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BLOQUE 1. CAMPO GRAVITATORIO •

Copérnico postula el sistema heliocéntrico, manteniendo órbitas circulares.

•

Galileo con su telescopio justifica el sistema heliocéntrico manteniendo órbitas circulares. Juicio de Galileo.

•

Kepler postula sus 3 leyes.

1ª Ley: Los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol, situado en uno de los focos de la elipse. Afelio es la máxima distancia Planeta-Sol. Perihelio es la mínima distancia Planeta-Sol. Si, a = semieje mayor de la elipse y c = distancia del foco al centro. Definimos la excentricidad de la órbita e =

c a

Si e = 0 → circunferencia. Si e = 1 → línea recta 2ª Ley: Los radios vectores de los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad areolar es constante

dA = cons tan te dt

El momento angular de los planetas se mantiene constante en su trayectoria en torno al Sol.   r ∧ m ·v = cons tan te

r → distancia Sol-Planeta

m → masa del planeta

v → velocidad traslación

3ª Ley: En su movimiento en torno al Sol, el cociente entre los cuadrados de los períodos de los planetas y el cubo de sus distancias al Sol es una cantidad constante.

T2 = cons tan te a3 T → período de rotación del planeta en torno al Sol a → semieje mayor de la trayectoria del planeta en torno al Sol (normalmente se consideran órbitas circulares y se toma como valor de a, el radio de la circunferencia) Esa constante depende la masa del Sol y de la constante de gravitación universal G. © Vicente Viana Martínez

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Newton propone su teoría del campo gravitatorio; "Dos masas M y m separadas una distancia r, se atraen entre sí con una fuerza de valor".

F = G·

M ·m r2

(en módulo)

Donde, G = 6,67·10-11 N·m2/kg2 (constante de gravitación universal) •

La fuerza gravitatoria es siempre atractiva.

•

La distancia r se mide entre los centros de gravedad de las masas.

•

¡ATENCIÓN!, en caso de esferas, R es la distancia entre LOS CENTROS de las dos esferas.

•

La fuerza de Newton se da siempre A PARES. Es decir, la masa M atrae a la masa m con una fuerza F y simultáneamente, la masa m atrae a la masa M con la misma fuerza F.

En realidad la fórmula anterior, escrita en forma vectorial es.

 M ·m F = G · 2 ·u r r u r es el vector unitario que señala la posición relativa de las dos masas.

Recordemos que si M está en el origen y m está situada en un punto de coordenadas P(x, y).   x ·i + y · j ur = x 2 + y2 Cuando un satélite gira en torno a otro cuerpo, podemos plantear la 2ª Ley de Newton.   F = m ·a   F − m ·a = 0

De esa forma transformamos un problema dinámico en un problema de estática. En este caso, la aceleración a, es la aceleración normal o también llamada centrípeta; a = G·

M ·m v2 m · = r2 r v=

G ·M r

Al aumentar la distancia r, la velocidad v disminuye y viceversa. © Vicente Viana Martínez

v2 r

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Esta es la velocidad del satélite para una órbita estacionaria

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•

La Luna, por ejemplo, se está alejando de la Tierra y así, su velocidad y por tanto su período de rotación en torno a la Tierra va disminuyendo.

Recordemos las relaciones. ω=

v = ω·R

2 ·π T

La expresión anterior podemos escribirla como. G·

M ·m = m ·ω2 ·r 2 r

M ·m 4 ·π 2 G · 2 = m · 2 ·r r T T2 4 ·π 2 = r3 G ·M

•

3ª Ley de Kepler

Campo gravitatorio es una perturbación en el espacio, de forma que cualquier objeto másico se ve sometido a una fuerza en la dirección, sentido y valor indicado por la Ley de Newton.

•

La intensidad de campo gravitatorio es la fuerza gravitatoria por unidad de masa.

g = G·

g=

F m

M r2 es una magnitud vectorial tiene unidades de aceleración; m/seg2 r=R+h Siendo R el radio del planeta y h la distancia desde su superficie

•

Sobre la superficie del planeta, la intensidad de campo gravitatorio vale. go = G ·

•

M R2

En el interior del planeta. Para r < R

4 g = ·G ·π ·ρ ·r 3

© Vicente Viana Martínez

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•

La energía potencial gravitatoria es la energía que adquiere un cuerpo al situarlo dentro de un campo gravitatorio. Suponemos que la energía potencial gravitatoria es nula (E p = 0) a una distancia infinita (∞)

del cuerpo que crea el campo. Dicho de otra forma: •

La energía potencial gravitatoria en un punto, en un campo gravitatorio, es la energía necesaria para trasladar una masa m desde el infinito hasta ese punto.

•

La energía potencial, por tanto, es negativa. Nula en el infinito, y de valor − G ·

M ·m sobre R

la superficie del planeta que crea el campo y de nuevo nula en el centro del planeta. •

En general, a una distancia r del planeta, siendo r > R, la energía potencial vale. (VER GRÁFICA).

Ep = −G· •

M ·m r

El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa. V=

V = −G·

•

M r

Energía de un satélite en órbita.

Es la suma de su energía cinética E c y de su energía potencial gravitatoria E p . A partir de. M ·m v2 G · 2 = m· r r © Vicente Viana Martínez

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Ep m

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m ·v 2 = G · Ec =

M ·m r

1 ·m ·v 2 2

1 M ·m E c = ·G · 2 r 1 M ·m M ·m E Total = ·G · − G· 2 r r

1 M ·m E Total = − ·G · 2 r •

Energía de satelización

Es la energía necesaria para poner un satélite en órbita alrededor de un cuerpo de masa M, a una distancia r de su centro de gravedad. E c,1 + E p,1 = E c,2 + E p,2 El punto (1) está situado sobre la superficie del planeta, de masa M y radio R, y el punto (2) es la posición del satélite, a r metros del c.d.g. del planeta. E c ,1 − G ·

M·m 1 M ·m = − ·G · 2 R r

1 1  E satelización = G ·M ·m · −   R 2 ·r 

•

Velocidad de escape

Es la velocidad mínima a la que hay que lanzar un objeto para escapar del campo gravitatorio de un planeta. En la expresión de la energía de satelización, se trata de calcular la velocidad de satelización v e necesaria para situar el objeto a una distancia infinita r → ∞

Sustituyendo:

1 1 1  ·m ·ve2 = G ·M ·m· −  2 r ∞ ve =

© Vicente Viana Martínez

2·G ·M r Pág 5

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O bien;

ve = 2·g ·r

¡¡Suponiendo NULO el rozamiento con la atmósfera terrestre!! En el caso de la Tierra, la velocidad de escape es de 11,2 km/seg. •

Si, en la Tierra, lanzamos un cuerpo con velocidad tangencial < 7,9 km/seg, el cuerpo describe una parábola y caerá de nuevo a tierra. En realidad si quisiéramos ser muy precisos la curva es una elipse con foco en el c.d.g. de la Tierra, pero a efectos prácticos consideraremos una parábola.

•

Si la velocidad es de v e = 7,9 km/seg, mantendrá una órbita circular estable en torno a la Tierra.

•

Si la velocidad es; 7,9 km/seg < v e < 11,2 km/seg, el objeto describe una órbita elíptica en torno a la Tierra, de creciente excentricidad.

•

Si la velocidad es; v e > 11,2 km/seg, el objeto escapa a la atracción gravitatoria terrestre y describe una órbita hiperbólica. En este caso, escapa a la atracción gravitatoria, pero describiría una órbita elíptica en torno al Sol

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BLOQUE 2. MOVIMIENTO ONDULATORIO •

ω

Movimiento vibratorio armónico simple. (m.v.a.s.)

Po

Es un tipo de movimiento cíclico donde un objeto se aleja de

φo

la posición de equilibrio, para regresar al punto de partida y

P ω·

volver a repetir el mismo movimiento. Por ejemplo; un péndulo oscilando, un muelle vibrando, el O

columpio de un parque infantil, etc.

x

A

Puede representarse el m.v.a.s. como la proyección sobre un eje horizontal (o vertical) de un punto P que realiza un movimiento circular con velocidad uniforme ω.  Elongación (x), es la posición, medida sobre el eje, que ocupa el punto respecto del origen en

un momento determinado.  Amplitud (A), es la máxima elongación, la posición de máximo alejamiento respecto del ori-

gen.  Frecuencia angular o pulsación (ω), es la velocidad angular del objeto cuya proyección des-

cribe el m.v.a.s. Se mide en rad/seg.  Período (T), es el tiempo que tarda en describir un movimiento de ida y vuelta. Es decir, el

tiempo que tarda en volver a situarse en el mismo sitio, en igualdad de velocidad y aceleración. Se mide en segundos.  Frecuencia (ν) es el número de veces que repite el movimiento cada segundo, se mide en Hz

o seg-1.  Desfase (ϕ o ), es el ángulo de posición inicial con relación al origen. Se mide en radianes.

