AYT

Kİ KA

AYT T HAZIRLIK - L LİSE YARDIMCI

20 DAKİKADA GEOMETRİ

DA

ÖĞRENCİ DEFTERİ

Muharrem DUŞ Saadet ÇAKIR

Murat KALELİOĞLU

DAKİKA YAY I N L A R I

SERİ: ÖĞRENCİ DEFTERLERİ Copyright  MPS Basım Yayın İth. İhr. Tic. Ltd. Şti.

Kİ KA

ISBN: 978-605-73859-0-1 Sertifika No: 50196

Dizgi - Grafik

Dakika Dizgi Servisi

Baskı

Platin Ofset Sertifika No: 49236 Halkalı / İSTANBUL

Genel Dağıtım

DA

Karekök Rasimpaşa Mah. Karakolhane Cd. No:16/2 Kadıköy / İSTANBUL Telefon: (216) 418 36 70 – 330 08 57 Faks: (216) 449 67 56 www.dakikayayinlari.com

Birinci Basım, İstanbul 2021

Bu kitabın ve sistemin her hakkı saklıdır. Tüm hakları Karekök Eğitim Basım Yayım Şirketine aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve sorular yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz.

ÖN SÖZ

Kİ KA

Değerli Öğretmenler, Sevgili Öğrenciler, Öğretim sürecinin en önemli unsurlarından biri zamanı verimli kullanmaktır. Uzun ve titiz bir çalışmanın sonucunda sizlere sunduğumuz öğrenci defteri ile bu hedefe daha kolay ulaşacağınıza inanıyoruz.

Dikkat süresi, bir insanın dikkati dağılmadan bir işe odaklandığı sürenin toplamıdır. Peki, bir iş üzerine tümüyle yoğunlaşan bir insan için dikkat süresi kaç dakikadır? Diğer bir ifadeyle bizler, çok önemsediğimiz bir işe en fazla kaç dakika odaklanabiliyoruz? Bu konuda yapılan bilimsel araştırmalar, bu sürenin ortalama 20 dakika olduğunu gösteriyor. Bu sebeple, defterimiz her bir ders için yaklaşık 20 dakikalık bir öğretim süresi düşünülerek hazırlanmıştır. Üniversite giriş sınavı sorularının çözülebilmesi için konuyu bilmenin yeterli olmadığı artık herkes tarafından kabul edilmektedir. Konuyu bilmenin yanı sıra, doğru ve hızlı düşünebilme, soruyu değerlendirebilme, çözüm alternatifleri arasından doğru ve kısa yöntemi seçebilme, işlemi kısa sürede ve hatasız yapabilme gibi etkenlerin de belirleyici öneme sahip olduğu açıktır.

DA

Bu defter hazırlanırken lise müfredatı dikkatle incelenmiş, sınırları tespit edilmiştir. Üniversite giriş sınavının soruları; konu ve soru dağılımı, soru tipleri ve öğrenciden istenen yaklaşım tarzları göz önüne alınarak analiz edilmiştir. Bu tespit ve analizden sonra konuya ışık tutan değişik kaynakların desteği ve yazarın öğretmenlik birikimiyle bu defter oluşturulmuştur. Defterin rahat anlaşılabilmesini sağlamak ve sıkıcılıktan kurtarmak için mizanpaja, dizgiye, grafik çizimlerine ve baskıya azami özen gösterilmiştir. Bu kitabın yazımında desteklerini esirgemeyen yazarlarımız Saadet Çakır ve Murat Kalelioğlu’na; tashihinde yardımcı olan Kasım Kucur, Metin Uzun, Bülent Balta, Fatma Dermenci ve Eren Korucu’ya; dizgisindeki titiz çalışmalarından dolayı Serkan Aracı’ya şükranlarımızı bildiririz. Tüm öğretmenlerimize ve öğrencilerimize yararlı olması dileğiyle...

Dakika Yayınları

İÇİNDEKİLER FASİKÜL 1 1. ÇEMBER ve DAİRE 2

Bir Çemberin Keseni ve Teğeti

10

Bir Çemberin Yayının Ölçüsü, Merkez Açı ve Çevre Açı

17

Teğet - Kiriş Açı, İç ve Dış Açılar

24

Çemberde Açı Uygulamaları

30

Çemberde Uzunluk Uygulamaları

35

Dairenin Çevresi ve Alanı, Daire Dilimi

40

Daire Parçası

47

Daire Alanı Problemlerinde Çözüm Teknikleri ve Özel Durumlar

53

Dairede Alan Uygulamaları

60

Kİ KA

Çemberin Temel Elemanları: Merkez, Yarıçap, Kiriş, Çap

DA

FASİKÜL 2

2. SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE Dik Dairesel Silindir ve Elemanları

2

Silindirin Açınımı ve Yüzey Alanı

9

Silindirin Hacmi

15

Koni ve Elemanları

22

Koninin Açınımı ve Alanı

29

Koninin Hacmi

35

Küre ve Elemanları

43

Küre ve Küre Diliminin Alanı

51

Küre ve Küre Diliminin Hacmi

57

FASİKÜL 3 3. ANALİTİK GEOMETRİ 2

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

8

Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Nokta, Orta Nokta ve Ağırlık Merkezi

