Apuntes de Geometr´ıa Proyectiva por Enrique Arrondo(*)

Versi´on del 7 de Enero de 2009 Versi´ on muy preliminar

EL PLANO PROYECTIVO 1. Construcci´ on del plano proyectivo 2. Rectas del plano proyectivo 3. Raz´on doble 4. C´onicas proyectivas 5. C´onicas afines y eucl´ıdeas ESPACIOS PROYECTIVOS 6. Construcci´ on del espacio proyectivo 7. Aplicaciones proyectivas 8. Clasificaci´on de proyectividades 9. Correlaciones y cu´ adricas 10. Espacio af´ın y espacio proyectivo

´ (*) Departamento de Algebra, Facultad de Ciencias Matem´ aticas, Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, Spain, [email protected] 1

EL PLANO PROYECTIVO 1. Construcci´ on del plano proyectivo Nuestro punto de partida consiste en observar que existe una cierta simetr´ıa entre el conjunto de puntos y el conjunto de rectas del plano af´ın A2k sobre un cuerpo k. En efecto, dados dos puntos distintos de A2k , se puede determinar a partir de ellos una recta, concretamente la u ´nica que pasa por ellos dos; rec´ıprocamente, dadas dos rectas distintas del plano, determinan un u ´nico punto, en concreto el de intersecci´ on de ambas (salvo que sean paralelas, problema que obviaremos de momento). Esta simetr´ıa nos puede hacer sospechar que ambos conjuntos tienen la misma estructura, as´ı que vamos a analizar si esto es cierto. En primer lugar, el conjunto de puntos de Ak2 se identifica inmediatamente con k 2 , pero describir el conjunto de rectas parece m´ as complicado. Para simplificarlo, y hacer 2 que tal conjunto sea otro k , podemos representar cada recta por medio de una ecuaci´on de la forma Y = aX + b, con a, b ∈ k. En otras palabras, estamos determinando cada recta a partir de un par (a, b), donde a es la pendiente de la recta y (0, b) es su punto de intersecci´on con el eje vertical. Obs´ervese que encontramos un nuevo problema, y es que olo entre k 2 esto nos da una biyecci´ on no entre k 2 y el conjunto de todas las rectas, sino s´ y las rectas no verticales (ya que las rectas de la forma X =constante son las u ´nicas que no se pueden representar con una ecuaci´ on de la forma Y = aX + b). A pesar de estos problemas, veamos si de todas formas encontramos la simetr´ıa a la que aludimos desde el principio. Empecemos por dos puntos distintos (x
, y
), (x

, y

) ∈ A2k ´ y determinemos la recta que pasa por ellos. De Algebra Lineal y Geometr´ıa, sabemos que dicha recta tiene de ecuaci´on


1 X Y



1 x
y

= 0


1 x

y


que, escrita de la forma descrita anteriormente, ser´ a Y = aX + b, con (a, b) =

 y

− y
x

y
− x
y

 , . x

− x
x

− x


(1.1)

Por otro lado, si consideramos las rectas Y = a
X + b
y Y = a

X + b

, su intersecci´on es el punto  b

− b
a

b
− a
b

 (x, y) = −

, . (1.2) a − a
a

− a
2

Comparando las dos expresiones (1.1) y (1.2), nos damos cuenta de que, salvo por un signo, los pares de la forma (a, b) juegan un papel sim´etrico al de los pares de la forma (x, y), lo que no deber´ıa ser por casualidad. La clave nos la va a dar el mirar los casos “patol´ ogicos”. Si miramos la f´ ormula (1.2), nos damos cuenta de que no tiene sentido si

a = a . Hasta aqu´ı es normal, visto que a
= a

quiere decir que las dos rectas tienen la misma pendiente, es decir, son paralelas, con lo que evidentemente no nos pod´ıa salir un punto de intersecci´ on. Mirando ahora el caso sim´etrico, la f´ ormula (1.1) no est´ a definida cuando x
= x

, lo que tambi´en es normal, porque en tal caso la recta que pasa por los dos puntos es una recta vertical, que no se puede poner de la forma Y = aX + b. La idea es que, dado que en este u ´ltimo caso sabemos que s´ı que hay recta, vamos a ampliar el conjunto de pares de la forma (a, b) al conjunto de todas las rectas de A2k , y por simetr´ıa ampliaremos tambi´en el conjunto de puntos de A2k . En realidad, el conjunto de todas las rectas vendr´ a dado por el conjunto de todas las ecuaciones de la forma u0 + u1 X + u2 Y = 0 (con u0 , u1 , u2 ∈ k), teniendo en cuenta dos observaciones: 1) Necesariamente al menos uno de los coeficientes u1 , u2 es distinto de cero (de hecho, hasta ahora est´ abamos considerando s´ olo rectas con u2 = 0, es decir, rectas no verticales). 2) Una recta tiene infinitas ecuaciones. M´ as precisamente, las ecuaciones u0 + u1 X +


u2 Y = 0 y u0 + u1 X + u2 Y = 0 definen la misma recta si y s´olo si los coeficientes son proporcionales, es decir, existe λ ∈ k tal que (u
0 , u
1 , u
2 ) = λ(u0 , u1 , u2 ) (obs´ervese que, necesariamente, λ = 0). Para indicar que los coeficientes est´an definidos salvo proporcionalidad escribiremos (u0 : u1 : u2 ). Con esta notaci´ on, una recta dada por las coordenadas (a, b) es la recta de coeficientes (a : b : −1) la f´ ormula (1.1) queda entonces (u0 : u1 : u2 ) =

 y

− y
x

y
− x
y

 : : −1 = (y

− y
: x

y
− x
y

: x
− x

) x

− x
x

− x


que ahora es una recta que existe siempre (ya que o la primera o la tercera coordenadas son distintas de cero cuando los dos puntos son distintos). Podemos intentar lo mismo ahora con los puntos en lugar de las rectas, es decir, a˜ nadir una nueva coordenada y seguir definiendo ternas salvo multiplicidad. Obs´ervese primero on sobre la terna (1, X, Y ), con lo que la ecuaci´on u0 + u1 X + u2 Y = 0 sugiere una anulaci´ que lo razonable es a˜ nadir la nueva coordenada al principio. En definitiva, identificamos 2 un punto (x, y) ∈ Ak con la terna (1 : x : y), con lo que la f´ ormula (1.2) queda b

− b
a

b
− a
b

 : = (a

− a
: b
− b

: a

b
− a
b

). (1 : x : y) = 1 : −





a −a a −a 

3

De ese modo, la terna de la derecha est´a siempre definida, aunque no corresponder´ a a un punto de A2k si a
= a

, es decir, cuando las rectas son paralelas. En otras palabras, parece que hemos aumentado el plano suficientemente para que dos rectas se corten siempre. Esto motiva la siguiente: Definici´ on. Llamaremos plano proyectivo sobre el cuerpo k, y lo denotaremos con conjunto de ternas (x0 : x1 : x2 ) con x0 , x1 , x2 ∈ k no todos nulos y de forma que

P2k , al

(x0 : x1 : x2 ) = (x
0 : x
1 : x
2 ) ⇔ ∃λ ∈ k tal que (x
0 , x
1 , x
2 ) = λ(x0 , x1 , x2 ). Observaci´ on 1.3. Es muy importante observar inmediatamente que no tiene sentido sumar puntos en el plano proyectivo. Por ejemplo, ¿qu´e querr´ıa decir la suma de los puntos (1 : 0 : 0) y (0 : 1 : 0)? Una respuesta apresurada nos dir´ıa que la suma es el punto (1 : 1 : 0), pero esto no es as´ı. No hay que olvidar que los elementos del plano proyectivo en realidad son clases de equivalencia, y por tanto una definici´ on es consistente s´olo si no depende del representante elegido. Por ejemplo, por la definici´ on de plano proyectivo, tenemos que el punto (1 : 0 : 0) coincide con el punto (2 : 0 : 0), mientras que el punto (0 : 1 : 0) coincide con el punto (0 : −3 : 0), y con estos representantes parecer´ıa l´ ogico decir que la suma de (2 : 0 : 0) y (0 : −3 : 0) es (2 : −3 : 0), que no es igual al punto (1 : 1 : 0). Proposici´ on 1.4. La aplicaci´ on i : A2k → P2k (x, y) → (1 : x : y) es inyectiva y define una biyecci´ on entre x1 x2 inversa es (x0 : x1 : x2 ) → ( x0 , x0 ).

A2k y U0 := {(x0 : x1 : x2 ) ∈ P2k

| x0 = 0} cuya

Demostraci´ on: Obs´ervese en primer lugar que el subconjunto U0 est´a bien definido, ya que si (x0 : x1 : x2 ) = (x
0 : x
1 : x
2 ), es equivalente x
0 = 0 a x

0 = 0, puesto que x

0 = λx
0 para alg´ un λ = 0. Claramente i es inyectiva, ya que si (1 : x
: y
) = (1 : x

: y

), existe λ ∈ k tal que (1, x
: y
) = λ(1, x

, y

) , con lo que necesariamente λ = 1 y (x
, y
) = (x

, y

). Por otra parte, es claro que la imagen de i est´a contenida en U0 . Rec´ıprocamente, dado cualquier elemento (x0 : x1 : x2 ) ∈ U0 , como x0 = 0 podemos escribir (x0 : x1 : x2 ) = (1 : xx10 : xx20 ), y por tanto (x0 : x1 : x2 ) es la imagen de ( xx10 , xx20 ). Definici´ on. A ra´ız de la inclusi´ on anterior, consideraremos siempre el espacio af´ın como el subconjuto U0 del plano proyectivo P2k . Los elementos de P2k que no est´an en los llamaremos puntos del infinito del plano af´ın A2k . 4

A2k A2k

Proposici´ on 1.5. Sea L ⊂ A2k la recta de ecuaci´on u0 + u1 X + u2 Y = 0. Entonces, si ¯ := L ∪ {(0 : v1 : v2 )} ⊂ P2 tiene como (v1 , v2 ) es un vector director de L, el conjunto L k ecuaci´on u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 = 0. Demostraci´ on: Los vectores directores de L son de la forma (v1 , v2 ) = λ(u2 , −u1 ), con lo que el punto (0 : v1 : v2 ) est´a un´ıvocamente determinado, y es inmediato que verifica la ecuaci´on u0 X0 +u1 X1 +u2 X2 = 0. Por otra parte, es claro que un punto (x, y) ∈ L, cuando se identifica con el punto (1 : x : y) ∈ P2k , verifica la ecuaci´on u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 = 0. Rec´ıprocamente, dado (x0 : x1 : x2 ) ∈ ocurrir dos cosas:

P2k

tal que u0 x0 + u1 x1 + u2 x2 = 0, pueden

1) Si x0 = 0, entonces (x0 : x1 : x2 ) se puede ver como el punto ( xx10 , xx20 ) de adem´as se tiene u0 + u1 xx10 + u2 xx20 = 0, con lo que ( xx10 , xx20 ) est´a en L.

A2k , y

2) Si x0 = 0, entonces de la ecuaci´on u0 x0 +u1 x1 +u2 x2 = 0 se deduce inmediatamente (x0 : x1 : x2 ) = (0 : u2 : −u1 ). ¯ y punto del Definici´ on. Llamaremos completado proyectivo de la recta L al conjunto L, infinito de la recta L al punto (0 : v1 : v2 ). El resultado anterior nos dice entonces que los puntos del planos proyectivo son de dos tipos: 1) Puntos con x0 = 0, es decir, puntos de

A2k .

2) Puntos de la forma (0 : v1 : v2 ), con (v1 , v2 ) = (0, 0), que son entonces puntos del infinito de rectas, es decir, que se pueden interpretar como direcciones del plano af´ın. N´otese que, en la ecuaci´on del completado proyectivo de una recta todos los sumandos tienen grado uno, y que no hay t´ermino independiente. La definici´ on general es la siguiente. Definici´ on. Se llama polinomio homog´eneo (de grado d) en k[X0 , . . . , Xn ] a un polinomio F que tiene todos sus sumandos de grado d. Claramente se verifica que F (λX0 , . . . , λXn ) = λd F (X0 , . . . , Xn ) (y de hecho, esta propiedad caracteriza a los polinomios homog´eneos). Observaci´ on 1.6. Los polinomios homog´eneos en k[X0 , X1 , X2 ] son los que sirven para dar ecuaciones en el plano proyectivo, teniendo en cuenta lo siguiente: 1) Un polinomio no homog´ eneo no puede nunca definir una ecuaci´ on. Por ejemplo, no tiene sentido hablar de la ecuaci´ on X0 + X2 − 1 = 0. Uno podr´ıa pensar que el punto (1 : 0 : 0) verifica la ecuaci´on, pero sin embargo el mismo punto lo podemos escribir como (2 : 0 : 0) y ya no verifica la ecuaci´on. 2) S´ı que tiene sentido hablar de la ecuaci´ on definida por un polinomio homog´eneo on F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] (por ejemplo, la ecuaci´on X0 = 0 que hemos usado en la Proposici´ 5

1.4 o en general la ecuaci´on de una recta). En efecto, si dado un punto (x0 : x1 : x2 ) se on (λx0 : λx1 : λx2 ) tiene que F (x0 , x1 , x2 ) = 0, entonces para cualquier otra representaci´ d del mismo punto se tendr´ a tambi´en F (λx0 , λx1 , λx2 ) = λ F (x0 , x1 , x2 ) = 0. Por tanto, la anulaci´ on de un polinomio en un punto no depende del representante que tomemos. 3) Lo que no tiene sentido es decir cu´ anto vale un polinomio en un punto cuando no se anula. Por ejemplo, no se puede decir que el polinomio X0 − X1 + X2 valga 1 en el punto (1 : 1 : 1), ya que cambiando el representante a (−3 : −3 : −3) su valor ser´ıa −3. Ejemplo 1.7. Veamos en ejemplos concretos c´omo se generaliza el completado proyectivo de las rectas a otras curvas planas. 1) Consideramos la par´ abola Y − X 2 = 0. Entonces, un punto (x0 : x1 : x2 ) ∈ U0 estar´a en la par´ abola si y s´ olo si xx20 − ( xx10 )2 = 0. Quitando denominadores (es decir, on x0 x2 − x21 = 0. Como en la demostraci´on de la multiplicando por x20 ) nos queda la relaci´ Proposici´ on 1.5, los u ´nicos puntos de U0 que verifican la ecuaci´ on X0 X2 − X12 = 0 son los de la par´ abola. En cambio, los puntos del infinito que verifican tambi´en X0 X2 − X12 = 0 olo hay un punto en el infinito, en deben verificar por tanto X0 = X12 = 0, con lo que s´ concreto (0 : 0 : 1), es decir, el punto que corresponde a la direcci´ on vertical. 2) Si consideramos la hip´erbola XY − 1 = 0, repitiendo el mismo proceso nos quedar´ıa la ecuaci´on X1 X2 −X02 = 0, cuya intersecci´on con la recta del infinito nos da X0 = X1 X2 = 0. Tenemos por tanto en este caso dos puntos en el infinito, (0 : 0 : 1) y (0 : 1 : 0), que corresponden a las direcciones vertical y horizontal de las as´ıntotas. En general, se tiene lo siguiente: Definici´ on. Dado un polinomio f ∈ k[X, Y ] de grado d, se llama completado proyectivo de la curva definida por f = 0 al conjunto de puntos que se anulan en el polinomio 1 X2 F (X0 , X1 , X2 ) := X0d f ( X X0 , X0 ). El polinomio F se llama el homogeneizado de f , y consiste en cambiar en cada sumando de f la variable X por X1 , la variable Y por X2 y multiplicar por X0 elevado a d menos el grado del monomio. Los puntos de F = 0 que est´an la recta del infinito se llaman puntos del infinito de la curva. Definici´ on. Se llama curva proyectiva de grado d al subconjunto de los puntos de P2k que se anulan en un polinomio homog´eneo de grado d en k[X0 , X1 , X2 ]. Si d = 1, la curva se llama recta proyectiva, mientras que si d = 2 la curva se llama c´ onica proyectiva. Observaci´ on 1.8. definido por una ecuaci´ on del tipo u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 = 0, con on 1.5, todas las rectas proyectivas son completados de una alg´ un ui = 0. Por la Proposici´ recta, excepto la recta X0 = 0, que consiste en el conjunto de los puntos del infinito de A2k , y que llamaremos recta del infinito. 6

Veamos que con esta construcci´on ya tenemos la simetr´ıa que busc´ abamos. En primer lugar, dados dos puntos distintos, determinan siempre una recta. En efecto: ´nica recta que los contiene es el com1) Si los dos puntos est´ an en A2k , entonces la u pletado proyectivo de la recta af´ın que pasa por ellos. 2) Si uno de los puntos est´ a en A2k y el otro en la recta del infinito, entonces este segundo punto representa una direcci´ on, y por tanto hay una u ´nica recta af´ın que pasa por el primer punto en la direcci´ on representada por el segundo punto. La recta proyectiva buscada es el completado proyectivo de esta recta af´ın. 3) Si los dos puntos est´ an en el infinito, la u ´nica recta que pasa por ellos es la recta del infinito. Sim´etricamente, veamos que la intersecci´on de dos rectas proyectivas es siempre un punto: 1) Si las dos rectas son completados proyectivos de rectas afines no paralelas, su u ´nico punto de intersecci´ on es el de las correspondientes rectas afines. 2) Si las dos rectas son completados proyectivos de rectas afines paralelas, su u ´nico punto de intersecci´ on es el punto del infinito que corresponde a la direcci´ on de las dos rectas afines. 3) Si una de las rectas es la recta del infinito, el u ´nico punto de intersecci´ on es el punto del infinito de la otra recta (que necesariamente es el completado proyectivo de una recta af´ın). Puede pensarse, y con raz´ on, que la anterior comprobaci´ on es excesivamente pesada. Y en efecto, tiene todo el sabor de los resultados de geometr´ıa af´ın en que hay que distinguir entre numerosos casos. De hecho, el plano proyectivo no hay que verlo s´ olo como una completaci´on del plano af´ın (aunque esto ayude mucho a visualizarlo). Debe verse, sobre todo, como un espacio geom´etrico con inter´es en s´ı mismo. De hecho, as´ı es como lo vamos a considerar nosotros (s´ olo cuando lo hayamos estudiado en profundidad volveremos a relacionarlo con el plano af´ın, pero con el fin de obtener a partir de ´el propiedades del plano af´ın, y no al rev´es). Reescribamos pues la simetr´ıa anterior sin usar el plano af´ın. La primera primera observaci´on es que el conjunto de rectas proyectivas forma tambi´en un plano proyectivo. En efecto, dos ecuaciones u
0 X0 + u
1 X1 + u
2 X2 = 0 y u

0 X0 + u

1 X1 + u

2 X2 = 0 definen la misma recta si y s´olo si existe λ ∈ k \ {0} tal que (u

0 , u

1 , u

2 ) = (u
0 , u
1 , u
2 )λ. Por tanto, podemos dar la siguiente definici´ on: Definici´ on. Llamamos plano proyectivo dual al conjunto de rectas del plano proyectivo. Es un plano proyectivo en el sentido de que a cada recta u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 = 0 le asociamos el punto (u0 : u1 : u2 ). Para distinguirlo del plano proyectivo lo denotamos con 7

P2k ∗ , y sus variables las llamaremos U0 , U1 , U2 . El primer signo de la simetr´ıa que tenemos (que a partir de ahora llamaremos dualidad) ∗ ∗ es que no s´olo los puntos de P2k son rectas de P2k , sino que tambi´en las rectas de P2k son puntos en P2k : Proposici´ on 1.9. Toda recta en P2k consiste en el conjunto de rectas de P2k que pasan por un punto fijo (lo que se llama haz de rectas con base el punto). Rec´ıprocamente todo ∗ haz de rectas en P2k representa una recta en P2k . ∗

Demostraci´ on: Es inmediato, ya que la ecuaci´ on de una recta en P2k es de la forma ∗ a0 U0 + a1 U1 + a2 U2 = 0. Pero que un punto de P2k de coordenadas (u0 : u1 : u2 ) satisfaga esa ecuaci´on quiere decir que la recta de P2k de ecuaci´on u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 = 0 pase por el punto (a0 : a1 : a2 ) de P2k . ∗

Veamos ahora c´omo aplicar la dualidad. : x
1 : x
2 ), (x

0 : x

1 : x

2 ) de P2k , la u ´nica ecuaci´on

X0 X1


x0 x
1



x0 x

1 (x
0

En primer lugar, dados dos puntos distintos recta de P2k que pasa por ellos tendr´ a como
X2

x
2

= 0 x

2


(1.10)







x0 x
1

x
0 x
2




(claramente representa una recta, ya que al menos uno de los menores





,





, x x x x 0 1 0 2



x1 x
2














x1 x

2
es distinto de cero, porque (x0 : x1 : x2 ) = (x0 : x1 : x2 ); adem´as, es claro que la recta pasa por los dos puntos). Sim´etricamente, consideramos dos rectas distintas de P2k de ecuaciones u
0 X0 + u
1 X1 + u
2 X2 = 0 y u

0 X0 + u

1 X1 + u

2 X2 = 0. Si (a0 : a1 : a2 ) es el punto de intersecci´ on de ambas rectas, eso quiere decir que las dos rectas pertenecen al haz de rectas con base (a0 : a1 : a2 ). ∗ ∗ Pasando entonces a P2k , estamos buscando la recta a0 U0 + a1 U1 + a2 U2 = 0 de P2k que un , (1.10), esa recta ser´a la recta de contiene a los puntos (u
0 : u
1 : u
2 ), (u

0 : u

1 : u

2 ). Seg´ ecuaci´on


U0 U1 U2




u0 u
1 u
2
= 0.




u0 u

1 u

2
Ejemplo 1.11. Usando el truco de dualidad anterior, si queremos calcular el punto de intersecci´on de las rectas 2X0 − 3X1 + X2 = 0 y 3X0 + 4X1 − 5X2 = 0 sin resolver el ∗ sistema hacemos lo siguiente. Las rectas representan los puntos de P2k de coordenadas 8

(2 : −3 : 1) y (3 : 4 : −5). La recta de

U0

2

3

U1 −3 4

P2k ∗ que pasa por ellos tiene de ecuaci´on


U2

1

= 11U0 + 13U1 + 17U2 = 0, −5


con lo que el punto de intersecci´ on de las rectas dadas es (11 : 13 : 17).

9

2. Rectas del plano proyectivo Empezamos con lo que ser´ıa el an´ alogo de ecuaciones param´etricas de una recta: Proposici´ on 2.1. Sea L la recta proyectiva determinada por los puntos (x
0 : x
1 : x
2 ) y (x

0 : x

1 : x

2 ). Entonces un punto (x0 : x1 : x2 ) est´a en L si y s´olo si existen λ, µ ∈ k (no ambos nulos) tales que   x0 = λx
0 + µx

0 x1 = λx
1 + µx

1 (2.2) 


x2 = λx2 + µx2 Adem´as, (λx
0 + µx

0 : λx
1 + µx

1 : λx
2 + µx

2 ) = (λ
x
0 + µ
x

0 : λ
x
1 + µ
x

1 : λ
x
2 + µ
x

2 ) si y s´olo si existe ν ∈ k \ {0} tal que (λ
, µ
) = (νλ, νµ). Demostraci´ on: La f´ ormula (1.10) nos dice que (x0 : x1 : x2 ) ∈ P2k es un punto de la recta L si y s´ olo si los vectores (x0 , x1 , x2 ), (x
0 , x
1 , x
2 ), (x

0 , x

1 , x

2 ) son linealmente dependientes. Como los dos u ´ltimos son linealmente independientes (por ser los puntos (x
0 : x
1 : x
2 ) y (x

0 : x

1 : x

2 ) distintos), se tiene que (x0 , x1 , x2 ) depende linealmente de (x
0 , x
1 , x
2 ) y (x

0 , x

1 , x

2 ), es decir, que existen λ, µ ∈ k tales que (x0 , x1 , x2 ) = λ(x
0 , x
1 , x
2 ) + µ(x

0 , x

1 , x

2 ) (adem´as (λ, µ) = (0, 0), porque (x0 , x1 , x2 ) = (0, 0, 0)). Esto prueba la igualdad (2.2). Por otra parte, la igualdad (λx
0 + µx

0 : λx
1 + µx

1 : λx
2 + µx

2 ) = (λ
x
0 + µ
x

0 : λ
x
1 + µ
x

1 : λ
x
2 + µ
x

2 ) es equivalente a decir que existe ν ∈ k tal que (λ
x
0 + µ
x

0 , λ
x
1 + µ
x

1 , λ
x
2 + µ
x

2 ) = ν(λx
0 + µx

0 , λx
1 + µx

1 , λx
2 + µx

2 ) es decir

  λ
(x
0 , x
1 , x
2 ) + µ
(x

0 , x

1 , x

2 ) = ν λ(x
0 , x
1 , x
2 ) + µ(x

0 , x

1 , x

2 )

o lo que es lo mismo (λ
− νλ)(x
0 , x
1 , x
2 ) = (−µ
+ νµ)(x

0 , x

1 , x

2 ) = (0, 0, 0). Como (x
0 , x
1 , x
2 ) y (x

0 , x

1 , x

2 ) no son proporcionales, se obtiene λ
− νλ = −µ
+ νµ = 0, es decir (λ
, µ
) = (νλ, νµ). Observaci´ on 2.3. La Proposici´ on 2.1 indica que toda recta proyectiva est´ a en biyecci´on con el conjunto de pares (λ, µ) = (0, 0) en que identificamos dos de ellos si y s´olo si son 10

proporcionales. Es natural por tanto, en analog´ıa con la definici´ on de plano proyectivo, definir el conjunto P1k de pares (λ : µ) definidos salvo proporcionalidad (por analog´ıa con P2k , usaremos mejor coordenadas (t0 : t1 )). Este conjunto se debe interpretar como una especie de recta proyectiva “abstracta”. La Proposici´on 2.1 est´a diciendo que tenemos una biyecci´on P1k → L (2.4) (t0 : t1 ) → (x
0 t0 + x

0 t1 : x
1 t0 + x

1 t1 : x
2 t0 + x

2 t1 ) que es el an´alogo de las ecuaciones param´etricas de una recta af´ın (en el caso af´ın hay un solo par´ ametro, que var´ıa en el cuerpo k, es decir en A1k , la recta af´ın “abstracta”). Definici´ on. Una biyecci´ on como (2.4) la llamaremos parametrizaci´ on de la recta L. Lema 2.5. Dados a0 , a1 , a2 , b0 , b1 , b2 ∈ k, son equivalentes: (i) (t0 : t1 ) → (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ) es una parametrizaci´ on de una recta. (ii) (t0 : t1 ) → (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ) est´a bien definida (i.e. no existe ning´ un valor (t0 : t1 ) ∈ P1k tal que (a0 t0 + b0 t1 , a1 t0 + b1 t1 , a2 t0 + b2 t1 ) = (0, 0, 0)).   a0 a1 a2 (iii) La matriz tenga rango dos. b0 b1 b2 Demostraci´ on: (i) ⇒ (ii): Es inmediato. (ii) ⇒ (iii): Si la matriz tuviera rango a lo m´ as uno, entonces se tendr´ıa que el punto (b0 : −a0 ) = (b1 : −a1 ) = (b2 : −a2 ) no tendr´ıa imagen. (iii) ⇒ (iv): Por hip´ otesis, (a0 : a1 : a2 ) y (b0 : b1 : b2 ) son dos puntos distintos, luego la Proposicion 2.1 nos dice que (t0 : t1 ) → (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ) es una parametrizaci´on de la recta que pasa por esos dos puntos. Observaci´ on 2.6. La condici´ on (iii) del lema anterior nos dice c´ omo calcular la inversa de ) = (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ). En efecto, si el una parametrizaci´ o n (x0 : x1 : x2 a0 a1 a2 es dos, habr´ a dos columnas que no sean proporcionales, rango de la matriz b0 b1 b2 por ejemplo las dos primeras. Esto quiere decir que podemos despejar t0 , t1 en funci´ on de x0 , x1 . Concretamente (t0 : t1 ) = (


a0
a1

b1


x0 − b0

b1




a0

a1

b0


x1 : −

a0 b0



a1 b1


a1


x0 + b0

b1




a0

a1

a0


x1 ) b0

b1


o lo que es lo mismo (una de las grandes ventajas del proyectivo es que permite eliminar denominadores) (t0 : t1 ) = (b1 x0 − b0 x1 : −a1 x0 + a0 x1 ). 11

Obs´ervese que, en general, la inversa consiste en dos formas lineales en x0 , x1 , x2 (en realidad s´ olo dos de estas coordenadas, dependiendo de la columnas de la matriz que tomemos). Ejemplo 2.7. guiente:

Supongamos que tenemos una recta af´ın parametrizada de la forma si

X = x + v1 t Y = y + v2 t

es decir, la recta que pasa por el punto (x, y) con vector director (v1 , v2 ). Su completado proyectivo ser´ a entonces la recta que pasa por los puntos (1 : x : y) y (0 : v1 : v2 ), con lo que tendremos una parametrizaci´ on   X 0 = t0 X = xt0 + v1 t1  1 X2 = yt0 + v2 t1 que es una especie de “homogeneizaci´on” de la parametrizaci´ on af´ın. De hecho, teniendo X1 X2 t1 en cuenta que X = X0 , Y = X0 , tendremos X = x + v1 t0 , Y = y + v2 tt10 , es decir, t = tt10 . Obs´ervese que el punto del infinito de la recta corresponde al valor (t0 : t1 ) = (0 : 1), es decir, al valor “infinito” del par´ ametro t. Ejemplo 2.8. La aplicaci´ on m´ as importante de las parametrizaciones de rectas es que permiten calcular su intersecci´on con cualquier curva. Por ejemplo, supongamos que queremos intersecar la c´onica X0 X2 − X12 = 0 con la recta que pasa por los puntos (1 : −1 : 3) y (0 : 1 : −1). Debemos encontrar entonces los valores de (t0 : t1 ) tales que el punto (t0 : −t0 + t1 : 3t0 − t1 ) est´e en la c´onica, es decir, t0 (3t0 − t1 ) − (−t0 + t1 )2 = 0, que operando queda 2t20 + t0 t1 − t21 = 0. Para resolver esta ecuaci´on, observamos que t0 no es on de cero (si lo fuera, tambi´en lo ser´ıa t1 , pero no pueden ser ambos nulos, por definici´ t1 t1 2 t1 1 Pk ), con lo que nos queda 2 + t0 − ( t0 ) = 0, de donde deducimos que t0 = 2, −1. Por tanto, las soluciones en P1k son (t0 : t1 ) = (1 : 2), (1 : −1), que nos dan los puntos de la recta (1 : 1 : 1), (1 : −2 : 4). Este truco se funciona en general, como vemos en el resultado siguiente. Proposici´ on 2.9. Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, todo polinomio homog´eneo F ∈ k[T0 , T1 ] de grado d factoriza en d factores lineales, por lo que tiene d soluciones en P1k contadas con multiplicidad. En consecencuencia, la intersecci´on de cualquier recta con una curva de grado d consiste en d puntos (contados con multiplicidad), salvo que la recta est´e contenida en la curva. un tantas veces como sea posible, escribimos Demostraci´ on: Sacando T0 factor com´ F = T0n−m (a0 T0m + a1 T0m−1 T1 + . . . + am T1m ) 12

con am = 0. Como k es algebraicamente cerrado, el polinomio a0 + a1 T + . . . + am T m se puede escribir como am (T − α1 ) . . . (T − αm ), de donde se sigue F = am T0n−m (T1 − α1 T0 ) . . . (T1 − αm T0 ) y se anula precisamente en (t0 : t1 ) = (0 : 1) (con multiplicidad n − m) y en cada (1 : αi ) (cada uno contado tantas veces como se repita el factor T1 − αi T0 ). Por tanto, dada una curva definida por una ecuaci´ on G = 0, con G ∈ k[X0 , X1 , X2 ] homog´eneo de grado d, si sustituimos en G la parametrizaci´ on de una curva, obtendremos una ecuaci´ on homog´enea de grado d en t0 , t1 (salvo que la recta est´e contenida en la curva, en cuyo caso tal sustituci´on es id´enticamente nula). Por lo que acabamos de ver, tal ecuaci´on tendr´ a d soluciones (contadas con multiplicidad) en P1k , con lo que obtendremos d puntos de la recta que est´ an tambi´en en la curva. Observaci´ on 2.10. Conviene precisar cuanto antes una ambig¨ uedad calculada del enunciado de la Proposicion 2.1. Impl´ıcitamente, se est´a diciendo que se est´an fijando representantes de los dos puntos que determinan la recta, y no s´ olo los puntos. Es decir, que dos puntos pueden determinar infinitas parametrizaciones distintas. Por ejemplo, si queremos parametrizar la recta que pasa por (1 : 0 : 1) y (0 : 1 : 1), obtendr´ıamos la parametrizaci´on (t0 : t1 ) → (t0 : t1 : t0 + t1 ) pero si escribimos los puntos como (2 : 0 : 2) y (0 : −1 : −1) obtendr´ıamos la parametrizaci´on (t0 : t1 ) → (2t0 : −t1 : 2t0 − t1 ) que s´olo coincide con la anterior para los valores (t0 : t1 ) = (1 : 0), (0 : 1). El resultado siguiente nos dice que para tener unicidad nos hace falta un tercer punto.





