PEMERINTAH PROPINSI NUSA TENGGARA TIMUR DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 12 KOTA KUPANG Jln.Jurusan Bolok, Kupang – NTT Email: [email protected] KOMPETENSI DASAR 3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika 4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel a. Tujuan Pembelajaran : Setelah pembelajaran berlangsung dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning, diharapkan peserta didik dapat : 1. Menentukan prinsip induksi matematika 2. Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi matematika 3. Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika 4. Membuktikan formula ketidaksamaan dengan prinsip induksi matematika b. Materi Pokok : Induksi Matematika c. Materi Ajar : 1. Prinsip Induksi Matematika 2. pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika BAHAN AJAR

2 10 = 10 benar (ruas kiri = ruas kanan) Biasanya jika sudah menemukan n = 1 benar, n = 2 juga benar maka kita langsung menarik kesimpulan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar. Penarikan kesimpulan seperti ini tidaklah valid/tidak benar. Mengapa tidak valid? Di sini kita tidak bisa beri jaminan bahwa untuk n = 5 pernyatan tersebut bernilai benar, begitu juga untuk n = 10, atau n = 50 bahkan untuk n = 100. Artinya bahwa pernyataan matematika ini harus bernilai benar untuk semua nilai n. Muncul lagi pertanyaan, berarti kita bisa menggunakan nilai n = 1, 2, 3, 4, ..., 100 atau sampai berapun nilai n? Coba kalian bayangkan bagaimana jika kalian mencobanya satu persatu sampai n = 100 akan menjadi sangat lama dan rumit.

1) juga benar (dibuktikan)

1 Disini dibutuhkan kreativan kita untuk mengubah sedemikian sehingga ruas kiri sama dengan ruas kanan

(2n – 1)2 = ( )( ) i. Langkah awal: Untuk n = 1, maka P(1) = (2(1) – 1)2 = ( )( ) (2 – 1)2 = 1 = 1 ruas kiri = ruas kanan (benar) Jadi P(1) benar

(2n – 1)2 = ( )( ) benar. b. Penerapan induksi matematika pada keterbagian. Maksud dari keterbagian adalah bilangan habis dibagi (tidak ada sisa). Misalkan 15 habis di bagi 3, atau 15 tidak habis dibagi 7. Contoh : Tunjukah apakah 4n -1 habis dibagi 3 Jawab : Misalkan P(n) = 4n -1 habis dibagi 3 Modivikasi sedemiakaian sehingga ruas kiri sama dengan ruas kanan

1) juga benar (dibuktikan)

1) = 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 1 3 k

1). Sekarang tinggal kita jabarkan ruas kanan). 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 2 3 1 3 k k (ruas kanan kita samakan penyebut dengan 3) 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 1 3 3 2 k k 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 1 3 2 k k 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 2 1 3 2 k k k 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 6 3 3 2 k k k (uraikan pembilangnya) 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 3 1 3 2 3 2 k k k k 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 1 3 2 3 k k 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 2 3 1 3 k k Ingat sifat ketidaksamaan a > b > c maka a > c 2 2 2 2 2 1 2 3 ... k k 1 > 3 3 2 3 1 3 k k > 3 1 3 k

1) benar Berdasarkan prinsip induksi matematika, jika langkah awal benar dan langkah induksi juga benar maka terbukti bahwa 4n < 2n untuk n ≥ 5. Latihan Soal : Buktikan n < 3n untuk setiap n bilangan asli Mengapa tidakmengambil n= 1?

PEMERINTAH PROPINSI NUSA TENGGARA TIMUR DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 12 KOTA KUPANG Jln.Jurusan Bolok, Kupang – NTT Email: [email protected] KOMPETENSI DASAR 3.2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual 4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel Pertemuan Pertama d. Tujuan Pembelajaran : Setelah pembelajaran berlangsung dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning, diharapkan peserta didik dapat : 1. Menjelaskan pengertian Program Linear 2. Menentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. e. Materi Pokok : Program Linear f. Materi Ajar : 1. Pengertian Program linear 2. SPtLDV PROGRAM LINEAR Tahukah kamu apa itu program linear? Program Linear adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahan yang batasanbatasannya berbentuk pertidaksamaan linear. Materi Program Linear yang akan kita pelajaran yaitu : 1. Membuat model matematika 2. Menentukan daerah himpunan penyelesaian (HP) 3. Menentukan nilai optimum (nilai maksimum/nilai minumum) BAHAN AJAR

by < c. (dengan tanda ketaksamaan , ≤ atau ≥ ) Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik cartesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier. Langkah penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua variabel yaitu: 1. Mengubah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan. 2. Mencari titik potong garis pada grafik cartesius (cari titik x saat y = 0 dan sebaliknya) 3. Menggambar grafik dengan menghubungkan kedua titik 4. Menentukan nilai uji. Caranya mengambil titik uji (0,0) kemudian bandingkan dengan ruas kanan (c). Jika menghasilkan pernyataan yg benar maka daerah tersebut adalah daerah penyelesaian dan sebaliknya. (bisa diarsir atau tidak diarsir (bersih)). Catatan : (Daerah di bawah garis adalah untuk tanda kurang dari ( < ) dan daerah di atas garis adalah untuk tanda lebih dari ( > ). Jika beberapa pertidaksamaan linier dua variabel bergabung dalam satu sistem, maka bentuk tersebut dinamakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel (SPtLDV), dimana himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan linier dua variabel. Bentuk umumnya :

0 = 6 2x = 6 x = 2 6 x = 3

2y ≤ 8 x ≥ 0 y ≥ 0 benar

2y = 8 2y = 8 2 8 y y = 4

0 ≤ 18 0 ≤ 18 (benar) x ≥ 0 Artinya daerah penyelesaiannya berada disebelah kanan sumbu X y ≥ 0 Artinya daerah penyelesaiannya berada dibagian atas sumbu Y

PertemuanKedua a. Tujuan Pembelajaran : Setelah pembelajaran berlangsung dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning, diharapkan peserta didik dapat : Menentukan model matematika (fungsi kendala dan fungsi tujuan atau fungsi objektif) dari masalah program linear berupa pertidaksamaan pertidaksamaan linear g. Materi Pokok : Program Linear C. Materi Ajar : Model Matematika Model Matematika Pada pertemuan sebelumnya kita sudah pelajari apa itu program linear dan bagaimana menyelesaikan SPtLDV. Sekali lagi kalian harus kuasai materi SPtLDV dalam menyelesaikan masalah program linear. Hal yang terpenting dalam program linear adalah mengubah suatu permasalahan verbal (permasalahan dalam kehidupan sehari-hari) ke dalam bentuk model matematika. Model matematika dalam program linear ada 2 yaitu: a. Fungsi Kendala Fungsi kendala merupakan suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan batasbatas daerah penyelesaian maksimum atau minimum yang harus dipenuhi oleh variabel itu sendiri. b. Fungsi Objektif Fungsi objektif merupakan fungsi yang hendak dioptimumkan (dimaksimumkan atau di minumkan). Kapan akan dimaksimumkan dan kapan akan diminimumkan tergantung dari soal. Jika akan dicari keuntungan maka kita gunakan fungsi maksimum dan sebaliknya.

Dalam program linear batasan-batasan yang terdapat dalam masalah program linier akan diterjemahkan dahulu ke dalam rumusan matematika yang disebut model matematika. Tahukah kamu apa itu model matematika? Model matematika adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam menerjemahkan/merumuskan persoalan sehari-hari dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara sistematis. Bagaimana Menuliskan Kejadian Sehari-hari Dalam Model Matematika? Hampir setiap kejadian yang terjadi dalam kehidupan kita dapat dituliskan menjadi sebuah model matematika. Karena kejadian yang kita alami pasti memiliki perbedaan setiap kali terjadi, maka biasanya sebuah model matematika yang didasarkan pada kejadian keseharian akan berbentuk menjadi pertidaksamaan linear. Model soal yang diberikan pada program linear biasanya berupa soal cerita. Agar dapat menyelesaikan soal cerita yang diberikan, kalian perlu merubahnya ke dalam model matematika. Cara untuk menuliskannya bisa mengikuti 4 langkah-langkah sederhana di bawah ini a. Tuliskan Ketentuan-ketentuan yang Ada Biasanya program linear mempunyai >[email protected] KOMPETENSI DASAR 3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose 4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya Pertemuan Pertama i. Tujuan Pembelajaran : Setelah pembelajaran berlangsung dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning, diharapkan peserta didik dapat : 3. Menjelaskan pengertian matriks 4. Menentukan jenis-jenis matriks j. Materi Pokok : Matriks k. Materi Ajar : 3. Pengertian Matriks 4. Jenis-jenis Matriks Pengertian dan jenis-jenis matrik a. Pengertian matriks Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Anggota bilangan-bilangan yang berada dalam susunan men >[email protected] KOMPETENSI DASAR 3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Pertemuan Pertama l. Tujuan Pembelajaran : Setelah pembelajaran berlangsung dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning, diharapkan peserta didik dapat : 1. Menentukan determinan matriks berordo 1 x 1 2. Menentukan determinan matriks berordo 2 x 2 3. Menentukan sifat-sifat determinan matriks m. Materi Pokok : Determinan dan Invers Matriks n. Materi Ajar : 5. Pengertian Determinan matriks 6. Determinan matriks ordo 1x1 dan matriks ordo 2x2 7. Sifat-sifat Determinan matriks Determinan dan Invers Matriks a. Pengertian Determinan matriks Determinan adalah sebuah nilai yang berkaitan dengan matriks persegi atau matriks bujur sangkar. Nilai determinan suatu matriks persegi dapat diperoleh dengan cara tertentu, tergantung dari ordo setiap matriks. Determinan dari suatu matriks A dinotasikan denagan det.A atau |A|. BAHAN AJAR

Jika sebuah matriks memiliki determinan yang nilainya 0, maka matriks tersebut disebut matriks singular. Jadi, jika |A| = 0, maka matriks A adalah matriks singular. Determinan matriks yang akan kita bahas disini adalah determinan matriks persegi berordo 1 x 1, 2 x2, dan 3 x 3 saja. b. Determinan matriks ordo 1x1 dan matriks ordo 2x2 Determinan matriks ordo 1x1 Jika matriks A=(a) maka determinan dari matriks A adalah: |A| = a Contoh soal 1. Jika diketahui matriks A 4 maka determinan dari matrikas A adalah . . . . Jawab : A 4 Maka det A A 4 2. Jika diketahui matriks A 5 maka determinan dari matrikas A adalah . . . Jawab : A 5 det.A=|A|=−5 maka det A A 5 Determinan matriks ordo 2x2 Jika matriks c d a b A , maka determinan matriks ad bc c d a b A A Contoh Soal 1. Jika diketahui matriks 5 6 4 5 A , dan 5 3 3 2 B maka tentukanlah a. det A b. B Jawab : a. 5 6 4 5 A