Modul Pembelajaran SMA Matematika wajib KELAS XI SEMESTER GANJIL

Penulis Fajar Suci Susanti, S.Pd SMA NEGERI 1 BELITANG JAYA

Alamat : Ds. Karsa Jaya Kec. Belitang Jaya Kab. OKU Timur 32382 website : www.smansajaya.sch.ide-mail: [email protected]

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatu. Alhamdulillah puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa melimpahkan segala rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini. Pada modul ini anda akan mempelajari Materi Matriks, yang meliputi pengertian matriks,unsur-unsur pada matriks, jenis-jenis matrik,transpose matrik, kesamaan dan operasi hitung pada matriks Dengan mempelajari materi matriks diharapkan anda dapat berpikir kritis, logis, dan dapat mengambil kesimpulandengan tepat. Teknik penyajian yang diangkat dilakukan secara terpadu tanpa pemilihan berdasarkan jenjang pendidikan. Cara ini diharapkan bisa meminimalisir terjadinya pengulangan topik berdasarkan jenjang pendidikan. Pembahasan modul ini dimulai dengan menjelaskan tujuan yang akan dicapai. Kelebihan modul ini, Anda bisa melihat keterpaduan ilmu matematika dengan kehidupan sehari-hari. Pembahasan yang akan disampaikan pun disertai dengan soal-soal yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat ketercapaian dan ketuntasan. Perkenankan kami mengucapkan terima kasih kepada FKIP PPG Universitas Muhammadiyah Palembang dan SMA N 1 Belitang Jaya, yang telah memberikan kepercayaan kepada penulis untuk menulis Modul pembelajaran pada materi matriks Penyusun menyadari bahwa di dalam pembuatan modul masih banyak kekurangan, untuk itu penyusun menyambut gembira dan mengucapkan terima kasih terhadap semua pihak yang melakukan koreksi dan memberikan saran untuk perbaikan buku Barisan dan deret bilangan ini. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatu.

Belitang Jaya, 02 Oktober 2022 Penulis

Fajar Suci Susanti,S.Pd

A. Deskripsi Dalam modul ini Anda akan mempelajari 4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 : Menentukan Pengertian Matriks yang meliputi menyusun matriks yang sesuai, unsur-unsur matriks, transpose matriks, jenis-jenis matriks dan kesamaan dua Matriks Kegiatan Belajar 2 : Operasi pada matriks yang meliputi pengertian operasi pada matriks menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan pada matriks

B. Prasyarat Untuk mempelajari modul ini diperlukan adanya materi prasyarat yaitu Sistem Persamaan Linear

C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun Anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modulmodul yang lain. 2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutny 3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 5. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. TUJUAN AKHIR 1. 2. 3. 4.

Peserta didik dapat menjelaskan operasi hitung pada matriks Peserta didik dapat menentukan Penjumlahan pada matriks Peserta didik dapat menentukan pengurangan pada matriks Peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan operasi penjumlahan 5. Peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan operasi pengurangan matriks

E. KOMPETENSI DASAR

Kompetensi Dasar ( KD )

Indikator Pencapaian Kompetensi ( IPK )

3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose

Peserta didik dapat : Peserta didik dapat : 3.3.1 Menjelaskan pengertian matriks 3.3.2 Menunjukkan konsep kesamaan matriks 3.3.3 Menentukan hasil operasi penjumlahan matriks 3.3.4 Menentukan hasil operasi pengurangan matriks

4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya

4.3.1 Menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks

BAB 1 PENDAHULUAN PETA KONSEP

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 KONSEP DAN JENIS MATRIKS Kamu pasti pernah menghadapi masalah yang berkaitan dengan angka dan data.Contoh kecinya saja, saat kamu dan teman-tamanu lagi mau makan bersama. Biasanyakan, biar nggak ribet dan lupa semua pesanan di catat di kertas, ya, Tapi kalau pesananya banyak dan ribet, lumayan ngebingungin juga nggak sih nyatetnya mau gimana. Kayak yang waktu itu sempat ramai di sosial media, nih.