Teorema 2.11. Sea L una recta proyectiva y (x
0 : x
1 : x
2 ), (x

0 : x

1 : x

2 ), (x


0 : x1 : x2 ) tres puntos distintos de L. Entonces, existe y es u ´nica una parametrizaci´ on de L que verifique (1 : 0) → (x
0 : x
1 : x
2 ) (0 : 1) → (x

0 : x

1 : x

2 )





(1 : 1) → (x


0 : x1 : x2 )

Demostraci´ on: Veamos en primer lugar que, de existir, la parametrizaci´ on debe ser u ´nica. Una parametrizaci´ on gen´erica tiene el aspecto (t0 : t1 ) → (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ) y, de acuerdo con nuestras condiciones, debe verificarse (a0 : a1 : a2 ) = (x
0 : x
1 : x
2 ) 13

(b0 : b1 : b2 ) = (x

0 : x

1 : x

2 )





(a0 + b0 : a1 + b1 : a2 + b2 ) = (x


0 : x1 : x2 )

es decir, que existen λ, µ, ν ∈ k \ {0} tales que (a0 , a1 , a2 ) = (λx
0 , λx
1 , λx
2 ) (b0 , b1 , b2 ) = (µx

0 , µx

1 , µx

2 )





(a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 ) = (νx


0 , νx1 , νx2 ).

De aqu´ı se deduce, sumando las dos primeras igualdades,





λ(x
0 , x
1 , x
2 ) + µ(x

0 , x

1 , x

2 ) = ν(x


0 , x1 , x2 ).

Por otra parte, del hecho que (x
0 : x
1 :





(x


0 : x1 : x2 ), se deduce de (1.10):


x0



x0




x0

x
2 ) est´e en la recta que pasa por (x

0 : x

1 : x

2 ) y x
1 x

1 x


1


x
2

x

2

= 0
x


2

y por tanto, la u ´ltima fila es combinaci´ on de las dos primeras (que son independientes al representar puntos distintos). Es decir, existen α, β ∈ k tales que














(x


0 , x1 , x2 ) = α(x0 , x1 , x2 ) + β(x0 , x1 , x2 ).

(2.12)







on lineal anterior tenemos Substituyendo de aqu´ı (x


0 , x1 , x2 ) en la combinaci´

λ(x
0 , x
1 , x
2 ) + µ(x

0 , x

1 , x

2 ) = να(x
0 , x
1 , x
2 ) + νβ(x

0 , x

1 , x

2 ) o equivalentemente (λ − να)(x
0 , x
1 , x
2 ) = (νβ − µ)(x

0 , x

1 , x

2 ). Como (x
0 , x
1 , x
2 ) y (x

0 , x

1 , x

2 ) no son proporcionales, se sigue que λ = να, µ = νβ, de donde (a0 , a1 , a2 ) = (ναx
0 , ναx
1 , ναx
2 ) (b0 , b1 , b2 ) = (νβx

0 , νβx

1 , νβx

2 ) y por tanto la parametrizaci´ on debe ser (t0 : t1 ) → (ναx
0 t0 + νβx

0 t1 : ναx
1 t0 + νβx

1 t1 : ναx
2 t0 + νβx

2 t1 ) 14

que es la misma que (t0 : t1 ) → (αx
0 t0 + βx

0 t1 : αx
1 t0 + βx

1 t1 : αx
2 t0 + βx

2 t1 ). Como α, β est´an determinados a partir de los puntos mediante (2.12), la parametrizaci´ on es u ´nica. Adem´ as, es evidente que tal parametrizaci´on verifica las condiciones que queremos, con lo que se concluye la demostraci´on. Ejemplo 2.13. Obs´ervese que la demostraci´on del teorema anterior es constructiva. Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la u ´nica parametrizaci´ on de la recta X0 + X1 − X2 = 0 que manda (1 : 0) a (1 : 2 : 3), (0 : 1) a (2 : 3 : 5) y (1 : 1) a (1 : −1 : 0). Entonces, lo primero que hay que hacer es encontrar la relaci´ on (2.12), es decir, hay que escribir (1, −1, 0) como combinaci´on lineal de (1, 2, 3) y (2, 3, 5). Tal relaci´ on es (1, −1, 0) = −5(1, 2, 3) + 3(2, 3, 5) = (−5, −10, −15) + (6, 9, 15) con lo que la parametrizaci´ on queda (t0 : t1 ) → (−5t0 + 6t1 : −10t0 + 9t1 : −15t0 + 15t1 ). Ejemplo 2.14. Una pregunta natural es c´ omo son todas las parametrizaciones de una on 2.10 y el Ejemplo recta. Por ejemplo, para la recta X0 + X1 − X2 = 0, la Observaci´ 2.13 nos dan hasta tres parametrizaciones distintas. Para ello tomamos por ejemplo la parametrizaci´on (x0 : x1 : x2 ) = (−5t0 + 6t1 : −10t0 + 9t1 : −15t0 + 15t1 ) del ejemplo anterior, y calculamos su inversa (ver la Observaci´ on 2.6) (t0 : t1 ) = (9x0 − 6x1 : 10x0 − 5x1 ). Entonces, si consideramos la composici´on de la parametrizaci´ on (t0 : t1 ) → (2t0 : −t1 : 2t0 − t1 ) con la inversa anterior tendremos   (t0 : t1 )→(2t0 : −t1 : 2t0 −t1 )→ 9(2t0 )−6(−t1 ) : 10(2t0 )−5(−t1 ) =(18t0 +6t1 : 20t0 +5t1 ). Lema 2.15. Dados a, b, c, d ∈ k, son equivalentes: 15

(i) (t0 : t1 ) → (at0 + bt1 : ct0 + dt1 ) es una biyecci´on. (ii) (t0 (t0

a (iii)

c

: t1 ) → (at0 + bt1 : ct0 + dt1 ) est´a bien definido, es decir, no existe ning´ un valor 1 : t1 ) ∈ Pk tal que at0 + bt1 , ct0 + dt1 ) = (0, 0).
b

= 0. c


Demostraci´ on: Es pr´ acticamente igual que la del Lema 2.5. (i) ⇒ (ii): Evidente.




a b


= 0, entonces el punto (−b : a) = (−d : c) no tendr´ıa imagen. (ii) ⇒ (iii): Si fuera
c c
(iii) ⇒ (i): (t0 : t1 ) → (dt0 − bt1 : −ct0 + at1 ) es la inversa. Definici´ on. Llamaremos cambio de variable en P1k a una aplicaci´ on ψ : P1k → P1k de la forma ψ(t0 : t1 ) = (at0 + bt1 : ct0 + dt1 ) verificando cualquiera de las condiciones equivalentes del lema anterior. on de la recta L. Entonces, todas las Lema 2.16. Sea ϕ : P1k → L una parametrizaci´ parametrizaciones de L son de la forma ϕ ◦ ψ, donde ψ es un cambio de variable en P1k . Demostraci´ on: Si ϕ
: P1k → L es otra parametrizaci´on de L, tal y como hemos hecho en el Ejemplo 2.14 se observa que ϕ−1 ◦ ϕ
es un cambio de variable ψ, con lo que ϕ
= ϕ ◦ ψ. Rec´ıprocamente, es claro que la composici´on de un cambio de variable con ϕ tiene el aspecto (t0 : t1 ) → (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ), y como est´a bien definida es una parametrizaci´ on por el Lema 2.5. Nos planteamos ahora el mismo tipo de problema pero cambiando de una recta a otra. on entre dos rectas proyectivas. Entonces son Lema 2.17. Sea f : L → L
una aplicaci´ equivalentes. (i) Existe una parametrizaci´ on ϕ : P1k → L tal que f ◦ ϕ es una parametrizaci´on de L
.

(ii) Para cada parametrizaci´ on ϕ : P1k → L, se tiene que f ◦ ϕ es una parametrizaci´on de L
. (iii) Para cada parametrizaci´ on ϕ : P1k → L y cada parametrizaci´on ϕ
: −1 que ϕ
◦ f ◦ ϕ es un cambio de variable en P1k . (iv) Existen parametrizaciones ϕ : cambio de variable en P1k .

P1k

→ L y ϕ
:

Demostraci´ on: 16

P1k

P1k → L
se tiene

→ L
tales que ϕ


−1

◦ f ◦ ϕ es un

(i) ⇒ (ii): Sabemos que para una parametrizaci´ on concreta ϕ de L se tiene que f ◦ ϕ es on una parametrizaci´ on de L
. Entonces, por el Lema 2.16, cualquier otra parametrizaci´
1 de L es de la forma ϕ = ϕ ◦ ψ, donde ψ es un cambio de variable en Pk . Por tanto, on f ◦ ϕ
= (f ◦ ϕ) ◦ ψ, que es la composici´on del cambio de variable ψ con la parametrizaci´
f ◦ ϕ, luego de nuevo por el Lema 2.16 es una parametrizaci´ on de L . (ii) ⇒ (iii): Sean ϕ, ϕ
parametrizaciones de L y L
respectivamente. Por hip´ otesis, f ◦ ϕ

−1 es una parametrizaci´on de L , luego por el Lema 2.16 se tiene que ϕ ◦ f ◦ ϕ es un cambio de variable en P1k . (iii) ⇒ (iv): Evidente.

(iv) ⇒ (i): Como ϕ
◦ f ◦ ϕ es un cambio de variable en P1k , por el Lema 2.16 se tiene −1 que ϕ
◦ (ϕ
◦ f ◦ ϕ) es una parametrizaci´ on de L
, de donde se sigue el resultado. −1

Definici´ on. Una proyectividad entre dos rectas proyectivas L y L
es una aplicaci´ on f :
L → L que verifica cualquiera de las condiciones del Lema 2.17. Veamos algunos ejemplos de proyectividades de rectas. a en L. Sea Proposici´ on 2.18. Sea L una recta de P2 y sea a ∈ P2k un punto que no est´ ∗ Ω(a) ⊂ P2k el haz de rectas que pasan por a. Entonces: (i) La aplicaci´ on L → Ω(a) que asocia a cada punto p ∈ L la recta que pasa por a y p es una proyectividad. (ii) La aplicaci´ on Ω(a) → L que asocia a cada recta del haz su intersecci´on con la recta L es una proyectividad. on dada por Demostraci´ on: Sea ϕ : P1 → L una parametrizaci´   ϕ(t0 : t1 ) = l0 (t0 , t1 ) : l1 (t0 , t1 ) : l2 (t0 , t1 ) , donde l0 , l1 , l2 son formas lineales en t0 , t1 . Si a tiene coordenadas (a0 : a1 : a2 ), la recta   generada por a y l0 (t0 , t1 ) : l1 (t0 , t1 ) : l2 (t0 , t1 ) tiene como ecuaci´on



X0 X X 1 2


=0
a0 a1 a2


l0 (t0 , t1 ) l1 (t0 , t1 ) l2 (t0 , t1 )
es decir, sus coordenadas en

P2k ∗ son

  (u0 : u1 : u2 ) = a1 l2 (t0 , t1 )−a2 l1 (t0 , t1 ) : a2 l0 (t0 , t1 )−a0 l2 (t0 , t1 ) : a0 l1 (t0 , t1 )−a1 l0 (t0 , t1 ) lo que da una parametrizaci´ on de Ω(a). Por tanto, la aplicaci´ on de (i) es una proyectividad. 17

La aplicaci´ on de (ii) es la inversa de la de (i), con lo que tambi´en es una proyectividad (tambi´en puede verse por dualidad). Proposici´ on 2.19. Sean L, L
dos rectas distintas y sea a un punto fuera de ellas. Enon de L
tonces la aplicaci´on L → L
que asocia a cada punto p ∈ L el punto de intersecci´ con la recta generada por a y p es una proyectividad. Demostraci´ on: Se sigue inmediatamente de la Proposici´ on 2.18. En efecto, L → L
es la composici´on de L → Ω(a) que asocia a cada punto p ∈ L la recta que generan a y p (que es una proyectividad) y de Ω(a) → L
que asocia a cada recta del haz su intersecci´on con L
(que es una proyectividad). Como es claro que la composici´ on de proyectividades es una proyectividad, se sigue el resultado. Definici´ on. Se llama perspectividad entre dos rectas a una proyectividad definida como en la Proposici´ on 2.19. El punto a se llama centro de la perspectividad. Observemos que una perspectividad no es la proyectividad m´ as general entre dos rectas, ya que el punto de intersecci´ on de las rectas queda fijo por una perspectividad, pero no necesariamente por una proyectividad. En realidad, veremos que el que tal punto quede fijo caracteriza las perspectividades. Para ello necesitamos en primer lugar el siguiente resultado, que es importante en s´ı mismo. Teorema 2.20. Dadas dos rectas L, L
tres puntos distintos a, b, c ∈ L y tres puntos ´nica proyectividad f : L → L
tal que f (a) = a
, distintos a
, b
, c
∈ L
, existe una u f (b) = b
y f (c) = c
. ´nica parametrizaci´ on de Demostraci´ on: Aplicando el Teorema 2.11, sean ϕ : P1k → L la u
1 L tal que ϕ(1 : 0) = a, ϕ(0 : 1) = b, ϕ(1 : 1) = c y ϕ : Pk → L la u ´nica parametrizaci´ on de L
tal que ϕ(1 : 0) = a
, ϕ(0 : 1) = b
, ϕ(1 : 1) = c
. Entonces, f = ϕ
◦ ϕ−1 es una proyectividad que cumple la propiedad buscada. Adem´ as, si f
es otra proyectividad en las mismas condiciones, se tiene que f ◦ ϕ es una parametrizaci´on de L
que manda respectivamente (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) a a
, b
, c
, por lo que de nuevo por el Teorema 2.11 se tiene f ◦ ϕ = ϕ
, con lo que f
= f . Teorema 2.21. Sean L, L
dos rectas distintas con punto de intersecci´ on a. Entonces una olo si f (a) = a. proyectividad f : L → L
es una perspectividad si y s´ Demostraci´ on: Sean b, c otros dos puntos de L distintos de a y tomamos b
= f (b) y on q de las rectas bb
y cc
. Entonces, si c
= f (c). Consideramos el punto de intersecci´ πq : L → L
es la perspectividad de centro q, entonces es claro que πq (a) = a, πq (b) = b
y πq (c) = c
. Por el Teorema 2.20, se sigue que f = πq . 18

Aunque las perspectividades no sean todas las proyectividades, al menos las proyectividades se pueden obtener a partir de perspectividades: Teorema 2.22. Toda proyectividad f : L → L

es composici´on de perspectividades. Demostraci´ on: Observamos en primer lugar que podemos suponer L = L

. En efecto, si fueran L = L

, tomando L
= L y una perspectividad cualquiera π : L → L
se tendr´ıa que, supuesto demostrado el teorema para rectas distintas, f ◦ π −1 es composici´on de perspectividades, con lo que f tambi´en lo ser´ıa. Suponemos pues que L y L

son dos rectas distintas e ilustraremos la demostraci´on con la siguiente figura: L c b L' a

p a' b' a'' q

b''

L" c''

Sean a, b, c tres puntos distintos de L y a

, b

, c

sus respectivas im´agenes por f en on de que ni c ni c

son el punto de intersecci´ on de L y L
. Sea p un L

, con la condici´ punto de la recta cc

distinto de c y c

. Tomamos una recta L
que pase por c

pero que no pase ni por c ni por a

. Sean a
y b
los respectivos puntos de intersecci´on de L
con las rectas pa y pb. Finalmente, sea q el punto de intersecci´ on de las rectas a
a

y b
b

. Si πp : L → L
es la perspectividad de centro p y πq : L
→ L

es la perspectividad de centro q se tiene πp f

L −→ L
−→ L

a → a
→ a

b → b
→ b

c → c

→ c

con lo que, por el Teorema 2.20, se tiene f = πq ◦ πp . Teorema 2.23 (Desargues). Sean a, b, c, a
, b
, c
dos ternas de puntos no alineados y todos ellos distintos entre s´ı. Sean los puntos p = ab ∩ a
b
, q = ac ∩ a
c
y r = bc ∩ b
c
. olo si los puntos p, q, r Entonces las rectas aa
, bb
, cc
son concurrentes en un punto si s´ est´an alineados. Demostraci´ on: Supongamos en primer lugar que las rectas aa
, bb
, cc
son concurrentes en un punto o. Ilustramos la demostraci´on con la siguiente figura: 19

p L a' t a

o b t' L'

b'

c t''

c'

r L''

q

Escribimos L = aa
, L
= bb
, L

= cc
, t = pr ∩L, t
= pr ∩L
, t

= pr ∩ L

y definimos πp la perspectividad de L sobre L
con centro p y πr la proyectividad de L
sobre l

con centro r. Se tendr´ a πp πr L

L −→ L
−→ o → o → o a → b → c

→ b → c
a
t → t → t

La composici´on πr ◦ πp es una proyectividad que deja fijo el punto o, luego por el Teorema 2.21 es una perspectividad, y su centro es necesariamente ac ∩ a
c
= q. Como la imagen de t por esta perspectividad es t

, se tiene que t, t

, q est´an alineados, es decir, que q est´a en la recta generada por t, t

, que es la recta p, r, por lo que p, q, r est´an alineados. El rec´ıproco es precisamente el enunciado dual del que acabamos de demostrar.

20

3. Raz´on doble En esta secci´on definiremos el concepto m´as importante de geometr´ıa proyectiva, que ya veremos m´as adelante que es el que caracteriza tal geometr´ıa. ´nica Definici´ on. Sean a, b, c, d cuatro puntos distintos de una recta L. Sea ϕ : P1k → L la u parametrizaci´on de L tal que ϕ(1 : 0) = a, ϕ(0 : 1) = b, ϕ(1 : 1) = c. Si d = ϕ(ρ0 : ρ1 ), llamaremos raz´ on doble de los cuatro puntos a ρ := ρρ01 , y la denotaremos normalmente por [a, b, c, d] (OJO: la definici´ on no es un´ anime, y para muchos la raz´ on doble es ρρ10 , es decir, el valor inverso del que definimos nosotros). A veces suele extenderse la definici´ on a los casos d = a, b, c, en que ρ = ∞, 0, 1, respectivamente; si no, ρ toma valores en k \ {0, 1}. Antes de ver las propiedades de la raz´ on doble, veamos c´omo se calcula, lo que nos ayudar´ a a entender su significado geom´etrico. Lema 3.1. Sean a = (a0 : a1 : a2 ), b = (b0 : b1 : b2 ), c cuatro puntos alineados de modo que la recta que los Entonces



a0 c0

b0



a1 c1

b1

[a, b, c, d] =




a0 d0

b0
a1 d1

b1

= (c0 : c1 : c2 ), d = (d0 : d1 : d2 ) contiene no pasa por (0 : 0 : 1).
d0

d1

c0

c1


(obviamente, se obtienen resultados sim´etricos si se supone que (1 : 0 : 0) o (0 : 1 : 0) no est´an en la recta). Demostraci´ on: Para calcular la u ´nica parametrizaci´ on ϕ de la recta abcd que manda (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) respectivamente a a, b, c seguimos los pasos del Teorema 2.11. Observamos
en primer lugar a alineado con a, b, c, d, por ejemplo
que, como (1 : 0 : 0) no est´


1 0 0


a0 b0






a1 b1
=
a0 a1 a2
= 0, y lo mismo para los menores de orden dos formados por
b0 b1 b2
las dos primeras coordenadas de cualquier par de puntos entre a, b, c, d. Esto quiere decir que, a la hora de escribir las coordenadas de c en funci´ on de las de a y b basta trabajar con las dos primeras coordenadas. Entonces un simple c´ alculo (por ejemplo con la regla de Cramer) muestra que:




c0 b0

a0 c0





c1 b1

a1 c1

(a0 , a1 , a2 ) +

(c0 , c1 , c2 ) =



a0 b0
(b0 , b1 , b2 ) a b 0 0




a1 b1

a1 b1
con lo que ϕ tendr´ a de ecuaci´on (t0 : t1 ) → 21



c (

0 c1




a0 b0


t + a 0 0
a1 b1



c0

b t c1
0 1



c :

0 c1




a0 b0


t + a 1 0
a1 b1



c0

b t c1
1 1



c :

0 c1




a0 b0


t + a 2 0
a1 b1



c0

b t ) c1
2 1

(despu´es de quitar denominadores). Repitiendo las mismas cuentas con d al puesto de c, se tendr´ a




d 0 b0

a0 d0





d 1 b1

a1 d1

(a0 , a1 , a2 ) +

(d0 , d1 , d2 ) =



a0 b0
(b0 , b1 , b2 )
a0 b0



a1 b1

a1 b1
lo que indica que el valor (d0 : d1 : d2 ) se alcanza en la parametrizaci´on para

d0

d1 (ρ0 : ρ1 ) = (


c0
c1



b0



a0 b1

a1
:
b0



a0 b1

a1


d0

d1

) c0

c1


de donde sigue el resultado.

Observaci´ on 3.2. Usemos la f´ormula anterior para interpretar la raz´ on doble de cuatro puntos afines que est´en en una recta que no sea vertical (recordemos que las rectas afines verticales son las que pasan por el punto (0 : 0 : 1)). Tomamos entonces cuatro puntos alineados (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ), (d1 , d2 ) de forma que sus segundas coordenadas sean siempre distintas. Una vez Identificados con los correspondientes puntos del plano on doble es proyectivo (1 : a1 : a2 ), (1 : b1 : b2 ), (1 : c1 : c2 ), (1 : d1 : d2 ), su raz´ [a, b, c, d] =

(c1 − a1 )(d1 − b1 ) = (d1 − a1 )(c1 − b1 )

c1 −a1 d1 −a1 c1 −b1 d1 −b1

c1 −a1 d1 −a1

representa la proporci´ on entre el vector ac y el vector ad 1 y on entre bc (lo que se llama la raz´ on simple de a, d, c), mientras que dc11−b −b1 es la proporci´ (es decir, la raz´on simple de b, d, c). La raz´ bd on simple es invariante por afinidades (ya Por estar a, b, c alineados,

que ´estas preservan las proporciones), y de hecho el preservar la raz´ on simple de ternas caracteriza a las afinidades. En geometr´ıa proyectiva, sin embargo, las proyectividades no preservan las proporciones. Pi´ensese en tres puntos alineados a, b, c, con b entre a y c. Si “miramos” la recta desde un punto externo entre a y b (es decir, si hacemos una perspectividad desde dicho punto) nos parecer´ a ver que proporcionalmente, la distancia entre a y b es mucho mayor que la distancia entre b y c, mientras que mirando desde un punto externo entre b y c nos parecer´a ahora que la distancia entre b y c es mucho mayor que la distancia entre a y b. El resultado central en geometr´ıa proyectiva es que lo que permanecer´a invariante no ser´ an las proporciones (i.e. la raz´ on simple), sino la doble 22

proporci´ on (i.e. la proporci´ on entre proporciones, el cociente entre dos razones simples: la raz´on doble; de ah´ı su nombre). Observaci´ on 3.3. Tomemos ahora a como punto del infinito de la recta bcd. Usando de nuevo la f´ ormula del Lema 3.1 obtendremos ahora d 1 − b1 [a, b, c, d] = c1 − b1 es decir, la raz´on simple de b, c, d. N´ otese que d ser´a el punto medio de c y d si y s´olo si = −bc, es decir, si la raz´ bd on simple de b, c, d (que hemos dicho que es [a, b, c, d] es −1. Definici´ on. Se llama cuaterna arm´ onica a cuatro puntos alineados a, b, c, d tales que [a, b, c, d] = −1. Veamos que, efectivamente, las proyectividades preservan la raz´on doble (y que de hecho est´an caracterizadas por esta propiedad): Teorema 3.4. Sea f : L → L
una aplicaci´ on inyectiva entre dos rectas. Entonces f es una proyectividad si y s´ olo si para cada a, b, c, d ∈ L distintos se tiene [a, b, c, d] = [f (a), f (b), f (c), f (d)]. Demostraci´ on: Supongamos en primer lugar que f es una proyectividad y sean cuatro ´nica parametrizaci´ on de L que manda puntos distintos a, b, c, d ∈ L. Sea ϕ : P1k → L la u (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) respectivamente a a, b, c. Si ρ = [a, b, c, d], entonces ϕ(ρ : 1) = d. Por otra parte, f ◦ ϕ es una parametrizaci´on de L
que manda (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) respectivamente a f (a), f (b), f (c), y por tanto es la u ´nica. Como f ◦ ϕ(ρ : 1) = f (d), se sigue que [f (a), f (b), f (c), f (d)] = ρ, y por tanto coincide con [a, b, c, d], como quer´ıamos. Rec´ıprocamente, supongamos que f conserva la raz´on doble. Fijamos tres puntos distintos a, b, c ∈ L y consideramos la u ´nica proyectividad g : L → L
tal que g(a) = f (a), g(b) = f (b), g(c) = f (c) (son tres puntos distintos por ser f inyectiva). Queremos ver que g = f . Para ello tomamos cualquier otro punto d ∈ L y veamos que g(d) = f (d). Por hip´ otesis, [a, b, c, d] = [f (a), f (b), f (c), f (d)], mientras que por la parte ya demostrada, sabemos que [a, b, c, d] = [g(a), g(b), g(c), g(d)] = [f (a), f (b), f (c), g(d)]. ´nica Por tanto, [f (a), f (b), f (c), f (d)] = [f (a), f (b), f (c), g(d)]. Sea ϕ : P1k → L
la u parametrizaci´on tal que (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) van a parar respectivamente a f (a), f (b), f (c). Por definici´ on de raz´ on doble, si ρ = [f (a), f (b), f (c), f (d)], entonces ϕ(ρ : 1) = f (d), y como tambi´en ρ = [f (a), f (b), f (c), g(d)], se tiene ϕ(ρ : 1) = g(d), luego g(d) = f (d). Corolario 3.5. Sean a, b, c, d y a
, b
, c
, d
dos cuaternas de puntos alineados. Entonces olo si existe una composici´on de perspectividades se tiene que [a, b, c, d] = [a
, b
, c
, d
] si y s´ que manda una cuaterna a otra. Demostraci´ on: Es conssecuencia inmediata del Teorema 3.4 y del Teorema 2.22. 23

Observaci´ on 3.6. N´ otese que la u ´ltima parte de la demostraci´ on del Teorema 3.4 en realidad demuestra que, en general, dados puntos a
, b
, c
, d
, e
en una recta L
tales que [a
, b
, c
, d
] = [a
, b
, c
, e
], entonces d
= e
. Veamos una aplicaci´on de la observaci´ on anterior. Para ello, necesitaremos previamente una definici´ on. Definici´ on. Llamaremos complexificaci´ on de una recta proyectiva real L a la recta compleja on de L. Equivalentemente, si L es la LC que tiene en el plano proyectivo la misma ecuaci´ recta que pasa por dos puntos reales a, b, LC es la recta del plano proyectivo que pasa por a y b. Proposici´ on 3.7. Sean L, L
rectas proyectivas reales y sean a, b, c ∈ LC tres puntos distintos, y a
, b
, c
∈ L
C sus respectivas im´agenes por una proyectividad f : LC → L
C . Si se verifica que f (¯ a) = a
, f (¯b) = b
, f (¯ c) = c
(donde la barra indica conjugaci´ on), entonces ¯ para cualquier d ∈ LC se verifica f (d) = f (d). En particular, f manda puntos reales a puntos reales y define una proyectividad entre las rectas reales. Como consecuencia, las siguientes son condiciones suficientes para que una proyectividad f : LC → L
C induzca una proyectividad de L en L
: (i) f manda tres puntos reales a tres puntos reales. (ii) f manda un punto real a un punto real y un par de puntos imaginarios conjugados a un par de puntos imaginarios conjugados. (iii) f manda dos pares de puntos conjugados a dos pares de puntos conjugados. Demostraci´ on: Por la Observaci´ on 3.6 bastar´ a ver que, para todo d = a, b, c, se tiene ¯ = [a
, b
, c
, f (d)]. Como la f´ ormula del Lema 3.1 implica claramente que la [a
, b
, c
, f (d)] raz´on doble de los conjugados de cuatro puntos es el conjugado de la raz´ on doble de los





¯ ¯ a , b , c¯ , f (d)] cuatro puntos, dicha igualdad ser´ a equivalente a [a , b , c , f (d)] = [¯ ¯ = [a, b, c, d] ¯ y Por ser f una proyectividad, el Teorema 3.4 implica [a
, b
, c
, f (d)] [¯ a
, ¯b
, c¯
, f (d)] = [¯ a, ¯b, c¯, d] que claramente son conjugados el uno del otro, lo que demuestra la igualdad que quer´ıamos. ¯ = f (d), lo que implica que f (d) es Si d es real, entonces d¯ = d, con lo que f (d) = f (d) real. El hecho de que f restringida a la parte real de L sea una proyectividad es de nuevo consecuencia del Teorema 3.4, ya que f conserva la raz´on doble. Observaci´ on 3.8. La parte (i) de la proposici´ on anterior es inmediata, ya que por el Teorema 2.20 existe una u ´nica proyectividad (tanto de L a L
como de LC a L
C que manda tres puntos dados a tres puntos dados). Lo novedoso (y que usaremos m´ as adelante) es que las partes (ii) y (iii) permiten definir proyectividades reales defini´endolas a partir de las 24

im´agenes de puntos imaginarios. Cabr´ıa pensar que basta mandar dos puntos imaginarios conjugados a dos puntos imaginarios conjugados para tener una proyectividad real, pero no es as´ı. Por ejemplo, la proyectividad de {X0 = 0} (0 : X1 : X2 ) → (2X0 + iX1 : −iX0 + 2X1 ) manda (0 : 1 : i) y (0 : 1 : −i) a s´ı mismos, pero por ejemplo la imagen de (0 : 1 : 0) es el punto imaginario (0 : 2 : −i). Observaci´ on 3.9. De la f´ ormula del Lema 3.1 se deduce inmediatamente que, si [a, b, c, d] = ρ, entonces: [a, b, c, d] = [b, a, d, c] = [c, d, a, b] = [d, c, b, a] = ρ [b, a, c, d] = [a, b, d, c] = [c, d, b, a] = [d, c, a, b] =