Recordemos que; φ = ω·t

ω=

2 ·π T

ω = 2 ·π ·ν

La ecuación del movimiento vibratorio armónico simple (ver figura de arriba) es. x = A·sen (ω·t + ϕ o )

© Vicente Viana Martínez

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 Fase del movimiento es el ángulo (ω·t + ϕ o )

Al ir aumentando la fase en 2·π, el movimiento va repitiéndose. En el instante inicial (t = 0) x o = A·sen ϕ o Si, inicialmente, la posición del objeto está en x o = A, entonces ϕ o =

π 2

y la ecuación del movi-

miento vibratorio armónico simple se transforma en. sen (ω·t +

π ) = cos ω·t 2

x = A·cos ω·t

Esto es muy habitual, porque en un péndulo inicialmente su posición coincide con su amplitud para que pueda iniciar las oscilaciones. Igualmente, en un muelle lo habitual es que lo estiremos hasta que x o = A. Entonces es cuando lo soltamos, para que comience a vibrar. v=

dx = A ·ω ·cos (ω·t + ϕ o ) dt

v máx = A·ω

en el origen

v mínima = 0

cuando x = +/- A (en los extremos)

Recordando que sen2 α + cos2 α = 1 cos2 (ω·t + φ o ) = 1 - sen2 (ω·t + φ o )

cos (ω·t + ϕo ) = 1 − sen 2 (ω·t + ϕo ) Sustituyendo en la expresión de la velocidad

v = ω· A 2 − A 2 ·sen 2 (ω·t + ϕo ) v = ω· A 2 − x 2

a=

dv = − A ·ω 2 ·sen (ω·t + ϕ o ) dt

y sustituyendo el valor de x = A·sen (ω·t + φ o )

a máx = - ω2·A en los extremos, cuando x = +/- A a mínima = 0 a = - ω2 x

© Vicente Viana Martínez

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en el origen

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•

Si se trata de un muelle.

F = - k·x

k = m·ω2

k m

ω=

T = 2 ·π ·

F = m·a = - m·ω2·x •

Energía del oscilador armónico

Ec =

1 ·k·(A2 - x2) 2

Ep =

1 ·k·x2 2

•

m k

E Total =

1 ·k ·A 2 2

La energía total es CONSTANTE, e independiente de la posición x

Siendo k = m·ω2

Péndulo simple: Formado por una masa puntual unida a un hilo inextensible de masa despreciable

T = 2 ·π ·

l g

El período de oscilación depende de la longitud del péndulo "l" y de la intensidad del campo gravitatorio "g". Es independiente de la amplitud inicial A y de la masa del péndulo m. No importa que la amplitud inicial del péndulo sea mayor o menor, el período de oscilación se mantendrá constante •

El movimiento ondulatorio es un tipo de perturbación que transmite energía y momento pero no hay una traslación de materia.

Ejemplos: la perturbación que se forma en un estanque al tirar una piedra, las olas en el mar, la

transmisión del sonido, las emisoras de radio, telefonía o televisión. •

Las ondas mecánicas precisan de un medio para transmitirse, las ondas electromagnéticas no precisan de un medio físico, pueden transmitirse a través del vacío, como por ejemplo la luz.

•

Ondas longitudinales. La dirección de la vibración es la misma que la dirección de transmisión. Ejemplos: un muelle, el sonido.

•

Ondas transversales: la dirección de la vibración es perpendicular a la dirección de transmisión. Ejemplos: Una cuerda vibrando arriba y abajo, las ondas electromagnéticas.

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•

Ecuación del movimiento ondulatorio:

Un punto se mueve a lo largo del eje vertical y con un movimiento vibratorio armónico

simple. Eso provoca la transmisión de la perturbación a lo largo del eje horizontal x. •

La forma que adapta esta perturbación recibe el nombre de onda.

•

La función de onda es la ecuación matemática que describe este movimiento ondulatorio.

Un punto situado en O (foco) oscila en el plano vertical sin desplazarse horizontalmente, pero la perturbación, la onda, sí se desplaza a lo largo del eje OX. y(t) = A·sen ω·t

es la ecuación del m.v.a.s. que describe el punto P.

Suponiendo que la perturbación parte del origen y se desplaza hacia la derecha con velocidad v, el tiempo t' que tarda otro punto P situado a x P metros a la derecha de O en vibrar en fase con el foco O es. t' =

•

xP v

Por tanto, la elongación y del punto P, en un instante t, vale.

x  y ( x, t ) = A ·sen ω  t −  v  x  Si la perturbación se desplazara hacia la izquierda, cambiaría el signo  t +  . v 

Como: ω =

2 ·π T

y

v=

λ , la ecuación anterior se transforma en. T

 t x y ( x, t ) = A ·sen 2·π  −  T λ

O bien;

2 ·π = k número de ondas λ y ( x , t ) = A ·sen (ω ·t − k ·x )

© Vicente Viana Martínez

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Obsérvese que estamos hablando de una función de DOS variables. Es decir, la ecuación anterior nos permite conocer la elongación y, de un punto situado a x metros del foco, en un instante t. •

Energía transportada por una onda I = 2·π2·ρ·v·υ2·A2

La Intensidad I, es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud A. Siendo ρ la densidad del medio en kg/m3, v la velocidad de propagación, υ la frecuencia, A la amplitud, e I la intensidad en Watios/m2. La Intensidad de la onda se mide en W/m2 =

Julio seg ·m 2

Es decir, representa la energía (Julios) transportada cada segundo, sobre la unidad de superficie (m2) en la dirección perpendicular al sentido de avance de la onda. Si la superficie estuviera inclinada, formando un cierto ángulo α con la dirección de propagación, la intensidad I que incide sobre dicha superficie se calcula multiplicando la intensidad inicial por el cos α.

•

Amortiguación de ondas. I = I o · e -αx

Siendo I o la intensidad inicial, I, la intensidad a x metros de distancia del foco y α el coeficiente de absorción. •

Variación de la Intensidad con la distancia. La superficie de una esfera de radio r es 4·π·r2 Al alejarnos del foco emisor F, y suponiendo que no hay pérdida de la potencia, la intensidad debe distribuirse sobre una superficie mayor, de forma que en B 2 , la señal es más débil que en B 1. I 2 r12 = I1 r22

© Vicente Viana Martínez

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•

Intensidad sonora. Escala decibélica

Consideramos que I o es el nivel de referencia o intensidad sonora umbral correspondiente a 10-12 Watios/m2. La sensación sonora no es linealmente proporcional a la intensidad sonora, sino que el oído lo percibe según una escala logarítmica. Es decir, un sonido 10 veces superior, el oído lo percibe como el doble de intenso. Por eso utilizamos en su medición una escala logarítmica. Un sonido de intensidad I, el oído lo percibe con un nivel de intensidad sonora.

β dB = 10 · log

•

I Io

(se mide en decibelios)

Principio de superposición: Cuando dos ondas se superponen y alcanzan simultáneamente un mismo punto, la función de onda resultante es la suma de las funciones de onda de cada una de ellas.

•

Interferencia de ondas: Aunque las funciones de onda se sumen, sus efectos, como la intensidad, no son aditivos. Se producen fenómenos de interferencia. Podemos tratar las ondas como vectores de módulo A y ángulo ϕ = (ω·t - k·x). Así podemos sumar funciones de onda como si fueran vectores. A 2 = A12 + A 22 − 2 ·A1 ·A 2 ·cos δ

 A ·sen ϕ 2 + A1 ·sen ϕ1  δ = tg −1  2   A 2 ·cos ϕ 2 + A1 ·cos ϕ1  Sean dos ondas de igual frecuencia ν 1 y ν 2 e igual velocidad de propagación. Como la intensidad I, es proporcional al cuadrado de la amplitud A.

I = I 1 + I 2 + 2· I1 ·I 2 ·cos δ

© Vicente Viana Martínez

siendo δ =

2 ·π ·(x 1 − x 2 ) λ

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I ∝ A2

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1) I máxima cuando cos δ = 1



δ = 2·π·n

n = 1, 2, 3, .. Hay interferencia constructiva.

x 1 - x 2 = n·λ •

Intensidad máxima si la diferencia de distancias a los focos es múltiplo de la longitud de onda.

2) I mínima cuando cos δ = - 1 

δ = (2·n - 1)·π

Hay interferencia destructiva. Incluso puede anularse totalmente la intensidad si además; I 1 = I 2 , es decir, de igual amplitud; A1 = A2. x 1 − x 2 = (2 n − 1) ·

•

λ 2

Intensidad mínima si la diferencia de distancias a los focos es igual a un número impar de semilongitudes de onda.

Ondas estacionarias. Se forman al interferir dos ondas iguales propagándose en igual dirección pero sentidos opuestos. Se llaman así por dar lugar a un patrón de vibraciones que no varía en el tiempo, los nodos permanecen en el mismo sitio. En el caso de sonidos dan lugar a fenómenos no deseados de reverberación. •

ν=

La longitud de onda de la onda estacionaria es de la forma

v λ

λ=

2 ·L n

λ=

4 ·L n = 1, 2, 3, ... (abierto por un extremo) 2n − 1

n = 1, 2, 3, ... (cerrado o totalmente libre en los extremos)

la frecuencia ν más baja es la fundamental y las restantes son los armónicos.