Ya pantes abangnya nolak. Kamu saja yang sekali baca belum tentu paham. Iya ap iya? Ckckckc(tepuk jidat) Sebenarnya, masalah di atas itu bias lho di bikin simple dan gampang buat di paham, salah satunya pakek table, nih kalau aku buat ke dalam table. Dengan barisnya menyatakan tingkat kepedasan dan kolom menyatakan telur, jadi kayak gini Tingkat Kepedasan Pedas

Tidak pedas+tidak pakek kecap

Pedas+tidak pakek kecap

1

0

0

0

4

2

2

0

0

Ceplok mateng

2

4

2

0

0

Dadar kering gak gosong

1

1

2

0

0

Dadar jangan terlalu kering

0

0

1

2

1

Telur

Tidak Pedas

Sedang

Telur Campur

0

Ceplok ½ mateng

Karena si Anton tidak memberi keterangan tuh, pesanan nasi goreng yang telornya dicampur rasanya pedas atau nggak, jadi aku asumsiin aja rasanya sedang. Gimana, kalo dibuat tabel kayak gini, jadi jauh lebih gampang kan buat dimengerti sama abang nasi gorengnya? Hueheheheh Nah, kamu tau nggak sih, ternyata, tabel di atas bisa dibuat ke bentuk yang lebih sederhana lagi lho, yaitu seperti ini:

Urutan angka-angkanya sama. Cuma keterangan baris dan kolomnya aja yang dihilangkan. Terus, angka-angka tersebut diberi tanda kurung di sisi kanan dan kirinya. Kalo dalam Matematika, bentuk tersebut dinamakan matriks. Pengertian Matriks Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung. Nah, tanda kurungnya ini bisa berupa kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”, ya. Suatu matriks diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Oh iya, kamu tau kan bedanya baris dan kolom? Baris itu susunannya horizontal atau ke samping, sedangkan kolom susunannya vertikal atau dari atas ke bawah. Misalnya nih, matriks di atas tadi, kita beri nama matriks A. Maka,

Penamaan baris dan kolom dibuat urut, ya. Jadi, baris ke-1 dimulai dari atas, urut ke bawah. Sementara itu, kolom ke-1 dimulai dari kiri ke kanan.

Ordo dan Elemen Matriks

Matriks itu punya ukuran, guys. Ukuran matriks disebut ordo. Ordo matriks ini berdasarkan dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom pada matriks. Jadi, kalo suatu matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran (berordo) m x n. Supaya lebih sederhana, kita bisa menulisnya dengan Amxn. Nah, masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks. Elemen-elemen matriks juga ada notasinya sendiri, lho. Kalo matriks dinotasikan dengan huruf kapital, maka elemen-elemen matriks dinotasikan dengan huruf kecil dan diberi indeks yang menyatakan letak baris dan kolomnya. Misalnya nih, pada matriks A di atas, jumlah barisnya kan ada 5 dan jumlah kolomnya juga ada 5, maka ordonya adalah 5 x 5, atau bisa kita tulis A5x5. Lalu, untuk elemen-elemen matriks A bisa dinotasikan dengan aij, yang menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Supaya kamu nggak bingung, langsung simak contoh di bawah ini aja, yuk!

Kita ambil contoh a11, a12, dan a54, seperti pada gambar.   

a11 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-1, nilainya adalah 0. a12 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-2, nilainya adalah 1. a54 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-5 kolom ke-4, nilainya adalah 2.

