Arbitraje y Valoración de Activos Financieros Julio G. Villalón Josefina Martínez Barbeito Casa de la Galería, s/n Campus de Elviña 15071 A Coruña E-mail: [email protected] [email protected]

Resumen Una oportunidad de arbitraje, es una estrategia de inversión que garantiza un resultado positivo con respecto a cierta contingencia con ninguna posibilidad de obtener un resultado negativo y sin realizar inversión alguna. Todos los métodos de valoración de activos derivados utilizan la noción de arbitraje. Los precios de los activos se obtienen en condiciones tales que evitan oportunidades de arbitraje. En los “métodos de valoración equilibrio”, la ausencia de oportunidades de arbitraje es parte de las condiciones de equilibrio general. Las oportunidades de arbitraje pueden surgir de dos formas diferentes. En la primera, se puede hacer una sucesión de inversiones sin ninguna obligación actual y esperar obtener un beneficio positivo. En las oportunidades de arbitraje “segunda clase”, una cartera puede asegurar una comisión neta negativa hoy, mientras que proporciona beneficios no negativos en el futuro. Por nuestra parte, después de hacer referencia a los siguientes aspectos: precios de los activos y estados de la naturaleza; rendimientos y desembolsos; consideramos el Teorema de Arbitraje y se propone una generalización.

Palabras clave: Oportunidades de arbitraje, valoración de activos derivados, métodos de valoración equilibrio, Teorema de arbitraje, MEDAF, CAPM, inversor alcista, inversor bajista, cartera de arbitraje, martingala, Ecuaciones Diferenciales Estocásticas.

1. Introducción La teoría arbitraje de valoración de activos la desarrolló Ross [7,8,9] como una alternativa al Modelo de Equilibrio de Activos Financieros (MEDAF), de versión anglosajona Capital Asset Pricing Model (CAPM), cuya conclusión principal es que la cartera de mercado es eficiente media-varianza. Su consideración formal implica la siguiente notación. Un determinado activo i tiene de rendimiento medio Ei y la cartera de mercado tiene de rendimiento E m y varianza σ m2 . La covarianza entre el rendimiento del activo i y el rendimiento de la cartera de mercado es σ im y el tanto de interés sin riesgo r. El MEDAF afirma que Ei = r + λ bi (1.1) donde λ = E m − r (1.2) y bi = σ im σ m2 es el “coeficiente beta” del activo i. La normalidad de los rendimientos de los activos de capital o bien las preferencias cuadráticas de sus poseedores son las hipótesis que conducen a la (1.1) y (1.2). Teórica y empíricamente es difícil justificar las hipótesis del MEDAF. Además, el MEDAF es criticado debido a su dudoso contenido. La cartera de mercado es prácticamente no observable y una declaración respecto a la cartera de mercado (tal como el MEDAF) es difícil de contrastar empíricamente. Sin embargo, la relación lineal (1.1) es aplicable por su simplicidad y por sus fáciles interpretaciones. El Modelo de Valoración fundado en el Arbitraje (MVA, cuya versión anglo-sajona es “Arbitrage Pricing Theory”, APT), es un modelo alternativo a las teorías media-varianza, alternativa que implica una relación aproximadamente lineal como la (1.1). La principal ventaja del Modelo de Valoración mediante arbitraje (MVA) de Ross es que su contrastabilidad empírica no depende del conocimiento de la cartera de mercado. Desgraciadamente, el análisis de Ross no es fácil de seguir. No suministra una definición explícita de arbitraje y su demostración implica hipótesis respecto a las preferencias de los agentes así como hipótesis de “no arbitraje”.

