Matematika Umum TURUNAN FUNGSI ALJABAR (Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar)

SMA/MA KELAS

XI SEMESTER GENAP Disusun Oleh: Anisa Septi Bayuningsih 2101660079

PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG) PRAJABATAN PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2021

Daftar Isi Halaman depan .....................................................................................................

i

Daftar Isi .................................................................................................................. ii Glosarium ................................................................................................................ iii I. PENDAHULUAN A. Identitas Modul ..........................................................................................................

1

B. Kompetensi Dasar dan IPK ....................................................................................

1

C. Deskripsi singkat Materi ........................................................................................

2

D. Materi Prasyarat ........................................................................................................

3

E. Petunjuk Penggunaan Modul ...............................................................................

4

F.

Peta Konsep .................................................................................................................

5

G. Materi Pembelajaran ...............................................................................................

5

II. PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 (Konsep Turunan) A. Tujuan Pembelajaran ....................................................................................................

6

B. Uraian materi ....................................................................................................................

6

C.

Rangkuman ........................................................................................................................ 11

D. Latihan soal ......................................................................................................................... 11 E. Penilaian Diri .................................................................................................................... 14 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 (Sifat-Sifat Turunan) A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................................... 15 B. Uraian materi .................................................................................................................... 15 C.

Rangkuman ........................................................................................................................ 24

D. Latihan soal ......................................................................................................................... 25 E. Penilaian Diri .................................................................................................................... 28 EVALUASI ................................................................................................................................... 29 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 30

ii

GLOSARIUM

Turunan : Pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. f’(x)

: Turunan pertama dari fungsi f(x)

Gradien : (bahasa Inggris: gradient) adalah salah satu operator dalam kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam bidang skalar, atau biasa disebut dengan kemiringan. u(x)

: Fungsi u

v(x)

: Fungsi v

iii

PENDAHULUAN A. Identitas Modul Mata Pelajaran

: Matematika Umum

Kelas

: XI

Judul Modul

: Turunan Fungsi Aljabar (Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar)

B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) Kompetensi Dasar 3.6

Menjelaskan

sifat-sifat 3.6.1

IPK Mendeskripsikan turunan fungsi

turunan fungsi aljabar

aljabar

dan menentukan turunan

turunan fungsi aljabar

fungsi

aljabar

menggunakan

definisi 3.6.2

menggunakan

definisi

Menganalisis suatu permasalahan

atau sifat-sifat turunan

yang berkaitan dengan turunan

fungsi

fungsi aljabar berdasarkan definisi turunan fungsi.

4.6

Menyelesaikan masalah 4.6.1

Mengkomunikasikan penyelesaian

yang berkaitan dengan

masalah yang berkaitan dengan

turunan fungsi aljabar

turunan menggunakan

fungsi definisi

aljabar turunan

fungsi.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

1

C. Deskripsi Singkat Materi Turunan adalah pengukuran terhadap

bagaimana

fungsi

berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana berubah

suatu akibat

besaran perubahan

besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Persoalan mengenai ide laju perubahan merupakan latar belakang munculnya dasar hitung diferensial atau turunan. Konsep turunan fungsi secara universal banyak digunakan dalam berbagai bidang. Misalnya dalam bidang ekonomi, turunan fungsi digunakan untuk menghitung keuntungan marginal. Dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme. Dalam bidang fisika, turunan fungsi digunakan untuk menghitung laju bola jatuh dari ketinggian dan lain sebagainya. Semua fungsi 𝑓(𝑥) dapat diturunkan fungsinya mengunakan definisi turunan, yaitu 𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

. Namun, apabila menentukan

turunan suatu fungsi yang lebih rumit, maka akan rumit dan memakan banyak waktu dalam menyelesaikannya. Untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan tersebut, dapat digunakan sifat-sifat turunan fungsi yang akan disajikan dalam modul ini. Dalam modul ini, akan dibahas mengenai sifat-sifat turunan fungsi dan cara menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan sifat tersebut. Adapun bentuk-bentuk fungsi yang akan dibahas dalam modul ini, yaitu: 1. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) 2. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥) 3. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) 4. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) =

𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)

5. Aturan rantai, yaitu apabila 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥))

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

2

D. Materi Prasyarat Materi prasyarat yang harus dikuasai adalah mengenai materi limit fungsi aljabar. Sebelum kita mengetahui pengertian hitung diferensial, terlebih dahulu kita pahami pengertian mengenai kecepatan. Contoh 1 Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 25 meter per detik. Apabila mobil tersebut bergerak dengan kecepatan tetap maka mobil itu akan menempuh jarak 50 meter dalam waktu 2 detik. Jadi, dapat dikatakan bahwa kecepatan adalah jarak yang ditempuh dibagi waktu Contoh 2 Suatu sirkuit balapan mempunyai keliling 5km. Untuk mengelilingi sirkuit sebanyak 48 kali, seorang pembalap dapat menyelesaikan lomba hingga mencapai finish dalam waktu 1,5 jam. Sehingga dapat dikatakan bahwa kecepatan rata-rata dari mobil yang dikendarai pembalap itu adalah