Gimana, paham kan cara bacanya? Jenis-jenis Matriks

Selain punya ukuran (ordo), matriks juga terbagi menjadi beberapa bentuk yang mempunyai sifat khusus. Nah, beberapa jenis matriks khusus yang perlu kamu ketahui di antaranya sebagai berikut:

a. Matriks Baris Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri dari satu baris aja. Contohnya,

Kalo kita lihat, matriks A, matriks P, dan matriks Q, semuanya terdiri dari satu baris dan beberapa kolom. Untuk masing-masing ordonya, berarti A1x3, P1x4, dan Q1x5.

b. Matriks Kolom Kebalikannya dari matriks baris, matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri dari satu kolom aja. Contohnya,

Matriks R, matriks S, dan matriks T sama-sama terdiri dari satu kolom dan beberapa baris. Oleh karena itu, ordo matriksnya adalah R2x1, S3x1, dan T4x1. c. Matriks Persegi Matriks persegi adalah suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama. Itu tandanya, m = n. Karena jumlah baris dan kolomnya sama, maka ordo matriksnya bisa kita tulis menjadi n x n, atau matriks ordo n. Pada matriks persegi, terdapat diagonal utama, yaitu elemen-elemen matriks yang letak barisnya sama dengan letak kolomnya. Selain diagonal utama, ada juga diagonal samping atau diagonal kedua. Kalo kita tarik garis di sepanjang diagonal utama matriks, maka diagonal samping ini berada di arah sebaliknya.

Nah, berdasarkan contoh di atas, matriks A memiliki jumlah baris dan kolom yang sama karena matriks ini merupakan matriks persegi, yaitu sebanyak 2. Maka, matriks ini merupakan matriks berordo 2. Kemudian, elemen-elemen pada diagonal utamanya adalah 8

dan 7. Coba deh, kalo matriks B, ordo dan diagonal utamanya apa aja, nih? Jawab di kolom komentar, ya! d. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contohnya,

Kalo kita perhatikan gambar di atas, elemen-elemen pada diagonal utama matriks Q adalah 3, 8, dan 5. Nah, di luar diagonal utama, semua elemennya bernilai 0. Misalnya, elemen Q12 adalah 0, lalu elemen Q21 juga 0. e. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan elemen lainnya bernilai nol. Umumnya, matriks identitas dinotasikan dengan I disertai dengan ordonya. Contohnya,

f. Matriks Nol Sesuai namanya, matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O disertai ordonya. Contohnya,

Transpose Matriks

Oke, setelah kamu tau pengertian dan jenis-jenis matriks, kita lanjut ke materi berikutnya ya, yaitu transpose matriks. Apa itu transpose matriks? Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara elemen baris dan kolomnya. Jadi, elemen-elemen pada baris akan kita tukar menjadi elemen-elemen pada kolom, atau sebaliknya. Pasti kamu bingung, kan? HAHAHAHAHA… Yauds, kita langsung simak contoh di bawah ini, deh. Misalnya, kita akan mentranspose matriks A dan B. Maka, matriks transposenya bisa dinotasikan dengan At dan Bt.

Kesamaan Dua Matriks Matriks A dan matriks B dikatakan sama, jika dan hanya jika: a. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B; b. semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B nilainya sama. Perhatikan untuk matriks berikut ini. a. b. [

[

]

[

]

[√

] ]

3 seletak dengan √9 4 + 1seletak dengan 5 9 seletak dengan 32

Latihan Soal Essay 1.

Diketahui permasalahan sebagai berikut: Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisata yang ada di Pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat jarak antara kotakota tersebut sebagai berikut. Bandung–Semarang 324 km Semarang – Yogyakarta 225 km Bandung – Yogyakarta 484km Dapatkah kamu membuat susunan jarak antar kota tujuan wisata tersebut, jika wisatawan tersebut memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian berikan makna setiap angka dalam susunan tersebut. Dari permasalahan di atas, jawablah soal di bawah ini dengan jelas dan benar! 1. Buatlah dalam matriks nya! 2. Berapakah banyaknya baris, banyaknya kolom, sebutkan ordo atau ukuran

matriks nya? 3. Sebutkan elemen-elemen matrik baris ke 1, elemen matrik kolom ke 2,

elemen matrik baris ke 2 kolom ke 1? 4. Sebutkan jenis matriksnya dan berikan alasannya?