2. Precios de los Activos El índice t representa el tiempo. Los títulos (valores) tales como opciones, futuros, contratos a plazo y mercancías se representan mediante un “vector” de precios de los títulos denotado por S t :  S1 (t )   (2.1) S t =    S N (t ) S1 (t ) , puede significar pedir prestado o prestar sin riesgo; S 2 (t ) , puede denotar un título particular; S 3 (t ) , una opción call suscrita sobre este título, S 4 (t ) , la

correspondiente opción put y así sucesivamente. El subíndice t en S t indica que los

2

precios pertenecen al momento representado por el valor de t. En los precios de los títulos tiempo “discreto” se puede expresar como S 0 , S1 , … , S t , S t +1 , … . Ahora bien, en tiempo continuo el subíndice t puede tomar cualquier valor entre cero e infinito, es decir t ∈ [0, ∞ ) . (2.2) En general, 0 denota el “momento inicial” y t el momento “presente”. Si escribimos t 1 , se precisa que α 1 + α 2 < 1. Esto se obtiene de la primera fila de la ecuación matricial. 2. Si no hay oportunidades arbitraje, entonces se pueden encontrar constantes positivas α 1 , α 2 que satisfagan la (6.3). La relación (6.3) se denomina “representación”. No es una relación que se pueda observar en realidad. En efecto, S1 (t + 1) y S 2 (t + 1) son “posibles” valores futuros del activo subyacente. Solamente será observado uno de ellos – el que pertenece al estado que se ha realizado. ¿Qué representan las constantes α 1 y α 2 ? De acuerdo con la representación implicada por el Teorema de Arbitraje, si un título paga 1 en el estado 1 y 0 en el estado 2, entonces S(t) = (1) α 1 (6.4) Por tanto, los inversores están tratando de pagar α 1 unidades (ahora) por una “póliza de seguros” que ofrece una unidad monetaria en el estado 1 y nada en el estado 2. Análogamente, α 2 indica cuánto estarían dispuestos a pagar los inversores por una “póliza de seguros” que pague 1 en el estado 2 y nada en el estado 1. Evidentemente, gastando α 1 + α 2 se puede garantizar 1 unidad monetaria en el futuro independientemente de qué estado se haya presentado. Esto es lo que expresa la primera fila de la representación (6.3). De acuerdo con esta interpretación α 1 , α 2 se denominan “precios de los estados”. Respecto a la cuestión de ¿qué tipos de resultados prácticos (si existen) se obtienen de la existencia de α 1 y α 2 ? Diremos que la representación dada por el teorema de arbitraje es muy importante para la valoración práctica de activos. El teorema de arbitraje proporciona un interesante método general para valorar activos derivados. Consideremos la representación: (1 + r )   1   (1 + r )  α 1   S (t )  =  S (t + 1) (6.5) ( 1 ) S t + 1 2  α     2  C (t ) C1 (t + 1) C 2 (t + 1) multiplicando la primera fila de la matriz dividendo Dt por el vector α 1 , α 2 obtenemos

6

1 = ( 1 + r) α 1 + (1 + r) α 2

(6.6)

Definimos:

~ ~ P1 = (1 + r )α 1 y P2 = (1 + r )α 2 (6.7) Debido a la positividad de los precios y a la (6.6) ~ ~ ~ 0 < Pi ≤ 1 y P1 + P2 = 1 ~ Por tanto, las Pi son números positivos y suman uno. Entonces pueden ser interpretadas como dos “probabilidades” asociadas a los dos estados considerados. Decimos “interpretadas” porque las verdaderas probabilidades que rigen el acaecimiento de los ~ ~ dos estados de la naturaleza, en general, serán diferentes de P1 y P2 . Están definidas por la (6.7) y no suministran información directa respecto a las verdaderas ~ ~ probabilidades asociadas a los dos estados de la naturaleza. Por esta razón, P1 , P2 se denominan probabilidades sintéticas “ajustadas al riesgo”.