14

Noktanın Geometrik Uygulamaları

24

Doğrunun Eğimi, Birbirine Paralel ve Dik Doğrular

30

Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

38

Özel Doğrular

42

Doğru Grafiği

48

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

54

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ve Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık

60

Kİ KA

Dik Koordinat Sistemi

FASİKÜL 4

4. DÖNÜŞÜMLER

2

Dönme Dönüşümü

7

Simetri (Yansıma) Dönüşümü

14

Bir Noktanın Eksenlere Göre Simetriği

19

Bir Noktanın y = x ve y = –x Doğrularına Göre Simetriği

25

Bir Noktanın Bir Doğruya Göre veya Bir Doğrunun Bir Noktaya Göre Simetriği

29

Temel Dönüşüm Uygulamaları

34

DA

Öteleme Dönüşümü

5. ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Merkezi ve Yarıçapı Bilinen Çember Denklemi

42

Bazı Özel Çember Denklemleri

47

Çemberin Genel Denklemi

53

Doğru ile Çemberin Birbirine Göre Durumları

58

DA

Kİ KA

Bu defterde işlenen her bir dersi 20 Dakikada AYT Geometri Soru Bankası ile pekiştirebilirsiniz.

Her test defterdeki ilgili dersin konu içeriğiyle sınırlandırılmıştır.

Her bölümün sonunda karma sorulardan oluşan “Bölüm Testleri” yer almaktadır.

Testlerde bulunan karekod ile ilgili dersin konu anlatımı ve soruların video çözümlerine ulaşılmaktadır.

Kİ KA

Bölüm kapaklarında bulunan karekod ile ders anlatım videolarına ulaşabilirsiniz.

DA

dakikavideocozum.com

Karekod okutun veya karekodun altında bulunan ‘Kod Gir’ alanına girin

Karekod Kodunu Giriniz...

KAREKOD TARA veya Kod Gir

Kİ KA

DA

Kİ KA

Ders anlatım videolarına ulaşmak için karekodu okutunuz veya karekod numarasını dakikavideocozum.com adresinde 5A9FDA64 ilgili yere yazınız.

1. BÖLÜM

ÇEMBER ve DAİRE

1. Ders: Çemberin Temel Elemanları: Merkez, Yarıçap, Kiriş, Çap 2. Ders: Bir Çemberin Keseni ve Teğeti

3. Ders: Bir Çemberin Yayının Ölçüsü, Merkez Açı ve Çevre Açı

DA

4. Ders: Teğet - Kiriş Açı, İç ve Dış Açılar 5. Ders: Çemberde Açı Uygulamaları

6. Ders: Çemberde Uzunluk Uygulamaları 7. Ders: Dairenin Çevresi ve Alanı, Daire Dilimi 8. Ders: Daire Parçası

9. Ders: Daire Alanı Problemlerinde Çözüm Teknikleri ve Özel Durumlar

10. Ders: Dairede Alan Uygulamaları

Ders

1

ÇEMBERİN TEMEL ELEMANLARI: MERKEZ, YARIÇAP, KİRİŞ, ÇAP Düzlemdeki bir O noktasına eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir. O

• O noktası çemberin merkezidir.

r

Kİ KA

• Çemberin üzerindeki herhangi bir noktayı merkeze birleştiren doğru parçasına çemberin yarıçapı denir.

Örnek - 1

E

NOT:

!

C

D

15

Çemberin üzerinde bulunan noktaları merkeze birleştirmek önemli bir problem çözme tekniğidir.

O

8

A

x

B

Şekildeki B, C ve E noktaları O merkezli çeyrek çemberin üzerindedir. E

OACD bir dikdörtgen, |OA| = 8 cm ve |OD| = 15 cm olduğuna göre, |AB| = x kaç cm’dir?

DA

A) 8 

2

20 Dakikada AYT Geometri

B) 9 

C

D

C) 10 

17

15

O

8

D) 11 

15

A

x

B

E) 12

Örnek - 2 Şekildeki [AB] çaplı yarım çember, ABCD dikdörtgeninin [CD] kenarını K ve L noktalarında kesmektedir. K

L

1

C

Kİ KA

D

A

4

B

|AB| = 4 cm ve |LC| = 1 cm olduğuna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç 2 cm dir?