Latihan Soal Pilihan Ganda

Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar , Jika diketahui matriks Data di atas untuk menjawab soal nomor 1-5. 1. Ordo dari matriks A adalah…

a. 2 x 2

b. 3 x 2

c. m x n d. 2 x 3

2. Elemen baris kedua matriks A adalah… a. 3, 1, -2 b. 0, -5, 3 c. 3,0 d. 1,5 3. Elemen kolom ketiga matriks A adalah… a. -2,3 b. 1, 5 c. 3,0 d. 0,-5,3

e. n x m

e. -2,3

e. 3,1,-2

4. Elemen baris kedua kolom pertama matriks A adalah… a. -2, b. -1 c. 0 d. 3 e. 5 5. Elemen baris ketiga kolom ketiga matriks A adalah…

a. -5

b. -2

c. 0

d. 1

e.3

[

]

Kunci Jawaban, Pembahasan dan pedoman penskoran No

Kunci Jawaban dan Pembahasan

Banyaknya baris 3 Banyaknya kolom 3 Ordo nya 3 x 3 Elemen matriks baris ke 1 adalah : 0, 324, 484 3. Elemen matriks kolom ke adalaj : 324, 0, 225 Elemen matriks baris ke 2 kolom ke 1 adalah : 324 Jenis matriks nya adalah Matriks Persegi (Bujur Sangkar) karena 4. matriks tersebut mempunya banyak nya baris dankolom yang sama Jumlah Skor Maksimum

2.

Skor

2 6 4 20

Kunci Jawab dan Pembahasan Soal Pilihan Ganda:

matriks No

[

]

pilgan

Jawaban

Alasan

1

D

2x3

Karena banyak baris 2 banyak kolom 3

2

B

0,-5 dan 3

Elemen kolom ke-2

3

A

-2 dan 3

Elemen kolom ke-3

4

C

0

Elemen baris ke-2 kolom ke-1

5

E

3

elemen baris ketiga kolom ketiga

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria 90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran.

Penilaian Diri Berilah tanda V pada kolom “Ya” jika kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut: No 1 2

Pertanyaan Apakah kalian sudah menuliskan permasalahan nyata dalam bentuk matriks? Apakah kalian telah mampu memahami konsep tentang matriks?

4

Apakah kalian sudah mampu mampu menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks?

5

Apakah dalam mengerjakan soal-soal kalian bekerja secara mandiri dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang lain?

Jawaban Ya

Tidak

Rangkuman Setelah selesai membahas dan mempelajari uraian materi di atas, beberapa hal penting yang dapat disimpulkan dalam rangkuman ini adalah sebagai berikut: 1. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom, dan ditempatkan dalam tanda kurung biasa atau kurung siku. Matriks diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, dan C. 2. Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. 3. Jenis-jenis Matriks meliputi matriks baris, matriks kolom, matrik persegi panjang, matriks persegi (matriks bujur sangkar), matriks diagonal, matriks segi tiga bawah, matriks segi tiga atas, matriks identitas, dan matriks nol. 4. Transpose Matriks (Matriks Transpose) : Transpose dari suatu matriks A berordo m x n adalah sebuah matriks baru yang berordo n x m yang diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom dan sebaliknya, dan dinotasikan dengan . 5. Kesamaan Dua Matriks : Matriks A dan matriks B dikatakan sama, jika dan hanya jika: a. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B; b. semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B nilainya sama.

KEGIATAN PEMBELAJARAN OPERASI PADA MATRIKS

1.

Operasi Penjumlahan

Operasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks –matriksnya mempunyai ordo sama. Jumlah dua matriks A = ( ij) dan B=(𝑏ij) adalah sebuah matriks baru C= (𝑐ij) yang berordo sama, yaitu elemen-elemennya merupakan hasil penjumlahan atau hasil pengurangan elemen-elemen matriks A dan B. Cara penjumlahan matriks , yaitu:

