

(8)

Un campo que verifica (8) se denomina conservativo.

0.5.6 Potencial electrost´ atico Esta propiedad permite una simplificaci´on. Sabemos que un campo que cumpla esta propiedad se puede calcular como: E~ = −∇Φ

(9)

0.6. Magnetost´ atica

19

siendo Φ una funci´ on escalar y de punto denominada potencial electrost´ atico que tiene una propiedad muy u ´til: la diferencia entre dos puntos es igual al trabajo que hay que realizar para trasladar una carga unidad entre ellos. En efecto, el trabajo que hay que realizar para transportar una carga del punto 1 al punto 2 contra el campo E~ ser´a: ˆ

2

E~ · d~l = Φ2 − Φ1

W12 = − 1

As´ı, la diferencia de potencial entre dos puntos es igual al trabajo que hay que realizar para trasladar una carga unidad entre los dos puntos. La ecuaci´on Φ(~r) = cte. define una superficie equipotencial, siendo el campo perpendicular a estas superficies en todo punto. Si ahora tomamos la divergencia de (9), resulta: 4Φ = −

ρ 

se obtiene la conocida como Ecuaci´ on de Poisson, que para puntos del espacio donde ρ = 0 se convierte en: 4Φ = 0 conocida como Ecuaci´ on de Laplace. Teniendo en cuenta que el potencial creado por una carga puntual es: Φq =

q0 4πr

para un elemento de carga ρdv 0 ser´ a dΦ = ρdv 0 /|~r −~r0 | por lo que el potencial total ser´a, por superposici´ on: ˆ 1 ρ(~r0 ) Φ(~r) = dv 0 4π V 0 |~r − ~r0 | que corresponde a la versi´ on integral de la ecuaci´on de Poisson. Esta ecuaci´on plantea un problema de suma en contraste con los problemas de condiciones de contorno, bastante m´ as complejos, en los que ρ(~r) no se conoce de antemano. ´ 0.6 MAGNETOSTATICA 0.6.1 Corriente y conceptos relacionados Supongamos una distribuci´ on de carga que se mueve con velocidad ~v tante. Definimos un vector densidad superficial de corriente el´ectrica cada punto como: J~ = ρ~v

consJ~ en (10)

esto es, como la cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa una unidad de ´ area (A/m2 en MKSA). Supongamos ahora una densidad de corriente dependiente del tiempo J~ (~r, t) y una superficie infinitesimal d~s situada en el seno de la corriente y sea

La palabra magnetismo deriva de Magnesia, regi´ on de Grecia donde se encontraron las primeras piedras im´ an con estas propiedades

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´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

dI la carga que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. Claramente dI = J~ · d~s por lo que se verificar´a: ¨ I= J~ · d~s S

I se denomina corriente a trav´es de la superficie S. Supongamos que la superficie S es cerrada y que admitimos el principio de que la carga no se crea ni se destruye. Entonces, la carga total en el volumen ´ ´ V ser´ a V ρdv y su tasa de variaci´on con el tiempo ∂/∂t V ρdv. Por tanto, el principio de conservaci´on de la carga se expresa como: ˆ ‹ ∂ ρdv = 0 J~ · d~s + ∂t V S Si aplicamos ´ el teorema de la divergencia al primer sumando podemos sustituirlo por V ∇ · J~ d~s y dado que la expresi´on anterior debe verificarse para cualquier volumen V , se sigue que: ∂ρ ∇ · J~ + =0 ∂t

(11)

expresi´ on matem´atica de la Ley de conservaci´ on de la carga o ecuaci´ on de continuidad de la carga. Si la densidad de carga ρ es una funci´on s´olo de ~r y no var´ıa con el tiempo, la ecuaci´ on anterior se convierte en: ∇ · J~ = 0 que implica que las l´ıneas de flujo de corriente se cierran sobre s´ı mismas, esto es, forman lazos cerrados. Cuando la corriente se produce dentro de un conductor y dentro del conocido como margen lineal, se verifica experimentalmente la conocida Ley de Ohm (generalizada): J~ = σ E~ siendo σ la conductividad del medio (Ω−1 m−1 en MKSA). El valor σ permite clasificar a su vez a los medios como conductores, semiconductores y aislantes, si bien esta divisi´on es relativa, como veremos m´as adelante. A partir de la anterior se deriva la Ley de Joule: dP ~2 = J~ · E~ = σ|E| dv 0.6.2 Fuerzas entre conductores Supongamos dos lazos por los que discurren las corrientes I1 y I2 respectivamente. Los experimentos de Amp`ere mostraron que la fuerza total F~1 sobre el circuito 1 debida a su interacci´on con el circuito 2 es proporcional a las dos corrientes I1 y I2 y a una integral que depende s´olo de la geometr´ıa (ver figura 1): ˛ ˛ d~l1 × (d~l2 × ~r12 ) ~1 = CI1 I2 F 3 r12 C1 C2 La constante de proporcionalidad C depende del medio. En un sistema

0.6. Magnetost´ atica

dl1 dl2 r12 I1 I2

Figura 1: Ley de Amp`ere

racionalizado, la ecuaci´ on anterior se escribe: ~1 = µ I1 I2 F 4π

˛ C1

˛ C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12 ) 3 r12

siendo µ una constante conocida como permeabilidad magn´etica del medio, cuyas unidades son (Henrio/m)=H/m en MKSA. La permeabilidad del vac´ıo en este sistema es µ0 = 4π × 10−7

(H/m)

Para cualquier otro medio lineal, homog´eneo e is´otropo, podemos escribir: µ = µr µo 0.6.3 ~ Definici´ on del vector de intensidad de campo magn´ etico H Partimos de una situaci´ on en la que tenemos corrientes el´ectricas estacionarias, esto es ∂ J~ /∂t = 0. Tal y como hicimos en electrost´atica, es conveniente definir un nuevo campo, imaginando que una de las corrientes produce un campo que act´ ua sobre la otra. ~ producido por I2 Definimos el vector intensidad de campo magn´etico H como: ˛ ~ dl2 × ~r12 ~ = I2 H 3 4π r12 ~ ejerce una fuerza F ~1 sobre la Entonces, postulamos que este campo H corriente I1 dada por: ˛ ~1 = µI1 d~l1 × H ~ F ~ A/m en MKSA. siendo las unidades de H ~ asumiendo que cada elemento Es conveniente extender la definici´ on de H ~ ~ dI de corriente produce un campo dH dado por: ~ = dH

I d~l × ~r 4π r3

siendo ~r el vector que une el elemento y el punto en el que se calcula el campo. Esta expresi´ on recibe el nombre de Ley de Biot y Savart. Notar que impl´ıcitamente estamos utilizando el principio de superposici´on de fuerzas magn´eticas.

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0.6.4 ~ Definici´ on del vector de inducci´ on magn´ etica B De la misma forma que hicimos con el campo el´ectrico en electrost´atica, es necesario introducir el efecto de lo microsc´opico en nuestro planteamiento macrosc´ opico. A efectos de calcular el campo magn´etico, los medios materiales se caracterizan mediante momentos dipolares magn´eticos. Introducimos ~ definido como: un vector vector de inducci´on magn´etica B ~ = µH ~ B

(12)

~ = µo H ~ +P ~m B

(13)

que puede expresarse como

~ m el vector adicional de magnetizaci´on. En medios lineales, hosiendo P mog´eneos e is´ otropos (13) se convierte en: ~ = µo H ~ +P ~ m = µo H ~ + µo χm H ~ B donde χm es una constante positiva o negativa que depende del material y se denomina susceptibilidad magn´etica 0.6.5 ~yH ~ Propiedades diferenciales e integrales de B Operando a partir de las ecuaciones anteriores, se puede demostrar que:

~ no es conservativo Notar que el campo B

~ = J~ ∇×H

(14)

~=0 ∇·B

(15)

~ es rotacional puro. Empleando los teoremas de la diveresto es, el campo B gencia y Stokes llegamos a las versiones integrales: ˆ ~ · d~l = I H C

conocida como Ley de Amp`ere, junto con ‹ ~ · d~s = 0 B S

0.6.6 El Potencial vector magn´ etico ~ es distinto de cero, no puede existir un potencial real Dado que ∇ × B para calcular el campo mediante una diferenciaci´on. No obstante, podemos introducir un potencial generalizado de tipo vectorial que s´ı cumple esta propiedad. Adem´as el resultado ser´a v´alido tambi´en para el interior de las corrientes. ~ al que llamaremos potencial vector de forma que: Introducimos un vector A ~ =∇×A ~ B

0.7. Energ´ıa en campos est´ aticos

23

por lo que se cumplir´ a autom´ aticamente que: ~=0 ∇·B Entonces, la ecuaci´ on (14) resulta: ~ = µJ~ ∇ × (∇ × A) que corresponde a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas y que se puede expresar como: ~ − 4A ~ = µJ~ ∇(∇ · A) ~ queda determinado s´olo cuando definamos Por el teorema de Helmholtz, A ~ Como tenemos libertad para hacerlo como queramos, a la vista de la ∇ · A. ~ = 0 de forma que: ecuaci´on anterior, interesa imponer ∇ · A ~ = −µJ~ 4A Dado que esta ecuaci´ on tiene la misma forma que la ecuaci´on de Poisson, su soluci´on ser´ a an´ aloga, de forma que podemos decir que: ˆ

~ r) = µ A(~ 4π

V0

J~ (~r0 ) 0 dv |~r − ~r0 |

0.7 ENERG´IA EN CAMPOS ´ ESTATICOS 0.7.1 Energ´ıa electrost´ atica Suponemos una distribuci´ on arbitraria de cargas. Se demuestra que la energ´ıa potencial del sistema conocida como energ´ıa electrost´ atica viene dada por: WE =

1 2

ˆ ˆ V

V0

ρ(~r)ρ(~r0 ) dvdv 0 |~r − ~r0 |

Una variante de esta expresi´ on es: 1 WE = 2

ˆ ρ(~r)Φ(~r)dv V

Aunque esta integral se extiende s´ olo a los puntos donde existe densidad de carga, puede ser extendida a todo el volumen de espacio Vt de la siguiente forma: ˆ 1 ~ WE = E~ · Ddv 2 Vt Esta f´ormula expresa la energ´ıa u ´nicamente en t´erminos del campo electrost´atico, concepto b´ asico Maxwelliano (la energ´ıa reside en el campo no en las fuentes).

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´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

0.7.2 Energ´ıa magnetost´ atica Se demuestra que la energ´ıa necesaria para formar una distribuci´on de corriente viene dada por: ˆ 1 ~ · J~ dv WM = A 2 V Aunque la energ´ıa parece residir en las corrientes, esta expresi´on puede modificarse para que la energ´ıa se exprese u ´nicamente en funci´on del campo:

WM =

1 2

ˆ ~ · Hdv ~ B Vt

´ 0.8 ELECTRODINAMICA 0.8.1 El problema de la variaci´ on temporal La electrost´ atica trata distribuciones de cargas est´aticas, esto es, inm´oviles en promedio. Por tanto, los campos el´ectricos que se producen son independientes del tiempo. La magnetost´atica estudia los campos creados por cargas en movimiento, con la particularidad de que estas corrientes son estacionarias, esto es, independientes del tiempo. Los campos el´ectricos y magn´eticos son, por tanto, independientes del tiempo. Ahora vamos a calcular el efecto del movimiento de las cargas de manera arbitraria, por los que los campos ser´ an variables con el tiempo. En espacio libre, en presencia u ´nicamente de cargas y distribuciones de corriente pero no de materia, hay cuatro ecuaciones b´asicas para los campos est´ aticos, dos para definir la divergencia y el rotacional de E~ y otras ~ Para el caso electrodin´amico, las ecuaciones que definen los dos para B. rotacionales deben completarse con t´erminos que dependen de la variaci´on temporal. Uno de ellos fue encontrado experimentalmente por Faraday. El otro, fue postulado por Maxwell. Este conjunto de 4 ecuaciones completas se denomina ecuaciones de Maxwell para espacio libre. 0.8.2 La Ley de Faraday Faraday encontr´ o, empleando corrientes en lazos, que la integral curvil´ınea del campo el´ectrico alrededor de un lazo es proporcional a la variaci´on temporal del flujo magn´etico a trav´es de ese lazo: ˛

ˆ E~ · d~l = − S

~ ∂B · d~s ∂t

(16)

La evidencia emp´ırica indica que esta relaci´on entre un campo magn´etico variable y el campo el´ectrico, es una propiedad de los campos en el espacio: los cables y las corrientes que fluyen en ellos sirve u ´nicamente para que se manifieste (16).

0.8. Electrodin´ amica

Empleando el teorema de Stokes podemos escribir: ~ ∂B ∇ × E~ = − ∂t que es la generalizaci´ on de la ley ∇ × E~ = 0 de la electrost´atica. Si generalizamos lo anterior a lazos de forma variable se obtiene la conocida Ley de Lenz : ∂φ (17) f em = − ∂t siendo φ el flujo a trav´es de la superficie que define el lazo y f em la fuerza electromotriz generada. 0.8.3 La corriente de desplazamiento y las ecuaciones de Maxwell Discutimos ahora una generalizaci´ on de las ecuaciones anteriores debida a James C. Maxwell. Esta generalizaci´ on es un postulado que se entiende mejor si miramos al contexto de la ´epoca en que se introdujo. ~ = µJ~ . Si tomamos Consideremos la ecuaci´ on de la magnetost´atica ∇ × B la divergencia de esta ecuaci´ on obtenemos: ∇ · J~ = 0 Sabemos que el hecho de que la divergencia de un vector sea cero implica que las l´ıneas de campo se cierran sobre s´ı mismas. Por lo tanto, la ecuaci´on anterior implica que la corriente fluye en lazos cerrados. Esto es lo que ocurre con campos est´ aticos. Sin embargo ahora, nos encontramos ante una situaci´on diferente. Si p. ej. consideramos un condensador que se carga conectando las dos placas a una bater´ıa, podemos decir que existe corriente en el cable pero no habr´a corriente entre las placas del condensador. La concepci´on de este proceso por parte de Maxwell es diferente. Para entenderla acudimos a los descubrimientos de Faraday sobre el fen´omeno de la polarizaci´on o lo que es lo mismo, a la separaci´ on de cargas en un medio material debido a la presencia de un campo el´ectrico. Las cargas deben moverse para separarse y, dado que las cargas en movimiento constituyen una corriente, el proceso de polarizaci´ on implica la existencia de una corriente que puede llamarse corriente de polarizaci´ on. En aquel momento se supon´ıa que las acciones el´ectromagn´eticas no se transmit´ıan a trav´es del vac´ıo sino a trav´es de un ´eter que no era distinto en nada a la materia diel´ectrica. Por lo tanto, no era raro que Maxwell extendiera el concepto de corriente de polarizaci´ on al ´eter. Maxwell consider´ o que, en el proceso de carga de un condensador, los cables del condensador y el ´eter entre dichas placas formaban un circuito material continuo. Para ello, modific´ o las ecuaciones anteriores como se indica a continuaci´ on. ~ = ρ se sigue: A partir de ∇ · D ∂ρ ∂ ~ = ∇·D ∂t ∂t

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´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

Si introducimos esto en la ecuaci´on de continuidad de carga (11) obtenemos: " # ~ ∂ D ∇ · J~ + =0 (18) ∂t ~ El segundo sumando ∂ D/∂t tiene las dimensiones de una corriente y fue denominado por Maxwell corriente de desplazamiento. Si consideramos que la corriente total consiste en una densidad de corriente m´as una corriente de desplazamiento, vemos que la corriente total siempre fluye en lazos cerrados. Sin embargo, debemos recordar que la corriente de desplazamiento no es una corriente en el sentido ordinario, ya que no est´a asociada a un flujo de carga. A partir del resultado (18), Maxwell generaliz´o la Ley de Amp`ere diferencial ~ = J~ asumiendo que para los campos variables con el tiempo, la ∇×H corriente en esta f´ormula deber´ıa ser la corriente total incluyendo la corriente de desplazamiento, de forma que esta ecuaci´on resulta: ~ ~ = J~ + ∂ D ∇×H ∂t

(19)

Esta ecuaci´ on es un postulado que ha quedado contrastado ampliamente por la experiencia. Entonces, las ecuaciones del modelo de Maxwell son: ~ ~ = J~ + ∂ D ∇×H ∂t ~ ∂B ∇ × E~ = − ∂t y si imponemos como postulado la ley de conservaci´on de carga: ∇J~ +

∂ρ =0 ∂t

se puede demostrar f´acilmente que se cumple: ~ =ρ ∇·D ~=0 ∇·B Adem´ as, en el sistema de ecuaciones planteado, hemos de considerar el tipo de medio material (, µ, σ): J~ = σ E~ ~ = E~ D ~ = µH ~ B conocidas como relaciones constitutivas del medio material ~ D, ~ B ~yH ~ a partir Las ecuaciones de Maxwell permiten calcular los campos E, de fuentes arbitrarias. Dado que estos campos son importantes debido a su acci´ on sobre las cargas, los fundamentos de la teor´ıa electromagn´etica se completan prescribiendo c´omo es dicha acci´on. Para ello se utiliza la Ley de la densidad de fuerza de Lorentz : dada una distribuci´on de carga arbitraria caracterizada por ρ(~r) que se mueve a una velocidad ~v (~r) con respecto a un ~ la densidad de sistema de referencia inercial en el cual hay campos E~ y B, fuerza (fuerza/unidad volumen) que act´ ua sobre la distribuci´on f~ es: ~ f~ = ρ(E~ + ~v × B)

0.8. Electrodin´ amica

Observamos c´ omo el primer sumando es una extensi´on del campo electrost´atico al caso electrodin´ amico. El segundo sumando es la esencia del postulado. Generaliza los resultados obtenidos en magnetost´atica sobre la fuerza entre dos lazos con corrientes estacionarias. Por u ´ltimo, la energ´ıa almacenada (el´ectrica y magn´etica) por el campo electromagn´etico vendr´a dada por: ˆ 1 ~ E~ · Ddv WE = 2 Vt ˆ 1 ~ · Hdv ~ WM = B 2 Vt Como veremos a lo largo del curso, los conceptos clave del planteamiento, ampliamente validado por la experiencia, son: ~ yH ~ la introducci´ on de D ~ la simetrizaci´ on del sistema (J~ + ∂ D/∂t no tiene manantiales) ~ observamos como est´an acoplados en las la inseparabilidad E~ ↔ B: ecuaciones y que, aunque se verifique J~ = 0 existir´an fuentes de cam~ po magn´etico si ∂ D/∂t 6= 0, por lo que si existen campos el´ectricos variables, ´estos se convierten en fuentes de campo magn´etico variable y lo mismo ocurre al contrario: aunque no existan distribuciones de ~ cargas, si existen campos magn´eticos variables ∂ B/∂t 6= 0, ´estos se convierten en fuentes de campo el´ectrico.