48×5 1,5

km/jam = 60 km/jam. Berdasarkan iludtrasi tersebut kita peroleh kesimpulan bahwa : 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒋𝒂𝒓𝒂𝒌

Kecepatan rata-rata = 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 atau 𝑽𝒓𝒂𝒕𝒂−𝒓𝒂𝒕𝒂 =

∆𝒔 ∆𝒕

Contoh 3 Sebuah titik bergerak sepanjang lintasan 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 dengan s dalam meter dan t dalam detik. a. Berapakah kecepatan rata-rata dalam selang 2 ≤ 𝑡 ≤ 2 + ℎ? b. Tentukan nilai 𝐿𝑖𝑚

𝑓(2+ℎ)−𝑓(2) ℎ

ℎ→0

Jawab: 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒋𝒂𝒓𝒂𝒌

a. Kecepatan rata-rata = 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 𝑽𝒓𝒂𝒕𝒂−𝒓𝒂𝒕𝒂 =

𝒇(𝟐+ℎ)−𝒇(𝟐) ℎ

(𝟐 + ℎ)𝟐 − (𝟐)𝟐 𝑽𝒓𝒂𝒕𝒂−𝒓𝒂𝒕𝒂 = 𝟐+ℎ−𝟐 (𝟒 + 𝟒ℎ + ℎ𝟐 ) − (𝟒) 𝑽𝒓𝒂𝒕𝒂−𝒓𝒂𝒕𝒂 = ℎ (𝟒ℎ + ℎ𝟐 ) 𝑽𝒓𝒂𝒕𝒂−𝒓𝒂𝒕𝒂 = ℎ ℎ(𝟒+ℎ) 𝑽𝒓𝒂𝒕𝒂−𝒓𝒂𝒕𝒂 = ℎ = 𝟒 + ℎ, Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 𝟒 + 𝒉 m/detik E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

3

b. (2 + ℎ)2 − (2)2 𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ→0 ℎ 2+ℎ−2

𝐿𝑖𝑚

= 𝐿𝑖𝑚4 + ℎ ℎ→0

=4 E. Petunjuk Penggunaan Modul Dalam mempelajari isi modul, peserta didik harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut: 1. Sebelum memulai menggunakan modul, mari berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan kemudahan dalam memahami materi ini dan dapat mengamalkan dalam kehidupan sehari-hari. 2.

Pelajari seluruh komponen yang terdapat dalam modul secara berurutan.

3.

Selesaikan latihan-latihan soal yang terdapat pada modul.

4.

Jika mengalami kesulitan pada saat menyelesaikan latihan-latihan, pelajari kembali materi yang berkaitan dengan latihan-latihan soal yang ada.

5.

Jika tetap mengalami kesulitan, catat hal-hal yang dianggp sulit dan tanyakan kepada guru pada saat kegiatan pembelajaran.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

4

F. Peta Konsep

G. Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi. Pertama Kedua

: Menemukan Konsep Turunan menggunakan Limit Fungsi : Turunan Fungsi Aljabar

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

5

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 Konsep Turunan A. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan mengamati modul pembelajaran : 1. peserta didik dapat mendeskripsikan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi turunan fungsi aljabar dengan tepat. 2. Peserta didik dapat menganalisis suatu permasalahan yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar berdasarkan definisi turunan fungsi aljabar dengan baik. 3. Peserta didik dapat mengkomunikasikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi turunan fungsi dengan komunikatif. B. Uraian materi 1. Kecepatan Sesaat (pada saat) Gambar berikut menunjukan kecepatan yang berubah pada interval tertentu. Jika absis dalam grafik menggambarkan waktu dan ordinat menggambarkan jarak yang ditempuh maka titik A berkoordinat (𝑡1 , 𝑓(𝑡1 )). Kecepatan berubah dalam interval sebesar h , yaitu dari titik 𝑡1 menjadi titik 𝑡1 + ℎ sehingga perubahan waktu diwakili oleh titik 𝐵(𝑡1 + ℎ, 𝑓(𝑡1 + ℎ)). Garis lurus merupakan tali busur dari garis lengkung 𝑓(𝑡). Perhatikan bahwa: AC = h (perubahan waktu) BC = 𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1 ) (perubahan jarak) Sehingga diperoleh Kecepatan rata-rata: 𝑣=

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1 ) 𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1 ) = (𝑡1 + ℎ) − 𝑡1 ℎ Jika nilai ℎ semakin kecil (mendekati nol) maka jarak dari B ke A semakin

dekat.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

6

Bentuk

𝑓(𝑡1 +ℎ)−𝑓(𝑡1 ) ℎ

disebut hasil bagi diferensi atau koefisiensi arah

(gradien) garis AB. Nilai 𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1 ) adalah selisih diferensi jarak dan (𝑡1 + ℎ) − 𝑡1 adalah selisih diferensi waktu. Jika h mendekati nol, maka diperoleh 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑡1 +ℎ)−𝑓(𝑡1 ) ℎ