Contoh Soal

4  2  2 5  1 3  dan B    , maka Jika A     8 7 1  8  7  3  2  (2)  2  3 5  4   A  B     8  8 7  7 1  3  0 1 9   A  B    0 0  2 2. Pengurangan dua matriks: Rumusan penjumlahan dua matriks dapat kita terapkan untuk memahami konsep pengurangan dua matriks. Misalkan A dan B adalah matriks yang berordo m x n, maka pengurangan matriks A dengan B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari matriks B yang dinotasikan A = - B, ditulis : A – B = A + (– B). Dengan demikian: Jika

a A   11  a 21

a12 a 22

a13   dan B   b11 b12 b13  , maka b  a 23   21 b22 b23 

A  B  A  ( B)

a12 a   11  a 21 a 22

a13    b11  b12   a 23    b21  b22

a12  b12 a b   11 11  a21  b21 a22  b22

a13  b13   a 23  b23 

 b13    b23 

Contoh Soal Pengurangan 2 matriks

Hasil dari A - B dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B.

Contoh ke-2

5  4  7  0 2  2  dan B    , maka Jika A    2 3 4  5 6 4  5  2  4  (2)   70  A  B   4  4    2  (5)  3  6

 7 3  2  A  B   3 9 0 

Latihan soal opersi matriks   2 3  4 8     2  5 6   . Tentukan 1. Diketahui matriks A   3 0  , B   3 2  dan C    3 2  1  2 4  1 0    

matriks yang diwakili oleh ( A  B) t  C 2. Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan

 3 3x   2     4 y   y  2

y  x  x 

1 7    3  4

3. Tentukan matriks P dari operasi matriks berikut:

 3  2   a. P +  0 4 

  1 3    2 5

0  10  3   4   P    b.   6  4   5  6

Kunci Jawaban, Pembahasan dan pedoman penskoran No 1.

Kunci Jawaban dan Pembahasan  2  A + B = 3  2  2 (A+B)t =  11

3   4 8   2 11      0 +  3 2 =  6 2  4    1 0   1 4  6 1  2 4 

2 (A+B)t + C =  11 4 1  = 14 4

6 1  2  5 6   2 4  3 2  1 7 3

2.

Skor 6

4

15

y  x  1 7   3 3x   2    2.  = x  3  4 4 y  y  2 2 x  y  1 7   1 2  y y  x  = 3  4     2–y =3 y = -1 y –x = - 4 -1 – x = - 4 X=3

3.

10 5 10

 3  2   1 P+   =  0 4   2  1 P=  2  4 P=  2

3 5 3 3  2 5 0 4  5  4

20

20

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria 90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. Penilaian Diri Berilah tanda V pada kolom “Ya” jika kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:

Ya 1 2 3

Apakah kalian sudah menuliskan permasalahan nyata dalam bentuk matriks? Apakah kalian telah mampu memahami konsep tentang matriks? Apakah kalian telah mampu menyebutkan jenis-jenis matriks?

4

Apakah kalian sudah mampu mampu menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks?

5

Apakah dalam mengerjakan soal-soal kalian bekerja secara mandiri dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang lain?

Tidak

Rangkuman Setelah selesai membahas dan mempelajari uraian materi di atas, beberapa hal penting yang dapat disimpulkan dalam rangkuman ini adalah sebagai berikut: 1. Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila keduanya memiliki ordo yang sama. Hasil operasi penjumlahannya adalah matriks baru yang memiliki ordo sama dengan matriks semula, dengan elemen-elemennya terdiri dari hasil penjumlahan elemen-elemen pada matriks.

2.

Hasil operasi pengurangannya adalah matriks baru yang memiliki ordo sama dengan matriks semula, dengan elemen-elemennya terdiri dari hasil pengurangan dengan elemen-elemen pada matriks.

Daftar Pustaka

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017.Matematika SMA Kelas XI Revisi2017. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Sukino, 2017. Matematika SMA/MA Kelas XI Semester 1. 2017. Jakarta: PT Gelora Aksara Pratama

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2013). Buku Guru Matematika SMA/ MA/SMK/MAK Kelas X Kurikulum 2013. Jakarta. Kemendikbud Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Buku Guru Matematika SMA/ MA/SMK/MAK Kelas XI Kurikulum 2013. Jakarta. Kemendikbud Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematikauntuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangg