. Areas de los cuerpos geometrlcos

,

•

,

PARA EMPEZAR

Cómo se calcula el área de un prisma regular • Área lateral: • Área de la base:

As

• Área tata 1: ¡endo p el perímetro de una de las bases, h la altura del prisma y ~!B'jt=lemDlD:

B

la apotema.

En el prisma pentagonal de la figura, el lado de la base mide 6 m y la apotema 4,13 m. Sabiendo que la altura del prisma es 12 m, el área total del prisma será:

h = 12 m

}

AL = P • h = 30 . 12

= 360 m2

}

P = 6 • 5 = 30 m . 30 . 4 13 AT = AL + 2A8 = 360 2 o = 4,13 m A8 = .E:.-E.. = 2 = 61 '95 m 2

+ 2 . 61,95 => IAr = 483,9 m21

I

,

• Halla el área de un prisma que tiene 22 cm de altura, y cuyas bases son rectángulos de lados 10 cm y 12 cm.

• En un prisma dé base cuadrada se sabe que el lado de la base es 5 m y que la altura del prisma es 12 m. Halla el área total del prisma.

m

12m

• Un prisma tiene base hexagonal de lado 4 dm y apotema 3,46 dm. La altura del prisma es 90 cm. Calcula: a) El área de la base.

b) El área lateral del prisma.

e) El área total del prisma.

-jOr­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula el área de un cilindro I area total de un cilindro

=2 • h A = r2 Ar = AL + 2A = 2 •

AL

• Área lateral: • Área de la base: • Área total:

B

'ir' , .

'ir •

B

'n' • , .

h + 2 • 'ir • r2

¡endo , el radio de la base y h la altura del cilindro.

jemplo: El área total de un cilindro que mide 18 m de altura y cuya base tiene 6 m de radio es:

A. = 2 . TI' • , . h = 2 . 3,14 . 6 ·18 == 678,24 m2 } .

AB = TI'

•

• ,2

= 3.14 . 36 = 113,04 m

Ar = AL

2

+ 2AB =

678.24

+ 2 . 113,04 => lAr =

904,32 m21

Un cilindro tiene 6 cm de radio y 16 cm de altura. Calcula: al El área de la base.

bl La superficie lateral.

el La superficie total.

• Un depósito cilíndrico tiene 678,24 cm 2 de superficie lateral y su altura es 18 cm. Halla el radio de la base y calcula el área total del depósito.

• Un bote de refresco tiene 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. ¿Qué superficie ocupa la etiqueta de papel que rodea al bote? ¿Qué superficie ocupa la tapadera del bote?

-

-/1/8­

Cómo se calcula el área de una

• Área lateral:

AL­ -.P..:..3:. 2

• Área de la base:

AB

• Área tata 1: endo p el perímetro de la base y aL la apotema lateral.

. la base de la pirámide pentagonal de la figura tiene lados que miden 14 cm y su apotema mide 9,63 cm. la apotema de la pirámide es 60 cm. El área total de la pirámide será:

p = 14 . 5 = 70 cm A

L

=.E...:....!!.!: = 70·2 60 2

= 2100 cm 2

A -.l!..:.!!..u.. . 70· 9,63 - 33705 B -

2

=

2

-

,

}

Ar = AL cm

+ AB => lAr = 2437,05 cm2 J

2

•

Calcula el área lateral y el área total de una pirámide que tiene por base un cuadrado de 11 cm de lado y cuya apotema es 16 cm.

•

Una pirámide tiene por base un hexágono regular cuyos lados miden 10 m y la apotema de la base mide 8,66 m. Sabiendo que la apotema de la pirámide es 44 m, calcula: a) El área de la base.

b) El área lateral de la pirámide.

el

•

El área total de la pirámide.

Una pirámide tiene por base un cuadrado. Se sabe que su área total es 1248 cm 2 y su área lateral mide 992 cm 2• Calcula lo que miden los lados de la base de la pirámide.