D 1 K B) 3ñ5 

A) 2ò10 

H 1 C) 4ñ3  ñ3

2

A

O

L

1

C

D) 5ñ2 

E) 2ò15

2

2

B

Örnek - 3

DA

C

D

O merkezli çeyrek çember

x

B

30°

OA // DB

m(AéDB) = 30°

|OA| = 12 cm

O

12

A

Yukarıda verilenlere göre, |DB| = x kaç cm’dir? C

A) 8  D

4ñ3

B) 10 

x

C) 8ñ2 

D) 6ñ3 

E) 4ñ6

B

30°

12 30° O

12

A

20 Dakikada AYT Geometri

3

Kiriş ve Çap • Çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına çemberin bir kirişi, merkezden geçen kirişe de çemberin bir çapı denir.

C D O

A

B

F E

Yandaki şekilde A, B, C, D, E ve F çemberin noktalarıdır.

C ile D’yi birleştiren [CD], çemberin kirişidir.



A ile B’yi birleştiren [AB], çemberin çapıdır.

Kİ KA

• Bir çemberin en uzun kirişi çapıdır.

Çemberde Kirişin Özellikleri

1) Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.

• AOB, ikizkenar üçgendir. Çünkü |OA| = |OB| = r dir.

O

r

• Bir ikizkenar üçgende tepe noktasından indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortay olduğundan |AH| = |HB|’dir.

r

A

B

H

• Bir kirişin orta dikmesi, her zaman çemberin merkezinden geçer.

Örnek - 4

DA

O merkezli çemberde [AB] kiriş,

20

A

7

|AO| = 20 cm

O

|AC| = 7 cm x

|BC| = 25 cm

C

B

25

Yukarıda verilenlere göre, |OC| = x kaç cm’dir? B) 8ñ3 

A) 8ñ2 

20

A

4

20 Dakikada AYT Geometri

7

O

12

C 9H

20 16

B

C) 15 

D) 16 

E) 18

Örnek - 5 Aşağıda çamura gömülmüş bir araba lastiği gösterilmiştir.

NOT:

!

Kİ KA

Çemberin merkezini kirişin orta noktasına ve kirişin uç noktasına birleştirmek, problem çözüm tekniklerindendir.

A

B

Lastiğin çapı 80 cm ve |AB| = 64 cm olduğuna göre, aracın lastiği kaç cm çamura gömülmüştür? A) 12 

B) 13 

C) 15 

D) 16 

E) 18

O

40

A

24

32 H

32

B

Y

DA

Örnek - 6 C

O merkezli çemberin [AB] ve [CD] kirişleri H noktasında dik kesişmektedir.

8

O

2

A

H 4

|BH| = 2 cm

B

|CH| = 8 cm |DH| = 4 cm

D

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm’dir? C B) ò85 

A) 9 

r r A

O

2 x+2 K

C) ò89 

D) 2ò23 

E) 4ñ6

6

L 2 x H 2 B 4 D

20 Dakikada AYT Geometri

5

2) Bir çemberin eşit uzunluktaki kirişlerinin merkeze uzaklıkları eşittir. C

|AB| = |CD| olsun.

R

|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = r olduğundan

D r r

OÿAB ≅ OÿCD’dir.

O r

 irbirine eş olan iki üçgenin karşılıklı uzunB lukları da birbirine eştir.

Kİ KA

r

A

|OP| = |OR|

B

P

Örnek - 7

C

O

B

A

Görselde çember şeklindeki bir havuzun kenarındaki A, B, C noktaları ve merkezindeki fıskiye gösterilmektedir. • Adnan, A’dan B’ye doğrusal olarak (2x + 14)m yüzüyor.

DA

• Bedri, A’dan C’ye doğrusal olarak (5x - 40)m yüzüyor.

• Adnan ve Bedri, aynı anda ve sabit hızlarla yüzmeye başlıyorlar. İkisi de fıskiyeye eşit uzaklıktan geçtiklerine göre, x kaçtır? A) 12 

6

20 Dakikada AYT Geometri

B) 14 

C) 15 

D) 16 

E) 18

3) Çemberin merkezine daha yakın olan kiriş, diğer kirişten uzundur. L

C

D

|OK| < |OL| olsun. 2 2 2 |KB| = r - |OK|

r

|LD|2 = r2 - |OL|2 O

olduğundan |KB| > |LD|’dir.

r

2|KB| > 2|LD| B

K

|AB| > |CD|

Kİ KA

A

Örnek - 8

B

2x + 1

A

O

Yarıçap uzunluğu 9 birim olan bir çemberde [AB] kirişi, [CD] kirişine göre merkeze daha yakındır. |AB| = 2x + 1 birim

x+ C

7

D

|CD| = x + 7 birim

DA

Yukarıda verilenlere göre, x sayısının alabileceği tüm değerleri gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) d 5,

15 E  2

B) (7, 10] 

C) [7, 8] 

D) c 8,

19 m  2

E) d 6,

17 E 2

20 Dakikada AYT Geometri

7

4) O merkezli bir çemberin içindeki A noktasından geçen en kısa kiriş, OA dorğusuna dik olan kiriştir.