𝑓(𝑡1 +ℎ)−𝑓(𝑡1 ) ℎ

mempunyai limit dan

, yang disebut kecepatan sesaat atau laju

perubahan sesaat yang dalam hitungan diferensial disebut “derifatif” atau “turunan”. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa kecepatan sesaat adalah proses limit dari kecepatan rata-rata dan dinyatakan dengan 𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1 ) ℎ→0 ℎ

𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 = 𝐿𝑖𝑚

2. Laju perubahan nilai fungsi 𝒇: 𝒙 → 𝒇(𝒙) pada 𝒙 = 𝒄 (Turunan f pada x = c) Jika terdapat suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada domain 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 + ℎ, Maka nilai fungsi akan berubah dari 𝑓(𝑐) pada x = c sampai 𝑓(𝑐 + ℎ) pada 𝑥 = 𝑐 + ℎ (ℎ ≠ 0)

f (c + h ) − f (c )

Pada gambar, -

Nilai x mengalami perubahan sebesar (𝑐 + ℎ) − (𝑐) = ℎ yang disebut perubahan (diferensi) nilai x

-

Nilai fungsi f mengalami perubahan sebesar 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) dan disebut perubahan nilai fungsi.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

7

Sehingga nilai rata-rata perbandingan perubahan nilai 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘(𝑓)

perubahan x adalah 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 (𝑥) =

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

f

terhadap

disebut sebagai hasil bagi

diferensi. Jika B bergerak sepanjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) mendekati A, maka nilai h akan semakin kecil mendekati nol dan sehingga 𝐿𝑖𝑚

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)

akan mempunyai limit,

ℎ

ada.

Nilai limit dinamakan laju perubahan nilai fungsi f pada 𝑥 = 𝑐, yang dalam hitung diferensial disebut derifatif f pada 𝑥 = 𝑐 atau turunan f pada 𝑥 = 𝑐 dan dinotasikan dengan 𝑓’(𝑐), sehingga di dapat : Turunan Fungsi adalah fungsi lain 𝑓′yang nilanya pada sembarang bilangan 𝑐. 𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) 𝑓′(𝑐) = 𝐿𝑖𝑚 , jika limitnya ada. ℎ ℎ→0

Jika

limit

tersebut

ada,

maka

dikatakan

bahwa

f

diturunkan

(didiferensialkan) di c. Jika fungsi f(x) diferensiabel (mempunyai turunan) untuk setiap nilai x dalam domain D dan dengan D 𝜖 R, maka turunan fungsi f(x) ditulis f’(x) dinyatakan dengan rumus : 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚

Bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial. 3. Notasi Turunan Turunan dari 𝑦 = 𝑓 (𝑥) seringkali ditulis dengan y' = f ′(x). 𝑑𝑦

Notasi dari 𝑦′ = 𝑓 ′(𝑥) juga dapat ditulis sebagai 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥

dapat diartikan sebagai perbandingan perubahan nilai fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥)

terhadap varibael 𝑥 atau

𝑑𝑦 𝑑𝑥

dapat diartikan sebagai turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥)

terhadap variabel 𝑥

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

8

Contoh Soal

1. Pada saat ujicoba sirkuit mandalika, suatu mobil melaju pada sirkuit tersebut. Suatu fungsi 𝑓(𝑥) = 15𝑥 2 + 20𝑥 menyatakan jarak (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah 𝑥 jam perjalanan selama selang waktu 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Tentukan

kecepatan

rata-rata

mobil itu selama perjalanannya dalam melakukan ujicoba sirkuit mandalika. Penyelesaian 𝛥𝑓 𝑓(2) − 𝑓(0) = 𝛥𝑥 2−0 [15. (22 ) + 20.2] − [15. (02 ) + 20.0] = 2 = 50𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚 Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. Untuk itu dibuat tabel berikut 𝜟𝒇 Selang waktu 𝜟𝒙 0 – 1 35 0,8 – 1 47 0,9 – 1 48,5 0,99 – 1 49,85 0,999 – 1 49,9850 0,9999 – 49,9985 1 50,0015 1 – 50,015 1,0001 50,15 1 – 1,001 57,5 1 – 1,01 65 1 – 1,5 1–2 𝜟𝒇 Dari tabel di atas didapatkan bahwa bilai dari 𝜟𝒙mendekat ke bilangan 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin kecil (𝜟𝒙mendekati nol). Nilai 50 merupakan kecepatan (sesaat) pada 𝑥 = 1. Dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh dari proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekati ke-1 atau 𝜟𝒙mendekati nol.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

9

2. Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 3pada x = 2 menggunakan definisi turunan. Penyelesaian 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 3pada x = 2 𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ [8(2 + ℎ) − 3] − (8(2) − 3) 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ [16 + 8ℎ − 3] − (16 − 3) 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 16 + 8ℎ − 3 − 16 + 3 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 16 − 16 + 8ℎ − 3 + 3 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 8ℎ 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 = 𝐿𝑖𝑚8 = 8 ℎ→0 ℎ ℎ→0 Jadi, turunan fungsi 𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝟑 pada x = 2 adalah 8 3. Tentukan turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥 menggunakan definisi turunan! Penyelesaian: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ [3(𝑥 + ℎ)] − (3(𝑥)) 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ [3𝑥 + 3ℎ] − (3𝑥) 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 3𝑥 − 3𝑥 + 3ℎ 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 3ℎ 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 𝑓′(2) = 𝐿𝑖𝑚3 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓′(2) = 3 Jadi, turunan 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 adalah 𝒇′(𝒙) = 𝟑