Pulsaciones: Cuando dos ondas de igual amplitud A 1 = A 2 emitidas por focos próximos de frecuencias similares ν 1 ≈ ν 2 interfieren en un punto situado a x metros de los focos, la amplitud total varía periódicamente en forma de "pulsos".

© Vicente Viana Martínez

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ν resul tan te =

ν 2 − ν1 2

Principio de Huygens: Cada punto de un frente de ondas se convierte en un nuevo foco emisor de ondas secundarias cuya envolvente constituye el nuevo frente de ondas. Kirchoff extendió este principio no solo a las ondas mecánicas sino también a las electromagnéticas. Difracción: Es una consecuencia del principio de Huygens, cuando una onda se encuentra con un obstáculo; rejilla, abertura, de un tamaño del mismo orden de magnitud que la longitud de onda el cual se comporta como nuevo foco emisor, lo cual le permite bordear y atravesar obstáculos. Esto suele producir una red de difracción debido fenómenos de interferencia. Reflexión de ondas: Es el cambio de la dirección de propagación cuando un frente de ondas incide sobre el límite se separación entre dos medios. Ejemplo, un espejo, el eco 1) La dirección de incidencia, de reflexión y la normal a la superficie de reflexión están en un mismo plano. 2) El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, tomando como referencia la normal a la superficie de reflexión. ˆi = rˆ

Refracción de ondas: Es el cambio en la dirección de propagación de un frente de ondas al pasar una onda de un medio a otro con diferente velocidad de propagación. 1) La dirección de incidencia, de refracción y la normal a la superficie de reflexión están en un mismo plano. 2) El cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es igual a la relación entre las velocidades de propagación de la onda en el primer medio y en el segundo. sen ˆi v1 = sen rˆ v 2

(Ley de Snell)

Si, v 1 es mayor que v 2 , el frente de ondas se acerca a la normal al plano se separación de los dos medios. Si, v 1 es menor que v 2 , el frente de ondas se aleja de la normal al plano de separación de los dos medios. © Vicente Viana Martínez

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Efecto Doppler: Es el cambio en la frecuencia de una onda percibido por un receptor, cuando el foco emisor se mueve con velocidad constante alejándose o acercándose del receptor. En el caso del sonido, por ejemplo, el sonido se hace más grave al acercarse y más agudo al alejarse. En el caso de la luz visible, vira hacia el ultravioleta al acercarse y vira hacia el rojo al alejarse, v   ν' = ν o ·1 + F  v  

al acercarse

sonido más agudo

v   ν' = ν o ·1 − F  v  

al alejarse

sonido más grave

ν o ...... frecuencia emitida en reposo ν' ....... nueva frecuencia percibida v ........ velocidad de propagación de las ondas. v F ....... velocidad relativa respecto del observador, del foco emisor.

© Vicente Viana Martínez

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BLOQUE 3. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO •

Ley de Coulomb: F = k·

q ·q ' r2

k = 9·109 N·m2/C2

La expresión anterior indica el módulo de la fuerza entre dos cargas eléctricas. La dirección de la fuerza viene establecida por el vector unitario en la dirección de las dos cargas. Si las cargas son de igual signo la fuerza es repulsiva y si son de distinto signo la fuerza es atractiva. 1 4 ·π·ε

k=

ε (permitividad o constante dieléctrica) ε = εo · εr

ε o = 8,8542·10-12 C2/N·m2, permitividad del vacío, es una constante ε r .... permitividad relativa, depende del medio; aire, vidrio, papel, agua, plástico, etc. Es decir, la fuerza electrostática depende del medio que separa las cargas, no así la fuerza gravitatoria. •

Campo eléctrico

Al colocar una carga eléctrica en un punto, a su alrededor se produce una perturbación. Llamamos campo eléctrico a la fuerza que actúa sobre la unidad positiva de carga. E=

F q'

E = k·

q r2

La expresión anterior representa el módulo del vector intensidad de campo creado por la carga q a una distancia r de la misma. Se mide en N/C ó en V/m. Líneas de fuerza: son la representación del vector intensidad de campo en cada punto, son líneas  imaginarias tangentes a E . Las cargas eléctricas positivas crean campos eléctricos "salientes" Las cargas eléctricas negativas crean campos eléctricos "entrantes".

© Vicente Viana Martínez

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En el caso de un sistema de cargas puntuales, el campo eléctrico total en un punto, es la suma vectorial de los campos creados en ese punto, por cada una de las cargas.

 Imaginemos una carga q+ que es la que crea el campo eléctrico. En el infinito ∞ ( E = 0) Supongamos otra carga q', también positiva. Ahora, realizando una fuerza en contra de la repulsión electrostática vamos moviendo la carga q' desde r → ∞ hasta una posición, a r metros de q. Obviamente hemos realizado un trabajo, en este caso hemos "gastado" una energía, la cual queda almacenada en forma de energía potencial eléctrica en la carga q'. Energía potencial electrostática: Es la energía necesaria para desplazar una carga en el interior de un campo eléctrico desde el infinito hasta una distancia r de q+. Es un escalar, se mide en Julios. r r   q ·q' q ·q' E p =  − F ·dr = − k · 2 = k · (el signo menos indica que la fuerza se hace en contra de F ) r r ∞ ∞

Ep = k ·

q ·q' r

Cuando las cargas son de igual signo, la energía potencial eléctrica es positiva y cuando son de distinto signo, la energía es negativa. Potencial eléctrico: Es la energía potencial eléctrica por unidad de carga. Es un escalar, se mide en Voltios. V=

Ep q'

V = k·

q r

El potencial total en un punto debido a un sistema de cargas eléctricas es la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las cargas en ese punto. La diferencia de potencial entre dos puntos A y B, situados en el seno de un campo eléctrico creado por una carga q, es el trabajo necesario para transportar la unidad positiva de carga eléctrica desde A hasta B.

WAB = q ·(VB − VA ) © Vicente Viana Martínez

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•

Las cargas eléctricas positivas se mueven espontáneamente de los puntos de mayor a los de menor potencial.

•

Las cargas eléctricas negativas se mueven espontáneamente de los puntos de menor a los de mayor potencial.

Superficies equipotenciales: Son superficies esféricas centradas en q, de radio r, donde todos sus puntos tienen el mismo potencial. El trabajo a lo largo de una superficie equipotencial es lógicamente NULO. Relación entre el campo eléctrico y el potencial.  Suponiendo E constante entre dos puntos (1) y (2),separados l metros y con potenciales V 1 y V2. E=

V1 − V2 l

E se mide en Voltios/metro

Movimiento de cargas eléctricas en un campo eléctrico El tratamiento cinemático es equivalente al lanzamiento de proyectiles.  La aceleración a la que se ve sometida la carga q, de masa m en un campo eléctrico E , vale.   F q  = ·E a= m m  Si la carga lleva una velocidad inicial v o perpendicular a E , la ecuación de su trayectoria es. y=

q ·E ·x 2 2 2 ·m ·v o

Flujo de un campo eléctrico Dada una carga eléctrica que crea un campo eléctrico, el flujo eléctrico a través de una superficie, indica la densidad de líneas de fuerza que atraviesan esa superficie. Es un concepto que puede extenderse por ejemplo, a la energía radiante que incide sobre una superficie. Matemáti  camente equivale al producto escalar de la intensidad de campo E por la superficie S.   Φ = E ·S   Φ = E · S ·cos α © Vicente Viana Martínez

si, α = 0  Φ

Máximo

si, α = 90º  Φ = 0 Pág 18

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Más exactamente.   Φ =  E ·dS y considerando E constante, obtenemos la expresión anterior S

Teorema de Gauss Supongamos un sistema de cargas eléctricas q i y una superficie cualquiera que la envuelve. El flujo total producido por las cargas, a través de esa superficie vale. Φ=

Σ qi ε

Dado un cuerpo cargado eléctricamente, las cargas eléctricas se distribuyen exclusivamente en su superficie, siendo nula la carga eléctrica en su interior. Campo eléctrico producido por un hilo conductor Llamando λ a la densidad lineal de carga del conductor en C/m, el campo eléctrico E, a r metros del conductor, vale. E=

λ 2 ·π ·ε ·r

Campo eléctrico producido por una placa conductora Llamando σ a la densidad superficial de carga del conductor en C/m2, el campo eléctrico E creado por la placa, vale. E=

σ 2 ·ε

Campo eléctrico producido por un conductor esférico En su interior,

E=0

En su superficie, r = R E=

q 1 · 2 4 ·π ·ε R

En el exterior, a una distancia cualquiera r, del centro de la esfera.

© Vicente Viana Martínez

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E=

q 1 · 2 (igual que una carga puntual) 4 ·π ·ε r

Campo magnético •

Al igual como en el caso del campo gravitatorio y el campo eléctrico, aparecen fuerzas a distancia entre los imanes o electroimanes y los materiales ferromagnéticos.

•

En un imán existen dos polos, el llamado Norte y el Sur. No es posible la existencia de monopolos.

•

Dado un imán, se pueden visualizar las líneas de campo magnético (tangentes al vector intensidad de campo) espolvoreando limaduras de hierro por encima de una cartulina, debajo de la cual hemos situado un imán.

•

Al igual como en el caso del campo eléctrico, los polos iguales se repelen y los de distinta polaridad se atraen.

•

A diferencia del campo eléctrico, que son abiertas, las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas.

•

 Un imán crea a su alrededor un campo magnético B . Se mide en Teslas en el S.I.

•

Al situar una carga en la proximidad de un campo magnético, observamos que, si la carga está en reposo, el campo magnético no interactúa con ella al contrario de si existiera un campo eléctrico.

•

  En cambio, si la carga se mueve con una velocidad v , el campo magnético B interactúa con  ella, apareciendo la llamada fuerza de Lorentz o fuerza magnética. Suponemos B uniforme.

   F = q· v ∧ B

(

F = q·v·B·sen α

)

  Si, v y B son paralelos, α = 0º  F = 0   Si, v y B son perpendiculares, α = 90º  F Máxima

Podemos usar la regla de la mano derecha, para situarnos espacialmente, donde el pulgar representa F, el índice representa v y el corazón representa B. •

Casos particulares:

 1) La carga q se mueve paralela a B En ese caso, F = 0 y la carga sigue su trayectoria rectilínea con velocidad uniforme  2) La carga q se mueve en una dirección perpendicular a B

© Vicente Viana Martínez

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F = q·v·B F, es en todo momento perpendicular a v y a B

La carga describe una trayectoria circular de radio r, de forma que la fuerza de Lorentz es equilibrada por la fuerza centrípeta. q ·v ·B = m ·

v2 r

r=

m ·v q ·B

 3) La carga se mueve en una dirección cualquiera, formando un ángulo α con la dirección de B . F = q·v·B·sen α La carga describe una trayectoria helicoidal (hélice) en el espacio tridimensional. La proyección de esa hélice sobre el plano perpendicular a su eje, es una circunferencia de radio r. r=

•

m ·v q ·B ·sen α

Cuando una carga eléctrica se mueve en el interior de un campo magnético, sobre ella aparece la fuerza electromagnética de Lorentz. Si en vez de una carga solitaria, se tratara de un conductor de longitud L, por el que circula una intensidad de corriente I, situado en el inter ior de un campo magnético B , sobre el conductor actúa la fuerza.    F = I· L ∧ B

(

)

Fuerza de Laplace

  Esta fuerza es perpendicular a L y a B y el sentido viene dado por la regla del producto vectorial. •

Sea una espira de sección S, no importa si es circular o rectangular, por la que circula una intensidad de corriente I, que puede girar alrededor de su eje de simetría, situada en el inter ior de un campo magnético B uniforme, formando un ángulo α con la dirección de sus líneas de fuerza. Sobre la espira actúa un par de giro, de valor. M = I·S·B·sen α

   M = I· S ∧ B

(

© Vicente Viana Martínez

Pág 21

)

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Este par provoca el giro de la espira. Si situamos una serie de espiras, unas junto a otras, en forma de una bobina en el interior de un campo magnético, habremos construido un motor eléctrico. •

Sabemos que los imanes provocan campos magnéticos en sus inmediaciones, pero una carga en movimiento también puede crear un campo magnético. La experiencia de Oersted en 1.820 comprueba que una aguja magnética es desviada al paso de una corriente eléctrica.

Permeabilidad magnética: Al igual como en el campo eléctrico, donde la influencia del medio se mide en términos de la  constante dieléctrica ε, en el caso del campo magnético, el valor de B viene influido por el medio; (aire, agua, vidrio, hierro, plástico, etc.). En el caso del aire o el vacío, la permeabilidad magnética vale. μ o = 4·π·10-7 N/A2 En cualquier otro medio la permeabilidad μ es el producto de μ o por la permeabilidad relativa μ r . μ = μ o ·μ r Habitualmente y salvo que digan lo contrario, tomaremos siempre como valor de μ en las fórmulas, su valor en el vacío; 4·π·10-7 N/A2 1) Campo magnético creado por un conductor rectilíneo. Las líneas de campo son circunferencias concéntricas con el conductor. El sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. A una distancia r, el campo B, vale B=

μ ·I 2 ·π ·r

2) Campo creado por una corriente circular (espira) El campo está situado en el centro de la espira de radio R, perpendicular a ella, dirigido según la regla de la mano derecha y de módulo. © Vicente Viana Martínez

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B=

μ ·I 2·R

Fuerzas magnéticas entre dos conductores rectilíneos Dados dos conductores rectilíneos de longitud L, por los que circulan intensidades I 1 e I 2 , separados una distancia r. Ente ellos aparece una fuerza magnética de valor.

F=

μ ·I1 ·I 2 ·L 2 ·π ·r

•

Esta fuerza es atractiva cuando las intensidades llevan el mismo sentido.

•

Esta fuerza es repulsiva cuando las intensidades llevan sentidos contrarios.

A partir de la expresión; B =

μ ·I 2 ·π ·r

B·2·π·r = μ·I

 El primer término de la expresión anterior expresa la circulación del vector B a lo largo de una circunferencia. Esta expresión puede generalizarse para cualquier línea cerrada que englobe una o más corrientes. •

Ley de Ampere:

 La circulación del vector B a lo largo de una línea cerrada es igual a la permeabilidad magnética del medio por la intensidad o intensidades de las corrientes encerradas por ella.

Aplicaciones 1) Campo magnético debido a un solenoide. Sea un solenoide de longitud L, con N espiras por las que circula una corriente de intensidad I. El campo magnético creado en su interior vale. B=

μ ·N ·I L

El campo B es perpendicular al plano de las espiras, su sentido lo marca la regla de la mano derecha y su valor puede amplificarse considerablemente colocando un material ferromagnético en su interior, por ejemplo un trozo de hierro dulce que tiene μ r = 1.000 © Vicente Viana Martínez

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2) Campo magnético en el interior de un conductor rectilíneo Dado un conductor rectilíneo cilíndrico de radio R por el que circula una intensidad I. El campo magnético B en su interior, a una distancia r de su centro, vale.

B=

μ ·I ·r 2 ·π ·R 2

La dirección de B es tangente a las circunferencias concéntricas con el eje del conductor y su sentido lo marca la regla de la mano derecha. 3) Campo magnético debido a un toroide El toroide puede considerarse como un solenoide de longitud L = 2·π·R Suponiendo un toroide con N espiras, de radio R, por las que circula una intensidad I, el campo magnético en su interior vale.

B=

μ · N ·I 2 ·π ·R

Inducción electromagnética: Michael Faraday comprobó que al mover un imán en las proximidades de una espira o bien, al mover la espira cerca de un imán, en dicha espira aparece una débil corriente eléctrica. Es decir en la espira aparece una fuerza electromagnética inducida. Flujo magnético: Al igual como en el caso del flujo eléctrico, el flujo magnético indica la densidad de líneas de fuerza de campo magnético que atraviesan una superficie. El flujo magnético se define pues,   como el producto escalar de la intensidad de campo B y la superficie S .   Φ = B ·S Como, Φ = B·S·cos α

Si, α = 0º  Φ Máximo

El flujo se mide en Weber, en el Sistema Internacional. © Vicente Viana Martínez

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Si, α = 90º  Φ = 0

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Ley de Faraday - Lenz La fuerza electromotriz inducida ε en un circuito formado por una espira, es igual y de sentido contrario a la variación del flujo magnético que la atraviesa por unidad de tiempo.

ε=−

dΦ dt

ε = − N· •

en el caso de una bobina de N espiras

Habitualmente, en los problemas, a este nivel, consideramos una variación uniforme en el flujo magnético, de forma que;

•

dΦ dt

ε se mide en Voltios

dΦ  Φ Final - Φ Inicial

La ley de Lenz afirma que la fuerza electromotriz inducida ε es de tal forma que se OPONE a la variación de flujo a través de la espira. En otras palabras el sentido de circulación de la corriente inducida produce un campo magnético cuyo sentido es contrario al sentido del flujo que atraviesa la espira.

Inducción mutua: Si alimentamos una espira con una corriente variable, ésta produce un campo magnético variable. Si en sus inmediaciones colocamos otra espira conectada a un galvanómetro, el flujo creado por la primera provoca una corriente inducida en la segunda espira. Hay una aplicación industrial muy importante de este fenómeno que son los transformadores, formados por dos bobinas de diferente número de espiras N 1 y N 2 . Al alimentar la primera con una tensión V 1 se produce en la segunda bobina una tensión inducida V 2 . Igualando el flujo que atraviesa las dos bobinas es fácil ver que.

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V1 N = 1 Pág 25 V2 N2

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•

Experimentalmente se comprueba que el flujo Φ que atraviesa una bobina es directamente proporcional a la intensidad I que la recorre, siendo ese factor de proporcionalidad el llamado coeficiente de autoinducción L de la bobina. Este valor depende de la geometría de la bobina y de su permeabilidad magnética μ. Se mide en Henrios en el S.I.