Yandaki şekilde A noktasından geçen en kısa kiriş [KL]’dir.

Kİ KA

O L

A

K

Örnek - 9

A noktası yarıçapı 15 cm olan bir çemberin merkezinden 9 cm uzaklıktadır.

A noktasından geçen en kısa çember kirişi ile en uzun çember kirişinin uzunlukları toplamı kaç cm’dir?

DA

A) 42 

8

20 Dakikada AYT Geometri

B) 46 

C) 48 

D) 52 

E) 54

Kİ KA

DA 20 Dakikada AYT Geometri

9

Ders

2

BİR ÇEMBERİN KESENİ VE TEĞETİ Bir Çember ile Bir Doğrunun Birbirlerine Göre Üç Farklı Durumu Vardır. Yarıçapı r olan bir çemberin merkezinin d doğrusuna uzaklığı h olsun. 1) h < r ise doğru, çemberi farklı iki noktada keser. d doğrusuna çemberin bir keseni denir.

Kİ KA

O

r

h

d

2) h = r ise doğru, çembere teğettir. d doğrusuna çemberin bir teğeti denir. T’ye teğet değme noktası denir ve OT ^ d’dir.

O

h=r

d

T

DA

3) h > r ise doğru, çemberi kesmez. Çemberin doğruya en yakın olan noktasının doğruya uzaklığı h - r çemberin doğruya en uzak olan noktasının doğruya uzaklığı h + r’dir.

10

20 Dakikada AYT Geometri

A r O r

h

B K

d

Örnek - 1 x pozitif bir tam sayı olmak üzere yarıçap uzunluğu (7x - 4) cm olan bir çemberin merkezinin d doğrusuna uzaklığı (4x + 23) cm’dir. a) Çember ile d doğrusu teğet olduğuna göre, x kaçtır?

Kİ KA

NOT:

b) Çember ile d doğrusu kesişmediğine göre, x’in alabileceği en büyük değer kaçtır?

!

Merkezden teğete dik inmek önemli çözüm tekniğidir.

c) Çember ile d doğrusu farklı iki noktada kesiştiğine göre, x’in alabileceği en küçük değer kaçtır?

DA

Örnek - 2 C

O merkezli çembere, [AT ışını T noktasında teğettir.

O

AC ^ AT

|AB| = 2 cm

B

|AT| = 6 cm

2

6

A

T

Yukarıda verilenlere göre, çemberin yarıçapı kaç cm’dir?

A) C 9 

B) 10 

r–2 H

r–2

E) 15

O

r 20 Dakikada AYT Geometri

2 A

D) 14 

r

6 B

C) 12 

6

T

11

Örnek - 3

T

Kİ KA

8

A

O

B

4

C

O merkezli yarım çembere [CT ışını, T noktasında teğettir. A, B ve C doğrusal; |BC| = 4 cm, |TC| = 8 cm’dir. Yukarıda verilenlere göre, O merkezli yarım çemberin çapı kaç cm’dir? A) 10 

C)T 13 

B) 12 

D) 15 

r

A

8

r

O

E) 16

B

4

C

Örnek - 4

DA

P

A

|OP| = 8 birim

8 B

|AT| = 15 birim

O

15

[AT ışını, T noktasında O merkezli çembere teğettir.

T

Şekildeki P noktası çember üzerinde değişebilir olduğuna göre, |AP|’nin en büyük değeri kaç birimdir? A) 20 

B) 24 

C) 25  O

17

8

K A

12

20 Dakikada AYT Geometri

15

T

8

P

D) 26 

E) 30

Bir Noktadan Çembere Çizilen Teğetler Çembere dışındaki bir P noktasından iki teğet çizilebilir. • PÿAO ≅ PÿBO • |PA| = |PB| • m(OéPA) = m(OéPB)

Kİ KA

A

P

O

B

Teğetler Dörtgeni

Tüm kenarları O merkezli çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı birbirine eşittir.