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

10

C. Rangkuman o Jika

limit

tersebut

ada,

maka

dikatakan

bahwa

f

diturunkan

(didiferensialkan) di c. Jika fungsi f(x) diferensiabel (mempunyai turunan) untuk setiap nilai x dalam domain D dan dengan D 𝜖 R, maka turunan fungsi f(x) ditulis f’(x) dinyatakan dengan rumus : 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚

o Turunan dari y = f (x) seringkali ditulis dengan y' = f ′(x). 𝑑𝑦

o Notasi dari y' = f ′(x) juga dapat ditulis sebagai 𝑑𝑥 D. Latihan soal

1. Jika terdapat suatu fungsi y = f(x) , jelaskan cara menentukan turunan dari fungsi tersebut berdasarkan definisi yang ada! 2. Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3 pada x = 4 menggunakan definisi turunan. 3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 Tentukan turunan fungsi tersebut menggunakan definisi 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

!

4. Sebuah mobil bergerak sepanjang jalan lurus dengan persamaan gerak 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 + 2𝑡. Tentukan kecepatan mobil setelah 15 detik dari saat bergeraknya mobil tersebut (s dalam meter) menggunakan konsep/definisi turunan

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

11

Kunci Jawaban Latihan Soal No Score Kunci Jawaban Soal total 1. Jika terdapat 𝑦 = 𝑓(𝑥) maka cara menentukan turunan dari 5 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) fungsi tersebut adalah sama dengan menentukan 𝐿𝑖𝑚 ℎ ℎ→0

2.

Diketahui: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3 , x = 4 Ditanyakan: Turunan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3 pada x = 4 adalah 𝑓′(4)...? Jawab: 𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4) 𝑓′(4) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ [2(4 + ℎ)2 + 3] − (2 ⋅ 42 + 3) 𝑓′(4) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ [2(16 + 8ℎ + ℎ2 ) + 3] − (32 + 3) 𝑓′(4) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 32 + 16ℎ + 2ℎ2 + 3 − 32 + 3 𝑓′(4) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 16ℎ + 2ℎ2 𝑓′(4) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 𝑓′(4) = 𝐿𝑖𝑚(16 + 2ℎ)

10

ℎ→0

𝑓′(4) = 16 + 2 ⋅ 0 = 16 3.

Jadi Turunan 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑 pada x = 4 adalah 𝒇′ (𝟒) = 𝟏𝟔 Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 Ditanyakan: 2 Turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1...?

10

Jawab:

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ [(𝑥 + ℎ)2 − 1] − (𝑥 2 − 1) 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 1 − 𝑥 2 + 1 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 2 2ℎ𝑥 + ℎ 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ ℎ(2𝑥 + ℎ) 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚2𝑥 + ℎ 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 0 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝟐 Jadi turunan dari 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟏 adalah 𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

12

No Soal 4. Diketahui :

Kunci Jawaban

Score total 10

𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 + 2𝑡 Ditanya : kecepatan mobil setelah 15 detik Jawab: 𝑓(𝑡 + ℎ) − 𝑓(𝑡) ℎ→0 ℎ 𝑓(15 + ℎ) − 𝑓(15) 𝑓′(15) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 𝑓′(𝑡) = 𝐿𝑖𝑚

(15 + ℎ)2 + 2(15 + ℎ) − (152 + 2(15)) 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ (225 + 30ℎ + ℎ2 + 30 + 2ℎ − (225 + 30) 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ (32ℎ + ℎ2 ) ℎ→0 ℎ ℎ(32 + ℎ) 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚

𝑓′(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚32 + ℎ = 32 ℎ→0

Jadi, kecepatan mobil setelah 15 detik dari saat bergeraknya mobil tersebut adalah 32 meter Skor maksimum

35

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

13

E. Penilaian Diri Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggung jawab. NO 1 2 3

Pertanyaan

Jawaban Ya

Tidak

Apakah kalian telah mampu memahami definisi turunan ? Apakah kalian telah mampu memahami konsep turunan fungsi menggunakan limit? Apakah kalian telah mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan turunan?

Keterangan : o Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, terutama pada bagian yang masih Penilaian Diri "Tidak". o Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

14

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar A. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan mengamati modul pembelajaran : 1. Peserta didik dapat menjelaskan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi aljabar. 2. Peserta didik dapat membuktikan sifat-sifat turunan fungsi aljabar 3. Peserta didik dapat menganalisis suatu permasalahan yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi. 4. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan suatu fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat turuan fungsi. B. Uraian materi Sifat-sifat Turunan Fungsi

Turunan Fungsi yang Berbentuk 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙) ± 𝒗(𝒙)

Apabila 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) dimana turunan dari 𝑢(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan turunan dari 𝑣(𝑥) adalah 𝑣′(𝑥), maka bagaimana rumus untuk 𝑓′(𝑥) nya menggunakan definisi turunan?