27

28

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

0.9 EJERCICIOS

0.2 Sean los vectores ~a = 3ˆ x + 2ˆ y − zˆ y ~b = −ˆ y + 3ˆ z . Calcule: A. ~a · ~b B. ~a × ~b C. Angulo que forman ~a y ~b D. Vector unitario en la perpendicular del plano que forman ~a y ~b 1 Sol : A) −5; B) 5ˆ x − 9ˆ y − 3ˆ z ; C) 115◦ ; D) ± √115 (5ˆ x − 9ˆ y − 3ˆ z)

0.3 Sean los vectores ~a = 3j x ˆ + 2ˆ y − j zˆ y ~b = −ˆ y + (1 + 2j)ˆ z . Calcule: A. |~a| y |~b| B. |~a · ~b∗ | C.

1 a 2 Re[~

× ~b∗ ]

Sol : A) |~a| =

√

14 ; |~b| =

√

6; B) |~a · ~b∗ | = 3; C) 1/2Re[~a × ~b∗ ] = x ˆ + 3ˆ y

0. 4 Indicar las coordenadas esf´ericas que definen: A. La direcci´ on zˆ B. El plano bisector de los ejes xy C. La direcci´ on ~r = −ˆ x + yˆ + zˆ Sol : A) θ = 0; B) φ = π/4; C) φ = 135◦ θ = 54.73◦ 0. 5 Expresar la curva ρ = a(1 + cos φ) en coordenadas cartesianas. p Sol : x2 + y 2 = a x2 + y 2 + ax 0. 6 Expresar en coordenadas cil´ındricas el vector ~r = x ˆ − yˆ + 2ˆ z en la direcci´ on definida por φ = 3π/2 Sol : ~r = ρˆ + φˆ + 2ˆ z 0. 7 Calcule el gradiente de los campos escalares: A. ψ =

p

x2 + y 2 + z 2

B. ψ = r C. ψ =

1 r

D. ψ = 3x2 + yz Para el cuarto caso, calcule un vector unitario que apunte a la direcci´on de m´ axima variaci´ on de ψ en el punto Po (1, −1, 0). x Sol : A) √ 2 2 2 x ˆ + √ 2 y 2 2 yˆ + √ 2 z 2 2 zˆ = rˆ; B) rˆ; C) − r12 rˆ; D) x +y +z

(6x + y)ˆ x + xˆ y ; vˆ =

x +y +z √1 (5ˆ x + yˆ) 26

x +y +z

0.9. Ejercicios

~ = 3x2 yˆ ~ es irrotacional. 0. 8 Sea A x + (x3 + y 3 )ˆ y . Verificar que A ~=0 Sol : ∇ × A 0. 9 Calcular 4( 1r ) para r 6= 0. 1 ∂ [r2 ∂ψ Sol : 4Ψ = 1/r2 ∂r ∂r ] con ψ = 1/r ⇒ 4( r ) = 0

0. 10 Sea F~ = k rQ2 rˆ un campo vectorial central, donde k y Q son cons´ tantes. Calcular V ∇ · F~ dv siendo V el volumen definido por una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas. Sol : kQ4π 0. 11 Sea U (r, θ.φ) =

Uo r2

sin θ. Calcular cu´anto vale

¸ S

U ds.

2

Sol : π Uo ~=0 ~ 2A 0. 12 Demostrar que cualquier soluci´ on de la ecuaci´on ∇×∇× A−k 2~ ~ satisface autom´ aticamente la ecuaci´ on vectorial de Helmholtz 4A+k A = 0 ~ = 0. y la condici´ on solenoidal ∇ · A ~ = 0; Desarrollando Sol : Aplicando ∇· a la ecuaci´ on y simplificando ⇒ ∇ · A 2~ ~ ∇ × ∇ y aplicando lo anterior ⇒ 4A + k A = 0

29

30

´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION

CAP´ITULO 1

El modelo electromagn´etico 1.1 EL CAMPO ´ ELECTROMAGNETICO SOBRE EL CUERPO REAL

1.1.1 Ecuaciones locales Postulamos que las magnitudes que intervienen en el electromagnetismo est´an ligadas por las ecuaciones locales: ~ ∂D ∂t ~ ∂B ∇ × E~ = − ∂t ∂ρ ∇J~ + =0 ∂t ~ =ρ ∇·D ~=0 ∇·B

~ = J~ + ∇×H

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5)

J~ = σ E~ ~ = E~ D

(1.6)

~ = µH ~ B

(1.8)

(1.7)

Las dos primeras son igualdades vectoriales y se conocen habitualmente con la designaci´ on de primera y segunda ecuaci´ on de Maxwell, respectivamente. La tercera, escalar, traduce el postulado de la conservaci´on de la carga el´ectrica y, unida a la cuarta y la quinta, tambi´en escalares, forma el bloque de las ecuaciones de la divergencia. Las tres u ´ltimas, vectoriales, introducen las constantes materiales σ,  y µ que caracterizan electromagn´eticamente el medio soporte del campo (relaciones constitutivas del medio material). Ha de indicarse que, el sistema de ecuaciones as´ı establecido es compatible a pesar de no ser independiente. Vemos que efectivamente no lo es ya que (1.4) es consecuencia de (1.1) y (1.3) y (1.5) lo es de (1.2). Si tomamos la divergencia de los dos mimebros de (1.1) y tenemos en cuenta que el operador ∇ · (∇×) es id´enticamente nulo, llegamos a: ∇ · J~ + ∇ ·

~ ∂D =0 ∂t

32

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

~ de acuerdo con (1.3) y conmutando sustituyendo en esta igualdad ∇ · J, el orden de los operadores ∇· y ∂/∂t en el segundo t´ermino del primer miembro, obtenemos: ∂ρ ∂ ~ =0 − + ∇·D ∂t ∂t o lo que es lo mismo: ∂ ~ − ρ) = 0 (∇ · D ∂t ~ − ρ no var´ıa localmente en el transcurso del tiempo. que nos dice que ∇ · D Su valor actual en un punto del espacio debe ser igual al que ten´ıa en el mismo punto en cualquier instante anterior, p. ej. hace un mill´on de a˜ nos. Es natural admitir que este valor era cero y, en consecuencia: ~ =ρ ∇·D Repitiendo el mismo razonamiento con (1.2) se llega a (1.5). Por u ´ltimo, hay que destacar las siguientes observaciones: A. Los campos vectoriales y escalares que aparecen en las ecuaciones anteriores son reales, por su propia definici´on. B. En lo sucesivo, salvo indicaci´on expresa, consideraremos las tres constantes materiales σ,  y µ como magnitudes escalares independientes del punto del espacio y del tiempo, consecuencia de admitir que el medio es homog´eneo e is´ otropo. C. Todas las leyes integrales del electromagnetismo experimental se deducen con todo rigor de las ecuaciones postuladas. 1.1.2 Condiciones de contorno Para resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales (1.1)-(1.8) hay que a˜ nadir: A. Condiciones de contorno B. Condiciones l´ımite C. Condiciones iniciales que exige cualquiera de estos sistemas para su resoluci´on. Vamos a limitarnos a las primeras, pues las segundas, adem´as de ser las habituales, no nos ser´an necesarias, y las u ´ltimas, como veremos m´as adelante, ser´an sustituidas por la b´ usqueda de soluciones estacionarias (Fourier). Las condiciones de contorno relacionan los valores que toman las magnitudes del campo electromagn´etico en dos puntos infinitamente pr´oximos, situados a uno y otro lado de una superficie de discontinuidad del espacio soporte del campo, superficie que ser´a la frontera de dos medios materiales el´ectricamente distintos, que no est´an caracterizados por las mismas constantes σ,  y µ (habitualmente conocidos como medios 1 y 2 ). Postulamos que las magnitudes que intervienen en cualquier problema de campo electromagn´etico satisfacen las condiciones de contorno, sobre una

1.1. El campo electromagn´ etico sobre el cuerpo real

superficie de separaci´ on S de dos medios distintos (anexo A): ~2 − D ~ 1 ) = ρs n ˆ · (D ~2 − B ~1 ) = 0 n ˆ · (B ∂ρs n ˆ · (J~2 − J~1 ) = − ∂t ~2 − H ~ 1 ) = J~s n ˆ × (H n ˆ × (E~2 − E~1 ) = 0 en que n ˆ es un vector unitario normal a S y dirigido del medio 1 hacia el medio 2. Veamos ahora qu´e ocurre en dos casos particulares. 1.1.3 Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en la frontera de otro medio Supongamos un medio conductor perfecto, en que σ → ∞. La densidad de corriente J~ en un punto cualquiera de tal medio seguir´a valiendo: J~ = σ E~ y ser´a infinita si E~ es distinto de cero. Como es inadmisible f´ısicamente que J~ valga infinito en ning´ un punto, E~ debe ser nulo en todos los puntos del ~ no var´ıa en el transcurso del medio. Pero entonces, (1.2) nos dice que B tiempo, y retrocediendo entonces en ´este como lo hicimos antes, deducimos ~ debe ser tambi´en nulo. que B ~ = E~ y B ~ = µH, ~ y tanto  como µ no pueden ser infinitos, no Como D son posibles la creaci´ on ni la propagaci´on del campo electromagn´etico en medios de conductividad infinita. ~ yD ~ son nulos en todos El razonamiento parece impecable, pero no lo es si H ~ los puntos del medio, lo que nos dice que J tambi´en debe ser cero, o sea que no pueden existir corrientes de conducci´on en medios superconductores. ~ Si queremos eliminar esta contradicci´ on, debemos aceptar que ∂ D/∂t y, en ~ ~ consecuencia D, sean distintos de cero, lo que exige que  sea infinita; D queda indeterminada, en consecuencia. Como no existen medios materiales ~ es cero H ~ ser´a nulo. de valor infinito de µ, si B Consideremos ahora las condiciones de contorno en la frontera S de un medio 1, de condictividad infinita, y un medio 2, de conductividad finita. ~ no sean nulos, quedan indeterminados, por lo que Aceptando que J~ y D hab´ıa que prescindir de las ecuaciones en que intervienen. Por otra parte ~1 = H ~ 1 = 0, B ~2 = µH ~ 2 y las condiciones (A.1)-(A.5) se reducen a: E~1 = B ~2 = 0 n ˆ·B

~2 = 0 ⇐⇒ n ˆ·H ~ 2 = J~s n ˆ×H n ˆ × E~2 = 0

(1.9) (1.10) (1.11)

Observamos que: ~ 2 seg´ (1.9) afirma que debe ser nula la componente de H un la normal aS (1.11) establece que lo mismo debe ocurrir para la componente de E~2 seg´ un el plano tangente a S

33

34

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

~2 (1.10) da expl´ıcitamente la corriente superficial en funci´on de H Podemos expresar estos resultados de modo sencillo diciendo que en los puntos de un medio material de conductividad finita inmediatos a una superficie frontera con otro de conductividad infinita, el campo el´ectrico debe ser normal y el campo magn´etico tangencial a dicha superficie. Adem´as, la corriente sobre ´este viene dada por (1.10), en que n ˆ es un vector unitario normal dirigido en el sentido que va del medio conductor perfecto al otro medio. 1.1.4 Medio material de conductividad nula Si un medio material es un aislante perfecto, σ es cero y (1.6) nos dice que no hay corrientes de conducci´on J~ en ning´ un punto del medio. Pero entonces, (1.3) establece que la densidad c´ ubica de carga no depende del tiempo, es decir, que se mantiene igual al valor inicial en todos los puntos del medio. Es un resultado que f´ısicamente pod´ıamos haber dado a priori, pues si el medio no es conductor, no permitir´a el desplazamiento de cargas en su interior y ρ se mantendr´a invariable. En los problemas que trataremos a continuaci´on supondremos, salvo en casos excepcionales, que es un aislante perfecto el medio para el que plantearemos y resolveremos las ecuaciones de Maxwell y, en consecuencia, prescindiremos de J~ . A pesar de que esta hip´otesis s´olo implica que ρ sea independiente del tiempo, pero no id´enticamente nula, postularemos tambi´en esta anulaci´ on, apoy´andonos en el resultado a que llegaremos en el apartado siguiente. Las ecuaciones locales para estos medios aislantes ser´an pues: ~ ∂D ∂t ~ ∂B ∇ × E~ = − ∂t ~ =0 ∇·D ~=0 ∇·B ~ = ∇×H

~ = E~ D ~ = µH ~ B 1.1.5 Evoluci´ on temporal de la densidad c´ ubica de carga Sea un medio material homog´eneo e is´otropo cualquiera con σ finita y no nula, para el que son v´alidas las ecuaciones (1.1)-(1.8). De (1.3) y (1.6), deducimos que: ~ = σ∇ · E~ = − ∂ρ ∇ · J~ = ∇ · (σ E) ∂t por lo que 1 ∂ρ ∇ · E~ = − σ ∂t y de (1.4) y (1.7): ~ = ∇ · (E) ~ = ∇ · E~ = ρ ∇·D

1.2. El campo electromagn´ etico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia)

se sigue que:

35

ρ ∇ · E~ = 

Igualando los segundos miembros de estas ecuaciones, dado que el primer miembro es el mismo, llegamos a: −

1 ∂ρ ρ = σ ∂t 

∂ρ σ =− ρ ∂t 

=⇒

ecuaci´on que da la dependencia temporal de ρ y cuya integraci´on inmediata es: σ

t

ρ(x, y, z, t) = ρo (x, y, z, to )e−  t = ρo (x, y, z, to )e− τ siendo τ = /σ la constante de relajaci´ on del medio, valor de t que corresponde a una ca´ıda de 1/e (63 %). En esta soluci´ on, ρo (x, y, z, t) es el valor de la densidad c´ ubica de carga en el punto (x, y, z) en el instante inicial t = 0. Pero este resultado nos dice que, salvo el caso extremo de un aislante rigurosamente perfecto, en que σ sea id´enticamente nulo, la densidad c´ ubica de carga tiende a anularse en el transcurso del tiempo, siendo tanto m´ as r´apida esta tendencia cuanto menor sea la cte. τ . P. ej. para el Cobre (conductor), τ = 1.5 · 10−17 s y para el cuarzo (aislante) τ = 20 d´ıas. En consecuencia, salvo si en un instante determinado creamos voluntariamente una densidad c´ ubica de carga, su evoluci´on temporal ser´a continuamente decreciente y esta disminuci´ on ser´a un proceso que se habr´a iniciado en el comienzo de los tiempos. Es pues natural suponer que, por peque˜ no que sea σ, la densidad c´ ubica de carga es despreciable y admitir que esta densidad es cero. 1.2 EL CAMPO ´ ELECTROMAGNETICO SOBRE EL CUERPO COMPLEJO (DOMINIO DE LA FRECUENCIA)

1.2.1 Soluciones estacionarias De la misma forma que se hace en la teor´ıa de circuitos, cuando se trabaja en r´egimen permanente (soluciones estacionarias) es conveniente imponer variaciones de tipo arm´ onico en el tiempo. En ese caso, tal y como ocurre en cualquier sistema lineal, excitaciones de entrada con la forma: x(t) = cos ωt proporcionan salidas del tipo: y(t) = A cos(ωt + φ) Dado que el seno o el coseno no son m´as que combinaciones de las exponenciales complejas ejωt y e−jωt , es m´as sencillo suponer que la se˜ nal de entrada es directamente una de estas funciones: X(ω) = ejωt a la que corresponde una salida Y (ω) = H(ω)X(ω) = Aejφ · ejωt

36

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

quedando el problema caracterizado por un n´ umero complejo H = Aejφ que depende de ω. Esta notaci´on se conoce como fasorial. Entonces, para trasladar al dominio del tiempo cualquier fasor basta con multiplicar por ejωt y tomar la parte real, p. ej. en el caso del fasor Y : y(t) = Re[H · ejωt ]