•

Φ = L·I

La Ley de Faraday-Lenz, se puede escribir también, en función de L, como.

ε = − N ·L ·

dI dt

Autoinducción: De igual forma, si tenemos una espira por la que circula una corriente eléctrica variable se produce un campo magnético variable que genera en la PROPIA espira una fuerza electromotriz y consecuentemente una corriente eléctrica inducida de sentido contrario a la primera.

Producción de una f.e.m. sinusoidal. Alternador Colocamos una espira en el interior de un campo magnético uniforme creado en este caso por un potente imán, y de forma que puede girar sobre su eje de simetría. El flujo que atraviesa la espira es   Φ = B ·S Φ = B·S·cos α Φ = B·S·cos ω·t La fuerza electromotriz inducida es.

ε = − N·

dΦ dt

ε = N · B ·S ·ω ·sen ω·t

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Aparece una f.e.m. sinusoidal, es decir, una corriente alterna porque va cambiando periódicamente su sentido dos veces en cada período.

BLOQUE 4. ÓPTICA •

Naturaleza de la luz

Newton propone su teoría corpuscular (mecánica). Las fuentes luminosas emiten pequeños corpúsculos. Huygens propone el modelo ondulatorio para explicar los fenómenos de reflexión, refracción, dispersión e interferencias de la luz. Equivocó al pensar que las ondas de luz eran longitudinales. Maxwell demostró que las ondas luminosas son ondas del espectro electromagnético y no necesitan de ningún medio para propagarse. Su velocidad de propagación en el vacío es una constante física c = 3·108 m/seg. Índice de refracción: Es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en ese medio. n=

c v

Camino óptico: Es el espacio que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo en que recorre una distancia s en un medio con índice de refracción n. C = n·s Si la luz atraviesa diferentes medios, el camino óptico es. C = Σ n i ·s i Principio de Fermat: La luz se desplaza de un punto a otro, de forma que su camino óptico sea el menor posible. En un medio homogéneo e isótropo como el vacío, el principio de Fermat exige que la luz se propague en línea recta. Reflexión de la luz Cuando la luz llega a la superficie de separación de dos medios se refleja de forma que. 1) La dirección del rayo de incidencia, el de reflexión y la normal a la superficie de reflexión están en un mismo plano. © Vicente Viana Martínez

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2) El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, tomando como referencia la normal a la superficie de reflexión. ˆi = rˆ Refracción de la luz: Es el cambio en la dirección de propagación de la luz al pasar de un medio a otro, transparente, con diferente velocidad de propagación. 1) La dirección del rayo de incidencia, el de refracción y la normal a la superficie de reflexión están en un mismo plano. 2) El producto del seno del ángulo de incidencia por el índice de refracción del primer medio es igual al producto del seno del ángulo de refracción por el índice de refracción del segundo medio.

sen ˆi ·n i = sen rˆ ·n r

Ley de Snell

Reflexión total: Cuando la luz pasa de un medio más refringente (mayor índice de refracción) a otro menos refringente (menor índice de refracción), por ejemplo del agua al aire, el rayo refractado se aleja de la normal. Cuando el ángulo de refracción de ese rayo refractado es de 90º o más, el medio de separación se convierte en un espejo y la luz se refleja totalmente. Es el fenómeno de la reflexión total. Angulo límite: Es el valor del ángulo de incidencia para el cual se produce la reflexión total.

sen α L · n i = 1·n r n α L = sen −1  r  ni

Espectro electromagnético:

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  

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Dispersión de la luz: Es la descomposición de la luz blanca, en sus colores constituyentes, al atravesar un medio transparente, debido a sus diferentes índices de refracción. Cada radiación monocromática del espectro visible tiene una frecuencia característica ν y se propaga con una velocidad v diferente. Es decir, cada radiación monocromática tiene su propio índice de refracción. La ley de la refracción provoca la separación de los colores tal como vemos en el arco iris, en una fuente, en un prisma, etc. La dispersión es máxima para el color violeta y mínima para el color rojo  por eso el cielo es azul. •

En el fenómeno de la dispersión, la frecuencia de cada radiación monocromática se mantiene constante, pero la longitud de onda de cada una, cambia.

en el primer medio (aire)

c = λ o ·ν

en el segundo medio

v = λ·ν

λ=

λo n

Interferencia de la luz Es la coincidencia de dos o más radiaciones electromagnéticas en un mismo punto. Al iluminar con radiación monocromática procedente de un foco puntual una serie de rendijas muy estrechas se observa sobre una pantalla la existencia de bandas de interferencia. •

Las zonas iluminadas corresponden a ondas que llegan en fase. Eso sucede cuando la diferencia de los caminos recorridos es múltiplo de la longitud de onda. x 2 - x 1 = n·λ

•

Las franjas oscuras son zonas donde llegan las ondas en oposición de fase. Eso sucede cuando la diferencia de los caminos recorridos es un número impar de semilongitudes de onda. x 2 − x 1 = (2·n + 1) ·

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λ 2

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Polarización de la luz: Las ondas electromagnéticas formadas por un campo eléctrico y un campo magnético pueden vibrar en cualquier dirección en el espacio, manteniéndose perpendiculares a la dirección de propagación de la luz. Si colocamos un filtro que permita a las ondas vibrar en una determinada dirección habremos conseguido polarizar la luz.  Óptica geométrica:

Estudia los mecanismos geométricos de formación de imágenes cuando un rayo de luz se propaga a través de medios transparentes siguiendo las leyes de la reflexión y de la refracción. En esta parte de la óptica partimos de las siguientes hipótesis. 1) No tenemos en cuenta las propiedades ondulatorias de la luz. Usamos el modelo del rayo de luz. 2) El camino seguido por la luz es reversible. 3) Los rayos que parten de un mismo punto forman la imagen del mismo al cortarse. 4) El cruce de distintos rayos de luz no influye en sus trayectorias respectivas. 5) Las imágenes las llamamos reales cuando se forman al cortarse directamente los rayos que proceden del objeto. Las imágenes son virtuales cuando los rayos procedentes del objeto divergen formándose la imagen en la prolongación de los mismos  Nomenclatura a seguir

Suponemos un sistema con un eje de simetría horizontal y un eje vertical que señala la separación entre medios con distinto índice de refracción. 1) La luz se propaga siempre de izquierda a derecha. 2) La zona izquierda la llamamos zona objeto y la zona derecha es la zona imagen. 3) Para establecer el criterio de signos usamos el mismo sistema que en los ejes de coordenadas cartesianos; ↑ (+), ↓ (-), → (+), ← (-) Imágenes en espejos planos.

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La imagen formada por un espejo plano es virtual y simétrica respecto al plano del espejo

 Espejos esféricos. Elementos

•

Foco: F, es el punto donde convergen los rayos luminosos paralelos al eje óptico del espejo, ellos o sus prolongaciones.

•

Radio: R, es el radio de curvatura del espejo.

•

Centro: O, es el origen del sistema de coordenadas, intersección del eje óptico con el espejo.

•

Eje óptico: es la recta, eje de simetría del espejo que pasa por el foco y el centro.

•

Centro de curvatura: C, es el centro de la superficie esférica que constituye el espejo.

•

Distancia focal: f, es la distancia entre el centro y el foco.

•

Distancia objeto: s, es la distancia del objeto al centro del espejo.

•

Distancia imagen: s', es al distancia de la imagen al centro del espejo.  Normas para la construcción de imágenes en espejos esféricos.

•

Los rayos paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco.

•

Los rayos que pasan por el foco se reflejan en el espejo paralelamente a su eje óptico.

•

Los rayos, cuya dirección pasa por el centro de curvatura, no se desvían.

Geométricamente se demuestra que. f =

R 2

la distancia focal en un espejo esférico es la mitad de su radio de curvatura

 Ecuación de los espejos

1 1 1 + = s' s f  Aumento lateral en los espejos esféricos. © Vicente Viana Martínez

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¡ATENCIÓN! al criterio de signos

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Es el cociente entre el tamaño, y' de la imagen y el tamaño, y del objeto. A=

y' s' =− y s

¡ATENCIÓN! al criterio de signos

 Formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos

• Si el objeto está entre el infinito y el centro de curvatura: la imagen es real, invertida y menor que el objeto (ver figura). • Si el objeto está entre el centro de curvatura y el foco: la imagen es real, invertida y de mayor tamaño que el objeto. • Si el objeto está entre el foco y el espejo: la imagen es virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.  Formación de imágenes en espejos esféricos convexos

• Las imágenes producidas por los espejos convexos son SIEMPRE: virtuales, derechas y de menor tamaño que el objeto.

 Dioptrio esférico

Es un concepto teórico que hace referencia a la superficie de separación

entre

transparentes,

dos

medios

isótropos

y

homogéneos pero con distinto índice de refracción. El estudio de sus propiedades (comportamiento de los rayos de luz a su través) permite obtener las leyes que rigen la óptica de las lentes.

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•

El criterio de signos y los elementos principales del dioptrio esférico son los mismos que los estudiados en el caso de los espejos.

