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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica
´ Areas entre curvas Ejercicios resueltos
Recordemos que el ´ area encerrada por las gr´aficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por b
Z
|f (x) − g (x)| dx a
Ejercicios resueltos Ejercicio 1: Hallar el ´ area A limitada por la par´abola y = 4 − x2 y el eje X.
Soluci´ on: Hallamos los puntos de intersecci´ on de la curva con el eje X, recordemos que el eje X corresponde a la recta y = 0 se sigue que
Z
3
y
=
4 − x2
2
y
=
0
1
tiene soluciones x = ±2, note adem´ as que f (x) = 4−x2 ≥ 0 en [−2, 2] de donde obtenemos (ver figura 1) 2
4 − x2 − 0 dx =
A=
4 f (x)=4−x2
−2
Z
2
−2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
−1
32 4 − x2 dx = 3
−2
Figura 1
Ejercicio 2: Hallar el ´ area de la regi´ on encerrada por las curvas y = 10x − x2 y y = 3x − 8. Soluci´ on: Graficamos ambas funciones. Busquemos los puntos de intersecci´on de ambas gr´aficas, es decir, resolvamos el sistema
25 20 15
y
=
10x − x2
10
y
=
3x − 8
esto nos lleva a la ecuaci´on 3x − 8 = 10x − x2 la que tiene por soluci´on x = 8, x = −1. Note que en x = 0 la ecuaci´on
5 0
−5
5
10
y = 10x − x2
−5 −10
da y = 0 y y = 3x − 8 entrega y = −8, por continuidad se sigue que 10x − x2 ≥ 3x − 8 en [−1, 8]
−15
Figura 2
as´ı podemos calcular el a ´rea Z 8 Z 10x − x2 − (3x − 8) dx = −1
MAT022
8
−1
1
243 10x − x2 − (3x − 8) dx = 2 N. C. F./A. A. M.
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Ejercicio 3: Hallar el ´ area encerrada por la gr´afica de las curva y = x2 − 8x + 10, el eje X, y las rectas x = 2 y x = 5.
Soluci´ on: Notemos que x2 − 8x + 10 tiene por gr´afica una par´ abola, adem´ as √ √ x2 − 8x + 10 = 0 ⇔ x − 4 − 6 x− 4+ 6 =0
0
5
2 x − 8x + 10 − 0 =
2
Z
4
6
−2
se sigue que x2 − 8x + 10 ≤ 0 entre las ra´ıces, en particular, en el intervalo [2, 5] es negativa. El ´ area buscada es entonces Z
2
−4
−6
5
− x2 − 8x + 10 dx = 15
2
Figura 3
Ejercicio 4: Hallar el ´ area A encerrada por las curvas y = sin x, y = cos x entre las rectas x = 0 y x = π.
1
Soluci´ on: Buscamos las intersecciones de las curvas y = sin x, y = cos x en el intervalo [0, π], esto nos lleva a buscar las soluciones de sin x = cos x, as´ı x = π/4. En 0, π4 cos x ≥ sin x y en π4 , π se cumple sin x ≥ cos x as´ı
0.5
−0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Z
π
−0.5
π/4
Z |sin x − cos x| dx
0
(cos x − sin x) dx
=
0
0
Z
π
(sin x − cos x) dx
+
−1
=
−1.5
√
π/4
√ √ 2−1 + 2+1 =2 2
Figura 4
Ejercicio 5: Hallar el ´ area encerrada entre las curvas 8y = x3 y 8y = 2x3 + x2 − 2x Soluci´ on: Buscamos los puntos de intersecci´ on de las curvas, es decir, resolvemos el sistema 8y
=
x3
8y
=
2x3 + x2 − 2x
0.5
−2.5
2x3 + x2 − 2x = x3
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
0
entonces
−0.5
⇔
x3 + x2 − 2x = 0
−1
⇔ x (x − 1) (x + 2) = 0 −1.5
se sigue que las curvas intersectan en x = 0, x = 1, x = −2, adem´ as de forma anal´ıtica podemos determinar cual de las curvas se encuentra arriba y en que intervalo MAT022
2
Figura 5
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En efecto 2x3 + x2 − 2x ≥ x3 ⇔ x (x − 1) (x + 2) ≥ 0 luego utilizando la tabla x x−1 x+2 x (x − 1) (x + 2)
− − − −
− − − −
−2 − − 0 0
− − + +
− − + +
0 0 − + 0
+ − + −
1 + 0 + 0
+ − + −
+ + + +
+ + + +
obtenemos que en el intervalo [−2, 1] se cumple
2x3 + x2 − 2x x3 ≥ 8 8 si y solo si x ∈ [−2, 0], as´ı Z 1 3 2 x3 2x + x − 2x − dx 8 8 −2
Z
0
= −2
Z + 0
1
! 2x3 + x2 − 2x x3 − dx 8 8 ! 2x3 + x2 − 2x x3 − dx 8 8
1 5 37 + = 3 96 96
=
Ejercicio 6: Encontrar el ´ area encerrada por las curvas y 2 = x y y = 3x − 10. Soluci´ on: Buscamos las intersecciones de las curvas, es decir, resolvemos el sistema y2
= x
y
=
3x − 10 2
en este caso es m´ as conveniente resolver para y, se sigue de estas ecuaciones que 1
y + 10 y = 3 2
que tiene soluciones y = 2, y = − 53 , valores que corresponden a x = 4 y x = 25 afico de 9 respectivamente. Los gr´ estas curvas corresponden a una par´ abola y una recta pero la par´ abola tiene directriz perpendicular al eje X, es m´as conveniente mirar el problema como si el eje Y fuera el eje X, nos queda Z 2 2 y + 10 A = y − dy 3 −5/3 Z 2 y + 10 1331 = − y 2 dy = 3 162 −5/3
−1
0
1
2
3
4
−1
−2
Figura 6
El problema tambi´en puede ser visto desde el eje X, la par´abola y 2 = x entrega dos funciones √ y = x √ y = − x MAT022
3
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se sigue que podemos calcular el ´ area como Z 25/9 Z √ √ x − − x dx + 0
4
√
x − (3x − 10) dx
25/9
(vea la figura 6) as´ı 500 331 1331 + = 81 162 162
Ejercicio 7: Hallar el ´ area encerrada por el eje X y las curvas y = arcsin x, y = arccos x.