Las exponenciales ejωt son autofunciones de los sistemas lineales y los autovalores asociados son los H

o la parte imaginaria si nuestra referencia es el seno. En cualquier caso, esto no es una limitaci´on de cara a trabajar con se˜ nales de variaci´on arbitraria, ya que ´estas se pueden expresar como suma de senos y cosenos en ωt (transformada de Fourier). Todo lo visto hasta ahora para se˜ nales de una dimensi´on, es directamente trasladable al c´ alculo del campo EM en r´egimen permanente, ya que las ecuaciones de Maxwell son un sistema lineal, con la particularidad de que las magnitudes que manejamos son vectoriales, de forma que los fasores son tambi´en vectoriales. De esta forma podemos trabajar con campos de ~ que se pueden trasladar al dominio del tiempo componentes complejas E sin m´ as que tomar: ~ · ejωt ] E~ = Re[E (1.12) Una ventaja de este planteamiento es que la variable t y las derivadas en t desaparecen, quedando la frecuencia ω como par´ametro que se conoce de antemano (especificado en cada caso). P. ej. si imponemos este tipo de soluci´ on a la ecuaci´on del rotacional de E~ y trabajamos en el cuerpo complejo (o dominio de la frecuencia), tendremos: ~ jωt ]) ~ jωt ] = − ∂ (Re[Be ∇ × Re[Ee ∂t ~ jωt ] = Re[− ∂ (Be ~ jωt ]) = Re[−jωtBe ~ jωt ] Re[∇ × Ee ∂t que, de forma compacta, se enscribe en el cuerpo complejo como: ~ = −jω B ~ ∇×E

El planteamiento presentado es equivalente a trabajar directamente con las transformadas de Fourier de las ecuaciones y los campos

~ y tenemos una ecuaci´on que relaciona directamente los fasores complejos E ~ y B a partir de los cuales se pueden calcular los campos en el dominio del ~ aplicando ecuaciones del tipo (1.12). tiempo E~ y B Entonces, el sistema de las ecuaciones de Maxwell junto con las relaciones costitutivas del medio y las condiciones de contorno expresado en el cuerpo complejo es: ~ = J~ + jω D ~ ∇×H ~ = −jωµH ~ ∇×E

(1.13)

~ =0 ∇·D ~ =0 ∇·B

(1.15)

~ J~ = σ E ~ = E ~ D ~ = µH ~ B

(1.14)

(1.16) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20)

1.2. El campo electromagn´ etico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia)

junto con las condiciones de contorno: ~2 −D ~ 1 ) = ρs n ˆ · (D ~2 − B ~ 1) = 0 n ˆ · (B

(1.21)

n ˆ · (J~2 − J~1 ) = −jωρs ~2 − H ~ 1 ) = Js ~ n ˆ × (H

(1.23) (1.24)

~2 − E ~ 1) = 0 n ˆ × (E

(1.25)

(1.22)

y resuelto el problema planteado por estas ecuaciones, se obtienen las versiones de los campos en el dominio del tiempo tomando la parte real o imagaria de cada vector multiplicado por ejωt . Si existieran densidades de corrientes debidas a fuerzas no electromagn´eticas, y por tanto independientes del campo, la ecuaci´on (1.13) se escribir´ıa: ~ = J~ext + J~ + jω D ~ ∇×H 1.2.2 Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en la frontera con otro medio Las condiciones de contorno aplicables en este caso son: ~2 = 0 n ˆ·B

~2 = 0 ⇐⇒ n ˆ·H ~2 = 0 n ˆ×E

~ 2 = Js ~ n ˆ×H

(1.26) (1.27) (1.28)

~2 y H ~ 2 satisfacen a (1.26) y Puesto que las partes reales e imaginarias de E (1.27), podemos traducir en palabras tales ecuaciones diciendo que en los puntos infinitamente pr´ oximos a un medio que sea conductor perfecto, los campos complejos el´ectrico y magn´etico deben ser respectivamente normal y tangencial a la superficie que limita dicho medio. 1.2.3 Medio material de conductividad nula (aislante perfecto) Las ecuaciones correspondientes a un medio material de tal caracter´ıstica se deducen del sistema anterior sin m´ as que anular la conductividad σ del medio en cuesti´ on. 1.2.4 Medio conductor no perfecto Es interesante hacer observar que si para un medio conductor, pero no perfecto, hacemos en el sistema de ecuaciones la sustituci´on σ + jω = jωc las nuevas ecuaciones con esta nueva permitividad son las correspondientes a un medio aislante. En consecuencia, si el medio es conductor, podemos tratarlo como aislante de permitividad compleja c (c ∈ C) mediante:

37

38

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

c =  − j Notar que la parte imaginaria de c es negativa

σ ω

que se suele expresar como: h σi c =  1 − j ω De esta forma, el sistema de las ecuaciones de Maxwell en medios homog´eneos, lineales y con p´erdidas se puede escribir tambi´en como: ~ = jωc E ~ ∇×H ~ = −jωµH ~ ∇×E junto con las condiciones de contorno, que pueden reagruparse como: ~ 2 − c1 E ~ 1] = 0 n ˆ · [c2 E ~ 2 − µ1 H ~ 1] = 0 n ˆ · [µ2 H

(1.29)

~2 − E ~ 1] = 0 n ˆ × [E

(1.31)

(1.30)

en medios lineales y homog´eneos. Como puede observarse, la parte imaginaria de la permitividad compleja est´ a relacionada con la conductividad y por lo tanto, con las corrientes de conducci´ on y las p´erdidas por efecto Joule. A frecuencias altas, por encima de los GHz, existe otro mecanismo por el cual pueden aparecer p´erdidas o lo que es lo mismo, parte imaginaria en c . Este tiene que ver con calentamiento del material debido al amortiguamiento de las vibraciones de los dipolos e iones de que est´a constituido ~ y E~ no son direc(microsc´ opico). Esto equivale a decir que los vectores D tamente proporcionales (es decir, est´an en fase), sino que aparece un cierto retardo ´ o desfasaje entre ellos que es m´as sencillo de expresar en el dominio de la frecuencia mediante una parte imaginaria 00 : p ~ ~ = (0 − j00 )E ~ = [0 (f ) − j00 (f )]E ~ = 02 + 002 e−jφ E D Para tener en cuenta este efecto se debe a˜ nadir un nuevo sumando a c : c = 0 − j00 − j

Un material con p´ erdidas es aquel en el que tan δ 6= 0

σ ω

En la pr´ actica, las p´erdidas debidas a σ y las debidas a 00 son indistinguibles. Por ello, una cantidad de inter´es y adem´as medible, relacionada con esta expresi´ on, es la conocida como tangente de p´erdidas el´ectricas del material que se define como: ω00 + σ tan δ = ω0 de forma que se verifica: c = (1 − j tan δ) que en funci´ on de la permitividad relativa r resulta: c = r o (1 − j tan δ)

Un mismo medio material puede ser aislante a unas frecuencias y conductor a otras

donde o es la permitividad del vac´ıo. Finalmente, hay que destacar que ~ = (0 − j00 )E ~ 6= c E. ~ D

1.3. Energ´ıa y potencia en los campos electromagn´ eticos reales y complejos. Vector de Poynting

39

Por u ´ltimo, hay que se˜ nalar que aunque con campos est´aticos se pueden dividir los materiales en conductores y aislantes dependiendo de la cte. de relajaci´on τ , no ocurre lo mismo en la electrodin´amica. No obstante, es posible establecer un criterio, que depender´a de la frecuencia, seg´ un el cual ~ en la ecuaci´on del rotacional de se considera (analizando el t´ermino jωc E ~ H): Conductor: aquel medio en el cual predomina la corriente de conducci´on sobre la de desplazamiento (predomina la parte imaginaria en c ): σ + ω00 (f ) >> ω0 (f ) Aislante (diel´ectrico): aquel medio en el cual predomina la corriente de desplazamiento sobre la de conducci´on (predomina la parte real en c ): ω0 (f ) >> σ + ω00 (f )

1.3.1 Introducci´ on El estudio electromagn´etico se inicia con la electrost´atica y sus definiciones de carga el´ectrica y campo el´ectrico, ligadas entre s´ı por el concepto mec´anico de fuerza. Dada una distribuci´on est´atica de cargas sobre conductores, puede obtenerse energ´ıa mec´ anica de esta distribuci´on por alteraci´on de la misma o por desplazamiento de los conductores. En consecuencia, a la configuraci´ on est´ atica en cuesti´ on le corresponde una energ´ıa mec´anica potencial, de origen el´ectrico, denominada energ´ıa electrost´ atica. Para evaluarla se extiende el principio de conservaci´on de la energ´ıa, que inclu´ıa ya las energ´ıa mec´ anica y calor´ıfica, a este nuevo tipo y se calcula la correspondiente a una distribuci´ on est´ atica de cargas, partiendo de la base de que ser´ a igual a la energ´ıa mec´ anica que hay que gastar para llegar a esa configuraci´ on desde otra energ´ıa nula, siempre que no hayan aparecido energ´ıas de los tipos ya conocidos, mec´ anica y calor´ıfica. Para hacer este c´ alculo se elige arbitrariamente como configuraci´on de energ´ıa nula la que presenta ausencia total de cargas el´ectricas a distancia finita de los conductores, estando tales cargas a distancia infinita. Esta afirmaci´on no es objetable, dado que s´ olo estaremos interesados en conocer diferencias de energ´ıa y no sus valores absolutos. Pero si es discutible la hip´ otesis posterior, en la que se afirma que la energ´ıa almacenada en el estado final, conseguido a base de traer las cargas desde el infinito hasta los conductores, no depende del modo como se haga este aporte de cargas, siempre que se tomen las precauciones necesarias para que no aparezcan energ´ıas indeseadas. Como no hay posibilidad matem´ atica de demostrar esta hip´otesis, hay que introducirla en forma de postulado, que afirma en esencia que la energ´ıa electrost´atica del sistema es una energ´ıa potencial. Para evitar la aparici´ on de energ´ıas de otro tipo hay que traer las cargas en cantidades infinitamente peque˜ nas, desplaz´andolas adem´as de modo que pasen por una sucesi´ on indefinida de estados de equilibrio, lo que requiere

1.3 ENERG´IA Y POTENCIA EN LOS CAMPOS ´ ELECTROMAGNETICOS REALES Y COMPLEJOS. VECTOR DE POYNTING

40

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

un tiempo infinitamente grande y Se demuestra que esta energ´ıa es igual a una integral de volumen extendida a todos los puntos del espacio en que ~ existan los vectores E~ y D ˆ U dv V

en la que aparece una densidad c´ ubica de energ´ıa U que vale U=

~ E~ · D 2

(1.32)

si el medio es homog´eneo e is´otropo. La idea general de Maxwell consisti´o en postular que este resultado matem´ atico era la traducci´on de una realidad f´ısica, la del almacenamiento de la energ´ıa en el medio asilante exterior a los conductores, en los puntos del ~ en lugar de estar concentrada en donde era espacio donde existan E~ y D, l´ ogico suponer, en las cargas llevadas a los conductores. Esta idea, de la que se desprendieron la definici´on de campo, la sustituci´on de la acci´ on a distancia entre cargas por la de acci´on del campo sobre la carga y la del retardo inherente al tiempo necesario para la propagaci´on de este campo, demostr´o ser acertada al comprobarse dicho retardo. Pero nada autoriza matem´aticamente a afirmar que si la energ´ıa total es la integral del volumen anterior, el elemento de volumen dv contribuye con la cantidad U dV , o, lo que es igual, que en el elemento dv est´a almacenada la energ´ıa U dV . Es la hip´otesis m´as sencilla, pero no la u ´nica posible, ya que conocido el valor de una integral de volumen, hay infinitas cantidades subintegrales que conducen al mismo valor. Basta, por ejemplo, agregar a la integral anterior otra, extendida al mismo volumen y que valga cero, sin que sea id´enticamente nula la cantidad subintegral, para que tuvi´esemos distinta distribuci´on local de la densidad de energ´ıa. Cumple esta condici´on la divergencia de cualquier campo vectorial de flujo total nulo a trav´es de las superficies de los conductores y de la superficie que delimite el campo a distancia infinita. Las mismas objecciones se presentan a prop´osito del razonamiento, an´alogo al anterior, que lleva a afirmar que la energ´ıa magnetost´ atica est´a almacenada en el medio con una densidad: W =

~ ·B ~ H 2

(1.33)

si el medio es homog´eneo e is´otropo. Dificultades parecidas se oponen al rigor de la deducci´on de la f´ormula que establece la densidad de energ´ıa por unidad de tiempo que se disipa en forma calor´ıfica en un medio material conductor recorrido por una corriente estacionaria caracterizada por una densidad de corriente J~ q = E~ · J~

(1.34)

1.3.2 Energ´ıa y potencia en el campo electromagn´ etico real. Vector de Poynting A pesar de que como ya hemos dicho antes, los razonamientos seguidos para deducir U , W y q se han hecho para fen´omenos estacionarios y nada justifica

1.3. Energ´ıa y potencia en los campos electromagn´ eticos reales y complejos. Vector de Poynting

extenderlos a los variables, vamos a postular que tambi´en en este caso son v´alidos los resultados obtenidos. Es decir, supondremos que, cualquiera que sean el campo existente y su variaci´ on temporal, la energ´ıa electromagn´etica est´a almacenada en el medio, parte en forma de energ´ıa electrost´atica, con densidad (1.32) y el resto en magnetost´atica, con densidad (1.33), teniendo adem´as lugar la disipaci´ on calor´ıfica local (1.34) si el medio es conductor. Con estos postulados previos, pasaremos a presentar la interpretaci´ on energ´etica de una ecuaci´ on local y de su correspondiente forma integral, ambas deducidas por Poynting a partir de las ecuaciones de Maxwell. ~ restamos Si de la igualdad deducida al multiplicar escalarmente (1.2) por H ~ miembro a miembro el resultado de multiplicar (1.1) por E, obtenemos: ~ ~ ~ ~ − E(·∇ ~ ~ = −H ~ · ∂ B − E~ · J~ − E~ · ∂ D H(·∇ × E) × H) ∂t ∂t Agrupando convenientemente los t´erminos y teniendo en cuenta la identidad vectorial: ~ × B) ~ =B ~ ·∇×A ~−A ~·∇×B ~ ∇ · (A llegamos a ~ ~ ~ · ∂B ~ + E~ · J~ = −E~ · ∂ D − H ∇ · (E~ × H) ∂t ∂t

(1.35)

Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por el elemento de volumen de dv e integrando el resultado para un volumen cualquiera V , llegamos a : ˆ

ˆ

ˆ E~ · J~ dv = −

~ ∇ · (E~ × H)dv + V

V

V

ˆ ~ ~ ∂D ~ · ∂ B dv E~ · H dv − ∂t ∂t V

Si el volumen V y su superficie exterior Σ cumplen las condiciones que permiten aplicar el teorema de Gauss, podemos transformar la primera integral de volumen de la igualdad anterior en la integral sobre Σ del flhjo del vector ~ Con esta transformaci´ (E~ × H). on: ˛

ˆ

Σ

ˆ E~ · J~ dv = −

~ s+ ∇ · (E~ × H)d~ V

V

ˆ ~ ~ ∂D ~ · ∂ B dv E~ · dv − H ∂t ∂t V

(1.36)

siendo d~s el vector normal a Σ correspondiente al ´area elemental ds y dirigido hacia el exterior de V . Debemos resaltar al llegar a este punto que (1.35) es rigurosamente v´alida en todos los puntos del espacio, si para ellos hemos postulado la validez de las ecuaciones de Maxwell, y que otro tanto le ocurre a (1.36), con la resticci´on de que se satisfagan las condiciones necesarias para la aplicaci´on del teorema de Gauss al volumen V . Este rigor matem´ atico va a desaparecer en la interpretaci´on energ´etica de (1.36) que vamos a hacer a continuaci´ on. La energ´ıa electromagn´etica Wem contenida en el interior de V en un instante cualquiera valdr´a, de acuerdo con la postulaci´ on hecha: ˆ Wem = V

ˆ ~ ~ ~ H·B E~ · D dv + dv 2 2 V

y, asumiendo un medio homog´eneo e is´ otropo, su incremento en un intervalo

41

42

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

de tiempo infinitamente peque˜ no ∆t ser´a: "ˆ ˆ ~ ~ # ~ ∂Wem ∂ E~ · D H·B ∆Wem = ∆t = dv + dv ∆t = ∂t ∂t V 2 2 V ! ! # "ˆ ˆ ~ ~ ·B ~ ∂ H ∂ E~ · D dv + dv+ ∆t 2 2 V ∂t V ∂t si suponemos que V no var´ıa en el transcurso del tiempo. Puesto que: ∂ ∂t

~ E~ · D 2

!

E~ · E~  2

∂ = ∂t

!

E~ ·

∂ E~ ∂ E~ ~ E~ · + ·E ∂t ∂t

 = 2

! =

~ ∂ E~ ∂ ~ ∂D = E~ · (E) = E~ · ∂t ∂t ∂t

y, an´ alogamente, ∂ ∂t

~ ·B ~ H 2

!

~ ~ · ∂B =H ∂t

resultando finalmente: "ˆ ∆Wem = V

~ ∂D E~ · dv + ∂t

ˆ V

# ~ ∂ B ~· H dv ∆t ∂t

En consecuencia, el segundo miembro de (1.36) multiplicado por ∆t, igual a la variaci´on en dicho intervalo de tiempo, cambiada de signo, la energ´ıa electromagn´etica almacenada en el interior de V . Teniendo cuenta el signo, ser´a igual a la energ´ıa que ha desaparecido del interior V en el mencionado intervalo de tiempo.

es de en de

Por otra parte, el segundo t´ermino del primer miembro, tambi´en multiplicado por ∆t, da la energ´ıa disipada en forma de calor en el volumen V durante el intervalo ∆t. Ahora bien, si postulamos que en el caso de medios materiales en reposo las u ´nicas formas posibles de energ´ıa son la electromagn´etica y la calor´ıfica, la diferencia entre la desaparecida en la segunda ser´a una energ´ıa que ha debido salir de V hacia otras regiones del espacio, dado que aceptamos la validez del principio de conservaci´on de la misma, extendido al campo electromagn´etico:  ˛  ˆ ~ · d~s + ∆t ∆Wem = − ∆t (E~ × H) E~ · J~ dv Σ

V

Entonces, lo m´ as natural e intuitivo es suponer que tal energ´ıa haya salido a trav´es de la superficie Σ que limita V y como (1.36) nos dice que la diferencia en cuesti´ on vale ˛ ~ · d~s ∆t (E~ × H) Σ

es decir, viene dada por una integral de superficie, es l´ogico suponer que esta integral nos da el flujo de la energ´ıa electromagn´etica a trav´es de Σ por unidad de tiempo (notar que esta expresi´on es tanto m´as aproximada a la verdad cuanto menor sea la unidad de tiempo elegida).