{

}

Por otra parte, utilizando probabilidades ajustadas al riesgo, podemos deducir un importante resultado para la valoración de activos. En la representación libre de riesgo dada por la (6.5), dividimos ambos miembros de la igualdad por el precio actual del activo y multiplicamos ambos miembros por (1 + r), tanto de rendimiento sin riesgo bruto. Suponiendo distintos de cero los precios de los activos, obtenemos ~ S (t + 1) ~ S 2 (t + 1) P1 1 + P2 = (1 + r ) S (t ) S (t ) (6.8) ~ C (t + 1) ~ C2 (t + 1) P1 1 + P2 = (1 + r ) C (t ) C (t )

(6.9)

En primer lugar, observamos que las relaciones tales como S1 (t + 1) S 2 (t + 1) Y (6.10) S (t ) S (t ) son los tantos de rendimiento brutos de S(t) en los estados 1 y 2 respectivamente. Las ~ ~ igualdades (6.8) y (6.9) implican que si se utilizan P1 y P2 para calcular los valores esperados, todos los activos tendrían el mismo rendimiento esperado. De acuerdo con ~ ~ este nuevo resultado “según las P1 y P2 ” todos los rendimientos esperados son iguales al tanto de rendimiento libre de riesgo r. Resultado de amplio uso en la valoración de activos financieros.

7. Algunas generalizaciones Hasta ahora la estructura financiera ha sido muy sencilla. En general, tales ejemplos sencillos no se pueden usar para valorar activos financieros reales. A continuación, vamos a considerar algunas generalizaciones que se necesitan para lograrlo.

7

7.1 Índice temporal Hasta ahora, hemos considerado tiempos discretos, t = 1,2,3,.... En los modelos de valoración de activos tiempo continuo supondremos que t es continuo t ∈ [0, ∞ ) (7.1) En este caso, podemos considerar intervalos infinitesimales denotados por dt. En tiempo continuo, los valores que puede tomar un activo no se limitan a dos. Hay innumerables posibilidades y un continuo de estados de la naturaleza. Para captar tales generalizaciones, necesitamos introducir las llamadas Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE). Por ejemplo, los incrementos de los precios de títulos St se pueden modelar utilizando la ecuación dS t = µ t S t dt + σ t S t dWt (7.2) Donde el símbolo dSt representa un cambio infinitesimal en el precio del título; µt St dt , es el movimiento previsto durante un intervalo infinitesimal dt y σ t St dW es una perturbación aleatoria infinitesimal impredecible.

Por otra parte, cuando t es continuo, el factor de actualización vendrá dado por e −δ ∆ (7.3) donde δ es el tanto instantáneo de capitalización. 7.2 Generalización del Teorema de Arbitraje De acuerdo con el teorema de arbitraje, si no hay posibilidades de arbitraje, entonces hay precios estados “soporte” {α i } tales que cada precio de activo hoy es igual a una combinación lineal de posibles valores futuros. También se verifica el recíproco. Si existen tales precios estados (soporte), entonces no hay oportunidades de arbitraje. Para establecer el teorema de arbitraje de forma general, empezamos por definir los símbolos subyacentes • Sea la matriz de resultados d 11 … d1K   (7.4) Dt =   d N 1 … d NK 

donde N es el numero total de títulos y K, el número total de estados de la naturaleza. • Definimos una “cartera” α , como el vector columna de compromisos financieros para cada activo α 1  (7.5) α =   α N 

En términos bursátiles, α da las “posiciones” tomadas en un cierto instante. Multiplicando α por St , obtenemos el valor de la cartera α : N