D

d

M

d

c

|AB| = a + b

C

|CD| = c + d

+

c

DA

|AB| + |CD| = a + b + c + d

N

L

O

b

a

A

a

K

b

B

+

|BC| = b + c |DA| = d + a

|BC| + |DA| = a + b + c + d

|AB| + |CD| = |BC| + |DA|

20 Dakikada AYT Geometri

13

Örnek - 5

R

3

[BC], [AP ve [AR çembere teğet

C

[CB] ^ [AP

O

T

Kİ KA

|RC| = 3 cm |AB| = 9 cm

P

B

A

9

Yukarıda verilenlere göre, çemberin yarıçapı kaç cm’dir? A) 9 

B) 10 

C) 12 

R

O

r

r

DA

P

14

20 Dakikada AYT Geometri

3

C

3

T

r+6

r

r

B

9

A

D) 13 

E) 15

Örnek - 6 a+1

37 – 2b

Bir fizikçi deneyleri için dörtgen tabanlı bir dalga kabı yapıyor. Yanda bu dalga kabının üstten görüntüsü verilmiştir.

A

Kİ KA

2a + 1

2b – 2

Fizikçi A noktasına bir taş attığında taşın oluşturduğu çember şeklindeki dalga kabın tüm kenarlarına aynı zamanda ulaşmaktadır.

Kabın kenar uzunlukları şekil üzerinde verildiğine göre, a kaçtır? A) 9 

B) 10 

A

C) 11 

D) 12 

E) 13

LYS - 2016

[AB] çaplı yarım çember

T

DA

D

AD // OT |OT| = 3 birim

3

2

A

O

B

|AD| = 2 birim C

Şekildeki O merkezli yarım çembere T noktasında çizilen teğet doğrusu, AB doğrusunu C noktasında kesiyor. Buna göre, |AC| uzunluğu kaç birimdir? A) 9 

B) 10 

H

2

C) 12 

D) 14 

E) 15

T

D

1

3

K 1 A

3

O

3

B

x

C

20 Dakikada AYT Geometri

15

Kİ KA

DA 16

20 Dakikada AYT Geometri

BİR ÇEMBERİN YAYININ ÖLÇÜSÜ, MERKEZ AÇI VE ÇEVRE AÇI

Ders

3

Çemberin farklı iki noktası arasında kalan parçaya çemberin bir yayı denir.

A

Bir yay iki uç noktası ve bu ikisinin arasındaki bir nokta ile belirlenir. X

Şekildeki yeşil ve mor yayların ikisinin de uç noktaları A ve B’dir. Yay üzerinde alınan üçüncü bir nokta ile ayrım yapılır. Yeşil renkli yay AùXB

Y

Mor renkli yay AùYB biçiminde gösterilir.

Kİ KA

B

Bazen küçük olan yay AïB ile de gösterilir.

Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıya çemberin merkez açısı denir.

α

α

O

α

B

α

Çemberde eş kirişlerin belirlediği yaylar eşittir.

H

A

DA

Elindeki sopasını, bir çiviye bağlı olan ipe geçirerek bir çember çizen Hypatia'nın ipinin taradığı açı ile çizdiği yayın ölçüsü birbirine eşittir.



O

m(AéOB) = m(AùHB)

Bir çemberde bir merkez açının ölçüsü bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

F

D

Bir çemberin merkezinden kirişe, indirilen dikme bu kirişin gördüğü yayı ortalar.

B

O

α

A

NOT:

C E

!

Yayın ölçüsü ile yayın uzunluğu farklı kavramlardır.

Yukarıdaki şekilde merkezleri O noktası olan üç çemberin ortak merkez açılarını gören üç farklı yayın da ölçüsü birbirine eşittir.

m(EéOF) = m(AïB) = m(CïD) = m(EïF) = a

20 Dakikada AYT Geometri

17

Örnek - 1

B

O merkezli çemberde X

2x + 10°

O

3x – 12°

m(AéOB) = 2x + 10°

Kİ KA

m(AïB) = 3x - 12° A

olduğuna göre, BXA yayının ölçüsü kaç derecedir? A) 290 

B) 294 

C) 298 

D) 302 

E) 306

TYT - 2019

8 programlı bir çamaşır makinesinin dairesel bir butonu etrafına sabitlenmiş 8 çizgi şekildeki gibi 1’den 8’e kadar numaralandırılmıştır. Numaraları ardışık sayılar olan her iki çizgi arasındaki mesafe eşit olup buton döndürüldüğünde üzerindeki ok hangi çizgiyi gösteriyorsa o çizgiye ait program seçilmiş oluyor. 4

DA

3

5

4

5

3

6

6

2

7

2

7

1

8

1

8

7 numaralı program seçiliyken buton saat yönünde 150° döndürüldüğünde 1 numaralı program seçilmiş oluyor. Buna göre, 1 numaralı program seçiliyken buton saat yönünde 140° döndürüldüğünde kaç numaralı program seçilmiş olur? A) 3 

18

20 Dakikada AYT Geometri

B) 4 

C) 5 

D) 6 

E) 7

Çevre Açı B

A

2α

α

Köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açıya çemberin bir çevre açısı denir. BéAC, çevre açıdır. BïC, BéAC açısının gördüğü yaydır.

Kİ KA

C

Çevre Açının Özellikleri

Özellik 1: Bir çemberde çevre açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. B

a

B ve C noktaları çemberin merkezine bir-

2a

leştirilirse OÿBA ve OÿAC üçgenleri ikizkenar üçgen olur.

A

2a

a

O

b

K

2b

m(OéAB) = m(AéBO) = a

m(CéAO) = m(OéCA) = b olsun

2b

b

Dış açı olmalarından dolayı

m(KéOB) = 2a ve m(CéOK) = 2b olur.

C

KéOB ve CéOK merkez açı olduklarından gördükleri yayların ölçüleri bu açıların ölçülerine eşittir.

DA

CéAB çevre açısının ölçüsü a + b iken gördüğü yay olan CùKB’nin ölçüsü 2a + 2b’dir.

Örnek - 2 C

x

O merkezli çember

O

A

B

110°

[CB] ve [CD] kiriş [AB] çap

m(AéOD) = 110°

D

Yukarıda verilenlere göre, m(DéCB) = x kaç derecedir? C

A) 30 

B) 35 

C) 40 

D) 45 

E) 50

35° O

A

B

110°

70°

20 Dakikada AYT Geometri

19

Örnek - 3

Kİ KA

Şekildeki dairesel saat üzerinde 5, 7 ve 10 rakamları arasına çizilen doğru parçalarıyla oluşan x açısının ölçüsü kaç derecedir?

x

A) 75 

B) 90 

C) 105 

D) 120 

E) 135

DA

Özellik 2: Bir çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir. Bu özelliğin kullanıldığı problemlerle sıkça karşılaşılır. C

A

20

20 Dakikada AYT Geometri

[AB] çapını gören AéCB ve BéDA açıları 90° dir. B

O

Yarım çember yayının ölçüsü 180° olduğundan çapı gören çevre açı 180° lik yay görmektedir. Bundan dolayı çapı gören çevre açı 90° dir.

D

LYS - 2011 D

m(DéCB) = 25°

E 40°

25° A

B

O

m(DéBE) = x Şekildeki A, B, D ve E noktaları O merkezli [AB] çaplı çember üzerindedir.

Kİ KA

C

m(DéAB) = 40° x

Buna göre, x kaç derecedir? A) 25 

D 35  C)

B) 30 

C

30° A

E) 45

15°

E

25°

D) 40 

40°

O

15°

35°

B

Örnek - 4

DA

Şekilde ABCD dikdörtgeni ve [EB] çaplı yarım çember verilmiştir.

D

C

6

E

A

12

B

|AD| = 6 cm ve |AB| = 12 cm olduğuna göre, boyalı bölgelerin alanları top2 lamı kaç cm dir?

A) 9 

B) 12  D

C) 15 

6

E 3 A

C D) 18 

E) 24

6 12

3 B 20 Dakikada AYT Geometri

21

Özellik 3: Bir çemberde paralel iki kirişin arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşittir. C

α

[AB] // [CD] ise

D

m(CéDA) = m(BéAD) = a (iç ters açılar)

2α

2α α

B

ğundan gördükleri yayların ölçüleri 2a olup birbirine eşittir.

Kİ KA

A

CéDA ve BéAD açıları çevre açı oldu-

m(AïC) = m(BïD)

Kirişler Dörtgeni D

Örnek - 5

2α

D

O merkezli çemberde

x

A

α

360 – 2α

180 – α

C

A

B

O

20°

B

C

[AB] ve [CD] çap [AB] // [CE]

m(BéED) = 20°

E

m(BéAD) = a ise m(BùCD) = 2a

Yukarıda verilenlere göre, m(CéDE) = x kaç derecedir?

m(BùCD) = 2a ise

A) 40  140°

D B) 45 

m(BùAD) = 360 - 2a olur.

DA Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180° dir.

A

40°

O

20 Dakikada AYT Geometri

20° 20°

20°

C

22

40°

50°

m(BùAD) = 360 - 2a ise m(DéCB) = 180 - a

E

100°

C) 50 

B

40°

D) 55 

E) 60

Kİ KA

DA 20 Dakikada AYT Geometri

23

Ders

4

TEĞET - KİRİŞ AÇI, İÇ VE DIŞ AÇILAR Teğet ‑ Kiriş Açı: Köşesi çember üzerinde bulunan ve kenarlarından biri çemberin kirişi, diğeri çemberin teğeti olan açıya çemberin teğet ‑ kiriş açısı denir.

T

TB, çemberin teğeti

β α

O

B

TA, çemberin kirişi İkisi arasında kalan AéTB açısı teğet ‑ kiriş açıdır.

2α

2α β

Kİ KA

AéTB açısının ölçüsü, AïT yayının ölçüsünün yarısına eşittir.

A

İspatı: OAT üçgeninin iç açıları toplamı 180° olduğundan 2a + 2b = 180° ⇒ a + b = 90° OT ^ TB olduğundan

m(OéTA) + m(AéTB) = 90°

b + m(AéTB) = 90°

m(AéTB) = 90° - b = a

Örnek - 1

T

X

DA

[CT, T noktasında çembere teğet

66°

A, B ve C doğrusal |AT| = |CT|

A

B

C

m(AéTB) = 66° olduğuna göre, AXT yayının ölçüsü kaç derecedir? A) 136 

4α

X

α A

24

20 Dakikada AYT Geometri

B) 140 

C) 144 

T 66°

α α

2α B

C

D) 148 

E) 152

İç Açı: Çemberin içinde herhangi bir noktada kesişen iki kirişin arasında kalan açılara çemberin iç açısı denir. DPA ve CPB birbirine eşit (ters açı) olup çemberin iç açısıdır.

D B

α

Bu açıların gördüğü yaylar yeşil ve mavi ile boyanan AD ve BC yaylarıdır.

α

P

İç açı, gördüğü yayların ortalamasına eşittir.

Kİ KA

C

a=

A

m(AïD) + m(BïC) 2

İspatı: [AC] çizilsin ve

D

m(CéAB) = x, m(DéCA) = y olsun.

B

m(CéPB) = x + y (dış açı)

2y

x+y

P

y

x A

CéAB çevre açı olduğundan gördüğü BïC yayının ölçüsü 2x olur.

2x

DéCA çevre açı olduğundan gördüğü AïD yayının ölçüsü 2y olur.

C

m(CéPB) =

2x + 2y =x+y 2

Örnek - 2 B

A

X

Y

TX ve PY çembere sırasıyla T ve P noktalarında teğet

DA

C

x

38°

28°

P

T

[AP] ve [BT] kiriş m(AéTX) = 28° m(YéPB) = 38°

Yukarıda verilenlere göre, m(TéCP) = x kaç derecedir? B B) 114 

A) 112 

A

X

56°

C

C) 116 

76°

x

E) 120

Y

38°

28° T

D) 118 

P

20 Dakikada AYT Geometri

25

Dış Açı: Bir çemberde, çemberin dışındaki noktadan çizilen iki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir kesenin oluşturduğu açıya çemberin dış açısı denir. Dış açının ölçüsü, gördüğü yayların farkının yarısına eşittir.

İki Kesenin Oluşturduğu Dış Açı A

Yandaki şekilde AéPC, dış açıdır.

B

AéPC'nin gördüğü yaylar kırmızı ve yeşille α

P

Kİ KA

gösterilen AïC ve BïD yaylarıdır.

D

a=

C

m(AïC) - m(BïD) 2

İspatı:

A

y

[AD] çizilsin ve m(AïC) = 2x, m(BïD) = 2y olsun.

B

2y

2x

x

α

AéDC ve DéAP çevre açı olduklarından ölçüleri sırasıyla x ve y olur.

P

APD üçgeninde AéDC dış açı olduğundan

D

C

x=a+y ⇒ a=x-y=

m(AïC) m(BïD) 2 2

Örnek - 3

E

DA

D

O

A

α

O merkezli çemberde

18°

B

P

m(EéPA) = 18° m(DéCE) = 42°

42° C

Yukarıda verilenlere göre, m(BïD) = a kaç derecedir? A) 20 

84° B) 24 

E

O

A

α B

42° C

20 Dakikada AYT Geometri

D) 28 

D

96 – α

26

C) 25 

18°

P

E) 30

İki Teğetin Oluşturduğu Dış Açı

B

[PB ve [PA çembere teğet olmak üzere BPA, dış açıdır. Gördüğü yaylar kırmızı ve yeşille gösterilen

X

α

Y

P AùXB ve AùYB yaylarıdır.

m(AùXB) - m(AùYB) (1) 2

NOT:

Kİ KA

a= A

m(AùXB) + m(AùYB) = 360° olduğundan

T

m(AùXB) = 360° - m(AùYB)

ifadesi (1)'de yerine yazılırsa

B

O

x

A

360° - m(AùYB) - m(AùYB) = 180 - m(AùYB) a= 2 Çemberin merkezi teğetlerin değme noktalarıyla dik kesişir.

α

x

P

OAPB dörtgeninde iç açılar toplamından

!

β

O

β

α

B

P

Çap, [AP]’nin üzerinde ise a + b = 90° dir.

a + x = 180° bulunur.

Yandaki şekilde yeşil yayın ölçüsü ile dış açının ölçüsünün toplamı 180° dir.

A

DA

Örnek - 4

B

[AB] çaplı, O merkezli çembere

O

x

P

[PB ve [PC sırasıyla B ve C noktalarında teğettir. m(PéCA) = 156°

A

C

olduğuna göre, m(BéPC) = x kaç derecedir?

A) 40 

B

O

B) 42 

132° 48°

C) 45 

D) 48 

E) 50

P

156° A

48°

K

24°

C

20 Dakikada AYT Geometri

27

Bir Teğet ve Bir Kesenin Oluşturduğu Dış Açı [PT teğet olmak üzere

A

AéPT, dış açıdır.

B α

P

APT açısının gördüğü yaylar, kırmızı ve yeşille gösterilen AïT ve BïT yaylarıdır. a=

m(AïT) - m(BïT) 2

Kİ KA

T

İspatı:

m(PéAT) = y ise

m(BïT) = 2y (çevre açı)

A

y

B

m(AéTK) = x ise

α

2y

2x

P

m(AïT) = 2x (teğet ‑ kiriş açı)

AÿTP üçgeninde ATK dış açı olduğundan

x

T

a=x-y=

K

2x - 2y m(AïT) - m(BïT) = 2 2

LYS - 2012

O merkezli çember |AO| = |CD|

m(AéOD) = 160°

O

DA

A

m(AéBD) = x

160°

x

D C

Yandaki şekilde, A, C ve D noktaları O merkezli çember üzerindedir ve AB doğrusu çembere A noktasında teğettir.

B

Buna göre, x kaç derecedir? P A) 40  B) 45  200° A

O

100° 60° D

100° x

B

28

20 Dakikada AYT Geometri

C

60°

C) 50 

D) 60 

E) 70

Kİ KA

DA 20 Dakikada AYT Geometri

29

Ders

5

ÇEMBERDE AÇI UYGULAMALARI Örnek - 1 C 40°

Pembe renkli daire O merkezli sarı dairenin merkezinden geçmektedir.

Kİ KA

O

α

B

A

m(AéCB) = 40° olduğuna göre, m(BéAC) = a kaç derecedir? C

A) 20 

B) 40 

C) 60 

40°

O

D) 70 

E) 80

2α

180° – 2α

α

B

D

A

DA

Örnek - 2

D

α C

E

G

[DG, O merkezli çembere C noktasında teğet |EF| = |DE|

F

m(AéOC) = 140° 140°

A

O

B

Yukarıda verilenlere göre, m(BéDC) = a kaç derecedir?

A) 8  D

B) 9 

C) 10 

α E

2α

α

C G

30

F

20 Dakikada AYT Geometri 140° A

40° O

B

D) 15 

E) 20

Örnek - 3 D

C 18° α

ABCD kare

E

m(EéDC) = 18°

A

Kİ KA

m(BéEC) = 135°

B

Yukarıda verilenlere göre, m(BéCE) = a kaç derecedir? A) 27  D

B) 25  18°

27°

C) 23 

C

D) 21 

E) 18

α

E

A

B

DA

Örnek - 4

D

A

O

C

B

D

α

A

O

Şekil - I

C

Şekil - II

Şekil ‑ I'de verilen O merkezli yarım çember B noktasından DC doğrusu boyunca katlandığında Şekil ‑ II'deki gibi B noktası O noktası ile çakışıyor. Yukarıda verilenlere göre, m(DéAC) = a kaç derecedir? A) 30 

B) 25 

C) 20 

D) 15 

E) 12

20 Dakikada AYT Geometri

31

Örnek - 5 A B

K

ABCDEFGHK düzgün dokuzgen

M

H

C

[AD] ∩ [BF] = {M} Yanda verilenlere göre, m(FéMD) = a kaç derecedir?

Kİ KA

α

G

D

F

E

A) 60 

A

40

K

B) 50  40

C) 45 

D) 40 

E) 36

B

40

40

M

H

C

α

40

40

G

D

40

F

40

40

E

DA

Örnek - 6

O O

O O

O O

Yukarıda eş daire biçimindeki pizzalar sırasıyla 4, 6 ve 8 eş dilime ayrılmıştır. B B α α

A A

O O

Bu dilimlerden birer tanesi şekildeki gibi merkezleri ve kenarları çakışacak biçimde birleştiriliyor. C C

Buna göre, m(AéBC) = a kaç derecedir? A) 75 

32

20 Dakikada AYT Geometri

B) 80 

C) 82,5 

D) 85 

E) 87,5