1.3. Energ´ıa y potencia en los campos electromagn´ eticos reales y complejos. Vector de Poynting

43

Puesto que la energ´ıa que fluye a trav´es de Σ por unidad de tiempo es una integral de superficie, parece natural que el elemento ds de ella contribuya al flujo total con el valor de la cantidad superficial ~ · d~s (E~ × H) que es el flujo a tav´es de ds del vector ~ S~ = E~ × H

(1.37)

llamado Vector de Poynting. Afirmar que el flujo de S~ a trav´es de ds es igual a la energ´ıa electromagn´etica que pasa a trav´es de dicha superficie por unidad de tiempo (o, m´ as correctamente, a la potencia electromagn´etica que pasa a trav´es de ds) implica que el flujo a trav´es de Σ sea la primera integral que aparece en (1.36). Pero a id´entico valor de esta intensidad se llega si en vez de tomar como vector de Poynting (1.37) tomamos: ~ +∇×A ~ S~0 = (E~ × H)

(1.38)

~ un campo vectorial cualquiera. En efecto siendo A ˛ ˛ ˛ ~ · d~s + ~ · d~s S~0 · d~s = (E~ × H) ∇×A Σ Σ Σ ˛ ˛ ˛ ~ ~ ~ ~ · d~s = (E × H) · d~s + ∇ · (∇ × A)dv = (E~ × H) Σ

V

Σ

Localmente, S~0 es distinto de S~ y dar´a lugar a diferente flujo de potencia para una superficie no cerrada. ~ a trav´es de cualquier A pesar de todo, postularemos que el flujo de S~ = E~ ×H superficie, abierta o cerrada, es igual al flujo de potencia electromagn´etica a trav´es de la misma, apoy´ andonos en dos circunstancias: es el vector m´ as sencillo hasta ahora, no ha llevado a ninguna contradicci´on con la experiencia 1.3.3 Energ´ıa y potencia en el campo electromagn´ etico complejo. Vector de Poynting complejo Aceptado el postulado anterior, si empleamos la formulaci´on compleja, el flujo instant´ aneo de potencia a trav´es de una superficie Σ valdr´a: ˛ ~ jωt ) × Re(He ~ jωt )] · d~s [Re(Ee Σ

cantidad que var´ıa peri´ odicamente con el tiempo. En el estudio de las corrientes alternas se demuestra que no tiene inter´es pr´actico, en general, el conocimiento del valor instant´aneo de la potencia, siendo suficiente determinar su valor medio. De acuerdo con lo desarrollado en el anexo B, el valor medio del vector ~ c, H ~ c de las de Poynting real, correspondiente a una soluci´on compleja E ecuaciones de Maxwell, valdr´ a: ~ >= Re(Ee ~ jωt )×Re(He ~ jωt ) = 1 Re(Ee ~ jωt × H ~ ∗ e−jωt ) = 1 Re(E ~ ×H ~ ∗) = 1 σ E ~ ·E ~∗ < q >= < σRe(Ee 2 1 ~ jωt ) · Re(Ee ~ jωt ) >= 1 E ~ ·E ~∗ < U >= < Re(Ee 2 4 1 ~ jωt ) · Re(He ~ jωt ) >= 1 µH ~ ·H ~∗ < W >= < µRe(He 2 4 Sustituyendo estos resultados en (1.41) ∇ · S˜ = − < q > +2jω[< U > − < W >]

(1.42)

Como < q >, < U > y < W > son n´ umeros reales, ˜ =∇ · Re(S) ˜ =− Re(∇ · S) ˜ =∇ · Im(S) ˜ = 2jω[< U > − < W >] Im(∇ · S)

(1.43) (1.44)

1.3. Energ´ıa y potencia en los campos electromagn´ eticos reales y complejos. Vector de Poynting

Si multiplicamos las ecuaciones (1.43) por el elemento de volumen dv, integramos los resultados para un volumen V limitado por una superficie Σ y aplicamos a las integrales de divergencia el teorema de Gauss, deducimos ˛  ˆ Re S˜ · d~s = − < q > dv (1.45) Σ V ˛  ˆ  ˆ Im S˜ · d~s =2ω < U > dv − < W > dv (1.46) Σ

V

V

Las igualdades (1.45) dan a S˜ categor´ıa de vector de uso pr´actico, si bien la interpretaci´ on es un poco m´ as complicada que en la versi´on equivalente en el dominio del tiempo. Estas ecuaciones indican que: A. La parte real, cambiada de signo, del flujo de S˜ a trav´es de una superficie cerrada Σ cualquiera y hacia su exterior es igual al valor medio de la potencia disipada en efecto Joule dentro de Σ. Si no existen fuentes de campo, la potencia neta que entra en V se disipa en el medio material. B. La parte imaginaria del flujo de S˜ a trav´es de una superficie cerrada Σ cualquiera y hacia su exterior es igual al doble del producto de la pulsaci´ on del campo por la diferencia entre los valores medios de las energ´ıas el´ectrica y magn´etica almacenadas en el interior de Σ Resuelto as´ı en el campo complejo las cuestiones relativas a la energ´ıa y potencia en vol´ umenes cerrados, queda todav´ıa pendiente la del flujo de potencia a trav´es de una superficie, abierta o cerrada. Puesto que hemos postulado que la potencia que pasa a trav´es de una superficie abierta es igual al flujo a trav´es de ella del vector de Poynting real, si queremos calcular la citada potencia, cuando se ha planteado y resuelto un problema en el campo complejo, tendremos que utilizar:   ˆ 1 ∗ ˜ ~ ~ S · d~s = Re E × H · d~s 2 Σ Σ

ˆ < P >= Re

Podemos resumir este resultado diciendo que, en el campo complejo, el valor medio de la potencia electromagn´etica que pasa a trav´es de una superficie Σ, abierta o cerrada, es igual a la parte real del flujo del vector de Poynting ˜ a trav´es de dicha superficie. complejo, S,

45

46

´ EL MODELO ELECTROMAGNETICO

1.4 EJERCICIOS

1. 14 El plano z = 0 de un sistema cartesiano de referencia constituye la frontera entre dos medios diel´ectricos de permitividades 1 y 2 respectivamente. Se mide el campo el´ectrico sobre dicho plano en el lado 1 obteni´endose: ~ 1 = E1 (ˆ E x + yˆ + zˆ) ~ 2 en el plano al otro lado de la discontinuidad? A. ¿Cu´ anto vale E B. ¿Qu´e densidad superficial de carga habr´ıa que depositar en la separaci´ on de los diel´ectricos para que el campo tuviese el mismo valor en ambos medios? ~2 = E ~ 1 (ˆ x + yˆ + Sol : A) E

1 ˆ); 2 z

B) ρs = (2 − 1 )E1

1. 15 Expresar fasorialmente el campo E~ = 2 cos(ωt + π/4)ˆ x. ~ = 2ejπ/4 x Sol : A ˆ ~ en el seno de un medio material con 0 = 10 y 1. 16 Calcular el vector D r ~ =x ˆ. 00r = 0.1 sabiendo que E ~ = 10o cos(ωt − 9.9 · 10−3 )ˆ Sol : D x 1. 17 Calcula el vector densidad de corriente lineal en la superficie de un conductor perfecto sobre la que incide de forma normal un campo electro~ = Ho (ˆ magn´etico tal que H x + yˆ). ~ Sol : Js = Ho (−ˆ x + yˆ) 1. 18 Calcular el vector de Poynting real y complejo del campo: ~ = Eo cos(ωt − kz)ˆ E x r ~ =  Eo cos(ωt − kz)ˆ H y µ y la potencia que atravesar´a una superficie cuadrada de 1m de lado situada en el plano z = 0. q q 2  2 1 1  Eo ~ = ~ >= Sol : A) S E [ + cos 2(ωt − kz)]ˆ z ; B) < S ˆ; C) S˜ = o µ 2 2 µ 2 z q 2 q 2 E  Eo ˆ; D) P = µ 2o µ 2 z 1. 19 Calcular el vector de Poynting correspondiente al campo: −jkr

~ = Eo e E

r

θˆ

−jkr ~ = Eo e H φˆ ηo r

as´ı como la potencia que fluye a trav´es de una superficie de radio R centrada en el origen de coordenadas. Sol : A) S˜ =

Eo2 1 ˆ; 2ηo r 2 r

B) P =

2π 2 ηo |Eo |

CAP´ITULO 2

Propagaci´on en medio indefinido Buscamos soluciones de las ecuaciones de Maxwell para campo complejo en medios sin fuentes, homog´eneos, is´ otropos, sin p´erdidas y con variaciones del tipo: ~ H ~ = f (~r)ejωt E, Tomando rotacionales sobre las ecuaciones de Maxwell y simplificando, se llega a: ~ + k2 E ~ = 0; ~ + k2 H ~ =0 4E 4H √ donde k = ω µ se conoce como n´ umero de ondas ´o constante de propagaci´ on. Simplificamos el problema para el caso unidimensional (suponiendo que los campos s´olo var´ıan con z y no con x e y). Tomamos arbitrariamente el eje ~ x paralelo a E: ~ = Ex x E ˆ ~ = −jω J~ se llega a: aplicando la ecuaci´ on ∇ × E ~ = Hy yˆ H esto es, los campos est´ an en cuadratura espacial. Tambi´en se verifica que si Ez = 0, entonces Hz = 0 y se cumple que: ~ ×H ~ × ~z = 0 E Busquemos ahora soluciones de esta ecuaci´on de ondas, ecuaci´on que se convierte en ~ d2 E ~ =0 + k2 E dz 2 cuya soluci´ on es de la forma: ~ = [Ei e−jkz + Er e+jkz ]ˆ E x −jkz +jkz ~ = [Hi e H + Hr e ]ˆ y siendo Ei , Er , Hi y Hr constantes complejas por determinar dependientes de las condiciones iniciales y de contorno. Si expresamos la soluci´ on anterior en el dominio del tiempo resulta: E~ = [Ei cos(ωt − kz) + Er cos(ωt + kz)]ˆ x ~ = [Hi cos(ωt − kz) + Hr cos(ωt + kz)]ˆ H y

2.1 ONDAS PLANAS

48

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

donde hemos considerado que Ei , Er , Hi y Hr son constantes reales. El t´ermino Ei cos(ωt − kz) corresponde a una onda viajera (travelling wave) que viaja hacia z + . El t´ermino Er cos(ωt+kz) es una onda viajera hacia z − . La combinaci´ on de las dos ondas viajeras se denomina onda estacionaria. En el dominio de la frecuencia podemos identificar: e−jkz = Onda viajera positiva ejkz = Onda viajera negativa Recordamos que la soluci´on obtenida incluye todos los posibles t´erminos. Hasta que no fijemos las condiciones de contorno e iniciales, no quedara completamente determinada. Esto es equivalente a fijar el valor del campo en to y zo (o lo que es lo mismo, el argumento absoluto de los cosenos). 2.1.1 Velocidad de fase Tomemos un solo sentido de propagaci´on. Un plano de fase constante es un plano m´ ovil perpendicular a la direcci´on de propagaci´on: ωt − kz = cte. →⊥ ~z La velocidad a la cual se mueve un punto de fase fija se denomina velocidad de fase, vf y viene dada por:   dz d ωt − cte ω 1 vf = = = =√ dt dt k k µ En el espacio libre: vf = co = √

1 o µo

donde co es la velocidad de la luz en el vac´ıo y en cualquier otro medio: vf = √ La velocidad de fase en un medio material es siempre inferior a la velocidad de la luz en el vac´ıo

co r µr

Se define la longitud de onda λ como la distancia entre dos m´aximos o m´ınimos consecutivos. Para calcularla imponemos la condici´on: (ωt − kz) − [ωt − k(z + λ)] = 2π de donde se sigue que: λ=

vf 2π = k f

2.1.2 Impedancia intr´ınseca ~ y H. ~ Buscamos ahora una relaci´on entre las soluciones obtenidas para E Aplicando la ecuaci´on del rotacional obtenemos: − jkEx = −

∂Ex = −jωµHy ∂z

2.2. Ondas planas en medios con p´ erdidas

49

de donde se sigue que: ~ = 1 [Ei e−jkz − Er ejkz ]ˆ y H η

(2.1)

siendo r η=

µ 

que se conoce como impedancia intr´ınseca del medio (tiene unidades de Ω) y en el vac´ıo es: r µo ηo = ≈ 120π (Ω) o y en cualquier otro medio homog´eneo y sin p´erdidas se escribe: r r µr µr η = ηo ≈ 120π (Ω) r r Notar que el sumando que corresponde a ejkz en (2.1) lleva el signo cambiado ~ con respecto a la soluci´ on de E. Cuando trabajemos en medios con p´erdidas, debemos emplear la permitividad y la permeabilidad compleja con lo que la ecuaci´on de ondas resulta: ~ − γ 2 E; ~ 4E donde

2.2 ONDAS PLANAS EN ´ MEDIOS CON PERDIDAS

~ − γ2H ~ =0 4H

√ γ = jω µc c

se denomina constante de propagaci´ on compleja que normalmente se escribe: γ = α + jβ

En la ra´ız compleja que define γ nos quedamos con el valor principal

En este caso, la soluci´ on del campo tiene la forma: ~ = [Ei e−γz + Er e+γz ]ˆ E x −γz +γz ~ H = [Hi e + Hr e ]ˆ y La onda viajera positiva tiene un factor de propagaci´on: e−γz = e−αz · e−jβz que en el dominio del tiempo tiene la forma: e−αz cos(ωt − βz) y observamos como, debido a las p´erdidas, aparece un factor de amortiguamiento exponencial que afecta al m´odulo de la soluci´on. Por todo ello, denominamos: α= constante de atenuaci´ on (m−1 ) β= constante de fase (m−1 ) ~ expresado en t´erminos de E ~ ser´a: Por u ´ltimo, el campo H ~ = 1 [Ei e−γz − Er eγz ]ˆ H y η

Las unidades m´ as frecuentes de α son N ep/m ´ o db/m y las de β, rad/m. Un neperio es equivalente a 8.68 dB

50

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

siendo:

r η=

µc jωµc = c γ

la impedancia intr´ınseca compleja del medio con p´erdidas que podemos escribir como: p √ √ γ = jω µc c = jω µr µo r o 1 − j tan δ (2.2) Estudiamos ahora dos casos particulares: Medio real con bajas p´erdidas (buen diel´ectrico) Medio real buen conductor 2.2.1 Ondas planas en medio buen diel´ ectrico Supongamos un medio buen diel´ectrico (aislante) con bajas p´erdidas. Si hacemos un desarrollo en serie de Taylor de (2.2) para el caso tan δ > ω esto es aquel en el que las corrientes de conducci´on son mucho mayores que las corrientes de desplazamiento. En este caso, despreciando el t´ermino de la corriente de desplazamiento, podemos escribir: r r σ ωµσ √ = (1 + j) γ ≈ jω µr o jω 2 de forma que se cumple: r α=β= δs es la distancia que hay que recorrer para que la amplitud del campo caiga 1/e = 36.8 %

ωµσ 2

Definimos δs = profundidad de penetraci´ on o espesor de piel como: 1 δs = = α

r

2 ωµσ

2.4. Ondas planas. Planteamiento general

51

La impedancia intr´ınseca compleja en el seno de un buen conductor ser´a: r ωµ jωµ 1 η= ≈ (1 + j) = (1 + j) γ 2σ σδs Notar que la fase de η es 45◦ , lo cual es caracter´ıstico de los buenos conductores. Resulta sencillo comprobar que el valor medio del vector de Poynting para una onda viajera positiva es:

2.3 VECTOR DE POYNTING

2 ~ >= |Eo | · e−2αz zˆ apunta seg´ se aten´ = |Eo | zˆ = |Eo | e−2αk·~ vf diremos que estamos ante dispersi´ on an´ omala. Este tipo de dispersi´on ocurre cerca de las frecuencias de resonancia de las distribuciones dipolares que forman los medios materiales. 2.5.2 Diagrama de Brillouin Para representar la dispersi´ on de un medio se utiliza el Diagrama de Brillouin, que no es m´ as que una representaci´on de ω vs. β (figura 3.2). En un medio dispersivo general tendremos que vf 6= vg , siendo: vf = tan φ1 vg = tan φ2

53

54

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

ω

φ2

φ1

β Figura 2.1: Diagrama de Brioullin

Si , µ 6= f (ω) la se˜ nal se propagar´a sin distorsi´on. Si el medio tiene p´erdidas tendremos: √ p γ = jω µ 1 − j tan δ y si δ la se˜ nal experimentar´a distorsi´on y atenuaci´on, con lo cual ser´a irreconocible a una cierta distancia. No obstante, si el medio es de bajas p´erdidas, apenas tendremos dispersi´on. δ = arctan

´ 2.6 POLARIZACION

La polarizaci´ on de una onda plana se refiere a la orientaci´on del campo el´ectrico, que puede seguir una direcci´on fija o cambiar con el tiempo. Si suponemos que la direcci´on de propagaci´on es zˆ y fijamos un instante t tendremos: E~ = Ex x ˆ + Ey yˆ siendo Ex = E1 cos ωt Ey = E2 cos(ωt + δ)

Si fijamos un plano z=cte. y observamos lo que ocurre a lo largo del tiempo, en el caso m´ as general, el extremo del vector E~ describir´a una elipse (x, y) como la de la figura 2.2. Buscamos la ecuaci´on de esta elipse. Si en el sistema de ecuaciones anterior eliminamos ωt se llega a: E12 y 2 + E22 x2 − 2E1 E2 cos δxy − E12 E22 sin2 δ = 0 ecuaci´ on de la elipse de polarizaci´ on. Veamos varios casos particulares: A. Si δ = 0 (componentes en fase): y=

E2 x E1

la polarizaci´on es lineal (rectilinea). Si δ = π entonces y = − EE12 x.