1 ρ

Cabe preguntarse pues qu´e ocurre al hacer las dem´as permutaciones del conjunto de puntos. Por ejemplo,




d0 c0

b0 a0





d1 c1

b1 a1
a b c d − a0 b1 c1 d0 − a1 b0 c0 d1 + a0 b1 c0 d1


=− 1 0 1 0



[d, b, c, a] =





a0 d0

b0 c0

d0 a0

b0 c0





d1 a1

b1 c1

a1 d1

b1 c1
que, sumado con

a0

a1 ρ =


a0
a1




c0



b0 d0

c1

b1 d1
a b c d − a0 b1 c1 d0 − a1 b0 c0 d1 + a1 b1 c0 d0


= 0 0 1 1







a0 d0

b0 c0
d0

b0 c0





a1 d1

b1 c1
d1

b1 c1


da a0 b0 c1 d1 + a1 b1 c0 d0 − a1 b0 c1 d0 − a0 b1 c0 d1 (a0 d1 − a1 d0 )(b0 c1 − b1 c0 )







= =1
a0 d0

b0 c0

a0 d0

b0 c0









a1 d1

b1 c1

a1 d1

b1 c1
Por tanto, y observando las simetr´ıas que ya ten´ıamos: [d, b, c, a] = [b, d, a, c] = [c, a, d, b] = [a, c, b, d] = 1 − ρ De aqu´ı se sigue f´ acilmente, combinando permutaciones anteriores: [b, d, c, a] = [a, c, d, b] = [d, b, a, c] = [c, a, b, d] = 25

1 1−ρ

[a, d, c, b] = [d, a, b, c] = [c, b, a, d] = [b, c, d, a] = 1 −

ρ 1 = 1−ρ ρ−1

[d, a, c, b] = [a, d, b, c] = [c, b, d, a] = [b, c, a, d] =

ρ−1 ρ

As´ı que la raz´ on doble de cuatro puntos, al hacer todas las permutaciones posibles del orden de los puntos, toma seis valores. Dichos seis valores son distintos, excepto cuando onica y sus las posibles razones dobles son {−1, 12 , 2} (que corresponde a una cuaterna arm´ √ √ 1+ 3i 1− 3i permutaciones) o { 2 , 2 }. Observaci´ on 3.10. Dadas cuatro rectas L1 , L2 , L3 , L4 concurrentes en un punto a, tiene sentido hablar de su raz´ on doble, ya que son cuatro puntos del haz Ω(a), que es una recta 2∗ en Pk . Adem´as, dada cualquier recta L que no pase por a, si llamamos ai = L∩Li , se tiene que [L1 , L2 , L3 , L4 ] = [a1 , a2 , a3 , a4 ], aplicando el Teorema 3.4 y el hecho (ver Proposici´ on

2.18) de que la aplicaci´ on f : Ω(a) → L definida por f (L ) = L ∩ L es una proyectividad. Observaci´ on 3.11. De la f´ ormula del Lema 3.1 para calcular la raz´ on doble de cuatro puntos, se sigue que, si a, b, c, d, e son cuatro puntos alineados, entonces [a, b, c, d][a, b, d, e] = [a, b, c, e]. El motivo geom´etrico para esta igualdad se obtiene de pensar que a es el punto del infinito y bc, [a, b, d, e] es de la recta, por lo que [a, b, c, d] es la proporci´ on entre los vectores bd y bd, mientras que [a, b, c, e] es la proporci´ la proporci´ on entre los vectores be on entre y bc. De hecho, esta observaci´on nos permite construir geom´etricamente los vectores be el producto de dos razones dobles. En efecto, si [a, b, c, d] = λ y [a
, b
, c
, d
] = λ
, es siempre posible mediante perspectividades encontrar e tal que [a, b, d, e] = λ
. Por tanto, [a, b, c, e] = λλ
. La construcci´on de la suma de razones dobles es m´as complicada, pero tambi´en puede hacerse geom´etricamente: Proposici´ on 3.11. Sean a, b dos puntos distintos de una recta L y sean d1 , d2 ∈ L\{a, b}.
Dada L una recta cualquiera que pase por a y un punto cualquiera fuera de L y L
, sean b
, d
2 las im´agenes en L
por la perspectividad desde p. Consideramos los puntos q = b
d1 ∩ ap y d = qd
2 ∩ L. Entonces [a, b, c, d] = [a, b, c, d1 ] + [a, b, c, d2 ] para cualquier punto c ∈ L. 26

p

q

a d d2 d1

d' 2

b L' L

b'

Demostraci´ on: Si tomamos la recta ap como recta del infinito, entonces las rectas L y L
2 = b
d
= d 1 d, de donde se sigue el resultado. son paralelas. Adem´ as, tendremos bd 2

27

4. C´ onicas proyectivas Ejemplo 4.1. Si consideramos la ecuaci´on X02 + X12 + X22 = 0 en P2R , es claro que no hay ning´ un punto que la satisfaga. Lo mismo puede decirse de la ecuaci´ on X02 + X12 + 4X22 = 0. Sin embargo, en cierto modo deber´ıamos considerar que son c´onicas distintas, ya que la primera pasa por el punto imaginario (0 : 1 : i), mientras que la segunda no pasa por ´el. En ese sentido, vamos a considerar las c´onicas como ecuaciones, no como conjuntos de puntos (si trabajamos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, ambos conceptos son sin embargo equivalentes). Definici´ on. Una c´ onica en P2k es una ecuaci´on de la forma u00 X02 + u01 X0 X1 + u02 X0 X2 + u11 X12 + u12 X1 X2 + u22 X22 . Dos c´onicas se considerar´an iguales si y s´ olo si sus respectivas ecuaciones son proporcionales. De todas formas, recurriremos muchas veces al abuso de notaci´ on de considerar la c´ onica como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuaci´ on. Cuando la caracter´ıstica de k es distinta de dos (cosa que supondremos en todo este cap´ıtulo), la ecuaci´ on se puede escribir de forma matricial como    u00 u201 u202 X0 (X0 X1 X2 )  u201 u11 u212   X1  = 0 u12 u02 u22 X2 2 2 con lo que una c´ onica se puede siempre identificar con una matriz sim´etrica no nula de orden tres m´odulo multiplicaci´ on por constante. ´ Recordemos de Algebra Lineal que toda matriz sim´etrica A se puede diagonalizar (por congruencia), en el sentido de que existen matrices de orden tres P y D tales que P tiene on de determinante no nulo, D es diagonal y A = P t DP . Esto quiere decir que la ecuaci´ toda c´ onica se puede escribir de la forma     0 λ0 0 X0 (X0 X1 X2 )P t  0 λ1 0  P  X1  = 0. X2 0 0 λ2   
 X0 X0 onica quedar´ a de En otras palabras, si escribimos  X1
 = P  X1 , la ecuaci´on de la c´ X2
X2 2 2 2 la forma λ0 X0
+ λ1 X1
+ λ2 X2
= 0. 
 X0 Definici´ on. Llamamos cambio de coordenadas en P2k a una expresi´ on de la forma  X1
 = X2
  X0 otese que P  X1 , donde P es una matriz de orden tres de determinante no nulo. N´ X2 28

un cambio de coordenadas manda polinomios homog´eneos de grado d a polinomios homog´eneos de grado d. Sin embargo, si se piensa en el plano como completado de un plano af´ın, hay que notar que en las nuevas coordenadas la recta del infinito ya no tiene por qu´e ser X0
= 0. Veamos, en funci´ on de λ0 , λ1 , λ2 , los tipos de c´onicas que tenemos. Recordemos tam´ bi´en de Algebra Lineal que el rango de A es el n´ umero de λi distintos de cero. Caso 1) rg(A) = 1. Supongamos por ejemplo λ1 = λ2 = 0, con lo que tras el cambio de coordenadas 2 2 nos queda la ecuaci´ on λ0 X0
= 0, o equivalentemente X0
= 0. Escribiendo P = (pij ), tendremos X0
= p00 X0 +p01 X1 +p02 X2 , con lo que la ecuaci´on original es (p00 X0 +p01 X1 + p02 X2 )2 = 0, que es una recta doble. Caso 2) rg(A) = 2. Supongamos por ejemploλ2 = 0, con lo que tendremos la ecuaci´on λ0 X0
+λ1 X1
= 0, 2

2

que es equivalente a X0
= ± − λλ10 X1
. Deshaciendo el cambio de coordenadas tendremos las dos rectas (distintas)    λ1 λ1 λ1 (p00 + − p10 )X0 + (p01 + − p11 )X1 + (p02 + − p12 )X2 = 0 λ0 λ0 λ0    λ1 λ1 λ1 (p00 − − p10 )X0 + (p01 − − p11 )X1 + (p02 − − p12 )X2 = 0 λ0 λ0 λ0  En principio, si el cuerpo k no es algebraicamente cerrado, puede ocurrir − λλ10 ∈ k, en cuyo caso las dos rectas ser´ıan imaginarias conjugadas. Obs´ervese que, en contraste con el caso af´ın, no hay que distinguir si las rectas se cortan o no, ya que dos rectas del plano proyectivo se cortan siempre. Caso 3) rg(A) = 3. Dependiendo de c´ omo sea el cuerpo k tendremos m´as o menos subcasos. Si k es algebraicamente cerrado, a la hora de diagonalizar A sabemos que podemos obtener λ0 = λ1 = λ2 = 1, con lo que todas las c´onicas son equivalentes, despu´es de un cambio de 2 2 2 coordenadas, a X0
+ X1
+ X2
= 0. Si en cambio k = R, a la hora de diagonalizar la matriz sim´etrica A, tendremos varios casos, dependiendo de la signatura de A: –Si la signatura de A es (3, 0), podremos obtener λ0 = λ1 = λ2 = 1, con lo que despu´es 2 2 2 de un cambio de coordenadas tendremos X0
+ X1
+ X2
= 0, que no tiene puntos reales. Lo mismo ocurre si la signatura es (0, 3), ya que basta con cambiar el signo a toda la ecuaci´on de la c´ onica. –Si la signatura de A es (2, 1), podremos obtener λ0 = λ1 = 1, λ2 = −1, con lo que 2 2 2 despu´es de un cambio de coordenadas tendremos X0
+ X1
− X2
= 0, que ahora s´ı tiene puntos reales. Como antes, obtenemos lo mismo si la signatura es (1, 2). 29

Definici´ on. Llamaremos c´ onica no degenerada a una c´ onica representada por una matriz onica imaginaria. de rango tres. Si no tiene puntos en P2k , diremos que es una c´ Resumimos a continuaci´on en sendas tablas la clasificaci´on de c´ onicas que hemos obtenido cuando k es algebraicamente cerrado y cuando k = R. C´onicas en

P2k con k algebraicamente cerrado

Tipo de c´onica

Caracterizaci´on

C´onica no degenerada

rg(A) = 3

Par de rectas

rg(A) = 2

Recta doble

rg(A) = 1 C´onicas en P2R

Tipo de c´onica

Caracterizaci´on

C´onica no degenerada real

rg(A) = 3, sgn(A) = (2, 1), (1, 2)

C´onica no degenerada imaginaria

rg(A) = 3, sgn(A) = (3, 0), (0, 3)

Par de rectas reales

rg(A) = 2, sgn(A) = (1, 1)

Par de rectas imaginarias conjugadas

rg(A) = 2, sgn(A) = (2, 0), (0, 2)

Recta doble

rg(A) = 1

Proposici´ on 4.2. Sea C el conjunto de puntos de una c´ onica no degenerada de matriz A b2 ) distinto y sea a = (a0 : a1 : a2 ) un punto de C. Entonces, para cada punto b = (b0 : b1 :   b0 de a, la recta ab corta a C en un solo punto distinto a a, excepto si (a0 a1 a2 )A  b1  = 0, b2 en que la intersecci´on es s´olo el punto a. Demostraci´ on: Parametrizamos la recta que pasa por a y b de la forma (x0 : x1 : x2 ) = on de la c´ onica obtenemos (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ) y sustituyendo en la ecuaci´ que los puntos de la intersecci´ on de la recta y C corresponden a las soluciones de 

     a0 b0 b0 (a0 a1 a2 )A  a1  t20 + 2 (a0 a1 a2 )A  b1  t0 t1 + (b0 b1 b2 )A  b1  t21 = 0. a2 b2 b2 30

El coeficiente de t20 es cero, ya que a est´a en la c´onica, con lo que obtenemos que las soluciones son t1 = 0 (que da el punto a) y las soluciones de 

   b0 b0    2 (a0 a1 a2 )A b1 t0 + (b0 b1 b2 )A b1  t1 = 0. b2 b2 Basta ver que la ecuaci´on anterior no es id´enticamente nula, porque entonces nos dar´ a una   b0 segunda soluci´ on, que coincidir´ a con la primera si y s´ olo si (a0 a1 a2 )A  b1  = 0. b2     b0 b0 Supongamos pues que (a0 a1 a2 )A  b1  = 0 y (b0 b1 b2 )A  b1  = 0. Eso b2 b2 quiere decir (junto con la condici´ o n de que a est´ a en C) que tanto a como b verifican     X0 X0    = 0 y (b0 b1 b2 )A X1  = 0, es decir, que amlas ecuaciones (a0 a1 a2 )A X1 X2 X2 bas ecuaciones representan a la recta ab y por tanto son proporcionales. Es decir, existe λ ∈ k tal que (a0 a1 a2 )A = λ(b0 b1 b2 )A. Multiplicando por A−1 obtendr´ıamos (a0 , a1 , a2 ) = λ(b0 , b1 , b2 ), lo que es absurdo porque (a0 , a1 : a2 ) = (b0 : b1 : b2 ).

Definici´ on. Dada una c´ onica no degenerada de matriz A y un punto a = (a0 : a1 : a2 ) de la misma,se llama recta tangente a la c´ onica en el punto a a la recta de ecuaci´on  X0 (a0 a1 a2 )A  X1  = 0. M´ as en general, dado un punto b = (b0 : b1 : b2 ), no neceX2 sariamente en la c´onica, onica a la recta de  sellama recta polar del punto respecto de la c´ X0 ecuaci´on (b0 b1 b2 )A  X1  = 0. X2 Corolario 4.3. Una c´onica no degenerada C no contiene tres puntos alineados, y en particular no contiene rectas. Demostraci´ on: La primera parte es consecuencia inmediata de la Proposici´ on 4.2. La segunda parte se obtiene del hecho de que cualquier recta proyectiva contiene al menos tres puntos distintos (ya que est´ a en biyecci´on con P1k , que contiene los puntos distintos (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1)). Proposici´ on 4.4. Dada una c´ onica no degenerada de matriz A, el conjunto de rectas ∗ tangentes a ella forma una c´ onica en P2k de matriz A−1 . 31

Demostraci´ on: Por definici´ on, un punto (u0 : u1 : u2 ) ∈ P2k representa los coeficientes de un (a0 : a1 : a2 ) una recta tangente a la c´ onica si y s´olo (u0 u1 u2 ) = (a0 a1 a2 )A para alg´ −1 de la c´onica. Equivalentemente (a0 a1 a2 ) = (u0 u1 u2 )A deben ser las coordenadas de   u0 un punto de la curva, es decir, (u0 u1 u2 )A−1 A(A−1 )t  u1  = 0. Como A es sim´etrica, u2 (A−1 )t = A−1 , lo que concluye el resultado. ∗

Definici´ on. Dada una c´ onica no degenerada C de matriz A se llama c´ onica dual de C, y ∗ 2∗ −1 se denota por C , a la c´onica de Pk de matriz A . Se llama polo de una recta L respecto ∗ de la c´ onica C al punto de P2k que corresponde a la recta de P2k polar de L respecto de C ∗. Observaci´ on 4.5. El concepto de polaridad es el realmente importante a la hora de describir una c´ onica y, de hecho, explica la definici´ on, en apariencia artificiosa, que hemos dado de c´ onica como ecuaci´on y no como conjunto de puntos. En efecto, las c´ onicas del Ejemplo 4.1 son realmente distintas porque la recta polar del punto (0 : 1 : 1) es X1 + X2 = 0 respecto de la c´onica X02 + X12 + X22 = 0, mientras que es X1 + 4X2 = 0 respecto de la c´onica X02 + X12 + 4X22 = 0. Recogemos las propiedades de la polaridad en el siguiente resultado: Proposici´ on 4.6. Sea C una c´ onica no degenerada de matriz A. Entonces: (i) Un punto a es el polo de una recta L si y s´olo si la recta L es la recta polar de a. (ii) Un punto a est´a en la polar de un punto b si y s´olo si b est´a en la polar de a si y s´olo si a est´a en la recta tangente a C en b si y s´olo si b est´a en la recta tangente a C en a. (iii) Un punto pertenece a su recta polar si y s´ olo si es un punto de la c´ onica. (iv) Una recta pasa por su polo si y s´ olo si la recta es tangente a C. (v) El polo de la recta que pasa por los puntos a y b es la intersecci´on de las rectas polares de a y b. (vi) La recta polar de la intersecci´ on de las rectas L y L
es la recta que pasa por los polos de L y L
. Demostraci´ on: Si a = (a0 : a1: a2 )y L tiene coordenadas 0 : u1 : u2 ), entonces L es la  (u a0 u0    recta polar de a si y s´ olo si A a1 es proporcional a u1 , mientras que a es el polo a2 u2     u0 a0 −1    u1 es proporcional a a1 , y ambas condiciones son claramente de L si y s´olo si A u2 a2 equivalentes. 32

La parte (ii) es clara,ya  que, por la Proposici´ on 4.2, todas esas condiciones son  b0 a0    equivalentes a (a0 a1 a2 )A b1 = 0 (que es equivalente a (b0 b1 b2 )A a1  = 0 por la b2 a2 simetr´ıa de A), siendo a = (a0 : a1 : a2 ), b = (b0 : b1 : b2 ). Haciendo a = b, obtenemos la parte (iii), de la que (iv) es su aplicaci´ on a C ∗ . Por (i) c es el polo de la recta que pasa por a y b si y s´ olo si la recta polar de c es la recta que pasa por a y b, que por (ii) es equivalente a que c est´e en las rectas polares de a y b, es decir, c es la intersecci´on de dichas rectas polares. Esto demuestra (v), y de nuevo (vi) es lo mismo pero en C ∗ . Ejemplo 4.7. Aplicando la Proposici´ on 4.2 a C ∗ , tendremos que cada haz de rectas con base fuera de C contiene dos rectas tangentes a C. Hay dos modos de calcular dichas rectas. Veamos ambos m´etodos por ejemplo para calcular las rectas tangentes a la c´ onica 2 C de ecuaci´on X0 X2 − X1 = 0 que pasan por el punto (0 : 1 : 1): M´etodo 1) Seg´ un hemos visto, la tangente en un punto a de C pasa por (0 : 1 : 1) si y s´olo on  recta  si a est´a 1enla  polar de (0 : 1 : 1). Dicha recta polar tiene de ecuaci´ X0 0 0 2    (0 1 1) 0 −1 0 X1  = 0, es decir, X0 − 2X1 = 0. Por tanto, los puntos de C 1 0 0 X2 2 cuya tangente pasa por (0 : 1 : 1) son los puntos de intersecci´on de dicha recta con la c´onica. Es un simple ejercicio ver que dichos puntos son (0 : 0 : 1) y (4 : 2 : 1), y sus respectivas rectas tangentes son X0 = 0 y X0 − 4X1 + 4X2 = 0, que efectivamente pasan por (0 : 1 : 1) (si uno tiene fe, puede ahorrarse el calcular las rectas tangentes, y calcular directamente la recta por (0 : 0 : 1) y (0 : 1 : 1) y la recta por (4 : 2 : 1) y (0 : 1 : 1)). M´etodo 2) Seg´  un la Proposici´  on 4.4, el conjunto de rectas tangentes a C es una c´onica 0 0 2 onica de ecuaci´on U12 − 4U0 U2 = 0. Por otra en P2k de matrix  0 −1 0 , es decir, la c´ 2 0 0 ∗ parte, el haz de rectas que pasan por el punto (0 : 1 : 1) ∈ P2k es la recta de P2k de ecuaci´on acilmente que la c´onica U12 − 4U0 U2 = 0 y la recta U1 + U2 = 0 U1 + U2 = 0. Se calcula f´ ∗ se cortan en los puntos (u0 : u1 : u2 ) = (1 : 0 : 0), (1 : −4 : 4) ∈ P2k , que son precisamente las rectas X0 = 0 y X0 − 4X1 + 4X2 = 0 de P2k . El siguiente ejemplo ser´ a ilustrativo de c´ omo las c´onicas, al igual que las rectas, se pueden parametrizar. Ejemplo 4.8. Sea C la c´onica de ecuaci´on X0 X2 − X12 = 0 y tomemos el punto a = (1 : 0 : 0) y la recta L : X0 = 0. Parametrizamos L de la forma (t0 : t1 ) → (0 : t0 : t1 ). Una parametrizaci´ on de la recta que pasa por (1 : 0 : 0) y (0 : t0 : t1 ) viene dada por (s0 : 33

s1 ) → (s0 : t0 s1 : t1 s1 ) (usamos como par´ametros s0 , s1 , ya que t0 , t1 son los par´ ametros de la recta L), que sustituida en la ecuaci´ on de la c´ onica nos da t1 s0 s1 − t20 s21 = 0, que tiene como soluciones (s0 : s1 ) = (1 : 0) (que corresponde al punto a) y (s0 : s1 ) = (t20 : t1 ), que sustituido en la parametrizaci´ on nos da el punto (t20 : t0 t1 : t21 ). Tenemos pues una biyeccci´on P1k → C definida por (t0 : t1 ) → (t20 : t0 t1 : t21 ). Proposici´ on 4.9. Sea C una c´ onica no degenerada y sean a ∈ C y L una recta que no pasa por a. Sea φ : L → C la aplicaci´ on que asocia a cada p ∈ L el segundo punto de intersecci´on de la recta ap con C (si ap es la recta tangente a C entonces φ(p) = a). Entonces, si ϕ : P1k → L es una parametizaci´on de L, la composici´on φ ◦ ϕ : P1k → C tiene 2 2 2 2 2 2 el aspecto (t0 : t1 ) →
(c00 t0 + c01 t0 t1 + c02 t1 : c10 t0 + c11 t0 t1 + c12 t1 : c20 t0 + c21 t0 t1 + c22 t1 ),

c00 c01 c02


con

c10 c11 c12

= 0.
c20 c21 c22
Demostraci´ on: Consiste en esencia en repetir las cuentas de la Proposici´on 4.2, pero sin usar notaci´ on matricial (como ilustra el Ejemplo 4.8). Por simplificar, escribiremos la parametrizaci´on ϕ como (t0 : t1 ) → (l0 : l1 : l2 ), donde l0 , l1 , l2 representan expresiones on de la recta que pasa por a = (a0 : a1 : lineales homog´eneas en t0 , t1 . Una parametrizaci´ a2 ) y (l0 : l1 : l2 ) ser´a de la forma: (s0 : s1 ) → (a0 s0 + l0 s1 : a1 s0 + l1 s1 : a2 s0 + l2 s1 ) que al sustituir en la ecuaci´ on de la c´ onica nos dar´ a una expresi´ on de la forma (teniendo onica, ver la demostraci´ on de la en cuenta que (a0 : a1 : a2 ) satisface la ecuaci´on de la c´ Proposici´ on 4.2): ls0 s1 + qs21 = 0 atica hodonde l es una expresi´ on lineal homog´enea en t0 , t1 y q es una expresi´on cuadr´ mog´enea en t0 , t1 . Como la soluci´on (s0 : s1 ) = (1 : 0) es la que nos da el punto a, a a la soluci´on (s0 : s1 ) = (q : −l), es decir, φ(l0 : l1 : l2 ) corresponder´ φ(l0 : l1 : l2 ) = (q0 : q1 : q2 ) aticas homog´eneas en t0 , t1 . El resultado estar´ a dedonde q0 , q1 , q2 son expresiones cuadr´ mostrado si vemos que q0 , q1 , q2 son formas linealmente independientes. Si no fuera as´ı, onica C estar´ıa existir´ıa una relaci´ on u0 q0 + u1 q1 + u2 q2 = 0, lo que implicar´ıa que la c´ contenida en la recta u0 X0 +u1 X1 +u2 X2 = 0, lo que es absurdo porque C (que contiene al menos tres puntos, por estar en biyecci´ on con P1k ) no puede contener tres puntos alineados (por el Corolario 4.3). Definici´ on. Llamaremos parametrizaci´ on de una c´ onica C a una biyecci´ on en la Proposici´ on 4.9. 34

P1k → C como

P1k → P2k

de la
forma (t0 : t1 )
→
c00 c01 c02


(c00 t20 +c01 t0 t1 +c02 t21 : c10 t20 +c11 t0 t1 +c12 t21 : c20 t20 +c21 t0 t1 +c22 t21 ), con

c10 c11 c12

=
c20 c21 c22
0 es una c´onica no degenerada que se puede transformar, mediante un cambio de coor2 denadas, en X0
X2
− X1
= 0. Como consecuencia, todas las c´onicas no degeneradas con alg´ un punto son equivalentes entre s´ı (en el sentido de que se puede pasar de una a otra por un cambio de coordenadas. Proposici´ on 4.10. La imagen de cualquier aplicaci´ on

Demostraci´ on:

La u ´ltima afirmaci´ on es consecuencia inmediata de la   laprimera por t20 x0 Proposici´ on 4.9. Sea pues el conjunto de puntos de coordenadas  x1  = P  t0 t1  x2 t21   c00 c01 c02 1  c10 c11 c12 . Haciendo el cambio de coordedonde (t0 : t1 ) var´ıa en Pk y P = c20 c21 c22   
 X0 X0
 −1   X1  el conjunto ser´ a el constituido por los puntos de la forma nadas X1 = P
X2 X2 (x
0 : x
1 : x
2 ) = (t20 : t0 t1 : t21 ), que es precisamente (ver el Ejemplo 4.8) la c´onica de 2 ecuaci´on X0
X2
− X1
= 0. Deshaciendo el cambio de coordenadas, se obtiene que el 2 conjunto es una c´ onica (no degenerada, por serlo X0
X2
− X1
= 0). Observaci´ on 4.11. El resultado anterior puede no resultar sorprendente, porque ya sabemos que todas las c´onicas complejas no degeneradas son equivalentes, y que las reales no degeneradas con signatura (2,1) o (1,2) (como es la signatura de la c´ onica X0 X2 − X12 = 0) tambi´en son equivalentes. Sin embargo, es m´ as sorprendente en otros cuerpos, por ejemplo el de los racionales. En efecto, que s´ olo haya una clase de c´ onicas no imaginarias onicas no degeneradas en P2Q es en principio sorprendente, ya que hay infinitas clases de c´ imaginarias no degeneradas. Por ejemplo, puede demostrarse que no hay ning´ un cambio 2 2 2 2 2 2 on X0 + X1 + pX2 = 0 en X0 + X1 + p
X22 = 0 de variable en PQ que transforme la ecuaci´ si p y p
son dos n´ umeros primos distintos. En la Proposici´ on 4.9, en realidad la parametrizaci´ on de la c´ onica viene dada por el haz de rectas Ω(a), y no por la recta L que escogemos arbitrariamente (si lo hemos hecho as´ı es s´olo porque las cuentas sal´ıan m´ as sencillas). En concreto, el resultado realmente can´onico ser´ıa: Proposici´ on 4.12. Sea C una c´ onica no degenerada, a un punto de C y ψ : Ω(a) → C on la aplicaci´ on que asocia a cada recta L
que pasa por a el segundo punto de intersecci´
1 de L con C. Entonces para cualquier parametrizaci´ on ϕ : Pk → Ω(a), la composici´on 1 ψ ◦ ϕ : Pk → C es una parametrizaci´on de C. 35

Demostraci´ on: Sea L una recta cualquiera que no pase por a y consideremos la proyectividad (ver Proposici´ on 2.18) f : Ω(a) → L definida por L
→ L
∩ L. Entonces ψ = φ ◦ f , donde φ es la aplicaci´on φ : L → C de la Proposici´ on 4.9.

Si ϕ : P1k → Ω(a) es una parametrizaci´ on de Ω(a), entonces, por ser f una proyectividad, se tendr´ a que f ◦ ϕ es una parametrizaci´ on de L. Por tanto, por la Proposici´ on 4.9, φ ◦ f ◦ ϕ (es decir, ψ ◦ ϕ) es una parametrizaci´ on de C. Veamos ahora que, rec´ıprocamente, toda parametrizaci´ on de una c´ onica proviene de la proyecci´ on desde un punto de ella, que adem´ as podemos tomar arbitrariamente. Proposici´ on 4.13. Sea C una c´ onica no degenerada y ϕ
: P1k → C una parametrizaci´ on
on de C. Entonces, para cualquier a ∈ C, ϕ = ψ◦ϕ, donde ψ es la aplicaci´on de la Proposici´ 1 4.12 y ϕ : Pk → Ω(a) es una parametrizaci´on de Ω(a). Demostraci´ on: Escribimos ϕ
: P1k → C de la forma (t0 : t1 ) → (q0 : q1 : q2 ), donde qi = aticas homog´eneas (independientes). Qi (t0 , t1 ), siendo Q0 , Q1 , Q2 ∈ k[T0 , T1 ] formas cuadr´ −1
Necesitamos ver que ψ ◦ ϕ es una parametrizaci´on ϕ de Ω(a), es decir, que tiene una expresi´on lineal en t0 , t1 . La imagen de (t0 : t1 ) ser´a la recta que pase por a = (a0 : a1 : a2 ) y (q0 : q1 : q2 ), es decir, la recta


X0 X1 X2



a0 a1 a2
= 0


q0 q1 q2
que es el punto de

P2k ∗ de coordenadas

(u0 : u1 : u2 ) = (a1 q2 − a2 q1 : a2 q0 − a0 q2 : a0 q1 − a1 q2 ). Aunque esto parece indicar que la expresi´ on queda de grado dos y no de grado uno, en realidad no es as´ı. En efecto, el punto a est´a en C, por lo que se podr´ a escribir (a0 : a1 : a2 ) = (Q0 (s0 , s1 ) : Q1 (s0 , s1 ) : Q2 (s0 , s1 )) para alg´ un (s0 : s1 ) ∈ P1k , luego los polinomios a1 Q2 − a2 Q1 , a2 Q0 − a0 Q2 , a0 Q1 − a1 Q2 tienen a (s0 : s1 ) como ra´ız. Por tanto, son divisibles por s1 T0 −s0 T1 (ver simult´ aneamente a esta demostraci´on el Ejemplo 4.14 siguiente para ilustrar este hecho) y podremos escribir a1 Q2 − a2 Q1 = (s1 T0 − s0 T1 )A0 a2 Q0 − a0 Q2 = (s1 T0 − s0 T1 )A1 a0 Q1 − a1 Q0 = (s1 T0 − s0 T1 )A2 36

donde A0 , A1 , A2 ∈ k[T0 , T1 ] son formas lineales homog´eneas. Es decir, cancelando el factor com´ un podemos escribir (u0 : u1 : u2 ) = (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) que ahora ya representa una parametrizaci´ on de Ω(a).