•

Rayos paraxiales son rayos que forman con el eje óptico ángulos pequeños < 10º, de forma que; α ≈ sen α ≈ tg α.

 Ecuación del dioptrio esférico para rayos paraxiales.

n 2 n1 n 2 − n1 − = s' s R

•

Foco imagen F' ; es el punto donde convergen los rayos que proceden del ∞ (paralelos al eje óptico). Distancia focal imagen f': es la distancia del centro al foco imagen. OF

•

Foco objeto F : es el punto tal que todos los rayos que pasan por él, se refractan al incidir en el dioptrio, paralelamente al eje óptico. Distancia focal objeto f: es la distancia del foco objeto al centro. F'O

f f' + =1 s s'

Fórmula de Gauss

 Normas para la construcción de imágenes en el dioptrio esférico.

•

Los rayos paralelos al eje óptico se refractan pasando por el foco imagen.

•

Los rayos que pasan por el foco objeto se refractan paralelamente a su eje óptico.

•

Los rayos, cuya dirección pasa por el centro de curvatura, no se desvían.

 Lentes planas:

Es un medio óptico formado por asociación de dos dioptrios esféricos, cuyo espesor podemos considerar despreciable. •

Llamando r 1 y r 2 los radios de curvatura de cada uno de los dos dioptrios que conforman la lente, obtenemos la llamada; ecuación del fabricante de lentes.

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1 1 1 = (n − 1) · −  f'  r1 r2  •

Ecuación de las lentes delgadas:

1 1 1 = − f ' s' s ¡ATENCIÓN! al criterio •

Aumento lateral de las lentes.

de signos A=

•

y' s ' = y s

Potencia de una lente: Es el recíproco de su distancia focal expresada en metros. P=

1 f'

se mide en dioptrías

 Tipos de lentes:

Existen muchos tipos de lentes, dependiendo de los distintos valores de r 1 y r 2 : biconvexas, planoconvexas, bicóncavas, planocóncavas, menisco convergente, ...etc. Habitualmente trabajamos con solo dos tipos; lentes cóncavas y lentes convexas. En ambos casos suponemos que su espesor es despreciable y que los rayos de luz son siempre paraxiales. •

Las lentes cóncavas hacen converger los rayos de luz que vienen paralelos al eje óptico, hacia el foco imagen F'.

•

Las lentes convexas divergen los rayos de luz que vienen paralelos al eje óptico, de forma que se cortan sus prolongaciones en el foco imagen F'.

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 Formación de imágenes:

Reglas generales: •

Los rayos paralelos al eje óptico se refractan pasando por el foco imagen F'.

•

Los rayos que pasan por el foco objeto se refractan paralelamente al eje óptico.

•

Los rayos, cuya dirección pasa por el centro de la lente, no se desvían.

 Ejemplos prácticos de formación de imágenes.

•

Lentes convergentes.

Para un objeto lejano, a la izquierda del foco objeto F, la imagen es: real, invertida y su tamaño depende de su distancia al foco. Si está muy alejado del foco, el tamaño de la imagen es menor pero si está próximo al foco el tamaño de la imagen es mayor. Para un objeto situado entre el foco objeto F y el centro O, la imagen es virtual, derecha y mayor.  LUPA

•

Lentes divergentes

En cualquier caso, tanto si el objeto está lejano como si está próximo, la imagen es; virtual, derecha y menor.

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 Óptica de la visión:

•

El ojo humano se comporta como un sistema óptico formado por una lente (el cristalino) y una pantalla (la retina), aparte, la pupila se comporta como un diafragma para permitir la entrada de más o menos luz.

•

El cristalino es una lente con una distancia focal variable. Eso es debido a unos pequeños músculos (músculos ciliares) situados en el interior del ojo que modifican el radio de curvatura del cristalino, permitiendo, de esta forma, enfocar diversos objetos que están a distintas distancias del ojo. Es lo que se llama poder de acomodación del cristalino, es un proceso que el ojo realiza automáticamente y está limitado por la elasticidad del cristalino. La distancia mínima a la que un ojo sano puede ver enfocado un objeto es de 25 cm, a esa posición se le llama punto próximo.

Miopía: Cuando miramos un objeto lejano, el objeto está en el infinito, los rayos llegan al ojo paralelos al eje óptico y la imagen se forma en el foco. Si por algún defecto en la geometría del ojo, la zona de formación de la imagen queda por delante de la retina, el objeto se ve borroso. Necesitamos colocar delante de los ojos unas lentes divergentes, que desplacen, alejando, la imagen hasta la retina. Hipermetropía: Es el caso contrario a la miopía, la imagen se forma detrás de la retina. Ello obliga a colocar unas lentes convergentes para acercar la imagen hasta la posición correcta para que la imagen se vea totalmente nítida. Presbicia o vista cansada: En este caso, los músculos ciliares, por causa de la edad, principalmente, no cumplen su misión, impidiendo que el cristalino modifique su curvatura facilitando el poder de acomodación del ojo. De esa forma los présbitas ven muy bien de lejos cuando el cristalino no necesita acomodarse, pero en la visión cercana el cristalino no cumple su función formándose la imagen detrás de la retina, necesitándose unas gafas convergentes que suplen la pérdida de elasticidad del cristalino. Astigmatismo: Es un defecto óptico motivado por una irregularidad en la curvatura de la córnea. Debido a ello, el ojo astigmático no puede ver con nitidez todas las líneas de un haz de rectas aunque estén todas ellas a la misma distancia. Ve nítida una de ellas, pero su perpendicular la ve totalmente borrosa.

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BLOQUE 5. FÍSICA MODERNA Para estudiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo es necesario establecer previamente un sistema de referencia. No tiene sentido preguntar ¿qué distancia ha recorrido un móvil?, ¿cuál es su velocidad?, etc. sin antes especificar respecto de quién se mueve. Una persona subiendo en un ascensor, está en reposo respecto del ascensor pero se mueve respecto del edificio. Un pasajero en un tren está en reposo respecto de otro pasajero pero está moviéndose respecto de otra persona situada en el andén.  No existe en todo el Cosmos ningún sistema de referencia absoluto o prioritario.  Llamamos Sistema de referencia Inercial aquel que se desplaza con velocidad constante y

movimiento rectilíneo.  Llamamos Sistema de referencia No Inercial aquel que se desplaza con velocidad variable

(acelerado) o bien con trayectoria circular (no rectilínea). Por ejemplo un autobús al arrancar y al frenar. Un coche tomando una curva. El comportamiento cinemático y dinámico de un cuerpo es el mismo en cualquier Sistema de referencia Inercial, independientemente de si está en reposo o desplazándose a miles de kilómetros por hora. Por eso podemos jugar al ping-pong, jugar al billar o al baloncesto en un barco (en ausencia de oleaje) exactamente igual como si estuviéramos en tierra firme. Movimientos relativos Imaginemos un río de anchura D por donde fluye el agua con una velocidad constante v c . Sean dos barcos A y B que desean recorrer una misma distancia 2·D, ida y vuelta, con la misma velocidad v, pero el primero (A) en dirección perpendicular a la corriente y el segundo (B) en dirección paralela a la corriente. Calculemos los tiempos empleados en cada caso. Caso A v' = v 2 − v c2 = v · 1 −

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v c2 v2 Pág 37

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2 ·D

tA =

v· 1 −

v c2 v2

Caso B tB =

D D 2 ·D ·v + = 2 = v + v c v − v c v − v c2

2 ·D  v2  v ·1 − v2  v  

La relación entre los tiempos es: v c2 tA = 1− 2 tB v

Transformadas de Galileo para sistemas inerciales Un suceso ocurrido en un punto de coordenadas (x, y, z) en un tiempo t, para un observador situado en un sistema de referencia S ocurrirá en un punto de coordenadas (x', y', z') en un tiempo t' para un observador situado en el sistema de referencia S' que se desplaza con velocidad constante v. Las relaciones entre ambos sistemas de coordenadas son. x' = x - v·t

v' x = v x - v

y' = y

v' y = v y

z' = z

v' z = v z

t' = t Estas fórmulas de transformación son las habituales, las que hemos estudiado en cinemática Experimento Michelson-Morley En 1.887 se pensaba que existía un medio sutil que inundaba todo el espacio, al que llamaban "éter". Se pensaba que el éter permanecía estático y respecto de él se movían todos los cuerpos incluida la Tierra. Se diseñó un experimento para medir la velocidad de la Tierra a través del éter o mejor dicho, considerando la Tierra como fija, se pretendía medir la velocidad del éter respecto de © Vicente Viana Martínez