2.6. Polarizaci´ on

y

x

z

Figura 2.2: Elipse de polarizaci´ on

B. Si δ = ±π/2 (componentes en cuadratura) y E1 = E2 = E: y 2 + x2 = E 2 la polarizaci´ on es circular. C. En el resto de los casos, la polarizaci´on es el´ıptica. Notar que las polarizaciones el´ıpticas y circulares pueden girar a derechas o ~ Si a izquierdas, dependiendo del sentido del giro del extremo del vector E. el vector de propagaci´ on apunta seg´ un la perpendicular del plano del papel hacia arriba, hablaremos de: Polarizaci´ on a derechas o positiva: cuando el sentido de giro es antihorario Polarizaci´ on a izquierdas o negativa: cuando el sentido de giro es el horario En lo visto hasta ahora, hemos expresado cualquier polarizaci´on como una combinaci´ on de dos polarizaciones lineales seg´ un los ejes x e y. Dos polarizaciones lineales ortogonales forman una base para expresar cualquier otra polarizaci´on. De la misma forma, dos polarizaciones circulares de signos contrarios tambi´en son base (ver figura 2.3). de forma que a: y

Er E x

z

El

Figura 2.3: Base de polarizaciones circulares

55

56

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

Ex = E1 cos ωt Ey = E2 cos(ωt + δ)

corresponde: 1 Ex = √ [El cos ωt + Er cos(ωt + δ 0 )] 2 1 Ey = √ [−El sin ωt + Er sin(ωt + δ 0 )] 2 siendo δ 0 el desfasaje existente entre las dos polarizaciones circulares. 2.6.1 Representaci´ on de estados de polarizaci´ on Supongamos que elegimos un sistema de coordenadas de forma que el campo ~ se expresa como: E Ex = E1 cos(ωt) Ey = E1 cos(ωt + δ) campo al que corresponde la elipse de polarizaci´on es la de la figura 2.4.

y Elipse de polarización

E2 Eje mayor

B A

e g t E1

0

x

Eje menor

Figura 2.4: Elipse de polarizaci´ on

Definimos: R = Raz´ on axial, siendo |R| = OA/OB, tomando R > 0 para la polarizaci´ on a derechas y R < 0 para la polarizaci´on a izquerdas  = Angulo de elipticidad (−π/4 ≤  ≤ π/4) τ = Angulo de inclinaci´on (0 ≤ τ ≤ π) γ = Angulo de aspecto (0 ≤ γ ≤ π/2) La raz´ on axial cumple |R| ≥ 1

Las representaciones m´as habituales de los estados de polarizaci´on y sus principales ventajas son:

2.6. Polarizaci´ on

57

Elipse de polarizaci´ on: par´ ametros (, τ ) ´o (γ, δ). La elipse es f´acilmente construible. Vector complejo de polarizaci´ on: F´acil de calcular. Preserva la fase en la interacci´ on onda-antena. Coeficiente (ratio) de polarizaci´ on: ρL (complejo). Util para representar medios depolarizantes. Esfera de Poincar´e. Todos los estados de polarizaci´on se representan en una u ´nica esfera. Par´ ametros de Stokes: s1 , s2 , s3 (reales). Facilita la evaluaci´on de la interacci´ on onda-antena. Nos centraremos en los cuatro primeros. Par´ ametros de la elipse de polarizaci´ on Para las representaciones basadas en la elipse de polarizaci´on, las relaciones entre los distintos par´ ametros son: 1 arcsin(sin 2γ sin δ) 2 1 τ = arctan(tan 2γ cos δ) 2

−

=

π π ≤≤ 4 4

En las expresiones que relacionan (, τ ) y (γ, δ) aparecen funciones trigonom´ etricas inversas en las cuales hay que respetar el signo del cuadrante de la soluci´ on

0≤τ ≤π

junto con: 1 arc cos(cos 2 cos 2τ ) 2   tan 2 δ = arctan sin 2τ

γ=

0≤γ≤

π 2

Vector de polarizaci´ on Supongamos un campo de la forma: E~ = E1 cos ωtˆ x + E2 cos(ωt + δ)ˆ y que en el dominio de la frecuencia tiene como fasor complejo: ~ = E1 x E ˆ + E2 ejδ yˆ Definimos el vector de polarizaci´ on como un vector unitario eˆ que tiene la ~ Como adem´ direcci´on de E. as se cumple: tan γ =

E2 E1

resultar´a: eˆ = cos γ x ˆ + sin γejδ yˆ Notar que eˆ es un vector complejo unitario y que incluye toda la informaci´ on de polarizaci´ on

Coeficiente (ratio) de polarizaci´ on ρL Es un n´ umero complejo que se define como: ρL =

Ey E2 = ejδ Ex E1

58

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

2.7 ONDAS PLANAS EN CAMBIOS DE MEDIO

Suponemos dos medios homog´eneos e is´otropos caracterizados por (1 , µ1 , σ1 ) y (2 , µ2 , σ2 ) que tienen como superficie de separaci´on el plano S (dioptrio). Podemos plantear dos casos: A. La superficie de separaci´on es infinita (o muy grande en comparaci´on con λ). Postulamos una soluci´on que consiste en tres ondas planas: incidente, reflejada y transmitida B. La superficie de separaci´on es del orden de λ: ocurre un fen´omeno de difracci´ on. Este fen´omeno se estudiar´a posteriormente. En este apartado estudiaremos el primero de los casos analizando dos situaciones: ~ incide normalmente a S (direcci´on de propagaci´on kˆ perA. El campo E pendicular a S) ~ incide de forma oblicua a S (direcci´on de propagaci´on kˆ B. El campo E obl´ıcua a S)) El procedimiento en ambos casos consiste en postular unas soluciones que relacionamos mediante las condiciones de contorno en la superficie de discontinuidad. 2.7.1 Incidencia normal Suponemos, sin p´erdida de generalidad, que el campo el´ectrico incide sobre S orientado seg´ un x ˆ. Postulamos la existencia de: Una onda reflejada en el medio 1 (z < 0) Una onda transmitida (o refractada) en el medio 2 (z > 0)

1

2 Ei

Et

z=0

^z

Er e1 m1 s1

e2 m2 s2

Figura 2.5: Incidencia normal

2.7. Ondas planas en cambios de medio

59

La onda que excitamos en el medio 1 ser´a: ~ i = Eo e−γ1 z x E ˆ ~ i = Eo e−γ1 z yˆ H η1 y definimos las ondas reflejada: ~ r = Eo Γeγ1 z x E ˆ ~ r = − Eo Γeγ1 z yˆ H η1 y transmitida: ~ t = Eo T e−γ2 z x E ˆ E ~ t = o T e−γ2 z yˆ H η1 donde falta por encontrar los n´ umeros complejos Γ y T conocidos como: Γ= coeficiente de reflexi´ on del campo el´ectrico en la discontinuidad T = coeficiente de transmisi´ on del campo el´ectrico en la discontinuidad Γ y T relacionan los fasores de las ondas reflejadas y transmitidas con el de la onda incidente en la discontinuidad.

Notar que pod´ıamos haber definido unos coeficientes de reflexi´ on y transmisi´ on an´ alogos para el campo magn´ etico

Si ahora aplicamos las condiciones de contorno en dicha discontinuidad: ~2 − E ~ 1) = 0 y n ~2 − H ~ 1 ) = 0 obtendremos: n ˆ × (E ˆ × (H Γ+1=T 1−Γ T = η1 η2 de donde se sigue que:

η2 − η1 η2 + η1 2η2 T = η2 + η1 Γ=

(2.3) (2.4)

Los campos en el medio 1 ser´ an: ~1 = E ~i + E ~ r = Eo e−γ1 z (1 + Γe2γ1 z )ˆ E x ~1 = H ~i + H ~ r = Eo e−γ1 z (1 − Γe2γ1 z )ˆ H y η1 Podemos introducir un coeficiente de reflexi´ on generalizado para cualquier punto z, definido por: Γ(z) = Γe2γ1 z = Γ(0)e2γ1 z de forma que resulta: ~ 1 = Eo e−γ1 z [1 + Γ(z)]ˆ E x ~ 1 = Eo e−γ1 z [1 − Γ(z)]ˆ y H η1 expresiones correspondientes a una onda estacionaria. Pasamos a estudiar dos casos particulares.

Se pueden definir unos coeficientes de reflexi´ on y transmisi´ on en potencia equivalentes a los definidos para el campo el´ ectrico

60

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

Medios 1 y 2 sin p´ erdidas Suponemos que σ1 = σ2 = 0. Entonces tendremos: √ γ1 = jβ1 = jko µr1 r1 √ γ2 = jβ2 = jko µr2 r2 siendo adem´ as η1 y η2 ∈ R, por lo que Γ(0) ser´a tambi´en un n´ umero real (con signo). El m´odulo del campo el´ectrico ser´a: p (2.5) |E1 | = |Eo ||1 + Γ(0)e2jk1 z | = |Eo | 1 + Γ(0)2 + 2Γ(0) cos 2k1 z La figura 2.6 representa esta ecuaci´on, en lo que se conoce como diagrama de onda estacionaria

|E| l1/2 Emax Emin

z=0

z

l1/4 l1/2 Figura 2.6: Diagrama de onda estacionaria Notar que la distancia entre m´ aximos (o m´ınimos) consecutivos es de λ1 /2 y entre un m´ aximo y un m´ınimo consecutivo, λ1 /4

Es interesante introducir un nuevo par´ametro s, conocido como relaci´ on de onda estacionaria ´o ROE, dado por el cociente entre el m´aximo y el m´ınimo valor del campo el´ectrico: ROE = s =

Emax 1 + |Γ| = Emin 1 − |Γ|

que se puede obtener f´acilmente a partir de (2.5) y que toma valores en el intervalo 1 < s < ∞. La ROE es un par´ametro f´acilmente medible (basta un medidor de campo) que proporciona directamente el m´odulo del coeficiente de reflexi´on en la discontinuidad: s−1 |Γ(0)| = s+1 En el caso particular en que η1 = η2 , obtendremos Γ(0) = 0, s = 1 y |E(z)| = Eo =cte. como corresponde a una onda viajera positiva en el medio 1 (no existe onda viajera negativa ni, por tanto, onda estacionaria). Calculamos ahora el vector de Poynting en los dos medios: |E0 |2 −jk1 z 1~ ~∗ S˜1 = E (e + Γ(0)e−jk1 z )(e−jk1 z + Γ(0)e−jk1 z )∗ zˆ 1 × H1 = 2 2η1
|E0 |2 = 1 − |Γ(0)|2 + 2jΓ(0) sin 2k1 z zˆ 2η1 |E0 |2 2 1~ ~∗ S˜2 = E |T | zˆ 2 × H2 = 2 2η2

(2.6)

2.7. Ondas planas en cambios de medio

Observamos como S˜1 tiene parte real (energ´ıa que se propaga) y parte imaginaria (elerg´ıa reactiva almacenada) mientras que S˜2 tiene s´olo parte real. Se puede demostrar f´ acilmente que las partes reales de los dos vectores calculados coinciden (lo cual es l´ ogico, ya que la energ´ıa que se propaga en la direcci´on zˆ desde el medio 1 pasa al medio 2).

Medios 1 sin p´ erdidas, medio 2 con p´ erdidas En este caso, el diagrama de onda estacionaria vendr´a dado por: p |E1 | = |Eo ||1 + Γ(0)e2jk1 z | = |Eo | 1 + |Γ(0)|2 + 2|Γ(0)| cos(2k1 z + φ) donde se ha tomado un Γ(0) complejo, dado por: Γ(0) = |Γ(0)|ejφ Se observa como aparece un desfasaje adicional φ en el coseno dado por la fase del coeficiente de reflexi´ on en la discontinuidad. Se˜ nalar que el concepto de ROE sigue siendo perfectamente aplicable.

Medio 1 sin p´ erdidas, medio 2 conductor perfecto En este caso, no existe onda transmitida por lo que tendremos: T =0 Γ = −1 El m´odulo del campo tiene la forma: p |E1 | = |Eo | 1 + (−1)2 − 2 cos 2k1 z = 2|Eo || sin k1 z| que corresponde a una onda estacionaria pura. En este caso los valores m´ınimos del campo el´ectrico son nulos, por lo que tendremos s → ∞. Notar que el campo se debe anular en la discontinuidad (ver figura 2.7). En este

|E| l1/2 2|Eo| Nulo

l1/4

l1/2

z=0

z

Figura 2.7: Reflexi´ on sobre conductor perfecto

caso, la parte real del vector de Poynting S˜1 es cero, como corresponde a una situaci´ on en la cual no hay propagaci´on de energ´ıa seg´ un zˆ.

61

62

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

Caso general: Medios 1 y 2 con p´ erdidas En este caso Γ(z) es un n´ umero complejo cuyo m´odulo depende tambi´en de z: Γ(z) = Γ(0)e2γ1 z = Γ(0)e2α1 z e2jβ1 z y tanto la onda incidente como la reflejada se ven atenuadas. En la figura 2.8 se representa el ”diagrama de onda estacionaria”que corresponde a esta situaci´ on. Se observa como ya no se puede hablar de una ROE ya que los valores m´ aximos y m´ınimo de campo el´ectrico no se mantienen constantes al variar z.

|E|

z

z=0 Figura 2.8: Reflexi´ on (caso general)

2.7.2 Incidencia normal con cambio de medio Suponemos una situaci´on en la cual tenemos presentes m´ ultiples medios, cuyas superficies de separaci´on son planos perpendiculares a la direcci´on de propagaci´ on zˆ.

n-1

n

n+1

zn

n+2

^z

Figura 2.9: Incidencia normal con m´ ultiples cambios de medio

Si tomamos la superficie que corresponde al cambio entre los medios n y n + 1 (donde ahora existir´a onda transmitida y reflejada procedente del interfaz con el medio n + 2), podemos calcular el coeficiente de reflexi´on Γn (zn ) aplicando las condiciones de contorno, de forma que se cumple: Γn (zn ) =

ηn+1 −ηn ηn+1 +ηn + Γn+1 (zn ) −ηn 1 + ηηn+1 Γn+1 (zn ) n+1 +ηn

2.7. Ondas planas en cambios de medio

63

Como se puede ver, el planteamiento del problema es complicado cuando se usan coeficientes de reflexi´ on y que en cada discontinuidad hay que recalcular dicho coeficiente seg´ un la f´ ormula anterior. Para tratar este problema, es conveniente introducir una impedancia definida como: ~ n (z) zˆ × E Zn (z) = ~ n (z) H conocida como impedancia en un plano de z constante que tiene dimensiones ~ n (z) y H ~ n (z) los campos totales (incidente+reflejado). En de Ω, siendo E la ecuaci´on anterior tomamos un signo positivo para la impedancia (que relacionamos con la direcci´ on zˆ+ ). Un signo negativo tambi´en hubiera sido v´alido. La ventaja de esta nueva impedancia estriba en que relaciona los ET y HT , campos que son continuos (incluido en las discontinuidades), por lo que cualquier relaci´ on entre ellos, tambi´en lo ser´a. Operando en la definici´ on de la impedancia se sigue que: Zn (zn ) = ηn Γn (z) =

1 + Γn (z) 1 − Γn (z)

Zn (z) − ηn Zn (z) + ηn

Observamos que si Γn = 0 (ausencia de onda reflejada), entonces Zn (z) = ηn . Sustituyendo el valor de los coeficientes de reflexi´on, 0

Zn (z) = ηn

1 + Γn (z 0 )e2γn (z−z ) 1 − Γn (z 0 )e2γn (z−z0 )

que puede expresarse como: Zn (z) = ηn

Zn (z 0 )chγn (z − z 0 ) − ηn shγn (z − z 0 ) ηn chγn (z − z 0 ) − Zn (z 0 )shγn (z − z 0 )

y en el caso de un medio sin p´erdidas: Zn (z) = ηn

Zn (z 0 ) cos βn (z − z 0 ) − jηn sin βn (z − z 0 ) ηn cos βn (z − z 0 ) − jZn (z 0 ) sin βn (z − z 0 )

Por ejemplo, para una incidencia normal con dos cambios de medio, tal y como se indica en la figura 2.10, y aplicando la continuidad de Z(z), tendr´ıamos: Z1 (0) − η1 Z1 (0) + η1 Z2 (d) cos β2 d + jη2 sin β2 d Z1 (0) = η2 η2 cos β2 d + jZ2 (d) sin β2 d Z2 (d) = Z3 (d) = η3 Γ1 (0) =