Ejemplo 4.14. Ilustramos la u ´ltima parte de la demostraci´ on anterior con la c´ onica 2 2 2 as, por ser C : X0 X2 − X1 = 0 con su parametrizaci´on (t0 : t1 ) → (t0 : t0 t1 : t1 ) (que adem´ todas las c´onicas equivalentes a ´esta por un cambio de variable, seg´ un la Proposici´ on 4.10, 2 2 sirve en realidad para cualquier c´ onica). Tomamos el punto a = (s0 : s0 s1 : s1 ), y entonces los coeficientes de la recta que pasa por a y (t20 : t0 t1 : t21 ) son (u0 : u1 : u2 ) = (s0 s1 t21 − s21 t0 t1 : s21 t20 − s20 t21 : s20 t0 t1 − s0 s1 t20 ). Efectivamente, todas las coordenadas son divisibles por s1 t0 − s0 t1 y, una vez eliminado el factor com´ un, queda (u0 : u1 : u2 ) = (−s1 t1 : s1 t0 + s0 t1 : −s0 t0 ). Ahora ya no hay indeterminaci´ on para el u ´nico valor conflictivo, (t0 : t1 ) = (s0 : s1 ), para el que queda la recta de coeficientes (−s21 : 2s0 s1 : −s20 ), que es precisamente la recta tangente a C en el punto a. onica no Corolario 4.15. Si ϕ, ϕ
: P1k → C son dos parametrizaciones distintas de una c´
1 1 degenerada C, entonces ϕ = ϕ ◦ α, donde α : Pk → Pk es un cambio de variable en P1k . Demostraci´ on: Sea ψ : Ω(a) → C la aplicaci´ on de la Proposici´ on 4.12. Entonces, por −1 −1
la Proposici´ on 4.13, ψ ϕ y ψ ϕ son parametrizaciones de Ω(a). Por el Lema 2.16, se tendr´ a que ψ −1 ϕ
= ψ −1 ϕα, donde α : P1k → P1k es un cambio de variable en P1k . Componiendo a la izquierda con ψ se concluye el resultado. Corolario 4.16 (Teorema de Chasles). Sea C una c´ onica no degenerada y sean a, a
∈ C. Consideramos la aplicaci´ on f : Ω(a) → Ω(a
) que asocia a cada recta L que pasa por a la on de L con C distinto de a (entendiendo que recta generada por a
y el punto de intersecci´ cuando L es tangente a C se define f (L) = aa
, y que adem´as f (aa
) es la recta tangente a C en a
). Entonces f es una proyectividad. Demostraci´ on: Sean ψ : Ω(a) → C y ψ
: Ω(a
) → C las aplicaciones definidas en la −1 Proposici´ on 4.12. Entonces f = ψ
◦ ψ. Sea ϕ : P1k → C una parametrizaci´ on cualquiera. 37

Por la Proposici´ on 4.13 se tiene que ψ −1 ϕ y ψ
−1 ϕ son parametrizaciones de Ω(a). Como ψ
−1 ϕ = f ◦ ψ −1 ϕ, se sigue que f es una proyectividad (ver Lema 2.17(i)). Observaci´ on 4.17. El corolario anterior indica que, dada una c´ onica no degenerada C y cuatro puntos a, b, c, d sobre ella, se puede definir su raz´ on doble: basta escoger un punto p ∈ C y considerar la raz´ on doble de las rectas pa, pb, pc, pd (ver la Observaci´ on 3.10). Esta definici´ on no depende de la elecci´ on del punto p, ya que el Corolario 4.16 implica que, escogiendo otro punto p, tenemos una proyectividad f : Ω(p) → Ω(p
) tal que f (pa) = p
a, f (pb) = p
b, f (pc) = p
c, f (pd) = p
d, y por el Teorema 3.4 se tendr´a [pa, pb, pc, pd] = [p
a, p
b, p
c, pd
]. El teorema de Chasles est´a diciendo que, dada una c´ onica no degenerada, sus puntos se pueden obtener de la siguiente forma: fijamos dos puntos a, a
de la c´onica y tomamos la proyectividad f : Ω(a) → Ω(a
) del Corolario 4.16 (que verifica f (aa
) = aa
); entonces la c´onica es el conjunto de las intersecciones L ∩ f (L) cuando L var´ıa en Ω(a). El siguiente resultado afirma que una construcci´ on general de esta forma produce siempre una c´ onica no degenerada: Teorema 4.18 (Construcci´ on de Steiner). Sean a, a
∈ P2k dos puntos distintos y sea f : Ω(a) → Ω(a
) una proyectividad tal que f (aa
) = aa
. Entonces el conjunto C = {L ∩ f (L) | L ∈ Ω(a)} es una c´onica no degenerada que pasa por a y a
. Demostraci´ on: Sea ϕ : P1k → Ω(a) una parametrizaci´ on definida por (t0 : t1 ) → (u0 : u1 : u2 ) = (l0 , l1 : l2 ), donde l0 , l1 , l2 son expresiones lineales homog´eneas en t0 , t1 . Como f es una proyectividad, a por tanto el aspecto f ◦ ϕ es una parametrizaci´ on de Ω(a
), que tendr´ (t0 : t1 ) → (u0 : u1 : u2 ) = (l0
, l1
: l2
), donde l0
, l1
, l2
son de nuevo expresiones lineales homog´eneas en t0 , t1 . El conjunto C ser´a entonces el conjunto de puntos de intersecci´ on de las rectas l 0 X 0 + l1 X1 + l2 X 2 = 0 l0
X0 + l1
X1 + l2
X2 = 0 cuando (t0 : t1 ) var´ıa en

P1k .

Por tanto, C estar´a parametrizado de la forma

(t0 : t1 ) → (l1 l2
− l2 l1
: l2 l0
− l0 l2
: l0 l1
− l1 l0
). 38

Por la Proposici´ on 4.10, el teorema estar´a demostrado si demostramos que las expresiones cuadr´ aticas homog´eneas l1 l2
− l2 l1
, l2 l0
− l0 l2
, l0 l1
− l1 l0
son linealmente independientes. Supongamos por tanto que no lo fueran. Eso querr´ıa decir que el conjunto C estar´ıa contenido en una recta L0 . Es decir, para cada L ∈ Ω(a) se tendr´ıa que L ∩ f (L) es un punto de la recta L0 . En otras palabras, tendr´ıamos una proyectividad entre dos rectas ∗ ∗ de P2k tal que la recta entre cada punto y su imagen pasa siempre por el punto L0 ∈ P2k , con lo que f ser´ıa una perspectividad de centro L0 . Sin embargo esto es absurdo, porque la imagen de aa
(que es la intersecci´on de Ω(a) y Ω(a
)) no es aa
.

Observaci´ on 4.19. N´otese que, si en la construcci´on de Steiner quitamos la condici´ on

f (aa ) = aa , se tiene que la intersecci´on L ∩ f (L) es siempre un punto excepto en el caso L = aa
, en que la intersecci´on es toda aa
. Adem´as, como se observa al final de ∗ la demostraci´on del Teorema 4.18, f : Ω(a) → Ω(a
) ser´ıa una perspectividad en P2k , es decir, existir´ıa una recta L0 tal que f (L) ser´ıa la recta generada por a y L ∩ L0 . Se tendr´ıa entonces que C ser´ıa la uni´ on de L0 y aa
. Teorema 4.20. Sean p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ∈ P2k cinco puntos distintos de modo que no hay tres entre ellos alineados. Entonces existe una u ´nica c´ onica que pasa por ellos, que adem´ as es no degenerada. Demostraci´ on: Claramente, cualquier c´ onica que pase por los cinco puntos es no degenerada, ya que en caso contrario la c´ onica deber´ıa ser o un par de rectas o una recta doble, y en cualquiera de los dos casos necesariamente tres de los cinco puntos estar´ıan en una recta, en contra de nuestra hip´ otesis. Por otra parte, por el teorema de Chasles (Corolario 4.16), si C es una c´onica no degenerada que pasa por p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , entonces existe una proyectividad f : Ω(p1 ) → Ω(p2 ) tal que f (p1 p3 ) = p2 p3 , f (p1 p4 ) = p2 p4 , f (p1 p5 ) = p2 p5 y C = {L ∩ f (L) | L ∈ Ω(p1 )}. Como f est´a determinada por la imagen de p1 p3 , p1 p4 , p1 p5 , se tiene que s´olo existe una posibilidad para f y por tanto una u ´nica C posible. Por otra parte, la construcci´ on de Steiner nos dice que tal construcci´ on nos da una c´ onica (o un par de rectas, seg´ un la Observaci´ on 4.19). Como claramente C definida de ese modo contiene a p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , es claro que C es una c´onica no degenerada. Teorema 4.21. Sea C una c´ onica no degenerada y L una recta que corta a C en dos puntos distintos a, b. Entonces, para cada punto c ∈ L \ {a, b}, si c
es el punto de intersecci´on de L con la recta polar de c respecto de C, se tiene [a, b, c, c
] = −1. Demostraci´ on: Sea L
la recta polar de c respecto de C y sean p1 , p2 los puntos de intersecci´on de L
con C. 39

b p1

d a p2 c

Por la Observaci´ on 3.10, [a, b, c, c
] = [p1 a, p1 b, p1 c, p1 c
], mientras que por la Observaci´on 4.17, [p1 a, p1 b, p1 c, p1 c
] = [a, b, p1 , p2 ], con lo que se tiene [a, b, c, c
] = [a, b, p1 , p2 ]. An´ alogamente, cambiando el papel de p1 por p2 se tendr´a [a, b, c, c
] = [a, b, p2 , p1 ], que, 1 por la Observaci´ on 3.9, es [a,b,p11 ,p2 ] . Por tanto, [a, b, c, c
] = [a,b,c,c
] , de donde se deduce (teniendo en cuenta que la raz´ on doble de cuatro puntos distintos es distinta de uno) que
[a, b, c, c ] = −1.

40

5. C´onicas afines y eucl´ıdeas En este cap´ıtulo redemostraremos la clasifici´on de c´onicas afines y eucl´ıdeas a partir de sus completados proyectivos. Empezaremos con las c´onicas afines reales, iniciando por los casos m´as sencillos de completado proyectivo. Proposici´ on 5.1. Sea C ∈ A2k una c´ onica af´ın tal que su completado proyectivo es una recta doble. Entonces C es una recta doble. Demostraci´ on: Es inmediato: si el completado proyectivo tiene ecuaci´ on (a0 X0 + a1 X1 + 2 a2 X2 ) = 0, entonces C es la recta doble de ecuaci´on (a0 + a1 X + a2 Y )2 = 0. Proposici´ on 5.2. Sea C ∈ A2k una c´ onica af´ın tal que su completado proyectivo C¯ es una par de rectas no imaginarias (resp. imaginarias conjugadas). Entonces se da uno de los siguientes casos: (i) La interscci´ on de C¯ y la recta del infinito consiste en dos puntos no imaginarios (resp. imaginarios) distintos y entonces C consiste en un par de rectas secantes no imaginarias (resp. imaginarias conjugadas). (ii) La interscci´ on de C¯ y la recta del infinito consiste un solo punto no imaginario (resp. imaginario) distintos y entonces C consiste en un par de rectas paralelas no imaginarias (resp. imaginarias conjugadas). Demostraci´ on: Si la ecuaci´ on de C¯ es (a0 X0 + a1 X1 + a2 X2 )(b0 X0 + b1 X1 + b2 X2 ) = 0, on de entonces la ecuaci´on de C es (a0 + a1 X + a2 Y )(b0 + b1 X + b2 Y ) = 0, que es la uni´ dos rectas. La intersecci´on de C¯ con la recta del infinito son los puntos (0 : a2 : −a1 ) y (0 : b2 : −b1 ), que corresponden a los vectores directores de las rectas. Entonces la intersecci´on con la recta del infinito ser´ a un solo punto si y s´ olo si las rectas son paralelas.

Para estudiar c´ onicas no degeneradas necesitaremos hacer cambios de coordenadas. Recu´erdese que un cambio de coordenadas af´ın tiene el aspecto      1 1 0 0 1  X
 =  α a b   X  Y
β c d Y


a b

= 0 con lo que se puede extender a un cambio de coordenadas en P2 de la con

k c d
forma   
  1 0 0 X0 X0  X1
 =  α a b   X1  . (5.3)
X2 X2 β c d 41

Definici´ on. Se llama completado proyectivo de un cambio de coordenadas af´ın a un cambio de coordenadas en P2k como el anterior. Lema 5.4. Un cambio de coordenadas en P2k es el completado proyectivo de un cambio af´ın de coordenadas si y s´ olo si manda la recta del infinito a X0
= 0. Adem´as, cualquier proyectividad de la recta del infinito en s´ı misma se puede ver como la restricci´on del completado proyectivo de un cambio de coordenadas af´ın. Demostraci´ on: Claramente, un cambio de coordenadas de la forma (5.3) manda la recta del infinito a X0
= 0. Concretamente, se tiene la expresi´on (0 : X1
: X2
) = (0 : aX1 + bX2 : cX1 + dX2 ) que claramente define una proyectividad de la recta del infinito en s´ı misma. Rec´ıprocamente, si tenemos un cambio de coordenadas de P2k 

  X0
p00  X1
 =  p10 X2
p20

p01 p11 p21

  p02 X0 p12   X1  p22 X2

a que los puntos (0 : 1 : 0) si la recta del infinito va a parar a X0
= 0, en particular ocurrir´ y (0 : 0 : 1), que en las nuevas coordenadas son respectivamente (p01 : p11 : p21 ) y (p02 : p12 : p22 ) deben tener la primera es decir p01 = p02 = 0. Por tratarse

coordenada cero,



p00 0 0
p11 p12



= 0. de un cambio de coordenadas,

p10 p11 p12

= 0, es decir, p00 = 0 y


p p 21 22
p20 p21 p22
Dividiendo entonces por p00 , el cambio de coordenadas queda de la forma   1 X0
 X1
 =  pp10 01 p20 X2
p01 


p11 p12
p01 con

pp01 p22 21 p01 p01 nadas af´ın.

0

0

p11 p01 p21 p01

p12 p01 p22 p01



 X0   X1  X2




= 0, que es por tanto el completado proyectivo de un cambio de coorde


Por otra parte, cualquier proyectividad de la recta del
infinito
se puede escribir de la
a b

= 0, con lo que viene de forma (0 : X1 : X2 ) → (0 : aX1 + bX2 : cX1 + dX2 ), con

c d
un cambio de coordenadas como (5.3) (que claramente no es u ´nico). Teorema 5.5. Sea C ∈ A2R una c´ onica af´ın tal que su completado proyectivo C¯ es una c´onica no degenerada real. Entonces: 42

(i) Si C¯ corta a la recta del infinito en un solo punto (es decir, si es tangente a la recta del infinito), C es una par´ abola. (ii) Si C¯ corta a la recta del infinito en dos puntos reales distintos, entonces C es una hip´erbola. (iii) Si C¯ corta a la recta del infinito en dos puntos imaginarios, entonces C es una elipse real. Demostraci´ on: En el caso (i), por el Teorema 2.20, podemos encontrar una proyectividad de la recta del infinito en s´ı misma que mande su punto de intersecci´ on con C¯ al punto (0 : 0 : 1), luego por el Lema 5.4 existe un cambio de coordenadas af´ın tal que el punto del infinito de C es la direcci´on vertical (y la recta tangente en ese punto es la recta del infinito). Eso quiere decir que la ecuaci´ on de la c´ onica en las nuevas coordenadas tiene el
2

¯ aspecto aX + bX + cY + d = 0. Como C es no degenerada, c = 0, con lo que la ecuaci´on se puede escribir de la forma Y
= − ac X
2 − cb X
− dc , que claramente es la ecuaci´on de una par´ abola. En el caso (ii), tomamos una proyectividad de la recta del infinito en s´ı misma que mande sus puntos de intersecci´on con C¯ a (0 : 1 : 0) y (0 : 0 : 1). Usando otra vez el Lema 5.4, tendremos un cambio de coordenadas af´ın tal que los puntos del infinito de C ser´an el horizontal y el vertical, es decir, que en las nuevas coordenadas a de
tendr´
ecuaci´on
d b c
2 2

aX
Y
+ bX
+ cY
+ d con a = 0 y, por ser C¯ no degenerada,

2b 0 a2

= 0, i.e.
c a 0
2 2 a(bc − ad) = 0. Dividiendo por a, la ecuaci´on se puede escribir como (X
+ ab )(Y
+ ac ) = bc−ad erbola. a2 , que claramente corresponde a una hip´ En el caso (iii), por la Proposici´ on 3.7 podemos construir una proyectividad de la recta del infinito que mande sus puntos de intersecci´ on con C¯ a los puntos (0 : 1 : i) y (0 : 1 : −i) y, como en los casos anteriores, extenderlas al completado proyectivo de un cambio de coordenadas af´ın. Como consecuencia, en  las nuevas  coordenadas, C tendr´ a c a2 2b ecuaci´on X 2 + Y 2 + aX + bY + c = 0, donde la matriz  a2 1 0  tiene signatura (2, 1) b 01 2  1 0 (no puede tener signatura (1, 2), porque la submatriz diagonal tiene ya signatura 0 1 2 2 (2, 0)). Por tanto, su determinante c − a4 − b4 es negativo. La ecuaci´on es equivalente a 2 2 2 2 (X +a)2 +(Y +b)2 +(c− a4 − b4 ) = 0, que representa una elipse real, ya que c− a4 − b4 < 0.

Finalmente, estudiamos la c´ onicas no degeneradas imaginarias: 43

Proposici´ on 5.6. Sea C una c´ onica af´ın tal que C¯ es una c´onica no degenerada imaginaria. Entonces C es una elipse imaginaria. Demostraci´ on: Como C¯ es imaginaria, su intersecci´on con la recta del infinito son dos puntos imaginarios conjugados. Como en la demostraci´ on del caso (iii) del teorema anterior, podemos encontrar un cambio af´ın de coordenadas tal que C tenga o n  ecuaci´ c a2 2b 2 2 (X + a)2 + (Y + b)2 + (c − a4 − b4 ) = 0. La diferencia es que ahora la matriz  a2 1 0  b 0 1 2 a2 b2 tiene signatura (3, 0), luego determinante c − 4 − 4 positivo, con lo que la ecuaci´ on representa una elipse imaginaria. Obs´ervese que, para cada una de las posibilidades de C¯ y su intersecci´on con la recta del infinito, nos han salido tipos de c´ onicas que no son af´ınmente equivalentes. Esto nos da una clasificaci´ on completa de las c´onicas afines reales, que resumimos en la siguiente tabla: Clasificaci´on de c´onicas en A2R Tipo de c´onica C

Tipo de C¯

C¯ ∩ {X0 = 0}

Hip´erbola

No degenerada real

Dos puntos reales

Par´ abola

No degenerada real

Un puntos real

Elipse real

No degenerada real

Dos puntos imaginarios

Elipse imaginaria

No degenerada imaginaria

Dos puntos imaginarios

Par de rectas reales secantes

Par de rectas reales

Dos puntos reales

Par de rectas reales paralelas

Par de rectas reales

Un punto real

Par de rectas imaginarias

Dos puntos imaginarios

Par de rectas imaginarias

Un punto real

Recta doble

Un punto real

Par de rectas imaginarias conjugadas secantes Par de rectas imaginarias conjugadas paralelas Recta doble

Obs´ervese que la clasificaci´on de c´ onicas afines complejas consiste en la anterior quitando todos los casos imaginarios, quedando por tanto como posibilidades la hip´erbola, la par´ abola, el par de rectas secantes, el par de rectas paralelas y la recta doble. En general, para c´ onicas afines sobre cualquier cuerpo k, seguiremos usando el nombre elipse, par´ abola, 44

etc. de acuerdo con la tabla anterior, seg´ un c´ omo sea C¯ y su intersecci´on con la recta del infinito. Ejemplo 5.7. Fij´emonos por un instante en el caso de la hip´erbola. En la ecuaci´ on reducida que hemos obtenido en la demostraci´ on del Teorema 5.5, est´a claro que las as´ıntotas b c

son X + a = 0 e Y + a = 0 despu´es del cambio de coordenadas. Una pregunta natural es si se pueden calcular sin hacer el cambio de coordenadas. En estas nuevas coordenadas, el completado proyectivo C¯ tiene ecuaciones 

d

(X0
X1
X2
)  2b c 2

b 2

0 a 2

 X0
  X1
 = 0 X2
0 c 2 a 2



de donde se obtiene que las tangentes a C¯ en sus puntos del infinito (0 : 1 : 0) y (0 : 0 : 1) son respectivamente las rectas 2b X0
+ a2 X2
= 0 y 2c X0
+ a2 X1
= 0, que son precisamente los completados proyectivos de las as´ıntotas. Esto motiva la siguiente: Definici´ on. Dada una c´ onica af´ın no degenerada C en A2k tal que su completado corta a la recta del infinito en dos puntos distintos, llamaremos as´ıntotas de la c´ onica a la parte ¯ af´ın de las tangentes a C en los puntos del infinito. Obs´ervese que estamos excluyendo el caso de la par´abola, en que hay un solo punto en el infinito, cuya recta tangente es la propia recta del infinito, por lo que no tiene parte af´ın. Estamos admitiendo tambi´en la existencia de as´ıntotas en el caso de la elipse (imaginaria o no), pero en tal caso ser´ an dos rectas imaginarias. Obs´ervese que, sin embargo, estas dos rectas imaginarias se cortan en un punto no imaginario. En efecto, si p1 , p2 son los dos puntos del infinito de C (imaginarios o no), las tangentes a C¯ en p1 y p2 son las rectas polares de dichos puntos, con lo que su intersecci´ on ser´a el polo de la recta p1 p2 , es decir, de la recta del infinito (ver la Proposici´ on 4.6(v)), que no es imaginario. Esto motiva de nuevo otra definici´ on. Definici´ on. Se llama centro de una c´ onica af´ın no degenerada al polo de la recta del infinito. Una c´ onica cuyo centro sea un punto af´ın (es decir, que no sea una par´ abola) se llama c´ onica con centro. Pasamos ahora a estudiar las c´onicas eucl´ıdeas. Toda c´onica eucl´ıdea es una c´onica af´ın, luego una primera aproximaci´ on es la clasificaci´on que ya tenemos de las c´onicas afines. Sin embargo, necesitamos una clasificaci´ on un poco m´ as fina, en el sentido de que dos c´onicas af´ınmente equivalentes no son necesariamente equivalentes como c´onicas eucl´ıdeas. Por ejemplo, en el plano af´ın las c´onicas X 2 + Y 2 = 1 y X 2 + 4Y 2 = 1 son equivalentes, porque el cambio de coordenadas (X, Y ) = (X
, 2Y
) permite pasar de una a 45

otra. Sin embargo, como c´ onicas eucl´ıdeas no son equivalentes, porque mientras la primera es una circunferencia (en concreto el conjunto de puntos que distan uno de (0, 0)) la segunda no lo es, y cualquier transformaci´ on eucl´ıdea deber´ıa conservar las distancias. De hecho, los u ´nicos cambios de coordenadas permitidos en el plano eucl´ıdeo son las isometr´ıas, que tienen la forma      1 0 0 1 1  X
 =  α a b   X  Y
β c d Y        a b a b a c 1 0 con una matriz ortogonal, es decir = . Dependiendo c d c d b d 0 1 del signo del determinante (que necesariamente es ±1), se da uno de los siguientes casos     a b cos θ − sen θ = (isometr´ıa directa) c d sen θ cos θ     a b cos θ sen θ = (isometr´ıa inversa) c d sen θ − cos θ Como una circunferencia est´ a caracterizada por ser una elipse real que corta a la recta del infinito en los puntos c´ıclicos (0 : 1 : i), (0 : 1 : −i), podr´ıa pensarse que las los completados proyectivos de isometr´ıas se caracterizan por preservar los puntos c´ıclicos. Dicha afirmaci´ on es cierta s´olo a medias: Proposici´ on 5.8. Un cambio de coordenadas en P2R deja invariantes las coordenadas del conjunto {(0 : 1 : i), (0 : 1 : −i)} de los puntos c´ıclicos si y s´olo si es el completado proyectivo de la composici´ on de una homotecia y una isometr´ıa. Adem´ as, dicha isometr´ıa es directa si y s´olo si quedan fijas las coordenadas de cada uno de los puntos c´ıclicos, y es inversa si las permuta. Finalmente, cualquier proyectividad de la recta del infinito que deje invariantes las coordenadas del conjunto {(0 : 1 : i), (0 : 1 : −i)} es restricci´on del completado proyectivo de un cambio de coordenadas isom´etrico. Demostraci´ on: En primer lugar, una homotecia    1 1 0  X
 =  α λ Y
β 0

tiene de ecuaciones   0 1 0X  λ Y

y su completado proyectivo claramente conserva las coordenadas de cada punto de la recta del infinito (ya que las multiplica todas por la constante λ). Por otra parte, es una simple comprobaci´on que el completado proyectivo de una isometr´ıa directas deja fijas las coordenadas de los puntos c´ıclicos, mientras que el de una inversa las intercambia. Rec´ıprocamente, supongamos que un cambio de coordenadas de P2 conserva las coordenadas del conjunto de los puntos c´ıclicos. Esto implica en primer lugar que manda 46

la recta del infinito a la recta X0
= 0, con lo que (por el Lema 5.4) es el completado proyectivo de un cambio af´ın de coordenadas, es decir, ser´ a de la forma   1 X0
 X1
 =  α X2
β 

  0 0 X0 a b   X1  X2 c d




a b

= 0. Las nuevas coordenadas de (0 : 1 : i) y (0 : 1 : −i) ser´an respectivamente
con
c d
(0 : a + bi : c + di) y (0 : a − bi : c − di). Si por
ejemplo (0 : a
+ bi : c +
di) = (0 : 1 : i)
y (0 : a − bi : c − di) = (0 : 1 : −i),
a − bi c − di

a + bi c + di

, de donde se deduce d = a, b = −c.
= 0 =
se tendr´a


1 −i
1 i
Escribiendo √a2a+c2 = cos θ, √a2c+c2 = sen θ, tendremos 

1 α β

  0 0 1   a b = α c d β

0 cos θ sen θ

 0 1   − sen θ 0 0 cos θ

√ 0 a2 + c2 0

 0  √ 0 2 2 a +c

que representa la composici´on de una homotecia y una isometr´ıa directa. Si
en cambio (0 : a
+ bi : c
+ di) = (0 : 1
: −i) y (0 : a − bi : c − di) = (0 : 1 : i), se
a + bi c + di



= 0 =
a − bi c − di
, de donde se deduce ahora d = −a, b = c. tendr´ a


1 1 −i
i
a c Escribiendo de nuevo √a2 +c2 = cos θ, √a2 +c2 = sen θ, tendremos 

1 α β

  0 0 1   a b = α c d β

0 cos θ sen θ

 0 1   sen θ 0 0 − cos θ

√ 0 a2 + c2 0

 0  √ 0 2 2 a +c

que representa ahora la composici´ on de una homotecia y una isometr´ıa inversa. Finalmente, dada una proyectividad (0 : X1 : X2 ) → (0 : aX1 + bX2 : cX1 + bX2 ) de la recta del infinito que deje invariantes las coordenadas del conjunto de puntos c´ıclicos, √ acabamos de ver que (despu´es de dividir por a2 + c2 ), se escribe como (0 : X1 : X2 ) → (0 : cos θX1 − sen θX2 : sen θX1 + cos θX2 ) si deja fijos ambos puntos c´ıclicos o bien como (0 : X1 : X2 ) → (0 : cos θX1 + sen θX2 : sen θX1 − cos θX2 ) si los intercambia, con lo que es siempre restricci´on del completado proyectivo de una isometr´ıa. 47

Definici´ on. Se llama semejanza a la composici´on de una homotecia y una isometr´ıa. Se dir´ a que es directa o inversa seg´ un lo sea la isometr´ıa. El resultado anterior est´ a diciendo que con la geometr´ıa proyectiva, m´ as que geometr´ıa eucl´ıdea (la que conserva distancias, es decir, las formas y tama˜ nos), podemos s´olo hacer geometr´ıa conforme (la que conserva las formas, pero no necesariamente los tama˜ nos). Este hecho se manifiesta expl´ıcitamente en el siguiente resultado, que muestra de nuevo el papel fundamental que juegan los puntos c´ıclicos. Proposici´ on 5.9. Sean v = (0 : v1 : v2 ), w = (0 : w1 : w2 ) dos puntos del infinito del plano eucl´ıdeo E2 . Si I = (0 : 1 : i), J = (0 : 1 : −i) son los puntos c´ıclicos, entonces [I, J, v, w] = cos 2θ + i sen 2θ, donde θ es el ´angulo que va del vector w = (w1 , w2 ) al vector v = (v1 , v2 ) en el sentido antihorario. En particular, las direcciones representadas por v y w son perpendiculares si y s´ olo si [I, J, v, w] = −1. Demostraci´ on: Por el Lema



1 v1

1



i v2

−i

[I, J, u, v] =



1 1 w 1



i w2

−i

3.1, se tiene
 2 w1

√ v22 2 − i √ v21 2
w2 v1 +v2 (v − iv1 )(w2 + iw1 )  v1 +v2  .
= 2 = w √ 2 2 2 − i √ w2 1 2 (w2 − iw1 )(v2 + iv1 ) v1

w1 +w2 w1 +w2 v2


Ahora bien, los vectores v y w se pueden ver en el plano de los n´ umeros complejos como v = = w1 + iw2 , y en tal caso sus vectores normalizados (de m´odulo uno) y girados v1 + iv2 y w noventa grados en el sentido de las agujas del reloj son precisamente √ v22 2 − i √ v21 2 y √

w2 w12 +w22

− i√

w1 . w12 +w22

v1 +v2

v1 +v2

Por tanto, el a´ngulo del segundo al primero en sentido antihorario √ v22

es tambi´en θ, de donde se sigue √

v +v 2 1 2 w2

w2 +w2 1 2

−i √ −i √

v1 v 2 +v 2 1 2 w1

= cos θ + i sen θ = eiθ , lo que implica el

w2 +w2 1 2

resultado. Obs´ervese que en el enunciado anterior no hay indefinici´ on, ya que si cambiamos de sentido uno de los vectores v o w, entonces θ var´ıa en 180 grados, con lo que su doble es el mismo (m´odulo 360 grados). Observaci´ on 5.10. El resultado anterior interpreta entonces lo que son las semejanzas: si son directas, I, J quedan fijos y, al conservarse la raz´ on doble, se preservan los a´ngulos; si son inversas, se intercambian I y J, luego por la Observaci´ on 3.9 invierte la raz´ on doble, que al ser un n´ umero complejo de m´odulo uno nos da el conjugado, luego cambia el sentido de los ´angulos. Veamos tambi´en lo que podemos decir sobre la raz´ on doble de los puntos c´ıclicos y dos puntos imaginarios conjugados. 48

Lema 5.11. Sean, p, p¯ dos puntos imaginarios conjugados de la recta del infinito, distintos de los puntos c´ıclicos. Entonces, [I, J, p, p¯] es un n´ umero real positivo. Adem´ as, existe λ ∈ R \ {0, 1} tal que, si llamamos q = (0 : 1 : λi), entonces [I, J, p, p¯] = [I, J, q, q¯]. Demostraci´ on: La manera m´as r´apida, aunque poco elegante, es por medio de un simple c´alculo. Por simplificar, como p no es real, su coordenada X1 no es cero (porque si no ser´ıa el punto (0 : 0 : 1)), as´ı que podemos escribir p = (0 : 1 : a + bi), con a, b ∈ R y b = 0. Es entonces un simple c´alculo que




1

1
1 1




i a + bi

−i a − bi
(a + (b − 1)i)(a − (b − 1)i) a2 + (b − 1)2


= = [I, J, p, p¯] =

(a − (b + 1)i)(a + (b + 1)i) a2 + (b + 1)2 1



1 1


1
i a − bi

−i a + bi
que claramente es un n´ umero positivo. Por tanto, podemos escribir [I, J, p, p¯] = µ2 para alg´ un µ > 0 (adem´as, µ = 1). Las mismas cuentas que acabamos de hacer muestran que,  2 tomando q = (0 : 1 : λi), se tiene [I, J, q, q¯] = λ−1 , con lo que basta encontrar un λ ∈ R λ+1 tal que µ =

λ−1 λ+1 ,

y claramente basta tomar λ =

1+µ 1−µ .

