Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica ´ Areas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el ´ area encerrada

3 downloads 115 Views 194KB Size

Recommend Stories


Ejercicios Resueltos
Ejercicios Resueltos ANGULOS 1. Si el complemento de ángulo x es 2x, ¿Cuál es el valor de x en grados? Solución: 2x + x = 90° 3x = 90° x = 90° / 3 x

Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos Bolet´ın 3 Movimiento arm´onico simple Ejercicio 2 Una part´ıcula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene

Ejercicios resueltos
E.T.S. Arquitectura Curvas y super…cies. Ejercicios resueltos. 1. Sea la curva intersección de la super…cie z = xy con el cilindro parabólico y = x2

Fuerzas: Ejercicios resueltos
Cajón de Ciencias Fuerzas: Ejercicios resueltos 1) Un hombre, usando una cuerda, tira de una caja de 2,5 Kg con una fuerza de 10N, mientras la cuerda

Story Transcript

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

´ Areas entre curvas Ejercicios resueltos

Recordemos que el ´ area encerrada por las gr´aficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por b

Z

|f (x) − g (x)| dx a

Ejercicios resueltos Ejercicio 1: Hallar el ´ area A limitada por la par´abola y = 4 − x2 y el eje X.

Soluci´ on: Hallamos los puntos de intersecci´ on de la curva con el eje X, recordemos que el eje X corresponde a la recta y = 0 se sigue que

Z

3

y

=

4 − x2

2

y

=

0

1

tiene soluciones x = ±2, note adem´ as que f (x) = 4−x2 ≥ 0 en [−2, 2] de donde obtenemos (ver figura 1) 2

 4 − x2 − 0 dx =

A=

4 f (x)=4−x2

−2

Z

2

−2

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1

 32 4 − x2 dx = 3

−2

Figura 1

Ejercicio 2: Hallar el ´ area de la regi´ on encerrada por las curvas y = 10x − x2 y y = 3x − 8. Soluci´ on: Graficamos ambas funciones. Busquemos los puntos de intersecci´on de ambas gr´aficas, es decir, resolvamos el sistema

25 20 15

y

=

10x − x2

10

y

=

3x − 8

esto nos lleva a la ecuaci´on 3x − 8 = 10x − x2 la que tiene por soluci´on x = 8, x = −1. Note que en x = 0 la ecuaci´on

5 0

−5

5

10

y = 10x − x2

−5 −10

da y = 0 y y = 3x − 8 entrega y = −8, por continuidad se sigue que 10x − x2 ≥ 3x − 8 en [−1, 8]

−15

Figura 2

as´ı podemos calcular el a ´rea Z 8 Z  10x − x2 − (3x − 8) dx = −1

MAT022

8

−1

1

 243 10x − x2 − (3x − 8) dx = 2 N. C. F./A. A. M.

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

Ejercicio 3: Hallar el ´ area encerrada por la gr´afica de las curva y = x2 − 8x + 10, el eje X, y las rectas x = 2 y x = 5.

Soluci´ on: Notemos que x2 − 8x + 10 tiene por gr´afica una par´ abola, adem´ as    √   √  x2 − 8x + 10 = 0 ⇔ x − 4 − 6 x− 4+ 6 =0

0

5

2  x − 8x + 10 − 0 =

2

Z

4

6

−2

se sigue que x2 − 8x + 10 ≤ 0 entre las ra´ıces, en particular, en el intervalo [2, 5] es negativa. El ´ area buscada es entonces Z

2

−4

−6

5

 − x2 − 8x + 10 dx = 15

2

Figura 3

Ejercicio 4: Hallar el ´ area A encerrada por las curvas y = sin x, y = cos x entre las rectas x = 0 y x = π.