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ella, lo que se consideraba el "viento del éter". No se obtuvo lo que se pretendía medir pero sin embargo se sacaron dos conclusiones importantes. 1) El éter no existe. 2) La velocidad de la luz en el espacio es siempre la misma e independientemente de la velocidad del foco emisor. Posteriormente, Fitzgerald y Lorentz consideraron que el "viento del éter" podría existir siempre y cuando el interferómetro acortara su longitud D en el factor 1 −

v2 , siendo v la velocidad de c2

la Tierra y c la velocidad de la luz. Transformación de Lorentz Siguiendo este proceso Lorentz postuló de una forma teórica qué sucedería si las longitudes medidas fueran distintas para observadores moviéndose a distinta velocidad. En ese supuesto, un suceso ocurrido en un punto de coordenadas (x, y, z) en un tiempo t, para un observador situado en un sistema de referencia S ocurrirá en un punto de coordenadas (x', y', z') en un tiempo t' para un observador situado en el sistema de referencia S' que se desplaza con velocidad constante v. Las relaciones entre ambos sistemas de coordenadas son. x − v·t

x' =

1−

2

v c2

y' = y

1

γ=

1− β=

v c

2

v c2

x' = γ·(x - v·t)

y' = y

z' = z

z' = z

v ·x c2 t' = v2 − 1 c2

v ·x   t' = γ·  t − 2  c  

t−

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γ>1

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Obsérvese que cuando v es muy pequeña frente a la velocidad de la luz (situación NO relativista) v → 0 y γ → 1. Las transformadas de Lorentz son iguales a las de Galileo. c Las transformadas de Lorentz son útiles en situaciones de sistemas moviéndose con velocidades próximas a las de la luz (situación relativista). En ese caso, las ecuaciones habituales estudiadas en la mecánica clásica dejan de ser válidas y debemos sustituirlas por las transformadas de Lorentz. De igual forma, se utiliza la transformada inversa de Lorentz que da la posición y el instante en que ocurre un determinado suceso para un observador situado en el sistema de referencia S cuando para otro observador situado en S', dicho suceso ocurre en la posición (x', y', z') en el instante t'.

x=

x ' + v·t ' v2 1− 2 c

y = y'

1

γ=

β=

v2 1− 2 c v c

x = γ·(x' + v·t')

y = y'

z = z'

z = z'

v ·x ' c2 t= v2 1− 2 c

v ·x '   t = γ·  t ' + 2  c  

t' +

γ>1

Teoría especial de la relatividad Intrigado por el "fracaso" del experimento de Michelson-Morley, Albert Einstein, en 1.905 se atrevió a dar el paso que nadie se atrevió a dar, convirtendo en una realidad física las hipotéticas transformaciones de Lorentz. Para ello planteó los postulados. 1) La velocidad de la luz en el vacío es inalterable y totalmente independente de la velocidad del foco emisor. Es una velocidad absoluta. 2) Postula la imposibilidad de establecer en todo el Universo un sistema de referencia absoluto. Estos postulados aparentemente inocuos supusieron dinamitar totalmente la Física clásica porque echa totalmente por tierra el concepto de simultaneidad de sucesos produciéndose unas situaciones aparentemente absurdas o paradójicas. © Vicente Viana Martínez

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Contracción de longitudes La longitud de una varilla depende de la velocidad que lleve respecto del observador que realiza la medida. Para un observador situado en S, la varilla tiene la longitud. L = x2 - x1 Para un observador situado en S', la varilla tiene una longitud. L' = x' 2 - x' 1 Apliquemos las transformadas de Lorentz.

(

) (

)

(

)

L = γ · x '2 + v·t ' − x 1' + v ·t ' = γ · x '2 − x 1' = γ ·L' O bien. 1 L' = ·L γ

como γ > 1 → L' < L

Como bien sabemos, γ =

1 v2 1− 2 c

se produce una contracción de longitudes

. Es decir, la transformación depende

de v2, el signo de v es indiferente y por tanto no importa qué sistema consideremos en reposo si el astronauta o la nave. Dilatación del tiempo La duración de un cierto suceso medido desde un sistema de referencia en reposo vale. Δt = t 2 - t 1 Ese mismo suceso medido desde un sistema de referencia en movimiento nos daría una duración. Δt' = t' 2 - t' 1 Apliquemos la transformación de Lorentz v ·x '  v ·x '    Δt = γ · t '2 + 2  − γ · t 1' + 2  = γ · t '2 − t 1' = γ ·Δt ' c  c   

(

como γ > 1 → Δt > Δt' © Vicente Viana Martínez

)

se produce una dilatación de intervalos de tiempo. Pág 41

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El intervalo de tiempo Δt medido en el sistema de referencia S que permanece en reposo es mayor que si la medida Δt' la hubiéramos realizado en S'.  En S' el tiempo transcurre más lentamente que en S.  Un reloj en movimiento retrasa respecto de otro en reposo.  Dos gemelos, uno queda en tierra y el otro sale en un vuelo espacial a velocidad próxima a la

de la luz. Al regreso, el gemelo que quedó en tierra ha envejecido respecto del gemelo viajero. Dinámica relativista En la mecánica clásica se define el momento lineal de un cuerpo como. p = m·v En la mecánica relativista la ecuación anterior se transforma en.

p=

m o ·v

siendo m o la masa inercial en reposo

v2 1− 2 c

Por tanto, la masa inercial de un cuerpo no es un valor absoluto sino que depende de su velocidad respecto del observador que la mide.

mo

m=

1−

v2 c2

El teorema de las fuerzas vivas en mecánica clásica dice que el trabajo ejercido sobre un cuerpo se emplea en modificar su contenido de energía cinética. W = ΔE c s  W =  F ·ds 0

    d ( m ·v )  m o ·v  W=  ·ds =  v ·d(m ·v) =  v ·d 2  dt 0 0 0  1 − v  c2   s

© Vicente Viana Martínez

s

s

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---------------------W=

m o ·c 2 1−

2

v c2

− m o ·c 2

ΔE c = m·c2 - m o ·c2 Si, inicialmente el cuerpo está en reposo, su E cinética,1 = 0 E c = m·c2 - m o ·c2 m·c2 = E c + m o ·c2 Considerando m·c2 como la energía total del cuerpo E. Entonces, la energía de un cuerpo en reposo (E c = 0) vale. La

E=

masa

puede

desaparecer

convirtiéndose en energía.

Relatividad general Posteriormente, en 1915/16, Albert Einstein desarrolló su teoría general de la relatividad. Parte del llamado principio de equivalencia, según el cual la masa inercial de un cuerpo es igual a su masa gravitatoria. m gravitatoria = m inercial =

Peso g

Fuerza a

De acuerdo con esta idea el peso de un cuerpo debido a un campo gravitatorio es indistinguible de la fuerza que le provoca un sistema acelerado.  El peso de un cuerpo no es una fuerza real, sino una fuerza aparente, inercial, como la fuerza

centrífuga o la fuerza de Coriolis.  Un campo gravitatorio provoca una deformación, una curvatura del espacio-tiempo.  Esta situación es aplicable también a los campos electromagnéticos (la luz).  Un rayo de luz se desvía al pasar por la proximidad de un intenso campo gravitatorio.  Igualmente, el tiempo se "deforma".  En presencia de intensos campos gravitatorios los relojes se enlentecen.  En el caso límite, en un agujero negro, el tiempo se detendría totalmente. © Vicente Viana Martínez

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Hipótesis de Planck Los cuerpos al aumentar su temperatura emiten energía. Visualmente lo comprobamos por su cambio de color; rojo a temperaturas más bajas, azul a temperaturas más altas. A finales del XIX se propuso un modelo llamado "cuerpo negro". A partir del cual se construyó la tabla experimental de la figura. Se observa que para distintas temperaturas crecientes, la máxima energía se obtiene para longitudes de onda decrecientes (mayor frecuencia). De una forma totalmente empírica se dedujeron las siguientes leyes. Ley de Stefan-Boltzmann La cantidad de energía emitida por un cuerpo negro por unidad de superficie y de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. E = σ·T4

σ = 5,67·10-8 Julios/seg·ºK·m2

Ley de Wien El producto de la longitud de onda a la que se produce el máximo de energía radiada por la temperatura absoluta, es una constante. λ máxima ·T = 2,897·10-3 m·ºK Max Planck afirma que las emisiones de energía radiante no forman una gama continua de energía, sino que tiene lugar en forma de paquetes o cuantos de energía.  La energía está cuantizada, es discontinua, al igual como la materia.  Toda radiación lleva asociada una energía que es múltiplo entero de una energía elemental.

ν ... frecuencia de emisión

E = n·h·ν

h

....

Julios·seg © Vicente Viana Martínez

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6,626·10-34

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Planck demostró teóricamente que las curvas de la gráfica de emisión del cuerpo negro responden a la expresión.

2 ·c 2 ·h E= · λ5

λ .... longitud de onda

1

c ..... velocidad de la luz

h ·c

e λ ·k ·T − 1

k .... 1,38·10-23 Julios·ºK

A partir de la expresión anterior se deducen matemáticamente las leyes de Wien y de StefanBoltzmann.  La teoría de Planck explica perfectamente las

rayas presentes en los espectros de emisión.  Representan los saltos de los electrones entre

los distintos niveles energéticos en la corteza atómica.  La longitud de onda (λ) asociada a cada salto

cuántico fue deducida empíricamente por Rydberg.  1 1 1  = R H · 2 − 2  λ  n1 n 2 

R H = 1,097·107 m-1

Posteriormente Niels Bohr, usando la teoría cuántica de Planck pudo deducir matemáticamente la misma ley. Efecto fotoeléctrico Ciertos metales tienen la propiedad de emitir electrones (se crea una corriente eléctrica) cuando la luz incide sobre ellos.  Sucede que la intensidad de la corriente producida NO depende de la intensidad de la luz que

incide sobre el metal, sino de la frecuencia de la radiación incidente.  El efecto fotoeléctrico NO se produce hasta que la energía incidente alcanza un cierto nivel

umbral.  El efecto fotoeléctrico se produce de una forma instantánea, sin retardo alguno.