Con todo esto, ya podemos ir estudiando los distintos tipos de c´ onicas eucl´ıdeas. Proposici´ on 5.12. Toda par´ abola eucl´ıdea se puede escribir, despu´es de una cambio de ´nico a > 0. coordenadas isom´etrico de la forma Y
= aX
2 para un u Demostraci´ on: Si p es el punto del infinito de la par´ abola, por la Proposici´ on 3.7 existe una proyectividad de la recta del infinito en s´ı misma que deja fijos los puntos c´ıclicos y manda p al punto (0 : 1 : 0), por lo que por la Proposici´ on 5.8 existe un cambio de coordenadas isom´etrico tal que la nueva ecuaci´ on de la par´ abola ser´ a de la forma (haciendo las mismas
cuentas que en la demostraci´on del Teorema 5.5) Y = aX
2 + bX
+ c con a = 0. Adem´as, cambiando Y
por −Y
si fuera necesario, podemos suponer a > 0. La ecuaci´on anterior es 2 4b2
2b 2


2b


equivalente a Y
−c+ 4b a2 = a(X + a ) , con lo que llamando X = X + a , Y = Y −c+ a2 (que es una traslaci´ on y por tanto una isometr´ıa) se tiene la ecuaci´on buscada. Como en estas u ´ltimas coordenadas la par´ abola representa el conjunto de puntos que equidistan del 1 1

punto de la recta Y = − 4a y del punto (0, 4a ), el valor a est´a un´ıvocamente determinado a partir de la par´ abola, ya que la distancia del punto a la recta, que permanece fijo por 1 isometr´ıas, es 2a . Proposici´ on 5.13. Toda hip´erbola eucl´ıdea se puede escribir, despu´es de un cambio de
2
2 coordenadas isom´etrico de la forma Xa2 − Yb2 = 1 para unos u ´nicos a, b > 0. Demostraci´ on: Sean v, w los puntos del infinito de la hip´erbola, y sea cos 2θ + i sen 2θ la raz´on doble [I, J, v, w] (ver la Proposici´ on 5.9). Si llamamos v
= (0 : cos θ2 : sen θ2 ), w
= 49

(0 : cos θ2 : − sen θ2 ), tambi´en se tiene que [I, J, v
, w
] = cos 2θ + i sen 2θ, por lo que existe una proyectividad de la recta del infinito en s´ı misma que manda respectivamente on 3.7 ser´ a una proyectividad real. Por tanto, I, J, v, w a I, J, v
, w
, y por la Proposici´ por la Proposici´ on 5.8 existe un cambio de coordenadas isom´etrico tal que los puntos del infinito de la hip´erbola tendr´ an coordenadas (0 : cos θ2 : sen θ2 ), (0 : cos θ2 : − sen θ2 ), lo que implica que la ecuaci´ on se puede escribir como sen2 θ2 X
2 − cos2 θ2 Y
2 + cX
+ dY
+ e = 0. Mediante la traslaci´ on (X

, Y

) = (X
+ 2 senc 2 θ , Y
− 2 cosd 2 θ ) obtenemos una ecuaci´on de 2

2

la forma sen2 θ2 X

2 − cos2 θ2 Y

2 + e
= 0 (con e
= 0, ya que se trata de una hip´erbola). Podemos suponer e
< 0 (si fuera e
> 0, intercambiamos X

e Y

y cambiamos θ por

θ + π), y escribiendo sene 2 θ = a2 , cose2 θ = b2 obtenemos la ecuaci´on reducida buscada. En estas coordenadas, la hip´erbola consiste en los puntos tales que la diferencia de las √ √ distancias a los puntos (− a2 + b2 , 0) y ( a2 + b2 , 0) es, en valor absoluto, igual a 2a. Por √ tanto, 2a depende de las propiedades m´etricas de la hip´erbola, as´ı como 2 a2 + b2 , que es la √ √ distancia entre los puntos (− a2 + b2 , 0) y ( a2 + b2 , 0). Como consecuencia, a y b est´an determinados un´ıvocamente por la hip´erbola, independientemente de las coordenadas. Proposici´ on 5.14. Toda elipse eucl´ıdea real se puede escribir, despu´es de un cambio de
2
2 ´nicos a ≥ b > 0. coordenadas eucl´ıdeo, de la forma Xa2 + Yb2 = 1 para unos u Demostraci´ on: Como en los casos anteriores, y usando ahora el Lema 5.11, podemos hacer una cambio de coordenadas eucl´ıdeo tal que los puntos del infinito de la elipse sean de la forma (0 : 1 : λi), (0 : 1 : −λi) para alg´ un λ = 0 (si los puntos del infinito de la elipse son los puntos c´ıclicos, no hay que hacer cambio de coordenadas, y tendremos λ = 1. Es decir, que podemos escribir la ecuaci´on de la elipse como λ2 X
2 + Y
2 + a
X
+ b
Y
+ c
= 0.
a
, Y
+ b2 ), la ecuaci´on tendr´ a el aspecto Despu´es de una traslaci´ on (X

, Y

) = (X
+ 2λ 2

2

2

λ X + Y + e = 0,para alg´ un e ∈ R, que necesariamente es negativo por ser la elipse √ −e real. Escribiendo a = λ2 , b = −e tendremos la ecuaci´on buscada (si fuera a < b, basta girar 90 grados o intercambiar X

e Y

). En estas coordenadas, la elipse consiste en los puntos tales que la suma de las distancias √ √ a los puntos (− a2 − b2 , 0) y ( a2 − b2 , 0) es igual a 2a. Como en el caso de la hip´erbola, √ 2a y 2 a2 − b2 , y por tanto a y b est´an determinados un´ıvocamente por las propiedades m´etricas de la elipse, y por tanto no dependen de las coordenadas. Observaci´ on 5.15. Se deja como ejercicio para el lector que, en el caso de las dem´as c´onicas eucl´ıdeas, la ecuaci´on reducida queda: –Elipse imaginaria:

X
2 a2

+

Y
2 b2

= −1 para unos u ´nicos a ≥ b > 0.

–Par de rectas reales secantes: sen2 θ2 X
2 − cos2 θ2 Y
2 = 0, donde θ es el ´angulo entre las dos rectas. 50

–Par de rectas imaginarias secantes: λ2 X
2 + Y
2 = 0, para un u ´nico λ > 0. –Par de rectas reales paralelas: X
2 = a2 , donde 2a es la distancia entre las dos rectas. –Par de rectas imaginarias paralelas: X
2 = −a2 , para un u ´nico a > 0. –Recta doble: X
2 = 0. Finalmente, ya que los puntos c´ıclicos juegan un factor importante en la geometr´ıa eucl´ıdea, tambi´en lo deben jugar sus rectas polares respecto del completado proyectivo de la c´onica: Definici´ on. Dada una c´ onica eucl´ıdea no degenerada C, si L1 , L2 son las tangentes a C¯ que pasan por I, y M1 , M2 son las rectas tangentes a C¯ que pasan por J, se llaman focos de la c´ onica a los puntos afines de intersecci´ on de cada Li con cada Mj . Veamos cu´ales son los focos de los distintos tipos de c´onicas eucl´ıdeas reales (con la ecuaci´on ya reducida): 2

2

Y –Si C es la hip´erbola X a2 − b2 = 1, entonces la recta polar a (0 : 1 : ±i) respecto 2 2 iX2 1 ¯ (de ecuaci´on X21 − X22 = X 2 ) en los puntos de C¯ es X = ± , que interseca a C 2 2 0 a b a b √ √ 2 2 2 2 2 2 2 2 (− a + b i : ±a i : b ), ( a + b i : ±a i : b ). Por tanto las rectas tangentes a C¯ que pasan por (0 : 1 : ±i) son

(a2 + b2 )X0 ±

  a2 + b2 X1 + a2 + b2 iX2 = 0

y

  a2 + b2 X1 − a2 + b2 iX2 = 0 √ √ √ con lo que los focos quedan los puntos (− a2 + b2 , 0), ( a2 + b2 , 0) (0, − a2 + b2 i) y √ (0, a2 + b2 i). (a2 + b2 )X0 ∓

2

2

Y –Si C es la elipse real de ecuaci´on X cuentas que antes a2 + b2 = 1, las mismas √ √ 2 2 2 2 (basta cambiar b por −b ) nos dan como focos los puntos (− a − b , 0), ( a2 − b2 , 0) √ √ (0, − a2 − b2 i) y (0, a2 − b2 i). Si la elipse fuera imaginaria (cambiando los a2 y b2 por sus opuestos en la ecuaci´on de C), quedar´ıan los mismos focos. Obs´ervese que, en el caso de una circunferencia (real o imaginaria) los cuatro focos coinciden. –Si C es la par´ abola de ecuaci´ on Y = aX 2 , la recta polar a (0 : 1 : ±i) respecto de C¯ es ∓ 2i X0 + aX1 = 0, que intersecada con C¯ (de ecuaci´on X0 X2 = aX12 ) nos da los puntos (0 : 0 : 1) y (∓4ai : 2 : ±i). Por tanto, las rectas tangentes a C¯ que pasan por (0 : 1 : ±i)

son X0 = 0 y ∓iX0 + 4aX1 ± 4aiX2 = 0, y se obtiene s´olo un foco, que es el punto af´ın 1 (0, 4a ). Definici´ on. Se llaman ejes de una c´ onica eucl´ıdea a: 51

–las rectas que unen los dos focos reales reales o dos focos imaginarios conjugados, en el caso de la hip´erbola o una elipse que no sea una circunferencia (hay dos ejes, que son perpendiculares entre s´ı y se cortan en el centro de la c´onica); –la recta que pasa por el foco de la par´ abola y su punto del infinito. En este caso, se llama directriz de la par´ abola a la recta perpendicular al eje que pasa por el sim´etrico del foco respecto del punto de intersecci´on de la par´ abola con el eje.

52

ESPACIOS PROYECTIVOS 6. Construcci´ on del espacio proyectivo A la vista de c´omo hemos definido primero P2k y luego P1k , est´a claro que puede generalizarse para definir Pnk para n arbitrario. Basta definirlo como el conjunto de elementos (a0 : . . . : an ) (con no todos los ai nulos) tales que (a0 : . . . : an ) = (b0 : . . . : bn ) si y s´olo si on as´ı existe λ ∈ k \ {0} tal que (b0 , . . . , bn ) = λ(a0 , . . . , an ). De todas formas, una definici´ no es muy precisa matem´aticamente. Probemos a dar entonces una descripci´ on alternativa, que valdr´ a en un contexto m´as general. La condici´ on (b0 , . . . , bn ) = λ(a0 , . . . , an ) anterior es en realidad equivalente a decir que los vectores (a0 , . . . , an ) y (b0 , . . . , bn ) generan la as en general, podemos definir: misma recta vectorial en k n+1 . M´ Definici´ on. Se llama proyectivizado de un espacio vectorial V sobre un cuerpo k al conjunto P(V ) de rectas vectoriales de V . Si V = k n+1 , escribiremos simplemente Pnk , y lo llamaremos espacio proyectivo de dimensi´on n. Si consideramos la aplicaci´ on π : V → P(V ) que asocia a cada vector no nulo la recta vectorial que genera en V , tenemos claramente una aplicaci´on suprayectiva, y adem´ as π(v) = π(w) si y s´olo si existe λ ∈ k \ {0} tal que w = λv. Por tanto, la relaci´ on ∼ en V \ {0} definida por v ∼ w ⇔ ∃λ ∈ k \ {0} tal que w = λv es una relaci´on de equivalencia y adem´ as el cociente V \ {0} est´a en biyecci´on con P(V ) en forma natural (asociando a la clase de v la recta vectorial generada por v). Por tanto, podemos tambier dar la siguiente: Definici´ on (otra definici´ on equivalente de espacio proyectivo). El proyectivizado de un espacio vectorial V es el cociente P(V ) de V \ {0} por la relaci´on de equivalencia ∼. Al punto de P(V ) que corresponde a la clase del vector v la denotaremos por [v]. Si V = k n+1 , el punto de Pnk que corresponde a la clase del vector (a0 , . . . , an ) la denotaremos por (a0 : . . . : an ) en vez de [(a0 , . . . , an )]. Si V es un espacio vectorial de dimensi´on finita de dimensi´ on n + 1, tomando una base de V cada vector de V puede representarse por n + 1 coordenadas, por lo que cada elemento de P(V ) puede representarse por un elemento de Pnk . Por tanto, P(V ) se puede identificar con Pnk (ya veremos esto con m´as precisi´on cuando describamos los sistemas de referencia). 53

Definici´ on. Dado un espacio proyectivo P(V ), se llama subespacio proyectivo o lineal de dimensi´ on r a un subconjunto de la forma P(W ), donde W es un subespacio vectorial de dimensi´ on r + 1. A los subespacios proyectivos de dimensi´on uno se les llama rectas, a los de dimensi´ on dos se les llama planos y a los de dimensi´on n − 1 (donde n es la dimensi´on de P(V ), es decir dim(V ) = n + 1) se les llama hiperplanos. Por definici´ on, los subespacios proyectivos de dimensi´ on cero son los puntos. Por convenio, el conjunto vac´ıo (que se puede ver como el proyectivizado del subespacio cero) diremos que tiene dimensi´ on −1. Obs´ervese que una hipersuperficie proyectiva P(W ) de P(V ) es lo mismo que una hipersuperficie vectorial W de V , que viene dada por tanto por una ecuaci´ on, que es una 2 forma lineal no nula sobre V (que es lo que ocurr´ıa para las rectas de Pk ). Adem´as, dos ecuaciones definen la misma hipersuperficie si y s´ olo si son proporcionales. Por tanto, el conjunto de hipersuperficies de P(V ) se identifica con el conjunto de formas lineales no nulas sobre V m´odulo proporcionalidad, es decir, V ∗ \ {0}/ ∼, que es precisamente P(V ∗ ). Generalizando la noci´ on de plano dual, tendremos entonces: Definici´ on. Se llama espacio proyectivo dual de un espacio proyectivo P(V ) al conjunto ∗ P(V ) de todos los hiperplanos de P(V ). Es otro espacio proyectivo que se puede identificar con P(V ∗ ). Por otra parte, una recta P(W ) ⊂ Pnk corresponde a un subespacio W ⊂ k n+1 de dimensi´ on dos, que se podr´ a generar por dos vectores linealmente independientes (a0 , . . . , an ), (b0 , . . . , bn ). Por tanto, un vector (x0 , . . . , xn ) est´a en W (que es lo mismo que decir que el punto (x0 : . . . : xn ) est´a en P(W )) si y s´olo si existen t0 , t1 ∈ k (no ambos nulos) tales que  x0 =a0 t0 + b0 t1    .. .    xn =an t0 + bn t1 con lo que recobramos la parametrizaci´ on de las rectas (y no s´olo en

P2k ).

Observaci´ on 6.1. Dados subespacios P(W1 ), . . . , P(Ws ) de un espacio proyectivo P(V ), se pueden hacer las siguientes operaciones: a en los elementos [v] tales que v –La intersecci´on P(W1 ) ∩ . . . ∩ P(Ws ), que consistir´ est´a en cada Wi , es decir, que P(W1 ) ∩ . . . ∩ P(Ws ) = P(W1 ∩ . . . ∩ Ws ), con lo que en particular la intersecci´ on de subespacios es otro subespacio. –El m´ınimo subespacio P(W ) que los contiene, luego W ser´a el m´ınimo subespacio vectorial que contiene a W1 , . . . , Ws , es decir, W = W1 + . . . + Ws . 54

Definici´ on. Se llama subespacio generado por los subespacios P(W1 ), . . . , P(Ws ), y lo denotaremos por < P(W1 ), . . . , P(Ws ) > al m´ınimo subespacio proyectivo que los contiene. Como hemos visto, < P(W1 ), . . . , P(Ws ) >= P(W1 + . . . + Ws ). Proposici´ on 6.2 (f´ ormula de Grassmann). Sean de P(V ). Entonces

P(W1 ), P(W2 ) subespacios proyectivos

dim < P(W1 ), P(W2 ) >= dim P(W1 ) + dim P(W2 ) − dim P(W1 ∩ W2 ). Demostraci´ on: Hemos visto que < P(W1 ), P(W2 ) >= P(W1 +W2 ), luego por definici´ on tenormula de Grassmann dremos que dim < P(W1 ), P(W2 ) >= dim(W1 + W2 ) − 1, que por la f´ vectorial ser´a igual a dim W1 + dim W2 − dim(W1 − W2 ) = (dim W1 − 1) + (dim W2 − 1) − (dim(W1 ∩W2 )−1), que por definici´ on es igual a dim P(W1 )+dim P(W2 )−dim P(W1 ∩W2 ).

Corolario 6.3. Sean Λ, Λ
dos subespacios proyectivos de dimensiones respectivas r, r
en un espacio proyectivo de dimensi´ on n. Entonces, si r + r
≥ n, la intersecci´on de Λ y Λ
tiene dimensi´on al menos r + r
− n (y por tanto es no vac´ıa). Demostraci´ on: Por la f´ ormula de Grassmann, dim(Λ ∩ Λ
) = r + r
− dim < Λ, Λ
>. Como claramente dim < Λ, Λ
>≥ n, el resultado se sigue inmediatamente. Corolario 6.4. Sea Λ un subespacio proyectivo de dimensi´ on r. Entonces, si H es un hiperplano que no contiene a Λ, Λ ∩ H tiene dimensi´ on r − 1 (por ejemplo, una recta y un hiperplano que no la contiene se intersecan exactamente en un punto). Demostraci´ on: De nuevo por la f´ ormula de Grassmann, se tiene que dim(Λ ∩ H) = n − 1 + r − dim < Λ, H >. Como Λ ⊆ / H, se sigue que H ⊆ / < Λ, H >, por lo que < Λ, H > tiene dimensi´ on mayor que n − 1 (y por tanto es el total), es decir dim < Λ, H >= n, de donde se obtiene dim(Λ ∩ H) = r − 1. Ejemplo 6.5.Consideramos en P5k , donde usaremos coordenadas (a0 : a1 : a2 : a3 : a4 : a5 ), el subespacio de ecuaciones  a0    

a0

a3 +a1

+a2

+a3 55

+a4

a5 +a5

=0 =0 =0 = 0.

Como corresponde a un plano vectorial en k 6 , entonces es una recta L ⊂ P5 , que podremos parametrizar como   a0 = 0      a1 = t0      a2 = t1  a3 = 0       a4 = −t0 − t1     a5 = 0 Este ejemplo no est´a escogido al azar. De hecho, un punto (a0 : a1 : a2 : a3 : a4 : a5 ) ∈ P5k se puede identificar con la c´onica de P2k de ecuaci´on a0 X02 + a1 X0 X1 + a2 X0 X2 + a3 X12 + a4 X1 X2 + a5 X22 = 0 (ya que dos ecuaciones definen la misma c´onica si y s´olo si sus ecuaciones tienen sus coeficientes proporcionales). Con esta identificaci´on, se observa inmediatamente que onica. • a0 = 0 si y s´olo si el punto (1 : 0 : 0) pertenece a la c´ • a1 = 0 si y s´olo si el punto (0 : 1 : 0) pertenece a la c´ onica. onica. • a3 = 0 si y s´olo si el punto (0 : 0 : 1) pertenece a la c´ • a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0 si y s´olo si el punto (1 : 1 : 1) pertenece a la c´ onica.

Por tanto, L se interpreta dentro del conjunto de las c´ onicas de P2k como el subconjunto de aqu´ellas que pasan por los puntos (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1). La parametrizaci´on anterior de L nos est´a diciendo que cualquier c´ onica que pase por dichos puntos se puede escribir de la forma t0 (X0 X1 − X1 X2 ) + t1 (X0 X2 − X1 X2 ). Obs´ervese que se obtiene entonces una combinaci´on lineal gen´erica del par de rectas X1 (X0 − X2 ) (que son las rectas que pasan respectivamente por (1 : 0 : 0), (0 : 0 : 1) y por (0 : 1 : 0), (1 : 1 : 1)) y del par de rectas X2 (X0 − X1 ) (que son las rectas que pasan respectivamente por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) y por (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1)). Definici´ on. Se llama haz de c´ onicas a un subconjunto L de c´onicas de P2k , que, visto como subconjunto de P5k , forme una recta L ⊂ P5k . Observaci´ on 6.6. Identificaremos, como en el ejemplo anterior, el conjunto de c´ onicas 5 con Pk . Para cualquier punto p = (b0 : b1 : b2 ), el conjunto Hp de las c´onicas que pasan por p tiene ecuaci´on b20 a0 + b0 b1 a1 + b0 b2 a2 + b21 a3 + b1 b2 a4 + b22 a5 = 0, que es un hiperplano en P5k (el rec´ıproco no es cierto: es un simple ejercicio ver que, por ejemplo, el hiperplano a1 = 0 no corresponde a las c´ onicas que pasan por alg´ un punto). Por tanto, uno se espera 56

que las c´onicas que pasan por cuatro puntos (al ser la intersecci´ on de cuatro hiperplanos on uno, es decir, un haz. El siguiente de P5k ) sea un subconjunto proyectivo de dimensi´ resultado da la respuesta completa. Proposici´ on 6.7. Sean p1 , p2 , p3 , p4 ∈ P2k cuatro puntos distintos. Entonces: (i) El conjunto de c´ onicas que pasan por p1 , p2 , p3 es un subconjunto proyectivo de P5k de dimensi´ on dos. olo si no existe (ii) El conjunto de c´ onicas que pasan por p1 , p2 , p3 , p4 forma un haz si y s´ una recta que pase por p1 , p2 , p3 , p4 . Demostraci´ on: La idea para demostrar (i) es aplicar sucesivamente el Lema 6.4 para calcular la dimensi´ on del subconjunto Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 (que es precisamente el conjunto de c´onicas que pasan por p1 , p2 , p3 ). En primer lugar, Hp1 es un hiperplano, luego tiene dimensi´ on cuatro. Claramente Hp1 no est´a contenido en Hp2 (basta tomar una recta doble que pase por p1 y que no pase por p1 ), as´ı que el Lema 6.4 implica que Hp1 ∩ Hp2 tiene dimensi´ on tres. De nuevo, Hp1 ∩ Hp2 no est´a contenido en el hiperplano Hp3 (t´ omese por ejemplo un par de rectas, una que pase por p1 y no por p3 y otra que pase por p2 y no por p3 ), con lo que el Lema 6.4 nos dice ahora que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 tiene dimensi´on dos, lo que demuestra (i). Para demostrar (ii), supongamos en primer lugar que no existe ninguna recta que contenga a p1 , p2 , p3 , p4 . Por tanto, el punto p4 no puede estar al mismo tiempo en las rectas p1 p2 , p1 p3 , p2 p3 . Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer por ejemplo que p4 no est´a en p1 p2 . Tomando entonces la c´onica formada por la recta p1 p2 y cualquier recta que pase por p3 pero no por p4 , se concluye que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 no est´a contenido en Hp4 . Aplicando una vez m´ as el Lema 6.4, se concluye que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 ∩ Hp4 tiene dimensi´ on uno, luego es efectivamente un haz de c´ onicas. on u0 X0 + Si en cambio suponemos que p1 , p2 , p3 , p4 est´an todos en una recta de ecuaci´ 2 u1 X1 + u2 X2 = 0, entonces todas las c´onicas de la forma t0 (u0 X0 + u1 X0 X1 + u2 X0 X2 ) + t1 (u0 X0 X1 +u1 X12 +u2 X1 X2 )+t2 (u0 X0 X2 +u1 X1 X2 +u2 X22 ) = 0 pasan por p1 , p2 , p3 , p4 . Esto da un subespacio de P5k de ecuaciones param´etricas  a0    a    1 a2 a3       a4 a5

= u 0 t0 = u 1 t0 = u 2 t0 = = =

+ u 0 t1 + u 0 t2 u 1 t1 u 2 t1 57

+ u 1 t2 u 2 t2



 u0 0 0  u1 u0 0     u2 0 u0  Dado que la matriz de coeficientes   tiene claramente rango tres (ya que  0 u1 0    0 u2 u1 0 0 u2 on u0 , u1 , u2 no son todos nulos), estas ecuaciones definen un subespacio vectorial de dimensi´ 5 5 on dos de Pk . Esto demuestra que tres de k y por tanto un subespacio proyectivo de dimensi´ el conjunto de c´ onicas que pasan por p1 , p2 , p3 , p4 no es un haz (y de hecho es exactamente un subespacio proyectivo de dimensi´ on dos de P5k , ya que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 ∩ Hp4 est´a contenido en Hp1 ∩Hp2 ∩Hp3 , que por (i) tiene dimensi´ on dos; esto demuestra que, adem´as, las c´onicas que pasan por p1 , p2 , p3 , p4 consisten en un par de rectas, una de las cuales es la que contiene a p1 , p2 , p3 , p4 ). La pregunta natural es: ¿Son todos los haces de c´ onicas de la forma anterior (es decir, conjuntos de c´ onicas que pasan por cuatro puntos no alineados)? Para responder a eso, damos primero la siguiente: Definici´ on. Se llama base de un haz de c´ onicas al conjunto de puntos de todas las c´onicas de un haz.

P2k que est´an en

onicas. Entonces, dadas dos c´ onicas cualesquiera de Lema 6.8. Sea A ⊂ P5k un haz de c´ C1 , C2 ∈ A, la base de A es C1 ∩ C2 . Por tanto, la base de A o bien es un conjunto finito de a lo m´as cuatro punto, o bien es una recta y un punto o bien es una recta. Demostraci´ on: Evidentemente, como los puntos de la base de A est´an en cada c´ onica del haz, en particular est´ an en C1 y C2 , luego est´an en C1 ∩ C2 . Rec´ıprocamente, sea p un punto de la intersecci´ on de C1 y C2 . Si F1 , F2 ∈ k[X0 , X1 , X2 ] son ecuaciones de C1 y C2 respectivamente, se tendr´a que F (p1 ) = F (p2 ) = 0. Por tanto, como cualquier c´ onica de A tiene de ecuaci´on t0 F1 + t1 F2 y evidentemente t0 F1 (p) + t1 F2 (p) = 0, entonces p est´a tambi´en en cualquier c´ onica del haz. Para ver c´ omo puede ser la base de A, supongamos en primer lugar que A contiene una c´ onica no degenerada C1 . Si es imaginaria, entonces claramente la base del haz es el conjunto vac´ıo. Si C1 no es imaginaria, entonces se puede parametrizar, y al cortar con cualquier otra c´ onica del haz obtenemos cuatro puntos (contados con multiplicidad, luego el n´ umero de puntos distintos puede ser menor que cuatro). Supongamos en cambio que todas las c´ onicas de A son degeneradas. Si todas fueran rectas dobles, entonces es claro que la base del haz ser´ıa exactamente un punto (el de intersecci´on de dos de las rectas dobles cualesquiera del haz). Si en cambio existe un par de rectas L1 ∪ L2 en A, entonces otro par de rectas en A o bien consiste en dos rectas 58

ambas distintas a L1 , L2 (con lo que la base del haz ser´ a un conjunto de a lo m´ as cuatro puntos) o bien ser´ a la uni´ on de, por ejemplo, L1 con otra recta L
2 (en cuyo caso la base de A es L1 m´as el punto de intersecci´ on de L2 y L
2 , que podr´ıa estar dentro de L1 . Observaci´ on 6.9. No es dif´ıcil construir ejemplos de haces de c´onicas para cada una de las posibles bases dadas por el resultado anterior. Obs´ervese que, en los casos en que la base del haz es un conjunto de puntos, en realidad se puede considerar que salen siempre cuatro puntos, si se incluyen los imaginarios y tambi´en la multiplicidad. Por ejemplo, la base del haz de c´onicas reales t0 (X0 X2 − X12 ) + t1 (X02 + X12 ) = 0 consiste en el punto (0 : 0 : 1), contado con multiplicidad dos, y en los puntos imaginarios (1 : i : −1), (1 : −i : −1) (al sustituir la parametrizaci´ on (s20 : s0 s1 : s21 ) de la primera c´onica se obtiene s20 (s20 + s21 )). Si la base del haz es una recta L1 y un punto p fuera de ella, onicas que pasan tomando p1 , p2 , p3 ∈ L, el haz se puede describir como el conjunto de c´ por p1 , p2 , p3 , p. Si en cambio el haz de c´onicas son los pares de rectas tales que una de las rectas es L y la otra pasa por un punto p ∈ L, entonces, tomando p1 , p2 ∈ L distintos de p, se podr´ıa ver el haz como el conjunto de c´ onicas que pasan por p1 , p2 y “pasan dos veces” por p. Por tanto, en cualquiera de los casos un haz se puede describir como el conjunto de c´onicas que pasan por cuatro puntos, aunque alguno cuente varias veces o sea imaginario. Observaci´ on 6.10. N´otese que todos los haces de c´onicas contienen c´onicas degeneradas. La mejor forma de verlo es con un ejemplo. Si consideramos el haz de la observaci´ on anterior, la matriz de una c´ onica del haz ser´a   t0 0 t1 2  0 t0 − t 1 0  t0 0 0 2 luego la c´ onica ser´a degenerada si y s´ olo si la matriz tiene determinante cero, es decir,  t0 2 (t0 − t1 ) = 0, que nos da las soluciones (t0 : t1 ) = (0 : 1) con multiplicidad dos 2 y (t0 : t1 ) = (1 : 1), que dan respectivamente las c´ onicas X02 + X12 = 0 (par de rectas imaginarias conjugadas) y X0 (X0 + X2 ) = 0 (par de rectas reales). En principio, puede parecer extra˜ no que el u ´ltimo par de rectas pase con multiplicidad dos por (0 : 0 : 1), ya que s´olo la rectas X0 = 0 pasa por ese punto. En realidad, es que el hecho de pasar con multiplicidad dos por un punto es m´ as sofisticado de la idea intuitiva que hemos dado. Por ejemplo, en este caso, las c´onicas del haz pasan por (0 : 0 : 1) con recta tangente X0 = 0, es decir, que pasan por el punto y por otro “infinitamente pr´ oximo” en esa direcci´on (otra forma de decirlo, para incluir tambi´en las c´onicas degeneradas, es que la recta X0 = 0 corta a las c´onicas del haz en (0 : 0 : 1) con multiplicidad dos). 59

En general, el determinante de la matriz de la c´ onica general del haz es o bien id´enticamente nulo (si todas las c´onicas del haz son degeneradas) o bien homog´eneo de grado tres en t0 , t1 , con lo que da tres soluciones contadas con multiplicidad. Por ejemplo, en el caso m´ as general del haz de c´onicas que pasan por cuatro puntos p1 , p2 , p3 , p4 tales que no hay tres alineados, hay tres c´ onicas degeneradas, que son los pares de rectas p1 p2 ∪ p3 p4 , p1 p3 ∪ p2 p4 y p1 p4 ∪ p 2 p3 . Estudiamos ahora la dualidad en el espacio proyectivo, que no es sino la traducci´ on de la dualidad en espacios vectoriales. Teorema 6.11. Sea P(V ) un espacio vectorial de dimensi´ on n. Para cada subespacio proyectivo Λ ⊂ P(V ) definimos Ω(Λ) := {H ∈ P(V )∗ | Λ ⊂ H} y para cada subespacio proyectivo A ⊂ P(V )∗ definimos Ω∗ (A) :=



H.

H∈A

Entonces: (i) Si dim Λ = r, entonces Ω(Λ) es un subespacio proyectivo de n − r − 1.

P(V )∗

de dimensi´ on

P(V )

de dimensi´ on

(ii) Si dim A = s, entonces Ω∗ (A) es un subespacio proyectivo de n − s − 1.

(iii) Ω y Ω∗ definen biyecciones entre el conjunto de subespacios proyectivos de P(V ) y el conjunto de subespacios proyectivos de P(V ) que son inversas la una de la otra.

(iv) Si Λ, Λ
son subespacios proyectivos de P(V ), entonces Ω(Λ ∩ Λ
) =< Ω(Λ), Ω(Λ
) > y Ω(< Λ, Λ
>) = Ω(Λ) ∩ Ω(Λ
). (v) Si A, A
son subespacios proyectivos de P(V )∗, entonces Ω∗ (A∩A
) =< Ω∗ (A), Ω∗ (A
) > y Ω∗ (< A, A
>) = Ω∗ (A) ∩ Ω∗ (A
). Demostraci´ on: A lo largo de la demostraci´ on supondremos fijada una base de V , con lo que trabajaremos con coordenadas respecto de esa base. Para demostrar (i), un subespacio Λ ⊂ P(V ) de dimensi´ on r corresponder´ a a un subespacio de vectorial de V de dimensi´ on r + 1, por lo que se podr´ a poner como el subespacio generado por vectores independientes (a00 , . . . , a0n ), . . . , (ar0 , . . . , arn ). Entonces, una forma lineal u0 X0 + . . . + un Xn ∈ V ∗ define un hiperplano de P(V ) que contiene a Λ 60

si y s´olo si

 a00 u0 + . . . + a0n un = 0    .. .    ar0 u0 + . . . + arn un = 0.

Por tanto, ´estas son las ecuaciones de Ω(Λ), por lo que representa un subespacio de P(V )∗ . Adem´as, como las r + 1 ecuaciones son linealmente independientes, es un subespacio dimensi´on n − r − 1. Para ver (ii), supongamos que A corresponde al subespacio de de V ∗ generado por las formas lineales independientes  H0 =u00 X0 + . . . + u0n Xn    .. .    Hs =us0 X0 + . . . + usn Xn . Es claro que la intersecci´on en P(V ) de los hiperplanos de A coincide con la intersecci´on de los hiperplanos definidos por H0 , . . . , Hs . Al ser independientes, la intersecci´ on de dichos hiperplanos es un subespacio de P(V ) de dimensi´ on n − s − 1.

Para la parte (iii), observemos que que para todo subespacio Λ ⊂ P(V ) se tiene   Ω∗ (Ω(Λ)) = H∈Ω(Λ) H = H⊃Λ H, que claramente contiene a Λ. Como (i) y (ii) implican que Ω∗ (Ω(Λ)) y Λ tienen la misma dimensi´on, se sigue entonces la igualdad Ω∗ (Ω(Λ)) = Λ. on A ⊂ De la misma forma, para cualquier subespacio A ⊂ P(V )∗ se tiene la inclusi´ ∗ ∗ Ω(Ω (A)) (ya que cualquier hiperplano de A contiene a Ω (A), que es la intersecci´on de todos los hiperplanos de A), y de nuevo por (i) y (ii) es una igualdad. De (iv) y (v) son inmediatas a partir de la definici´ on las igualdades Ω(< Λ, Λ
>) = Ω(Λ) ∩ Ω(Λ
) y Ω∗ (< A, A
>) = Ω∗ (A) ∩ Ω∗ (A
). Las otras dos se obtienen a partir de las biyecciones Ω y Ω∗ . Por ejemplo, para demostrar la igualdad Ω(Λ ∩ Λ
) =< Ω(Λ), Ω(Λ
) > basta demostrar la igualdad Ω∗ (Ω(Λ ∩ Λ
)) = Ω∗ (< Ω(Λ), Ω(Λ
) >). Pero el t´ermino de la izquierda es Λ ∩ Λ
por (iii), y el t´ermino de la derecha es, como acabamos de observar, igual a Ω∗ (Ω(Λ)) ∩ Ω∗ (Ω(Λ
)), que de nuevo por (iii) es igual a Λ ∩ Λ∗ . Definici´ on. Llamaremos sistema lineal de hiperplanos de dimensi´ on s a un subconjunto ∗ proyectivo A ⊂ P(V ) de dimensi´ on s. Si s = 1, al sistema lineal lo llamaremos haz de hiperplanos. Por el teorema anterior, un sistema lineal de hiperplanos es el conjunto de 61

hiperplanos de P(V ) que contienen a un subespacio proyectivo Λ ⊂ P(V ) de dimensi´ on n − s − 1. Adem´as, si M0 , . . . , Ms ∈ V ∗ son s + 1 formas lineales independientes que definen a Λ, entonces los hiperplanos del sistema lineal Ω(Λ) son los de ecuaciones λ0 M0 + . . . + λs Ms = 0 con λ0 , . . . , λs ∈ k.

62

7. Aplicaciones proyectivas Ya hemos observado que para dar coordenadas en el espacio proyectivo P(V ) basta dar una base de V y tomar coordenadas respecto de dicha base. Por ejemplo, una recta en P2k corresponder´a a un subespacio vectorial de dimensi´on dos de k3 , que estar´a generado por dos vectores (a0 , a1 , a2 ) y (b0 , b1 , b2 ). Entonces, podemos decir que un punto de la recta tiene coordenadas (t0 : t1 ) si es el punto (a0 t0 + b0 t1 : a1 t0 + b1 t1 : a2 t0 + b2 t1 ). En otras palabras, dar coordenadas en la recta no es m´ as que dar una parametrizaci´ on de la misma. Ya observamos (Observaci´on 2.10y Teorema 2.11) que la parametrizaci´ on no est´ a determinada por los puntos (a0 : a1 : a2 ) y (b0 : b1 : b2 ), sino que hace falta un tercer punto. En general, habr´ a que a˜ nadir siempre otro punto para obtener una base: Proposici´ on 7.1. Sea p0 , . . . , pn+1 un conjunto de n + 2 puntos de un espacio proyectivo P(V ) tales que no haya ning´un hiperplano que contenga a n + 1 de ellos. Entonces existe una base {v0 , . . . , vn } de V tal que p0 =[v0 ] .. . pn =[vn ] pn+1 =[v0 + . . . + vn ]. Adem´as, cualquier otra base que verifique lo mismo es de la forma {λv0 , . . . , λvn } para alg´ un λ ∈ k \ {0}. Demostraci´ on: Sean w0 , . . . , wn+1 ∈ V tales que p0 = [w0 ], . . . , pn+1 = [wn+1 ]. Como p0 , . . . , pn no est´an en ning´ un hiperplano de P(V ), w0 , . . . , wn no est´an en ning´ un hiperplano de V , es decir, son linealmente independientes, por lo que forman una base de V . Tendremos entonces una relaci´on wn+1 = λ0 w0 + . . . + λn wn donde adem´ as λ0 , . . . , λn son todos no nulos (si fuera λi = 0, entonces los vectores w0 , . . . , wi−1 , wi+1 . . . , wn+1 ser´ıan linealmente dependientes, con lo que estar´ıan en un hiperplano, luego los puntos p0 , . . . , pi−1 , pi+1 . . . , pn+1 estar´ıan en un hiperplano, en contra de nuestra hip´ otesis). Basta tomar entonces v0 = λ0 w0 , . . . , vn = λn wn . Supongamos ahora que tenemos v0
, . . . , vn
∈ V tales que p0 =[v0
] .. . pn =[vn
] pn+1 =[v0
+ 63

. . . . + vn
]

Entonces extistir´ an µ0 , . . . , µn+1 tales que v0
=µ0 v0 .. . vn
=µn vn v0
+ . . . + vn
=µn+1 (v0 + . . . + vn ). Sumando las n + 1 primeras igualdades y sustituyendo en la u ´ltima, obtenemos µ0 v0 + . . . + µn vn = µn+1 v0 + . . . + µn+1 vn . Como v0 , . . . , vn forman una base (en particular son linealmente independientes) se tiene que µ0 = . . . = µn = µn+1 , que es lo que quer´ıamos demostrar (llamando λ a este valor com´ un). Definici´ on. Un conjunto de puntos en posici´ on general en un espacio proyectivo P(V ) es un conjunto de puntos p0 , . . . , ps tales que cualesquiera pi0 , . . . , pir distintos (con r ≤ n) generan un subespacio proyectivo de dimensi´ on r. En otras palabras: –Si s ≤ n, los puntos generan un subespacio de dimensi´ on s. –Si s ≥ n, no existe un hiperplano de cardinal n + 1 de los p0 , . . . , ps .

P(V )

que contenga ning´ un subconjunto de

Se llama referencia proyectiva de P(V ) a un conjunto ordenado de n + 2 puntos en posici´ on general. Se llama base asociada a una referencia proyectiva a cualquiera de las bases que proporciona el Teorema 7.1. Corolario 7.2. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimensi´ on n y sea R una referencia n proyectiva de P(V ). Entonces la aplicaci´on ϕR : Pk → P(V ) que asocia a cada (a0 : . . . : an ) el punto de P(V ) que corresponde a un vector v ∈ V de coordenadas (a0 , . . . , an ) respecto de una base asociada a R est´a bien definida y es biyectiva. Demostraci´ on: Sea B = {v0 , . . . , vn } una base asociada a R. Tenemos entonces un isomorfismo ψB : k n+1 → V de espacios vectoriales que asocia a cada (a0 , . . . , an ) el vector a0 v0 + . . . + an vn . Entonces debe ser ϕR (a0 : . . . : an ) = [ψB (a0 , . . . , an )], con lo que para estar bien definido hay que ver que este valor no depende ni del representante de (a0 : . . . : an ) ni de la base asociada B. En primer lugar, si (a0 : . . . : an ) = (a
0 : . . . : a
n ), entonces existe λ ∈ k \ {0} tal que (a
0 , . . . , a
n ) = µ(a0 , . . . , an ), luego ψB (a
0 , . . . , a
n ) = λψB (a0 , . . . , an ), y por tanto [ψB (a0 , . . . , an )] = [ψB (a
0 , . . . , a
n )]. 64

En segundo lugar, si B
fuera otra base asociada a R, por el Teorema 7.1 se sigue que existe λ ∈ k \ {0} tal que B
= {λv0 , . . . , λvn }. Por tanto, ψB
(a0 , . . . , an ) = a0 λv0 + . . . + an λvn = λ(a0 v0 + . . . + an vn ) = λψB (a0 , . . . , an ) es decir, [ψB (a0 , . . . , an )] = [ψB
(a0 , . . . , an )]. Definici´ on. Dado un punto [v] ∈ P(V ), se llaman coordenadas respecto a una referencia proyectiva R = {p0 , . . . , pn , pn+1 } a ϕ−1 R ([v]), es decir, a (a0 : . . . : an ), donde (a0 , . . . , an ) son las coordenadas de v respecto de cualquier base asociada a la referencia proyectiva. Obs´ervese que las coordenadas respecto de R de los puntos p0 , . . . , pn , pn+1 son, respectivamente, (1 : 0 : . . . : 0), . . . , (0 : . . . : 0 : 1), (1 : . . . : 1). El punto pn+1 se llama punto unidad de la referencia. Se llama referencia can´ onica de Pnk a la referencia {(1 : 0 : . . . : 0), . . . , (0 : . . . : 0 : 1), (1 : . . . : 1)}. La demostraci´on del Corolario 7.2 se puede generalizar: Proposici´ on 7.3. Sean V, W dos espacios vectoriales de dimensi´on n + 1 sobre k. Entonces: (i) Si ψ : V → W es un isomorfismo de espacios vectoriales, la aplicaci´on ϕ : P(V ) → P(W ) dada por ϕ([v]) = [ψ(v)] est´a bien definida y es una biyecci´on.

(ii) Si {p0 , . . . , pn , pn+1 } es una referencia proyectiva de P(V ) y {v0 , . . . , vn } es una base asociada, {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pn ), ϕ(pn+1 )} es una referencia proyectiva de P(W ) con base asociada {ψ(v0 ), . . . , ψ(vn )}.

on ϕ : P(V ) → P(W ) si y (iii) Dos isomorfismos ψ, ψ
: V → W definen la misma aplicaci´
s´olo si existe λ ∈ k \ {0} tal que ψ = λψ. Demostraci´ on: Para demostrar (i), observamos primero que ψ(v) = 0 si v = 0, con lo que tiene sentido hablar de [ψ(v)]. Adem´ as, [v] = [v
] si y s´olo si existe λ ∈ k \ {0} tal que v
= λv, que es equivalente (por ser ψ un biyectiva) a ψ(v
) = ψ(λv); como ψ es un homomorfismo de espacios vectoriales, ψ(λv) = λψ(v), por lo que la igualdad anterior es equivalente a [ψ(v
)] = [ψ(v)]. Esto demuestra que ϕ est´a bien definida y es inyectiva. La suprayectividad de ϕ es inmediata, ya que dado [w] ∈ P(W ), por la suprayectividad de ψ tenemos que existe v ∈ V tal que w = ψ(v). Adem´as, como w = 0 y ψ es homomorfismo, se sigue que v = 0. Por tanto, [w] = ϕ([v]). La parte (ii) es una consecuencia de las igualdades ϕ(p0 ) = ϕ([v0 ]) = [ψ(v0 )] .. . 65

ϕ(pn ) = ϕ([vn ]) = [ψ(vn )] ϕ(pn+1 ) = ϕ([v0 + . . . + vn ]) = [ψ(v0 + . . . + vn )] = [ψ(v0 ) + . . . + ψ(vn )] Para la parte (iii), es claro que cualquier isomorfismo de la forma λψ define la misma aplicaci´ on ϕ que ψ. Rec´ıprocamente, supongamos que ψ, ψ
definen la misma ϕ. Tomamos {p0 , . . . , pn , pn+1 } una referencia proyectiva de P(V ) y {v0 , . . . , vn } una base asociada suya. Por (ii), {ψ(v0 ), . . . , ψ(vn )} como {ψ
(v0 ), . . . , ψ
(vn )} son bases de W ser´an dos bases asociadas de {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pn ), ϕ(pn+1 )}. Por la Proposici´ on 7.1, existe λ ∈ k \ {0} tal que ψ
(v0 ) = λψ(v0 ) .. . ψ
(vn ) = λψ(vn ) lo que implica que ψ
= λψ. Definici´ on. Se llama proyectividad entre dos espacios proyectivos P(V ) y P(W ) a una biyecci´on obtenida como en la Proposici´ on 7.3 a partir de un isomorfismo entre V y W . Se llama parametrizaci´ on de un espacio proyectivo P(V ) a una proyectividad entre Pnk y P(V ). Teorema 7.4 (segundo teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva). Sean P(V ) y P(W ) dos espacios proyectivos de dimensi´on n y referencias respectivas {p0 , . . . , pn , pn+1 } ´nica proyectividad ϕ : P(V ) → P(W ) tal que y {q0 , . . . , qn , qn+1 }. Entonces existe una u ϕ(pi ) = qi para i = 0, . . . , n + 1. Demostraci´ on: Supongamos que ϕ venga definida a partir de un isomorfismo ψ : V → W y veamos que ψ es u ´nico salvo multiplicaci´ on por constante. Si {v0 , . . . , vn } es una base on 7.3(ii), {ψ(v0 ), . . . , ψ(vn )} es una asociada a {p0 , . . . , pn , pn+1 }, entonces por la Proposici´ base asociada a {q0 , . . . , qn , qn+1 }. Como por la Proposici´ on 7.1 existen bases asociadas a {q0 , . . . , qn , qn+1 } y todas son proporcionales entre ellas, existen isomorfismos ψ en esas condiciones y todos ellos son proporcionales entre s´ı. El motivo de empezar estudiando las aplicaciones que inducen los isomorfismos vectoriales es que una aplicaci´ on lineal arbitraria F : V → W no da lugar a una aplicaci´ on f : P(V ) → P(W ) bien definida (la definici´ on seguir´ıa siendo f ([v]) = [F (v)]). Siguiendo la demostraci´on de la Proposici´ on 7.3, se observa que el problema es que, si F no es inyectiva, existen vectores no nulos v ∈ ker F y entonces f ([v]) no est´ a definida. Indicaremos el hecho de que una aplicaci´ on no est´e definida en todos los puntos con la notaci´ on f : P(V )-----> P(W ). 66

Definici´ on. Se llama aplicaci´ on proyectiva entre dos espacios proyectivos P(V ) y P(W ) a on lineal no nula F : V → W . una aplicaci´ on f : P(V )-----> P(W ) definida por una aplicaci´ El subespacio P(ker F ) se llama centro de la aplicaci´ on proyectiva. Ejemplo 7.5. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimensi´ on n y sean Λ, Λ
dos subespacios disjuntos de dimensiones r y n − r − 1 (luego por la f´ ormula de Grassmann, < Λ, Λ
>= P(V ). Para cada p ∈ P(V ) \ Λ, podemos considerar el subespacio < p, Λ >, que por la f´ ormula de Grassmann tiene dimensi´ on r + 1. De nuevo por la f´ ormula de Grassmann,

dim(< p, Λ > ∩Λ ) = 0, es decir, es un punto p . Veamos que la aplicaci´on f : P(V )\Λ → Λ
es proyectiva (y se llama proyecci´ on lineal de centro Λ sobre Λ
). Sean W, W
los subespacios vectoriales de V que corresponden respectivamente a Λ, Λ
. Como Λ ∩ Λ
= ∅, se tiene W ∩ W
= 0, y como dim W = r + 1 y dim W
= n − r se sigue que V = W + W
. Entonces, para cada v ∈ W se puede escribir de forma u ´nica v = w + w
, con w ∈ W y w
∈ W
\ {0}. Por tanto, se tiene w
= v − w, que claramente est´a en L[v] + W . En otras palabras, el punto [w
] de P(V ) est´a tanto en < [v], Λ > como en P(W
). Como hemos visto que si [v] ∈ P(V ) \ P(W ) hay un u ´nico


punto en < [v], Λ > ∩P(W ), necesariamente es [w ], por lo que f ([v]) = [w ]. Dado que la ´nico vector w
tal que v = w + w
es un aplicaci´ on F : V → W
que asocia a cada v el u homomorfismo, se sigue que f es proyectiva. Podemos ahora generalizar la Proposici´ on 7.3: Proposici´ on 7.6. Sea F : V → V
un homomorfismo no nulo de espacios vectoriales y sea f : P(V )-----> P(W ) la aplicaci´ on proyectiva inducida. Entonces (i) Im f = P(Im F ), luego es un subespacio proyectivo de dim P(V ) − dim(centro de f ) − 1.

P(W )

que tiene dimensi´ on

(ii) f es suprayectiva si y s´olo si F es suprayectiva. (iii) f es inyectiva (donde est´a definida) si y s´ olo si F es inyectiva, es decir, si y s´olo si el centro de f es vac´ıo (y por tanto f est´a definida en todo P(V )). (iv) f es una proyectividad si y s´ olo si F es un isomorfismo. on proyectiva f si y (v) Otro homomorfismo no nulo F
: V → W define la misma aplicaci´
s´olo si existe λ ∈ k \ {0} tal que F = λF . Demostraci´ on: Para demostrar (i), basta observar que los elementos de Im f son los elementos de la forma f ([v]), con v ∈ V \ ker F , es decir, los elementos de la forma [F (v)] con F (v) = 0, es decir, los elementos de P(Im F ). La f´ ormula de la dimensi´ on es consecuencia inmediata de la igualdad dim(Im F ) = dim V − dim ker F . La parte (ii) es inmediata a partir de (i), de la misma forma que (iv) es consecuencia de (ii) y (iii). 67

Para ver (iii), hay que trabajar un poco m´ as. Supongamos primero que F es inyectiva. Entonces, si f ([v]) = f ([v
], se tiene que [F (v)] = F (v
)], por lo que existe λ ∈ k \ {0} tal que F (v
) = λF (v). Esto implica que F (v
) = F (λv), que, por la inyectividad de F implica v
= λv, es decir, [v] = [v
], con lo que f es inyectiva. Rec´ıprocamente, supongamos ahora que f es inyectiva y veamos que ker F = 0. Para ello, tomamos v ∈ ker F y fijamos cualquier v
∈ V \ ker F . Entonces tendremos F (v + v
) = F (v) + F (v
) = F (v
) = 0, con lo que tendremos f ([v + v
]) = f ([v
]). Por la inyectividad de f , existe λ ∈ k \ {0} tal que a λ = 1, v + v
= λv
. Aplicando F , tendremos F (v
) = λF (v
), y como F (v
) = 0, se tendr´ por lo que v = 0, lo que demuestra ker F = 0. Finalmente, para ver (v), es evidente que dos aplicaciones lineales proporcionales definen la misma aplicaci´ on proyectiva. Rec´ıprocamente, supongamos que F y F
definen la misma aplicaci´on proyectiva f : P(V )-----> P(W ). En particular, el centro de f es tanto P(ker F ) como P(ker F
), y la imagen de f es tanto P(Im F ) como P(Im F
). Por tanto, ker F = ker F
e Im F = Im F
. Sea V
⊂ V un subespacio vectorial complementario de ker F , es decir, V = ker F ⊕ V
y sea W
= Im F = Im F
. Es entonces evidente que F|V
, FV

: V
→ W
son dos isomorfismos que definen la misma proyectividad f|P(W
) : P(V
) → P(W
). Por tanto, por la Proposici´on 7.3(iii), existe λ ∈ k\{0} tal que F|V

, λFV
. Sea ahora cualquier v ∈ V . Como V = ker F ⊕ V
, podremos escribir v = v0 + v
, con v0 ∈ ker F = ker F
y v
∈ V
. Por tanto, F
(v) = F
(v0 +v
) = F
(v0 )+F
(v
) = 0+λF (v) = λF (v0 )+λF (v) = λF (v0 +v
) = λF (v) lo que demuestra que F
= λF . El resultado anterior nos permite dar las siguientes definiciones: Definici´ on. Se llama matriz de una aplicaci´ on proyectiva f : P(V )-----> P(V ) respecto de un
on lineal par de sistemas de referencia R, R de P(V ) y P(W ) a una matriz de una aplicaci´

F : V → W que induzca f respecto a un par de bases B, B asociadas a R, R . Esta matriz ser´a u ´nica salvo multiplicaci´ on por constante. Dadas dos referencias proyectiva R, R
de un mismo espacio proyectivo, se llama matriz de cambio de referencia a una matriz de la aplicaci´ on identidad en P(V ) respecto de las referencias R, R
. Ejemplo 7.7. Si tenemos una proyectividad entre dos espacios proyectivos P(V ) y P(W ), entonces sabemos que una referencia R de P(V ) va a parar a una referencia R
de P(W ). Por tanto, la matriz de la proyectividad respecto de R y R
es la identidad, es decir, el punto de coordenadas (x0 : . . . : xn ) respecto de R va a parar al punto de coordenadas (x0 : . . . : xn ) respecto de R
. Rec´ıprocamente, si tenemos una aplicaci´on f : P(V ) → P(W ) y un par de referencias proyectivas, R de P(V ) y R
de P(W ), tal que el punto de 68

coordenadas (x0 : . . . : xn ) respecto de R va a parar al punto de coordenadas (x0 : . . . : xn ) respecto de R
, entonces f es una proyectividad. En efecto, si {v0 , . . . , vn } y {w0 , . . . , wn } son bases asociadas a R y R
respectivamente, se tendr´a que f corresponde al isomorfismo V → W que manda el vector x0 v0 + . . . + xn vn al vector x0 w0 + . . . + xn wn . Observaci´ on 7.8. N´ otese que el segundo teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva es la generalizaci´on del Teorema 2.20, que es el que permit´ıa definir raz´ on doble de cuatro puntos de una recta del plano proyectivo. Por tanto, tiene sentido dar la misma definici´ on de raz´on doble para cuatro puntos alineados en cualquier espacio proyectivo, y se tendr´ a tambi´en el an´ alogo del Teorema 3.4, es decir, que una aplicaci´ on inyectiva entre dos recta es una proyectividad si y s´ olo si conserva la raz´on doble. En el leguaje de coordenadas, se puede interpretar de otro modo. Dados cuatro puntos a, b, c, d de una recta L, la u ´nica 1 parametrizaci´ on Pk → L que manda respectivamente (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) a los puntos a, b, c es precisamente la proyectividad que consiste en tomar coordenadas respecto a la referencia R = {a, b, c}. Entonces, si (ρ0 : ρ1 ) son las coordenadas homog´eneas de d respecto de R, la raz´on doble es por definici´ on [a, b, c, d] = ρρ01 . La f´ ormula de c´ alculo de la raz´ on doble que dimos en el Lema 3.1 se puede generalizar. La forma m´ as sencilla de escribirla es que, dados a, b, c, d en una recta L, tomando cualquier referencia proyectiva R sobre L, si las coordendas de a, b, c, d son respectivamente (a0 : a1 ), (b0 : b1 ), (c0 : c1 ), (d0 : d1 ), entonces

a0

a1 [a, b, c, d] =


a0
a1




c0



b0 d0

c1

b1 d1



. d0



b0 c0

d1

b1 c1


Esto es simplemente porque la aplicaci´on φR : P1k → L dada por las coordenadas respecto de R es una proyectividad, luego conserva la raz´ on doble. El hecho de que la conservaci´ on de la raz´ on doble caracterice las proyectividades de rectas es precisamente el hecho de que las proyectividades est´an caracterizadas por conservar coordenadas. En efecto, supongamos que tenemos una aplicaci´ oon inyectiva f :
L → L entre dos rectas, y sean a, b, c ∈ L puntos distintos. Como f es inyectiva, entonces f (a), f (b), f (c) son tambi´en distintos. Tenemos entonces una referencia R = {a, b, c} de L un el Ejemplo 7.7, f ser´a una proyectividad si y s´ olo si y otra {f (a), f (b), f (c)} de L
. Seg´ transforma cada punto de coordenadas (ρ0 : ρ1 ) respecto de R en el punto de coordenadas (ρ0 : ρ1 ) respecto de R
, lo que es equivalente a que f conserve la raz´on doble. Esta u ´ltima observaci´ on se puede generalizar a espacios proyectivos de dimensi´on arbitraria, y nos permite caracterizar las proyectividades en t´erminos exclusivamente de geometr´ıa proyectiva, sin necesidad de usar espacios vectoriales: 69

Teorema 7.9. Sea f : P(V ) → P(W ) una aplicaci´ on inyectiva entre espacios proyectivos. Entonces f es una proyectividad entre P(V ) y f (P(V )) si y s´olo si manda puntos alineados en puntos alineados y conserva la raz´ on doble de cuaternas de puntos alineados. Demostraci´ on: Lo demostraremos por inducci´ on sobre n = dim P(V ). Si n = 1, entonces P(V ) es una recta, y por hip´otesis su imagen est´a contenida en una recta, por lo que este caso es el Teorema 3.4 (que acabamos de redemostrar en la Observaci´on 7.8). Supongamos ahora que n > 1 y que hemos demostrado el resultado para aplicaciones que parten de un espacio proyectivo de dimensi´ on n − 1. Obs´ervese primero que una implicaci´ on es inmediata: si f es una proyectividad sobre la imagen, manda rectas a rectas, y la restricci´on a ellas es una proyectividad, luego conserva la raz´ on doble. Para la otra implicaci´ on, fijemos R = {p0 , p1 , . . . , pn , pn+1 }, una referencia proyectiva de P(V ). Para cada i, j ∈ {0, 1, . . . , n, n + 1}, sean Λij =< p0 , . . . , pˆi , . . . , pˆj , . . . , pn+1 > y pij =< pi , pj > ∩Λij . Por hip´ otesis de inducci´on, cada f|Λij es una proyectividad a un subsespacio de dimensi´on n − 1. Como f es inyectiva, entonces sobre f (Λij ), que ser´ a en f (Λij ). Se tendr´ a, por tanto, f (pij ) = f (pi ), f (pj ) son distintos y ninguno de ellos est´ < f (pi ), f (pj ) > ∩f (Λij ) y, en particular, f (P(V )) estar´a contenido en el subespacio < f (p0 ), f (p1 ), . . . , f (pn ), f (pn+1 ) >=< f (Λij ), f (pi ), f (pj ) >, que tiene dimensi´ on n. El hecho de que cada f|Λij sea una proyectividad sobre F (Λij ) implica que los puntos f (p0 ), f (p1 ), . . . , f (pn ), f (pn+1 ) est´an en posici´ on general, y forman una referencia proyec´nica proyectivitiva de < f (p0 ), f (p1 ), . . . , f (pn ), f (pn+1 ) >. Consideramos entonces la u dad F : P(V ) →< f (p0 ), f (p1 ), . . . , f (pn ), f (pn+1 ) > que manda cada pi a f (pi ). Veamos que F = f , lo que completar´ıa la demostraci´on. En primer lugar, para cada i, j es claro que los puntos p0 , . . . , pˆi , . . . , pˆj , . . . , pn+1 , pij forman una referencia proyectiva de Λij . Por tanto f|Λij es la u ´nica proyectividad que ˆ ˆ manda esa referencia en f (p0 ), . . . , f (pi ), . . . , f (pj ), . . . , f (pn+1 ), f (pij ). Como F|Λij tambi´en verifica lo mismo (para pij se hace como para f ), entonces f|Λij = F|Λij . Por tanto, f (p) = F (p) para cualquier punto p ∈ P(V ) que est´e en alg´ un Λij .