1

Soluci´ on: Buscamos las intersecciones de las curvas y = sin x, y = cos x en el intervalo [0, π], esto nos lleva a buscar   las soluciones de sin x = cos x, as´ı x = π/4. En 0, π4 cos x ≥ sin x y en π4 , π se cumple sin x ≥ cos x as´ı

0.5

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Z

π

−0.5

π/4

Z |sin x − cos x| dx

0

(cos x − sin x) dx

=

0

0

Z

π

(sin x − cos x) dx

+

−1

=

−1.5

√

π/4

 √  √ 2−1 + 2+1 =2 2

Figura 4

Ejercicio 5: Hallar el ´ area encerrada entre las curvas 8y = x3 y 8y = 2x3 + x2 − 2x Soluci´ on: Buscamos los puntos de intersecci´ on de las curvas, es decir, resolvemos el sistema 8y

=

x3

8y

=

2x3 + x2 − 2x

0.5

−2.5

2x3 + x2 − 2x = x3

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

0

entonces

−0.5



x3 + x2 − 2x = 0

−1

⇔ x (x − 1) (x + 2) = 0 −1.5

se sigue que las curvas intersectan en x = 0, x = 1, x = −2, adem´ as de forma anal´ıtica podemos determinar cual de las curvas se encuentra arriba y en que intervalo MAT022

2

Figura 5

N. C. F./A. A. M.

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

En efecto 2x3 + x2 − 2x ≥ x3 ⇔ x (x − 1) (x + 2) ≥ 0 luego utilizando la tabla x x−1 x+2 x (x − 1) (x + 2)

− − − −

− − − −

−2 − − 0 0

− − + +

− − + +

0 0 − + 0

+ − + −

1 + 0 + 0

+ − + −

+ + + +

+ + + +

obtenemos que en el intervalo [−2, 1] se cumple

 2x3 + x2 − 2x x3 ≥ 8 8 si y solo si x ∈ [−2, 0], as´ı  Z 1 3 2 x3 2x + x − 2x − dx 8 8 −2

Z

0

= −2

Z + 0

1

!  2x3 + x2 − 2x x3 − dx 8 8 ! 2x3 + x2 − 2x x3 − dx 8 8

1 5 37 + = 3 96 96

=

Ejercicio 6: Encontrar el ´ area encerrada por las curvas y 2 = x y y = 3x − 10. Soluci´ on: Buscamos las intersecciones de las curvas, es decir, resolvemos el sistema y2

= x

y

=

3x − 10 2

en este caso es m´ as conveniente resolver para y, se sigue de estas ecuaciones que 1

y + 10 y = 3 2

que tiene soluciones y = 2, y = − 53 , valores que corresponden a x = 4 y x = 25 afico de 9 respectivamente. Los gr´ estas curvas corresponden a una par´ abola y una recta pero la par´ abola tiene directriz perpendicular al eje X, es m´as conveniente mirar el problema como si el eje Y fuera el eje X, nos queda   Z 2 2 y + 10 A = y − dy 3 −5/3   Z 2  y + 10 1331 = − y 2 dy = 3 162 −5/3

−1

0

1

2

3

4

−1

−2

Figura 6

El problema tambi´en puede ser visto desde el eje X, la par´abola y 2 = x entrega dos funciones √ y = x √ y = − x MAT022

3

N. C. F./A. A. M.

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

se sigue que podemos calcular el ´ area como Z 25/9 Z √ √  x − − x dx + 0

4



 x − (3x − 10) dx

25/9

(vea la figura 6) as´ı 500 331 1331 + = 81 162 162

Ejercicio 7: Hallar el ´ area encerrada por el eje X y las curvas y = arcsin x, y = arccos x.

Soluci´ on: Notemos que y = arcsin x, y = arccos x est´an definidas para x ∈ [−1, 1] adem´ as h π πi y = arcsin x ⇔ sin y = x con y ∈ − , 2 2 y = arccos x ⇔ cos y = x con y ∈ [0, π]

1

0.5

estas curvas intersectan en y = π4 , podemos mirar el problema de una manera m´ as conveniente desde el eje Y , en tal caso el ´ area queda Z

π/4

(cos y − sin y) dy =



−0.5

0.5

1

0

2−1 −0.5

0

Figura 7

mirando el problema desde el eje X el c´ alculo del ´area es Z 1/√2 Z arcsin x dx +