Todas esas características chocan con la teoría clásica de la naturaleza de la luz. © Vicente Viana Martínez

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Albert Einstein en 1.905, haciendo uso de la teoría cuántica de Planck explica el fenómeno postulando que:  La luz debe considerarse como un conjunto de partículas elementales denominadas fotones

sin masa y sin carga eléctrica que llevan asociadas una energía E = h·ν (ν es la frecuencia de la luz incidente).  Existe una energía mínima, llamada energía umbral

E o = h·ν o , propia de cada metal, por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico. Si, E c,máx es la energía cinética máxima del electrón "arrancado", podemos escribir. h·ν = E c,máx + h·ν o

Siendo h·ν o el "trabajo de extracción" del electrón o su "energía umbral" Dualidad onda corpúsculo. Hipótesis de De Broglie. Einstein en su teoría sobre el efecto fotoeléctrico sugiere que la luz tiene un comportamiento corpuscular. Pero la luz con los fenómenos de interferencia y de difracción sugiere un comportamiento ondulatorio. De Broglie propone para la luz un doble comportamiento onda-partícula, pero generaliza esa idea a cualquier objeto y además en ambos sentidos, es decir, toda onda tiene un comportamiento corpuscular, pero también un objeto másico lleva incorporada una onda asociada. La energía relativista de una partícula es. E = m o2 ·c 4 + p 2 ·c 2

En el caso de un fotón, → m = 0 E = p·c

© Vicente Viana Martínez

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Por otra parte, la energía de los fotones considerados como ondas. E = h ·ν = h ·

c λ

Igualando ambas expresiones. p ·c = h ·

c λ

Cualquier partícula de masa m y velocidad v tiene una onda asociada de longitud de onda λ λ=

h m ·v

Principio de incertidumbre de Heisenberg Al estudiar el comportamiento de una partícula es imposible determinar simultáneamente, con total exactitud, su posición y su momento lineal. Llamando Δx y Δp x a las incertidumbres de la posición y del momento lineal, respectivamente. Se cumple.

 Δx · Δp x ≥ 2

=

h 2 ·π

Para conocer la posición de un electrón debe iluminarse con un fotón de longitud de onda λ, el cual posee un momento lineal

h . El fotón cede su impulso al electrón con lo cual modifica su λ

momento lineal. De igual forma.

ΔE · Δt ≥

 2

Max Born introdujo la concepción probabilística de la Naturaleza. Se abandona el aspecto determinista de la física clásica. A nivel macroscópico son válidas las leyes de la mecánica clásica, pero a nivel subatómico, las magnitudes asociadas a las partículas deben interpretarse en términos de densidad de probabilidad. Por ejemplo los orbitales atómicos.

© Vicente Viana Martínez

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Radiactividad Becquerel en 1.896 observó que la pechblenda (óxido de uranio) velaba placas fotográficas protegidas. Se descubrió una forma natural de emisión de energía, a la que se llamó radiactividad natural. Rutherford identificó dos tipos de radiación.  Rayos α, que son núcleos de helio: He 42  Rayos β, que son electrones; e 0−1

Posteriormente se identificó a los.  Rayos γ. Es radiación electromagnética, mucho más energética que los rayos X.

Rutherford, usando rayos α, bombardeó una lámina de oro y a partir de los resultados obtenidos, estableció su modelo del átomo. La radiactividad es una propiedad intrínseca de algunos átomos. Procede de la desintegración de los núcleos. Leyes del desplazamiento radiactivo Ley de Soddy: Cuando un átomo emite una radiación tipo α se convierte en otro átomo cuyo número másico es 4 unidades menor y su número atómico es 2 unidades menor. X AZ → YZA−−24 + He 42

α → He 42

Ley de Fajans: Cuando un átomo emite una partícula β se convierte en otro átomo cuyo número másico es el mismo y su número atómico es 1 unidad mayor. X AZ → YZA+1 + e 0−1

β → e 0− 1

La pregunta es; ¿de dónde sale ese electrón del núcleo? Según Pauli se produce la siguiente reacción nuclear.

ν → antineutrino

n → p+ + e - + ν © Vicente Viana Martínez

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Cuando un átomo emite radiación γ altera su contenido energético pero no cambia el número de nucleones, es decir no cambia ni su número másico ni su número atómico. El núcleo, al igual como la corteza atómica, tiene niveles energéticos y el tránsito de unos niveles a otros se realiza mediante absorción o emisión de fotones. Esa es la causa de la radiación γ. Un núcleo previamente excitado al regresar a su estado fundamental emite radiación electromagnética de alta energía. Ley de la desintegración radiactiva Una muestra de material radiactivo compuesta inicialmente por N o núcleos disminuye con el tiempo porque parte de ellos se van desintegrando. Al cabo de Δt segundos quedan N átomos. Siendo λ la constante de desintegración (propia para cada elemento), es decir, la probabilidad por unidad de tiempo de que se desintegre un núcleo. N - N o = - λ·N·Δt

Obsérvese que N o > N

dN = - λ·N·dt

ΔN < 0 dN = − λ·dt N t

dN No N = − λ·0 dt N

[ln N]NNo = − λ ·[dt ]0t ln

N = − λ ·t No

N = N o ·e − λ·t

El número de núcleos de una muestra radiactiva disminuye exponencialmente con el tiempo.

 El período de semidesintegración t 1/2 es el tiempo que tarda una muestra radiactiva de No nú-

cleos en reducirse a la mitad, N o /2. No = N o ·e − λ ·t1 / 2 2

t1/ 2 = © Vicente Viana Martínez

ln 2 λ

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 La vida media τ de una muestra radiactiva es el tiempo promedio de vida de los núcleos pre-

sentes. τ=

1 λ

 La actividad o velocidad de desintegración es el número de desintegraciones por unidad de

tiempo. dN = λ ·N dt

Fuerzas nucleares En los núcleos atómicos existen protones con carga positiva, que según la teoría de Coulomb deberían repelerse. Si el núcleo se mantiene estable es porque existen otro tipo de fuerzas aparte de las gravitatorias y las electrostáticas. Estas fuerzas nucleares:  Son solamente atractivas.  Tienen muy corto alcance (nulas para distancias > 10-15 m)  Están vinculadas exclusivamente a algunos nucleones pero no a todos.

Energía de enlace  Defecto de masa Δm; es la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones y la masa

real del núcleo. Z ..... número de protones (A - Z) .... número de neutrones Δm = Z·m p + (A - Z)·m n - M núcleo  Energía de enlace es la energía equivalente a ese

defecto másico, de acuerdo con la ecuación de Einstein. E enlace = Δm·c2  Energía de enlace por nucleón es el cociente entre la energía de enlace y el número de

nucleones. Representa la energía necesaria para extraer un nucleón del núcleo. Es una me-

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dida de la estabilidad del núcleo. A mayor energía de enlace por nucleón, más estable es el núcleo. Reacciones nucleares Cuando un núcleo experimenta un choque inelástico con otra partícula, se forma un núcleo excitado. A continuación este núcleo se divide o bien emite alguna partícula o energía. Si bombardeamos un núcleo con protones, debido a su carga eléctrica positiva deben vencer la barrera de Coulomb para entrar en el núcleo (se precisa que sean protones de alta energía). Si bombardeamos el núcleo con neutrones, no existe la barrera de Coulomb, por ello es preferible que sean "lentos" para así permanecer más tiempo en la cercanía del núcleo y aumentar la probabilidad de entrar en él. Fisión nuclear Es la escisión, la ruptura, de núcleos, generalmente pesados, en dos o más núcleos ligeros. Se logra bombardeando los núcleos con neutrones lentos 235 89 1 U 92 + n 10 → Ba 144 56 + Kr36 + 3 ·n 0 + 200 MeV

Obsérvese que aparecen 3 nuevos neutrones que son los causantes de un efecto multiplicador (reacción en cadena), desprendiéndose una ENORME cantidad de energía. Fusión nuclear Es la unión de dos o más núcleos ligeros para formar uno mayor. Para ello se precisa comunicar a los núcleos ligeros una ENORME cantidad de energía para así poder acercar los núcleos y poder llevar a cabo su fusión. H11 + H13 → He 42 + n 10 + 14,6 MeV En el Sol se produce la reacción (global) de fusión. 4·H11 → He 42 + 2 ·e 0−1 + 25,7 MeV Tanto en el proceso de fisión como en el de fusión se obtiene una GRAN cantidad de energía mediante la desintegración de parte de la masa de los núcleos reaccionantes. © Vicente Viana Martínez

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