Por otra parte, si un punto p ∈ P(V ) no est´a en ning´ un Λij , consideramos los puntos p
=< p, pn+1 > ∩Λ0,n+1 y q
=< p, pn+1 > ∩Λn,n+1 . Usando que tanto f como F conservan la raz´ on doble, se tendr´ a [f (p
), f (q
), f (pn+1 ), f (p)] = [p
, q
, pn+1 , p] = = [F (p
), F (q
), F (pn+1 ), F (p)] = [f (p
), f (q
), f (pn+1 ), F (p)] de donde se deduce (Observaci´ on 3.6) f (p) = F (p).

Observaci´ on 7.10. La hip´ otesis de conservar la raz´on doble es fundamental en el Teorema 7.9. Por ejemplo, la aplicaci´ on f : P2C → P2C definida por f (x0 : x1 : x2 ) = (¯ x0 : x ¯1 : x ¯2 ) 70

es claramente biyectiva, y la imagen de la recta de ecuaci´on u0 x0 + u1 x1 + u2 x2 = 0 es la ¯1 x1 + u ¯2 x2 = 0. Sin embargo, no se conserva la raz´ on doble, ya recta de ecuaci´on u ¯0 x0 + u que, por ejemplo, [(0 : 1 : 0), (1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0), (1 : λ : 0)] = λ, mientras que en cambio ¯ : 0)] = λ. ¯ [(0 : 1 : 0), (1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0), (1 : λ Definici´ on. Se llama aplicaci´ on semilineal de espacios vectoriales a una aplicaci´ on F : V → W para la que existe un automorfismo de cuerpos σ : k → k tal que F (v1 + v2 ) = F (v1 ) + F (v2 ) y F (λv) = σ(λ)F (v). Se dice tambi´en que F es σ-semilineal. Si F es un on isomorfismo, diremos que es un σ-semiisomorfismo (en cuyo caso F −1 es una aplicaci´ −1 σ -semilineal). Ejemplo 7.11. Fijada una base v0 , . . . , vn de V y un automorfismo de cuerpos σ : k → k, la aplicaci´ on F0 : V → V definida por F0 (x0 v0 + . . . + xn vn ) = σ(x0 )v0 + . . . + σ(xn )vn es un σ-semiisomorfismo. Lema 7.12. Sea F0 : V → V un σ-semiisomorfismo y W un espacio vectorial sobre k. on entre el conjunto de aplicaciones lineales La asignaci´on F → F ◦ F0 define una biyecci´ F : V → W y el conjunto de aplicaciones σ-semilineales F
: V → W . Demostraci´ on: Si F es una aplicaci´ on lineal, entonces se tendr´ a F ◦ F0 (λ1 v1 + λ2 v2 ) = F (σ(λ1 )F0 (v1 ) + σ(λ2 )F0 (v2 )) = σ(λ1 )F (F0 (v1 )) + σ(λ2 )F (F0 (v2 )) on σ-semilineal. por lo que F ◦ F0 es una aplicaci´ on σ-semilineal, se tendr´a Del mismo modo, si F
: V → W es una aplicaci´ F
◦ F0−1 (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 F
(F0−1 (v1 )) + λ2 F
(F0−1 (v2 )) on lineal. Por tanto, la asignaci´ on F
→ F
◦ F0−1 es la por lo que F
◦ F0−1 es una aplicaci´ asignaci´on inversa de la dada, con lo que ambas son biyectivas. Podemos repetir para aplicaciones semilineales todo lo que hemos visto para aplicaciones lineales. En concreto: Definici´ on. Se llama aplicaci´ on semiproyectiva o aplicaci´ on σ-semiproyectiva a una aplicaci´on f : P(V ) → P(W ) definida por una aplicaci´ on σ-semilineal V → W no nula (es decir, f ([v]) = [F (v)]). Si F es un semiisomorfismo, diremos que f es una σ-semiproyectividad. Por el Lema 7.12, una aplicaci´ on semiproyectiva viene caracterizada por ser la composici´on de una semiproyectividad y una aplicaci´ on proyectiva. 71

Teorema 7.13 (Primer teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva). Una aplicaci´ on f : P(V ) → P(W ) entre espacios proyectivos de dimensi´on al menos dos es una semiproyectividad entre P(V ) y f (P(V )) si y s´olo si manda biyectivamente rectas a rectas. Demostraci´ on: Es claro que una semiproyectividad manda biyectivamente rectas a rectas, as´ı que basta ver que esta propiedad caracteriza a las semiproyectividades. Sea pues f : P(V ) → P(W ) una aplicaci´ on inyectiva que manda biyectivamente rectas a rectas. En particular, f es inyectiva, ya que si a = b, la recta ab va biyectivamente a otra recta, por lo que f (a) = f (b). Veamos que, si [a1 , b1 , c1 , d1 ] = [a2 , b2 , c2 , d2 ] para dos cuaternas de puntos alineados en P(V ), entonces tambi´en [f (a1 ), f (b1 ), f (c1 ), f (d1 )] = [f (a2 ), f (b2 ), f (c2 ), f (d2 )]. En efecto, la condici´ on [a1 , b1 , c1 , d1 ] = [a2 , b2 , c2 , d2 ] es equivalente a que las cuaternas a1 , b1 , c1 , d1 y a2 , b2 , c2 , d2 se obtienen una de la otra a partir de un n´ umero finito de perspectividades. Como f manda puntos alineados en puntos alineados, se tendr´ a tambi´en que las cuaternas f (a1 ), f (b1 ), f (c1 ), f (d1 ) y f (a2 ), f (b2 ), f (c2 ), f (d2 ) se obtienen una de la otra a partir de un n´ umero finito de perspectividades. Por tanto, [f (a1 ), f (b1 ), f (c1 ), f (d1 )] = [f (a2 ), f (b2 ), f (c2 ), f (d2 )]. Podemos entonces definir una aplicaci´ on σ : k → k tomando, para cada ρ ∈ k, una cuaterna a, b, c, d ∈ P(V ) tal que [a, b, c, d] = ρ y definiendo σ(ρ) = [f (a), f (b), f (c), f (d)] (como casos degenerados, definimos σ(0) = 0 y σ(1) = 1). Veamos en primer lugar que σ es un automorfismo de cuerpos. –Dados ρ1 , ρ2 ∈ k \ {0, 1}, sean a, b, c tres puntos distintos de P(V ) que est´en sobre una misma recta L. Tomamos d ∈ L tal que [a, b, c, d] = ρ1 . Como ρ1 = 0, 1, los puntos on 3.11 a, b, d son distintos, luego existe e ∈ L tal que [a, b, d, e] = ρ2 . Por la Observaci´ tendremos σ(ρ1 ρ2 ) = σ([a, b, c, d][a, b, d, e]) = σ([a, b, d, e]) = = [f (a), f (b), f (c), f (e)] = [f (a), f (b), f (c), f (d)][f (a), f (b), f (d), f (e)] = σ(ρ1 )σ(ρ2 ). un ρi = 0, 1, el Tenemos por tanto que σ(ρ1 ρ2 ) = σ(ρ1 )σ(ρ2 ) para todo ρ1 , ρ2 ∈ k (si alg´ resultado es trivial). –Veamos ahora que σ(ρ1 +ρ2 ) = σ(ρ1 )+σ(ρ2 ) para todo ρ1 , ρ2 ∈ k\{0} (el caso en que alg´ un ρi = 0 es trivial). En este caso, podemos tomar tres puntos distintos a, b, c ∈ P(V ) sobre una misma recta L, y puntos d1 , d2 = a tales que [a, b, c, d1 ] = ρ1 y [a, b, c, d2 ] = ρ2 . Como P(V ) tiene dimensi´ on al menos dos (´esta es la parte crucial en que se usa), podemos tomar un plano que contenga a L, y el Lema 3.11 nos permite construir geom´etricamente un punto d ∈ L tal que [a, b, c, d] = [a, b, c, d1 ]+[a, b, c, d2 ]. Como f manda puntos alineados a puntos alineados, mandar´ a la figura del Lema 3.11 en una figura id´entica en P(V ), que 72

dar´ a entonces [f (a), f (b), f (c), f (d)] = [f (a), f (b), f (c), f (d1 )] + [f (a), f (b), f (c), f (d2 )], es decir, σ(ρ1 + ρ2 ) = σ(ρ1 ) + σ(ρ2 ). –Con esto tenemos que σ es un homomorfismo de grupos (y en particular inyectivo). Para ver que es suprayectivo, sea ρ
∈ k. Tomamos L ⊂ P(V ) una recta cualquiera. Por hip´ otesis, f (L) es una recta. En particular, podremos encontrar a
, b
, c
, d
∈ f (L) tales que [a
, b
, c
, d
] = ρ
. Sean a, b, c, d ∈ L tales que f (a) = a
, f (b) = b
, f (c) = c
y f (d) = d
y escribamos ρ = [a, b, c, d]. Se tendr´ a entonces σ(ρ) = ρ
. Sea ahora g : P(V ) → P(V ) cualquier σ-semiproyectividad. Se tendr´ a entonces que on inyectiva que manda puntos alineados en puntos alineados, y que f ◦ g es una aplicaci´ adem´as conserva la raz´on doble. Por el Teorema 7.9, la aplicaci´ on f ◦ g −1 es una proyectividad sobre f ◦ g −1 (P(V )) = f (P(V )), lo que implica que f es una σ-semiproyectividad sobre f (P(V )). −1

En el caso en que el cuerpo base es k = R, el Teorema Fundamental caracteriza las proyectividades de un espacio proyectivo (de dimensi´ on al menos dos) como aquellas aplicaciones que mandan biyectivamente rectas a rectas, ya que se tiene el siguiente: Teorema 7.14. Sea σ : R → R un automorfismo de cuerpos. Entonces σ = idR . Demostraci´ on: Por ser un automorfismo de cuerpos, σ(1) = 1, y por tanto . . + 1) = 1 + .n) .. + 1 = n σ(n) = σ(1 + .n) para todo n ∈ N. Como σ(−1) = −1, se sigue tambi´en que σ(a) = a para todo a ∈ Z. Si a tomamos ahora q = ab ∈ Q, se tendr´ bσ(q) = σ(b)σ(q) = σ(bq) = σ(a) = a = bq por lo que σ(q) = q para cualquier q ∈ Q. Veamos ahora que σ conserva el orden de los reales. En efecto, si α < β, entonces podremos escribir β − α = 2 , para alg´ un ∈ R positivo. Por tanto σ(β) − σ(α) = σ(β − α) = σ( 2 ) = σ( )2 > 0 luego σ(α) < σ(β). Veamos finalmente que σ(α) = α para cualquier α ∈ R. En efecto, en caso contrario, se tendr´ıa α < σ(α) o σ(α) < α. Veamos que el primer caso es imposible, siendo el segundo caso an´ alogo. Si fuera α < σ(α), como los racionales son densos en Q, podr´ıamos encontrar q ∈ Q tal que α < q < σ(α). Pero eso es imposible, ya que, seg´ un hemos visto, la desigualdad α < q implica la desigualdad σ(α) < σ(q) = q. 73

En el caso k = C, el resultado anterior no es cierto, ya que la conjugaci´ on es un automorfismo. No es el u ´nico automorfismo distinto de la identidad (aunque s´ı es el u ´nico continuo). De hecho, existem infinitos automorfismos de C, aunque no son f´ aciles de construir. Damos ahora una definici´ on que de nuevo parece artificial porque necesita pasar por el espacio vectorial, pero que otra vez m´as la raz´on doble nos permitir´ a hacer de forma intr´ınseca. Definici´ on. Dada una referencia proyectiva R de un espacio proyectivo P(V ), se llama referencia dual a la u ´nica referencia proyectiva R∗ de P(V )∗ que tiene como base asociada una base dual de una base asociada a R. Proposici´ on 7.15. Sea R = {p0 , . . . , pn , pn+1 } una referencia proyectiva de un espacio proyectivo P(V ). Entonces, la referencia dual R∗ = {H0 , . . . , Hn , Hn+1 } consiste en los hiperplanos: H0 =< p1 , . . . , pn > .. . Hn =< p0 , . . . , pn−1 > ´nico hiperplano que contiene a los puntos p
ij donde p
ij es el cuarto arm´onico y Hn+1 es el u respecto de los puntos pi , pj , < pi pj > ∩ < R \ {pi , pj } >. Demostraci´ on: Escribimos todo en coordenadas respecto de la referencia R. Entonces la referencia dual consiste en los hiperplanos H0 : X0 = 0 .. . Hn : Xn = 0 Hn+1 : X0 + . . . + Xn = 0. Evidentemente, H0 , . . . , Hn consiste en los hiperplanos del enunciado, as´ı que basta comprobar que Hn+1 es el del enunciado. Para cada i, j ∈ {0, . . . , n} (supondremos i < j), el hiperplano < R \ {pi , pj } > tiene ecuaci´on Xi − Xj = 0, con lo que su intersecci´on con la i)

j)

recta < pi , pj > tiene coordenadas (0 : . . . : 0 : 1 : 0 . . . 0 : 1 : 0 : . . . : 0), luego el punto p
ij i)

j)

tiene coordenadas (0 : . . . : 0 : 1 : 0 . . . 0 : − 1 : 0 : . . . : 0). Es entonces claro queHij es el hiperplano generado por los puntos pij . 74

Proposici´ on 7.16. Sea f : P(V )-----> P(W ) una aplicaci´ on proyectiva que tiene matriz A respecto de las referencias R y R
. Entonces, la aplicaci´on f ∗ : P(W )∗ -----> P(V )∗ que asocia a cada hiperplano H
⊂ P(W ) que no contiene a Im f el hiperplano f −1 (H
) ⊂ P(V ) es una aplicaci´ on proyectiva de centro Ω(Im f ), y su matriz respecto de las referencias R
∗ y R∗ es At (i.e. la matriz transpuesta de A). Demostraci´ on: Que A sea la matriz de f respecto de R y R
quiere decir que el punto de coordenadas (x0 : . . . : xn ) respecto de R se transforma por f en el punto de coordenadas (x
0 : . . . : x
m ) respecto de R
, con    x
0 x0  ..  ..   .  . =A . xn x
m 

(7.17)


Sea ahora el hiperplano H
⊂ P(W ) de ecuaci´on u
0 X0
+ . . . + u
m Xm = 0 respecto de R
. Un punto de P(V ) de coordenadas (x0 : . . . : xn ) respecto a R estar´a en f −1 (H
) si y s´olo si u
0 x
0 + . . . + u
m x
m = 0, donde (x
0 : . . . : x
m ) vienen dados por (7.17). Esto es equivalente a decir que   x0 . (u
0 . . . u
m )A  ..  = 0 xn

es decir, el punto de coordenadas (x0 : . . . : xn ) pertenece al hiperplano de coeficientes (u0 . . . un ) = (u
0 . . . u
m )A (obs´ervese que los coeficientes son todos no nulos si y s´olo si H
no contiene a la imagen de f ). De aqu´ı se concluye que el hiperplano de coordenadas (u
0 : . . . : u
m ) respecto de R
∗ se transforma mediante f ∗ en el hiperplano de coordenadas (u0 : . . . : un ) respecto de R∗ , con   u0  ...  = A   

un

 u
0 ..  .  u
m

lo que demuestra el resultado. Definici´ on. Se llama aplicaci´ on dual de una aplicaci´ on proyectiva f : P(V )-----> P(W ) a la ∗ ∗ ∗ aplicaci´ on f : P(W ) -----> P(V ) definida en la Proposici´ on 7.16.

75

8. Clasificaci´on de proyectividades Clasificar proyectividades quiere decir encontrar una representaci´ on sencilla de ellas respecto de alguna referencia proyectiva. Ya vimos en el Ejemplo 7.7 que, usando buenas referencias en los espacios proyectivos de salida y llegada de la proyectividad, la matriz de la proyectividad es m´ as sencilla. Por tanto, plantearse el problema de una representaci´ on sencilla s´olo tiene sentido si las referencias de los dos espacios proyectivos est´an relacionadas entre s´ı. El caso m´as natural es cuando ambas referencias son iguales, es decir, cuando lo que queremos es clasificar proyectividades de un espacio proyectivo en s´ı mismo. Observaci´ on 8.1. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad. Si fijamos una referencia proyectiva R de P(V ), entonces f tendr´ a una cierta matriz A respecto de R. Si cambiamos
la referencia R a otra R y la matriz P define el cambio de sistema de referencia, entonces P −1 AP es (salvo proporcionalidad) la matriz de f respecto de R
. Por tanto, las posibles matrices sencillas de proyectividades estar´an en clases de equivalencia de matrices por semejanza, es decir, corresponder´an a las posibles formas can´ onicas de Jordan. Las formas can´onicas de Jordan se calculan a partir de autovectores y autovalores. Veamos que se trata de una noci´on natural en el contexto de las proyectividades: Lema 8.2. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad determinada por un automorfismo F : V → V . Entonces un vector v ∈ V \ {0} es un autovector de F si y s´olo si [v] es un punto invariante por f (i.e. f ([v]) = [v]). Demostraci´ on: Recordemos que, por definici´ on, f ([v]) = [F (v)], luego [v] es invariante por f si y s´olo si [F (v)] = [v], es decir, si y s´olo si existe λ = 0 tal que F (v) = λv, es decir, si y s´ olo si v es un autovector de autovalor λ (obs´ervese que necesariamente todos los autovalores de F son no nulos, por ser F un isomorfismo). Observaci´ on 8.3. Dado que, fijada una referecia proyectiva de P(V ) la matriz de una proyectividad de P(V ) respecto de dicha referencia es u ´nica salvo proporcionalidad, siempre que tengamos un autovalor en k (lo que es cierto siempre que k sea algebraicamente cerrado, por ejemplo si k = C), dividiendo por ´el podemos suponer que 1 es un autovalor. Esto permite simplificar la clasificaci´on de proyectividades. Ejemplo 8.4. Veamos por ejemplo cu´al ser´ıa la clasificaci´on de las proyectividades de una recta cuando k es un cuerpo algebraicamente cerrado, usando la simplificaci´ on de la Observaci´ on 8.3. Suponiendo entonces que un autovalor es 1, las posibles formas can´ onicas de Jordan ser´ıan: 76

1) Si hay un u ´nico autovalor multiplicidad dos) y la matriz es diagonalizable, la  (con  1 0 forma can´ onica de Jordan ser´ıa . En este caso, la proyectividad ser´ıa la identidad. 0 1 2) Si hayun autovalor doble y la matriz no es diagonalizable, la forma can´ onica de  1 0 Jordan ser´ıa . 1 1   1 0 3) Si hay dos autovalores distintos, la forma can´ onica de Jordan ser´ıa , con 0 λ λ = 1. Obs´ervese que si k no fuera algebraicamente cerrado (el caso natural en que pensar es k = R), entonces tanto en el caso 1 como en el 2 el u ´nico autovalor est´ a necesariamente en k. Sin embargo, en el caso 3 hay que distinguir dos subcasos: que los dos autovalores est´en en k o que ambos sean imaginarios (conjugados, si k = R). Veamos ahora la descripci´on geom´etrica de cada uno de los casos anteriores no triviales. Lema 8.5. Sea f : L → L una proyectividad  deuna recta proyectiva L cuya matriz 1 0 . Entonces, f tiene un u ´nico punto respecto de alguna referencia proyectiva es 1 1 invariante p0 , y se tiene que [p0 , p, f (p), f (f (p))] = 2 para cualquier p ∈ L \ {p0 }. Por tanto, f est´a determinada conociendo p0 y la imagen de un punto distinto de ´el. 

 1 0 Demostraci´ on: En las coordenadas respecto a las cuales la matriz de f es , se tiene 1 1 inmediatamente que p0 = (0 : 1) es el u ´nico punto invariante. Un punto p distinto de p0 se puede escribir con coordenadas (1 : a), luego f (p) tendr´ a coordenadas (1 : a + 1), y f (f (p)) tendr´ a coordenadas (1 : a+2). Se calcula entonces f´ acilemente que [p0 , p, f (p), f (f (p))] = 2. Por tanto, conocidos p0 y la imagen de un punto p = p0 , la f´ ormula anterior permite conocer tambi´en la imagen de f (p), con lo que tenemos la imagen de tres puntos, lo que determina de forma un´ıvoca la proyectividad f .

El tercer caso lo estudiamos en una situaci´ on m´ as general, que nos ser´a u ´til m´ as adelante: Lema 8.6. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad de un espacio proyectivo P(V ) de dimensi´ on n. Supongamos que existe una referencia proyectiva R de P(V ) en la cual f viene 77

     representada por una matriz diagonal    

1

 ..

. r+1) 1 λ

..

     con λ = 1. Entonces,   

. n−r) λ existen subespacios proyectivos disjuntos Λ, Λ
⊂ P(V ) de dimensiones r y n − r − 1 tales que cada punto de ellos es invariante por f y, para cada p ∈ P(V ) \ (Λ ∪ Λ
), su imagen f (p) est´a caracterizada por la condici´ on [p0 , p1 , p, f (p)] = λ donde p0 =< p, Λ > ∩ Λ
, p1 = Λ∩ < Λ
, p >. En particular, si P(V ) es una recta, existen puntos invariantes p0 , p1 tales que [p0 , p1 , p, f (p)] = λ para todo p = p0 , p1 . Demostraci´ on: Tomamos coordenadas respecto de una referencia R como en la hip´ otesis. Entonces, la expresi´ on de f ser´a de la forma f (x0 : . . . : xn ) = (x0 : . . . : xr : λxr+1 : . . . : λxn ). Es entonces evidente que los subespacios Λ : Xr+1 = . . . = Xn = 0 y Λ
: X0 = . . . = Xr = 0 est´an formados por puntos invariantes. Dado un punto p = (a0 : . . . : an ) que no est´e ni en Λ ni en Λ
, es f´acil ver (en realidad est´ a hecho en el Ejemplo 7.5) que p0 = (0 : . . . : 0 : ar+1 : . . . : an ) y p1 = (a0 : . . . : ar : 0 : . . . : 0). Tomando {p0 , p1 , p} como sistema de referencia de la recta < p0 , p1 >, es claro que f (p) = (a0 : . . . : ar : λar+1 : . . . : λan ) tiene coordenadas (λ : 1), de lo que se sigue que [p0 , p1 , p, f (p)] = λ. En general, nos interesar´ an no s´ olo subespacios de puntos fijos (como en el resultado anterior), sin m´ as en general subespacios que se transformen en ellos mismos, pero no necesariamente punto a punto: Definici´ on. Dada una proyectividad f : P(V ) → P(V ), se llama subespacio invariante a un subespacio Λ ⊂ P(V ) tal que f (Λ) = Λ. Obs´ervese que, como f (Λ) tiene la misma dimensi´ on que Λ, basta comprobar s´ olo que f (Λ) ⊂ Λ. Para hiperplanos, la situaci´ on es bien sencilla: 78

Lema 8.7. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad y sea H ⊂ P(V ) un hiperplano. Entonces, H es un hiperplano invariante si y s´ olo si es un punto invariante de la aplicaci´ on ∗ ∗ ∗ dual f : P(V ) → P(V ) . Demostraci´ on: Como f es biyectiva, es claro que f (H) = H si y s´olo si H = f −1 (H), lo que es equivalente a que H sea un punto fijo de f ∗ . Observaci´ on 8.8. Dada una proyectividad f : P(V ) → P(V ) definida por una matriz A respecto de una referencia R, la aplicaci´ on dual viene dada por la matriz At respecto on 7.16). Recu´erdese que la forma can´onica de Jordan de la referencia dual R∗ (Proposici´ de A est´a determinada a partir de los rangos de las potencias (A − λI)i , que son iguales onica de Jordan. En a los rangos de (At − λI)i , luego A y At tienen la misma forma can´ particular, hay una biyecci´ on entre el conjunto de puntos invariantes y el de hiperplanos invariantes (incluso autovalor a autovalor). Veamos a continuaci´ on c´omo usar esto de modo pr´ actico.

P3R

→ P3R la proyectividad definida, respecto de la referencia  0 −1 0 0 0 0  1 2 can´ onica, por la matriz  . Nuestro objetivo es calcular todos los subes0 0 −1 0 0 0 0 −1 pacios invariantes por f . Un simple c´alculo muestra que los autovalores son ±1 (cada uno doble) y que, para el autovalor λ = 1, se obtiene el punto invariante (1 : −1 : 0 : 0) y para λ = −1 se obtiene la recta X0 = X1 = 0 de puntos invariantes. Un modo de obtener subespacios invariantes es considerando subespacios generados por subespacios invariantes. En nuestro caso, el u ´nico plano que se obtiene as´ı es el plano X0 + X1 = 0, generado por todos los puntos invariantes que hemos encontrado. Sin embargo, por la observaci´ on anterior sabemos que tiene que haber infinitos planos invariantes. Para calcularlos, transponemos la matriz anterior y calculamos los subespacios propios. Para λ = 1 obtenemos (u0 : u1 : u2 : u3 ) = (1 : 1 : 0 : 0), es decir, de nuevo el plano X0 +X1 = 0. ∗ Si en cambio calculamos el subespacio propio de λ = −1, obtenemos la recta de P3R de ecuaciones U0 = U1 = 0, que corresponde al haz de planos de P3R que contienen a la recta X2 = X3 . Veamos ahora c´omo podemos encontrar rectas invariantes a partir de los puntos y planos invariantes ya hallados: Ejemplo 8.9.

Sea f : 

1) La recta X0 = X1 = 0 de puntos invariantes es evidentemente invariante. 2) La recta X2 = X3 = 0 es invariante por ser intersecci´ on de planos invariantes. 3) Todas las rectas del plano X0 + X1 = 0 que pasan por el punto (1 : −1 : 0 : 0) son invariantes, ya que est´ an generadas por (1 : −1 : 0 : 0) y su intersecci´on con X0 = X1 = 0 (que es necesariamente un punto, distinto de (0 : 1 : 0 : 0) y adem´as invariante). Estas 79

rectas tambi´en pueden verse como la intersecci´on del plano invariante X0 + X1 = 0 con un plano que contenga a X2 = X3 (y por tanto tambi´en invariante). ´ Estas son todas las formas de obtener rectas invariantes a partir de intersecciones de planos invariantes o como rectas generadas por dos puntos invariantes, pero en principio podr´ıan no ser todas (como pasaba con los planos invariantes obtenidos a partir de los puntos invariantes). Un modo m´ as exhaustivo de encontrar rectas invariantes es el de restringir la proyectividad a un plano invariante y calcular todos los hiperplanos invariantes de dicha restricci´on. Veamos lo que obtenemos en nuestro caso: –Si restringimos al plano X0 + X1 = 0, tomamos en ´el coordenadas x1 , x2 , x3 (usando que x0 = −x1 ), y tendremos entonces la expresi´on (−x1 : x1 : x2 : x3 ) → (−x1 : x1 : −x2 : −x3 ) o, en forma matricial,

  1 x1  x2  →  0 x3 0 

0 −1 0

  0 x1   x2  . 0 x3 −1

El autovalor λ = 1 de esta nueva matriz nos da el punto y la recta invariante de coordenadas (1 : 0 : 0), que son respectivamente el punto (−1 : 1 : 0 : 0) (que ya sab´ıamos que era invariante) y la recta X0 = X1 = 0 (que tambi´en sab´ıamos que era invariante). Por otra parte, el autovalor λ = −1 nos da como puntos invariantes los de la recta de ecuaci´ on X1 = 0 (dentro del plano X0 + X1 = 0, es decir, de nuevo la recta X0 = X1 = 0), y como rectas invariantes las que verifican la ecuaci´ on U1 = 0, es decir, las que pasan por el punto de coordenadas (1 : 0 : 0), que son precisamente las rectas de X0 + X1 = 0 que pasan por (−1 : 1 : 0 : 0) (que de nuevo ya sab´ıamos que eran invariantes). –Si restringimos a un plano que contenga a la recta X2 = X3 = 0, las cuentas son m´as complicadas porque tenemos infinitos de estos planos, y deber´ıamos hacer depender todo de un par´ ametro. Para evitar dichas cuentas, utilizaremos la Observaci´ on 8.8. Fijemos en primer lugar un plano Π que contenga a la recta X2 = X3 = 0. Los puntos invariantes de f|Π ya los sabemos, ya que son los puntos de intersecci´on de Π con el conjunto de puntos invariantes de f . Obtenemos entonces que f|Π tiene exactamente dos puntos invariantes: el punto (1 : −1 : 0 : 0) y la intersecci´on de Π con la recta X0 = X1 = 0 (que es s´olo un punto, ya que en caso contrario Π contendr´ıa a toda la recta X0 = X1 = 0, aparte de a la recta X2 = X = 3 = 0, que sin embargo generan todo P3R ). Por tanto, por la Observaci´ on 8.8, f|Π tiene exactamente dos rectas invariantes. Como ya conocemos dos (la recta X2 = X3 = 0 y la intersecci´on de Π con X0 + X1 = 0), ya sabemos que no hay m´as. Si supi´eramos que todas las rectas invariantes est´an contenidas en alg´ un plano invariante, en el ejemplo anterior habr´ıamos encontrado todas las rectas invariantes. Veamos 80

que, en efecto, es as´ı: Lema 8.10. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad de espacios proyectivos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k. Entonces cada subespacio invariante contiene un punto invariante y est´ a contenido en un subespacio invariante. Demostraci´ on: Veamos primero que cada subespacio invariante contiene un punto invariante. En efecto, si Λ ⊂ P(V ) es un subespacio invariante por f , entonces f|Λ es una proyectividad de Λ en s´ı mismo. Como k es algebraicamente cerrado, cualquier endomorun autovalor), fismo que induzca f|Λ tiene al menos un autovector no nulo (ya que tiene alg´ y por el Lema 8.2, f|Λ tiene alg´ un punto invariante, es decir, Λ contiene alg´ un punto invariante por f . Veamos ahora que existe alg´ un hiperplano invariante que contiene a Λ. En primer lugar, observamos que, como f (Λ) = Λ (o equivalentemente f −1 (Λ) = Λ), entonces para cualquier hiperplano H que contenga a Λ se tiene que f −1 (H) tambi´en contiene a Λ. Esto quiere decir que Ω(Λ) es un subespacio invariante de la proyectividad f ∗ : P(V )∗ → P(V )∗ . Por la parte que acabamos de demostrar, existir´ a H ∈ Ω(Λ) invariante por f ∗ , es decir, H es un subespacio invariante de f que contiene a Λ. Observaci´ on 8.11. El lector puede pensar que el lema anterior no se puede aplicar al Ejemplo 8.9, porque R no es algebraicamente cerrado. Sin embargo, como R est´a dentro de C, que es algebraicamente cerrado, y en realidad hemos calculado todos los subespacios invariantes de la proyectividad de P3C en s´ı mismo definida por la misma matriz, f no tiene m´as rectas invariantes (ni siquiera imaginarias). Un buen ejemplo de esta observaci´ on es 3 considerar la proyectividad de PR en s´ı mismo definida por la matriz 