Ingat kembali bahwa turunan suatu fungsi 𝑓(𝑥) didefinisikan sebagai: 𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) ℎ→𝟎 𝒉

𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

15

Akan ditentukan 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) menggunakan definisi turunan tersebut. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ)+𝑣(𝑥+ℎ)−[𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= lim

[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)]+[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥) ℎ

ℎ→0

+ lim

𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥) ℎ

ℎ→0

turunan dari 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan 𝑣′(𝑥)

= 𝑢′ (𝑥) + 𝑣′(𝑥)

Akan ditentukan 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) menggunakan definisi turunan tersebut. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥+ℎ)−[𝑢(𝑥)−𝑣(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= lim

[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)]−[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= lim

ℎ→0

𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥) ℎ

= 𝑢′ (𝑥) − 𝑣′(𝑥)

− lim

ℎ→0

𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥) ℎ

turunan dari 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan 𝑣′(𝑥)

Kesimpulan Apabila 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙) ± 𝒗(𝒙) dimana turunan dari 𝒖(𝒙) adalah 𝒖′(𝒙) dan turunan dari 𝒗(𝒙) adalah 𝒗′(𝒙), maka 𝒇′(𝒙) = 𝒖′ (𝒙) ± 𝒗′(𝒙)

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

16

Turunan Fungsi yang Berbentuk 𝒇(𝒙) = 𝒌. 𝒖(𝒙)

Apabila 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥) dimana turunan dari 𝑢(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥), maka dengan definisi turunan tentukanlah rumus untuk 𝑓′(𝑥) nya!

Akan ditentukan 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥) menggunakan definisi turunan. 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ→0

= lim

𝑘[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= 𝑘. lim

𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)

ℎ→0

= 𝑘. 𝑢′ (𝑥)

ℎ

turunan dari 𝑢(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥)

Kesimpulan Apabila 𝒇(𝒙) = 𝒌. 𝒖(𝒙) dimana turunan dari 𝒖(𝒙) adalah 𝒖′(𝒙), maka 𝒇′(𝒙) = 𝒌. 𝒖′ (𝒙)

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

17

Turunan Fungsi yang Berbentuk 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙). 𝒗(𝒙)

Apabila 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) dimana turunan dari 𝑢(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan turunan dari 𝑣(𝑥) adalah 𝑣′(𝑥), maka dengan definisi turunan tentukanlah rumus untuk 𝑓′(𝑥) nya!

Akan ditentukan 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) menggunakan definisi turunan. Memperhatikan, 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ→0

= lim

ℎ

𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥+ℎ)−[𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥) ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥) ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ)[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)]+𝑣(𝑥)[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)] ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ)[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)]

ℎ→0

ℎ

𝑣(𝑥)[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)]

ℎ→0

= lim 𝑢(𝑥 + ℎ) . lim ℎ→0

+ lim

ℎ→0

[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)] ℎ

= 𝑢(𝑥). 𝑣 ′ (𝑥) + 𝑣(𝑥). 𝑢′(𝑥)

ℎ

+ lim 𝑣(𝑥) . lim ℎ→0

[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)]

ℎ→0

ℎ

turunan dari 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan 𝑣′(𝑥)

Kesimpulan Apabila 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙). 𝒗(𝒙) dimana turunan dari 𝒖(𝒙) adalah 𝒖′(𝒙) dan turunan dari 𝒗(𝒙) adalah 𝒗′(𝒙), maka 𝒇′ (𝒙) = 𝒖′ (𝒙). 𝒗(𝒙) + 𝒖(𝒙). 𝒗′(𝒙)

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

18

𝒖(𝒙)

Turunan Fungsi yang Berbentuk 𝒇(𝒙) = 𝒗(𝒙) 𝒖(𝒙)

Apabila 𝑓(𝑥) = 𝒗(𝒙) dimana turunan dari 𝑢(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan turunan dari 𝑣(𝑥) adalah 𝑣′(𝑥), maka dengan definisi turunan tentukanlah rumus untuk 𝑓′(𝑥) nya!

𝒖(𝒙)

Akan ditentukan 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝒗(𝒙) menggunakan definisi turunan. Memperhatikan, 𝒖(𝒙)

𝑓(𝑥) = 𝒗(𝒙) 𝑓 ′ (𝑥)

= lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ→0

= lim

𝒖(𝒙+𝒉) 𝒖(𝒙) − 𝒗(𝒙+𝒉) 𝒗(𝒙)

ℎ

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥).𝑣(𝑥+ℎ) ℎ.𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)

ℎ→0

= lim

𝑢(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥).𝑣(𝑥+ℎ)+𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥).𝑣(𝑥) ℎ.𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)

ℎ→0

= lim

𝑣(𝑥)[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)]−𝑢(𝑥)[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)] ℎ.𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)

ℎ→0

= lim

ℎ→0

= lim

𝑣(𝑥)[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)] ℎ.𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥) 1

ℎ→0

. lim 𝑣(𝑥) . lim

ℎ→0 𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥) ℎ→0

=

− lim

𝑢(𝑥).𝑣′ (𝑥)−𝑣(𝑥).𝑢′(𝑥) 𝑣 2 (𝑥)

ℎ→0

𝑢(𝑥)[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)] ℎ.𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥)

[𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)] ℎ

− lim

1

lim 𝑢(𝑥) . lim

ℎ→0 𝑣(𝑥+ℎ).𝑣(𝑥) ℎ→0

[𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)]

ℎ→0

ℎ

turunan dari 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) adalah 𝑢′(𝑥) dan 𝑣′(𝑥)

Kesimpulan 𝒖(𝒙)

Apabila 𝒇(𝒙) = 𝒗(𝒙) dimana turunan dari 𝒖(𝒙) adalah 𝒖′(𝒙) dan turunan dari 𝒗(𝒙) adalah 𝒗′(𝒙), maka 𝒇′ (𝒙) = E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

𝑢(𝑥).𝑣′ (𝑥)−𝑣(𝑥).𝑢′(𝑥) 𝑣 2 (𝑥)

19

Aturan Rantai untuk Mencari Turunan Fungsi

Apabila diketahui 𝑦 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) sedemikian sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) dimana turunan dari 𝑓(𝑥) adalah 𝑓′(𝑥) dan turunan dari

𝑔(𝑥)

adalah

𝑔′(𝑥),

maka

tentukanlah

rumus

turunannya!

Akan ditentukan rumus turunan untuk fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)). Ingat kembali rumus 𝑑𝑦

turunan fungsi jika dinyatakan ke dalam notasi Leibniz menjadi 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 . Perhatikan, misalkan 𝑔(𝑥) = 𝑢, sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑢) Diketahui: 𝑑𝑢

𝑔(𝑥) = 𝑢, maka 𝑔′ (𝑥) = 𝑑𝑥

… (1)

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑢), maka 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ (𝑢) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) … (2) Dari persamaan (1) dan (2), dapat diperoleh: ′

𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑢

′

′

𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 . 𝑑𝑥 ⟺ 𝑦 = 𝑓 (𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)

Persamaan ini merupakan aturan rantai untuk menentukan turunan fungsi

Kesimpulan Apabila 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)) dimana turunan dari 𝒇(𝒙) adalah 𝒇′(𝒙) dan turunan dari 𝒈(𝒙) adalah 𝒈′(𝒙), maka 𝒚′ = 𝒇′ (𝒈(𝒙)). 𝒈′(𝒙)

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

20

Contoh Soal

Perhatikan Contoh Soal Berikut: 1. Turunan dari fungsi-fungsi berikut berdasarkan sifat-sifat yang ada a. 𝑓(𝑥) = 2 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 0 b. 𝑔(𝑥) = −10 ⟹ 𝑔′(𝑥) = 0 c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 3−1 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 2

2 3

2

d. 𝑐(𝑥) = 𝑥 3 ⟹ 𝑐 ′ (𝑥) = 3 𝑥 3−3 𝑐′(𝑥) =

2 1

3𝑥 −3

2. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = −40𝑥 2 − 𝑥 − 15. Tentukan turunan dari fungsi tersebut 𝑓′(𝑥) sesuai dengan sifat yang ada! Jawab: 𝑓(𝑥) = −40𝑥 2 − 𝑥 − 15 𝑓′(𝑥) = 2(−40)𝑥 2−1 − 1 ⋅ 𝑥1−1 + 0 𝑓′(𝑥) = −80𝑥1 − 1 ⋅ 𝑥 0 + 0 𝑓′(𝑥) = −80𝑥 − 1 ⋅ 1 + 0 𝑓′(𝑥) = −80𝑥 − 1 𝑑𝑦

3. Tentukan turunan fungsi y = f(x) terhadap varibael x dengan notasi 𝑑𝑥 dari 2

bentuk berikut:𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 3 + 5 Jawab: 2

𝑦 = 𝑥3 + 𝑥3 + 5 𝑑𝑦 2 2−1 = 𝑥 3 + 3𝑥 3−1 + 0 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 2 2−3 = 𝑥 3 3 + 3𝑥 3−1 + 0 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 2 −1 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑑𝑥 3 2

Jadi turunan 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 3 + 5 terhadap variabel x atau ditulis dengan 𝑑𝑦

𝑑𝑦

2

1

adalah 𝑑𝑥 = 3 𝑥 −3 + 3𝑥 2 𝑑𝑥

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

21

4. Sirkuit Mandalika merupakan sirkuit international yang direncakanan akan digunakan untuk menggelar MotoGP pada maret 2022. Presiden Joko Widodo melakukan uji coba sirkuit tersebut

dengan

fungsi

waktu

pertambahan geraknya 𝑠 = 𝑓(𝑡) =

0,25𝑡 2 +0,5𝑡 10𝑡 3

𝑚, maka tentukan rumus fungsi

untuk kecepatan perubahan pertambahan gerak tersebut. Jawab: Diketahui Pertambahan gerak yang dialami dinyatakan sebagai fungsi waktu 𝑓(𝑡) =

0,25𝑡 2 + 0,5𝑡 𝑚 10𝑡 3

Ditanyakan: Kecepatan perubahan pertambahan gerak sepeda motor? Penyelesaian: • Untuk mengetahui kecepatan perubahan pertambahan gerak sepeda motor dapat diperoleh dari besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu. Hal tersebut sesuai dengan konsep definisi turunan yang telah dipelajari sebelumnya. •

Sesuai dengan hal tersebut, untuk menentukan kecepatan perubahan pertambahan gerak sepeda motor, dapat dicari dengan menerapkan rumus turunan fungsi.