Soluci´ on: Notemos que y = arcsin x, y = arccos x est´an definidas para x ∈ [−1, 1] adem´ as h π πi y = arcsin x ⇔ sin y = x con y ∈ − , 2 2 y = arccos x ⇔ cos y = x con y ∈ [0, π]
1
0.5
estas curvas intersectan en y = π4 , podemos mirar el problema de una manera m´ as conveniente desde el eje Y , en tal caso el ´ area queda Z
π/4
(cos y − sin y) dy =
√
−0.5
0.5
1
0
2−1 −0.5
0
Figura 7
mirando el problema desde el eje X el c´ alculo del ´area es Z 1/√2 Z arcsin x dx +
√ 1/ 2
0
= =
√
1
arccos x dx
√ 1√ 1 1√ 1 π− 2π + 2−1 +− 2 8 2 8 2 2−1
Ejercicio 8: Considere los puntos A = (−2, 4) y B = (1, 1) sobre la par´abola y = x2 y los puntos C = (1, s) y D = (−2, r) tales que el segmento CD es tangente a la par´abola y paralelo a AB. Hallar el ´area encerrada por los segmentos AD, DC, CB y la par´ abola. Soluci´ on: Basta encontrar la recta que contiene el segmento CD, la ecuaci´on tendr´a la forma y = mx + n note que al ser paralela a la recta que contiene AB debe tener pendiente 4−1 = −1 −2 − 1 0 esto nos permite adem´ as encontrar el punto de tangencia x2 = 2x se sigue m=
2x = −1 =⇒ x = − MAT022
4
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al estar sobre abola se tiene que el punto de tangencia la par´ es − 21 , 41 y como el punto esta sobre la recta se sigue: 1 1 1 = −1 − + n =⇒ n = − 4 2 4
3
2
se sigue que la recta es
1
y = −x −
1 4
−2
−1
de donde obtenemos finalmente que el ´ area buscada es Z 1 1 9 x2 − −x − dx = 4 4 −2
1
0 −1
−2
Figura 8
Ejercicio 9: Hallar el ´ area encerrada por las curvas √
xy √ x+ y
=
9
=
4
√ √ Soluci´ on: Como consideramos la curva x√+ y = 4, √ estamos asumiendo x ≥ 0, y ≥ 0. De la curva x + y = 4 obtenemos √ 2 y = 4− x
10
8
busquemos el punto de intersecci´on de las curvas 6
√
√ 2 y √ x + y + 2 xy
4
x+
=
16
=
16
de la primera obtenemos 2
x + y + 6 = 16 0
2
4
6
8
se sigue
10
x + y = 10 Figura 9
luego tenemos el sistema xy
=
9
x+y
=
10
multiplicando la segunda por x se sigue x2 + xy = 10x y xy = 9 entonces x2 − 10x + 9 = 0 =⇒ x = 1 ∨ x = 9 MAT022
5
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los puntos de intersecci´ on son (1, 9) y (9, 1). Se sigue que el ´area es Z 9 √ 2 9 88 4− x − dx = − 18 ln 3 x 3 1
Ejercicio 10: Hallar el ´ area encerrada por la astroide x2/3 + y 2/3 = 1
Soluci´ on: Por la alta simetr´ıa del problema(simetr´ıa respecto al eje Y , al eje X y al origen) basta calcular el ´ area encerrada en el primer cuadrante, note que
1
0.5
y 2/3 = 1 − x2/3 −1
−0.5
0.5
se sigue
1
3/2 y = 1 − x2/3
0 −0.5
y x ∈ [0, 1] entonces (sustituci´on trigonom´etrica x = sin3 t) −1
Z A=4 0
Figura 10
1
3/2 3 1 − x2/3 dx = π 8
Ejercicio 11: Encontrar el ´ area encerrada por la curva cerrada y 2 = x2 − x4 . 1
Soluci´ on: Note que y 2 ≥ 0 entonces x2 − x4 ≥ 0 ⇔ x2 1 − x2 ≥ 0 esto es x ∈ [−1, 1]. De la ecuaci´on
0.5
y 2 = x2 − x4
−1
−0.5
obtenemos las funciones p p y = ± x2 − x4 = ± |x| 1 − x2
0.5
1
−0.5
−1
Figura 11
se sigue que el ´ area esta dada por Z
1
p 1 − x2 − − |x| 1 − x2 dx
|x|
p
|x|
p
−1
Z =
1
2 −1 Z 1
=
x
4
p
1 − x2 dx
1 − x2 =
0
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