-j(JC¡­

Cómo se calcula el área de un cono un cono se ca • Área lateral: • Área de la base:

As =

¡z

'Ir •

• Área total:

ndo r el radio de la base y 9 la generatriz.

El área total de un cono cuya base mide 4 dm

de radio y cuya generatriz mide 1.2 m es:

En primer lugar. se expresan las medidas en la misma unidad: 9 = 1,2 m = 12 dm

AL

= 11' • , . 9 = 3,14' 4'

As =

•

11' • ,2

2

= 3.14' 4

12

= 150.72 dm2 }

= 50,24 dm

2

AT = 150,72

+ 50,24 =>

IAT = 200.96 dm I

Calcula el área lateral y el área total del cono de la figura.

• En un cono, el área total mide 602,88 m2 y el área lateral es 401,92 m2• Calcula: a) El área de la base del cono.

b) El radio de la base del cono.

• Un cono tiene una base de 8 cm de radio y su área total es 452,16 cm 2• Calcula: a) El área lateral del cono.

b) La generatriz del cono.

-,

- //()­

2

iendo r la distancia del centro de la esfera a cualquier punto de la superficie esférica. :jemplo~

El área de la superficie de una esfera de 8 m de radio es:

A = 4 . 'lT

• ,2

= 4 • 'lT • 82 =>

IA

= 803,84 m2 1

•

Calcula el área de la superficie de una esfera de 14 cm de radio.

•

Halla el área de una superficie esférica de 22 dm de diámetro.

•

Un balón tiene 30 cm de diámetro. ¿Cuánto mide su superficie?

.la superficie de una esfera mide 2122,64 m2• Averigua el radio de la esfera.

• Un globo aerostático tiene un diámetro de 26 m cuando está totalmente hinchado de aire caliente. ¿Cuánto mide la superficie de tela del globo?

-jJJ,­

Resolución de problemas de áreas • Un rascacielos tiene base octogonal de 15 m de lado y la apotema dela base mide 18,10 m. La altura del edificio es 80 m. Calcula:

a) El área de la base.

b) La superficie lateral del edificio.

e) Lo que cuesta pintar la superficie lateral si cada 10 m2 cuestan 3 euros.

d) El área total del rascacielos.

• Un estanque cilíndrico tiene 18 m de diámetro y 1,30 m de altura. ¿Cuánto costará pintarlo si cada metro cuadrado pintado cuesta 1,50 euros?

• La relación entre la altura de un cono, su generatriz y su radio viene dada por la fórmula:

g2

= h2 + ,2.

Sabiendo que e~ un cono la generatriz mide 5 m y la altura 4 m, calcula:

al El radio de la base del cono.

. b) El área total del cono.

• Un depósito de forma esférica tiene 4 m de radio. Está recubierto con un materialque cuesta 12 euros cada metro cuadrado. ¿Cuánto costará el recubrimiento total del depósito?

- /JZ­

Unidades de capacidad y de volumen

•

PARA EMPEZAR

Cuáles son las unidades de capacidad

Unidades de capacidad menores que el litro: el mililitro (ml), el centilitro (cl) y el decilitro (dl). Unidades de capacidad mayores que el litro: el decalitro (dal), el hectolitro (hl) yel kilolitro (kl). relación que guardan las unidades de capacidad aparece en la siguiente figura:

•

Relaciona la capacidad de cada magnitud con la unidad más adecuada para medirla: El aire que cabe en los pulmones de una persona

ml

l

Una piscina

•

Un bote de un refresco

cl

Las gotas de un medicamento

kl

Completa la tabla siguiente:

12,3 48

14 1700 0,6

• En una granja hay 57 vacas, cada una de las cuales da 32 litros de leche diariamente. Calcula cuántos litros de leche produce la granja en una semana. Expresa el resultado en hectolitros.