•

Memperhatikan, Misalkan kecepatan perubahan pertambahan gerak sepeda motor 𝑣 = 𝑓′(𝑡) 𝑓(𝑡) =

0,25𝑡 2 +0,5𝑡 10𝑡 3

, jika 𝑔(𝑡) = 0,25𝑡 2 + 0,5𝑡 dan ℎ(𝑡) = 10𝑡 3 maka 𝑓(𝑡) dapat 𝑔(𝑡)

dituliskan sebagai 𝑓(𝑡) = ℎ(𝑡). Diketahui bahwa rumus turunan untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑓

′ (𝑥)

𝑔(𝑥) ℎ(𝑥)

adalah

𝑔′ (𝑥). ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥). ℎ′(𝑥) = (ℎ(𝑥))2

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

22

Sehingga, 𝑓 ′ (𝑥) = = = = =

𝑔′ (𝑥).ℎ(𝑥)−𝑔(𝑥).ℎ′(𝑥) (ℎ(𝑥))2

(5𝑡+0,5)(10𝑡 3 )−(0,25𝑡 2 +0,5𝑡)(30𝑡 2 ) 100𝑡 6 42,5𝑡 4 −10𝑡 3 100𝑡 6 42,5𝑡 4 −10𝑡 3 100𝑡 6 4,25𝑡 −1 100𝑡 3

Jadi, kecepatan perubahan pertambahan gerak sepeda motor ditentukan oleh 𝑣 =

4,25𝑡 −1 100𝑡 3

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

23

C. Rangkuman

Sifat-sifat turunan fungsi sebagi berikut: 1. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥), maka turnannya adalah 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ± 𝑣′(𝑥) 2. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥), maka turnannya adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘. 𝑢′ (𝑥) 3. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥), maka turunannya adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥). 𝑣(𝑥) + 𝑣 ′ (𝑥). 𝑢(𝑥) 4. Fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) =

𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)

, maka turnannya adalah

𝑢′ (𝑥). 𝑣(𝑥) + 𝑣 ′ (𝑥). 𝑢(𝑥) 𝑓′(𝑥) = (𝑣(𝑥))2 5. Aturan rantai, yaitu apabila 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), maka turnannya adalah 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) Kemudian, cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat turunan adalah sebagai berikut: 1. Menentukan fungsi aljabar yang akan ditentukan 2. Mengidentifikasi sifat turunan mana yang akan digunakan 3. Menghitung turunan fungsi aljabar menggunakan sifat yang telah ditentukan

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

24

D. Latihan soal 1. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3

+ 40 2

2

b. 𝑔(𝑥) = −4𝑥 3 + 𝑥 6 3

c. ℎ(𝑥) = (6 − 2𝑥)2

2. Jika terdapat fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑚 + 𝑐, jelaskan bagaimana bentuk turunan dari fungsi tersebutberdasarkan sifat fungsi yanga ada! 3. Jika terdapat fungsi 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥 𝑛 + 𝑐)(𝑥 𝑚 ), jelaskan bagaimana bentuk turunan dari fungsi tersebut berdasarkan sifat fungsi yang ada! 4. Sebuah perusahaan menaksir bahwa untuk memproduksi x unit barang 1

dibutuhkan biaya produksi sebesar 𝐶(𝑥) = 8 𝑥 2 + 330𝑥 + 180 ribu rupiah. Tentukan biaya marginal dari biaya prosuksinya. (menggunakan sifat-sifat turunan)

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

25

Kunci Jawaban Latihan Soal No Soal 1.

Kunci Jawaban Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 40

Score total 10

𝑓′(𝑥) = 3 ⋅ 2𝑥3 − 1 + 0 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2 2

2

b. 𝑔(𝑥) = −4𝑥 3 + 𝑥 6 3

2 2 2 𝑔′(𝑥) = ( ) (−4)𝑥 3−1 + (6) ( ) 𝑥 6−1 3 3 2 3 2 2 𝑔′(𝑥) = ( ) (−4)𝑥 3−3 + (6) ( ) 𝑥 6−1 3 3 8 1 𝑔′(𝑥) = − 𝑥 −3 + 4𝑥 5 3

c. ℎ(𝑥) = (6 − 2𝑥)(6 + 2𝑥)

Misal 𝑢 = 6 − 2𝑥 → 𝑢′ = −2 𝑣 = 6 + 2𝑥 → 𝑣′ = 2 Turunan dari ℎ(𝑥) = 𝑢 ⋅ 𝑣 adalah ℎ′(𝑥) = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ ℎ′(𝑥) = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ ℎ′(𝑥) = −2(6 + 2𝑥) + (6 − 2𝑥)2 ℎ′(𝑥) = −12 − 4𝑥 + 12 − 4𝑥 ℎ′(𝑥) = −8𝑥 2. Jika terdapat fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑚 + 𝑐 maka turunan dari fungsi