√ 1/ 2

0

 = =



1

arccos x dx

   √ 1√ 1 1√ 1 π− 2π + 2−1 +− 2 8 2 8 2 2−1

Ejercicio 8: Considere los puntos A = (−2, 4) y B = (1, 1) sobre la par´abola y = x2 y los puntos C = (1, s) y D = (−2, r) tales que el segmento CD es tangente a la par´abola y paralelo a AB. Hallar el ´area encerrada por los segmentos AD, DC, CB y la par´ abola. Soluci´ on: Basta encontrar la recta que contiene el segmento CD, la ecuaci´on tendr´a la forma y = mx + n note que al ser paralela a la recta que contiene AB debe tener pendiente 4−1 = −1 −2 − 1 0 esto nos permite adem´ as encontrar el punto de tangencia x2 = 2x se sigue m=

2x = −1 =⇒ x = − MAT022

4

1 2 N. C. F./A. A. M.

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

4

al estar sobre abola se tiene que el punto de tangencia  la par´ es − 21 , 41 y como el punto esta sobre la recta se sigue:   1 1 1 = −1 − + n =⇒ n = − 4 2 4

3

2

se sigue que la recta es

1

y = −x −

1 4

−2

−1

de donde obtenemos finalmente que el ´ area buscada es   Z 1 1 9 x2 − −x − dx = 4 4 −2

1

0 −1

−2

Figura 8

Ejercicio 9: Hallar el ´ area encerrada por las curvas √

xy √ x+ y

=

9

=

4

√ √ Soluci´ on: Como consideramos la curva x√+ y = 4, √ estamos asumiendo x ≥ 0, y ≥ 0. De la curva x + y = 4 obtenemos √ 2 y = 4− x

10

8

busquemos el punto de intersecci´on de las curvas 6



√ 2 y √ x + y + 2 xy

4

x+

=

16

=

16

de la primera obtenemos 2

x + y + 6 = 16 0

2

4

6

8

se sigue

10

x + y = 10 Figura 9

luego tenemos el sistema xy

=

9

x+y

=

10

multiplicando la segunda por x se sigue x2 + xy = 10x y xy = 9 entonces x2 − 10x + 9 = 0 =⇒ x = 1 ∨ x = 9 MAT022

5

N. C. F./A. A. M.

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

los puntos de intersecci´ on son (1, 9) y (9, 1). Se sigue que el ´area es  Z 9 √ 2 9 88 4− x − dx = − 18 ln 3 x 3 1

Ejercicio 10: Hallar el ´ area encerrada por la astroide x2/3 + y 2/3 = 1

Soluci´ on: Por la alta simetr´ıa del problema(simetr´ıa respecto al eje Y , al eje X y al origen) basta calcular el ´ area encerrada en el primer cuadrante, note que

1

0.5

y 2/3 = 1 − x2/3 −1

−0.5

0.5

se sigue

1

 3/2 y = 1 − x2/3

0 −0.5

y x ∈ [0, 1] entonces (sustituci´on trigonom´etrica x = sin3 t) −1

Z A=4 0

Figura 10

1

 3/2 3 1 − x2/3 dx = π 8

Ejercicio 11: Encontrar el ´ area encerrada por la curva cerrada y 2 = x2 − x4 . 1

Soluci´ on: Note que y 2 ≥ 0 entonces x2 − x4 ≥ 0 ⇔ x2 1 − x2 ≥ 0 esto es x ∈ [−1, 1]. De la ecuaci´on

0.5

y 2 = x2 − x4

−1

−0.5

obtenemos las funciones p p y = ± x2 − x4 = ± |x| 1 − x2

0.5

1

−0.5

−1

Figura 11

se sigue que el ´ area esta dada por Z

1



  p 1 − x2 − − |x| 1 − x2 dx

|x|

p

|x|

p

−1

Z =

1

2 −1 Z 1

=

x

4

p

1 − x2 dx

1 − x2 =

0

MAT022

6

4 3

N. C. F./A. A. M.

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 MYDOKUMENT.COM - All rights reserved.