0  −1  1 0

1 0 0 0 0 0 0 −1

 0 0 . 1 0

Es un simple c´ alculo comprobar que sus autovalores son λ = i, que da el punto invariante (0 : 0 : 1 : −i) y el plano invariante X0 − iX1 = 0, y λ = −i, que da el punto invariante (0 : 0 : 1 : i) y el plano invariante X0 + iX1 = 0. Por tanto, la proyectividad no tiene ni puntos ni planos reales invariantes. Sin embargo, en el plano X0 − iX1 = 0 (donde (0 : 0 : 1 : i) y (0 : 0 : 1 : −i) son puntos invariantes) tenemos las rectas invariantes X0 = X1 = 0 y X0 − iX1 = X2 − iX3 = 0, y en el plano X0 + iX1 = 0 (donde (0 : 0 : 1 : i) y (0 : 0 : 1 : −i) son puntos invariantes) tenemos las rectas invariantes X0 = X1 = 0 y X0 + iX1 = X2 + iX3 = 0. Por tanto, la proyectividad tiene una recta invariante real, que es X0 = X1 = 0 (que pod´ıa haberse obtenido tambi´en como la recta generada por los 81

dos puntos invariantes o como la intersecci´ on de los dos planos invariantes; n´ otese tambi´en que ninguna de las rectas invariantes imaginarias podr´ıan haberse obtenido directamente a partir de los puntos y planos invariantes). En los siguientes dos resultados estudiaremos tipos particulares de proyectividades de un espacio proyectivo. Definici´ on. Una proyectividad involutiva es una proyectividad f : P(V ) → P(V ) tal que f ◦ f = idP(V ) . Teorema 8.12. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad y supongamos que k es algebraicamente cerrado. Entonces son equivalentes: (i) f es una proyectividad involutiva. (ii) Existe una referencia proyectiva de P(V ) en la que f se representa por una matriz diagonal con s´ olo unos y menos unos. (iii) Existen subespacios proyectivos disjuntos Λ, Λ
⊂ P(V ) de dimensiones r y n − r − 1 tales que cada punto de ellos es invariante y, para cada p ∈ P(V ) \ (Λ ∪ Λ
), el punto f (p) es el cuarto arm´onico de los puntos < p, Λ > ∩ Λ
, Λ∩ < Λ
, p > y p. Demostraci´ on: (i) ⇒ (ii): Sea F : V → V un isomorfismo que defina a f (que como dijimos en la Observaci´ on 8.3 podemos suponer que tiene a 1 como autovalor). La condici´ on f ◦ f = idP(V ) (por ser f involutiva) equivale a decir que existe λ ∈ k tal que F ◦ F = λidV . Como 1 es un autovalor de F , existir´ a v ∈ V \ {0} tal que F (v) = v. Por tanto, λv = F (F (v)) = F (v) = v, lo que implica λ = 1. Entonces, la condici´ on F ◦ F = idV puede escribirse tambi´en como (F − idV ) ◦ (F + idV ) = 0, o equivalentemente Im(F + idV ) ⊂ ker(F − idV ). Tomando dimensiones y usando la igualdad dim V = dim(ker(F +idV ))+dim(Im(F +idV )) llegamos a que dim(ker(F − idV )) + dim(ker(F + idV )) ≥ dim V . Como ker(F − idV ) ∩ ker(F + idV ) = 0 (son los subespacios propios de los autovalores 1 y −1, se concluye que V es la suma directa de ker(F − idV ) y ker(F + idV ). Tomando una base formada por la uni´ on de una base de ker(F − idV ) y otra de ker(F + idV ) se obtiene que la matriz de F respecto de esa base es diagonal con unos y menos unos en la diagonal. (ii) ⇒ (iii): Es el Lema 8.6 cuando λ = −1. (iii) ⇒ (i): Es claro que, si p est´an en Λ o Λ
, entonces f (f (p)) = f (p) = p, as´ı que basta comprobar la igualdad f (f (p)) = p para puntos que no est´en en Λ ∪ Λ
. Si llaotesis [p0 , p1 , p, f (p)] = mamos p0 =< p, Λ > ∩ Λ
, p1 = Λ∩ < Λ
, p >, se tiene por hip´ −1 y [p0 , p1 , f (p), f (f (p))] = −1. Entonces, por la Observaci´ on 3.9, se tiene tambi´en [p0 , p1 , f (f (p)), f (p)] = −1 y la Observaci´ on 3.6 se sigue que f (f (p)) = p 82

Teorema 8.13. Sean P(V ) un espacio proyectivo de dimensi´ on n ≥ 2 y f : P(V ) → P(V ) una proyectividad distinta de la identidad. Entonces, si existe un hiperplano H ⊂ P(V ) de puntos invariantes, se da una de las siguientes situaciones: (i) Existe otro punto invariante p0 ∈ H y una constante λ = 0, 1 tal que para cada ´nico punto de la recta < p0 , p > para el que p ∈ H ∪ {p0 } se verifica que f (p) es el u [< p0 , p > ∩H, p0 , p, f (p)] = λ. (ii) No hay m´ as puntos invariantes por f aparte de los de H, y conocidos un punto p1 ∈ H y su imagen f (p1 ), si p0 =< p1 , f (p1 ) > ∩H, entonces f est´a determinada de la forma siguiente (si dim P(V ) ≥ 2): para cada p ∈ H∪ < p1 , f (p1 ) >, si q =< p1 , p > ∩H, se tiene f (p) =< p0 , p > ∩ < q, f (p1 ) >. Demostraci´ on: El que haya un hiperplano H de puntos invariantes equivale a decir que existe todo un hiperplano en V de vectores propios de un automorfismo de V que defina f . Este hiperplano corresponder´ a entonces a un autovalor λ de multiplicidad al menos n. Se pueden dar entonces dos casos: Caso i) El autovalor λ tiene multiplicidad exactamente n, con lo que hay otro autovalor, que (ver la Observaci´ on 8.3) supondremos que es 1 (por tanto, λ = 1, y tampoco es cero por tratarse de un isomorfismo). Entonces la forma can´ onica de Jordan es diagonal (ya que la dimensi´ on del subespacio propio correspondiente a λ es precisamente n) y estamos en el caso particular del Lema 8.6 en que r = 0, con lo que Λ es un punto p0 . Caso ii) El autovalor λ tiene multiplicidad n + 1, y por tanto es el u ´nico autovalor (que, de nuevo por la Observaci´ on 8.3, supondremos λ = 1. Se tiene entonces que la matriz de Jordan J no es diagonal, pero como J − I debe tener rango uno debe ser: 



1 1  J =  

  .  

1 1

..

. 1

Sea R una referencia proyectiva de P(V ) respecto de la cual la matriz J represente a f . Usando coordenadas respecto de R, H ser´a el hiperplano de ecuaci´ on X0 = 0. Supongamos que el punto p1 tenga coordenadas (1 : a1 : . . . : an ) (podemos suponer que la primera coordenada no es nula, por no estar p1 en H). Entonces es un simple ejercicio comprobar que f (p1 ) = (1 : a1 + 1 : a2 : . . . : an ) y que el punto p0 =< p1 , f (p1 ) > ∩H tiene coordenadas (0 : 1 : 0 : . . . : 0) (obs´ervese en particular que p0 no depende del punto p1 escogido). Tomemos ahora un punto arbitrario p ∈ H∪ < p1 , f (p1 ) >. Como acabamos de observar, la intersecci´ on de < p, f (p) > con H debe ser el mismo punto p0 , luego f (p) est´a en la recta < p0 , p >. Es tambi´en evidente que, como p est´a en la recta < p1 , q >, 83

entonces f (p) tambi´en est´a en < f (p1 ), f (q) >=< f (p1 ), q >. Como las rectas < p0 , p > y < f (p1 ), q > son distintas (porque p no est´a en la recta < p0 , f (p1 ) =< p0 , p1 >) y dos rectas distintas se cortan como mucho en un punto, se sigue que la intersecci´ on de < p0 , p > y < q, f (p1 ) > es exactamente f (p). Definici´ on. Se llama homolog´ıa de centro p0 y eje el hiperplano H0 a una proyectividad de P(V ) como en el teorema anterior. Una homolog´ıa como en el caso (i) se llama homolog´ıa general, y λ se llama raz´ on de la homolog´ıa. Una homolog´ıa como en el caso (ii) se llama homolog´ıa especial. Observaci´ on 8.14. Est´ a claro que una homolog´ıa general est´a completamente determinada a partir del centro, eje y raz´ on. En principio, una homolog´ıa especial parece determiaticamente el nada a partir del eje y de la imagen de un punto p1 (lo que determina autom´ centro) s´olo para puntos fuera de la recta < p1 , f (p1 ) >. Sin embargo, una vez conocida la imagen de un punto p
1 fuera de la recta < p1 , f (p1 ) >, haciendo jugar ahora a p
1 el papel de p1 , podemos conocer la imagen de cualquier punto fuera de < p
1 , f (p
1 ) >, en particular otesis n ≥ 2, que hace de cualquier punto de < p1 , f (p1 ) >. Por eso es fundamental la hip´ que en el caso n = 1 la situaci´ on sea menos completa (ver el Lema 8.5).

84

9. Correlaciones y cu´adricas La mejor forma de explicar lo que queremos hacer en este cap´ıtulo es revisar, con el lenguaje de la geometr´ıa proyectiva, la noci´ on de polaridad respecto de una c´ onica que vimos en el cap´ıtulo 4: Ejemplo 9.1. Sea C una c´ onica no degenerada de P2 de ecuaci´on   X0 (X0 X1 X2 )A  X1  = 0 X2 on que (donde A es una matriz sim´etrica no degenerada). Sea f : P2 → P2 la aplicaci´ asocia a cada punto de P2 su recta polar respecto de C. Entonces, f es una proyectividad. En efecto, si C es la c´onica, sabemos que la recta polar del punto (a0 : a1 : a2 ) es   X0 (a0 a1 a2 )A  X1  = 0 X2 ∗

es decir, la recta u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 = 0, donde (u0 u1 u2 ) = (a0 a1 a2 )A. Como A es sim´etrica, tambi´en podemos escribir     a0 u0  u1  = A  a1  u2 a2 lo que indica que f es la proyectividad de matriz A tomando la referencia can´ onica de 2∗ y su referencia dual en P .

P2

Sin embargo, no todas las proyectividades de P2 en P2 son una polaridad. Por ∗ ejemplo, la proyectividad f : P2R → P2R que asocia a cada punto (a0 : a1 : a2 ) la recta a1 X0 − a0 X1 + a2 x2 = 0 no puede ser la polaridad respecto de una c´ onica. En efecto, la imagen del punto a = (0 : 1 : 1) es la recta f (a) de ecuaci´on X0 + X2 = 0, que contiene al punto b = (1 : 1 : −1), mientras que la imagen del punto b es la recta X0 − X1 − X2 = 0, que no contiene al punto a. Por tanto, f no verifica la propiedad (ii) de la Proposici´ on 4.6, por lo que no es la polaridad respecto de una c´ onica. El problema con este ejemplo (como explicaremos en este cap´ıtulo)  es que ftiene como matriz, respecto de las referencias 0 1 0  can´ onica y su dual, a la matriz −1 0 0 , que no es sim´etrica. 0 0 1 Una primera justificaci´ on de la observaci´ on anterior es que la polaridad respecto de 2 una c´ onica no degenerada C ⊂ Pk de matriz A se puede definir de la siguiente forma. ∗

85

Consideramos la forma bilineal B : k 3 × k 3 → k definida por 

 Y0 B((X0 , X1 , X2 ), (Y0 , Y1 , Y2 )) = (X0 X1 X2 )A  Y1  . Y2 Entonces la recta polar respecto de C de un punto (a0 : a1 : a2 ) es la recta de ecuaci´on B((X0 , X1 , X2 ), (a0 , a1 , a2 )) = 0. En particular, el punto (b0 : b1 : b2 ) est´a en la recta polar de (a0 : a1 : a2 ) si y s´olo si B((b0 , b1 , b2 ), (a0 , a1 , a2 )) = 0, mientras que el punto (a0 : a1 : a2 ) est´a en la recta polar de (b0 : b1 : b2 ) si y s´olo si B((a0 , a1 , a2 ), (b0 , b1 , b2 )) = 0. Por tanto, la propiedad (ii) de la Proposici´ on 4.6 parece equivalente a que B sea una forma bilineal sim´etrica, es decir, que A sea sim´etrica. N´otese, finalmente, que la c´onica C est´a determinada perfectamente por la forma bilineal B (o, m´as precisamente, por su forma cuadr´ atica asociada), ya que su ecuaci´on es precisamente B((X0 , X1 , X2 ), (X0 , X1 , X2 )) = 0. En este cap´ıtulo nos proponemos estudiar generalizaci´ on de c´onica proyectiva (que, como en geometr´ıa af´ın, ser´ a la noci´ on de cu´ adrica) y la noci´ on de polaridad, que ser´ a una aplicaci´ on proyectiva de un espacio proyectivo en su dual (pero no cualquiera, ya que tendr´ a que verificar alguna condici´ on de simetr´ıa). Empezamos con una definici´ on: Definici´ on. Llamaremos correlaci´ on a una aplicaci´ on proyectiva f : P(V )-----> P(V )∗ y correlaci´ on no degenerada a una correlaci´ on que adem´ as sea una proyectividad (esta notaci´on no es universal, y muchos autores llaman correlaci´ on a lo que nosotros llamamos correlaci´on no degenerada). Observaci´ on 9.2. Veamos (por el momento en coordenadas) que la noci´ on de correlaci´ on ∗ on arbitraria de lo que hemos f : P(V )-----> P(V ) no es m´as que la generalizaci´on a dimensi´ visto en el Ejemplo 9.1. Para ello, fijamos una referencia proyectiva R de P(V ), tomamos la referencia dual R∗ de P(V )∗ y consideramos A una matriz de f respecto de R y R∗ . Esto quiere decir que, si un punto p (fuera del centro de f ) tiene coordenadas (a0 : . . . : an )   a0 . respecto de R, entonces f (p) es el hiperplano coordenadas A  ..  respecto de R, es an decir, el hiperplano de ecuaci´ on 

 a0 . (X0 . . . Xn )A  ..  = 0 an respecto de R. En otras palabras, un punto de coordenadas (b0 : . . . : bn ) pertenece al 86

hiperplano f (p) si y s´olo si



 a0 . (b0 . . . bn )A  ..  = 0. an

   a0 0 ..  ..    = Obs´ervese que, si p estuviera en el centro de f , entonces A . , con lo que . 0 an la relaci´ on anterior se verifica para cualquier punto de coordenadas (b0 : . . . : bn ). Por abuso de notaci´ on, diremos en tal caso que f (p) es todo P(V ). De esta forma, dar una correlaci´on es equivalente a dar una matriz A, y la imagen por la correlaci´ on de un punto de coordenadas (a0 : . . . : an ) es el conjunto de puntos de coordenadas (b0 : . . . : bn ) para los que se verifica la relaci´on anterior. 

Tambi´en puede verse la correlaci´on por medio de una forma bilineal. En efecto, basta fijar una base asociada a la referencia R y definir B : V × V -----> k mediante   Y0 . B(u, v) = (X0 . . . Xn )A  ..  Yn donde X0 , . . . , Xn e Y0 , . . . , Yn son respectivamente las coordenadas de u y v respecto de dicha base. De este modo, la imagen por la correlaci´ on del punto [v] es el conjunto de puntos de [u] que verifican B(u, v) = 0. ´ Dicho sin coordenadas, lo que tenemos es el siguiente resultado de Algebra Lineal: Proposici´ on 9.3. Sea V un espacio vectoria sobre un cuerpo k. Entonces: on BF : V × V → k definida por (i) Dado un homomorfismo F : V → V ∗ , la aplicaci´ BF (u, v) = (F (v))(u) es una forma bilineal. (ii) Dada una forma bilineal B : V × V → k, la aplicaci´ on FB : V → V ∗ definida por FB (v) : V u

→  →

k B(u, v)

es una aplicaci´ on lineal. Adem´as, las asignaciones F → BF y B → FB definen biyecciones (una inversa de la otra) entre el conjunto de homomorfismos V → V ∗ y el conjunto de formas bilineales V ×V → k. Demostraci´ on: Se deja como ejercicio. Definici´ on. Llamaremos correlaci´ on asociada a una forma bilineal no nula B : V × V → k a la correlaci´on definida por el homomorfismo FB : V → V ∗ de la proposici´ on anterior. 87

Observaci´ on 9.4. Por la Proposici´ on 9.3, la correlaci´ on f : P(V )-----> P(V )∗ asociada a una forma bilineal B : V × V → k est´a definida como f ([v]) = {[u] ∈ P(V ) | B(u, v) = 0}. Adem´as, dos formas bilineales B, B
definen la misma correlaci´ on si y s´ olo si los homoon proyectiva. Por la Proposici´ on 7.6(v), morfismos FB y FB
definen la misma aplicaci´ esto es equivalente a que FB y FB
sean proporcionales, lo que equivale a que B y B
sean proporcionales. Proposici´ on 9.5. Sea f : P(V )-----> P(V )∗ la correlaci´on asociada a una forma bilineal no nula B : V × V → k. Consideramos la forma bilineal B t : V × V → k definida por B t (u, v) = B(v, u). Entonces la aplicaci´on dual de f (ver Proposici´ on 7.16) es la ∗ ∗ t aplicaci´ on f : P(V )-----> P(V ) asociada a B , es decir, para todo p ∈ P(V ) se tiene que ∗ f (p) = {q ∈ P(V ) | p ∈ f (q)}. Demostraci´ on: Identificamos cada punto [v] ∈ P(V ) con el hiperplano Ω([v]) de P(V )∗ consistente en el conjunto de hiperplanos de P(V ) que pasan por p. Entonces, por definici´ on ∗ de aplicaci´ on dual, f manda [v] a la imagen inversa por f de Ω([v]), es decir al conjunto {[u] ∈ P(V ) | [v] ∈ f ([u])}. Como f est´a asociada a B, se tendr´ a [v] ∈ f ([u]) si y s´olo si t ∗ B(v, u) = 0, es decir B (u, v) = 0, por lo que f es la correlaci´on asociada a B t .

Definici´ on. Llamaremos correlaci´ on dual o correlaci´ on transpuesta de una correlaci´ on f ∗ ∗ otese que, si f tiene matriz A a la aplicaci´ on f : P(V )-----> P(V ) del lema anterior. N´ ∗ respecto de una referencia y su dual, entonces f tiene matriz At . Proposici´ on 9.6. Sea f : P(V )-----> P(V )∗ una correlaci´ on asociada a una forma bilineal B : V × V → k. Entonces: (i) f = f ∗ si y s´olo si B es sim´etrica o antisim´etrica. (ii) Cada punto p ∈ P(V ) est´a en el hiperplano f (p) si y s´olo si B es antisim´etrica. Demostraci´ on: Sabemos por la Proposici´ on 9.5 que f ∗ est´a asociada a B t . Por tanto, por la Observaci´ on 9.4, se tendr´ a f = f ∗ si y s´olo si existe λ ∈ k \ {0} tal que B = λB t . Para demostrar (i), basta ver que los u ´nicos valores de λ para los que se puede dar esta igualdad son 1 y −1. En efecto, transponiendo la igualdad y reiterando, se obtiene B t = λB = λ(λB t ) = λ2 B t , lo que implica λ2 = 1 y por tanto λ = ±1. Esto demuestra (i). Para demostrar (ii), la Observaci´ on 9.4 nos dice que [v] ∈ f ([v]) si y s´olo si B(v, v) = 0. Por tanto, cada punto estar´ a en su imagen por f si y s´olo si B(v, v) = 0 para todo v ∈ V . Veamos que esta u ´ltima condici´ on es equivalente a que B sea una forma bilineal 88

antisim´etrica. En efecto, si B(v, v) = 0 para todo v ∈ V , en particular se tendr´ a, para cualesquiera u, v ∈ V , 0 = B(u + v, u + v) = B(u, u) + B(u, v) + B(v, u) + B(v, v) = B(u, v) + B(v, u) (donde hemos usado la bilinealidad de B). Por tanto, B(u, v) = −B(v, u) para cualesquiera u, v ∈ V , es decir, B es antisim´etrica. Definici´ on. Se llama correlaci´ on nula (o correlaci´ on antisim´etrica) a una correlaci´ on f : ∗ P(V )-----> P(V ) tal que p ∈ f (p) para cada p ∈ P(V ). Se llama polaridad o correlaci´on sim´etrica a una correlaci´ on f : P(V )-----> P(V )∗ que coincide con su dual f ∗ y tal que el conjunto Q de los puntos p ∈ P(V ) para los que p ∈ f (p) no es todo P(V ). Por la proposici´ on anterior, tales correlaciones son, respectivamente, las correlaciones asociadas a una forma bilineal antisim´etrica y sim´etrica. Ejemplo 9.7. Obs´ervese que, como en una recta los hiperplanos son puntos, una correlaci´on en una recta no es m´ as que una aplicaci´ on proyectiva de la recta en s´ı misma. Si on nula en la recta L, entonces f (p) = p para todo p ∈ L, f : L-----> L fuera una correlaci´ luego p ser´ıa la identidad. Observaci´ on 9.8. N´otese que, si el cuerpo k tiene caracter´ıstica distinta de dos (lo que supondremos siempre) no puede haber correlaciones nulas no degeneradas en un espacio proyectivo de dimensi´ on n par. El motivo es que si A es una matriz antisim´etrica de orden impar n + 1, entonces de la igualdad At = −A se sigue det A = det At = (−1)n+1 det A = − det A, lo que implica det A = 0 (aqu´ı hace falta usar que la caracter´ıstica no es dos; en caso contrario, 2 det A = 0 no implicar´ıa det A = 0). En cambio, para n impar, la matriz 



0 1  −1 0        

0 1 −1 0

..

. 0 −1

        1 0

(donde las entradas no explicitadas son cero) es antisim´etrica de orden par. En realidad, puede demostrarse que cualquier correlaci´ on nula no degenerada admite una matriz de esa forma respecto de un sistema de referencia adecuado. Definici´ on. Por abuso de notaci´ on, se suele llamar cu´ adrica en un espacio proyectivo P(V ) a un conjunto Q de puntos p ∈ f (p), donde f : P(V )-----> P(V )∗ es una polaridad, aunque en 89

realidad una cu´ adrica es una polaridad, en el sentido de que dos cu´ adricas se considerar´an iguales s´olo si sus polaridades coinciden. Se llamar´ a v´ertice de la cu´ adrica al centro de la polaridad. Llamaremos rango de la cu´ adrica al rango de cualquier matriz que defina la polaridad. Diremos que la cu´ adrica es no degenerada o no singular si el rango es m´aximo, es decir, dim(V ) (equivalentemente, f es una proyectividad o, tambi´en, el lugar singular es vac´ıo). Lema 9.9. Sea f : P(V )-----> P(V )∗ la polaridad asociada a una forma bilineal (sim´etrica) B : V × V → k y sea Q ⊂ P(V ) el conjunto de puntos p ∈ P(V ) tales que p ∈ f (p). Dado un subespacio P(W ) ⊂ P(V ) no contenido en Q, entonces la aplicaci´on f|P(W ) : P(W )-----> P(W )∗ definida por f|P(W ) (p) = f (p) ∩ P(W ) es la polaridad asociada a la resadrica es la intersecci´on de Q tricci´on BW ×W . Adem´as, como conjunto de puntos, esta cu´ con P(W ). Demostraci´ on: Por definici´ on, la correlaci´ on asociada a BW ×W asocia a cada [w] ∈ P(W ) el conjunto de puntos [u] ∈ P(W ) tales que BW ×W (u, w) = 0, que es precisamente f ([w]) ∩ P(W ). Adem´as, [w] ∈ P(W ) est´a en el correspondiente conjunto de puntos si y s´olo si BW ×W (w, w) = 0, es decir, si y s´olo si [w] ∈ Q. Ejemplo 9.10. En coordenadas respecto de una referencia R (y su dual), la polaridad de una cu´ adrica viene dada por una matriz sim´etrica A. Si el rango de A es r, entonces sabemos que existe una matriz P de determinante no nulo tal que      P t AP =    



λ0 ..

       

. λr−1 0

..

. 0

con λo , . . . , λr−1 ∈ k \ {0} Esto quiere decir que, haciendo el cambio de coordenadas 
  X0 X0  .  ..  = P  ..  . , Xn Xn



= 0. Por tanto: la ecuaci´on de la cu´ adrica queda λ0 X0
+ . . . + λr−1 Xr−1 2

2

–Si la cu´ adrica tiene rango uno, su conjunto de puntos es un hiperplano, y se dice que la cu´ adrica es un hiperplano doble. 90

–Si la cu´ adrica tiene rango dos, su conjunto de puntos es de la forma X0
+ λλ10 X1
= 0.   λ1
on de los hiperplanos X0 + − λλ10 X1
= 0 y Si − λ0 ∈ k, entonces dicho conjunto es la uni´  X0
− − λλ10 X1
= 0, y se dice que la cu´adrica es un par de hiperplanos reales (los hiperplanos  son distintos, pues λ1 = 0). Si, en cambio − λλ10 ∈ k, se dice que la cu´ adrica es un par de hiperplanos imaginarios. 2

2

El resultado siguiente indica que la polaridad respecto de una cu´ adrica no degenerada tiene el mismo sentido que vimos para c´onicas (Proposici´ on 4.2), aunque ahora lo haremos sin coordenadas: adrica Q. Entonces, Proposici´ on 9.11. Sea f : P(V )-----> P(V )∗ la polaridad de una cu´ para cualquier p ∈ Q se tiene: (i) Una recta de f (p) que pase por p o bien est´a contenida en Q o corta a Q s´olo en el punto p. (ii) Una recta que pase por p y no est´e contenida en f (p) corta a Q exactamente en dos puntos (siendo p uno de ellos). Demostraci´ on: Sea L ⊂ f (p) tal que p ∈ L y supongamos que L contiene un punto q ∈ Q distinto de L. Veamos entonces que L ⊂ Q, lo que demostrar´ a (i). Observamos en primer lugar que, como q ∈ f (p), entonces p ∈ f (q), y como q ∈ Q, entonces q ∈ f (q). Por tanto, L ⊂ f (q), adem´as de L ⊂ f (p) por hip´ otesis. Dado pues q
∈ L, se tendr´ a q
∈ f (p) y q
∈ f (q), luego p, q ∈ f (q
), es decir, L ⊂ f (q
). En particular, q
∈ f (q
), es decir, q
∈ Q como quer´ıamos. Para demostrar (ii), sea ahora L una recta que pasa por p pero no est´a contenida en f (p). En particular, f (p) es un hiperplano que corta a L s´olo en el punto p. Consideramos f|L : L-----> L definido en el Lema 9.9. Evidentemente, f|L (p) = f (p) ∩ L = p. Adem´as, si q ∈ L \ {p}, no puede ser L ⊂ f (q), ya que entonces p ∈ f (q), lo que implicar´ıa q ∈ f (p), es decir, q ∈ f (p)capL = p, que es absurdo. Por tanto, f|L (q) = f (q) ∩ L es un punto, lo que implica que f|L es no degenerada, es decir, tiene rango dos. Por el Ejemplo 9.10, como Q ∩ L tiene al menos el punto real p, consiste exactamente en dos puntos. Definici´ on. Dada una cu´ adrica no degenerada Q ⊂ P(V ), se llama hiperplano polar de un punto respecto de la cu´ adrica a la imagen del punto respecto de la correlaci´ on f determinada por la cu´adrica (en el sentido del resultado anterior) Si p ∈ Q, llamaremos a f (p) hiperplano as en general, se llama tangente a la cu´ adrica Q en el punto p y lo denotaremos Tp Q. M´ subespacio polar de un subespacio Λ ⊂ P(V ) al subespacio que corresponde por dualidad a f (Λ) ⊂ P(V )∗ . Se tiene entonces que la intersecci´on de Q con el hiperplano polar de un punto p es el conjunto de puntos q tales que el hiperplano tangente a Q en q pasa por p. 91

Proposici´ on 9.12. Sea Q una cu´ adrica de rango r y v´ertice Λ0 en un espacio proyectivo P(V ) de dimensi´on n. Entonces: (i) Para cada p ∈ Q, la intersecci´on de Q con el hiperplano tangente a Q en p es una cu´ adrica en dicho hiperplano, que tiene rango r − 2 y v´ertice el subespacio generado por p y Λ0 . (ii) Los subespacios lineales contenidos en Q tienen dimensi´ on a lo sumo

2n−r 2 .

Demostraci´ on: Para demostrar (i), tomamos coordenadas en P(V ) tales que el punto p sea (1 : 0 : . . . : 0) y el hiperplano tangente a Q en p sea H : Xn = 0. La matriz de Q en estas coordenadas tendr´a entonces la forma  0  0 ... 0 p 0n

  A=  

0 .. .

p11 .. .

...

p1,n−1 .. .

p1n .. .

0 p0n

p1,n−1 p1n

... ...

pn−1,n−1 pn−1,n

pn−1,n pn,n 

    

 ... p1,n−1 p11   .. con p0n = 0. Adem´as, como el rango de A es r, el rango de  ...  . p1,n−1 . . . pn−1,n−1 es r − 2. Es claro que H ∩ Q es la cu´adrica en H, cuya ecuaci´on en las coordenadas x0 , . . . , xn−1 consiste en hacer Xn = 0 en la ecuaci´on de Q, es decir, es la cu´adrica de matriz 0  0 ... 0 ... p1,n−1  p11 0 .  .. .. .  . . . 0

p1,n−1

...

pn−1,n−1

que claramente tiene rango r − 2 y cuyo n´ ucleo es el subespacio que corresponde al subespacio proyectivo generado por p y Λ0 . Sea ahora Λ un subespacio lineal contenido en Q de dimensi´ on m. La restricci´on de la polaridad de Q a Λ es una aplicaci´ on proyectiva Λ-----> Ω(Λ) con centro Λ ∩ Λ0 . Por tanto n − m − 1 = dim(Ω(Λ)) ≥ dim Λ − dim(Λ ∩ Λ0 ) − 1 ≥ dim Λ − dim Λ0 − 1 = m − (n − r) − 1 de donde se obtiene (ii). Proposici´ on 9.13. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimensi´ on tres y sea Q ⊂ P(V ) una cu´ adrica no degenerada que contiene una recta L. Entonces por cada punto p ∈ Q pasan exactamente dos rectas contenidas en Q. Demostraci´ on: Por la Proposici´ on 9.12(i) sabemos que la intersecci´on de Q con el plano tangente a Q en p es una c´onica de rango uno, es decir, un par de rectas. El resultado 92

estar´a demostrado si demostramos que las rectas no son imaginarias. Distinguimos dos casos: –Si p ∈ L, la intersecci´on de Q con su plano tangente en P contiene a la recta L, luego el par de rectas no son imaginarias (ya que L es una de ellas). –Si p ∈ L, entonces, la intersecci´on de Q con el plano Π generado por p y L es una c´onica que pasa por p y contiene a la recta L. Por tanto, dicha c´ onica es un par de rectas
no imaginarias, una de ellas L, y otra recta L que pasa por p. Repitiendo el caso anterior tomando L
en lugar de L, se obtiene el resultado.

93

10. Espacio af´ın y espacio proyectivo

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