2.7.3 Incidencia oblicua Suponemos ahora un caso en el cual la direcci´on de propagaci´on de la onda plana incidente no coincide con la perpendicular a la superficie S. Situamos

La definici´ on de Zn (z) no es un cociente de vectores, sino de sus medidas (complejas) ya que numerador y denominador son dos vectores paralelos

64

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

1

2

3

^z

z=d

z=0

e2 m2 s2

e1 m1 s1

e3 m3 s3

d Figura 2.10: Incidencia normal con dos cambios de medio S 1

2

^nr ^nt qt

qr

^n qi ^ni

Plano de incidencia

e1 m1 s1

e2 m2 s2

Figura 2.11: Incidencia obl´ıcua

el origen de coordenadas en cualquier punto de dicha superficie, cuya normal viene dada por el vector n ˆ . Al igual que hicimos en el caso de la incidencia normal, postulamos la existencia de tres ondas: ~ i seg´ Una onda inidente: E un la direcci´on n ˆi ~ r seg´ Una onda reflejada: E un la direcci´on n ˆr ~ t seg´ Una onda transmitida: E un la direcci´on n ˆt cuyas expresiones son: ~i = E ~ o e−γ1 nˆ i ·~r E ~i = 1 n ~i H ˆi × E η1 y definimos las ondas reflejadas: ~r = E ~ 2 e−γ1 nˆ r ·~r E ~r = 1 n ~r H ˆr × E η1

2.7. Ondas planas en cambios de medio

y transmitida: ~t = E ~ 1 e−γ2 nˆ t ·~r E ~t = 1 n ~t H ˆt × E η2 Leyes de Snell Imponemos que los exponentes de las ondas sean los mismos en la superficie S, definida por la ecuaci´ on n ˆ · ~r = 0. Dado que podemos expresar ~r como (ver Stratton) ~r = (ˆ n · ~r)ˆ n−n ˆ × (ˆ n × ~r) sobre la superficie S ser´ a: ~r = −ˆ n × (ˆ n × ~r) con lo que podremos escribir: γ1 n ˆi · n ˆ × (ˆ n × ~r) = γ1 n ˆr · n ˆ × (ˆ n × ~r) γ1 n ˆi · n ˆ × (ˆ n × ~r) = γ2 n ˆr · n ˆ × (ˆ n × ~r) y dado que: n ˆi · n ˆ × (ˆ n × ~r) = (ˆ ni × n ˆ ) · (ˆ n × ~r) resulta: (ˆ ni × n ˆ−n ˆr × n ˆ) · n ˆ × ~r = 0 (γ1 n ˆi × n ˆ − γ2 n ˆt × n ˆ) · n ˆ × ~r = 0 de donde podemos extraer las siguientes conclusiones: Los vectores n ˆ, n ˆi, n ˆr y n ˆ t est´ an en el mismo plano, que denominaremos plano de incidencia, que es perpendicular a S. Primera Ley de Snell: sin θr = sin θi ⇒ θr = θi Segunda Ley de Snell: γ1 sin θi = γ2 sin θt que en un caso sin p´erdidas resulta: √

µ1 1 sin θi =

√

µ2 2 sin θt

Ecuaciones de Fresnel Aplicamos ahora las condiciones de contorno para determinar la relaci´on entre los campos en cualquier punto de la superficie S: ~i + E ~r) = n ~ t; n ˆ × (E ˆ×E

~i + H ~ r) = n ~t n ˆ × (H ˆ×H

~ i era arbitraria. Distinguimos En los visto hasta ahora, la orientaci´ on de E dos casos:

65

66

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

~ i es perpendicular al plano de incidencia, E ~i = E ~⊥ A. E ~ i es paralelo al plano de incidencia, E ~i = E ~k B. E de forma, que cualquier campo puede descomponerse en esta nueva base como: ~ =E ~k + E ~⊥ E ~ i perpendicular al plano de incidencia (E ~i = E ~ ⊥ ) En este Caso 1: E ~ ⊥ = 0. Tendremos adem´as que n ~t = n ~ r = 0. Si caso se verifica n ˆ·E ˆ·E ˆ·E aplicamos las condiciones de contorno llegamos a: Γ⊥ =

r E⊥ η2 cos θi − η1 cos θt = i η2 cos θi + η1 cos θt E⊥

T⊥ =

t E⊥ 2η2 cos θi = i η2 cos θi + η1 cos θt E⊥

Si aplicamos la segunda Ley de Snell, obtenemos que para el ´angulo θt se cumple: s  2 γ1 cos θt = 1 − sin2 θi γ2 que en un caso sin p´erdidas se convierte en: s  2 k1 cos θt = 1 − sin2 θi k2 y vemos que este valor puede llegar a ser complejo, incluso aunque tratemos con medios diel´ectricos sin p´erdidas. No obstante, si sustituimos este valor en las ecuaciones anteriores utilizando la segunda Ley de Snell, solventamos de momento el problema y obtenemos una versi´on m´as pr´actica en funci´on u ´nicamente del a´ngulo de incidencia θi : r

Γ⊥ =

T⊥ =

r E⊥ i E⊥

η2 cos θi − η1 = η2 cos θi + η1

t E⊥ = i E⊥

 2 1 − γγ12 sin2 θi r   1−

2η2 cos θi r 

η2 cos θi + η1

1−

γ1 γ2

γ1 γ2

2

2

sin2 θi

sin2 θi

~ i en cada y podemos decir que los coeficientes complejos que multiplican a E ⊥ r t i ~ yE ~ no est´an en fase con E ~ . caso indican que E ⊥ ⊥ ⊥ ~ i paralelo al plano de incidencia (E ~i = E ~ k ) En este caso Caso 2: E ~ ~ ~r = n ~t = 0 y H ser´ a normal al plano de incidencia, esto es n ˆ · Hi = n ˆ·H ˆ·H procediendo an´ alogamente llegamos a: Γk =

Ekr Eki

=

−η1 cos θi + η2 cos θt η1 cos θi + η2 cos θt

2.7. Ondas planas en cambios de medio

Tk =

Ekt Eki

=

2η2 cos θi η1 cos θi + η2 cos θt

con el mismo problema de antes, de forma que es conveniente escribir: r  2 γ1 r −η cos θ + η 1 − sin2 θi 1 i 2 Ek γ2 r Γk = i =  2 Ek η1 cos θi + η2 1 − γγ12 sin2 θi

Tk =

Ekt Eki

2η2 cos θi r 

=

η1 cos θi + η2

1−

γ1 γ2

2

sin2 θi

~r y E ~ t no est´ ~ i y que (Γ⊥ , T⊥ ) 6= (Γk , Tk ) y observamos que E an en fase con E k k k Comentarios sobre los resultados obtenidos: A la vista de los resultados anteriores, podemos afirmar que una polarizaci´on lineal cualquiera (incidente) dar´ a lugar a ondas reflejadas y transmitidas con polarizaci´on el´ıptica salvo en el caso de incidencia normal (θi = 0) en el cual no se ~⊥ y E ~ k y resultan las expresiones conocidas: distingue E Γ1 = Γ⊥ = Γ(0) =

η2 − η1 η2 + η1

T1 = T⊥ = T (0) =

2η2 η2 + η1

Medios diel´ ectricos Particularizamos los resultados obtenidos para el caso σ1 = σ2 = 0. Suponemos, adem´ as, que µ1 = µ2 = µo . Entonces, la segunda Ley de Snell se escribe: √ r1 sin θt sin θt n1 = =√ = sin θi sin θr r2 n2 donde hemos introducido el valor n=

√

r

conocido como ´ındice de refracci´ on del medio junto con: n21 =

n1 n2

´ındice de refracci´ on relativo de 1 con respecto a 2 Observamos que: Si 2 > 1 entonces θt < θi , esto es, el rayo se acerca a la normal a S Si 1 > 2 hay dos posibilidades: • ∀θi ≤ arcsin(n2 /n1 ) ser´ a θt > θi • ∀θi > arcsin(n2 /n1 ), θt ser´ a complejo. Excluimos, de momento esta posibilidad

67

68

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

Para valores de θt reales las f´ormulas de Fresnel proporcionan coeficientes de reflexi´ on y transmisi´on tambi´en reales, por lo que las ondas transmitidas y reflejadas estar´an en fase (0◦ ) ´o contrafase (180◦ ) con respecto a la onda incidente. Angulo de Brewster: Veamos ahora si existe alg´ un ´angulo para el cual no existe onda reflejada. Es f´acil comprobar que para la polarizaci´on perpent dicular al plano de incidencia no es posible anular el fasor E⊥ . Sin embargo la ecuaci´ on de Γk se anula cuando se verifique: −η1 cos θi + η2 cos θt = 0 que combinado con la primera la Ley de Snell conduce a un ´angulo de incidencia: r r 2 2 θi = θb = arcsin = arctan 1 + 2 1 valor que se denomina ´ angulo polarizante ´ o de Brewster y que existe s´olo para la polarizaci´on paralela al plano de incidencia. Reflexi´ on total: Volvemos ahora al caso en el cual obtenemos ´angulos θt complejos. Esto ocurre a partir de un cierto ´angulo conocido como ´ angulo cr´ıtico dado por: r 2 n2 = arcsin θc = arcsin n1 1 para el cual θt = π/2, esto es, la onda transmitida sigue una direcci´on paralela a la superficie S (y los planos de fase constante ya no progresan hacia la direcci´ on z + ). El problema para ´angulos mayores al cr´ıtico estriba en que los ´angulos obtenidos en el medio 2 pierden su significado f´ısico, si bien la soluci´on matem´ atica sigue siendo v´alida. El problema est´a en la suposici´on de onda plana que postulamos al principio del apartado. Veamos esto con detenimiento y estudiemos qu´e tipo de soluciones obtenemos. Cuando θt sea complejo tendremos: sin θt =

γ1 α1 + jβ1 sin θi = sin θi γ2 α2 + jβ2

y en el caso de medios sin p´erdidas, α1 = α2 = 0 por lo que ser´a: q cos θt = −jn21 sin2 θt − n212

(2.7)

ecuaci´ on en la cual la ra´ız lleva el signo que corresponde a la condici´on de que el campo nunca puede hacerse ∞. Supongamos que n ˆ=x ˆ de forma que todos los puntos del medio 2 tienen valores positivos de x (ver figura 2.12). Entonces: √ γ2 n ˆ · ~r = jω 2 µ2 (x cos θt + z sin θt ) = q √ = jω 1 µ1 (−jx sin2 θi − n212 + z sin θi ) y por tanto, el campo transmitido ser´a: ~t = E ~ to e−γ2 nˆ ·~r = E ~ to e−α2 x−jβz E

(2.8)

2.7. Ondas planas en cambios de medio

69

1 S z

0 2 x

Figura 2.12: Reflexi´ on total en una superficie coincidente con el plano xy

~ to se obtiene de la F´ donde E ormula de Fresnel correspondiente y: q q ω √ α2 =ω 1 µ1 sin2 θi − n212 = sin2 θi − n212 vf 1 ω √ β =ω 1 µ1 sin θi = sin θi vf 1 y observamos c´ omo el campo definido por (2.8) incluye dos t´erminos: Un factor e−α2 x que depende de x y que decae exponencialmente seg´ un x → ∞ lo cual confirma la elecci´on del signo negativo de la ra´ız de (2.7), y que define un conjunto de superficies equiamplitud en planos paralelos a la discontinuidad (ver figura 2.13) Un factor e−jβz que depende de z y tiene aspecto de onda, a pesar de que su velocidad de fase: vs =

vf 1 sin θi

depende del ´ angulo θi y que define un conjunto de superficies equifase perpendicular a las superficies equiamplitud y a la discontinuidad.

1 0 S

Planos equifase

Planos equiamplitud

z 2

x

Figura 2.13: Onda de superficie en medios sin p´erdidas para reflexi´ on total

Mediante las ecuaciones de Fresnel se puede llegar a las expresiones de los campos en los medios 1 y 2 y analizando el vector de Poynting en los dos medios se puede llegar a las siguientes conclusiones: A. El flujo de energ´ıa de la onda reflejada coincide con el de la onda incidente ~ t no es nulo B. El vector de campo E

El origen del problema de los ´ angulos complejos est´ a en que la suposici´ on de ondas planas (excepto para el caso de incidencia normal) es incompatible con la presencia del dioptrio

70

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

C. No existe flujo medio de energ´ıa en el medio 2 (el de menor ´ındice de refracci´ on) seg´ un la componente normal a la discontinuidad, si bien existe una componente normal instant´anea de flujo de energ´ıa no nula, dado que los campos no son nulos D. Existe un flujo medio de energ´ıa en el medio 2 en la direcci´on paralela a la discontinuidad que cae muy r´apidamente cuando nos alejamos de ella. Por lo tanto, podemos decir que la excitaci´on en el medio 2, en el caso de reflexi´ on total, es una onda no transversal (no plana) confinada en la vecindad de la superficie de discontinuidad. Las soluciones de este tipo se conocen como ondas de superficie. Estas soluciones van a tener componentes transversales y longitudinales con respecto a la direcci´on de propagaci´on (a lo largo de la discontinuidad). Por todo ello, podemos decir que: Los ´ angulos complejos corresponden a ondas no planas, que presentan componentes longitudinales de campo Las componentes longitudinales est´an relacionadas con la energ´ıa reactiva almacenada en el medio Existe propagaci´on por onda de superficie lo que da lugar a superficies equiamplitud y superficies equifase Los ´ angulos complejos est´ an relacionados con ondas no transversales (no planas).

Medios con p´ erdidas En este caso, las leyes de Snell y Fresnel siguen siendo formalmente v´alidas, pero nuevamente, el hecho de que θt sea compleja, conduce a una interpretaci´ on distinta. Supongamos que el medio 2 es conductor. De acuerdo con la Ley de Snell, tendremos: sin θt = (a − jb) sin θi de donde se sigue que: cos θt =

q 1 − (a2 − b2 − 2jab) sin2 θi = ρejγ

por lo que el campo ser´a: ~t = E ~ to e−px−j(−qx+α1 z sin θi ) E siendo: p = ρ(β2 cos γ + α2 sin γ) q = ρ(α2 cos γ − β2 sin γ) y ahora: Las superficies de amplitud constante son los planos px = cte Las superficies de fase constante son los planos −qx + α1 z sin θi = cte. y observamos como las dos familias de planos no coinciden y nuevamente la soluci´ on no es una onda plana (ver figura 2.14).

2.8. Ejercicios

Planos equiamplitud y equifase

71

1

S

Y

0

Y

Planos equiamplitud

z

se

uifa s eq

o

Plan

2

x

Figura 2.14: Refracci´ on en un medio con p´erdidas

Podemos definir una Ley de Snell modificada, que ahora depende del ´angulo de incidencia: q sin θi 1 α12 sin2 θi + q 2 n(θi ) = = sin Ψ α1 con lo cual la velocidad de fase ser´ a: ω

v2 (θi ) = q

=

α12 sin2 θi + q 2

vf 1 n(θi )

Como caso particular, si el medio 2 es un buen conductor (σ2 >>), tendremos: r ωσ2 µ2 α2 = β2 ≈ 2

Se puede demostrar que en este caso, existe un ´ angulo an´ alogo al de Brewster para el cual el coeficiente de reflexi´ on para la polarizaci´ on de la onda paralela al plano de incidencia alcanza un m´ınimo (no un nulo)

que implica: p ≈ q ≈ α2 ⇒ Ψ → 0 n(θi ) → ∞ vf 2 → 0 por lo que al aumentar σ2 (´ o disminuir f ), los planos de fase constante se alinean con los de amplitud constante y la propagaci´on en el seno del conductor ocurre pr´ acticamente seg´ un la direcci´on a la normal a la discontinuidad (figura 2.15).

Dieléctrico 1 0 S z

Y

Conductor

2

x

Figura 2.15: Refracci´ on en medio buen conductor

2. 21 Una onda plana con una frecuencia de f =3 GHz se propaga en un medio material infinito con r = 7 y µr = 3. Calcular λ, vf y η. Sol : λ = 0.0218m; vp = 6.55 · 107 m/s; η = 246.8Ω

2.8 EJERCICIOS

72

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

2. 22 Calcular la profundidad de penetraci´on, δs , en el Aluminio (σ = 3.86 · 107 S/m) a f = 10 GHz. Sol : δs (Al) = 8.14 · 10−7 m 2. 23 Calcular la constante de atenuaci´on en tierra seca (0 = 4, σ = 10−3 S/m) y en mar (0 = 80, σ = 4 S/m). Sol : f 15 KHz 150 KHz 1.5 MHz 15 MHz 150 MHz

α (dB/m) Tierra 0.06 0.20 0.56 0.80 16.83

α (dB/m) Mar 4.22 13.37 42.24 132.6 389.1 !!!

2. 24 Determinar la polarizaci´on de una onda plana en los siguientes casos: ~ = Eo (ˆ x + yˆ)e−jko z A. E ~ = Eo (ˆ B. E x + j yˆ)e−jko z Sol : A) Lineal; B) Circular a izquierdas 2. 25 Describir el estado de polarizaci´on de las siguientes ondas: ~ = E0 cos(kz − ωt)ˆ A. E x − E0 sin(kz − ωt)ˆ y ~ = E0 cos(kz − ωt − π/2)ˆ x − E0 sin(kz − ωt)ˆ y B. E ~ = E0 cos(kz − ωt)ˆ x − E0 cos(kz − ωt)ˆ y C. E y determinar sus componentes magn´eticas y la energ´ıa media transportada en un periodo por unidad de superficie. Sol : ~ = A. Circular a derechas. H 1 2 ~ S >= 120π | E0 | zˆ B. Lineal con direcci´on: ~u = ~ >= 1 | E0 |2 zˆ = 1 | E0 |2 zˆ = 60πH 2 zˆ izquierdas; < S 0

2. 29 Una onda plana monocrom´ atica se propaga en el vac´ıo seg´ un z y est´a constituida por la superposici´ on de dos componentes linealmente polarizadas cuyos valores instant´ aneos en z = 0 est´an dados por: E~1 (0, t) =3 cos ωtˆ x E~2 (0, t) =2 cos(ωt + π/2)ˆ y Determinar la relaci´ on entre los valores m´aximo y m´ınimo del campo total, la polarizaci´ on y el vector de Poynting medio asociado a la onda y a cada una de sus componentes por separado. Sol : RA = 3/2: El´ıptica a izquierdas; Pav = 4 zˆ W/m2 P2 = 240π

13 ˆ 240π z

W/m2 P1 =

9 ˆ 240π z

2. 30 Determinar la amplitud compleja del campo el´ectrico de una onda plana monocrom´ atica con polarizaci´ on el´ıptica a izquierdas sabiendo que se propaga en el vac´ıo seg´ un una direcci´on que se considera como eje z; la relaci´on entre el valor m´ aximo y el valor m´ınimo del campo el´ectrico es N ; la direcci´on seg´ un la cual se mide el m´aximo valor del campo el´ectrico se toma como eje y; el valor medio de la densidad de potencia que transmite la onda es P (W/m2 ) y el campo el´ectrico en el plano z = 6 tiene direcci´on x ˆ en el instante t = 0. q ~ = 2P 120π Sol : E x + N j yˆ)e−jβz 2 (ˆ 1+N

2. 31 Encontrar el vector de polarizaci´on de una onda plana si  = 30o y τ = 135o . √

Sol : ~e =

2 ˆ 2 x

√

+

2 j 2π 3 y ˆ 2 e

2. 32 Calcular el vector de polarizaci´on de un campo con polarizaci´on

73

74

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

el´ıptica a derechas cuya raz´on axial es 3 dB y su semieje mayor corresponde al eje x. x − j0.577ˆ y Sol : ~e = 0.816ˆ 2. 33 Calcula el coeficiente de reflexi´on de una onda plana sobre un plano conductor infinito de Cu (σ = 5.813 · 107 S/m) para f =1 GHz. Sol : Γ ≈ 1 6 179.9◦ ; T ≈ 6.181 · 10−5 6

45◦

2. 34 Una onda plana que se propaga en un medio de r = 4, µr = 1 y cu~ i = 2 · 10−3 e−jkz yˆV /m incide normalmente yo fasor de campo el´ectrico es E sobre un medio igual al vac´ıo. Determinar el campo magn´etico incidente, el coeficiente de reflexi´on y la ROE, los campos reflejados y transmitidos (el´ectricos y magn´eticos) y las densidades de potencia media incidente, reflejada y transmitida. Sol : −j2ko z ~ i = − 0.002 e−jkz x A. H ˆ(A/m) = − 0.002 x ˆ (A/m) 60π 60π e

B. Γ1 (z) = 13 ej4k0 z ROE=2 C. E~r = 13 0.002ej2k0 z yˆ(V /m); E~ t = 43 0.002e−jk0 z yˆ(V /m); H~ r = i = D. Pav

1 0.002 j2k0 z x ˆ(A/m); 3 60π e 10−6 ˆ(W/m2 ) 30π z

~ t = − 4 0.002 e−jk0 z x H ˆ(A/m) 3 120π −6

r t = − 10 = Pav ˆ(W/m2 ) Pav 270π z

8·10−6 ˆ(W/m2 ) 270π z

2. 35 Una onda plana que se propaga en el espacio libre incide normalmente sobre un material diel´ectrico sin p´erdidas. La reflexi´on producida origina en el espacio libre una onda estacionaria, y por medio de mediciones se determina que: la relaci´on de ondas estacionaria (ROE) es 2; la distancia entre dos m´ aximos consecutivos de campo el´ectrico es 6 cm y el primer m´aximo del campo el´ectrico est´a situado a 3 cm del diel´ectrico. Calcular: A. La frecuencia B. La constante diel´ectrica relativa de la l´amina C. El porcentaje de energ´ıa incidente que atraviesa la l´amina Sol : f = 2.5 GHz; r = 4; 88.9 % 2. 36 Una onda plana de frecuencia 3 GHz se propaga en el vac´ıo e incide normalmente sobre una superficie diel´ectrica de permitividad 160 y espesor 5/8cm, a la que sigue otra de permitividad 0 y 5cm de espesor, tras la que se halla una nueva l´amina de 40 y 5/4cm de grosor a continuaci´on de la cual se tiene de nuevo el vac´ıo. A. ¿Cu´ al es el porcentaje de la potencia incidente en el primer medio que se transmite al u ´ltimo? B. ¿Qu´e medio o medios podr´ıan eliminarse de la estructura dada manteni´endose el mismo porcentaje de potencia transmitida?

2.8. Ejercicios

Sol : 64 %; 2 y 3 2. 37 Una onda plana incide oblicuamente desde el vac´ıo sobre un conductor perfecto como se indica en la figura. La amplitud compleja del campo incidente es: √ ~i = 5ˆ E xe−j 2π(y+z) Y (1)

(2)

Z Hi

A. Calc´ ulese la expresi´ on de los campos totales en funci´on del tiempo. B. ¿Existe alg´ un punto en el cual se anule el campo el´ectrico para cualquier valor del tiempo? √ √ ~ = 10sen( 2πz)sen(ωt − 2πy)ˆ x; Los planos z = Sol : E(t)

n √ 2

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76

´ EN MEDIO INDEFINIDO PROPAGACION

CAP´ITULO 3

Ondas guiadas Planteamos el problema de la transmisi´on de energ´ıa electromagn´etica entre dos puntos cumpliendo dos exigencias: Debe llegar la totalidad o la mayor parte de la energ´ıa enviada desde el primer medio El sistema debe permitir el paso de las potencias que sea necesario transmitir en la pr´ actica En el caso de las bajas frecuencias, el problema se resuelve empleando dos conductores paralelos separados entre si una distancia peque˜ na comparada con λ. Por este motivo, no se producen p´erdidas por radiaci´on. Si se quiere mantener esta situaci´ on al elevar la frecuencia, es necesario disminuir dicha distancia, lo que limita la potencia m´axima transmisible por la formaci´ on de arcos el´ectricos. Todo ello, limita la transmisi´on por l´ıneas bifilares hasta frecuencias del orden de los MHz, lo que obliga a recurrir a otros artificios para suprimir la radiaci´ on de los conductores paralelos. Una primera soluci´ on es el cable coaxial en el cual uno de los conductores engloba completamente al otro. Para soportar el conductor central se puede utilizar un medio diel´ectrico que rellene el espacio entre los conductores o simplemente rodajas de dicho material aislante. Generalizando lo anterior, introducimos unos elementos nuevos, las gu´ıas de ondas ´ o guiaondas que, en general, consisten en un tubo cil´ındrico de paredes met´ alicas y lleno de aislante, aire o el vac´ıo en las cuales el soporte de la energ´ıa que se transmite es el campo electromagn´etico que, para una determinada frecuencia, se propagar´ a a lo largo del tubo si se han elegido adecuadamente las dimensiones de la secci´on recta de este u ´ltimo. La propagaci´ on estar´ a tanto m´ as confinada dentro de la gu´ıa cuanto m´as alta sea la frecuencia de trabajo porque se reducir´a la profundidad de penetraci´on del campo e.m. en el conductor met´ alico que lo constituye. Las gu´ıas se conocen seg´ un la forma de la pared que constituye su secci´on. Si en el interior de la gu´ıa no hay m´ as que un aislante homog´eneo e is´otropo, se dice que la primera es homog´enea. En caso contrario, se especifica la geometr´ıa con un calificativo especial como p. ej. gu´ıa parcialmente rellena de diel´ectrico.

´ 3.1 INTRODUCCION

78

ONDAS GUIADAS

Existen otros mecanismos para conseguir la propagaci´on guiada basados en la propagaci´ on de ondas superficiales sobre un conductor met´alico. Un ejemplo son las l´ıneas microstrip, que consisten en un plano conductor inferior, una capa de sustrato diel´ectrico y una tira de conductor situada sobre este, estructura que permite la propagaci´on guiada si las dimensiones son las adecuadas. 3.2 GU´IAS CIL´INDRICAS ´ HOMOGENEAS. ´ PLANTEAMIENTO TEORICO ´ DE LA PROPAGACION

En primera aproximaci´on hacemos la abstracci´on matem´atica de considerar que el conductor que forma la gu´ıa es perfecto. Como se ha mendionado anteriormente, esto es tanto m´as cierto cuanto m´as alta sea la frecuencia ya que la profundidad de penetraci´on ser´a menor. En consecuencia, no existe campo e.m. en el metal que forma la gu´ıa y el problema se reduce a hallar la propagaci´ on en un medio homog´eneo is´otropo aislante (o conductor imperfecto) y que llena la regi´on del espacio interior a una superficie cil´ındrica donde est´ a en contacto con otro medio, conductor perfecto. Para simplificar el c´alculo, suponemos que el diel´ectrico no tiene p´erdidas, por lo que se trata de un aislante perfecto. Dada la simetr´ıa de traslaci´on, caracterizamos cualquier punto P del espacio mediante tres coordenadas (ξ1 , ξ2 , z) de forma que: Los puntos situados en una recta paralela a las generatrices del cilindro en cuesti´ on tienen las mismas coordenadas (ξ1 , ξ2 ). Todos los puntos situados en un plano perpendicular a dichas generatrices tienen la misma z. La diferencia entre las coordenadas z de dos puntos es igual a la distancia geom´etrica que separa los planos que pasan por tales puntos y que son perpendiculares a las generatrices del cilindro.

En coordenadas cartesianas ξ1 = x, ξ2 = y; en coordenadas cil´ındricas ξ1 = ρ, ξ2 = φ;

Se trata entonces de resolver las ecuaciones de ondas: ~ − γ2E ~ =0 4E o 2~ ~ 4H − γo H = 0 siendo γo2 = −ω 2 µ = −k 2 a˜ nadiendo las condiciones de contorno que impo~ y H. ~ Junto con el campo electromagn´etico en el ne la gu´ıa a los campos E interior de la estructura, podr´ıamos calcular la densidad lineal de corriente seg´ un: ~ J~s = n ˆ×H ~ como (para el campo H ~ el desarrollo es an´aloPodemos escribir el campo E go): ~ =E ~t + E ~z E ~ t es la componente tangencial y E ~ z la componente longitudinal, con donde E respecto al eje de la gu´ıa, por lo que resultar´a: 2~ ~ t + 4E ~ z − γ2E ~ 4E o t − γo Ez = 0

~ t es un vector transEn sistemas que presenten simetr´ıa de traslaci´on, 4E ~ versal a zˆ mientras que 4Ez tiene la direcci´on de zˆ, por lo que: ~ t − γo2 E ~t = 0 4E ~ z − γo2 E ~z = 0 4E

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

Adem´as se verificar´ a: ~ z = (4Ez )ˆ 4E z=



∂ 2 Ez 4t Ez + ∂z 2

 zˆ

siendo 4t la parte de 4 que no contiene derivadas con respecto a z, luego: ∂ 2 Ez − γo2 Ez ∂z 2 ecuaci´on a la que se le puede aplicar la t´ecnica de separaci´on de variables para escribir: Ez = Fe (ξ1 , ξ2 )Ae (z) 4Ez = 4Et +

obteni´endose:

00

4t Fe A + e − γo2 = 0 Fe Ae lo que supone que: 00

Ae = γ2 Ae donde γ 2 es una constante de separaci´on y la soluci´on para Ez es de la forma: Ez = Fe (ξ1 , ξ2 )(Ae−γz + Beγz ) Siendo Fe (ξ1 , ξ2 ) la soluci´ on de la ecuaci´on: 4t Fe − γc2 Fe = 0 con: γc2 = γo2 − γ 2 Si se elige una de las dos exponenciales, tendremos: ~ z = Fe (ξ1 , ξ2 )e−γz zˆ E ˆz: y operando de la misma manera para H ~ z = Fh (ξ1 , ξ2 )e−γz zˆ H donde, como hemos dicho anteriormente, Fe y Fh son dos soluciones independientes de la ecuaci´ on: 4t F − γc2 F = 0 cuyas constantes de separaci´ on pueden ser distitintas y depender´an de las condiciones de contorno que apliquemos a cada campo. Atendiendo a las expresiones de los campos, podremos clasificar las soluciones en: ~z = 0 y H ~z = 0 Modos Transversales electromagn´eticos ´o TEM: E ~z = 0 Modos Transversales Magn´eticos o´ TM: H ~z = 0 Modos Transversales El´ectricos ´ o TE: E quedando justificados los calificativos de transversal magn´etico, electromagn´etico y el´ectrico dados a los modos en cuesti´on puesto que se anulan las componentes longitudinales del campo o los campos correspondientes y ´estos son vectores transversales. Pasamos a estudiar cada uno de los casos introduciendo una impedancia ~ yH ~ de cada modo de la misma que relacione los campos transversales E forma que hicimos con las ondas planas.

79

80

ONDAS GUIADAS

Modos TEM Este caso corresponde a la soluci´on trivial de las ecuaciones para Fe y Fh . Los campos u ´nicamente tienen componentes transversales, por lo que la ecuaci´ on a resolver es: ~t ∂2E ~t = 0 − γo2 E ∂z 2 cuya soluci´ on se puede expresar como: ~ = F~e (ξ1 , ξ2 )e−γo z E siendo la funci´ on F~e la soluci´on de: ∇t × F~e = 0 junto con las condiciones de contorno correspondientes. Observamos como F~e nos proporciona la variaci´on transversal del campo en cualquier secci´on recta de la gu´ıa. Se demuestra, adem´as, que se verifica: ~ = 1 zˆ × E ~ H ηo

ZT EM =

~t zˆ × E = ηo ~t H

que coincide con la impedancia intr´ınseca del medio material para una onda plana. Modos TM ~ est´a contenido en planos perpendiculares a zˆ. Los campos En este caso, H son: ~ z = Fe (ξ1 , ξ2 )e−γz zˆ E donde Fe cumple la ecuaci´on: 4t Fe − γc2 Fe = 0;

γc2 = γo2 − γ 2

~ t = − jω ∇t Ez × zˆ H γc2 ~ t = γ ∇ t Ez E γc2 ZT M =

~t zˆ × E γ = ~ jω Ht

Modos TE ~ est´a contenido en planos perpendiculares a zˆ. Los campos En este caso, E son: ~ z = Fh (ξ1 , ξ2 )e−γz zˆ H donde Fh cumple la ecuaci´on: 4t Fh − γc2 Fh = 0;

γc2 = γo2 − γ 2

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

81

~ t = − jωµ ∇t Hz × zˆ E γc2 ~ t = γ ∇ t Hz H γc2 ZT E =

~t zˆ × E jωµ = ~ γ Ht

~z y H ~ z son independientes, las soluciones con E ~ z 6= 0 Notar que como E ~ y Hz 6= 0 tambi´en lo ser´ an y podr´ an obtenerse como superposici´on de las anteriores, esto es, no se trata de una familia separada de soluciones distitintas de las que ya se han descrito. Comentarios sobre las soluciones La soluci´on general del problema es combinaci´on lineal de las soluciones TEM, TE y TM, siendo las condiciones de contorno las que determinan las constantes de separaci´ on γ y los coeficientes de la combinaci´on correspondientes a cada caso. De esta forma: Las condiciones de contorno laterales definen la forma espec´ıfica de variaci´ on de los modos con las coordenadas ξ1 , ξ1 y z, esto es, las Fe , Fh y γ, cuya determinaci´ on es un problema bidimensional en (ξ1 , ξ2 )

Notar que la t´ ecnica de separaci´ on de la variable z no funciona si la frontera de la gu´ıa no es un cilindro recto o bien las condiciones de contorno dependen de z, ya que en ese caso, F (ξ1 , ξ2 ) depender´ıa tambi´ en de z

Las condiciones en los planos z = cte. correspondientes al generador y la carga determinan cu´ antos y cuales son los modo que se propagan Para cada geometr´ıa de gu´ıa, existe un sistema de coordenadas que facilita su soluci´on, y que viene determinado por las simetr´ıas existentes en las condiciones de contorno. As´ı, para el caso de una gu´ıa con secci´ on rectangular, es apropiado emplear las coordenadas cartesianas. Para el caso de la gu´ıa cil´ındrica, es natural emplear las coordenadas cil´ındricas, que pasamos a definir, suponiendo adem´as la condici´on de que el sistema obtenido sea ortogonal, por ser los u ´nicos que permiten hallar soluciones sencillas. 3.2.1 An´ alisis de la variaci´ on con z La constante de propagaci´ on que hemos obtenido viene dada por: p γ = γo2 − γc2 dependiendo γc de las condiciones de contorno que gobiernan Fe y Fh . De la misma manera que hicimos con las ondas planas, denominamos a γ constante de propagaci´ on, que depender´ a tambi´en de la frecuencia y que normalmente expresaremos como: γ(ω) = α(ω) + jβ(ω) siendo α la constante de atenuaci´ on y β la constante de fase. De la misma forma, podemos definir: λ(ω)= ongitud de onda vf (ω)= velocidad de fase

Las constantes γc son tambi´ en inc´ ognitas del problema. Desde un punto de vista matem´ atico, las ecuaciones de los Fe y Fh plantean el problema de la determinaci´ on de las funciones propias F y de los valores propios γc del operador de Laplace bidimensional.

82

ONDAS GUIADAS

vg (ω) = dβ/dω= velocidad de grupo Lo novedoso con respecto al planteamiento de las ondas planas es que s´olo el conocimiento de las condiciones de contorno que corresponden al modo cuya soluci´ on calculamos fija el valor de la constante de propagaci´on γ. 3.2.2 Condiciones de contorno laterales Las condiciones de contorno en z=cte. determinan los modos que es necesario considerar para obtener la soluci´on completa del problema. Las condiciones de contorno laterales en (ξ1 , ξ2 ) determinan las caracter´ısticas de cada modo (a trav´es de γc ) y la forma de los campos. Las ecuaciones de Fe y Fh s´olo tienen soluci´on sencilla cuando se pueda aplicar la t´ecnica de separaci´on de variables y esto se puede hacer cuando las condiciones de contornop se den sobre planos de ξi = cte. Los tipos de condici´on de contorno m´as habituales son: A. Conductor perfecto (σ → ∞) B. Conductor no perfecto (buen conductor) C. Problemas abiertos (Ej. la l´ınea bifilar). Se supone un conductor en el infinito que cierra el problema D. Cualquiera de los anteriores cuando existan discontinuidades de medio en superficies distintas de z=cte. como p. ej. la l´ınea microstrip. yu ´nicamente el primero admite una soluci´on anal´ıtica sencilla. 3.2.3 Condiciones de contorno de conductor perfecto Supongamos una situaci´on como la de la figura 3.1. En este caso, el conduc-

s n z

m,e t

Figura 3.1: Condici´ on de contorno de conductor perfecto

tor perfecto impone: ~t = 0 n ˆ×E Ez = 0

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

Modos TE Aplicando las condiciones anteriores se llega a: dFh =0 dn C Modos TM En este caso directamente: Fe |C = 0 Modos TEM En este caso tendremos: ~t = 0 ⇒ n n ˆ×E ˆ × F~Et = 0 Como adem´ as se verifica: ∇t × F~Et = 0 podremos decir que: F~Et = −∇t φ siendo φ = φ(ξ1 , ξ2 ) una funci´ on escalar que verifica la ecuaci´on de Laplace bidimensional: 4t φ = 0 por lo que el problema coincide con el planteamiento de un problema electrost´atico bidimensional, esto es, una vez encontrado φ, el campo el´ectrico vendr´a dado por: ~ t = −∇t φ · e−γo z E Por ello, y dado que F~Et es normal a C, esta curva debe ser una l´ınea de φ constante, as´ı que en los conductores podremos imponer φ|c = cte. Una primera conclusi´ on importante es la siguiente. Si la frontera del conductor es simplemente conexa la u ´nica soluci´on posible es φ = cte. en toda la regi´on y por tanto F~Et = 0. Por tanto, en una regi´on limitada por un conductor perfecto simplemente conexo no puede existir modo TEM. 3.2.4 Caracter´ısticas de los modos Se puede demostrar que cuando las condiciones de contorno son las de un conductor perfecto, se cumple que γc2 < 0 Por tanto, la expresi´ on γ 2 = γo2 − γc2 ser´a positiva o negativa dependiendo de la frecuencia, siempre y cuando el medio material no presente p´erdidas. El valor de la pulsaci´ on para el cual la expresi´on anterior cambia de signo se conoce como pulsaci´ on (frecuencia) de corte y viene dado por: 1 p 2 ωc = √ −γc µ y las dos posibilidades son:

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ONDAS GUIADAS

Si ω < ωc (f < fc ) ⇒ γ 2 > 0 y por tanto γ = α por lo que el modo no se propaga, esto es est´a al corte. ⇒ γ 2 < 0 y por tanto γ = jβ por lo que el

Si ω > ωc (f > fc ) modo se propagar´a. Si f < fc las impedancias de modo son imaginarias puras por lo que el flujo medio de potencia es nulo

En funci´ on de la frecuencia de corte, podemos escribir: s f2 γ = ±γo 1 − c2 f η ZT E = ± q 1− s ZT M = ±η

1−

fc2 f2

fc2 f2

correspondiendo el signo ’+’ al caso f > fc y el ’-’ a f < fc Podemos representar esta situaci´on en un diagrama de Brillouin (figura 3.2) donde las curvas de α y β vienen definidas por las ecuaciones:

w

TEM b wc

w=b/ me a a,b

Figura 3.2: Diagrama de Brillouin para un modo

ω2 β2 √ 2 − p 2 2 = 1 ( −γc ) −γc2 √

µ

α2 ω2 √ 2 + p 2 2 = 1 ( −γc ) −γc2 √

µ

Observamos que: El modo TEM no posee frecuencia de corte El diagrama representado corresponde a un u ´nico modo. El diagrama completo debe incluir todos los posibles modos que se pueden excitar (fig. 3.3) A partir de este diagrama podemos calcular la velocidad de fase y de grupo que corresponde a cada modo en cualquier frecuencia. Notar que la velocidad de fase es siempre superior a la velocidad de grupo (salvo en el caso TEM) motivo por el que se conoce a estas ondas como ondas r´ apidas. Algunos comentarios sobre las soluciones encontradas:

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

w b3

wc3 b2

wc2 wc1

TEM b1 a1

a2

a3 a,b

Figura 3.3: Diagrama de Brillouin para todos los modos

Si la frecuencia p de trabajo es inferior a la frecuencia de corte del modo un modo se propagar´a. con menor −γc2 ning´ El modo con menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores. En los sistemas capaces de soportar modos TEM, no existe frecuencia de corte absoluta. Se puede demostrar que el modo de frecuencia de corte menor es siempre un TE. Se puede demostrar que en un sistema capaz de soportar modos TEM, el primer modo superior es siempre un TE. El ancho de banda en el cual tenemos un u ´nico modo propag´andose se denomina ancho de banda monomodo B (ver figura 3.4)

w

wc2

b2

B=wc2-wc1 wc1

b1

b Figura 3.4: Ancho de banda monomodo B

3.2.5 Ortogonalidad de los modos Dadas dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell para una gu´ıa de ondas, ~ H ~ y E ~ 0, H ~ 0 respectivaen que los campos el´ectrico y magn´etico sean E, mente, definimos como producto escalar de ambas soluciones los n´ umeros complejos: ˆ ~ ·E ~ 0 dσ E Σ

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ONDAS GUIADAS

ˆ ~ ·H ~ 0 dσ H Σ

siendo Σ una secci´on recta cualquiera de la gu´ıa. Se puede demostrar que estos productos escalares se anulan para dos cualesquiera de las soluciones particulares estudiadas, esto es, los modos TM, TEM y TE. Para ello se debe realizar un estudio de las autofunciones del operador 4. Empleando el lenguaje habitual de c´alculo vectorial, diremos en consecuencia que los modos distintos son ortogonales. Adem´ as, el conjunto de los modos obtenidos es completo. Esto significa que cualquier soluci´ on de campos definida en un plano z = cte de la gu´ıa se puede escribir como una combinaci´on lineal de soluciones TE, TM y TEM: ~ = ΣT M,T EM mi E ~ i + ΣT E nj E ~j E 3.2.6 Flujo medio de potencia a trav´ es de una secci´ on recta de la gu´ıa El flujo medio de potencia ser´a igual a la parte real del flujo del vector de Poynting complejo: 1~ ~∗ S˜ = E ×H 2 a trav´es de tal secci´on recta. Design´andola como Σ y tomando en ella como sentido positivo de su normal el del vector unitario zˆ, el flujo de S˜ valdr´a: ˆ ˆ ˆ 1 ~ ×H ~ ∗ ]dσ [E S˜ · d~σ = (S˜ · zˆ)dσ = 2 Σ Σ Σ desarrollando los campos en sus componentes tangenciales y longitudinales, se llega a: ˆ ˆ 1 ~t × H ~ t∗ ]d~σ S˜ · d~σ = [E 2 Σ Σ Adem´ as hay que destacar que: En el vector de Poynting s´olo influyen las componentes transversales de los campos S´ olo existe propagaci´on de energ´ıa cuando el modo no est´a al corte. En caso contrario, existir´a energ´ıa reactiva (energ´ıa em. almacenada en la gu´ıa). Cuando varios modos se propagan simult´aneamente, no existe trasvase de energ´ıa entre ellos. Esto se debe a las propiedades de ortogonalidad. 3.2.7 Estudio de la gu´ıa rectangular El convenio habitual es llamar a al lado largo, que se coloca en el eje x

Se trata de un sistema invariante con z cuya secci´on es: Dado que las condiciones de contorno se dan en planos x = cte y = cte es apropiado utilizar las coordenadas cartesianas. Entonces, en la resoluci´on de las ecuaciones de Fe y Fh : ∂2F ∂2F + − γc2 F = 0 ∂x2 ∂y 2

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

a

y

m,e

b

x

z

Figura 3.5: Gu´ıa rectangular

podremos aplicarle la t´ecnica de separaci´on de variables: F (x.y) = X(x)Y (y) que sustituida en la ecuaci´ on da: X 00 Y + XY 00 − γc2 XY = 0 que descomponemos en: X 00 = −kx2 X Y 00 = −ky2 Y junto con: γc2 = −kx2 − ky2 siendo kx y ky constantes de separaci´on. Las soluciones de esta ecuaci´on son: X(x) = A sin kx x + B cos kx x Y (y) = C sin ky y + D cos ky y

Ahora aplicamos las condiciones de contorno obtenidas en el apartado 3.2.3 para cada modo. Modos TE en una gu´ıa rectangular La condici´ on es:

dFh =0 dn C

que en este caso se traduce en: dXY =0 dx y=0,b dXY =0 dy x=0,a

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88

ONDAS GUIADAS

De la primera de ellas se extrae que: C=0 sin ky b = 0 =⇒ ky =

nπ b

y de la segunda: A=0 sin kx a = 0 =⇒ kx =

mπ a

por lo que la soluci´on para el campo magn´etico longitudinal ser´a: ~ z(mn) = P cos mπ x · cos nπ y · e−γmn z zˆ H a b siendo la constante de propagaci´on: r  mπ 2  nπ 2 + γ = −ω 2 µ + a b Notar que: Para cada pareja de valores m y n existe un modo T Emn soluci´on. La soluci´ on con n = m = 0 no est´a permitida La soluci´ on completa es entonces:  mπx   nπy  Hz =Pmn cos cos e−γmn z a  b  nπy  γmn mπ mπx  Hx = P sin cos e−γmn z mn kc2 a a b  mπx   nπy  γmn nπ sin e−γmn z Hy = 2 Pmn cos kc b a b  mπx   nπy  jωµnπ Ex = 2 Pmn cos sin e−γmn z kc b a b  mπx   nπy  −jωµmπ Ey = Pmn sin cos e−γmn z 2 kc a a b

donde: r kc =

mπ 2  nπ 2 + ; a b

r γmn =

−ω 2 µ +

 mπ 2 a

+

 nπ 2 b

=

p

−k 2 + kc2

Notar que la relaci´on entre las componentes transversales de E y H es la impedancia de modo. Modos TM en una gu´ıa rectangular La condici´ on es: Fe |C = 0 que en este caso se traduce en: XYx=0,a;y=0,b = 0

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

De donde podemos extraer la soluci´ on ~ z(mn) = Q sin mπ x · sin nπ y · e−γmn z zˆ E a b siendo la constante de propagaci´ on: r  mπ 2  nπ 2 + γ = −ω 2 µ + a b Notar que: Para cada pareja de valores m y n existe un modo T Mmn soluci´on. Los ´ındices m y n deben ser ambos distintos de 0. La soluci´on completa es entonces:  nπy   mπx  sin e−γmn z Ez =Pmn sin a b  mπx   nπy  −γmn mπ Ex = P cos sin e−γmn z mn akc2 a b  mπx   nπy  −γmn nπ Ey = P sin cos e−γmn z mn bkc2 a b  mπx   nπy  jωnπ Hx = P sin cos e−γmn z mn bkc2 a b  mπx   nπy  −jωmπ Hy = Pmn cos sin e−γmn z 2 akc a b donde: r kc =

mπ 2  nπ 2 + ; a b

r −ω 2 µ +

γmn =

 mπ 2 a

+

 nπ 2 b

=

p −k 2 + kc2

Notar que la relaci´ on entre las componentes transversales de E y H es la impedancia de modo. La tabla siguiente representa los modos TE y TM con frecuencias de corte m´as bajas para el caso a = 2b. Notar que existen modos degenerados, esto es, con la misma frecuencia de corte.

fc /fcT E10

T E10 1

T E01 , T E20 2

T E11 , T M11 2.24

T E21 , T M21 2.82

Cuadro 3.1: Frecuancias de corte para a = 2b

En general, si a > b, tal y como venimos haciendo, el modo fundamental es el T E10 para el cual 1 1 fc |T E10 = √ µ 2a o, en funci´ on de las longitudes de onda de corte: f > fc

=⇒

siendo λc : λc = q

λ < λc 2

1 a2

+

1 b2

89

90

ONDAS GUIADAS

que para el modo fundamental resulta: λc |T E10 = 2a Esta ecuaci´ on podemos interpretarla en t´erminos de semilongitudes de onda que caben en a. As´ı, para saber si el modo fundamental se propaga, hay que comprobar si una semilongitud de onda es inferior a a. Esto es aplicable a otros modos que tengan un ´ındice 0. La expresi´ on completa de los campos para el modo fundamental T E10 ser´a: ~ podeA partir de la expresi´ on de H mos calcular las densidades lineales de corriente J~s aplicando la condici´ on de contorno que los liga

Ey Ex Hx Hy

 πx 

e−γz  πx  −jωµa = e−γz P sin π a =0  πx  γa = P sin e−γz π a =0

Hz =P cos

siendo:

a

r −ω 2 µ +

γ=

 π 2 a

3.2.8 Estudio de la gu´ıa circular En este caso es conveniente aplicar el sistema cil´ındrico de coordenadas. La

m,e z

r

a f

Figura 3.6: Gu´ıa circular

ecuaci´ on a resolver es 1 ∂ r ∂r

 r

∂F ∂r

 +

1 ∂2F − γc2 F = 0 r2 ∂φ2

y podremos aplicarle la t´ecnica de separaci´on de variables seg´ un: F (r, φ) = R(r)H(φ) que sustituida conduce a

H 00 = −kφ2 H

3.2. Gu´ıas cil´ındricas homog´ eneas. Planteamiento te´ orico de la propagaci´ on

1 R + R0 + r 00

−γc2

kφ2 − 2 r

91

! R=0

siendo kφ una constante de separaci´ on. Las soluciones de estas ecuaciones son: H(φ) = A sin kφ φ + B cos kφ φ p p R(r) = CJkφ ( −γc2 r) + DNkφ ( −γc2 r) y dado que la soluci´ on es una funci´ on peri´odica en φ, kφ debe ser entero. J y N las funciones de Bessel de orden n de primera y segunda especie. Por otra parte, Nn presenta una impropiedad en el origen, as´ı que debe ser D = 0. Ahora aplicamos las condiciones de contorno obtenidas en el apartado 3.2.3 para cada tipo de modos.

Las funciones de Bessel desempe˜ nan un papel equivalente al de los senos y cosenos del caso rectangular

Modos TM en una gu´ıa circular Debe ser:

p p pnm Jn ( −γc2 a) = 0 =⇒ −γc2 = a siendo pnm la ra´ız n-´esima de Jn =0. El campo longitudinal resultante es: q   2 p ~ z(nm) = P Jn pnm r cos nφ · e− −ω2 µ+( nm a ) zz E ˆ a y la frecuencia de corte est´ a dada por: fc |T Enm =

1 √

pnm 2π µ a

Modos TE en una gu´ıa circular Procediendo de forma an´ aloga: r  p0 2   0 p − −ω 2 µ+ nm z a nm ~ Hz(nm) = QJn r cos nφ · e zˆ a siendo p0nm la ra´ız n-´esima de Jn0 =0 (el valor m = 0 est´a prohibido). y la frecuencia de corte est´ a dada por: fc |T Mnm =

p0nm 2π µ a 1 √

siendo el modo dominante el T E11 (p011 = 1.84). 3.2.9 Soluciones para medios diel´ ectricos con p´ erdidas Cuando trabajamos con un diel´ectrico con p´erdidas, la constante de propagaci´on va a ser compleja a cualquier frecuencia. En efeto: γ 2 = γo2 − γc2 = −ω 2 µ(0 − j00 ) − γc2 ) = (α + jβ)2 Esto significa que ya no existen modos completamente al corte. Adem´as las impedancias de modo van a tener parte real e imaginaria a todas las frecuencias. En este caso se define la frecuencia de corte como aquella para la cual α = β (ver figura 3.7) Se demuestra que la frecuencia de corte obtenida de esta manera coincide con la que resultar´ıa de analizar la gu´ıa rellena de un diel´ectrico con el mismo 0 y sin p´erdidas.

Un modo particularmente es el T E01 , primer modo circular, para el cual los campos no dependen de φ. Esto tiene aplicaci´ on en la construcci´ on de juntas rotatorias de antenas de exploraci´ on.

92

ONDAS GUIADAS

w b TEM

wc a

a,b Figura 3.7: Gu´ıa rellena con diel´ectrico con p´erdidas

Soluciones para medios diel´ ectricos con bajas p´ erdidas La constante de propagaci´on puede escribirse como: p p γ = γo2 − γc2 = −ω 2 µo o r (1 − j tan δ) − γc2

(3.1)

Si tan δ