10

tersebut adalah 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑥 𝑛−1 + 𝑚𝑥 𝑚−1 + 0 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑥 𝑛−1 + 𝑚𝑥 𝑚−1 bentuk tersebut diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi dari masing-masing suku pada sifat sebelumnya. 3. Jika terdapat fungsi 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥 𝑛 + 𝑐)(𝑥 𝑚 ), maka turunan dari fungsi

10

tersebut adalah Misal 𝑔(𝑥) = (𝑎𝑥 𝑛 + 𝑐) → 𝑔′(𝑥) = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑥 𝑛−1 𝑝(𝑥) = (𝑥 𝑚 ) → 𝑝′(𝑥) = 𝑚𝑥 𝑚−1 ,

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

26

No Soal

Score total

Kunci Jawaban Jika 𝑔(𝑥) = 𝑢 = (𝑎𝑥 𝑛 + 𝑐) → 𝑔′(𝑥) = 𝑢′ = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑥 𝑛−1 𝑝(𝑥) = 𝑣 = (𝑥 𝑚 ) → 𝑝′(𝑥) = 𝑣′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 Maka turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑝(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑢 ⋅ 𝑣 adalah: 𝑓′(𝑥) = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣′ 𝑓′(𝑥) = (𝑛 ⋅ 𝑎𝑥 𝑛−1 )(𝑥 𝑚 ) + (𝑎𝑥 𝑛 + 𝑐)(𝑚𝑥 𝑚−1 ) 𝑓′(𝑥) = (𝑛𝑎𝑥 𝑚 𝑥 𝑛−1 ) + (𝑎𝑥 𝑛 𝑚𝑥 𝑚−1 + 𝑐𝑚𝑥 𝑚−1 ) 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑚 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑚𝑥 𝑛 𝑥 𝑚−1 + 𝑐𝑚𝑥 𝑚−1

4. Penyelesaian:

10 1

Diketahui: biaya produksi sebesar 𝐶(𝑥) = 8 𝑥 2 + 330𝑥 + 180 Ditanyakan: Tentukan biaya marginal dari biaya produksinya...? Jawab: Biaya marginal bisa dinyatakan dengan 𝛥𝐶 = 𝐶(𝑥 + ℎ) − 𝐶(𝑥) dengan h = 1 sehingga bisa dikatakan bahwa 𝛥𝐶 𝐶(𝑥 + ℎ) = 𝐿𝑖𝑚 = 𝐶′(𝑥) ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ

𝐿𝑖𝑚

Biaya marginal dari prosuksi di atas adalah: 1 2 𝑥 + 30𝑥 + 180 8 1 𝐶′(𝑥) = 2 ⋅ 𝑥 + 30 8 1 𝐶′(𝑥) = 𝑥 + 30 4 𝐶(𝑥) =

1

Sehingga biaya marginalnya adalah 𝐶′(𝑥) = 4 𝑥 + 30 Skor maksimum

40

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

27

E. Penilaian Diri Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggung jawab. NO 1 2 3 4 5 6

Pertanyaan

Jawaban Ya Tidak

Apakah kalian telah mampu memahami definisi turunan ? Apakah kalian telah mampu mampu menentukan turunan pertama fungsi aljabar linear? Apakah kalian telah mampu menentukan turunan pertama fungsi pecahan? Apakah kalian telah mampu menentukan turunan pertama dari fungsi berbentuk akar? Apakah kalian mampu menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai? Apakah kalian telah mampu menyelesaikan soal yang berkaitan dengan turunan?

Keterangan : o Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, terutama pada bagian yang masih Penilaian Diri "Tidak". o Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

28

EVALUASI Kerjakan soal dibawah ini dengan tepat dan benar. 1. Buktikan dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi dari fungsi aljabar berikut: a. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 3 b. Turunan dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 2) adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 2

2. Tentukan turunan dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi dari fungsi aljabar berikut: a. 𝑦 = (𝑥 3 − 3𝑥)2 b. 𝑦 = (2 + 5𝑥 2 )5 3𝑥−2

c. 𝑦 = 5𝑥+6 d. 𝑦 = (𝑥 2 + 2𝑥)(𝑥 − 3)

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

29

DAFTAR PUSTAKA

Lestari, S. & Kurniasih, D.A.2009. Matematika 2: untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. Noormandiri, B. K. Matematika untuk Kelas XI SMA dan MA Mata Pelajaran Wajib. Jakarta: Erlangga, 2017.

Manullang, S., dkk. 2017. Buku Guru Matematika Kelas XI, Revisi 2017. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Manullang, S., dkk. 2017. Buku Siswa Matematika Kelas XI Semester II, Revisi 2017. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Sri, Y.S. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum Turunan Fungsi Aljabar kelas XI. Jakarta: Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN Soedyarto, N. & Maryanto. (2008). Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

E-MODUL TURUNAN FUNGSI ALJABAR – PPG PRAJABATAN 2021

30