S t'α = ∑ S i (t )α i

(7.6)

i =1

Esta es la inversión total en la cartera α en el momento t. •

El desembolso para la cartera α en el estado j es

∑

N

i =1

d ij α i

8

Matricialmente: d11 … d N 1  α 1    (7.7) D ′α =      d1K … d NK  α N  Ahora podemos definir una “cartera de arbitraje” de la forma siguiente: α , es una cartera de arbitraje, o simplemente un arbitraje, si se cumple una de las siguientes condiciones: 1. S ′α ≤ 0 y D ′α > 0 2. S ′α < 0 y D ′α ≥ 0 De acuerdo con esto, la cartera α garantiza cierto rendimiento positivo en todos los estados, sin embargo esta no cuesta nada comprarla. Es decir, garantiza un rendimiento no negativo mientras que tiene un coste negativo hoy. El teorema siguiente es la generalización de las condiciones de arbitraje discutidas anteriormente. 1. Si no hay oportunidades de arbitraje, entonces existe un α > 0 tal que S = Dα (7.8) 2. Si se verifica la condición (2.1), entonces no hay oportunidades de arbitraje. Esto significa que en una situación de libre arbitraje existen α i tales que  S1  d11 … d1K   α 1   =   (7.9)       S N  d N 1 … d NK   α N  Observemos que de acuerdo con el teorema, se debe verificar αi > 0 para todo i si cada estado en consideración tiene una probabilidad de acaecimiento no nula.

Ahora supongamos que consideramos un tipo especial de matriz rendimiento donde 1 … 1  d … d  21 2K  (7.10) D=     d N 1 … d NK  En la matriz D, los elementos de la primera fila son constantes e iguales a 1. Esto implica que el rendimiento del primer activo es el mismo sin importar el estado de la naturaleza en que se encuentre. Por tanto, el primer título es sin riesgo. Utilizando el teorema de arbitraje y multiplicando la primera fila de D por el vector precio estado α , obtenemos S1 = α 1 + … + α K (7.11) O bien, definiendo K

∑α i =1

i

= α0

(7.12)

El α 0 es el “descuento en la petición de prestado sin riesgo”.

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8. Conclusiones El teorema de arbitraje proporciona una metodología poderosa para determinar en la práctica valores de mercado de activos financieros. Los pasos más importantes de esta metodología aplicada a los derivados financieros son los siguientes: 1. Obtener un modelo lo suficientemente aproximado para investigar la dinámica del precio del activo subyacente. 2. Calcular cómo el precio del título derivado expresa el precio del activo subyacente al vencimiento o en otros momentos. 3. Obtener las probabilidades ajustadas al riesgo. 4. Calcular los resultados esperados de los derivados al vencimiento utilizando las probabilidades ajustadas al riesgo. 5. Actualizar esta expectativa utilizando el rendimiento libre de riesgo. Con el fin de poder aplicar esta metodología de valoración, es necesario familiarizarse con los siguientes tipos de instrumentos matemáticos: En primer lugar, la noción de tiempo se necesita definir cuidadosamente. Se debe desarrollar los instrumentos para manejar cambios en los precios de los activos durante períodos de tiempo “infinitesimales”. Esto requiere un “análisis tiempo continuo”. En segundo lugar, necesitamos manejar la noción de “aleatoriedad” durante tales períodos infinitesimales. Se necesita definir cuidadosamente los conceptos tales como probabilidad, esperanza, valor medio y volatilidad durante los períodos infinitesimales. Esto requiere la consideración del llamado “cálculo estocástico”. Se trata de discutir la intuición tras las hipótesis que conducen a mejores resultados en el cálculo estocástico. En tercer lugar, necesitamos comprender cómo obtener las probabilidades ajustadas al riesgo y cómo determinar el factor de actualización correcto. El Teorema Girsanov, establece las condiciones según las cuales se pueden usar las probabilidades ajustadas al riesgo. El teorema también da la forma de estas distribuciones de probabilidad. La noción de “martingalas” es esencial para el teorema Girsanov y, por tanto, para la comprensión de la naturaleza “neutral frente al riesgo”. Finalmente, cuando se presenta la cuestión de cómo relacionar los movimientos de varias cantidades entre sí a lo largo del tiempo, esto se logra utilizando ecuaciones diferenciales en el cálculo estándar. Ahora bien, en un ambiente aleatorio se utilizan las llamadas “Ecuaciones Diferenciales Estocásticas” (EDE).

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