-<

-/J:3­

111 PARA AVANZAR Cuáles son las unidades de volumen. Su relación con las de capacidad unidad fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico (m 3), es el volumen de un cubo de 1 m de arista. Unidades de volumen menores que el metro cúbico: el milímetro cúbico (mm 3), el centímetro cúbico (cm3 ) y el decímetro cúbico (dm 3).

1m

Unidades de volumen mayores que el metro cúbico: el decámetro cúbico (dam3), el hectómetro cúbico (hm 3) y el kilómetro cúbico (km 3).

X 1000

X 1000

relacionar las unidades de volumen y las unidades de capacidad, se tiene en cuenta que en un cubo de 1 dm3 de cabe exactamente 1 l de agua, esto es: 1 dm3 = 1 L relaciones principales entre unidades de volumen y de capacidad son: 1 cm 3 = 1 mL

•

1 dm3 = 1 L

1 m3

= 1 kL

Completa la siguiente tabla:

750000 18000000 3,5 1,43 0,00000726

•

•

Expresa en cm 3 las siguientes medidas de capacidad:

a) 22 l =

c) 43 kl ==

b) 33 cl =

d) 8000 dal =

Expresa en litros las siguientes medidas de volumen:

=

a) 12345 m3 =

c) 0,2 km 3

b) 78 dm 3 =

d) 3200 dam 3 =

------I/i¡­

Volúmenes de cuerpos geométricos

•

PARA EMPEZAR

Cómo se calcula el volumen de un ortoedro y de un cubo

v= A

B'

h :::::> V= a· b· e e

a

El volumen del cubo se calcula elevando la arista al cubo, puesto que se trata de un ortoedro con las tres aristas iguales.

v = a . a . a :::::>

•

V

=a

3

a

Calcula el volumen de los siguientes ortoedros: a)

b)

, I I

,, ,,. ,-_Jo ____

1,8 m

l. I

_.____ _ 0,3 m

12 cm

•

~"~

2,5m

Calcula el volumen de la siguiente figura formada por cubos de 2 cm de arista.

-jlS ­

•

El volumen de una torre es 5400 m3• Sabiendo que mide 20 m de largo y 18 m de ancho, ¿cuánto mide su altura?

El volumen de un cubo es 27 cm 3 • Determina su arista y su área total. Como el volumen del cubo es: V = a3=> a =

Vv = ffii = 13 cm31

Una vez obtenida la arista, se calcula el área de una cara (que es un cuadrado). El área total es seis veces el área de una cara:

AT = 6al

= 6 • 3 = 6 . 9 = 1 54 cm 2

2

1

• Sabiendo que la superficie total de un cubo es 96 cm 3, determina su arista y su volumen.

• Un aula vacía tiene forma de ortoedro y unas dimensiones de 10 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de alto. Calcula el volumen de aire que contiene y da el resultado en dm 3•

• Un silo de trigo formado por dos grandes naves: una con forma de ortoedro, de 20 m de largo, 15 m de ancho y 10 m de alto, y otra con forma de cubo de 25 m de arista. Determina el volumen de grano que cabe en el silo y da el resultado en m3 y hL

- Jlb­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula el volumen de un prisma regular

.-,..mln,r.-

Para calcular el volumen del prisma de base pentagonal de la figura inferior, hay que hallar primero la apotema y el perímetro de la base:

a = './32 - 1,52= 2,6 cm p=3'5=15cm

As = l!...:.J!.. = 15· 2,6 2

1,5 m

2

= 19 5 cm

2

'

J V= As' h = 19,5' 10 ::::} ,I'"""V-=-1-9-5-cm-""',

• Calcula el volumen de un prisma de 15 m de altura, sabiendo que su base es un cuadrado de 56 m de perímetro.

• Un edificio tiene forma de prisma de base hexagonal. El lado de la base es 16 m y la altura del edificio es 30 m. Calcula su volumen.

• Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m. Su volumen es 36 m3 • Calcula su altura.

3

Cómo se calcula el volumen de un cilindro

Área de la base: As =

'iT •

r2

Para calcular el volumen de un cilindro de 24 m de altura y cuya base mide 150 cm de radio, hay que tener en cuenta que todas las medidas deben expresarse en la misma unidad: r =:: 150 cm = 150 : 100 = 1,5 m

V=

1r'

r· h = 3,14' 1,5

2

•

24 => I V= 169,56 m3 1

• Calcula el volumen de un cilindro de 12 m de radio y 2000 cm de altura.

• Una columna cilíndrica tiene 1 m de diámetro en la base y 6 m de altura. Halla su volumen.

• El volumen de un cilindro es 1356,48 cm 3 y su altura es 18 cm. Calcula el radio de su base.

• Una torre de un castillo tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide 6 m y su altura es 20 m. Calcula el área de la base y su volumen.

-

Jl~~

Cómo se calcula el volumen de una pirámide

~~~·~l~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~

v=..!..· 3 A

B

•h

:¡e:m'¡:J/o: El volumen de una pirámide pentagonal de 20 m de altura y cuya base tiene 10 m de lado

y apotema a = 6,88 m se calcula a partir de estas cantidades:

p = 5 . 10

V=

•

= 50 m;

~ . Ae . h = ~

Ae =.E!..::.l!.. 2

. 172 • 20 ==>

= 50· 6,88 = 172 m2 2

Iv = 1146,67 m 1 3

La mayor de las tres pirámides que hay en Gizeh (Egipto) es la de Keops. Su base es un cuadrado que mide 230 m de lado y su altura es 147 m. Halla el volumen de la pirámide.

•

Calcula el volumen de una pirámide cuya base es un rectángulo que mide 16 m de largo por 12 m de ancho y tiene una altura de 14 m.

•

Calcula el volumen de una pirámide cuya base hexagonal tiene 12 m de lado, sabiendo que la apotema de la base es 10,39 m y que la altura de la pirámide es 15 m.

•

La base de una pirámide octogonal tiene 8 dm de lado y 9,66 dm de apotema. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su volumen es 103,04 dm 3•

-) 1'1­

Cómo se calcula el volumen de un cono

:jemplo: El volumen de un cono de 12 cm de altura y cuya base tiene 2 cm de radio se calcula a partir de la superficie de la base:

AB = 1l"

r = 3.14' 2 = 12.56 cm

V = ~ . AB • h =

2

~ . 12,56 . 12 =>

2

I V=

50,24 cm 3 1

• Calcula el volumen de un cono de 0,24 m de altura y cuya base tiene 5 cm de radio.

• Halla el volumen de un cucurucho de helado de 3 cm de radio y 12 cm de altura.

• Un gorro de fiesta tiene forma cónica. La circunferencia de la base tiene 58 cm de longitud y la altura del gorro es 30 cm. Halla el volumen del gorro.

• Un cono de 8 cm de radio tiene un volumen de 535,89 cm 3• Calcula la altura del cono.

Cómo se calcula el volumen de una esfera

V=±''rr'r 3

El volumen de una esfera de 6 cm de radio es:

v=;''rr.r=;'3,14'63 => IV=904,32cm 3 1

• Calcula el volumen de una canica de 4 mm de radio.

• Calcula el volumen de aire caliente que cabe en un globo aerostático de forma esférica que cuando está totalmente hinchado tiene un diámetro de 18 m. Sabiendo que cada litro de aire caliente pesa 0,0002 g, ¿cuánto pesará el aire contenido en el globo cuando esté totalmente hinchado?

• Averigua cuánt~s metros cúbicos de agua caben en un depósito de forma esférica que tiene 14 m de diámetro.

• ¿Cuál será el volumen de la cúpula de un planetario que tiene forma de semiesfera de 26 m de diámetro?

)2' ­